Sistem homogen persamaan linear kapak = 0 selalu bersama. Ia memiliki solusi non-trivial (bukan nol) jika R= peringkat A< n .
Untuk sistem homogen, variabel dasar (koefisien yang membentuk minor dasar) dinyatakan melalui variabel bebas dengan hubungan dalam bentuk:
Kemudian n-r Solusi vektor bebas linier adalah:
dan solusi lainnya merupakan kombinasi linier dari keduanya. Solusi vektor 
membentuk sistem fundamental yang dinormalisasi.
Dalam ruang linier, himpunan solusi sistem persamaan linier homogen membentuk subruang berdimensi n-r; 
- dasar dari subruang ini.
Sistem M persamaan linier dengan N tidak dikenal(atau, sistem linier
 |
Di Sini X 1 , X 2 , …, xn A 11 , A 12 , …, satu hal- koefisien sistem - dan B 1 , B 2 , … bm sebuah ijSaya) dan tidak diketahui ( J
Sistem (1) disebut homogenB 1 = B 2 = … = bm= 0), jika tidak - heterogen.
Sistem (1) disebut persegi, jika nomor M persamaan sama dengan angka tersebut N tidak dikenal.
Larutan sistem (1) - set N angka C 1 , C 2 , …, c n, sehingga substitusi masing-masing c saya alih-alih x saya menjadi sistem (1) mengubah semua persamaannya menjadi identitas.
Sistem (1) disebut persendian non-bersama
Solusi C 1 (1) , C 2 (1) , …, c n(1) dan C 1 (2) , C 2 (2) , …, c n bermacam-macam
| C 1 (1) = C 1 (2) , C 2 (1) = C 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
yakin tidak pasti. Jika terdapat lebih banyak persamaan daripada yang tidak diketahui, maka disebut didefinisikan ulang.
Memecahkan sistem persamaan linear
Menyelesaikan persamaan matriks ~ metode Gauss
Metode penyelesaian sistem persamaan linear dibagi menjadi dua kelompok:
1. metode yang tepat, yang merupakan algoritma terbatas untuk menghitung akar suatu sistem (menyelesaikan sistem menggunakan matriks invers, aturan Cramer, metode Gauss, dll.),
2. metode berulang, yang memungkinkan diperolehnya solusi sistem dengan akurasi tertentu melalui proses iteratif konvergen (metode iterasi, metode Seidel, dll.).
Karena pembulatan yang tidak terhindarkan, hasilnya pun genap metode yang tepat adalah perkiraan. Saat menggunakan metode berulang, kesalahan metode juga ditambahkan.
Penerapan yang Efektif Metode iteratif sangat bergantung pada keberhasilan pemilihan pendekatan awal dan kecepatan konvergensi proses.
Memecahkan persamaan matriks
Pertimbangkan sistemnya N persamaan aljabar linier terhadap N tidak dikenal X 1 , X 2 , …, xn:
 .
| (15) |
Matriks A, yang kolom-kolomnya merupakan koefisien untuk variabel-variabel yang tidak diketahui, dan baris-barisnya adalah koefisien dari variabel-variabel yang tidak diketahui dalam persamaan yang bersangkutan, disebut matriks sistem; kolom matriks B, yang unsur-unsurnya merupakan ruas kanan persamaan sistem, disebut matriks sisi kanan atau sederhananya sisi kanan sistem. Matriks kolom X, yang unsur-unsurnya tidak diketahui dan tidak diketahui, disebut solusi sistem.
Jika matriks A- non-khusus, yaitu det Sebuah e sama dengan 0, maka sistem (13), atau persamaan matriks (14) yang ekuivalen dengannya, mempunyai solusi unik.
Faktanya, asalkan det A tidak sama 0 ada matriks terbalik A-1 . Mengalikan kedua ruas persamaan (14) dengan matriks A-1 kita mendapatkan:
| (16) |
Rumus (16) memberikan solusi persamaan (14) dan bersifat unik.
Lebih mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan fungsi tersebut aku memecahkan.
aku menyelesaikan( A, b)
Vektor solusi dikembalikan X seperti yang Oh= B.
Argumen:
A- matriks persegi dan non-tunggal.
B- vektor yang jumlah barisnya sama dengan jumlah baris matriks A .
Gambar 8 menunjukkan solusi sistem tiga persamaan linier dalam tiga hal yang tidak diketahui.
metode Gauss
Metode Gaussian, juga disebut metode eliminasi Gaussian, terdiri dari fakta bahwa sistem (13) direduksi dengan eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui menjadi sistem ekuivalen dengan matriks segitiga:
Dalam notasi matriks, ini berarti bahwa pertama (pendekatan langsung metode Gaussian), dengan operasi dasar pada baris, matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap:
dan kemudian (kebalikan dari metode Gaussian) matriks langkah ini ditransformasikan sedemikian rupa sehingga menjadi yang pertama N kolom kita mendapatkan matriks satuan:
.
Terakhir, ( N+ 1) kolom matriks ini berisi solusi sistem (13).
Di Mathcad, pergerakan maju dan mundur metode Gaussian dilakukan oleh fungsi rref(A).
Gambar 9 menunjukkan penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Gaussian yang menggunakan fungsi berikut:
rref( A)
Bentuk langkah matriks dikembalikan A.
menambah( A, DI DALAM)
Mengembalikan larik yang dibentuk berdasarkan lokasi A Dan DI DALAM bersebelahan. Array A Dan DI DALAM harus mempunyai jumlah baris yang sama.
submatriks( A, ir, jr, ic, jc)
Mengembalikan submatriks yang terdiri dari semua elemen dengan ir Oleh jr dan kolom dengan ic Oleh jc. Pastikan bahwa ir jr Dan
ic jc, jika tidak, urutan baris dan/atau kolom akan dibalik.
Gambar 9.
Deskripsi metode
Untuk sistem yang terdiri dari n persamaan linier dengan n persamaan yang tidak diketahui (pada bidang sembarang)
jika determinan matriks sistem Δ berbeda dari nol, penyelesaiannya ditulis dalam bentuk
(kolom ke-i matriks sistem diganti dengan kolom suku bebas).
Dalam bentuk lain, aturan Cramer dirumuskan sebagai berikut: untuk setiap koefisien c1, c2, ..., cn persamaan berikut berlaku:
Dalam bentuk ini, rumus Cramer valid tanpa asumsi bahwa Δ berbeda dari nol; koefisien sistem bahkan tidak perlu menjadi elemen ring integral (determinan sistem bahkan dapat berupa pembagi nol pada sistem). cincin koefisien). Kita juga dapat berasumsi bahwa himpunan b1,b2,...,bn dan x1,x2,...,xn, atau himpunan c1,c2,...,cn, tidak terdiri dari unsur-unsur gelanggang koefisien dari sistem, tetapi beberapa modul di atas ring ini. Dalam bentuk ini digunakan rumus Cramer, misalnya dalam pembuktian rumus determinan Gram dan Lemma Nakayama.
| 35) Teorema Kronecker-Capelli |
Agar suatu sistem persamaan linear tak homogen dalam n yang tidak diketahui menjadi konsisten, maka perlu dan cukup bahwa Bukti keharusan. Misalkan sistem (1.13) konsisten, yaitu terdapat bilangan-bilangan seperti itu X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n , Apa  (1.15) Mari kita kurangi dari kolom terakhir matriks yang diperluas kolom pertamanya, dikalikan dengan α 1, kolom kedua - dengan α 2, ..., n - dikalikan dengan α n, yaitu dari kolom terakhir matriks (1.14) kita harus mengurangi ruas kiri persamaan (1.15). Kemudian kita mendapatkan matriksnya  yang pangkatnya tidak akan berubah sebagai akibat dari transformasi dasar dan . Namun hal ini sudah jelas, dan dengan demikian merupakan bukti kecukupan. Biarkan dan biarkan yang pasti tidak sama dengan nol minor berorde r terletak di pojok kiri atas matriks:  Artinya, baris-baris sisa matriks dapat diperoleh sebagai kombinasi linier dari r baris pertama, yaitu garis m-r matriks dapat direpresentasikan sebagai jumlah r baris pertama dikalikan dengan beberapa bilangan. Tetapi r persamaan pertama dari sistem (1.13) adalah independen, dan sisanya adalah konsekuensinya, yaitu solusi sistem dari r persamaan pertama secara otomatis merupakan solusi dari persamaan yang tersisa. Ada dua kemungkinan kasus. 1.r=n. Maka sistem yang terdiri dari r persamaan pertama mempunyai jumlah persamaan dan persamaan yang tidak diketahui sama serta konsisten, dan penyelesaiannya unik. 2.r |
36) kepastian, ketidakpastian
Sistem M persamaan linier dengan N tidak dikenal(atau, sistem linier) dalam aljabar linier adalah sistem persamaan bentuk
 |
Di Sini X 1 , X 2 , …, xn- hal yang tidak diketahui yang perlu ditentukan. A 11 , A 12 , …, satu hal- koefisien sistem - dan B 1 , B 2 , … bm- anggota bebas - diasumsikan diketahui. Indeks koefisien ( sebuah ij) sistem menunjukkan bilangan persamaan ( Saya) dan tidak diketahui ( J), dimana koefisien ini masing-masing berada.
Sistem (1) disebut homogen, jika semua suku bebasnya sama dengan nol ( B 1 = B 2 = … = bm= 0), jika tidak - heterogen.
Sistem (1) disebut persendian, jika ia memiliki setidaknya satu solusi, dan non-bersama, jika dia tidak memiliki solusi tunggal.
Sistem gabungan tipe (1) mungkin mempunyai satu atau lebih solusi.
Solusi C 1 (1) , C 2 (1) , …, c n(1) dan C 1 (2) , C 2 (2) , …, c n(2) sistem gabungan bentuk (1) disebut bermacam-macam, jika setidaknya salah satu persamaan dilanggar:
| C 1 (1) = C 1 (2) , C 2 (1) = C 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Sistem gabungan yang berbentuk (1) disebut yakin, jika memiliki solusi unik; jika ia mempunyai paling sedikit dua penyelesaian yang berbeda, maka disebut tidak pasti
37) Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode Gauss
Biarkan sistem aslinya terlihat seperti ini
Matriks A disebut matriks utama sistem, B- kolom anggota gratis.
Kemudian, menurut sifat transformasi elementer pada baris, matriks utama sistem ini dapat direduksi menjadi bentuk bertahap (transformasi yang sama harus diterapkan pada kolom suku bebas):
Kemudian variabelnya dipanggil variabel utama. Semua yang lain dipanggil bebas.
[sunting]Kondisi kompatibilitas
Kondisi di atas untuk semua dapat dirumuskan sebagai kondisi perlu dan cukup untuk kesesuaian:
Ingatlah bahwa pangkat suatu sistem gabungan adalah pangkat dari matriks utamanya (atau matriks yang diperluas, karena keduanya sama).
Algoritma
Keterangan
Algoritma penyelesaian SLAE dengan metode Gaussian dibagi menjadi dua tahap.
§ Pada tahap pertama, apa yang disebut gerak langsung dilakukan, ketika, melalui transformasi dasar pada baris, sistem dibawa ke bentuk berundak atau segitiga, atau ditetapkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel. Yaitu, di antara elemen-elemen kolom pertama matriks, pilih yang bukan nol, pindahkan ke posisi paling atas dengan mengatur ulang baris-barisnya, dan kurangi baris pertama yang dihasilkan dari baris-baris yang tersisa setelah penataan ulang, kalikan dengan nilai sama dengan rasio elemen pertama setiap baris ini dengan elemen pertama baris pertama, sehingga kolom di bawahnya menjadi nol. Setelah transformasi yang ditunjukkan selesai, baris pertama dan kolom pertama dicoret secara mental dan dilanjutkan hingga tersisa matriks berukuran nol. Jika pada setiap iterasi tidak ada elemen bukan nol di antara elemen kolom pertama, lanjutkan ke kolom berikutnya dan lakukan operasi serupa.
§ Pada tahap kedua, apa yang disebut gerakan mundur dilakukan, yang intinya adalah menyatakan semua variabel dasar yang dihasilkan dalam bentuk variabel non-dasar dan membangun sistem solusi fundamental, atau, jika semua variabel adalah dasar, kemudian nyatakan secara numerik satu-satunya solusi sistem persamaan linear tersebut. Prosedur ini dimulai dengan persamaan terakhir, yang darinya variabel dasar yang bersesuaian dinyatakan (dan hanya ada satu) dan disubstitusikan ke dalam persamaan sebelumnya, dan seterusnya, naik ke “langkah”. Setiap baris berkorespondensi dengan tepat satu variabel basis, jadi pada setiap langkah kecuali yang terakhir (paling atas), situasinya persis mengulangi kasus baris terakhir.
Metode Gaussian membutuhkan keteraturan HAI(N 3) tindakan.
Metode ini bergantung pada:
38)Teorema Kronecker-Capelli.
Suatu sistem dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks utamanya sama dengan pangkat matriks perluasannya.
6.3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN
Biarkan sekarang di sistem (6.1).
Sistem yang homogen selalu konsisten. Solusi () disebut nol, atau remeh.
Suatu sistem homogen (6.1) mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika peringkatnya ( 
) lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui. Secara khusus, sistem homogen yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinannya sama dengan nol.
Karena kali ini segalanya
, alih-alih rumus (6.6) kita mendapatkan yang berikut:
(6.7)
Rumus (6.7) berisi solusi apa pun dari sistem homogen (6.1).
1. Himpunan semua solusi sistem persamaan linier homogen (6.1) membentuk ruang linier.
2. Ruang linierRsemua solusi sistem persamaan linear homogen (6.1) denganNtidak diketahui dan pangkat matriks utama sama denganR, memiliki dimensin–r.
Himpunan apa pun (n–r) solusi bebas linier dari sistem homogen (6.1) membentuk basis dalam ruangRsemua keputusan. Itu disebut mendasar himpunan solusi sistem persamaan homogen (6.1). Penekanan khusus ditempatkan pada "normal" himpunan dasar solusi sistem homogen (6.1):
(6.8)
Menurut definisi dasar, solusi apa pun X sistem homogen (6.1) dapat direpresentasikan dalam bentuk
(6.9)
Di mana 
– konstanta sembarang.
Karena rumus (6.9) berisi solusi apa pun untuk sistem homogen (6.1), maka rumus tersebut menghasilkan keputusan bersama sistem ini.
Contoh.
Cabang Kaluga dari lembaga pendidikan anggaran negara federal untuk pendidikan profesional tinggi
"Universitas Teknik Negeri Moskow dinamai N.E. Bauman"
(Universitas Teknik Negeri Moskow Cabang Kharkov dinamai N.E. Bauman)
Vlaykov N.D.
Solusi SLAE homogen
Pedoman untuk melakukan latihan
pada mata kuliah geometri analitik
Kaluga 2011
Tujuan pelajaran halaman 4
Rencana pelajaran halaman 4
Informasi teoritis yang diperlukan hal.5
Bagian praktis hal.10
Memantau penguasaan materi yang dibahas hal.13
Pekerjaan rumah hal.14
Jumlah jam: 2
Tujuan pelajaran:
Sistematisasikan pengetahuan teoretis yang diperoleh tentang jenis SLAE dan metode penyelesaiannya.
Dapatkan keterampilan dalam memecahkan SLAE homogen.
Rencana belajar:
Uraikan secara singkat materi teoritis.
Selesaikan SLAE yang homogen.
Temukan sistem dasar solusi SLAE homogen.
Temukan solusi khusus dari SLAE homogen.
Merumuskan algoritma untuk menyelesaikan SLAE homogen.
Periksa pekerjaan rumah Anda saat ini.
Melaksanakan pekerjaan verifikasi.
Presentasikan topik seminar berikutnya.
Kirim pekerjaan rumah saat ini.
Informasi teoretis yang diperlukan.
Peringkat matriks.
Def. Pangkat suatu matriks adalah bilangan yang sama dengan orde maksimum di antara anak-anaknya yang bukan nol. Pangkat matriks dilambangkan dengan .
Jika suatu matriks persegi bersifat nonsingular, maka ranknya sama dengan ordonya. Jika suatu matriks persegi berbentuk tunggal, maka pangkatnya lebih kecil dari ordonya.
Pangkat suatu matriks diagonal sama dengan jumlah elemen diagonalnya yang bukan nol.
teori. Ketika suatu matriks ditransposisikan, rangkingnya tidak berubah, mis. 
.
teori. Pangkat suatu matriks tidak berubah dengan transformasi dasar baris dan kolomnya.
Teorema pada basis minor.
Def. Minor 
matriks 
disebut dasar jika dua kondisi terpenuhi:
a) tidak sama dengan nol;
b) ordenya sama dengan rank matriks 
.
Matriks 
mungkin memiliki beberapa basis minor.
Baris dan kolom matriks 
, di mana minor dasar yang dipilih berada, disebut dasar.
teori. Teorema pada basis minor. Baris dasar (kolom) matriks 
, sesuai dengan anak di bawah umur dasarnya 
, bebas linier. Setiap baris (kolom) dari matriks 
, tidak termasuk dalam 
, adalah kombinasi linier dari baris dasar (kolom).
teori. Untuk matriks apa pun, pangkatnya sama dengan jumlah maksimum baris (kolom) yang bebas linier.
Menghitung rank suatu matriks. Metode transformasi dasar.
Dengan menggunakan transformasi baris dasar, matriks apa pun dapat direduksi menjadi bentuk eselon. Pangkat suatu matriks langkah sama dengan banyaknya baris yang bukan nol. Basis di dalamnya adalah minor, yang terletak di perpotongan baris bukan nol dengan kolom yang bersesuaian dengan elemen bukan nol pertama dari kiri di setiap baris.
SLAU. Definisi dasar.
Def. Sistem 
(15.1)
Angka 
disebut koefisien SLAE. Angka 
disebut suku persamaan bebas.
Entri SLAE dalam bentuk (15.1) disebut koordinat.
Def. SLAE disebut homogen jika 
. Jika tidak maka disebut heterogen.
Def. Solusi SLAE adalah himpunan nilai yang tidak diketahui sehingga, setelah substitusi, setiap persamaan sistem berubah menjadi identitas. Solusi spesifik apa pun dari SLAE juga disebut solusi khusus.
Memecahkan SLAE berarti memecahkan dua masalah:
Cari tahu apakah SLAE mempunyai solusi;
Temukan semua solusi jika ada.
Def. SLAE disebut gabungan jika mempunyai setidaknya satu solusi. Jika tidak, maka disebut tidak kompatibel.
Def. Jika SLAE (15.1) mempunyai solusi dan unik maka disebut pasti, dan jika solusinya tidak unik maka disebut tak tentu.
Def. Jika pada persamaan (15.1) 
, SLAE disebut persegi.
Formulir pencatatan SLAU.
Selain bentuk koordinat (15.1), catatan SLAE sering digunakan dalam representasi lainnya.
(15.2)
Relasi tersebut disebut bentuk vektor dari notasi SLAE.
Jika kita mengambil hasil kali matriks sebagai basis, maka SLAE (15.1) dapat ditulis sebagai berikut:
(15.3)
atau 
.
Notasi SLAE (15.1) dalam bentuk (15.3) disebut matriks.
SLAE homogen.
Sistem homogen 
persamaan aljabar linier dengan 
tidak diketahui adalah sistem bentuk
SLAE homogen selalu konsisten karena selalu ada solusi nol.
Kriteria adanya solusi bukan nol. Agar solusi tak nol ada untuk SLAE persegi homogen, matriksnya harus berbentuk tunggal.
teori. Jika kolom 
,
,
…,
adalah solusi untuk SLAE homogen, maka setiap kombinasi linier dari keduanya juga merupakan solusi untuk sistem ini.
Konsekuensi. Jika SLAE homogen mempunyai solusi yang bukan nol, maka SLAE tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.
Adalah wajar untuk mencoba mencari solusi seperti itu 
,
,
…,
sistem sehingga solusi lainnya direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari keduanya dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.
Def. Set apa pun 
kolom bebas linier 
,
,
…,
, yang merupakan solusi dari SLAE homogen 
, Di mana 
- jumlah yang tidak diketahui, dan 
- peringkat matriksnya 
, disebut sistem dasar solusi SLAE homogen ini.
Saat mempelajari dan menyelesaikan sistem persamaan linier homogen, kita akan memperbaiki basis minor dalam matriks sistem. Basis minor akan sesuai dengan kolom basis dan, oleh karena itu, basis tidak diketahui. Kami akan menyebut sisa yang tidak diketahui sebagai gratis.
teori. Tentang struktur solusi umum SLAE homogen. Jika 
,
,
…,
- sistem solusi fundamental arbitrer dari SLAE homogen 
, maka solusi apa pun dapat direpresentasikan dalam bentuk
Di mana 
,
…,
- ada pula yang permanen.
Itu. solusi umum SLAE homogen memiliki bentuk
Bagian praktis.
Pertimbangkan kemungkinan rangkaian solusi dari jenis SLAE berikut dan interpretasi grafisnya.
;
;
.
Pertimbangkan kemungkinan menyelesaikan sistem ini menggunakan rumus Cramer dan metode matriks.
Jelaskan inti dari metode Gauss.
Selesaikan masalah berikut.
Contoh 1. Selesaikan SLAE homogen. Temukan FSR.
.
Mari kita tuliskan matriks sistem dan kurangi menjadi bentuk bertahap.
.
sistem akan memiliki banyak solusi yang tak terhingga. FSR akan terdiri dari 
kolom.
Mari kita buang garis nol dan menulis sistemnya lagi:
.
Kami akan menganggap minor dasar berada di sudut kiri atas. Itu. 
- dasar yang tidak diketahui, dan 
- bebas. Mari berekspresi 
melalui gratis 
:
;
Ayo taruh 
.
Akhirnya kami memiliki:
- koordinat bentuk jawaban, atau
- bentuk matriks jawabannya, atau
- bentuk jawaban vektor (vektor - kolom adalah kolom FSR).
Algoritma untuk menyelesaikan SLAE homogen.
Temukan FSR dan solusi umum dari sistem berikut:
№2.225(4.39)
. Menjawab: 
№2.223(2.37)
. Menjawab:
№2.227(2.41)
. Menjawab: 
Selesaikan SLAE homogen:
. Menjawab: 
Selesaikan SLAE homogen:
. Menjawab: 
Presentasi topik seminar berikutnya.
Menyelesaikan sistem persamaan linear tak homogen.
Memantau penguasaan materi yang dibahas.
Tes kerja 3 - 5 menit. 4 siswa berpartisipasi dengan nomor ganjil dalam jurnal, dimulai dari No.10
|
Ikuti langkah ini:
|
Ikuti langkah ini:
|
|
|
Hitung determinannya:
|
;
;
|
Ikuti langkah ini:
|
Ikuti langkah ini:
|
|
Temukan matriks invers dari matriks ini:
|
Hitung determinannya:
|
belum diartikan
Pekerjaan rumah:
1. Memecahkan masalah:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2.Kerjakan kuliah tentang topik-topik berikut:
Sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Bentuk pencatatan koordinat, matriks dan vektor. Kriteria Kronecker-Capelli untuk kompatibilitas SLAE. SLAE heterogen. Kriteria keberadaan solusi bukan nol dari SLAE homogen. Sifat-sifat larutan SLAE homogen. Sistem dasar solusi SLAE homogen, teorema keberadaannya. Sistem solusi fundamental normal. Teorema struktur solusi umum SLAE homogen. Teorema struktur solusi umum SLAE tak homogen.
Sistem persamaan linear homogen- berbentuk ∑a k i x i = 0. dimana m > n atau m Sistem persamaan linear homogen selalu konsisten, karena rangA = rangB. Jelas mempunyai solusi yang terdiri dari nol, yang disebut remeh.Tujuan layanan. Kalkulator online dirancang untuk menemukan solusi non-sepele dan mendasar terhadap SLAE. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word (lihat contoh solusi).
instruksi. Pilih dimensi matriks:
Sifat-sifat sistem persamaan linier homogen
Agar sistem memiliki solusi yang tidak sepele, pangkat matriksnya perlu dan cukup lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui.Dalil. Suatu sistem dalam kasus m=n mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan sistem ini sama dengan nol.
Dalil. Kombinasi linier apa pun dari solusi suatu sistem juga merupakan solusi sistem tersebut.
Definisi. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier homogen disebut sistem dasar solusi, jika himpunan ini terdiri dari solusi bebas linier dan setiap solusi sistem merupakan kombinasi linier dari solusi tersebut.
Dalil. Jika pangkat r matriks sistem lebih kecil dari bilangan n yang tidak diketahui, maka terdapat sistem solusi fundamental yang terdiri dari (n-r) solusi.
Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linier homogen
- Mencari rank matriks.
- Kami memilih minor dasar. Kami membedakan antara yang tidak diketahui yang bergantung (dasar) dan yang bebas.
- Kami mencoret persamaan-persamaan sistem yang koefisiennya tidak termasuk dalam basis minor, karena merupakan konsekuensi dari persamaan lain (menurut teorema basis minor).
- Kami memindahkan suku-suku persamaan yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan r dengan r persamaan yang tidak diketahui, setara dengan persamaan tertentu, yang determinannya bukan nol.
- Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui. Kami menemukan hubungan yang mengekspresikan variabel terikat melalui variabel bebas.
- Jika pangkat matriks tidak sama dengan jumlah variabel, maka kita mencari solusi fundamental sistem tersebut.
- Dalam kasus rang = n kita mempunyai solusi sepele.
Contoh. Tentukan basis dari sistem vektor (a 1, a 2,...,am), rangking dan nyatakan vektor-vektor tersebut berdasarkan basisnya. Jika a 1 =(0,0,1,-1), dan 2 =(1,1,2,0), dan 3 =(1,1,1,1), dan 4 =(3,2,1 ,4), dan 5 =(2,1,0,3).
Mari kita tuliskan matriks utama sistem:
Kalikan baris ke-3 dengan (-3). Mari tambahkan baris ke-4 ke baris ke-3:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Kalikan baris ke-4 dengan (-2). Kalikan baris ke-5 dengan (3). Mari tambahkan baris ke-5 ke baris ke-4:
Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:
Mari kita cari pangkat matriksnya.
Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan berbentuk:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Dengan menggunakan metode menghilangkan hal yang tidak diketahui, kami menemukan solusi nontrivial:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel terikat x 1 , x 2 , x 3 melalui variabel bebas x 4 , yaitu, kami menemukan solusi umum:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Persamaan linier disebut homogen, jika suku bebasnya sama dengan nol, dan sebaliknya tidak homogen. Suatu sistem yang terdiri dari persamaan-persamaan homogen disebut homogen dan mempunyai bentuk umum:
Jelas bahwa setiap sistem homogen adalah konsisten dan mempunyai solusi nol (trivial). Oleh karena itu, ketika diterapkan pada sistem persamaan linier homogen, sering kali kita harus mencari jawaban atas pertanyaan tentang keberadaan solusi bukan nol. Jawaban atas pertanyaan tersebut dapat dirumuskan sebagai teorema berikut.
Dalil . Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian bukan nol jika dan hanya jika pangkatnya lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui .
Bukti: Mari kita asumsikan bahwa sistem yang peringkatnya sama mempunyai solusi bukan nol. Yang jelas jumlahnya tidak melebihi. Jika sistem memiliki solusi unik. Karena sistem persamaan linier homogen selalu memiliki solusi nol, maka solusi unik tersebut adalah solusi nol. Oleh karena itu, solusi bukan nol hanya mungkin untuk .
Akibat wajar 1 : Sistem persamaan homogen, yang jumlah persamaannya lebih kecil dari jumlah persamaan yang tidak diketahui, selalu mempunyai penyelesaian yang bukan nol.
Bukti: Jika suatu sistem persamaan mempunyai , maka pangkat sistem tersebut tidak melebihi banyaknya persamaan, yaitu . Dengan demikian, kondisinya terpenuhi dan oleh karena itu, sistem mempunyai solusi yang tidak nol.
Akibat wajar 2 : Sistem persamaan homogen yang tidak diketahui mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinannya nol.
Bukti: Mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan linier homogen, yang matriksnya memiliki determinan , mempunyai solusi bukan nol. Kemudian menurut teorema yang terbukti, berarti matriksnya tunggal, yaitu. .
Teorema Kronecker-Capelli: SLU konsisten jika dan hanya jika rank matriks sistem sama dengan rank matriks yang diperluas dari sistem ini. Suatu sistem disebut konsisten jika mempunyai paling sedikit satu solusi.Sistem persamaan aljabar linier homogen.
Suatu sistem persamaan linier dengan n variabel disebut sistem persamaan linier homogen jika semua suku bebasnya sama dengan 0. Suatu sistem persamaan linier homogen selalu konsisten, karena ia selalu memiliki setidaknya solusi nol. Suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian bukan nol jika dan hanya jika pangkat matriks koefisien variabelnya lebih kecil dari jumlah variabelnya, yaitu untuk peringkat A (n. Kombinasi linier apa pun
Solusi sistem Lin. homogen. ur-ii juga merupakan solusi untuk sistem ini.
Suatu sistem yang mempunyai solusi-solusi bebas linier e1, e2,...,еk disebut fundamental jika setiap solusi sistem tersebut merupakan kombinasi solusi-solusi linier. Teorema: jika pangkat r matriks koefisien variabel-variabel sistem persamaan linier homogen lebih kecil dari jumlah variabel n, maka setiap sistem fundamental solusi sistem terdiri dari n-r solusi. Oleh karena itu, solusi umum sistem linier. Satu hari ur-th memiliki bentuk: c1e1+c2e2+...+skek, dengan e1, e2,..., ek adalah sistem solusi fundamental apa pun, c1, c2,...,ck adalah bilangan sembarang dan k=n-r. Solusi umum sistem persamaan linear m dengan n variabel sama dengan jumlah
solusi umum sistem yang bersesuaian dengannya adalah homogen. persamaan linear dan solusi partikular arbitrer dari sistem ini.
7. Ruang linier. Subruang. Dasar, dimensi. Cangkang linier. Ruang linier disebut n-dimensi, jika sistem tersebut memuat sistem vektor-vektor bebas linier, dan sistem apa pun yang memiliki jumlah vektor lebih besar adalah sistem bergantung linier. Nomor tersebut dipanggil dimensi (jumlah dimensi) ruang linier dan dilambangkan dengan . Dengan kata lain, dimensi suatu ruang adalah jumlah maksimum vektor-vektor bebas linier pada ruang tersebut. Jika bilangan tersebut ada, maka ruang tersebut disebut berdimensi hingga. Jika, untuk sembarang bilangan asli n, terdapat sistem dalam ruang yang terdiri dari vektor-vektor bebas linier, maka ruang tersebut disebut berdimensi tak hingga (ditulis: ). Berikut ini, kecuali dinyatakan lain, ruang berdimensi hingga akan dipertimbangkan.
Basis ruang linier berdimensi n adalah kumpulan vektor bebas linier yang terurut ( vektor dasar).
Teorema 8.1 tentang perluasan suatu vektor dalam suatu basis. Jika merupakan basis dari ruang linier berdimensi n, maka vektor apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
dan, terlebih lagi, dengan satu-satunya cara, yaitu. koefisien ditentukan secara unik. Dengan kata lain, setiap vektor ruang dapat diperluas menjadi basis dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.
Memang benar dimensi ruang adalah . Sistem vektor bebas linier (ini adalah basis). Setelah menambahkan vektor apa pun ke basis, kita memperoleh sistem bergantung linier (karena sistem ini terdiri dari vektor-vektor ruang berdimensi n). Dengan menggunakan sifat 7 vektor bergantung linier dan bebas linier, kita memperoleh kesimpulan dari teorema tersebut.