Rumus untuk menghitung jarak suatu titik ke garis pada suatu bidang

Jika diberikan persamaan garis Ax + By + C = 0, maka jarak titik M(M x , M y) ke garis tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut

Contoh soal menghitung jarak suatu titik ke garis pada bidang

Contoh 1.

Tentukan jarak antara garis 3x + 4y - 6 = 0 dan titik M(-1, 3).

Larutan. Mari kita substitusikan koefisien garis dan koordinat titik ke dalam rumus

Menjawab: jarak titik ke garis adalah 0,6.

persamaan bidang yang melalui titik-titik yang tegak lurus vektorPersamaan umum bidang

Vektor bukan nol yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu disebut vektor biasa (atau, singkatnya, normal ) untuk pesawat ini.

Misalkan dalam ruang koordinat (in sistem persegi panjang koordinat) diberikan:

sebuah titik ;

b) vektor bukan nol (Gbr. 4.8, a).

Anda perlu membuat persamaan untuk bidang yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap vektor Akhir dari pembuktian.

Sekarang mari kita pertimbangkan Berbagai jenis persamaan garis lurus pada bidang.

1) Persamaan umum bidangP .

Dari penurunan persamaan maka pada saat yang sama A, B Dan C tidak sama dengan 0 (jelaskan alasannya).

Intinya milik pesawat P hanya jika koordinatnya memenuhi persamaan bidang. Tergantung pada peluangnya A, B, C Dan D pesawat P menempati satu posisi atau lainnya:

- bidang melewati titik asal sistem koordinat, - bidang tidak melalui titik asal sistem koordinat,

- bidang sejajar dengan sumbu X,

X,

- bidang sejajar dengan sumbu Y,

- bidang tidak sejajar dengan sumbu Y,

- bidang sejajar dengan sumbu Z,

- bidang tidak sejajar dengan sumbu Z.

Buktikan sendiri pernyataan-pernyataan ini.

Persamaan (6) mudah diturunkan dari persamaan (5). Memang benar, biarlah intinya terletak pada bidangnya P. Kemudian koordinatnya memenuhi persamaan. Dengan mengurangkan persamaan (7) dari persamaan (5) dan mengelompokkan suku-sukunya, diperoleh persamaan (6). Sekarang mari kita perhatikan dua vektor dengan koordinat masing-masing. Dari rumus (6) dapat disimpulkan bahwa hasil kali skalarnya sama dengan nol. Oleh karena itu, vektor tersebut tegak lurus terhadap vektor tersebut. Awal dan akhir vektor terakhir masing-masing terletak di titik-titik yang termasuk dalam bidang tersebut P. Oleh karena itu, vektornya tegak lurus terhadap bidang P. Jarak dari titik ke bidang P, persamaan umum yang ditentukan oleh rumus Pembuktian rumus ini sangat mirip dengan pembuktian rumus jarak antara titik dan garis (lihat Gambar 2).
Beras. 2. Menurunkan rumus jarak antara bidang dan garis lurus.

Memang jaraknya D antara garis lurus dan bidang adalah sama

dimana suatu titik terletak pada bidang tersebut. Dari sini seperti pada kuliah no 11 diperoleh rumus di atas. Dua bidang sejajar jika vektor-vektor normalnya sejajar. Dari sini kita memperoleh syarat paralelisme dua bidang - Koefisien persamaan umum bidang. Dua bidang tegak lurus jika vektor-vektor normalnya tegak lurus, maka diperoleh syarat tegak lurus dua bidang jika persamaan umumnya diketahui.

Sudut F antara dua bidang sama dengan sudut antara vektor normalnya (lihat Gambar 3) dan oleh karena itu dapat dihitung menggunakan rumus
Menentukan sudut antar bidang.

(11)

Jarak suatu titik ke bidang dan cara menemukannya

Jarak dari titik ke pesawat– panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik ke bidang ini. Setidaknya ada dua cara untuk mencari jarak suatu titik ke bidang: geometris Dan aljabar.

Dengan metode geometri Anda harus terlebih dahulu memahami bagaimana letak garis tegak lurus dari suatu titik ke bidang: mungkin letaknya pada suatu bidang yang sesuai, merupakan ketinggian dalam suatu segitiga yang sesuai (atau tidak terlalu sesuai), atau mungkin garis tegak lurus ini umumnya merupakan ketinggian dalam suatu piramida.

Setelah tahap pertama dan paling rumit ini, soal dipecah menjadi beberapa soal planimetri spesifik (mungkin pada bidang berbeda).

Dengan metode aljabar untuk mencari jarak titik ke bidang, Anda perlu memasukkan sistem koordinat, mencari koordinat titik dan persamaan bidang, lalu menerapkan rumus jarak titik ke bidang.

Universitas Teknik Kelautan Negeri St

Departemen Grafik Komputer dan Dukungan Informasi

PELAJARAN 3

TUGAS PRAKTIS No.3

Menentukan jarak suatu titik ke garis lurus.

Anda dapat menentukan jarak antara suatu titik dan garis lurus dengan melakukan konstruksi berikut (lihat Gambar 1):

· dari titik DENGAN turunkan tegak lurus menjadi garis lurus A;

· tandai satu titik KE perpotongan garis tegak lurus dengan garis lurus;

mengukur panjang segmen tersebut KS, yang awalnya adalah suatu titik tertentu, dan ujungnya adalah titik potong yang ditandai.

Gambar.1. Jarak suatu titik ke suatu garis.

Dasar penyelesaian masalah jenis ini adalah aturan proyeksi sudut kanan: sudut siku-siku diproyeksikan tanpa distorsi jika setidaknya salah satu sisinya sejajar dengan bidang proyeksi(yaitu menempati posisi pribadi). Mari kita mulai dengan kasus seperti itu dan mempertimbangkan konstruksi untuk menentukan jarak dari suatu titik DENGAN ke segmen garis lurus AB.

Tidak ada contoh tes dalam tugas ini, dan opsi untuk menyelesaikan tugas individu diberikan tabel1 dan tabel2. Solusi untuk masalah ini dijelaskan di bawah ini, dan konstruksi terkait ditunjukkan pada Gambar 2.

1. Menentukan jarak suatu titik ke garis tertentu.

Pertama, proyeksi suatu titik dan segmen dibuat. Proyeksi A1B1 sejajar dengan sumbu X. Artinya segmen tersebut AB sejajar dengan pesawat hal2. Jika dari titik DENGAN menggambar tegak lurus ke AB, kemudian sudut siku-siku diproyeksikan tanpa distorsi ke bidang hal2. Ini memungkinkan Anda menggambar garis tegak lurus dari suatu titik C2 untuk proyeksi A2B2.

Menu drop down Segmen Gambar (Menggambar- Garis) . Tempatkan kursor pada titik tersebut C2 dan perbaiki sebagai titik pertama segmen tersebut. Pindahkan kursor ke arah normal ke segmen tersebut A2B2 dan perbaiki poin kedua pada saat petunjuk itu muncul Biasa (Tegak lurus) . Tandai titik yang dibangun K2. Aktifkan mode ORTO(ORTO) , dan dari intinya K2 gambarlah garis sambungan vertikal hingga berpotongan dengan proyeksi A1 B1. Tentukan titik potongnya dengan K1. Dot KE, berbaring di ruas tersebut AB, adalah titik potong garis tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut DENGAN, dengan segmen AB. Jadi, segmennya KS adalah jarak yang diperlukan dari titik ke garis.

Dari konstruksinya terlihat jelas bahwa segmen tersebut KS menempati posisi umum dan, oleh karena itu, proyeksinya terdistorsi. Ketika berbicara tentang jarak, yang kami maksud selalu nilai sebenarnya dari segmen tersebut, menyatakan jarak. Oleh karena itu, kita perlu mencari nilai sebenarnya dari segmen tersebut KS, dengan memutarnya ke posisi tertentu, misalnya, KS|| P1. Hasil konstruksi ditunjukkan pada Gambar 2.

Dari konstruksi yang ditunjukkan pada Gambar 2, kita dapat menyimpulkan: posisi tertentu dari garis (segmen tersebut sejajar P1 atau hal2) memungkinkan Anda dengan cepat membuat proyeksi jarak dari suatu titik ke garis, tetapi proyeksi tersebut terdistorsi.

Gambar.2. Menentukan jarak suatu titik ke garis tertentu.

2. Menentukan jarak suatu titik ke suatu garis posisi umum.

Segmen tersebut tidak selalu menempati posisi tertentu pada kondisi awal. Dengan posisi awal yang umum, konstruksi berikut dilakukan untuk menentukan jarak dari suatu titik ke garis:

a) menggunakan metode transformasi gambar, ubah segmen dari posisi umum ke posisi khusus - ini akan memungkinkan pembuatan proyeksi jarak (terdistorsi);

b) dengan menggunakan metode ini lagi, ubahlah segmen yang sesuai dengan jarak yang diperlukan ke posisi tertentu - kita memperoleh proyeksi jarak yang besarnya sama dengan jarak sebenarnya.

Perhatikan urutan konstruksi untuk menentukan jarak dari suatu titik A ke segmen pada posisi umum Matahari(Gbr. 3).

Pada putaran pertama perlu untuk mendapatkan posisi tertentu dari segmen tersebut DI DALAMC. Untuk melakukan ini di lapisan TMR perlu menghubungkan titik-titik tersebut PADA 2, C2 Dan A2. Menggunakan perintah Ubah-Putar (Memodifikasi – Memutar) segi tiga В2С2А2 berputar di sekitar suatu titik C2 ke posisi di mana proyeksi baru B2*C2 akan ditempatkan secara horizontal (titik DENGAN tidak bergerak dan, oleh karena itu, proyeksi barunya bertepatan dengan proyeksi asli dan peruntukannya C2* Dan C1* mungkin tidak ditampilkan pada gambar). Hasilnya, proyeksi segmen baru akan diperoleh B2*C2 dan poin: A2*. Selanjutnya dari poin A2* Dan PADA 2* yang vertikal dilakukan, dan dari titik DALAM 1 Dan A1 jalur komunikasi horisontal. Perpotongan garis-garis yang bersesuaian akan menentukan posisi titik-titik proyeksi horizontal baru: segmen B1*C1 dan titik A1*.

Pada posisi tertentu yang dihasilkan, kita dapat membuat proyeksi jarak untuk ini: dari titik A1* yang normal ke B1*C1. Titik perpotongannya adalah K1*. Garis sambungan vertikal ditarik dari titik ini hingga berpotongan dengan proyeksi B2*C2. Sebuah titik ditandai K2*. Hasilnya, proyeksi segmen tersebut diperoleh AK, yang merupakan jarak yang diperlukan dari titik tersebut A ke segmen garis lurus Matahari.

Selanjutnya perlu dibuat proyeksi jarak pada kondisi awal. Untuk melakukan ini dari intinya K1* akan lebih mudah untuk menggambar garis horizontal hingga berpotongan dengan proyeksi В1С1 dan tandai titik potongnya K1. Kemudian sebuah titik dibangun K2 pada proyeksi frontal segmen dan proyeksi dilakukan A1K1 Dan A2K2. Sebagai hasil dari konstruksi tersebut, proyeksi jarak diperoleh, tetapi baik pada posisi awal maupun pada posisi parsial baru dari segmen tersebut. matahari, segmen garis AK menempati posisi umum, dan ini mengarah pada fakta bahwa semua proyeksinya terdistorsi.

Pada putaran kedua segmen tersebut perlu diputar AK ke posisi tertentu, yang memungkinkan kita menentukan nilai sebenarnya dari jarak - proyeksi A2*K2**. Hasil dari semua konstruksi ditunjukkan pada Gambar 3.

TUGAS No.3-1. DENGAN ke garis lurus pada posisi tertentu yang ditentukan oleh suatu segmen AB. Berikan jawabannya dalam mm (Tabel 1).Lepaskan lensa proyeksi

Tabel 1

TUGAS No.3-2. Temukan jarak sebenarnya dari suatu titik M ke garis lurus pada posisi umum yang diberikan oleh segmen tersebut ED. Berikan jawabannya dalam mm (Meja 2).

Meja 2

Pengecekan dan passing menyelesaikan TUGAS No.3.

Artikel ini membahas tentang topik tersebut « jarak suatu titik ke suatu garis », Membahas tentang pengertian jarak suatu titik ke suatu garis disertai contoh ilustrasi dengan menggunakan metode koordinat. Setiap blok teori di bagian akhir telah menunjukkan contoh penyelesaian masalah serupa.

Jarak suatu titik ke suatu garis ditentukan dengan menentukan jarak suatu titik ke titik. Mari kita lihat lebih dekat.

Misalkan ada garis a dan titik M 1 yang tidak termasuk dalam garis tersebut. Melaluinya kita menggambar garis lurus b yang letaknya tegak lurus terhadap garis lurus a. Mari kita ambil titik potong garis tersebut sebagai H 1. Kita peroleh bahwa M 1 H 1 adalah garis tegak lurus yang diturunkan dari titik M 1 ke garis lurus a.

Definisi 1

Jarak titik M 1 ke garis lurus a disebut jarak antara titik M 1 dan H 1.

Ada definisi yang mencakup panjang tegak lurus.

Definisi 2

Jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik tertentu ke suatu garis tertentu.

Definisinya setara. Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui bahwa jarak suatu titik ke suatu garis adalah yang terkecil dari semua jarak yang mungkin. Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh.

Jika kita ambil suatu titik Q yang terletak pada garis lurus a yang tidak berimpit dengan titik M 1, maka diperoleh bahwa ruas M 1 Q disebut ruas miring yang diturunkan dari M 1 ke garis lurus a. Perlu ditunjukkan bahwa garis tegak lurus dari titik M 1 lebih kecil dari garis miring lainnya yang ditarik dari titik ke garis lurus.

Untuk membuktikannya, perhatikan segitiga M 1 Q 1 H 1, dengan M 1 Q 1 adalah sisi miringnya. Diketahui bahwa panjangnya selalu lebih besar dari panjang salah satu kakinya. Ini berarti kita memiliki M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Data awal untuk mencari titik ke garis memungkinkan menggunakan beberapa metode penyelesaian: melalui teorema Pythagoras, penentuan sinus, kosinus, tangen suatu sudut dan lain-lain. Sebagian besar tugas jenis ini diselesaikan di sekolah selama pelajaran geometri.

Apabila dalam mencari jarak suatu titik ke suatu garis dapat diperkenalkan sistem koordinat persegi panjang, maka digunakan metode koordinat. Dalam paragraf ini, kita akan membahas dua metode utama untuk menemukan jarak yang diperlukan dari suatu titik tertentu.

Metode pertama melibatkan pencarian jarak sebagai garis tegak lurus yang ditarik dari M 1 ke garis lurus a. Cara kedua menggunakan persamaan normal garis lurus a untuk mencari jarak yang dibutuhkan.

Jika ada suatu titik pada bidang dengan koordinat M 1 (x 1 , y 1), terletak pada sistem koordinat persegi panjang, garis lurus a, dan Anda perlu mencari jarak M 1 H 1, Anda dapat melakukan perhitungan dalam dua cara. Mari kita lihat mereka.

Cara pertama

Jika terdapat koordinat titik H 1 sama dengan x 2, y 2, maka jarak titik ke garis dihitung menggunakan koordinat rumus M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - kamu 1) 2.

Sekarang mari kita lanjutkan mencari koordinat titik H 1.

Diketahui garis lurus di O x y sama dengan persamaan garis lurus pada bidang. Mari kita ambil metode mendefinisikan garis lurus a dengan menuliskan persamaan umum garis lurus atau persamaan dengan koefisien sudut. Kita buat persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 tegak lurus terhadap garis lurus tertentu a. Mari kita nyatakan garis lurus dengan huruf b. H 1 adalah titik potong garis a dan b, artinya untuk menentukan koordinat perlu menggunakan artikel yang membahas tentang koordinat titik potong dua garis.

Terlihat bahwa algoritma untuk mencari jarak dari suatu titik M 1 (x 1, y 1) ke garis lurus a dilakukan berdasarkan titik-titik:

Definisi 3

• mencari persamaan umum garis lurus a yang berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, atau persamaan dengan koefisien sudut yang berbentuk y = k 1 x + b 1;
• diperoleh persamaan umum garis b berbentuk A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau persamaan dengan koefisien sudut y = k 2 x + b 2 jika garis b memotong titik M 1 dan tegak lurus garis tertentu a;
• penentuan koordinat x 2, y 2 dari titik H 1 yang merupakan titik potong a dan b, untuk itu sistem diselesaikan persamaan linear A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• menghitung jarak yang diperlukan dari suatu titik ke garis dengan menggunakan rumus M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Cara kedua

Teorema ini dapat membantu menjawab pertanyaan mencari jarak dari suatu titik tertentu ke garis lurus tertentu pada suatu bidang.

Dalil

Sistem koordinat persegi panjang memiliki O x y memiliki titik M 1 (x 1, y 1), yang darinya ditarik garis lurus ke bidang, yang diberikan oleh persamaan normal bidang, berbentuk cos α x + cos β y - p = 0, sama dengan Nilai absolut yang didapat pada ruas kiri persamaan garis normal, dihitung pada x = x 1, y = y 1, berarti M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · kamu 1 - hal.

Bukti

Garis a sesuai dengan persamaan normal bidang, berbentuk cos α x + cos β y - p = 0, maka n → = (cos α, cos β) dianggap sebagai vektor normal garis a pada jarak dari asal ke garis a dengan satuan p. Untuk menampilkan semua data pada gambar, tambahkan sebuah titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1), dimana vektor jari-jari titik M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Kita perlu menggambar garis lurus dari suatu titik ke garis lurus, yang kita nyatakan sebagai M 1 H 1 . Perlu ditunjukkan proyeksi M 2 dan H 2 dari titik M 1 dan H 2 pada garis lurus yang melalui titik O dengan vektor arah berbentuk n → = (cos α, cos β), dan menunjukkan proyeksi numerik vektor sebagai O M 1 → = (x 1, y 1) ke arah n → = (cos α , cos β) sebagai n p n → O M 1 → .

Variasinya tergantung lokasi titik M1 itu sendiri. Mari kita lihat gambar di bawah ini.

Kita perbaiki hasilnya menggunakan rumus M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Kemudian persamaan tersebut kita bawa ke bentuk ini M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p sehingga diperoleh n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Hasil kali skalar vektor menghasilkan rumus transformasi dalam bentuk n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , yang merupakan hasil kali dalam bentuk koordinat dari bentuk n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Artinya kita mendapatkan n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Maka M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorema tersebut telah terbukti.

Kami menemukan bahwa untuk mencari jarak dari titik M 1 (x 1 , y 1) ke garis lurus a pada bidang, Anda perlu melakukan beberapa tindakan:

Definisi 4

• memperoleh persamaan normal garis lurus a cos α · x + cos β · y - p = 0, asalkan tidak ada dalam tugas;
• perhitungan ekspresi cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, dimana nilai yang dihasilkan mengambil M 1 H 1.

Mari kita terapkan metode ini untuk menyelesaikan masalah mencari jarak dari suatu titik ke bidang.

Contoh 1

Tentukan jarak titik koordinat M 1 (- 1, 2) ke garis lurus 4 x - 3 y + 35 = 0.

Larutan

Mari gunakan metode pertama untuk menyelesaikannya.

Untuk melakukannya, perlu dicari persamaan umum garis b yang melalui suatu titik tertentu M 1 (- 1, 2), tegak lurus terhadap garis 4 x - 3 y + 35 = 0. Dari kondisi tersebut jelas bahwa garis b tegak lurus terhadap garis a, maka vektor arahnya mempunyai koordinat sama dengan (4, - 3). Dengan demikian, kita mempunyai kesempatan untuk menuliskan persamaan kanonik garis b pada bidang, karena terdapat koordinat titik M 1 yang termasuk dalam garis b. Mari kita tentukan koordinat vektor pengarah garis lurus b. Kita peroleh x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Persamaan kanonik yang dihasilkan harus diubah menjadi persamaan umum. Lalu kita mendapatkannya

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Mari kita cari koordinat titik potong garis-garis tersebut, yang akan kita ambil sebagai sebutan H 1. Transformasinya terlihat seperti ini:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Dari uraian di atas diketahui bahwa koordinat titik H 1 sama dengan (- 5; 5).

Perlu dihitung jarak dari titik M 1 ke garis lurus a. Kita punya koordinat titik M 1 (- 1, 2) dan H 1 (- 5, 5), lalu kita substitusikan ke dalam rumus untuk mencari jarak dan didapat

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Solusi kedua.

Untuk menyelesaikannya dengan cara lain, perlu diperoleh persamaan garis normal. Kita menghitung nilai faktor normalisasi dan mengalikan kedua ruas persamaan 4 x - 3 y + 35 = 0. Dari sini kita peroleh bahwa faktor normalisasinya adalah - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, dan persamaan normalnya berbentuk - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Menurut algoritma perhitungan, perlu diperoleh persamaan garis normal dan menghitungnya dengan nilai x = - 1, y = 2. Lalu kita mendapatkannya

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Dari sini kita peroleh bahwa jarak titik M 1 (- 1, 2) ke garis lurus tertentu 4 x - 3 y + 35 = 0 bernilai - 5 = 5.

Menjawab: 5 .

Jelas bahwa di metode ini Penting untuk menggunakan persamaan garis normal, karena metode ini adalah yang terpendek. Namun cara pertama lebih mudah karena konsisten dan logis, meskipun memiliki poin perhitungan yang lebih banyak.

Contoh 2

Pada bidang tersebut terdapat sistem koordinat persegi panjang O x y dengan titik M 1 (8, 0) dan garis lurus y = 1 2 x + 1. Temukan jarak dari suatu titik tertentu ke garis lurus.

Larutan

Solusi pertama melibatkan casting persamaan yang diberikan dengan kemiringan persamaan pandangan umum. Untuk menyederhanakannya, Anda dapat melakukannya secara berbeda.

Jika hasil kali koefisien sudut garis-garis tegak lurus bernilai - 1, maka koefisien sudut suatu garis yang tegak lurus suatu garis y = 1 2 x + 1 bernilai 2. Sekarang kita peroleh persamaan garis yang melalui suatu titik dengan koordinat M 1 (8, 0). Diketahui y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Kita lanjutkan mencari koordinat titik H 1 yaitu titik potong y = - 2 x + 16 dan y = 1 2 x + 1. Kami membuat sistem persamaan dan mendapatkan:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Jadi jarak titik berkoordinat M 1 (8, 0) ke garis lurus y = 1 2 x + 1 sama dengan jarak titik awal dan titik akhir dengan koordinat M 1 (8, 0) dan H 1 (6, 4) . Mari kita hitung dan temukan bahwa M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Penyelesaian cara kedua adalah dengan berpindah dari persamaan yang mempunyai koefisien ke bentuk normalnya. Artinya, kita peroleh y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, maka nilai faktor normalisasinya adalah - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Maka persamaan garis normalnya berbentuk - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Mari kita lakukan perhitungan dari titik M 1 8, 0 ke garis berbentuk - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Kita mendapatkan:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Menjawab: 2 5 .

Contoh 3

Perlu dihitung jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 2, 4) ke garis 2 x - 3 = 0 dan y + 1 = 0.

Larutan

Kita peroleh persamaan bentuk normal garis lurus 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Kemudian kita lanjutkan menghitung jarak dari titik M 1 - 2, 4 ke garis lurus x - 3 2 = 0. Kita mendapatkan:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Persamaan garis lurus y + 1 = 0 mempunyai faktor normalisasi dengan nilai sama dengan -1. Artinya persamaannya akan berbentuk - y - 1 = 0. Kita lanjutkan menghitung jarak dari titik M 1 (- 2, 4) ke garis lurus - y - 1 = 0. Kami menemukan bahwa itu sama dengan - 4 - 1 = 5.

Menjawab: 3 1 2 dan 5.

Mari kita lihat lebih dekat cara mencari jarak dari suatu titik tertentu pada bidang ke sumbu koordinat O x dan O y.

Pada sistem koordinat persegi panjang, sumbu O y mempunyai persamaan garis lurus tidak lengkap berbentuk x = 0, dan O x - y = 0. Persamaan normal untuk sumbu koordinat, maka perlu dicari jarak dari titik dengan koordinat M 1 x 1, y 1 ke garis. Hal ini dilakukan berdasarkan rumus M 1 H 1 = x 1 dan M 1 H 1 = y 1. Mari kita lihat gambar di bawah ini.

Contoh 4

Hitunglah jarak dari titik M 1 (6, - 7) ke garis koordinat yang terletak pada bidang O x y.

Larutan

Karena persamaan y = 0 mengacu pada garis lurus O x, Anda dapat mencari jarak dari M 1 dengan koordinat tertentu ke garis lurus tersebut menggunakan rumus. Kami mendapatkan bahwa 6 = 6.

Karena persamaan x = 0 mengacu pada garis lurus O y, maka jarak dari M 1 ke garis lurus tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus. Maka kita mendapatkan bahwa - 7 = 7.

Menjawab: jarak M 1 ke O x bernilai 6, dan dari M 1 ke O y bernilai 7.

Apabila dalam ruang tiga dimensi kita mempunyai suatu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1), maka perlu dicari jarak dari titik A ke garis lurus a.

Mari kita pertimbangkan dua metode yang memungkinkan Anda menghitung jarak dari suatu titik ke garis lurus a yang terletak di ruang angkasa. Kasus pertama memperhatikan jarak dari titik M 1 ke suatu garis, dimana suatu titik pada garis tersebut disebut H 1 dan merupakan alas garis tegak lurus yang ditarik dari titik M 1 ke garis a. Kasus kedua menunjukkan bahwa titik-titik pada bidang ini harus dicari sebagai tinggi jajar genjang.

Cara pertama

Dari definisi tersebut kita peroleh bahwa jarak dari titik M 1 yang terletak pada garis lurus a adalah panjang garis tegak lurus M 1 H 1, maka kita peroleh bahwa dengan ditemukannya koordinat titik H 1, maka kita cari jarak antara M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) dan H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , berdasarkan rumus M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Kami menemukan bahwa seluruh solusi mengarah pada pencarian koordinat alas garis tegak lurus yang ditarik dari M 1 ke garis lurus a. Caranya sebagai berikut: H 1 adalah titik perpotongan garis lurus a dengan bidang yang melalui titik tersebut.

Artinya algoritma penentuan jarak dari titik M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garis a dalam ruang menyiratkan beberapa titik:

Definisi 5

• menyusun persamaan bidang sebagai persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang terletak tegak lurus terhadap garis;
• penentuan koordinat (x 2, y 2, z 2) milik titik H 1 yang merupakan titik potong garis lurus a dan bidang χ;
• menghitung jarak titik ke garis dengan rumus M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Cara kedua

Dari kondisi kita mempunyai garis lurus a, maka kita dapat menentukan vektor arah a → = a x, a y, a z dengan koordinat x 3, y 3, z 3 dan suatu titik M 3 yang termasuk dalam garis lurus a. Jika Anda memiliki koordinat titik M 1 (x 1, y 1) dan M 3 x 3, y 3, z 3, Anda dapat menghitung M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Kita sisihkan vektor a → = a x , a y , a z dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 dari titik M 3 , hubungkan dan dapatkan bangun jajar genjang . M 1 H 1 adalah tinggi jajar genjang.

Mari kita lihat gambar di bawah ini.

Kita punya tinggi M 1 H 1 adalah jarak yang dibutuhkan, maka perlu dicari menggunakan rumus. Artinya, kita mencari M 1 H 1.

Mari kita nyatakan luas jajar genjang dengan huruf S, dicari dengan rumus menggunakan vektor a → = (ax, a y, a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3. kamu 1 - kamu 3, z 1 - z 3. Rumus luasnya adalah S = a → × M 3 M 1 → . Selain itu, luas bangun tersebut sama dengan hasil kali panjang sisi dan tingginya, kita peroleh bahwa S = a → · M 1 H 1 dengan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, yang mana adalah panjang vektor a → = (a x, a y, a z), menjadi sisi yang sama genjang. Artinya M 1 H 1 adalah jarak titik ke garis. Ditemukan dengan rumus M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Untuk mencari jarak dari suatu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garis lurus a dalam ruang, Anda perlu melakukan beberapa langkah algoritma:

Definisi 6

• penentuan vektor arah garis lurus a - a → = (ax, a y, a z);
• menghitung panjang vektor arah a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• diperoleh koordinat x 3 , y 3 , z 3 milik titik M 3 yang terletak pada garis lurus a;
• menghitung koordinat vektor M 3 M 1 → ;
• temuan produk vektor vektor a → (ax , a y , a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 sebagai a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 untuk mencari panjangnya menggunakan rumus a → × M 3 M 1 → ;
• menghitung jarak titik ke garis M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Memecahkan masalah mencari jarak dari suatu titik tertentu ke garis tertentu dalam ruang

Contoh 5

Hitunglah jarak titik yang koordinatnya M 1 2, - 4, - 1 ke garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Larutan

Cara pertama dimulai dengan menulis persamaan bidang χ yang melalui M 1 dan tegak lurus suatu titik tertentu. Kami mendapatkan ekspresi seperti:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Perlu dicari koordinat titik H 1 yang merupakan titik potong bidang χ terhadap garis yang ditentukan oleh kondisi. Anda harus beralih dari pandangan kanonik ke pandangan yang berpotongan. Kemudian kita memperoleh sistem persamaan berbentuk:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Perlu dihitung sistemnya x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 dengan metode Cramer, maka diperoleh:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Dari sini kita mendapatkan H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Cara kedua harus dimulai dengan mencari koordinat pada persamaan kanonik. Untuk melakukan ini, Anda perlu memperhatikan penyebut pecahan. Maka a → = 2, - 1, 5 adalah vektor arah garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Panjangnya perlu dihitung dengan menggunakan rumus a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jelas bahwa garis lurus x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 memotong titik M 3 (- 1 , 0 , - 5), sehingga diperoleh vektor yang mempunyai titik asal M 3 (- 1 , 0 , - 5) dan ujungnya di titik M 1 2, - 4, - 1 adalah M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Tentukan hasil kali vektor a → = (2, - 1, 5) dan M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Kita memperoleh ekspresi dalam bentuk a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · saya → + 7 · j → - 5 · k →

kita mengetahui bahwa panjang hasil kali vektor sama dengan a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Kita mempunyai semua data untuk menggunakan rumus menghitung jarak suatu titik pada garis lurus, jadi mari kita terapkan dan dapatkan:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Menjawab: 11 .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Perkenalan

Dalam tugas kuliah ini, saya membahas topik “jarak dari suatu titik ke garis”: diberikan definisi jarak dari suatu titik ke suatu garis, dan diberikan ilustrasi grafis. Dibahas mencari jarak suatu titik ke garis pada bidang dan ruang dengan menggunakan metode koordinat. Setelah setiap blok teori, solusi rinci contoh dan masalah untuk mencari jarak dari suatu titik ke garis ditampilkan.

Jarak dari suatu titik ke garis - definisi

Misalkan suatu garis a dan titik M 1 yang tidak terletak pada garis a diberikan pada suatu bidang atau ruang tiga dimensi. Mari kita tarik garis b melalui titik M 1 tegak lurus garis a. Mari kita nyatakan titik potong garis a dan b sebagai H 1 . Ruas M 1 H 1 disebut garis tegak lurus yang ditarik dari titik M 1 ke garis a.

Definisi.

Jarak titik M 1 ke garis lurus a adalah jarak antara titik M 1 dan H 1.

Namun, definisi paling umum tentang jarak suatu titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus.

Definisi.

Jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke suatu garis tertentu.

Definisi ini setara dengan definisi pertama tentang jarak suatu titik ke garis.

Gambar 1

Perlu diketahui bahwa jarak suatu titik ke suatu garis adalah jarak terkecil dari titik tersebut ke titik-titik pada suatu garis tertentu. Mari kita tunjukkan.

Mari kita ambil sebuah titik Q pada garis a yang tidak berimpit dengan titik M 1 . Ruas M 1 Q disebut ruas miring yang ditarik dari titik M 1 ke garis lurus a. Kita perlu menunjukkan bahwa garis tegak lurus yang ditarik dari titik M 1 ke garis a lebih kecil daripada garis miring yang ditarik dari titik M 1 ke garis lurus a. Ini benar: segitiga M 1 QH 1 siku-siku dengan sisi miring M 1 Q, dan oleh karena itu, panjang sisi miring selalu lebih besar dari panjang salah satu kakinya.