TRANSKRIP TEKS PELAJARAN:
Pada awal mempelajari topik hari ini, kita akan menganalisis masalah penerapan beberapa teorema tegak lurus garis dan bidang.
Mari kita mengingatnya: Teorema pertama Uji tegak lurus garis dan bidang
Jika suatu garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.
Dan dua teorema tentang garis sejajar merupakan teorema langsung. Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus terhadap suatu bidang, maka garis lainnya juga tegak lurus terhadap bidang tersebut.
Dan teorema kebalikannya. Jika dua garis tegak lurus terhadap suatu bidang, maka kedua garis tersebut sejajar. Kita telah membahas bukti teorema ini.
Buktikan bahwa melalui suatu titik dalam ruang terdapat sebuah bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.
Untuk menyelesaikannya, perhatikan garis lurus a, dan sebuah titik sembarang dalam ruang - titik M. Mari kita buktikan bahwa ada bidang yang melalui titik M dan tegak lurus garis a.
Untuk membuktikannya, mari kita gambar dua bidang α dan β yang memuat garis a, karena ini adalah garis persekutuannya, artinya garis lurus a adalah garis potongnya.
Pada bidang β yang melalui titik M kita tarik garis b yang tegak lurus garis a. Biarkan garis-garis ini berpotongan di titik O.
Pada bidang α kita tarik garis lurus c melalui titik O dan tegak lurus garis a.
Menurut teorema keberadaan bidang, yaitu melalui dua garis berpotongan di dan c, seseorang dapat menggambar sebuah bidang, dan hanya satu.
Perhatikan bidang γ (gamma) yang melalui garis c dan b.
Bidang γ(gamma) akan menjadi bidang yang diinginkan, karena garis a tegak lurus terhadap dua garis berpotongan b dan c
Soal ini menunjukkan adanya bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu. Mari kita perhatikan teorema yang menyatakan keberadaan dan keunikan garis yang tegak lurus terhadap bidang tertentu.
Melalui suatu titik dalam ruang terdapat sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu, dan hanya satu.
Pertimbangkan bidang α dan titik sembarang dalam ruang - titik A.
Mari kita buktikan bahwa melalui titik A melewati satu garis lurus yang tegak lurus bidang tertentu.
1,2) Jadi, mari kita menggambar garis lurus sembarang m pada bidang α. Mari kita buat sebuah bidang sehingga melalui titik A tegak lurus garis m.
3.4) Biarkan bidang α dan β berpotongan sepanjang garis lurus n. Pada bidang β, melalui titik A kita tarik garis lurus p yang tegak lurus terhadap garis lurus n.
5) Lurus t tegak lurus bidang , artinya tegak lurus terhadap sembarang garis lurus pada bidang tersebut, yaitu lurus t tegak lurus terhadap lurus p.
6) Maka garis lurus p tegak lurus terhadap dua garis lurus berpotongan m dan n yang terletak pada bidang α, oleh karena itu, berdasarkan tanda tegak lurus garis dan bidang tersebut, garis lurus p tegak lurus terhadap bidang α.
7) Penting untuk dipahami bahwa hanya ada satu garis seperti itu. Jika dua garis lurus melalui titik A, misalnya garis lurus lain p1 tegak lurus bidang α. Tetapi dua garis yang tegak lurus terhadap satu bidang adalah sejajar, yang bertentangan dengan asumsi kita. Jadi, hanya satu garis lurus yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu yang melalui suatu titik dalam ruang.
Pernyataan dalam geometri ini disebut teorema tentang garis yang tegak lurus bidang.
Melalui titik sudut A dan B persegi panjang ABCD ditarik garis sejajar AA1 dan BB1 yang tidak terletak pada bidang persegi panjang tersebut. Diketahui AA1 AB dan AA1 AD. Tentukan BB1 jika B1D=25 cm, AB=12 cm, AD=16 cm.
Solusi.1) Karena garis lurus AA1 tegak lurus terhadap dua garis lurus AD dan AB yang berpotongan pada bidang persegi panjang, maka tandanya
tegak lurus garis lurus terhadap bidang AA1 tegak lurus bidang ABCD.
2) Garis BB1 sejajar dengan garis AA1, oleh karena itu menurut teorema garis BB1 tegak lurus bidang ABCD, dan tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak pada bidang tersebut, yaitu BB1 tegak lurus terhadap garis BD. Jadi segitiga B1ВD adalah segitiga siku-siku.
3) Dari segitiga siku-siku BURUK, menurut teorema Pythagoras, kuadrat sisi miring BD sama dengan jumlah kuadrat kaki-kaki AB dan AD dan BD sama dengan 20 cm.
4) Dengan teorema Pythagoras dari segitiga siku-siku B1ВD. Kuadrat kaki B1B sama dengan selisih antara kuadrat sisi miring B1D dan kaki BD yang diketahui, dan kakinya adalah 15 cm.
Mari kita lihat masalah pembuktiannya.
Garis a tegak lurus terhadap bidang α dan tegak lurus terhadap garis b, yang tidak terletak pada bidang tersebut. Buktikan bahwa b||
Sebut saja titik potong garis lurus dan titik bidang M.
1,2) Mari kita tandai pada garis a suatu titik N yang tidak terletak pada garis b. Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, seseorang dapat menggambar satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut. Biarkan baris ini menjadi baris b1.
3) Tariklah garis lurus c1 melalui titik N.
4) Melalui titik M pada bidang α kita tarik garis c yang sejajar dengan garis c1.
5) Melalui dua garis lurus yang berpotongan c1 dan b1 kita dapat menggambar sebuah bidang menurut teorema keberadaan bidang.
6) Garis a tegak lurus bidang , artinya tegak lurus terhadap garis c yang terletak pada bidang tersebut, tetapi c sejajar dengan garis c1, oleh karena itu garis a tegak lurus terhadap garis c1.
7.8) Demikian pula garis a tegak lurus garis b sesuai syarat, garis b sejajar dengan garis b1, maka garis a tegak lurus garis b1. Artinya garis a berdasarkan tegak lurus garis dan bidang tegak lurus terhadap bidang β.
9) Bidang α dan β tegak lurus terhadap garis a yang berarti sejajar.
10) Garis b sejajar dengan garis b1, artinya sejajar dengan bidang β, dan sejajar dengan bidang α.
Dalam pelajaran ini kita akan melihat dan membuktikan teorema tentang satu-satunya garis yang tegak lurus bidang.
Di awal pembelajaran, kita merumuskan teorema yang dipelajari tentang keberadaan garis unik yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap bidang tertentu. Untuk membuktikannya, pertama-tama kita perhatikan dan buktikan pernyataan tentang adanya bidang yang tegak lurus suatu garis tertentu. Setelah membuktikan teorema tersebut, kita akan mempertimbangkan beberapa masalah akibat wajar dari topik yang diteliti.
Topik: Tegak lurus suatu garis dan bidang
Pelajaran: Teorema tentang garis yang tegak lurus bidang
Dalam pelajaran ini kita akan melihat dan membuktikan teorema tentang satu-satunya garis yang tegak lurus bidang.
Penyataan
Sebuah bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis melewati titik mana pun dalam ruang.
Bukti(lihat Gambar 1)
Mari kita diberi garis lurus A dan titik M. Mari kita buktikan bahwa ada bidang γ yang melalui titik tersebut M dan yang tegak lurus terhadap garis A.
Melalui langsung A mari kita gambarkan bidang α dan β sehingga menjadi titik M milik bidang α. Bidang α dan β berpotongan pada suatu garis lurus A. Pada bidang α yang melalui titik tersebut M mari kita menggambar garis tegak lurus M N(atau R) menjadi garis lurus A,. Pada bidang β dari titik N mengembalikan tegak lurus Q ke garis lurus A. Langsung R Dan Q berpotongan, biarkan bidang γ melewatinya. Kami menemukan garis itu A tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan R Dan Q dari bidang γ. Artinya, berdasarkan tegak lurus suatu garis dan bidang, maka terbentuklah garis lurus A tegak lurus terhadap bidang γ.
Dalil
Melalui suatu titik dalam ruang terdapat sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu, dan hanya satu.
Bukti.
Misalkan sebuah bidang α dan sebuah titik diberikan M(lihat Gambar 2). Kita perlu membuktikannya secara langsung M hanya ada satu garis lurus Dengan, tegak lurus terhadap bidang α .
Ayo buat langsung A di bidang α (lihat Gambar 3). Sesuai dengan pernyataan yang dibuktikan di atas, melalui poin M kita dapat menggambar bidang γ yang tegak lurus terhadap garis A. Biarlah lurus B- garis perpotongan bidang α dan γ.
Pada bidang γ yang melalui titik tersebut M mari kita membuat langsung Dengan, tegak lurus terhadap garis B.
Lurus Dengan tegak lurus B dengan konstruksi, lurus Dengan tegak lurus A(karena lurus A tegak lurus terhadap bidang γ, dan karenanya terhadap garis lurus Dengan, berbaring di bidang γ). Kami menemukan garis itu Dengan tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang α. Artinya, berdasarkan tegak lurus suatu garis dan bidang, maka terbentuklah garis lurus Dengan tegak lurus terhadap bidang α. Mari kita buktikan garis lurus itu Dengan satu satunya.
Anggap saja ada garis lurus Dengan 1 melewati titik tersebut M dan tegak lurus terhadap bidang α. Kami menemukannya dengan benar Dengan Dan dari 1 tegak lurus terhadap bidang α. Jadi itu lurus Dengan Dan dari 1 paralel. Tapi secara konstruksi mereka lurus Dengan Dan dari 1 berpotongan di suatu titik M. Kami mendapat kontradiksi. Artinya hanya ada satu garis lurus yang melalui titik tersebut M dan tegak lurus terhadap bidang α, hal ini perlu dibuktikan.
Buktikan jika dua bidang α dan β tegak lurus terhadap suatu garis A, maka keduanya sejajar.
Bukti:
Ayo buat langsung Dengan sejajar dengan garis A. Menurut lemma, jika salah satu dari dua garis sejajar memotong suatu bidang, maka garis yang lain juga memotong bidang tersebut. Lurus A memotong bidang α dan β dengan syarat. Jadi itu lurus Dengan memotong bidang α di suatu titik A dan bidang β di titik B.
Lurus A tegak lurus terhadap bidang α dan β, dan oleh karena itu merupakan garis lurus yang sejajar dengannya Dengan tegak lurus terhadap bidang α dan β.
Mari kita asumsikan bahwa bidang α dan β berpotongan. Dot M- titik persekutuan bidang α dan β. Tapi kemudian di segitiga AMV sudut MAV sama dengan 90° dan sudut AVM sama dengan 90°, yang tidak mungkin. Artinya asumsi perpotongan bidang α dan β tidak benar. Artinya bidang α dan β sejajar.
Buktikan bahwa melalui suatu titik dalam ruang hanya ada satu bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.
Bukti:
Biarkan diberikan garis lurus A dan titik M. Berdasarkan pernyataan tersebut, ada bidang γ yang melalui titik tersebut M, tegak lurus terhadap garis A. Mari kita buktikan keunikannya.
Misalkan ada bidang γ 1 yang melalui titik tersebut M, tegak lurus terhadap garis A. Dua bidang γ dan γ 1 tegak lurus terhadap garis lurus yang sama A, yang berarti bidang γ dan γ 1 sejajar (seperti yang kita buktikan pada soal 1). Tapi titik M milik bidang γ dan γ 1. Kami mendapat kontradiksi. Artinya, melalui suatu titik dalam ruang hanya ada satu bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu A, itulah yang perlu dibuktikan.
Jadi, kita telah membuktikan teorema tentang garis yang tegak lurus bidang. Pada pelajaran berikutnya kita akan melihat penyelesaian masalah dengan garis seperti itu.
1. Geometri. Kelas 10-11: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat dasar dan khusus) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Edisi ke-5, dikoreksi dan diperluas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal. : sakit.
2. Geometri. Kelas 10-11: Buku teks untuk lembaga pendidikan umum / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 hal.: sakit.
3. Geometri. Kelas 10: Buku teks untuk lembaga pendidikan umum dengan kajian matematika yang mendalam dan khusus /E. V.Potoskuev, L.I.Zvalich. - Edisi ke-6, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 hal. :il.
1. Geometri. Kelas 10-11: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat dasar dan khusus) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Edisi ke-5, dikoreksi dan diperluas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit.
Tugas 15, 16, 17 hal.58
2. Benarkah garis tegak lurus terhadap garis yang terletak pada bidang tersebut:
a) dua sisi segitiga
b) dua sisi trapesium
c) dua diameter lingkaran.
3. Buktikan bahwa melalui sembarang titik pada suatu garis dalam ruang dapat ditarik dua garis berbeda yang tegak lurus terhadap garis tersebut.
4. Langsung A,B, Dengan berbaring di bidang α. Lurus M tegak lurus terhadap garis lurus A Dan B, tapi tidak tegak lurus Dengan. Berapakah posisi relatif garis-garis tersebut A Dan B?
Ulangi paragraf 1, paragraf 15-18, semua sifat dan teorema dicatat di buku catatanmu, pelajari paragraf 18, tuliskan teorema tentang garis yang tegak lurus bidang di buku catatanmu.
Dua garis lurus dalam ruang disebut tegak lurus jika sudut antara keduanya 90o.
Garis tegak lurus bisa berpotongan dan bisa miring. Kata pengantar singkat. Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus terhadap garis ketiga, maka garis lainnya tegak lurus terhadap garis tersebut. Definisi. Suatu garis disebut tegak lurus terhadap suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap suatu garis yang terletak pada bidang tersebut. Dikatakan juga bahwa bidang tersebut tegak lurus terhadap garis a. |
|
| Jika garis a tegak lurus terhadap bidang tersebut, maka jelas garis tersebut memotong bidang tersebut. Faktanya, jika garis lurus a tidak memotong bidang tersebut, maka garis tersebut terletak pada bidang tersebut atau sejajar dengannya. Namun dalam kedua kasus tersebut akan ada garis-garis pada bidang yang tidak tegak lurus terhadap garis a, misalnya garis-garis yang sejajar dengannya, yang tidak mungkin terjadi. Artinya garis lurus a memotong bidang tersebut. |
Hubungan antara kesejajaran garis dan tegak lurusnya terhadap bidang.
Tanda tegak lurus suatu garis dan bidang.
Catatan.
Sebuah bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu melewati titik mana pun dalam ruang, dan, terlebih lagi, satu-satunya. Melalui suatu titik dalam ruang terdapat sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu, dan hanya satu. Jika dua bidang tegak lurus terhadap suatu garis, maka kedua bidang tersebut sejajar.
Pelajari jawaban atas pertanyaan:
Dalam ruang, garis tegak lurus dapat berpotongan dan dapat berpotongan. (Ya, misalnya kubus.) Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus dengan garis ketiga, maka garis lainnya sejajar dengan garis tersebut. (Tidak, tegak lurus.) Suatu garis disebut tegak lurus terhadap suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap garis mana pun yang terletak pada bidang tersebut. (Tidak, karena dengan syarat garis-garis tersebut terletak pada bidang ini.) Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus terhadap bidang tersebut, maka garis lainnya sejajar dengan bidang tersebut. (Tidak, tegak lurus.) Jika sebuah garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut. (Ya, sesuai dengan kriterianya.) Jika sebuah garis tegak lurus terhadap suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap kedua sisi segitiga yang terletak pada bidang tersebut. (Ya.) Jika sebuah garis tegak lurus terhadap sebuah bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap kedua sisi persegi. (TIDAK.)
Pada bangun datar ABCD (Gambar 1) BCD = ACD =90°. Benarkah pada gambar rusuk AB, AC, BC tegak lurus CD? (Ya.),
Diberikan: ∆ ABC, VM AB, VM BC, D AC.
Perjanjian
Aturan untuk mendaftarkan pengguna di situs web "QUALITY MARK":
Dilarang mendaftarkan pengguna dengan nama panggilan yang mirip dengan: 111111, 123456, ytsukenb, lox, dll.;
Dilarang mendaftar ulang di situs (membuat akun duplikat);
Dilarang menggunakan data orang lain;
Dilarang menggunakan alamat email orang lain;
Aturan perilaku di situs, forum, dan komentar:
1.2. Publikasi data pribadi pengguna lain di profil.
1.3. Segala tindakan destruktif sehubungan dengan sumber daya ini (skrip yang merusak, tebakan kata sandi, pelanggaran sistem keamanan, dll.).
1.4. Menggunakan kata-kata dan ungkapan cabul sebagai nama panggilan; ekspresi yang melanggar hukum Federasi Rusia, standar etika dan moral; kata dan frasa yang mirip dengan nama panggilan pengurus dan moderator.
4. Pelanggaran kategori 2: Diancam dengan larangan total pengiriman segala jenis pesan hingga 7 hari. 4.1.Memposting informasi yang termasuk dalam KUHP Federasi Rusia, Kode Administratif Federasi Rusia dan bertentangan dengan Konstitusi Federasi Rusia.
4.2. Propaganda dalam segala bentuk ekstremisme, kekerasan, kekejaman, fasisme, Nazisme, terorisme, rasisme; menghasut kebencian antaretnis, antaragama, dan sosial.
4.3. Diskusi yang salah tentang karya dan penghinaan terhadap penulis teks dan catatan yang diterbitkan di halaman "TANDA KUALITAS".
4.4. Ancaman terhadap peserta forum.
4.5. Memposting informasi palsu, fitnah, dan informasi lain yang dengan sengaja mendiskreditkan kehormatan dan martabat baik pengguna maupun orang lain.
4.6. Pornografi dalam avatar, pesan dan kutipan, serta tautan ke gambar dan sumber pornografi.
4.7. Diskusi terbuka tentang tindakan administrasi dan moderator.
4.8. Diskusi publik dan penilaian terhadap peraturan yang berlaku dalam bentuk apapun.
5.1. Sumpah serapah dan kata-kata kotor.
5.2. Provokasi (serangan pribadi, mendiskreditkan pribadi, pembentukan reaksi emosional negatif) dan intimidasi terhadap peserta diskusi (penggunaan provokasi secara sistematis terhadap satu atau lebih peserta).
5.3. Memprovokasi pengguna untuk berkonflik satu sama lain.
5.4. Kekasaran dan kekasaran terhadap lawan bicara.
5.5. Menjadi pribadi dan memperjelas hubungan pribadi di thread forum.
5.6. Banjir (pesan yang identik atau tidak berarti).
5.7. Sengaja salah mengeja nama panggilan atau nama pengguna lain dengan cara yang menyinggung.
5.8. Mengedit pesan yang dikutip, mendistorsi maknanya.
5.9. Publikasi korespondensi pribadi tanpa persetujuan tegas dari lawan bicara.
5.11. Trolling destruktif adalah transformasi yang disengaja dari sebuah diskusi menjadi pertempuran kecil.
6.1. Overquoting (mengutip berlebihan) pesan.
6.2. Penggunaan font berwarna merah dimaksudkan untuk koreksi dan komentar oleh moderator.
6.3. Kelanjutan diskusi topik ditutup oleh moderator atau administrator.
6.4. Membuat topik yang tidak mengandung konten semantik atau konten yang provokatif.
6.5. Membuat judul topik atau pesan seluruhnya atau sebagian dengan huruf kapital atau dalam bahasa asing. Pengecualian dibuat untuk judul topik permanen dan topik yang dibuka oleh moderator.
6.6. Buat tanda tangan dengan font yang lebih besar dari font postingan, dan gunakan lebih dari satu warna palet pada tanda tangan.
7. Sanksi diterapkan kepada pelanggar Peraturan Forum
7.1. Larangan sementara atau permanen terhadap akses ke Forum.
7.4. Menghapus akun.
7.5. pemblokiran IP.
8. Catatan
8.1. Sanksi dapat diterapkan oleh moderator dan administrasi tanpa penjelasan.
8.2. Perubahan dapat dilakukan pada aturan ini, yang akan dikomunikasikan kepada semua peserta situs.
8.3. Pengguna dilarang menggunakan klon selama jangka waktu ketika nama panggilan utama diblokir. Dalam hal ini, klon diblokir tanpa batas waktu, dan nama panggilan utama akan menerima satu hari tambahan.
8.4 Pesan yang mengandung bahasa cabul dapat diedit oleh moderator atau administrator.
9. Administrasi Administrasi situs "SIGN OF QUALITY" berhak menghapus pesan dan topik apa pun tanpa penjelasan. Administrasi situs berhak mengedit pesan dan profil pengguna jika informasi di dalamnya hanya sebagian melanggar aturan forum. Kewenangan ini berlaku untuk moderator dan administrator. Administrasi berhak mengubah atau menambah Peraturan ini bila diperlukan. Ketidaktahuan akan aturan tidak membebaskan pengguna dari tanggung jawab atas pelanggarannya. Administrasi situs tidak dapat memverifikasi semua informasi yang dipublikasikan oleh pengguna. Semua pesan hanya mencerminkan pendapat penulis dan tidak dapat digunakan untuk mengevaluasi pendapat seluruh peserta forum secara keseluruhan. Pesan dari karyawan situs dan moderator merupakan ekspresi pendapat pribadi mereka dan mungkin tidak sesuai dengan pendapat editor dan manajemen situs.