Bukti rumusnya .

=

= =

karena sinus dan kosinus tidak bergantung pada penjumlahan sudut yang merupakan kelipatan

Dan persamaan ini sudah jelas, karena ini adalah bentuk trigonometri bilangan kompleks.

Jadi, logaritma ada untuk semua titik pada bidang kecuali nol. Untuk bilangan real positif, argumennya adalah 0, sehingga himpunan titik tak terhingga ini mempunyai bentuk , yaitu salah satu nilai yaitu di , akan jatuh pada sumbu real. Jika kita menghitung logaritma suatu bilangan negatif, kita memperoleh , yaitu himpunan titik-titik digeser ke atas dan tidak ada satupun yang jatuh pada sumbu real.

Jelas dari rumusnya bahwa hanya jika argumen bilangan asli adalah nol, salah satu nilai logaritma jatuh pada sumbu real. Dan ini sesuai dengan semi-sumbu kanan, dan itulah sebabnya dalam pelajaran matematika sekolah hanya logaritma bilangan positif yang dipertimbangkan. Logaritma bilangan negatif dan bilangan imajiner juga ada, namun tidak mempunyai nilai tunggal pada sumbu real.

Gambar berikut menunjukkan letak semua nilai logaritma bilangan positif pada bidang. Salah satunya berada pada sumbu nyata, sisanya berada di atas dan di bawah pada , , dan seterusnya. Untuk bilangan negatif atau kompleks, argumennya bukan nol, sehingga barisan titik ini digeser secara vertikal sehingga tidak ada titik pada sumbu real.

Contoh. Menghitung.

Larutan. Mari kita definisikan modulus bilangan (sama dengan 2) dan argumen 180 0, yaitu. Maka = .

Lampiran 1. Pertanyaan untuk bukti (untuk tiket).

Kuliah No.1

1. Buktikan rumus integrasi per bagian.

Kuliah No.2

1. Buktikan bahwa penggantian , di mana r = KPK (r 1 ,...,rk) mereduksi integral menjadi integral pecahan rasional.

2. Buktikan bahwa penggantian tersebut mereduksi integral bentuk ke integral pecahan rasional.

3. Turunkan rumus untuk mengubah sinus dan cosinus

Untuk substitusi trigonometri universal.

4. Buktikan bahwa jika fungsinya ganjil terhadap kosinus, penggantian tersebut mereduksi integral menjadi pecahan rasional.

5. Buktikan dalam kasus kapan

substitusi: mereduksi integral menjadi pecahan rasional.

6. Buktikan bahwa untuk suatu integral bentuk

7. Buktikan rumusnya

8. Buktikan bahwa untuk suatu integral bentuk penggantian tersebut menghasilkan integral ke pecahan rasional.

9. Buktikan bahwa untuk integral bentuk penggantian tersebut mereduksi integral menjadi pecahan rasional.

Kuliah No.3

1. Buktikan fungsinya merupakan antiturunan dari fungsi tersebut.

2. Buktikan rumus Newton-Leibniz: .

3. Buktikan rumus panjang kurva yang diberikan secara eksplisit:

.

4. Buktikan rumus panjang kurva yang diberikan dalam koordinat kutub

Kuliah nomor 4

Buktikan teorema: konvergen, konvergen.

Kuliah nomor 5

1. Turunkan (buktikan) rumus luas permukaan yang diberikan secara eksplisit .

2. Penurunan rumus transisi ke koordinat kutub.

3. Penurunan determinan koordinat kutub Jacobian.

4. Penurunan rumus transisi ke koordinat silinder.

5. Penurunan determinan Jacobian koordinat silinder.

6. Penurunan rumus transisi ke koordinat bola:

.

Kuliah nomor 6

1. Buktikan bahwa substitusi mereduksi persamaan homogen menjadi persamaan yang variabel-variabelnya dapat dipisahkan.

2. Menarik diri bentuk umum solusi linier persamaan homogen.

3. Turunkan bentuk umum penyelesaian persamaan linier tak homogen dengan metode Lagrange.

4. Buktikan bahwa substitusi tersebut mereduksi persamaan Bernoulli menjadi persamaan linier.

Kuliah nomor 7.

1. Buktikan bahwa penggantian tersebut mengurangi orde persamaan sebesar k.

2. Buktikan bahwa penggantian tersebut mengurangi orde persamaan tersebut sebanyak satu .

3. Buktikan teorema: Fungsi tersebut merupakan penyelesaian persamaan diferensial linier homogen dan mempunyai akar karakteristik.

4. Buktikan teorema bahwa kombinasi linier dari solusi mempunyai perbedaan linier yang homogen. persamaan tersebut juga merupakan solusinya.

5. Buktikan teorema pembebanan penyelesaian: Jika merupakan penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen yang bersisi kanan, dan merupakan penyelesaian persamaan diferensial yang sama, tetapi bersisi kanan, maka jumlahnya adalah penyelesaian persamaan dengan ruas kanan.

Kuliah nomor 8.

1. Buktikan teorema bahwa sistem fungsi bergantung linier.

2. Buktikan teorema bahwa terdapat n solusi bebas linier terhadap persamaan diferensial homogen linier berorde n.

3. Buktikan bahwa jika 0 adalah akar dari multiplisitas , maka sistem solusi yang bersesuaian dengan akar tersebut berbentuk .

Kuliah nomor 9.

1. Buktikan dengan menggunakan bentuk eksponensial bahwa ketika mengalikan bilangan kompleks, modulnya dikalikan dan argumennya ditambahkan.

2. Buktikan rumus Moivre untuk derajat n

3. Buktikan rumus akar suatu bilangan kompleks orde n

4. Buktikan itu Dan

adalah generalisasi sinus dan kosinus, mis. untuk bilangan real, rumus ini akan menghasilkan sinus (kosinus).

5. Buktikan rumus logaritma bilangan kompleks:

Lampiran 2.

Pertanyaan kecil dan lisan tentang pengetahuan teori (untuk kolokium).

Kuliah No.1

1. Apa yang dimaksud dengan antiturunan dan integral tak tentu, apa perbedaannya?

2. Jelaskan mengapa ia juga merupakan antiturunan.

3. Tuliskan rumus integrasi per bagian.

4. Penggantian apa yang diperlukan dalam bentuk integral dan bagaimana cara menghilangkan akar-akarnya?

5. Tuliskan jenis penguraian integran suatu pecahan rasional menjadi pecahan paling sederhana jika semua akarnya berbeda dan nyata.

6. Tuliskan jenis penguraian integran suatu pecahan rasional menjadi pecahan paling sederhana jika semua akarnya real dan terdapat satu akar kelipatan dari multiplisitas k.

Kuliah No.2.

1. Tulislah penguraian pecahan rasional menjadi pecahan paling sederhana jika penyebutnya memiliki faktor 2 derajat dengan diskriminan negatif.

2. Substitusi apa yang mereduksi integral menjadi pecahan rasional?

3. Apa yang dimaksud dengan substitusi trigonometri universal?

4. Penggantian apa yang dilakukan jika fungsi di bawah tanda integral ganjil terhadap sinus (kosinus)?

5. Penggantian apa yang dilakukan jika integran berisi ekspresi , , atau .

Kuliah No.3.

1. Pengertian integral tertentu.

2. Sebutkan beberapa sifat dasar integral tertentu.

3. Tuliskan rumus Newton-Leibniz.

4. Tuliskan rumus volume suatu benda yang berputar.

5. Tuliskan rumus panjang kurva yang diberikan secara eksplisit.

6. Tuliskan rumus panjang kurva yang ditentukan secara parametrik.

Kuliah nomor 4.

1. Pengertian integral tak wajar (menggunakan limit).

2. Apa perbedaan integral tak wajar jenis ke-1 dan ke-2.

3. Memimpin contoh sederhana integral konvergen jenis ke-1 dan ke-2.

4. Pada nilai berapa integral (T1) konvergen?

5. Bagaimana hubungan konvergensi dengan limit berhingga antiturunan (T2)

6. Apa itu tanda yang diperlukan konvergensi, formulasinya.

7. Uji perbandingan dalam bentuk akhir

8. Tanda perbandingan dalam bentuk ekstrim.

9. Pengertian integral berganda.

Kuliah nomor 5.

1. Mengubah urutan integrasi, tunjukkan dengan contoh sederhana.

2. Tuliskan rumus luas permukaan.

3. Apa yang dimaksud dengan koordinat kutub, tuliskan rumus transisinya.

4. Berapakah Jacobian dari sistem koordinat kutub?

5. Apa yang dimaksud dengan koordinat silinder dan bola, apa perbedaannya.

6. Berapakah koordinat Jacobian dari silinder (bola)?

Kuliah nomor 6.

1. Apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial orde 1 (pandangan umum).

2. Apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial orde 1 yang diselesaikan terhadap turunannya. Berikan beberapa contoh.

3. Apa yang dimaksud dengan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

4. Apa yang dimaksud dengan penyelesaian umum dan khusus, kondisi Cauchy.

5. Apa yang dimaksud dengan persamaan homogen, bagaimana cara umum penyelesaiannya.

6. Apa itu persamaan linier, apa algoritma penyelesaiannya, apa metode Lagrange.

7. Apa yang dimaksud dengan persamaan Bernoulli, algoritma penyelesaiannya.

Kuliah nomor 7.

1. Penggantian apa yang diperlukan untuk persamaan bentuk .

2. Penggantian apa yang diperlukan untuk suatu persamaan bentuk .

3. Tunjukkan dengan contoh bagaimana hal itu dapat dinyatakan dalam bentuk .

4. Apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial linier orde n.

5. Apa yang dimaksud dengan polinomial karakteristik, persamaan karakteristik.

6. Merumuskan teorema tentang berapa r fungsi tersebut merupakan solusi persamaan diferensial homogen linier.

7. Merumuskan teorema bahwa kombinasi linier dari solusi persamaan linier homogen juga merupakan solusinya.

8. Merumuskan teorema tentang pembebanan keputusan dan akibat-akibatnya.

9. Apa yang dimaksud dengan sistem fungsi bergantung linier dan sistem fungsi bebas linier, berikan beberapa contohnya.

10. Berapakah determinan Wronski dari sistem yang memiliki n fungsi, berikan contoh determinan Wronski untuk sistem LZS dan LNS.

Kuliah nomor 8.

1. Sifat apa yang dimiliki determinan Wronski jika fungsi sistem bergantung linier.

2. Berapa banyak solusi bebas linier yang ada pada persamaan diferensial homogen linier berorde n.

3. Penentuan FSR (sistem dasar penyelesaian) persamaan orde homogen linier n.

4. Berapa banyak fungsi yang dimiliki FSR?

5. Tuliskan bentuk sistem persamaan pencarian metode Lagrange untuk n=2.

6. Tuliskan jenis penyelesaian tertentu pada kasus kapan

7. Apa itu sistem linier persamaan diferensial, tuliskan beberapa contoh.

8. Apa itu sistem otonom persamaan diferensial.

9. Arti fisik sistem persamaan diferensial.

10. Tuliskan apa saja fungsi FSR dari sistem persamaan tersebut, jika nilai eigen dan vektor eigen dari matriks utama sistem tersebut diketahui.

Kuliah nomor 9.

1. Apa yang dimaksud dengan satuan imajiner.

2. Apa yang dimaksud dengan bilangan konjugasi dan apa yang terjadi jika dikalikan dengan bilangan aslinya.

3. Sebutkan bentuk trigonometri eksponensial suatu bilangan kompleks.

4. Tuliskan rumus Euler.

5. Apa yang dimaksud dengan modulus, argumen bilangan kompleks.

6. apa yang terjadi pada modul dan argumen pada saat perkalian (pembagian).

7. Tuliskan rumus Moivre untuk derajat n.

8. Tuliskan rumus akar orde n.

9. Tuliskan rumus umum sinus dan cosinus untuk argumen kompleks.

10. Tuliskan rumus logaritma bilangan kompleks.

Lampiran 3. Soal-soal perkuliahan.

Kuliah No.1

Contoh. . Contoh. .

Contoh. . Contoh. .

Contoh. Contoh. .

Contoh. . Contoh. .

Kuliah No.2

Contoh. . Contoh. .

Contoh. . Contoh. .

Contoh. . Contoh.. , dimana, nomor .

Contoh. Bagilah secara eksponensial.

Contoh. Temukan menggunakan rumus Moivre.

Contoh. Temukan semua nilai root.

Sifat dasar logaritma, grafik logaritma, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, kenaikan dan penurunan diberikan. Menemukan turunan dari logaritma dipertimbangkan. Selain integral, perluasan dan representasi deret pangkat menggunakan bilangan kompleks.

Isi

Domain, kumpulan nilai, meningkat, menurun

Logaritma adalah fungsi monoton, oleh karena itu ia tidak memiliki ekstrem. Properti utama logaritma disajikan dalam tabel.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Jarak nilai	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Nada datar	meningkat secara monoton	menurun secara monoton
Nol, y = 0	x = 1	x = 1
Titik potong dengan sumbu ordinat, x = 0	TIDAK	TIDAK
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Nilai-nilai pribadi

Logaritma basis 10 disebut logaritma desimal dan dilambangkan sebagai berikut:

Logaritma ke basis e ditelepon logaritma natural:

Rumus dasar logaritma

Sifat-sifat logaritma yang timbul dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus penggantian basa

Logaritma adalah operasi matematika untuk mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, hasil kali faktor diubah menjadi jumlah suku.
Potensiasi adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari logaritma. Selama potensiasi, basis tertentu dinaikkan ke tingkat ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah suku diubah menjadi produk faktor.

Bukti rumus dasar logaritma

Rumus yang berkaitan dengan logaritma mengikuti rumus fungsi eksponensial dan definisi fungsi invers.

Pertimbangkan properti fungsi eksponensial
.
Kemudian
.
Mari kita terapkan properti fungsi eksponensial
:
.

Mari kita buktikan rumus penggantian basa.
;
.
Dengan asumsi c = b, kita mempunyai:

Fungsi terbalik

Kebalikan logaritma dengan basis a adalah fungsi eksponensial dengan eksponen a.

Jika kemudian

Jika kemudian

Turunan dari logaritma

Turunan dari logaritma modulus x:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >

Untuk mencari turunan logaritma, harus direduksi menjadi basis e.
;
.

Integral

Integral logaritma dihitung dengan mengintegrasikan bagian-bagiannya: .
Jadi,

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsi bilangan kompleks z:
.
Mari kita nyatakan bilangan kompleks z melalui modul R dan argumen φ :
.
Kemudian, dengan menggunakan properti logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau

Namun argumennya φ tidak didefinisikan secara unik. Jika Anda menaruh
, dimana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi angka yang sama untuk yang berbeda N.

Oleh karena itu, logaritma, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Kapan perluasan terjadi:

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Lihat juga:

Logaritma natural

Untuk turunan logaritma natural, rumus sederhana yang berlaku:

Oleh karena itu, logaritma natural banyak digunakan dalam penelitian matematika. Mereka sering muncul ketika menyelesaikan persamaan diferensial persamaan, studi tentang ketergantungan statistik (misalnya, distribusi sederhana angka) dll.

Ketika kesetaraan itu benar

Deret ini konvergen lebih cepat, dan selain itu, sisi kiri rumus kini dapat menyatakan logaritma bilangan positif apa pun.

Hubungan dengan logaritma desimal: .

Logaritma desimal

Beras. 2. Skala logaritmik

Logaritma ke basis 10 (simbol: lg A) sebelum penemuan kalkulator banyak digunakan untuk komputasi. Skala tidak rata Logaritma desimal biasanya diplot aturan geser. Skala serupa banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, misalnya:

Fisika- intensitas suara ( desibel).

Astronomi- skala kecerahan bintang.

Kimia- aktivitas hidrogen ion (pH).

Seismologi - skala Richter.

Teori musik- skala nada, dalam kaitannya dengan frekuensi bunyi nada.

Cerita - skala waktu logaritmik.

Skala logaritmik juga banyak digunakan untuk mengidentifikasi eksponen dalam hubungan kekuasaan dan koefisien dalam eksponen. Dalam hal ini, grafik yang dibangun pada skala logaritmik sepanjang satu atau dua sumbu berbentuk garis lurus, sehingga lebih mudah dipelajari.

Fungsi logaritma

Fungsi logaritma adalah fungsi bentuk F(X) = catatan A X, didefinisikan pada

Menjelajahi Fungsi Logaritma

Domain:

Cakupan:

Grafik suatu fungsi logaritma melalui titik (1;0)

Turunan fungsi logaritma sama dengan:

Bukti [menunjukkan]

I. Mari kita buktikan hal itu

Ayo tuliskan identitasnya e dalam X = X dan membedakan sisi kiri dan kanannya

Kami mengerti , dari situlah berikut ini

II. Mari kita buktikan itu

Fungsinya meningkat secara ketat pada A> 1 dan menurun secara ketat pada 0 a

Lurus X= 0 tersisa asimtot vertikal, karena pada A> 1 dan pada 0 a

Logaritma kompleks

Fungsi multinilai

Untuk bilangan kompleks Logaritma didefinisikan dengan cara yang sama seperti logaritma nyata. Mari kita mulai dengan logaritma natural, yang kita nyatakan dan definisikan sebagai himpunan semua bilangan kompleks z seperti yang e z = w. Logaritma kompleks ada untuk sembarang , dan bagian riilnya ditentukan secara unik, sedangkan bagian imajinernya memiliki jumlah nilai yang tak terhingga. Oleh karena itu, disebut fungsi multinilai. Jika Anda bayangkan w dalam bentuk demonstratif:

maka logaritmanya dicari dengan rumus:

Inilah logaritma sebenarnya, R = | w | , k- sewenang-wenang bilangan bulat. Nilai yang diperoleh ketika k= 0, dipanggil kepentingan utama logaritma natural yang kompleks; merupakan kebiasaan untuk mengambil nilai argumen dalam interval (− π,π). Fungsi yang sesuai (yang sudah bernilai tunggal) disebut cabang utama logaritma dan dilambangkan dengan . Terkadang mereka juga menunjukkan nilai logaritma yang tidak ada di cabang utama.

Dari rumusnya sebagai berikut:

Bagian real dari logaritma ditentukan dengan rumus:

Logaritma bilangan negatif dicari dengan rumus:

Contoh (nilai utama logaritma diberikan):

Logaritma kompleks dengan basis berbeda diperlakukan sama. Namun, seseorang harus berhati-hati saat mengonversi logaritma kompleks, dengan mempertimbangkan bahwa logaritma tersebut bernilai banyak, dan oleh karena itu persamaan logaritma dari ekspresi apa pun tidak berarti persamaan ekspresi ini. Contoh penalaran yang salah:

Sayaπ = ln(− 1) = ln((− Saya) 2) = 2ln(− Saya) = 2(− Sayaπ / 2) = − Sayaπ jelas merupakan sebuah absurditas.

Perhatikan bahwa di sebelah kiri adalah nilai utama logaritma, dan di sebelah kanan adalah nilai dari cabang yang mendasarinya ( k= − 1). Penyebab kesalahan ini adalah penggunaan properti yang ceroboh, yang, secara umum, berarti dalam kasus kompleks seluruh himpunan nilai logaritma yang tak terhingga, dan bukan hanya nilai utama.

permukaan Riemann

Fungsi logaritma kompleks - sebuah contoh permukaan Riemann; bagian imajinernya (Gbr. 3) terdiri dari cabang-cabang yang jumlahnya tak terhingga, dipelintir seperti spiral. Permukaan ini hanya terhubung; hanya nol (orde pertama) yang diperoleh di z= 1, poin tunggal: z= 0 dan (titik cabang dengan orde tak terhingga).

Permukaan Riemann dari logaritma adalah penutup universal untuk bidang kompleks tanpa titik 0.

Sketsa sejarah

Logaritma nyata

Perlunya perhitungan yang rumit di abad ke-16 berkembang pesat, dan sebagian besar kesulitannya terkait dengan perkalian dan pembagian bilangan multi-digit. Pada akhir abad ini, beberapa ahli matematika, hampir secara bersamaan, mengemukakan ide: mengganti perkalian padat karya dengan penjumlahan sederhana, membandingkan menggunakan tabel khusus geometris Dan hitung perkembangan, sedangkan yang geometris akan menjadi yang asli. Kemudian pembagian secara otomatis digantikan dengan pengurangan yang jauh lebih sederhana dan lebih dapat diandalkan. Dia adalah orang pertama yang mempublikasikan ide ini dalam bukunya “ Integrasi Aritmatika» Michael Stiefel, yang, bagaimanapun, tidak melakukan upaya serius untuk mengimplementasikan idenya.

DI DALAM 1614 Matematikawan amatir Skotlandia John Napier Diterbitkan di Latin sebuah esai berjudul " Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan" Memang benar Deskripsi Singkat logaritma dan propertinya, serta tabel logaritma 8 digit sinus, cosinus Dan garis singgung, dengan kelipatan 1". Term logaritma, yang diusulkan oleh Napier, telah memantapkan dirinya dalam sains.

Konsep fungsi belum ada, dan Napier mendefinisikan logaritma secara kinematis, membandingkan gerakan lambat seragam dan logaritmik. Dalam notasi modern, model Napier dapat direpresentasikan dengan persamaan diferensial: dx/x = -dy/M, di mana M adalah faktor skala yang diperkenalkan untuk membuat nilai menjadi bilangan bulat jumlah yang tepat tanda-tanda (pecahan desimal belum banyak digunakan). Napier mengambil M = 10000000.

Sebenarnya, Napier mentabulasikan fungsi yang salah, yang sekarang disebut logaritma. Jika kita menyatakan fungsinya LogNap(x), maka hubungannya dengan logaritma natural sebagai berikut:

Jelas sekali, LogNap(M) = 0, yaitu logaritma dari "sinus penuh" adalah nol - inilah yang dicapai Napier dengan definisinya. LogNap(0) = ∞.

Sifat utama logaritma Napier: jika besarannya terbentuk perkembangan geometri, maka logaritmanya membentuk suatu perkembangan hitung. Namun aturan logaritma fungsi neper berbeda dengan aturan logaritma modern.

Misalnya, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Sayangnya, semua nilai dalam tabel Napier mengandung kesalahan komputasi setelah digit keenam. Namun, hal ini tidak menghalangi metode perhitungan baru untuk mendapatkan popularitas yang luas, termasuk banyak ahli matematika Eropa Kepler.

Pada tahun 1620-an Edmund Wingate dan William Seharusnya menemukan yang pertama aturan geser, sebelum munculnya kalkulator saku, alat insinyur yang sangat diperlukan.

Dekat dengan pemahaman modern tentang logaritma - sebagai operasi invers eksponen- pertama kali muncul di Wallis Dan Johann Bernoulli, dan akhirnya disahkan Euler V abad ke-18. Dalam buku “Pengantar Analisis Yang Tak Terbatas” ( 1748 ) Euler memberikan definisi modern sebagai indikatif, dan fungsi logaritma, memperluasnya ke dalam deret pangkat, dan secara khusus mencatat peran logaritma natural.

Euler juga berjasa memperluas fungsi logaritmik ke domain kompleks.

Logaritma kompleks

Upaya pertama untuk memperluas logaritma ke bilangan kompleks dilakukan pada pergantian abad ke-17-18 Leibniz Dan Johann Bernoulli Namun, mereka gagal menciptakan teori yang lengkap - terutama karena konsep logaritma belum didefinisikan dengan jelas. Diskusi mengenai masalah ini terjadi pertama kali antara Leibniz dan Bernoulli, dan pada pertengahan abad ke-18 - antara d'Alembert dan Euler. Bernoulli dan d'Alembert percaya bahwa hal itu harus ditentukan catatan(-x) = catatan(x). Teori lengkap tentang logaritma bilangan negatif dan kompleks diterbitkan oleh Euler pada tahun 1747-1751 dan pada dasarnya tidak berbeda dengan teori modern.

Meskipun perselisihan terus berlanjut (D'Alembert mempertahankan sudut pandangnya dan memperdebatkannya secara rinci dalam sebuah artikel di Ensiklopedia dan karya lain), sudut pandang Euler dengan cepat mendapat pengakuan universal.

Tabel logaritma

Tabel logaritma

Dari sifat-sifat logaritma dapat disimpulkan bahwa alih-alih mengalikan bilangan multi-digit dengan susah payah, cukup mencari (dari tabel) dan menjumlahkan logaritmanya, lalu menggunakan tabel yang sama untuk melakukan potensiasi, yaitu mencari nilai hasil berdasarkan logaritmanya. Perbedaan dalam melakukan pembagian hanya terletak pada pengurangan logaritmanya. Laplace mengatakan bahwa penemuan logaritma “memperpanjang umur para astronom”, mempercepat proses perhitungan berkali-kali lipat.

Saat memindahkan koma desimal dalam suatu angka ke N digit, nilai logaritma desimal dari angka ini berubah menjadi N. Misalnya, log8314.63 = log8.31463 + 3. Oleh karena itu, cukup membuat tabel logaritma desimal untuk angka dalam rentang 1 hingga 10.

Tabel logaritma pertama diterbitkan oleh John Napier ( 1614 ), dan hanya berisi logaritma fungsi trigonometri, dan dengan kesalahan. Terlepas dari dia, Joost Bürgi, seorang teman, menerbitkan tabelnya Kepler (1620 ). DI DALAM 1617 Oxford profesor matematika Henry Briggs tabel yang diterbitkan yang sudah menyertakan logaritma desimal dari angka itu sendiri, dari 1 hingga 1000, dengan 8 (kemudian 14) digit. Namun ada juga kesalahan dalam tabel Briggs. Edisi bebas kesalahan pertama berdasarkan tabel Vega ( 1783 ) hanya muncul di 1857 di Berlin (meja Bremiwer).

Di Rusia, tabel logaritma pertama diterbitkan pada 1703 dibintangi L.F.Magnitsky. Beberapa kumpulan tabel logaritma diterbitkan di Uni Soviet.

Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. Edisi ke-44, M., 1973.

Tabel Bradis ( 1921 ) digunakan di lembaga pendidikan dan dalam perhitungan teknik yang tidak memerlukan ketelitian tinggi. Mereka berisi mantissa logaritma desimal angka dan fungsi trigonometri, logaritma natural dan beberapa alat perhitungan berguna lainnya.

literatur

Uspensky Ya.V. Esai tentang sejarah logaritma. Petrograd, 1923.−78 hal.

Vygodsky M.Ya. Buku Pegangan Matematika Dasar. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

Sejarah Matematika, diedit oleh A.P. Yushkevich dalam tiga jilid, M.: Nauka.

Jilid 1 Dari zaman kuno hingga awal zaman modern. (1970) psikologi sebagai ilmu yang mandiri (2) Abstrak >> Psikologi

Tujuan utama mata pelajaran cerita psikologi 1. Analisis munculnya Dan pengembangan lebih lanjut... sensasinya proporsional logaritma intensitas stimulus: untuk... melakukan suatu tindakan, terkondisi munculnya kebutuhan untuk memecahkan suatu masalah; - sasaran...

• Cerita psikologi (10)

  Abstrak >> Psikologi

  Menjadi cikal bakal psikofisika. Meja logaritma ternyata bisa diterapkan pada fenomena mental... yang menjadi akar naluri sejarah spesies, tanpa mereka, hidup... rusak,” sesuai dengan fenomena menyakitkan apa pun. Munculnya arah baru dalam psikologi, sosiologi...

• Cerita psikologi sebagai ilmu yang mandiri (1)

  Lembar contekan >> Psikologi

  Kegiatan: Tujuan utama mata pelajaran cerita psikologi 1. Dialisis munculnya dan pengembangan ilmu pengetahuan lebih lanjut... adalah intensitas sensasinya proporsional logaritma intensitas stimulus: untuk...

• Cerita psikologi sosial (2)

  Lembar contekan >> Psikologi

  Bahwa besarnya sensasi itu proporsional logaritma intensitas stimulus saat ini (... abad XX untuk pertama kalinya di cerita psikolog mencoba menyelidiki secara eksperimental... mengidentifikasi penyebab dan kondisi tertentu munculnya neurosis, pemisahan menjadi khusus...

Fungsi logaritma

Fungsi logaritma adalah fungsi yang berbentuk f(x) = logax, didefinisikan di

Domain: . Jarak nilai: . Fungsinya meningkat tajam untuk a > 1 dan menurun tajam untuk 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Garis lurus x = 0 merupakan asimtot vertikal kiri, karena untuk a > 1 dan untuk 0< a < 1.

Turunan fungsi logaritma sama dengan:

Fungsi logaritma melakukan isomorfisme antara kelompok perkalian bilangan real positif dan kelompok penjumlahan semua bilangan real.

Logaritma kompleks

Definisi dan properti

Untuk bilangan kompleks, logaritma didefinisikan dengan cara yang sama seperti bilangan real. Dalam praktiknya, logaritma kompleks natural digunakan hampir secara eksklusif, yang kami nyatakan dan definisikan sebagai himpunan semua bilangan kompleks z sehingga ez = w. Logaritma kompleks ada untuk siapa saja, dan bagian riilnya ditentukan secara unik, sedangkan bagian imajinernya memiliki jumlah nilai yang tak terhingga. Oleh karena itu, disebut fungsi multinilai. Jika kita merepresentasikan w dalam bentuk eksponensial:

maka logaritmanya dicari dengan rumus:

Berikut adalah logaritma real, r = | w | , k adalah bilangan bulat sembarang. Nilai yang diperoleh jika k = 0 disebut nilai pokok logaritma natural kompleks; Merupakan kebiasaan untuk mengambil nilai argumen dalam interval (? р,р]. Fungsi yang sesuai (sudah bernilai tunggal) disebut cabang utama logaritma dan dilambangkan. Terkadang nilai logaritma yang tidak terletak pada cabang utama juga dilambangkan dengan.

Dari rumusnya sebagai berikut:

Bagian real dari logaritma ditentukan dengan rumus:

Logaritma bilangan negatif dicari dengan menggunakan rumus.

Fungsi eksponensial suatu variabel riil (dengan basis positif) ditentukan dalam beberapa langkah. Pertama, untuk nilai alami - sebagai produk dari faktor yang sama. Definisi tersebut kemudian diperluas ke bilangan bulat negatif dan nilai bukan nol menurut aturan. Selanjutnya kita pertimbangkan indikator pecahan, yang nilai fungsi eksponensialnya ditentukan menggunakan akar-akarnya: . Untuk nilai-nilai irasional, definisi tersebut sudah dikaitkan dengan konsep dasar analisis matematika - dengan perjalanan ke batas, karena alasan kontinuitas. Semua pertimbangan ini sama sekali tidak berlaku untuk upaya memperluas fungsi eksponensial ke nilai kompleks dari indikator, dan apa itu, misalnya, sama sekali tidak jelas.

Untuk pertama kalinya, pangkat dengan eksponen kompleks dengan basis natural diperkenalkan oleh Euler berdasarkan analisis sejumlah konstruksi kalkulus integral. Terkadang ekspresi aljabar yang sangat mirip, jika diintegrasikan, memberikan jawaban yang sangat berbeda:

Pada saat yang sama, di sini integral kedua secara formal diperoleh dari integral pertama ketika diganti dengan

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa dengan definisi yang tepat dari fungsi eksponensial dengan eksponen kompleks, fungsi trigonometri invers berhubungan dengan logaritma dan dengan demikian fungsi eksponensial berhubungan dengan fungsi trigonometri.

Euler mempunyai keberanian dan imajinasi untuk memberikan definisi yang masuk akal untuk fungsi eksponensial dengan basis, yaitu,

Ini adalah sebuah definisi, dan oleh karena itu rumusan ini tidak dapat dibuktikan; kita hanya dapat mencari argumen yang mendukung kewajaran dan kelayakan definisi tersebut. Analisis matematis memberikan banyak argumen semacam ini. Kami akan membatasi diri pada satu saja.

Diketahui bahwa nyata ada hubungan yang membatasi: . Di sisi kanan terdapat polinomial yang juga masuk akal untuk nilai kompleks . Limit suatu barisan bilangan kompleks ditentukan secara alami. Suatu barisan dianggap konvergen jika barisan bagian real dan imajinernya bertemu dan diterima

Mari kita temukan. Untuk melakukan ini, mari kita beralih ke bentuk trigonometri dan untuk argumennya kita akan memilih nilai dari interval. Dengan pilihan ini jelas bahwa untuk . Lebih jauh,

Untuk mencapai batas tersebut, Anda perlu memverifikasi keberadaan batas dan dan menemukan batas tersebut. Hal ini jelas bahwa

Jadi, dalam ekspresi

bagian nyata cenderung , bagian imajiner cenderung demikian

Argumen sederhana ini memberikan salah satu argumen yang mendukung definisi fungsi eksponensial Euler.

Sekarang mari kita tentukan bahwa ketika mengalikan nilai fungsi eksponensial, eksponennya bertambah. Benar-benar:

2. Rumus Euler.

Mari kita masukkan definisi fungsi eksponensial. Kita mendapatkan:

Mengganti b dengan -b, kita dapatkan

Dengan menjumlahkan dan mengurangkan persamaan ini suku demi suku, kita menemukan rumusnya

disebut rumus Euler. Mereka membangun hubungan antar fungsi trigonometri dan eksponensial dengan eksponen imajiner.

3. Logaritma natural bilangan kompleks.

Bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk trigonometri dapat ditulis dalam bentuk. Dia menyelamatkan segalanya properti yang bagus bentuk trigonometri, tetapi lebih ringkas. Oleh karena itu, wajar untuk berasumsi bahwa bagian real dari logaritma suatu bilangan kompleks adalah logaritma modulusnya, dan bagian imajinernya adalah argumennya. Hal ini sampai batas tertentu menjelaskan sifat “logaritma” dari argumen - argumen hasil kali sama dengan jumlah argumen faktor-faktornya.