Kuliah tentang aljabar dan geometri. Semester 1.
Kuliah 2. Bidang bilangan kompleks.
Bab 2. Bidang bilangan kompleks.
ayat 1. Konstruksi bidang bilangan kompleks.
Misalkan adalah kuadrat Cartesian dari bidang bilangan real, mis. 
– himpunan pasangan bilangan real terurut. Mari kita definisikan dua operasi aljabar biner internal pada himpunan ini – penjumlahan dan perkalian menurut aturan berikut: 
mari kita definisikan
(1)
(2)
.
Jelasnya, jumlah dan hasil kali dua pasang 
sekali lagi ada beberapa banyak 
, Karena jumlah, hasil kali, dan selisih bilangan real adalah bilangan real. Dengan demikian, 
– struktur aljabar dengan dua operasi aljabar biner internal.
Dalil. 
- bidang.
Bukti. Kami secara berurutan memeriksa pemenuhan kesembilan aksioma di lapangan.
1. Hukum asosiatif mengenai penjumlahan:
.
Membiarkan . Kemudian menurut pengertian penjumlahan berpasangan 
Dan .
Di sisi lain, 
Dan .
Karena R adalah suatu medan, penjumlahan bilangan real mematuhi hukum asosiatif dan oleh karena itu . Ini menyiratkan persamaan pasangan, dan dari sini, pada gilirannya, persamaan, dll.
2. Keberadaan elemen nol:
.
Mari kita tunjukkan 
, di mana 0 adalah elemen nol dari bidang bilangan real, mis. angka nol. Membiarkan 
– sepasang sewenang-wenang 
. Kemudian, menurut definisi penjumlahan pasangan dan . Karena itu, 
dan beberapa 
ada unsur nol pada operasi penjumlahan, yang keberadaannya perlu dibuktikan.
3. Keberadaan unsur lawan:
.
Membiarkan 
– sepasang sewenang-wenang 
.
Mari kita tunjukkan bahwa elemen lawannya adalah pasangan
. Memang, menurut definisi
menambahkan pasangan yang kita miliki:
DAN . Ini menyiratkan kesetaraan, dll.
4. Hukum komutatifitas terhadap penjumlahan:
.
Membiarkan 
– dua pasangan sewenang-wenang. Kemudian, berdasarkan definisi penjumlahan pasangan, kita peroleh:
DAN . Karena R adalah suatu medan, hukum penjumlahan komutatif dan 
,
, yang menyiratkan persamaan pasangan: dan 
, dll.
5. Hukum asosiatif mengenai perkalian:
.
Membiarkan . Kemudian menurut definisi perkalian berpasangan
,
Dan
Hasilnya adalah pasangan yang setara. Karena itu, 
, dll.
6. Keberadaan satu elemen:
.
Mari kita definisikan 
dan tunjukkan itu 
– elemen satuan relatif terhadap perkalian. Membiarkan 
. Kemudian, menurut definisi perkalian pasangan, . Dengan demikian, 
, dll.
7. Keberadaan elemen invers:
.
Membiarkan 
Dan 
, yaitu bilangan a dan b tidak sama dengan nol sekaligus, artinya 
. Mari kita definisikan 
dan tunjukkan bahwa elemen ini memenuhi kesetaraan 
. Memang menurut definisi perkalian berpasangan 
,
Jadi, kami memeriksa kesetaraannya 
, dll.
8. Hukum komutatifitas perkalian:
.
Membiarkan 
– dua pasangan sewenang-wenang. Kemudian menurut definisi perkalian berpasangan
Karena R adalah suatu medan, perkalian dan penjumlahan bilangan real mematuhi hukum komutatifitas dan
,
, yang menyiratkan kesetaraan 
, dll.
9. Hukum distributifitas perkalian terhadap penjumlahan:
Dan 
.
Membiarkan . Kemudian menurut pengertian penjumlahan dan perkalian berpasangan
,
Di sini kami menggunakan hukum distributifitas perkalian terhadap penjumlahan, yang dipatuhi oleh bilangan real. Juga,
,
Dan
Dari sini kita melihatnya 
.
Untuk membuktikan hukum kedua distributifitas, kita akan menggunakan hukum distributifitas dan hukum komutatifitas terhadap perkalian yang telah terbukti, yang juga telah kita buktikan:
Teorema tersebut telah terbukti.
Definisi. Bidang 
disebut bidang bilangan kompleks, dan elemen-elemennya - pasangan bilangan real terurut - disebut bilangan kompleks.
ayat 2. Bentuk aljabar penulisan bilangan kompleks.
Mari kita nyatakan dengan 
– bagian dari bidang 
, terdiri dari pasangan bilangan real yang elemen keduanya nol. Membiarkan 
. Kemudian sesuai aturan penjumlahan dan perkalian berpasangan 
,
. Hal ini memberi kita kesempatan untuk mengidentifikasi pasangan tersebut dengan elemen pertamanya, dan himpunan itu sendiri 
dengan himpunan R.
Mari kita definisikan 
. Oleh karena itu, khususnya, 
,
.
Untuk pasangan 
Mari kita perkenalkan notasi khusus. Mari kita definisikan 
. Kemudian 
(3)
.
Bentuk penulisan bilangan kompleks disebut aljabar.
Bidang bilangan kompleks sendiri dilambangkan dengan huruf C.
.
Mari kita perhatikan lebih lanjut hal itu. Artinya bilangan kompleks 
adalah akar persamaan kuadrat 
. Sangat mudah untuk melihat bahwa akar kedua persamaan ini adalah bilangan kompleks 
. Benar-benar, .
Dengan demikian, kita dapat memberikan definisi bilangan kompleks sebagai berikut.
Definisi. Bilangan kompleks adalah pasangan bilangan real yang terurut 
, yang biasanya ditulis dalam bentuk 
, dimana elemen i adalah akar persamaan kuadrat 
, yaitu 
.
Definisi. Membiarkan 
– bentuk aljabar penulisan bilangan kompleks. Elemen i disebut unit imajiner. Bilangan real a disebut bagian real dari bilangan kompleks z dan dinotasikan dengan 
. Bilangan real b disebut bagian imajiner dari bilangan kompleks z dan dilambangkan dengan 
.
Definisi. Bilangan kompleks yang bagian riilnya nol disebut bilangan imajiner murni.
Dari pengertian bentuk aljabar penulisan bilangan kompleks (lihat persamaan (3)), syarat persamaan dua bilangan kompleks berikut ini:
Dua bilangan kompleks adalah sama jika dan hanya jika bagian riil dan bagian imajinernya sama, yaitu.
.
Di sini & adalah tanda konjungsi, penghubung logis “dan”.
Komentar. Dari definisi tersebut berikut ini 
, yaitu bilangan real apa pun adalah bilangan kompleks yang bagian imajinernya nol. Bilangan kompleks apa pun dapat dianggap sebagai hasil penjumlahan dua bilangan kompleks, salah satunya adalah bilangan real (bagian imajinernya nol), yang lainnya adalah bilangan imajiner murni:
ayat 3. Operasi bilangan kompleks dalam notasi aljabar.
Dari pengertian penjumlahan pasangan (1) dan bentuk penulisan aljabar bilangan kompleks (3), berikut aturan penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks dalam bentuk penulisan aljabar. Membiarkan 
,
– bilangan kompleks sembarang. Kemudian
Perhatikan bahwa hasil yang sama dapat diperoleh dengan menggunakan teorema yang telah terbukti. Himpunan bilangan kompleks membentuk suatu bidang. Hukum asosiatif, komutatifitas, dan distributifitas berlaku di lapangan. Kami menganggap setiap bilangan kompleks seperti pada keterangan di akhir paragraf 2. – sebagai hasil penjumlahan dua bilangan kompleks. Kemudian
Di sini kami menggunakan kesetaraan 
.
Dengan demikian, tidak perlu mengingat aturan penjumlahan (4) dan khususnya perkalian (5). Lebih lanjut, jelas bahwa 
– elemen nol, – berlawanan.
Kami mendefinisikan operasi pengurangan sebagai penjumlahan dengan kebalikannya:
Contoh. 1)., 
,
,
2). Selesaikan persamaan di bidang bilangan kompleks:
.
Larutan. Menemukan yang diskriminan 
. Dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, kita mencari akar-akarnya:
. Menjawab: 
.
Komentar. Di sini kami menggunakan kesetaraan 
, Di mana 
.
Mari kita definisikan operasi pembagian di sembarang bidang K sebagai perkalian dengan elemen inversnya: 
mari kita definisikan 
Dan 
.
Sangat mudah untuk memeriksanya 
,
Benar-benar,
Namun tidak perlu menghafal rumus (6). Lebih baik menggunakan satu aturan sederhana. Namun untuk melakukan ini, pertama-tama mari kita perkenalkan satu konsep.
Definisi. Bilangan kompleks 
disebut konjugat kompleks dari suatu bilangan kompleks 
.
Dari definisi tersebut langsung disimpulkan bahwa bilangan 
adalah konjugat kompleks suatu bilangan 
, yaitu bilangan-bilangan yang berbeda satu sama lain hanya dengan tanda bagian imajinernya merupakan konjugat kompleks satu sama lain.
Contoh: 
Dan 
, saya dan saya, 
dan seterusnya.
Aturan pembagian bilangan kompleks.
Untuk membagi suatu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lainnya, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan konjugat kompleks penyebutnya.
.
Contoh. ,
,
,
.
Komentar. Jika 
, maka bilangan konjugasi kompleksnya dilambangkan 
.
ayat 4. Sifat-sifat bilangan konjugasi kompleks.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
.
7.
.
8.
9. Untuk polinomial apa pun 
dengan koefisien nyata dari variabel kompleks z
.
Bukti. 1) Biarkan 
– bilangan kompleks sembarang. Kemudian menurut definisi bilangan konjugasi kompleks 
dan sebagainya.
2) Biarkan . Kemudian 
. Di sisi lain, 
Dan 
, dari situlah berikut ini 
.
3) Mari kita buktikan dengan menggunakan metode induksi matematika bahwa persamaan tersebut benar untuk sejumlah suku n.
a) Basis induksi.
Pada 
,
persamaan 
baru saja terbukti.
b) Hipotesis induksi.
Misalkan pernyataan tersebut benar jika jumlah sukunya sama dengan 
:.
c) Transisi induksi.
Karena pernyataan tersebut benar untuk dua suku, maka
Di sinilah kesetaraan dibuktikan.
4) Biarkan. Kemudian 
. Di sisi lain, berikut ini 
.
5) Hal serupa dibuktikan dengan poin 3) dengan metode induksi matematika.
6) Biarkan 
dan k – sewenang-wenang bilangan asli. Kemudian, menurut definisi pangkat alami suatu bilangan 
, dll.
7) Misalkan a adalah bilangan real. Kemudian 
dan menurut definisi bilangan konjugasi kompleks 
, dll.
8) Biarkan 
. Sesuai dengan sifat-sifat yang telah dibuktikan pada ayat 4) dan 7) 
, dll.
9) Misalkan z adalah variabel kompleks dan 
adalah polinomial dalam variabel kompleks z dengan koefisien nyata :, di mana
– bilangan real. Kemudian, dengan menggunakan properti yang telah terbukti, kita memperoleh:
Teorema tersebut telah terbukti.
Contoh. Menghitung 
.
Larutan. Mari kita tunjukkan 
. Kemudian 
,
,
. Dari sini, .
ayat 5. Konsep akar derajat alami suatu bilangan kompleks.
Definisi. Membiarkan 
– bilangan asli sembarang. Akar gelar ke-n dari bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks 
, seperti yang 
.
Nanti teorema berikut akan dibuktikan, yang untuk saat ini kita terima tanpa pembuktian.
Dalil. (Tentang keberadaan dan jumlah akar ke-n suatu bilangan kompleks.)
Terdapat tepat n akar ke-n suatu bilangan kompleks.
Untuk menyatakan akar ke-n suatu bilangan kompleks, tanda radikal biasa digunakan. Namun ada satu perbedaan signifikan. Jika a adalah bilangan real positif, maka 
menurut definisi menunjukkan akar positif derajat ke-n, itu disebut akar aritmatika.
Jika n bilangan ganjil, maka terdapat akar ke-n unik dari sembarang bilangan real a. Pada 
akar tunggal ini 
menurut definisi adalah aritmatika, dengan 
akar tunggal ini 
tidak bersifat aritmatika, tetapi dapat dinyatakan dalam akar aritmatika dari bilangan yang berlawanan: 
, Di mana 
adalah aritmatika, karena 
.
Aksioma lapangan. Bidang bilangan kompleks. Notasi trigonometri untuk bilangan kompleks.
Bilangan kompleks adalah bilangan yang bentuknya , dimana dan merupakan bilangan real, yang disebut satuan imajiner. Nomor tersebut dipanggil bagian nyata ( ) bilangan kompleks, bilangan tersebut disebut bagian imajiner ( ) bilangan kompleks.
Sekelompok sama bilangan kompleks biasanya dilambangkan dengan huruf “tebal” atau menebal
Bilangan kompleks dilambangkan dengan bidang kompleks :
Bidang kompleks terdiri dari dua sumbu:
– sumbu nyata (x)
– sumbu imajiner (y)
Himpunan bilangan real merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks
Tindakan dengan bilangan kompleks
Untuk menjumlahkan dua bilangan kompleks, Anda perlu menjumlahkan bagian real dan imajinernya.
Pengurangan Bilangan Kompleks
Cara kerjanya mirip penjumlahan, yang membedakan hanyalah pengurangnya harus di dalam tanda kurung, kemudian tanda kurung harus dibuka dengan cara standar, dengan mengubah tandanya.
Mengalikan bilangan kompleks
buka tanda kurung sesuai aturan perkalian polinomial
Pembagian bilangan kompleks
Pembagian angka dilakukan dengan mengalikan penyebut dan pembilangnya dengan ekspresi konjugasi penyebutnya.
Bilangan kompleks mempunyai banyak sifat yang melekat pada bilangan real, yang kita perhatikan berikut ini, yang disebut utama.
1) (A + B) + C = A + (B + C) (asosiatif penjumlahan);
2) A + B = B + A (komutatifitas penjumlahan);
3) A + 0 = 0 + A = A (adanya unsur netral dengan penambahan);
4) A + (−A) = (−A) + A = 0 (keberadaan elemen yang berlawanan);
5) A(B + C) = ab + ac ();
6) (A + B)C = ac + SM (distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan);
7) (ab)C = A(SM) (asosiatif perkalian);
8) ab = ba (komutatifitas perkalian);
9) A∙1 = 1∙A = A (adanya unsur netral pada perkalian);
10) untuk siapa pun A≠ 0 hal seperti itu ada B, Apa ab = ba = 1 (keberadaan elemen invers);
11) 0 ≠ 1 (tanpa nama).
Himpunan objek yang bersifat arbitrer di mana operasi penjumlahan dan perkalian ditentukan, yang memiliki 11 sifat yang ditunjukkan (yang dalam hal ini adalah aksioma), disebut bidang.
Bidang bilangan kompleks dapat dipahami sebagai perpanjangan bidang bilangan real yang polinomialnya mempunyai akar
Bilangan kompleks apa pun (kecuali nol) dapat ditulis dalam bentuk trigonometri: 
, dimana itu modulus bilangan kompleks, A - argumen bilangan kompleks.
Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari titik asal ke titik yang bersesuaian pada bidang kompleks. Sederhananya, modul adalah panjangnya vektor radius, yang ditunjukkan dengan warna merah pada gambar.
Modulus bilangan kompleks biasanya dilambangkan dengan: atau
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, mudah untuk menurunkan rumus untuk mencari modulus bilangan kompleks: . Rumus ini benar untuk apa pun artinya "a" dan "menjadi".
Argumen bilangan kompleks ditelepon sudut antara semi-sumbu positif sumbu nyata dan vektor jari-jari yang ditarik dari titik asal ke titik yang bersesuaian. Argumennya tidak didefinisikan untuk bentuk tunggal: .
Argumen bilangan kompleks secara standar dilambangkan: atau
Misalkan φ = arg z. Kemudian, berdasarkan definisi argumennya, kita mempunyai:
Lingkaran matriks di atas bidang bilangan real. Operasi dasar pada matriks. Properti operasi.
Matriks ukuran m´n, dimana m adalah banyaknya baris, n adalah banyaknya kolom, disebut tabel bilangan yang disusun menurut urutan tertentu. Angka-angka ini disebut elemen matriks. Letak setiap elemen ditentukan secara unik oleh jumlah baris dan kolom pada perpotongan elemen tersebut. Unsur-unsur matriks dilambangkan dengan ij, dimana i adalah nomor baris dan j adalah nomor kolom.
Definisi. Jika jumlah kolom matriks sama dengan jumlah baris (m=n), maka matriks tersebut disebut persegi.
Definisi. Lihat matriks:
= E,
ditelepon matriks identitas.
Definisi. Jika amn = a nm, maka matriks tersebut dipanggil simetris.
Contoh. 
- matriks simetris
Definisi.
Bentuk matriks persegi 
ditelepon diagonal matriks.
Mengalikan matriks dengan angka
Mengalikan matriks dengan angka(sebutan: ) terdiri dari pembuatan suatu matriks yang unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan setiap unsur matriks dengan bilangan tersebut, yaitu setiap unsur matriks sama dengan
Sifat-sifat perkalian matriks dengan suatu bilangan:
· sebelas A = A;
· 2. (λβ)A = λ(βA)
· 3. (λ+β)A = λA + βA
· 4. λ(A+B) = λA + λB
Penambahan matriks
Penambahan matriks adalah operasi mencari matriks yang semua elemennya sama dengan jumlah berpasangan semua elemen matriks yang bersesuaian dan, yaitu, setiap elemen matriks sama
Sifat-sifat penjumlahan matriks:
· 1.komutatifitas: A+B = B+A;
· 2. asosiasi: (A+B)+C =A+(B+C);
· 3.penjumlahan dengan matriks nol: SEBUAH + Θ = SEBUAH;
· 4.adanya matriks yang berlawanan: SEBUAH + (-SEBUAH) = Θ;
Semua properti operasi linier mengulangi aksioma ruang linier dan oleh karena itu teorema tersebut valid:
Himpunan semua matriks yang berukuran sama M X N dengan unsur-unsur dari lapangan P(bidang semua bilangan real atau kompleks) membentuk ruang linier di atas bidang P (setiap matriks tersebut merupakan vektor dari ruang tersebut). Namun, pertama-tama, untuk menghindari kebingungan terminologis, matriks dalam konteks biasa dihindari tanpa perlu (yang tidak terdapat dalam aplikasi standar yang paling umum) dan klarifikasi yang jelas tentang penggunaan istilah yang disebut vektor.
Perkalian matriks
Perkalian matriks(notasi: , lebih jarang dengan tanda perkalian) - adalah operasi penghitungan matriks, yang setiap elemennya sama dengan jumlah produk elemen-elemen pada baris yang sesuai dari faktor pertama dan kolom kedua.
Jumlah kolom pada matriks harus sesuai dengan jumlah baris pada matriks, dengan kata lain matriks harus sama disepakati dengan matriks. Jika matriks tersebut berdimensi , - , maka dimensi hasil kali matriks tersebut adalah .
Sifat-sifat perkalian matriks:
· 1.asosiatif (AB)C = A(BC);
· 2.non-komutatifitas (dalam kasus umum): ABBA;
· 3. hasil kali bersifat komutatif jika terjadi perkalian dengan matriks identitas: AI = IA;
· 4.distribusi: (A+B)C = AC + BC, SEBUAH(B+C) = AB + AC;
· 5.asosiatif dan komutatifitas terhadap perkalian suatu bilangan: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
Transpos Matriks.
Menemukan matriks invers.
Suatu matriks persegi dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut non-singular, yaitu determinannya tidak sama dengan nol. Untuk matriks bukan persegi dan matriks singular tidak terdapat matriks invers.
Teorema pangkat matriks
Pangkat matriks A merupakan orde maksimum dari minor yang bukan nol
Minor yang menentukan rank suatu matriks disebut Basis minor. Baris dan kolom yang membentuk BM disebut baris dan kolom dasar.
Sebutan: r(A), R(A), Rang A.
Komentar. Jelasnya, pangkat suatu matriks tidak boleh melebihi dimensi terkecilnya.
Untuk matriks apa pun, pangkat minor, baris, dan kolomnya adalah sama.
Bukti. Misalkan pangkat minor dari matriks tersebut A sama R . Mari kita tunjukkan bahwa peringkat barisnya juga sama dengan R . Untuk melakukan ini, kita dapat mengasumsikan bahwa minor yang dapat dibalik M memesan R ada di bagian pertama R baris matriks A . Berikut ini adalah yang pertama R baris matriks A bebas linier dan himpunan baris minor M independen linier. Membiarkan A -- panjang tali R , terdiri dari elemen Saya baris matriks yang terletak pada kolom yang sama dengan kolom minor M . Karena garisnya kecil M membentuk basis di k r , Itu A -- kombinasi linier dari string minor M . Kurangi dari Saya -baris ke-th A kombinasi linear yang sama dengan yang pertama R baris matriks A . Jika Anda mendapatkan string yang berisi elemen bukan nol di nomor kolom T , lalu anggap kecil M 1 memesan R+1 matriks A dengan menjumlahkan baris ke-matriks ke baris-baris minornya A dan ke kolom kolom ke minor matriks A (mereka bilang itu kecil M 1 diterima berbatasan dengan anak di bawah umur M dengan menggunakan Saya -baris ke-dan T kolom matriks ke-th A ). Berdasarkan pilihan kita T , minor ini dapat dibalik (cukup dengan mengurangi dari baris terakhir minor ini kombinasi linier dari kombinasi linier pertama yang dipilih di atas R baris, lalu perluas determinannya di sepanjang baris terakhir untuk memastikan bahwa determinan ini bertepatan dengan determinan minor, hingga faktor skalar bukan nol M . A-priori R situasi seperti itu tidak mungkin terjadi dan, oleh karena itu, setelah transformasi Saya -baris ke-th A akan menjadi nol. Dengan kata lain, yang asli Saya Garis -th adalah kombinasi linier dari yang pertama R baris matriks A . Kami menunjukkan itu yang pertama R baris membentuk dasar dari sekumpulan baris matriks A , yaitu peringkat string A sama R . Untuk membuktikan bahwa peringkat kolomnya adalah R , cukup menukar “baris” dan “kolom” pada alasan di atas. Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema ini menunjukkan bahwa tidak ada gunanya membedakan ketiga pangkat suatu matriks, dan berikut ini, pangkat suatu matriks akan kita pahami sebagai pangkat baris, mengingat pangkat tersebut sama dengan pangkat kolom dan pangkat minor (notasi R(A) -- peringkat matriks A ). Perhatikan juga bahwa dari pembuktian teorema pangkat dapat disimpulkan bahwa pangkat suatu matriks bertepatan dengan dimensi sembarang minor yang dapat dibalik dari matriks tersebut sehingga semua minor yang berbatasan dengannya (jika ada) mengalami degenerasi.
Teorema Kronecker-Capelli
Sistem linier persamaan aljabar Konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks utamanya sama dengan pangkat matriks perluasannya, dan sistem mempunyai satu-satunya keputusan, jika pangkatnya sama dengan jumlah yang tidak diketahui, dan himpunan solusi tak terhingga jika pangkatnya lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui.
Kebutuhan
Biarkan sistemnya kooperatif. Lalu ada angka seperti itu. Oleh karena itu, kolom merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom matriks. Dari kenyataan bahwa pangkat suatu matriks tidak akan berubah jika suatu baris (kolom) dihapus atau ditambahkan dari sistem baris (kolomnya), yang merupakan kombinasi linier dari baris (kolom) yang lain, maka .
Kecukupan
Membiarkan . Mari kita ambil beberapa minor dasar dalam matriks. Karena itu juga akan menjadi basis minor dari matriks tersebut. Kemudian, menurut teorema basis minor, kolom terakhir matriks tersebut merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom basis, yaitu kolom-kolom matriks. Oleh karena itu, kolom suku bebas sistem merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom matriks.
Konsekuensi
· Banyaknya variabel utama sistem sama dengan rank sistem.
· Sistem yang konsisten akan terdefinisi (solusinya unik) jika rank sistem sama dengan jumlah semua variabelnya.
Teorema pada basis minor.
Dalil. Dalam matriks sembarang A, setiap kolom (baris) merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom (baris) yang basis minornya berada.
Jadi, pangkat suatu matriks sembarang A sama dengan jumlah maksimum baris (kolom) yang bebas linier dalam matriks tersebut.
Jika A adalah matriks persegi dan detA = 0, maka paling sedikit salah satu kolomnya merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya. Hal yang sama berlaku untuk string. Pernyataan ini mengikuti sifat ketergantungan linier ketika determinannya sama dengan nol.
7. solusi SLU. Metode Cramer, metode matriks, metode Gauss.
metode Cramer.
Metode ini juga hanya berlaku dalam kasus sistem persamaan linear, dimana jumlah variabelnya sama dengan jumlah persamaan. Selain itu, perlu dilakukan pembatasan pada koefisien sistem. Semua persamaan harus bebas linier, mis. tidak ada persamaan yang merupakan kombinasi linier dari persamaan lainnya.
Untuk melakukan ini, determinan matriks sistem harus tidak sama dengan 0.
Memang, jika suatu persamaan sistem merupakan kombinasi linier dari persamaan lainnya, maka jika Anda menambahkan elemen baris lain ke elemen baris yang sama, dikalikan dengan suatu bilangan, dengan menggunakan transformasi linier, Anda akan mendapatkan baris nol. Penentu dalam hal ini akan sama dengan nol.
Dalil. (Aturan Cramer):
Dalil. Sistem n persamaan dengan n yang tidak diketahui
jika determinan matriks sistem tidak sama dengan nol, maka ia mempunyai solusi unik dan solusi ini dicari dengan rumus:
x saya = D saya /D, dimana
D = det A, dan D i adalah determinan matriks yang diperoleh dari matriks sistem dengan mengganti kolom i dengan kolom suku bebas b i.
D saya = 
Metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Metode matriks dapat diterapkan untuk menyelesaikan sistem persamaan yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui.
Metode ini cocok untuk menyelesaikan sistem tingkat rendah.
Metode ini didasarkan pada penerapan sifat-sifat perkalian matriks.
Biarkan sistem persamaan diberikan:
Mari kita buat matriksnya: A = 
; B = ; X = .
Sistem persamaannya dapat ditulis: A×X = B.
Mari kita lakukan transformasi berikut: A -1 ×A×X = A -1 ×B, karena A -1 ×A = E, lalu E×X = A -1 ×B
X = SEBUAH -1 ×B
Untuk digunakan metode ini perlu untuk menemukan matriks invers, yang mungkin berhubungan dengan kesulitan komputasi ketika menyelesaikan sistem tingkat tinggi.
Definisi. Sistem persamaan m dengan n yang tidak diketahui di pandangan umum ditulis sebagai berikut:
, (1)
dimana a ij adalah koefisien, dan b i adalah konstanta. Penyelesaian sistem tersebut adalah n bilangan, yang jika disubstitusikan ke dalam sistem, setiap persamaannya akan berubah menjadi suatu identitas.
Definisi. Jika suatu sistem mempunyai paling sedikit satu solusi, maka sistem tersebut disebut persendian. Jika suatu sistem tidak mempunyai solusi tunggal, maka disebut non-bersama.
Definisi. Sistem itu disebut yakin, jika hanya mempunyai satu solusi dan tidak pasti, jika lebih dari satu.
Definisi. Untuk sistem persamaan linear bentuk (1), matriks
SEBUAH = 
disebut matriks sistem, dan matriks
SEBUAH * = 
disebut matriks yang diperluas dari sistem
Definisi. Jika b 1, b 2, …,b m = 0, maka sistem tersebut disebut homogen. sistem yang homogen selalu konsisten.
Transformasi dasar sistem.
Transformasi dasar meliputi:
1) Menjumlahkan kedua ruas persamaan bagian yang relevan yang lain, dikalikan dengan bilangan yang sama, tidak sama dengan nol.
2) Menyusun ulang persamaan.
3) Menghapus dari persamaan sistem yang merupakan identitas untuk semua x.
Metode Gaussian - metode klasik menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Ini adalah metode eliminasi variabel secara berurutan, ketika, dengan menggunakan transformasi dasar, sistem persamaan direduksi menjadi sistem segitiga ekuivalen, dari mana semua variabel lainnya ditemukan secara berurutan, dimulai dengan variabel terakhir (berdasarkan angka)
Biarkan sistem aslinya terlihat seperti ini
Matriks tersebut disebut matriks utama sistem - kolom suku bebas.
Kemudian, menurut sifat transformasi elementer pada baris, matriks utama sistem ini dapat direduksi menjadi bentuk eselon (transformasi yang sama harus diterapkan pada kolom suku bebas):
Kemudian variabelnya dipanggil variabel utama. Semua yang lain dipanggil bebas.
Jika setidaknya satu bilangan adalah , di mana , maka sistem yang dipertimbangkan tidak konsisten, yaitu. dia tidak punya solusi tunggal.
Biarkan itu terjadi pada siapa pun.
Mari kita pindahkan variabel bebas melampaui tanda sama dengan dan membagi setiap persamaan sistem dengan koefisiennya di paling kiri ( , di mana nomor barisnya):
Jika kita memberikan semua nilai yang mungkin ke variabel bebas sistem (2) dan menyelesaikan sistem baru sehubungan dengan hal-hal yang tidak diketahui utama dari bawah ke atas (yaitu, dari persamaan bawah ke atas), maka kita akan memperoleh semua solusi untuk SLAE ini. Karena sistem ini diperoleh melalui transformasi elementer terhadap sistem asli (1), maka menurut teorema ekivalensi pada transformasi elementer, sistem (1) dan (2) adalah ekuivalen, yaitu himpunan penyelesaiannya berhimpitan.
Konsekuensi:
1: Jika dalam suatu sistem gabungan semua variabelnya utama, maka sistem tersebut pasti.
2: Jika jumlah variabel dalam suatu sistem melebihi jumlah persamaan, maka sistem tersebut tidak pasti atau tidak konsisten.
Algoritma
Algoritma penyelesaian SLAE dengan metode Gaussian dibagi menjadi dua tahap.
Pada tahap pertama, apa yang disebut gerak langsung dilakukan, ketika, melalui transformasi dasar pada baris, sistem dibawa ke bentuk berundak atau segitiga, atau diketahui bahwa sistem tersebut tidak kompatibel. Yaitu, di antara elemen-elemen kolom pertama matriks, pilih yang bukan nol, pindahkan ke posisi paling atas dengan mengatur ulang baris-barisnya, dan kurangi baris pertama yang dihasilkan dari baris-baris yang tersisa setelah penataan ulang, kalikan dengan nilai sama dengan rasio elemen pertama setiap baris ini dengan elemen pertama baris pertama, sehingga kolom di bawahnya menjadi nol. Setelah transformasi ini selesai, baris pertama dan kolom pertama dicoret secara mental dan dilanjutkan hingga tersisa matriks berukuran nol. Jika pada setiap iterasi tidak ada elemen bukan nol di antara elemen kolom pertama, lanjutkan ke kolom berikutnya dan lakukan operasi serupa.
Pada tahap kedua dilakukan apa yang disebut gerakan mundur, yang intinya adalah menyatakan semua variabel dasar yang dihasilkan dalam bentuk variabel non-dasar dan membangun sistem penyelesaian yang mendasar, atau jika semua variabel bersifat dasar. , lalu nyatakan secara numerik satu-satunya solusi sistem persamaan linear tersebut. Prosedur ini dimulai dengan persamaan terakhir, yang darinya variabel dasar yang bersesuaian dinyatakan (dan hanya ada satu) dan disubstitusikan ke dalam persamaan sebelumnya, dan seterusnya, naik ke “langkah”. Setiap baris berkorespondensi dengan tepat satu variabel basis, jadi pada setiap langkah kecuali yang terakhir (paling atas), situasinya persis mengulangi kasus baris terakhir.
vektor. Konsep dasar. Produk titik, propertinya.
Vektor disebut segmen berarah (sepasang titik terurut). Vektor juga termasuk batal vektor yang awal dan akhirnya berimpit.
Panjang (modul) vektor adalah jarak antara awal dan akhir vektor.
Vektor disebut segaris, jika letaknya pada garis yang sama atau sejajar. Vektor nol adalah kolinear terhadap vektor apa pun.
Vektor disebut sebidang, jika ada bidang yang sejajar.
Vektor-vektor yang kolinear selalu koplanar, tetapi tidak semua vektor koplanar adalah vektor kolinear.
Vektor disebut setara, jika keduanya segaris, berarah sama, dan mempunyai modul yang sama.
Semua vektor dapat dibawa ke asal yang sama, yaitu. membangun vektor-vektor yang sama dengan data dan memiliki awal yang umum. Dari definisi persamaan vektor dapat disimpulkan bahwa setiap vektor mempunyai tak terhingga banyaknya vektor yang sama dengannya.
Operasi linier atas vektor disebut penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan.
Jumlah vektor adalah vektor - 
Bekerja - 
, dan kolinear.
Vektor tersebut searah dengan vektor ( ) jika a > 0.
Vektor tersebut berlawanan arah dengan vektor ( ¯ ), jika a< 0.
Sifat-sifat vektor.
1) + = + - komutatifitas.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b) – asosiatif
6) (a+b) = a + b - distributifitas
7) sebuah( + ) = sebuah + sebuah
1) Dasar dalam ruang, 3 vektor non-koplanar yang diambil dalam urutan tertentu disebut.
2) Dasar pada suatu bidang, 2 vektor tidak segaris yang diambil dalam urutan tertentu disebut.
3)Dasar Setiap vektor yang tidak nol pada suatu garis disebut.
Jika 
adalah basis dalam ruang dan , maka bilangan a, b, dan g disebut komponen atau koordinat vektor dalam dasar ini.
Sehubungan dengan hal tersebut, kita dapat menulis sebagai berikut properti:
vektor-vektor yang sama mempunyai koordinat yang sama,
ketika suatu vektor dikalikan dengan suatu bilangan, maka komponen-komponennya juga dikalikan dengan bilangan tersebut,
Saat menjumlahkan vektor, komponen yang bersesuaian juga ditambahkan.
; 
;
Ketergantungan linier vektor.
Definisi.
vektor 
disebut bergantung secara linear, jika kombinasi linier tersebut ada, dengan i tidak sama dengan nol pada saat yang sama, yaitu. 
.
Jika hanya jika a i = 0 terpenuhi, maka vektor-vektor tersebut disebut bebas linier.
Properti 1. Jika terdapat vektor nol di antara vektor-vektor tersebut, maka vektor-vektor tersebut bergantung linier.
Properti 2. Jika satu atau lebih vektor ditambahkan pada suatu sistem vektor-vektor yang bergantung linier, maka sistem yang dihasilkan juga akan bergantung linier.
Properti 3. Suatu sistem vektor bergantung linier jika dan hanya jika salah satu vektor diuraikan menjadi kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya.
Properti 4. Setiap 2 vektor yang segaris adalah bergantung linier dan, sebaliknya, setiap 2 vektor yang bergantung linier adalah segaris.
Properti 5. Setiap 3 vektor koplanar bergantung linier dan, sebaliknya, setiap 3 vektor bergantung linier adalah koplanar.
Properti 6. Setiap 4 vektor bergantung linier.
Panjang vektor dalam koordinat didefinisikan sebagai jarak antara titik awal dan titik akhir suatu vektor. Jika dua titik diberikan dalam ruang A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), maka.
Jika titik M(x, y, z) membagi ruas AB dengan perbandingan l/m, maka koordinat titik tersebut ditentukan sebagai:
Dalam kasus khusus, koordinatnya titik tengah segmen ditemukan seperti:
x = (x 1 + x 2)/2; kamu = (kamu 1 + kamu 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.
Operasi linier pada vektor dalam koordinat.
Memutar sumbu koordinat
Di bawah berputar Sumbu koordinat adalah transformasi koordinat yang kedua sumbunya diputar dengan sudut yang sama, tetapi titik asal dan skalanya tidak berubah.
Membiarkan sistem baru O 1 x 1 y 1 diperoleh dengan memutar sistem Oxy dengan sudut α.
Misalkan M adalah suatu titik sembarang pada bidang, (x;y) koordinatnya adalah sistem lama dan (x";y") - di sistem baru.
Mari kita perkenalkan dua sistem koordinat kutub dengan kutub yang sama O dan sumbu kutub Ox dan Οx 1 (skalanya sama). Jari-jari kutub r sama di kedua sistem, dan sudut kutub masing-masing sama dengan α + j dan φ, dengan φ adalah sudut kutub di sistem kutub baru.
Menurut rumus transisi dari koordinat kutub ke persegi panjang, kita punya
Tapi rcosj = x" dan rsinφ = y". Itu sebabnya
Rumus yang dihasilkan disebut rumus rotasi sumbu . Mereka memungkinkan Anda untuk menentukan koordinat lama (x; y) dari titik sembarang M melalui koordinat baru (x"; y") dari titik M yang sama, dan sebaliknya.
Jika sistem koordinat baru O 1 x 1 y 1 diperoleh dari Oxy lama dengan pemindahan sumbu koordinat secara paralel dan selanjutnya rotasi sumbu dengan sudut α (lihat Gambar 30), maka dengan memperkenalkan sistem bantu mudah untuk memperolehnya. rumusnya
menyatakan koordinat x dan y lama dari suatu titik sembarang dalam bentuk koordinat x" dan y" yang baru.
Elips
Elips adalah sekumpulan titik pada suatu bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik tersebut
yang konstan hingga dua titik tertentu. Titik-titik ini disebut fokus dan
ditunjuk F1 Dan F2, jarak di antara mereka 2 detik, dan jumlah jarak dari setiap titik ke
fokus – 2a(dengan syarat 2a>2c). Mari kita buat sistem koordinat kartesius sehingga F1 Dan F2 berada pada sumbu x, dan titik asal berimpit dengan titik tengah ruas F1F2. Mari kita turunkan persamaan elips. Untuk melakukan ini, pertimbangkan titik arbitrer M(x, kamu) elips. A-priori: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; kamu);F2M =(xc; y).
|F1M|=(X+ C)2 + kamu 2 ; |F2M| = (X- C)2 + kamu 2
(X+ C)2 + kamu 2 + (X- C)2 + kamu 2 =2a(5)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(X- C)2 + kamu 2 +x2-2cx+c2+y2
4cx-4a2=4a(X- C)2 + kamu 2
a2-cx=a(X- C)2 + kamu 2
a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)
Karena 2a>2c(jumlah dua sisi suatu segitiga lebih besar dari sisi ketiganya), maka a2-c2>0.
Membiarkan a2-c2=b2
Titik-titik dengan koordinat (a, 0), (−a, 0), (b, 0) dan (−b, 0) disebut titik sudut elips, nilai a adalah sumbu semi mayor elips, dan nilai b adalah sumbu semi minornya. Titik F1(c, 0) dan F2(−c, 0) disebut fokus
elips, dan fokus F1 disebut kanan, dan fokus F2 disebut kiri. Jika titik M termasuk dalam elips, maka jaraknya |F1M| dan |F2M| disebut jari-jari fokus dan masing-masing dilambangkan dengan r1 dan r2. Besaran e =c/a disebut eksentrisitas elips. Garis dengan persamaan x =a/e
dan x = −a/e disebut direktriks elips (untuk e = 0 tidak ada direktriks elips).
Persamaan bidang umum
Mari kita pertimbangkan persamaan umum derajat pertama dengan tiga variabel x, y dan z:
Dengan asumsi setidaknya salah satu koefisien A, B, atau C tidak sama dengan nol, misalnya, kita menulis ulang persamaan (12.4) dalam bentuk
Bilangan kompleks z ditelepon ekspresi dimana A Dan V– bilangan real, Saya– satuan imajiner atau tanda khusus.
Dalam hal ini perjanjian-perjanjian berikut dipenuhi:
1) dengan ekspresi a+bi Anda dapat melakukan operasi aritmatika sesuai dengan aturan yang diterima untuk ekspresi literal dalam aljabar;
5) persamaan a+bi=c+di, dimana a, b, c, d adalah bilangan real, terjadi jika dan hanya jika a=c dan b=d.
Bilangan 0+bi=bi dipanggil imajiner atau murni khayalan.
Setiap bilangan real a adalah kasus spesial bilangan kompleks, karena dapat ditulis dalam bentuk a=a+ 0i. Secara khusus, 0=0+0i, tetapi jika a+bi=0, maka a+bi=0+0i, maka a=b=0.
Jadi, bilangan kompleks a+bi=0 jika dan hanya jika a=0 dan b=0.
Dari perjanjian berikut hukum transformasi bilangan kompleks:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+iklan)i;
Kita melihat bahwa jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi (yang pembaginya tidak sama dengan nol) dari bilangan kompleks, pada gilirannya, adalah bilangan kompleks.
Nomor A ditelepon bagian nyata dari bilangan kompleks z(dilambangkan dengan ), V– bagian imajiner dari bilangan kompleks z (dilambangkan dengan ).
Bilangan kompleks z yang bagian realnya nol disebut. murni khayalan, dengan nol imajiner – murni nyata.
Dua bilangan kompleks dipanggil. setara jika bagian real dan imajinernya sama.
Dua bilangan kompleks dipanggil. terkonjugasi, jika mereka memiliki zat. bagian-bagiannya bertepatan, tetapi bagian-bagian imajinernya berbeda tandanya. , lalu konjugasinya.
Jumlah bilangan konjugasi adalah banyaknya zat, dan selisihnya adalah bilangan imajiner murni. Operasi perkalian dan penjumlahan bilangan didefinisikan secara alami pada himpunan bilangan kompleks. Yaitu jika dan merupakan dua bilangan kompleks, maka jumlahnya adalah: ; bekerja: .
Sekarang mari kita definisikan operasi pengurangan dan pembagian.
Perhatikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks adalah jumlah zat.
(karena saya=-1). Nomor ini dipanggil. modulus persegi angka. Jadi, jika suatu bilangan adalah , maka modulusnya adalah bilangan real.
Berbeda dengan bilangan real, konsep “lebih” dan “kurang” tidak diperkenalkan untuk bilangan kompleks.
Representasi geometris bilangan kompleks. Bilangan real dilambangkan dengan titik-titik pada garis bilangan:
Inilah intinya A artinya angka –3, titik B– nomor 2, dan HAI- nol. Sebaliknya, bilangan kompleks direpresentasikan dengan titik-titik pada bidang koordinat. Untuk tujuan ini, kita memilih koordinat persegi panjang (Kartesius) dengan skala yang sama pada kedua sumbu. Kemudian bilangan kompleks a+ dua akan diwakili oleh sebuah titik P dengan absis a dan ordinat b(beras.). Sistem koordinat ini disebut bidang kompleks.
Modul bilangan kompleks adalah panjang vektor op, mewakili bilangan kompleks pada koordinat ( luas) pesawat. Modulus bilangan kompleks a+ dua dilambangkan | a+ dua| atau surat R dan sama dengan:
Bilangan kompleks konjugasi mempunyai modulus yang sama. __
Argumen bilangan kompleks adalah sudut antara sumbu SAPI dan vektor op, mewakili bilangan kompleks ini. Jadi, tan = B / A .
Bentuk trigonometri bilangan kompleks. Selain penulisan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, juga digunakan bentuk lain yang disebut trigonometri.
Misalkan bilangan kompleks z=a+bi diwakili oleh vektor OA dengan koordinat (a,b). Mari kita nyatakan panjang vektor OA dengan beech r: r=|OA|, dan sudut yang dibentuknya dengan arah positif sumbu Ox dengan sudut φ.
Menggunakan definisi fungsi sinφ=b/r, cosφ=a/r, bilangan kompleks z=a+bi dapat ditulis sebagai z=r(cosφ+i*sinφ), di mana , dan sudut φ ditentukan dari kondisinya
Bentuk trigonometri suatu bilangan kompleks z adalah representasinya dalam bentuk z=r(cosφ+i*sinφ), dimana r dan φ adalah bilangan real dan r≥0.
Memang benar bilangan r disebut modul bilangan kompleks dan dilambangkan dengan |z|, dan sudut φ adalah argumen bilangan kompleks z. Argumen φ dari bilangan kompleks z dilambangkan dengan Arg z.
Operasi bilangan kompleks yang direpresentasikan dalam bentuk trigonometri:
Ini terkenal rumus Moivre.
8 .Ruang vektor. Contoh dan sifat paling sederhana dari ruang vektor. Ketergantungan linier dan kemandirian suatu sistem vektor. Basis dan pangkat sistem vektor akhir
Ruang vektor - sebuah konsep matematika yang menggeneralisasi konsep himpunan semua vektor (bebas) ruang tiga dimensi biasa.
Untuk vektor dalam ruang tiga dimensi, aturan untuk menjumlahkan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real ditunjukkan. Berlaku untuk vektor apa pun x, kamu, z dan nomor apa pun α, β aturan-aturan ini memuaskan kondisi berikut:
1) X+pada=pada+X(komutatifitas penjumlahan);
2)(X+pada)+z=X+(kamu+z) (asosiasi penjumlahan);
3) ada vektor nol 0 (atau vektor nol) memenuhi kondisi X+0 =X: untuk vektor apa pun X;
4) untuk vektor apa pun X terdapat vektor yang berlawanan pada seperti yang X+pada =0 ,
5) 1x=X,di mana 1 adalah satuan lapangan
6) α (βx)=(αβ )X(asosiasi perkalian), dimana hasil perkaliannya αβ adalah hasil kali skalar
7) (α +β )X=αх+βх(properti distributif relatif terhadap faktor numerik);
8) α (X+pada)=αх+ya(properti distributif relatif terhadap pengali vektor).
Ruang vektor (atau linier) adalah himpunan R, terdiri dari unsur-unsur yang bersifat apa pun (disebut vektor), yang di dalamnya ditentukan operasi penjumlahan unsur dan perkalian unsur dengan bilangan real yang memenuhi kondisi 1-8.
Contoh ruang tersebut adalah himpunan bilangan real, himpunan vektor pada bidang dan ruang, matriks, dan lain-lain.
Teorema “Sifat paling sederhana dari ruang vektor”
1. Hanya ada satu vektor nol dalam ruang vektor.
2. Dalam ruang vektor, setiap vektor mempunyai kebalikannya.
4. .
Dokumen
Misalkan 0 adalah vektor nol dari ruang vektor V. Maka . Biarkan menjadi vektor nol lainnya. Kemudian . Mari kita ambil kasus pertama, dan kasus kedua -. Lalu dan , dari mana berikut itu , dll.
Pertama kita akan membuktikan bahwa hasil kali skalar nol dan vektor apa pun sama dengan vektor nol.
Membiarkan . Kemudian, dengan menerapkan aksioma ruang vektor, kita memperoleh:
Sehubungan dengan penjumlahan, ruang vektor merupakan grup Abelian, dan hukum pembatalan berlaku pada grup mana pun. Menerapkan hukum reduksi, persamaan terakhir menyiratkan 0*x=0
Sekarang kita buktikan pernyataan 4). Biarkan menjadi vektor sembarang. Kemudian
Maka vektor (-1)x berlawanan dengan vektor x.
Misalkan sekarang x=0. Kemudian, dengan menerapkan aksioma ruang vektor, kita memperoleh:
Mari kita berasumsi bahwa. Karena , dimana K adalah sebuah lapangan, maka . Mari kalikan persamaan di sebelah kiri dengan :, yang berarti 1*x=0 atau x=0
Ketergantungan linier dan kemandirian suatu sistem vektor. Himpunan vektor disebut sistem vektor.
Suatu sistem vektor disebut bergantung linier jika bilangan-bilangan tersebut ada, tidak semuanya sama dengan nol pada saat yang sama (1)
Suatu sistem yang terdiri dari k vektor disebut bebas linier jika persamaan (1) hanya mungkin untuk , yaitu. ketika kombinasi linier pada ruas kiri persamaan (1) adalah sepele.
Catatan:
1. Satu vektor juga membentuk suatu sistem: pada bergantung linier, dan bebas linier pada.
2. Setiap bagian dari sistem vektor disebut subsistem.
Sifat-sifat vektor bergantung linier dan bebas linier:
1. Jika suatu sistem vektor mempunyai vektor nol, maka sistem tersebut bergantung linier.
2. Jika suatu sistem vektor mempunyai dua vektor yang sama besar, maka sistem tersebut bergantung linier.
3. Jika suatu sistem vektor mempunyai dua vektor yang sebanding, maka sistem tersebut bergantung linier.
4. Suatu sistem yang terdiri dari k>1 vektor bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit salah satu vektornya merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya.
5. Setiap vektor yang termasuk dalam sistem bebas linier membentuk subsistem bebas linier.
6. Suatu sistem vektor yang mengandung subsistem bergantung linier adalah bergantung linier.
7. Jika suatu sistem vektor bebas linier, dan setelah dijumlahkan sebuah vektor ternyata bergantung linier, maka vektor tersebut dapat diperluas menjadi vektor , dan terlebih lagi, dengan cara yang unik, yaitu. koefisien muai dapat ditemukan secara unik.
Mari kita buktikan, misalnya, sifat terakhir. Karena sistem vektor bergantung linier, ada bilangan yang tidak semuanya sama dengan 0, yaitu. Dalam kesetaraan ini. Faktanya, jika , maka. Artinya kombinasi vektor linier nontrivial sama dengan vektor nol, yang bertentangan dengan independensi linier sistem. Akibatnya, dan kemudian, yaitu. vektor adalah kombinasi linier dari vektor-vektor. Tetap menunjukkan keunikan representasi tersebut. Anggap saja sebaliknya. Misalkan terdapat dua pemuaian dan , dan tidak semua koefisien pemuaian masing-masing sama besar (misalnya, ).
Kemudian dari persamaan tersebut kita peroleh.
Oleh karena itu, kombinasi vektor linier sama dengan vektor nol. Karena tidak semua koefisiennya sama dengan nol (setidaknya), kombinasi ini bersifat nontrivial, yang bertentangan dengan kondisi independensi linier vektor. Kontradiksi yang timbul menegaskan keunikan perluasan tersebut.
Pangkat dan basis sistem vektor. Pangkat suatu sistem vektor disebut jumlah maksimal vektor-vektor bebas linier dari sistem.
Dasar dari sistem vektor disebut subsistem bebas linier maksimal dari sistem vektor tertentu.
Dalil. Setiap vektor sistem dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis sistem. (Setiap vektor sistem dapat diperluas menjadi vektor basis.) Koefisien ekspansi ditentukan secara unik untuk vektor tertentu dan basis tertentu.
Dokumen:
Biarkan sistem memiliki dasar.
1 kasus. Vektor - dari dasar. Oleh karena itu, vektor tersebut sama dengan salah satu vektor basis, misalkan . Maka = .
Kasus 2. Vektornya bukan dari basis. Lalu r>k.
Mari kita perhatikan sistem vektor. Sistem ini bergantung linier, karena merupakan basis, yaitu. subsistem independen linier maksimal. Akibatnya, ada bilangan dengan 1, dengan 2, ..., dengan k, dengan, tidak semuanya sama dengan nol, sehingga
Jelas sekali (jika c = 0, maka basis sistem bergantung linier).
Mari kita buktikan bahwa pemuaian vektor terhadap basis adalah unik. Mari kita asumsikan sebaliknya: ada dua pemuaian vektor terhadap basis.
Mengurangi persamaan ini, kita mendapatkan
Dengan mempertimbangkan independensi linier dari vektor basis, kita peroleh
Oleh karena itu, perluasan vektor dalam kaitannya dengan basis adalah unik.
Banyaknya vektor pada setiap basis sistem adalah sama dan sama dengan pangkat sistem vektornya.