Turunan parsial kedua dari fungsi kompleks. Turunan fungsi kompleks dari beberapa variabel. Apa yang dimaksud dengan "turunan parsial"

1 °

1 °. Kasus satu variabel bebas... Jika z = f (x, y) adalah fungsi terdiferensiasi dari argumen x dan y, yang selanjutnya adalah fungsi terdiferensiasi dari variabel bebas T:, maka turunan dari fungsi kompleks dapat dihitung dengan rumus

Contoh. Temukan jika, di mana.

Larutan. Dengan rumus (1) kita memiliki:

Sebuah contoh. Tentukan turunan parsial dan turunan total jika .

Larutan. ...

Berdasarkan rumus (2), kita peroleh .

2°. Kasus beberapa variabel bebas.

Biarlah z =F (x;y) - fungsi dua variabel NS dan y, yang masing-masing merupakan fungsi dari variabel bebas t: x =x (t), y =y (T). Dalam hal ini, fungsi z =F (x (T);y (T)) adalah fungsi kompleks dari satu variabel bebas T; variabel x dan y adalah variabel perantara.

Dalil... Jika z == F(x; y) - terdiferensiasi pada titik M (x; y)D fungsi dan x =x (T) dan pada =y (T) - fungsi terdiferensiasi dari variabel bebas T, maka turunan dari fungsi kompleks z (T) == F(x (T);y (T)) dihitung dengan rumus

Kasus khusus:z = F (x; y), dimana y = y (x), itu. z = F (x;y (x)) - fungsi kompleks dari satu variabel bebas NS. Kasus ini direduksi menjadi yang sebelumnya, dan peran variabel T memainkan NS. Menurut rumus (3), kita memiliki:

Rumus terakhir disebut rumus turunan penuh.

Kasus umum:z = F (x;y), di mana x =x (kamu;v),y =y (kamu;v). Maka z = F (x (kamu;v);y (kamu;v)) - fungsi kompleks variabel bebas dan dan v. Turunan parsialnya dan dapat dicari dengan menggunakan rumus (3) sebagai berikut. Pemasangan v, kami menggantinya dengan turunan parsial yang sesuai

Jadi, turunan dari fungsi kompleks (z) terhadap setiap variabel bebas (dan dan v) sama dengan jumlah produk turunan parsial dari fungsi ini (z) sehubungan dengan variabel perantaranya (x dan y) untuk turunannya sehubungan dengan variabel independen yang sesuai (u dan v).

Dalam semua kasus yang dipertimbangkan, rumus berikut ini valid:

(properti invarian dari total diferensial).

Contoh. Temukan dan, jika z = F(x, y), di mana x = uv,.

Larutan. Menerapkan rumus (4) dan (5), kita mendapatkan:

Contoh. Tunjukkan bahwa fungsi memenuhi persamaan .

Larutan. Fungsi bergantung pada x dan y melalui argumen perantara, jadi

Mengganti turunan parsial di sisi kiri persamaan, kita akan memiliki:

Artinya, fungsi z memenuhi persamaan ini.

Turunan dalam arah tertentu dan gradien fungsi

1 °. Turunan suatu fungsi dalam arah tertentu. Turunan fungsi z = F(x, y) ke arah ini ditelepon , dimana dan adalah nilai fungsi pada titik dan . Jika fungsi z terdiferensialkan, maka rumusnya

di mana sudut antara arah aku dan sumbu koordinat yang sesuai. Turunan dalam arah tertentu mencirikan laju perubahan fungsi dalam arah ini.

Contoh. Tentukan turunan dari fungsi z = 2x 2 - 3y 2 di titik P (1; 0) yang arahnya membentuk sudut 120° dengan sumbu OX.

Larutan. Mari kita cari turunan parsial dari fungsi ini dan nilainya di titik P.

Dalil.Biarlah u = f (x, y) diberikan dalam domain D dan biarkan x = x (t) dan y = y (t) diidentifikasi di daerah , apalagi, ketika , maka x dan y termasuk dalam domain D . Biarkan fungsi u terdiferensialkan di titik M 0 (x 0 , kamu 0 , z 0), dan fungsi x(T) dan di(T) terdiferensial pada titik yang bersesuaian t 0 , maka fungsi kompleks u = f [x(T), kamu(T)]= F (T) terdiferensial di titik t 0 dan kesetaraan terjadi:

Bukti. Karena u dapat dibedakan oleh hipotesis pada titik ( x 0 , kamu 0), maka kenaikan penuhnya direpresentasikan sebagai

Membagi rasio ini dengan, kita mendapatkan:

Mari kita lewati batas di dan dapatkan rumusnya

Catatan 1. Jika kamu= kamu(x, y) dan x= x, kamu= kamu(x), maka turunan total dari fungsi kamu menurut variabel NS

atau .

Persamaan terakhir dapat digunakan untuk membuktikan aturan diferensiasi fungsi dari satu variabel, diberikan secara implisit dalam bentuk F(x, kamu) = 0, dimana kamu= kamu(x) (lihat topik No. 3 dan contoh 14).

Kita punya: ... Dari sini . (6.1)

Mari kita kembali ke contoh 14 dari topik # 3:

;

Seperti yang Anda lihat, jawabannya bertepatan.

Catatan 2. Biarlah kamu = F (x, y), di mana NS= NS(T , v), pada= pada(T , v). Maka u pada akhirnya adalah fungsi kompleks dari dua variabel T dan v ... Jika sekarang fungsi u terdiferensialkan pada titik M 0 (x 0 , kamu 0), dan fungsi NS dan pada terdiferensial pada titik yang bersesuaian ( T 0 , v 0), maka kita dapat berbicara tentang turunan parsial sehubungan dengan T dan v dari fungsi kompleks di titik ( T 0 , v 0). Tetapi jika kita berbicara tentang turunan parsial terhadap t pada titik tertentu, maka variabel kedua v dianggap konstan dan sama dengan v 0. Oleh karena itu, kita berbicara tentang turunan hanya dari fungsi kompleks sehubungan dengan t dan, oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus turunan. Dengan demikian, kita mendapatkan:

dan .

Contoh 13. Temukan Turunan Total dari suatu Fungsi kamu = x kamu, di mana x = dosa T, y = karena T .

41. Ekstrem suatu fungsi dari beberapa variabel.

Ekstrem dari fungsi beberapa variabel. Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk keberadaan ekstrem

Definisi 7. Suatu titik disebut titik minimum (maksimum) suatu fungsi jika terdapat suatu lingkungan dari titik tersebut sehingga pertidaksamaan () dipenuhi untuk semua titik dari lingkungan tersebut.

Titik minimum dan maksimum suatu fungsi disebut titik ekstrem, dan nilai fungsi pada titik-titik ini disebut titik ekstrem fungsi (masing-masing minimum dan maksimum).

Perhatikan bahwa fungsi minimum dan maksimum bersifat lokal, karena nilai fungsi pada suatu titik dibandingkan dengan nilainya pada titik-titik yang cukup dekat.

Teorema 1 (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem). Jika adalah titik ekstrem dari fungsi terdiferensiasi, maka turunan parsialnya dan pada titik ini sama dengan nol :.

Titik-titik di mana turunan parsial orde pertama sama dengan nol disebut kritis atau stasioner. Pada titik kritis, suatu fungsi mungkin atau mungkin tidak memiliki ekstrem.

Teorema 2 (kondisi cukup untuk suatu ekstrem). Biarkan fungsi: a) didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik kritis di mana dan; b) memiliki turunan parsial kontinu dari orde kedua. Kemudian, jika, maka fungsi pada titik tersebut memiliki ekstrem: maksimum, jika A<0; минимум, если А>0; jika, maka fungsi tersebut tidak memiliki titik ekstrem. Dalam kasus ini, pertanyaan tentang keberadaan ekstrem tetap terbuka.

Saat memeriksa fungsi dua variabel untuk ekstrem, disarankan untuk menggunakan skema berikut:

1. Cari turunan parsial dari orde pertama: dan.

2. Selesaikan sistem persamaan dan temukan titik kritis dari fungsi tersebut.

3. Cari turunan parsial dari orde kedua :,.

4. Hitung nilai turunan parsial orde kedua pada setiap titik kritis dan, dengan menggunakan kondisi yang cukup, simpulkan bahwa ada ekstrem.

5. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut.

Contoh 6. Menemukan ekstrem dari suatu fungsi.

Larutan. 1. Temukan turunan parsial dan:

2. Untuk menentukan titik kritis, kita selesaikan sistem persamaan

Dari persamaan pertama sistem kita menemukan:. Substitusikan nilai y yang ditemukan ke dalam persamaan kedua, kita dapatkan

Temukan nilai y yang sesuai dengan nilai tersebut. Mengganti nilai ke dalam persamaan, kita mendapatkan:.

Jadi, kita memiliki dua titik kritis: dan.

3. Temukan turunan parsial dari orde kedua:

4. Kami menghitung nilai turunan parsial orde kedua pada setiap titik kritis. Untuk satu titik, kami memiliki:

maka tidak ada ekstrem pada titik tersebut.

dan maka dari itu

Oleh karena itu, berdasarkan kondisi cukup untuk suatu ekstrem, pada suatu titik fungsi memiliki minimum, karena pada titik ini dan.

Sebuah bukti dari rumus untuk turunan dari fungsi kompleks diberikan. Kasus ketika fungsi kompleks tergantung pada satu atau dua variabel dipertimbangkan secara rinci. Generalisasi dibuat untuk kasus sejumlah variabel yang berubah-ubah.

Isi

Lihat juga: Contoh penggunaan rumus turunan fungsi kompleks

Rumus dasar

Di sini kami menyajikan turunan dari rumus berikut untuk turunan dari fungsi kompleks.
Jika kemudian
.
Jika kemudian
.
Jika kemudian
.

Turunan dari fungsi kompleks dari satu variabel

Biarkan fungsi variabel x direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dalam bentuk berikut:
,
di mana ada beberapa fungsi. Fungsi tersebut dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x. Fungsi tersebut terdiferensialkan pada nilai variabelnya.
Maka fungsi kompleks (komposit) terdiferensialkan di titik x dan turunannya ditentukan dengan rumus:
(1) .

Rumus (1) juga dapat ditulis sebagai berikut:
;
.

Bukti

Mari kita perkenalkan notasi berikut.
;
.
Ada fungsi variabel dan, ada fungsi variabel dan. Tetapi kami akan menghilangkan argumen dari fungsi-fungsi ini agar tidak mengacaukan perhitungan.

Karena fungsi dan terdiferensiasi di titik x dan masing-masing, di titik-titik ini ada turunan dari fungsi-fungsi ini, yang merupakan batas-batas berikut:
;
.

Perhatikan fungsi berikut:
.
Untuk nilai tetap dari variabel u, adalah fungsi dari. Jelas bahwa
.
Kemudian
.

Karena fungsi tersebut merupakan fungsi yang dapat diturunkan di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut. Itu sebabnya
.
Kemudian
.

Sekarang kita temukan turunannya.

.

Formulanya terbukti.

Konsekuensi

Jika fungsi dari variabel x dapat direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dari fungsi kompleks
,
maka turunannya ditentukan oleh rumus
.
Di sini, dan ada beberapa fungsi yang dapat dibedakan.

Untuk membuktikan rumus ini, kami menghitung turunan secara berurutan sesuai dengan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
Pertimbangkan fungsi kompleks
.
turunannya
.
Pertimbangkan fungsi aslinya
.
turunannya
.

Turunan dari fungsi kompleks dua variabel

Sekarang biarkan fungsi kompleks bergantung pada beberapa variabel. Pertimbangkan dulu fungsi kompleks dalam dua variabel.

Biarkan fungsi yang bergantung pada variabel x direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dari dua variabel dalam bentuk berikut:
,
di mana
dan ada fungsi yang dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x;
- fungsi dari dua variabel, terdiferensiasi pada titik,. Kemudian fungsi kompleks didefinisikan di beberapa lingkungan titik dan memiliki turunan, yang ditentukan oleh rumus:
(2) .

Bukti

Karena fungsi dan terdiferensiasi di suatu titik, mereka didefinisikan di beberapa lingkungan titik ini, kontinu di suatu titik, dan turunannya ada di suatu titik, yang merupakan batas-batas berikut:
;
.
Di Sini
;
.
Karena kontinuitas fungsi-fungsi ini pada titik, kami memiliki:
;
.

Karena fungsi terdiferensiasi pada suatu titik, fungsi tersebut didefinisikan di beberapa lingkungan titik ini, kontinu pada titik ini, dan kenaikannya dapat ditulis dalam bentuk berikut:
(3) .
Di Sini

- kenaikan fungsi ketika argumennya bertambah dengan nilai dan;
;

- turunan parsial dari fungsi terhadap variabel dan.
Untuk nilai tetap dari dan, dan ada fungsi dari variabel dan. Mereka cenderung nol pada dan:
;
.
Sejak dan, maka
;
.

Peningkatan fungsi:

. :
.
Pengganti (3):

.

Formulanya terbukti.

Turunan dari Fungsi Kompleks Beberapa Variabel

Kesimpulan di atas dapat dengan mudah digeneralisasi untuk kasus ketika jumlah variabel dari fungsi kompleks lebih dari dua.

Misalnya, jika f adalah fungsi dari tiga variabel, kemudian
,
di mana
, dan ada fungsi yang dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x;
- fungsi terdiferensiasi, dari tiga variabel, pada titik,,.
Kemudian, dari definisi diferensiasi fungsi, kami memiliki:
(4)
.
Karena, berdasarkan kontinuitas,
; ; ,
kemudian
;
;
.

Membagi (4) dengan dan melakukan bagian hingga batas, kami memperoleh:
.

Akhirnya, pertimbangkan kasus yang paling umum.
Biarkan fungsi dari variabel x direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dari n variabel dalam bentuk berikut:
,
di mana
ada fungsi yang dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x;
adalah fungsi terdiferensial dari n variabel di titik
, , ... , .
Kemudian
.

Lihat juga:

Biarkan fungsi z - f (x, y) didefinisikan dalam beberapa domain D pada bidang x0y. Ambil titik interior (x, y) dari domain D dan beri x pertambahan Ax sedemikian rupa sehingga titik (x + Ax, y) 6 D (Gbr. 9). Kuantitas akan disebut kenaikan parsial fungsi z terhadap x. Mari kita buat relasi Untuk suatu titik tertentu (x, y), relasi ini merupakan fungsi Definisi. Jika untuk Ax - * 0 rasio ^ memiliki limit berhingga, maka limit ini disebut turunan parsial dari fungsi z = f (x, y) terhadap variabel bebas x di titik (x, y) dan adalah dilambangkan dengan simbol jfc (atau / i (x, jj ), atau z "x (x, Jadi, menurut definisi, atau, yang sama, Demikian pula, Jika dan adalah fungsi dari n variabel bebas, maka Perhatikan bahwa Arz dihitung dengan nilai variabel y yang tidak berubah, dan Atz - dengan nilai variabel x yang tidak berubah, definisi turunan parsial dapat dirumuskan sebagai berikut: Turunan parsial Arti geometris turunan parsial dari fungsi dua variabel Diferensiabilitas dari fungsi dari beberapa variabel Kondisi yang diperlukan untuk diferensiasi suatu fungsi Kondisi yang memadai untuk diferensiasi fungsi beberapa variabel Diferensial total Diferensial parsial Turunan dari fungsi kompleks turunan parsial terhadap x dari fungsi z = / (x, y ) adalah turunan biasa dari fungsi ini terhadap x, dihitung dengan asumsi bahwa y adalah konstanta; turunan parsial terhadap y dari fungsi z - / (x , y) disebut turunannya terhadap y, dihitung dengan asumsi bahwa x adalah konstanta. Oleh karena itu, aturan untuk menghitung turunan parsial bertepatan dengan aturan yang terbukti untuk fungsi satu variabel. Contoh. Temukan turunan parsial dari fungsi 4 Kami memiliki Substitusi *. Keberadaan fungsi z = f (x, y) pada titik tertentu dari turunan parsial terhadap semua argumen tidak menghalangi kontinuitas fungsi pada titik ini. Jadi, fungsi tersebut tidak kontinu di titik 0 (0,0). Namun, pada titik ini fungsi yang ditunjukkan memiliki turunan parsial terhadap x dan terhadap y. Ini mengikuti dari fakta bahwa f (x, 0) = 0 dan / (0, y) = 0, dan oleh karena itu makna geometris turunan parsial dari fungsi dua variabel. Biarkan permukaan S dalam ruang tiga dimensi diberikan dengan persamaan di mana f (x, y) adalah suatu fungsi, kontinu di beberapa domain D dan memiliki turunan parsial terhadap x dan terhadap y. Mari kita perjelas arti geometris dari turunan ini di titik Mo (xo, yo) 6 D, yang sesuai dengan titik f (x0) yo)) pada permukaan z = f (x) y). Ketika menemukan turunan parsial pada titik M0, kita asumsikan bahwa z hanya fungsi dari argumen x, sedangkan argumen y mempertahankan nilai konstan y = yo, yaitu, fungsi fi (x) digambarkan secara geometris oleh kurva L sepanjang permukaan S berpotongan dengan bidang y = di sekitar. Berdasarkan arti geometris turunan fungsi satu variabel f \ (xo) = tan a, di mana a adalah sudut yang dibentuk oleh garis singgung garis L pada titik JV0 dengan sumbu Ox (Gbr. 10) . Jadi, turunan parsial ($ |) sama dengan garis singgung sudut a antara sumbu Ox dan garis singgung di titik N0 terhadap kurva yang diperoleh di bagian permukaan z = f (x, y) oleh bidang y Demikian pula, kita memperoleh bahwa 6. Diferensiabilitas fungsi beberapa variabel Biarkan fungsi z = f (x, y) didefinisikan dalam beberapa domain D pada bidang xOy. Ambil titik (x, y) € D dan untuk nilai x dan y yang dipilih, kami memberikan setiap kenaikan Ax dan Du, tetapi sedemikian rupa sehingga titik tersebut. Definisi. Sebuah fungsi r = f (x, y) disebut terdiferensiasi * titik (x, y) € 2E jika kenaikan total fungsi ini sesuai dengan kenaikan Δx, y dari argumen dapat direpresentasikan dalam bentuk di mana A dan B tidak bergantung pada x dan y ( tetapi umumnya bergantung pada x dan y), dan a (Dx, Du) dan /? (Dx, Du) cenderung nol karena Dx dan Du cenderung nol. ... Jika fungsi z = f (x, y) terdiferensialkan di titik (x, y), maka bagian A Dx 4-BDy dari kenaikan fungsi, linier terhadap Dx dan Dy, disebut diferensial total fungsi ini di titik (x, y) dan dilambangkan dengan simbol dz: Contoh. Misalkan r = x2 + y2. Pada setiap titik (z, y) dan untuk setiap Dx dan Dy yang kita miliki Di Sini. bahwa a dan / 3 cenderung nol karena Dx dan Du cenderung nol. Menurut definisi, fungsi ini terdiferensiasi pada setiap titik di bidang xOy. Perlu dicatat bahwa dalam penalaran kami, kami tidak secara resmi mengecualikan kasus ketika kenaikan Dx, Dy secara terpisah atau bahkan keduanya sekaligus sama dengan nol. Rumus (1) dapat ditulis lebih ringkas jika kita memperkenalkan ekspresi (jarak antara titik (Dengan menggunakannya, kita dapat menulis.) Du 0, atau, singkatnya, jika p 0. Rumus (1), menyatakan kondisi Diferensiabilitas fungsi z = f (xt y) di titik (x, y), sekarang dapat ditulis dalam bentuk Jadi, pada contoh 6.1 di atas suatu fungsi terdiferensiasi Teorema 4. Jika suatu fungsi z = f (x, y) terdiferensialkan di beberapa titik, kemudian kontinu pada titik ini Kenaikan fungsi i pada titik ini "" e, sesuai dengan kenaikan J dan Dy dari argumen, dapat direpresentasikan dalam bentuk f (x, y) kontinu Teorema b. Jika suatu fungsi r = f (x, y) terdiferensialkan pada suatu titik tertentu, maka terdapat turunan parsial $ gu pada titik ini. Biarkan fungsi z = f (x, y) terdiferensial terhadap titik (x, y). Kemudian, kenaikan ^ z dari fungsi ini, sesuai dengan kenaikan x, Ay dari argumen, dapat direpresentasikan dalam bentuk (1). Dengan mengambil persamaan (1) Dx 0, Dy = 0, diperoleh dari mana Karena pada ruas kanan persamaan terakhir nilai A tidak bergantung pada, Artinya pada titik (x,y) terdapat turunan parsial dari fungsi r = f (x, y) terhadap x, dan dengan alasan yang sama kita dapat melihat (x, ada turunan parsial dari fungsi zy, dan ini mengikuti dari teorema yang kita tekankan bahwa Teorema 5 menegaskan keberadaan turunan parsial hanya di titik (x, y), tetapi tidak mengatakan apa pun tentang kontinuitasnya di titik ini, serta perilakunya di sekitar titik (x, y) 6.2 Kondisi cukup untuk diferensiasi fungsi beberapa variabel Seperti diketahui, kondisi perlu dan cukup untuk diferensiasi fungsi y = f (x) dari satu variabel di titik x0 adalah keberadaan turunan hingga f "(x) di titik x0 Dalam kasus ketika fungsi bergantung pada beberapa variabel, situasinya jauh lebih rumit: tidak ada kondisi yang diperlukan dan cukup untuk diferensiasi fungsi z = f (x, y) dari dua variabel bebas x, y; ada aku Cari kondisi yang diperlukan secara terpisah (lihat. di atas) dan secara terpisah - cukup. Kondisi cukup untuk diferensiasi fungsi beberapa variabel dinyatakan oleh teorema berikut. Teorema c. Jika fungsi tersebut memiliki turunan parsial f £ dan f “v pada suatu lingkungan tipis (xo, yo) dan jika turunan ini kontinu di titik (xo, yo), maka fungsi z = f (x, y) terdiferensialkan pada titik (x- Contoh: Pertimbangkan fungsi Turunan parsial Arti geometris dari turunan parsial fungsi dua variabel Diferensiabilitas fungsi beberapa variabel Kondisi yang diperlukan untuk diferensiasi fungsi Kondisi yang cukup untuk diferensiasi fungsi beberapa variabel Diferensial total Diferensial parsial Turunan dari fungsi kompleks Ini didefinisikan di mana-mana Kita menemukan fungsi yang diberikan pada titik 0 (0,0) dan kenaikan ini mempertajam Untuk diferensial fungsi f (x, y) = di titik 0 (0,0), diperlukan fungsi e (Dx, Dy) adalah 0 dan Dy 0. Masukkan A0. Maka dari rumus (1) kita akan memiliki Oleh karena itu, fungsi f (x, y) = adalah tidak terdiferensiasi pada titik 0 (0,0), meskipun memiliki fa dan f”r pada titik ini. hasilnya dijelaskan oleh fakta bahwa turunan f "z dan f" t diskontinu pada titik 7. Diferensial penuh. Diferensial Parsial Jika fungsi z - f (z> y) dapat diturunkan, maka diferensialnya dz sama dengan kenaikannya: Setelah ini, rumus untuk diferensial total fungsi akan mengambil contoh. Misalkan i - 1n (x + y2). Demikian pula, jika u =) adalah fungsi terdiferensiasi dari n variabel bebas, maka Persamaan disebut diferensial ramping dari fungsi z = f (x, y) terhadap variabel x; ekspresi disebut diferensial parsial dari fungsi z = f (x, y) variabel y. Ini mengikuti dari rumus (3), (4), dan (5) bahwa diferensial total suatu fungsi adalah jumlah dari diferensial parsialnya: Perhatikan bahwa kenaikan total Az dari fungsi z = f (x, y), umumnya berbicara, tidak sama dengan jumlah kenaikan parsial. Jika pada suatu titik (x, y) fungsi z = f (x, y) terdiferensial dan diferensial dz 0 pada titik ini, maka pertambahan totalnya berbeda dari bagian liniernya hanya dengan jumlah suku terakhir 0 dan Ay - »0 sangat kecil dari orde yang lebih tinggi daripada suku-suku bagian linier. Oleh karena itu, pada dz 0, bagian linier dari kenaikan fungsi terdiferensiasi disebut bagian utama dari kenaikan fungsi dan rumus perkiraan digunakan, yang akan semakin akurat, semakin kecil nilai absolut kenaikannya dari argumen adalah. §delapan. Turunan dari fungsi kompleks 1. Biarkan fungsi didefinisikan dalam beberapa domain D pada bidang x0y, dan masing-masing variabel x, y, pada gilirannya, adalah fungsi dari argumen t: Kami berasumsi bahwa ketika t berubah dalam interval (titik-titik yang bersesuaian (x, y) tidak keluar di luar domain D. Jika kita mensubstitusikan nilai-nilai ke dalam fungsi z = f (x, y), maka kita memperoleh fungsi kompleks dari satu variabel t. dan untuk nilai yang sesuai fungsi f (x, y) terdiferensialkan, maka fungsi kompleks, pada titik t, memiliki turunan dan M Kami memberikan t kenaikan Δt. Kemudian x dan y akan menerima beberapa kenaikan Ax dan y. Akibatnya, untuk (J) 2 + (Δy) 2 0, fungsi z juga akan menerima kenaikan tertentu t, yang, karena diferensiasi fungsi z = / (x , y) pada titik (x , y) dapat direpresentasikan dalam bentuk di mana a) cenderung nol karena Ax dan Du cenderung nol. Mari kita perpanjang a dan / 3 untuk Ax = Ay = 0 dengan menetapkan a Kemudian a (akan kontinu untuk J = Du = 0. Pertimbangkan hubungan untuk a yang diberikan adalah konstan, dengan hipotesis ada batasan dari keberadaan turunan ^ dan pada titik mengikuti kontinuitas pada titik ini dari fungsi x = y (t) dan y = oleh karena itu, karena Pada 0, baik J dan Dy cenderung nol, yang pada gilirannya memerlukan Jadi, ruas kanan persamaan (2) pada 0 memiliki batas yang sama dengan yaitu, terdapat Passing yang sama dalam persamaan (2) ke limit sebagai At - »0, kita memperoleh rumus yang diperlukan Dalam kasus tertentu, ketika, oleh karena itu, z adalah fungsi kompleks dari x, kita memperoleh rumus In (5 ) ada turunan parsial funadiq = / (x , y) pada x, ketika menghitung yang dalam ekspresi f (x, y), argumen y diambil sebagai konstanta. Dan ada turunan total dari fungsi z sehubungan dengan variabel bebas x, dalam perhitungan yang y dalam ekspresi f (x, y) tidak lagi dianggap sebagai konstanta, tetapi, pada gilirannya, dianggap sebagai fungsi dari x: y = tp (x) t dan oleh karena itu ketergantungan z pada sumur diperhitungkan secara penuh. Contoh. Cari dan jg jika 2. Sekarang mari kita perhatikan diferensiasi fungsi kompleks dari beberapa variabel. Misalkan di mana, pada gilirannya, sehingga Misalkan pada titik (() ada turunan parsial kontinu u, 3? Dan pada titik yang bersesuaian (x, y), di mana fungsi f (x, y) terdiferensialkan. Kita akan tunjukkan bahwa di bawah kondisi ini fungsi kompleks z = z (() y) pada titik t7) memiliki turunan dan u, dan kami menemukan ekspresi untuk turunan ini. Perhatikan bahwa kasus ini tidak berbeda secara signifikan dari yang sudah dipelajari. Memang, ketika z dibedakan terhadap , variabel bebas kedua rj diambil sebagai konstanta, sebagai akibatnya x dan y menjadi fungsi dari satu variabel x '= c), y = c) di bawah operasi ini, dan soal turunan diselesaikan dengan cara yang persis sama dengan soal turunan dalam turunan rumus (3) Menggunakan rumus (3) dan secara formal menggantikannya turunan g dan g dengan turunan u dan berturut-turut, kita peroleh Demikian pula , kita menemukan Contoh: Temukan turunan parsial dari fungsi z = x2 y - xy jika x - y = Jika fungsi kompleks diberikan oleh rumus sehingga dalam kondisi yang sesuai yang kita miliki Dalam kasus tertentu ketika I = di mana Turunan parsial Geometris arti turunan parsial fungsi dua variabel turunan dari fungsi dan sehubungan dengan variabel bebas x, dengan mempertimbangkan ketergantungan penuh keduanya pada x, termasuk dan dalam suku z = z (x, y), a ^ adalah fungsi turunan parsial, u = f (z, y, z) sehubungan dengan x, saat menghitung k