ამ სტატიაში მოცემულია საწყისი ინფორმაცია უთანასწორობის სისტემების შესახებ. აქ მოცემულია უტოლობების სისტემის განმარტება და უტოლობების სისტემის ამოხსნის განმარტება. ასევე ჩამოთვლილია სისტემების ძირითადი ტიპები, რომლებთანაც ყველაზე ხშირად უნდა იმუშავო სკოლაში ალგებრის გაკვეთილებზე და მოყვანილია მაგალითები.
გვერდის ნავიგაცია.
რა არის უთანასწორობის სისტემა?
მოსახერხებელია უტოლობების სისტემების განსაზღვრა ისევე, როგორც ჩვენ შემოვიღეთ განტოლებათა სისტემის განმარტება, ანუ აღნიშვნის ტიპისა და მასში ჩადებული მნიშვნელობის მიხედვით.
განმარტება.
უტოლობების სისტემაარის ჩანაწერი, რომელიც წარმოადგენს უტოლობების გარკვეულ რაოდენობას, რომლებიც დაწერილია ერთმანეთის ქვემოთ, გაერთიანებულია მარცხნივ ხვეული ფრჩხილით და აღნიშნავს ყველა ამონახსნის სიმრავლეს, რომლებიც ერთდროულად ამონახსნებია სისტემის თითოეული უტოლობისთვის.
მოვიყვანოთ უტოლობების სისტემის მაგალითი. ავიღოთ ორი თვითნებური, მაგალითად, 2 x−3>0 და 5−x≥4 x−11, ჩავწეროთ ერთმანეთის ქვემოთ.
2 x−3>0,
5−x≥4 x−11
და გავერთიანდეთ სისტემის ნიშნით - ხვეული სამაგრით, შედეგად ვიღებთ შემდეგი ფორმის უტოლობების სისტემას:
ანალოგიური აზრია მოცემული სასკოლო სახელმძღვანელოებში უთანასწორობის სისტემების შესახებ. აღსანიშნავია, რომ მათი განმარტებები მოცემულია უფრო ვიწრო: ერთი ცვლადის მქონე უტოლობებისთვის ან ორი ცვლადით.
უტოლობების სისტემების ძირითადი ტიპები
ნათელია, რომ შესაძლებელია უთანასწორობის უსასრულოდ ბევრი განსხვავებული სისტემის შექმნა. იმისათვის, რომ არ დაიკარგოთ ამ მრავალფეროვნებაში, მიზანშეწონილია მათი განხილვა ჯგუფებში, რომლებსაც აქვთ საკუთარი მახასიათებლები. უტოლობების ყველა სისტემა შეიძლება დაიყოს ჯგუფებად შემდეგი კრიტერიუმების მიხედვით:
- სისტემაში არსებული უტოლობების რაოდენობით;
- ჩაწერაში ჩართული ცვლადების რაოდენობის მიხედვით;
- თავად უტოლობების ტიპის მიხედვით.
ჩანაწერში შეტანილი უტოლობების რაოდენობის მიხედვით გამოიყოფა სისტემები ორი, სამი, ოთხი და ა.შ. უთანასწორობები წინა აბზაცში ჩვენ მოვიყვანეთ სისტემის მაგალითი, რომელიც არის ორი უტოლობის სისტემა. მოდით ვაჩვენოთ ოთხი უტოლობის სისტემის კიდევ ერთი მაგალითი 
.
ცალკე ვიტყვით, რომ მარტო უთანასწორობის სისტემაზე ლაპარაკს აზრი არ აქვს, ამ შემთხვევაში, არსებითად, საუბარია თავად უთანასწორობაზე და არა სისტემაზე.
თუ გადავხედავთ ცვლადების რაოდენობას, მაშინ არსებობს უტოლობების სისტემები ერთი, ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები (ან, როგორც ამბობენ, უცნობი). შეხედეთ ზემოთ ორ აბზაცში დაწერილ უტოლობათა ბოლო სისტემას. ეს არის სისტემა სამი ცვლადით x, y და z. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მისი პირველი ორი უტოლობა არ შეიცავს სამივე ცვლადს, არამედ მხოლოდ ერთ მათგანს. ამ სისტემის კონტექსტში ისინი უნდა გავიგოთ, როგორც უტოლობები x+0·y+0·z≥−2 და 0·x+y+0·z≤5 ფორმის სამი ცვლადით, შესაბამისად. გაითვალისწინეთ, რომ სკოლა ერთი ცვლადით უთანასწორობებზე აკეთებს აქცენტს.
რჩება განხილვა, თუ რა სახის უთანასწორობაა ჩართული ჩაწერის სისტემებში. სკოლაში ძირითადად განიხილავენ ორი უტოლობის სისტემებს (ნაკლებად ხშირად - სამი, უფრო იშვიათად - ოთხი ან მეტი) ერთი ან ორი ცვლადით, ხოლო თავად უტოლობა ჩვეულებრივ არის მთელი უთანასწორობებიპირველი ან მეორე ხარისხი (ნაკლებად ხშირად - უმაღლესი ხარისხი ან წილადი რაციონალური). მაგრამ არ გაგიკვირდეთ, თუ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებელ მასალებში შეხვდებით უტოლობების სისტემებს, რომლებიც შეიცავს ირაციონალურ, ლოგარითმულ, ექსპონენციალურ და სხვა უტოლობას. მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ უტოლობათა სისტემას 
, აღებულია .
რა არის გამოსავალი უთანასწორობის სისტემისთვის?
მოდით შემოგთავაზოთ კიდევ ერთი განმარტება, რომელიც დაკავშირებულია უტოლობათა სისტემებთან - უტოლობების სისტემის ამოხსნის განმარტება:
განმარტება.
უტოლობათა სისტემის ამოხსნა ერთი ცვლადითეწოდება ცვლადის ისეთ მნიშვნელობას, რომელიც აქცევს სისტემის თითოეულ უტოლობას ჭეშმარიტად, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის სისტემის თითოეული უტოლობის ამოხსნა.
ავხსნათ მაგალითით. ავიღოთ ორი უტოლობის სისტემა ერთი ცვლადით. ავიღოთ x ცვლადის მნიშვნელობა 8-ის ტოლი, ეს არის ჩვენი უტოლობების სისტემის ამოხსნა განმარტებით, ვინაიდან მისი ჩანაცვლება სისტემის უტოლობებით იძლევა ორ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას 8>7 და 2−3·8≤0. პირიქით, ერთიანობა არ არის სისტემის გამოსავალი, რადგან როდესაც ის ჩაანაცვლებს x ცვლადს, პირველი უტოლობა გადაიქცევა არასწორ რიცხვით უტოლობად 1>7.
ანალოგიურად, შეიძლება შემოვიტანოთ ამოხსნის განმარტება უტოლობათა სისტემისთვის ორი, სამი და დიდი რიცხვიცვლადები:
განმარტება.
უტოლობების სისტემის ამოხსნა ორი, სამი და ა.შ. ცვლადებიე.წ. წყვილი, სამი და ა.შ. ამ ცვლადების მნიშვნელობები, რომლებიც ამავდროულად არის სისტემის ყველა უტოლობის ამოხსნა, ანუ სისტემის ყოველ უტოლობას აქცევს სწორ რიცხვობრივ უტოლობად.
მაგალითად, მნიშვნელობების წყვილი x=1, y=2 ან სხვა აღნიშვნით (1, 2) არის ამონახსნი უტოლობათა სისტემის ორი ცვლადით, ვინაიდან 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
უტოლობების სისტემებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, შეიძლება ჰქონდეთ ამონახსნების სასრული რაოდენობა ან შეიძლება ჰქონდეს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ადამიანები ხშირად საუბრობენ უთანასწორობის სისტემის ამოხსნის ერთობლიობაზე. როდესაც სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, მაშინ არის მისი გადაწყვეტილებების ცარიელი ნაკრები. როდესაც ამონახსნების სასრული რაოდენობაა, მაშინ ამონახსნთა სიმრავლე შეიცავს ელემენტთა სასრულ რაოდენობას, ხოლო როდესაც ამონახსნები უსასრულოდ ბევრია, მაშინ ამონახსნთა სიმრავლე შედგება ელემენტების უსასრულო რაოდენობისგან.
ზოგიერთი წყარო შემოაქვს უთანასწორობების სისტემის კონკრეტული და ზოგადი ამოხსნის განმარტებებს, როგორიცაა, მაგალითად, მორდკოვიჩის სახელმძღვანელოებში. ქვეშ უთანასწორობის სისტემის კერძო ამოხსნაგაიგე მისი ერთი გადაწყვეტილება. თავის მხრივ უტოლობების სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა- ეს ყველაფერი მისი პირადი გადაწყვეტილებებია. ამასთან, ამ ტერმინებს აზრი აქვს მხოლოდ მაშინ, როდესაც საჭიროა კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნოთ, თუ რა სახის გადაწყვეტაზე ვსაუბრობთ, მაგრამ, როგორც წესი, ეს უკვე ნათელია კონტექსტიდან, ასე რომ, უფრო ხშირად ისინი უბრალოდ ამბობენ "უთანასწორობის სისტემის გადაწყვეტა".
ამ სტატიაში მოყვანილი უტოლობათა სისტემის განმარტებებიდან და მისი ამონახსნებიდან გამომდინარეობს, რომ უტოლობათა სისტემის ამონახსნი არის ამ სისტემის ყველა უტოლობის ამონახსნების სიმრავლეების კვეთა.
ბიბლიოგრაფია.
- Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Ალგებრა:მე-9 კლასი: საგანმანათლებლო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.
- მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-11 კლასი. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოსინე, 2008. - 287 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01027-2.
- ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა-2013წ. მათემატიკა: სტანდარტული გამოცდის ვარიანტები: 30 ვარიანტი / რედ. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. – მ.: გამომცემლობა „ეროვნული განათლება“, 2012. – 192გვ. – (USE-2013. FIPI - სკოლა).
მოდით შევხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ წრფივი უტოლობების სისტემა.
4x + 29 \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]" title="გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
სისტემის გადასაჭრელად საჭიროა მისი თითოეული შემადგენელი უტოლობა. მხოლოდ გადაწყვეტილება მიიღეს, რომ არა ცალკე, არამედ ერთად დაწერა, ხვეული ბრეკეტით შერწყმა.
სისტემის თითოეულ უტოლობაში ჩვენ გადავიტანთ უცნობებს ერთ მხარეს, ცნობილებს მეორეზე საპირისპირო ნიშნით:
Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
გამარტივების შემდეგ უტოლობის ორივე მხარე უნდა გაიყოს X-ის წინ რიცხვზე. პირველ უტოლობას ვყოფთ დადებით რიცხვზე, ამიტომ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. მეორე უტოლობას ვყოფთ უარყოფით რიცხვზე, ამიტომ უტოლობის ნიშანი შებრუნებული უნდა იყოს:
Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
ჩვენ აღვნიშნავთ რიცხვით წრფეებზე უტოლობების ამოხსნას:
საპასუხოდ ჩვენ ვწერთ ამონახსნების კვეთას, ანუ იმ ნაწილს, სადაც ორივე ხაზზე დაჩრდილულია.
პასუხი: x∈[-2;1).
პირველ უტოლობაში მოვიშოროთ წილადი. ამისთვის ორივე მხარეს ვამრავლებთ ტერმინზე უმცირეს საერთო მნიშვნელ 2-ზე. როდესაც მრავლდება დადებით რიცხვზე, უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.
მეორე უტოლობაში ვხსნით ფრჩხილებს. ორი გამონათქვამის ჯამისა და სხვაობის ნამრავლი უდრის ამ გამონათქვამების კვადრატების სხვაობას. მარჯვენა მხარეს არის ორ გამონათქვამს შორის განსხვავების კვადრატი.
Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
უცნობებს ერთ მხარეს გადავიტანთ, ცნობილებს მეორეზე საპირისპირო ნიშნით და ვამარტივებთ:
უტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ X-ის წინ რიცხვზე. პირველ უტოლობაში ვყოფთ უარყოფით რიცხვზე, ამიტომ უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია. მეორეში ვყოფთ დადებით რიცხვზე, უტოლობის ნიშანი არ იცვლება:
Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
ორივე უტოლობას აქვს "ნაკლები" ნიშანი (არ აქვს მნიშვნელობა, რომ ერთი ნიშანი მკაცრად "ნაკლებია", მეორე არის თავისუფალი, "ნაკლები ან ტოლი"). ჩვენ არ შეგვიძლია აღვნიშნოთ ორივე გამოსავალი, მაგრამ გამოვიყენოთ " " წესი. პატარა არის 1, შესაბამისად სისტემა მცირდება უტოლობამდე
ჩვენ აღვნიშნავთ მის ამოხსნას რიცხვით ხაზზე:
პასუხი: x∈(-∞;1].
ფრჩხილების გახსნა. პირველ უტოლობაში - . იგი უდრის ამ გამონათქვამების კუბების ჯამს.
მეორეში ორი გამონათქვამის ჯამისა და სხვაობის ნამრავლი, რომელიც უდრის კვადრატების სხვაობას. ვინაიდან აქ არის მინუს ნიშანი ფრჩხილების წინ, უმჯობესია მათი გახსნა ორ ეტაპად: ჯერ გამოიყენეთ ფორმულა და მხოლოდ ამის შემდეგ გახსენით ფრჩხილები, შეცვალეთ თითოეული ტერმინის ნიშანი საპირისპიროდ.
უცნობებს ერთი მიმართულებით გადავაადგილებთ, ცნობებს მეორეში საპირისპირო ნიშნით:
Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
ორივე ნიშანიზე დიდია. „მეტზე მეტი“ წესის გამოყენებით, ჩვენ ვამცირებთ უტოლობების სისტემას ერთ უთანასწორობამდე. ორი რიცხვიდან უფრო დიდი არის 5, შესაბამისად,
Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
რიცხვით წრფეზე ვნიშნავთ უტოლობის ამოხსნას და ვწერთ პასუხს: 
პასუხი: x∈(5;∞).
ვინაიდან ალგებრულ სისტემებში წრფივი უტოლობები წარმოიქმნება არა მხოლოდ როგორც დამოუკიდებელი ამოცანები, არამედ სხვადასხვა სახის განტოლებების ამოხსნისას, უტოლობა და ა.შ., მნიშვნელოვანია ამ თემის დროულად დაუფლება.
შემდეგ ჯერზე განვიხილავთ წრფივი უტოლობების სისტემის ამოხსნის მაგალითებს განსაკუთრებულ შემთხვევებში, როდესაც ერთ-ერთ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები ან მისი ამონახსნები არის ნებისმიერი რიცხვი.
კატეგორია: |უტოლობების სისტემა.
მაგალითი 1. იპოვნეთ გამოხატვის დომენი
გამოსავალი.კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს არაუარყოფითი რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ ორი უტოლობა ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს: 
ასეთ შემთხვევებში ამბობენ, რომ პრობლემა უთანასწორობის სისტემის ამოხსნამდე მიდის
მაგრამ ჩვენ ჯერ არ შეგვხვედრია ასეთი მათემატიკური მოდელი (უტოლობათა სისტემა). ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ჯერ ვერ ვასრულებთ მაგალითის ამოხსნას.
უტოლობები, რომლებიც ქმნიან სისტემას, გაერთიანებულია ხვეული ფრჩხილთან (იგივეა განტოლებათა სისტემებში). მაგალითად, ჩაწერეთ
ნიშნავს, რომ უტოლობები 2x - 1 > 3 და 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.
ზოგჯერ უტოლობათა სისტემა იწერება ორმაგი უტოლობის სახით. მაგალითად, უთანასწორობის სისტემა
შეიძლება დაიწეროს როგორც ორმაგი უტოლობა 3<2х-1<11.
მე-9 კლასის ალგებრის კურსში განვიხილავთ მხოლოდ ორი უტოლობის სისტემებს.
განვიხილოთ უტოლობების სისტემა
თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ მისი რამდენიმე კონკრეტული გადაწყვეტა, მაგალითად x = 3, x = 4, x = 3.5. სინამდვილეში, x = 3-ისთვის პირველი უტოლობა იღებს ფორმას 5 > 3, ხოლო მეორე იღებს ფორმას 7.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.
ამავე დროს, მნიშვნელობა x = 5 არ არის უტოლობების სისტემის ამოხსნა. როდესაც x = 5, პირველი უტოლობა იღებს ფორმას 9 > 3 - სწორი რიცხვითი უტოლობა, ხოლო მეორე იღებს ფორმას 13.< 11- неверное числовое неравенство .
უტოლობების სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა კონკრეტული ამონახსნის პოვნას. ცხადია, რომ ზემოთ ნაჩვენები გამოცნობა არ არის უტოლობების სისტემის ამოხსნის მეთოდი. შემდეგ მაგალითში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ მსჯელობენ ადამიანები ჩვეულებრივ უთანასწორობის სისტემის ამოხსნისას.
მაგალითი 3.ამოხსენით უტოლობების სისტემა:
გამოსავალი.
ა)სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნისას ვპოულობთ 2x > 4, x > 2; სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნისას ვპოულობთ 3x-ს< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
ბ)სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x > 2; სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნისას ვპოულობთ 
მოდი აღვნიშნოთ ეს ინტერვალები ერთ კოორდინატულ ხაზზე, პირველი ინტერვალისთვის ზედა გამოჩეკით, მეორესთვის კი ქვედა გამოჩეკით (სურ. 23). უტოლობათა სისტემის ამოხსნა იქნება სისტემის უტოლობების ამონახსნების გადაკვეთა, ე.ი. ინტერვალი, სადაც ორივე გამოჩეკი ემთხვევა. განხილულ მაგალითში ვიღებთ სხივს
V)სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.
მოდით განვაზოგადოთ განხილულ მაგალითში განხორციელებული მსჯელობა. დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობების სისტემა
მაგალითად, ინტერვალი (a, b) იყოს ამონახსნი fx 2 > g(x) უტოლობაზე, ხოლო ინტერვალი (c, d) არის f 2 (x) > s 2 (x) უტოლობის ამონახსნი. ). მოდი ავღნიშნოთ ეს ინტერვალები ერთ კოორდინატზე, პირველი ინტერვალისთვის ზედა გამოჩეკით, მეორესთვის კი ქვედა გამოჩეკით (სურ. 25). უტოლობათა სისტემის ამოხსნა არის სისტემის უტოლობების ამონახსნების გადაკვეთა, ე.ი. ინტერვალი, სადაც ორივე ლუქი ემთხვევა. ნახ. 25 არის ინტერვალი (c, b).
ახლა ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ამოხსნათ უტოლობათა სისტემა, რომელიც ზემოთ მივიღეთ მაგალით 1-ში:
სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x > 2; სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.
რა თქმა უნდა, უტოლობათა სისტემა სულაც არ უნდა შედგებოდეს წრფივი უტოლობებისაგან, როგორც ეს აქამდე ხდებოდა; ნებისმიერი რაციონალური (და არა მხოლოდ რაციონალური) უთანასწორობა შეიძლება მოხდეს. ტექნიკურად, რაციონალური არაწრფივი უტოლობების სისტემასთან მუშაობა, რა თქმა უნდა, უფრო რთულია, მაგრამ ფუნდამენტურად ახალი (წრფივი უტოლობების სისტემებთან შედარებით) აქ არაფერია.
მაგალითი 4.ამოხსენით უტოლობათა სისტემა
გამოსავალი.
1) ამოხსენით უტოლობა, რომელიც გვაქვს 
რიცხვთა წრფეზე მოვნიშნოთ -3 და 3 წერტილები (სურ. 27). ისინი ხაზს ყოფენ სამ ინტერვალად და თითოეულ ინტერვალზე გამოთქმა p(x) = (x- 3)(x + 3) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს - ეს ნიშნები მითითებულია ნახ. 27. ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, რომლებშიც მოქმედებს უტოლობა p(x) > 0 (ისინი დაჩრდილულია ნახ. 27-ში) და წერტილები, რომლებშიც მოქმედებს ტოლობა p(x) = 0, ე.ი. წერტილები x = -3, x = 3 (ისინი მონიშნულია ნახ. 2 7-ში მუქი წრეებით). ამრიგად, ნახ. 27-ზე წარმოდგენილია გეომეტრიული მოდელი პირველი უტოლობის ამოსახსნელად.
2) ამოხსენით უტოლობა, რომელიც გვაქვს
რიცხვთა წრფეზე მოვნიშნოთ 0 და 5 წერტილები (სურ. 28). ისინი ხაზს სამ ინტერვალად ყოფენ და თითოეულ ინტერვალზე გამოსახულებას<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (დაჩრდილულია 28-ზე), და წერტილები, რომლებშიც ტოლია g (x) - O, ე.ი. წერტილები x = 0, x = 5 (ისინი 28-ზე მონიშნულია მუქი წრეებით). ამრიგად, ნახ. 28-ზე წარმოდგენილია სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნის გეომეტრიული მოდელი.
3)
მოდი აღვნიშნოთ სისტემის პირველი და მეორე უტოლობების ნაპოვნი ამონახსნები იმავე კოორდინატთა ხაზზე, პირველი უტოლობის ამონახსნებისთვის ზედა გამოჩეკვით, მეორის ამონახსნებისთვის კი ქვედა გამოჩეკვით (სურ. 29). უტოლობათა სისტემის ამოხსნა იქნება სისტემის უტოლობების ამონახსნების გადაკვეთა, ე.ი. ინტერვალი, სადაც ორივე გამოჩეკი ემთხვევა. ასეთი ინტერვალი არის სეგმენტი.
მაგალითი 5.ამოხსენით უტოლობების სისტემა:
გამოსავალი:
ა)პირველი უტოლობიდან ვპოულობთ x >2. განვიხილოთ მეორე უტოლობა. კვადრატულ ტრინომს x 2 + x + 2 არ აქვს ნამდვილი ფესვები და მისი წამყვანი კოეფიციენტი (კოეფიციენტი x 2) დადებითია. ეს ნიშნავს, რომ x ყველასთვის მოქმედებს x 2 + x + 2>0 უტოლობა და, შესაბამისად, სისტემის მეორე უტოლობას არ აქვს ამონახსნები. რას ნიშნავს ეს უთანასწორობის სისტემისთვის? ეს ნიშნავს, რომ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.
ბ)პირველი უტოლობიდან ვპოულობთ x > 2, ხოლო მეორე უტოლობა დაკმაყოფილებულია x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. რას ნიშნავს ეს უთანასწორობის სისტემისთვის? ეს ნიშნავს, რომ მის ამოხსნას აქვს x>2 ფორმა, ე.ი. ემთხვევა პირველი უტოლობის ამოხსნას.
პასუხი:
ა) არ არის გადაწყვეტილებები; ბ) x > 2.
ეს მაგალითი არის შემდეგი სასარგებლო ილუსტრაცია
1. თუ ერთი ცვლადის მქონე რამდენიმე უტოლობის სისტემაში ერთ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები, მაშინ სისტემას არ აქვს ამონახსნები.
2. თუ ორი უტოლობის სისტემაში ერთი ცვლადით, ერთი უტოლობა დაკმაყოფილებულია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მაშინ სისტემის ამონახსნი არის სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნა.
ამ განყოფილების დასასრულს, მოდით დავუბრუნდეთ პრობლემას დასაწყისში მოცემული ნომრის შესახებ და მოვაგვაროთ იგი, როგორც ამბობენ, ყველა წესის მიხედვით.
მაგალითი 2(იხ. გვ. 29). ნატურალური რიცხვია განკუთვნილი. ცნობილია, რომ თუ დანიშნულ რიცხვს დაუმატებთ 13-ს, მაშინ ჯამი მეტი იქნება, ვიდრე სავარაუდო რიცხვის ნამრავლი და რიცხვი 14. თუ დანიშნულ რიცხვს 45-ს დაუმატებთ, მაშინ ჯამი იქნება. იყოს გათვალისწინებული რიცხვისა და 18 რიცხვის ნამრავლზე ნაკლები. რა რიცხვია განკუთვნილი?
გამოსავალი.
პირველი ეტაპი. მათემატიკური მოდელის შედგენა.
განზრახული რიცხვი x, როგორც ზემოთ ვნახეთ, უნდა აკმაყოფილებდეს უტოლობათა სისტემას
მეორე ფაზა. შედგენილ მათემატიკურ მოდელთან მუშაობა მოდით გადავიტანოთ სისტემის პირველი უტოლობა ფორმაში
x2- 14x+ 13 > 0.
ვიპოვოთ x 2 - 14x + 13 ტრინომის ფესვები: x 2 = 1, x 2 = 13. პარაბოლის გამოყენებით y = x 2 - 14x + 13 (სურ. 30) დავასკვნათ, რომ ჩვენთვის საინტერესო უტოლობა არის კმაყოფილი x< 1 или x > 13.
გადავიყვანოთ სისტემის მეორე უტოლობა x2 - 18 2 + 45 სახით< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.
გრაფიკული მეთოდი.. 3
მარტივი მეთოდი.. 6
ხელოვნური ბაზის მეთოდი... 8
ორმაგობის პრინციპი.. 10
გამოყენებული ლიტერატურის სია... 12
შესავალი
წრფივი უტოლობების სისტემების გარკვეული თვისებები განიხილებოდა ჯერ კიდევ XIX საუკუნის პირველ ნახევარში ანალიტიკური მექანიკის გარკვეულ პრობლემებთან დაკავშირებით. წრფივი უტოლობების სისტემების სისტემატური შესწავლა დაიწყო მე-19 საუკუნის ბოლოს, მაგრამ წრფივი უტოლობების თეორიაზე საუბარი მხოლოდ მე-20 საუკუნის ოციანი წლების ბოლოს გახდა შესაძლებელი, როდესაც მათთან დაკავშირებული შედეგების საკმარისი რაოდენობა იყო. უკვე დაგროვილი.
ახლა წრფივი უტოლობების სასრული სისტემების თეორია შეიძლება ჩაითვალოს წრფივი ალგებრის განშტოებად, რომელიც წარმოიშვა მისგან კოეფიციენტების ველის მოწესრიგების დამატებითი მოთხოვნით.
ხაზოვანი უთანასწორობები განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ეკონომისტებისთვის, რადგან ხაზოვანი უთანასწორობების დახმარებით შეიძლება წარმოების პროცესების მოდელირება და ყველაზე მომგებიანი გეგმების პოვნა წარმოების, ტრანსპორტირების, რესურსების განაწილების და ა.შ.
ეს ნაშრომი ასახავს წრფივი უტოლობების ამოხსნის ძირითად მეთოდებს, რომლებიც გამოიყენება კონკრეტულ პრობლემებზე.
გრაფიკული მეთოდი
გრაფიკული მეთოდი შედგება PLP-სთვის დასაშვები გადაწყვეტილებების ნაკრების აგებაში და ამ ნაკრებში მაქსიმალური/მინ მიზნის ფუნქციის შესაბამისი წერტილის პოვნაში.
ვიზუალური გრაფიკული წარმოდგენის შეზღუდული შესაძლებლობების გამო, ეს მეთოდი გამოიყენება მხოლოდ წრფივი უტოლობების სისტემებისთვის ორი უცნობი და სისტემებისთვის, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს ამ ფორმამდე.
იმისათვის, რომ ნათლად წარმოვაჩინოთ გრაფიკული მეთოდი, გადავჭრათ შემდეგი პრობლემა:
- პირველ ეტაპზე აუცილებელია შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რეგიონის აგება. ამ მაგალითისთვის ყველაზე მოსახერხებელია X2 აბსცისად არჩევა და X1 ორდინატად და უტოლობების ჩაწერა შემდეგი ფორმით:
როგორც გრაფიკები, ასევე შესაძლებელი გადაწყვეტილებების ფართობი პირველ კვარტალშია. სასაზღვრო წერტილების საპოვნელად ვხსნით განტოლებებს (1)=(2), (1)=(3) და (2)=(3).
როგორც ილუსტრაციიდან ჩანს, პოლიედონი ABCDE ქმნის შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რეგიონს.
თუ შესაძლებელი ამონახსნების რეგიონი არ არის დახურული, მაშინ ან max(f)=+ ∞ ან min(f)= -∞.
- ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ f ფუნქციის მაქსიმუმის პირდაპირ პოვნა.
პოლიედონის წვეროების კოორდინატების მონაცვლეობით f ფუნქციაში ჩანაცვლებით და მნიშვნელობების შედარებით, აღმოვაჩენთ, რომ
f(C)=f(4;1)=19 – ფუნქციის მაქსიმუმი.
ეს მიდგომა საკმაოდ მომგებიანია წვეროების მცირე რაოდენობით. მაგრამ ამ პროცედურას შეიძლება დიდი დრო დასჭირდეს, თუ საკმაოდ ბევრი წვეროა.
ამ შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია f=a ფორმის დონის ხაზის გათვალისწინება. რიცხვის a მონოტონური ზრდით -∞-დან +∞-მდე, სწორი ხაზები f=a გადაინაცვლებს ნორმალური ვექტორის გასწვრივ. თუ დონის ხაზის ასეთი მოძრაობით არის გარკვეული წერტილი X - შესაძლებელი ამონახსნების რეგიონის პირველი საერთო წერტილი (პოლიედონი ABCDE) და დონის ხაზი, მაშინ f(X) არის f-ის მინიმალური რაოდენობა კომპლექტში. Ა Ბ Ც Დ Ე. თუ X არის დონის ხაზისა და ABCDE სიმრავლის გადაკვეთის ბოლო წერტილი, მაშინ f(X) არის მაქსიმუმი შესასრულებელი ამონახსნების სიმრავლეზე. თუ, როგორც a→-∞, სწორი ხაზი f=a კვეთს შესაძლებელი ამონახსნების სიმრავლეს, მაშინ min(f)= -∞. თუ ეს ხდება როგორც a→+∞, მაშინ
ჩვენს მაგალითში სწორი ხაზი f=a კვეთს ABCDE ფართობს C(4;1) წერტილში. ვინაიდან ეს არის ბოლო გადაკვეთის წერტილი, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.
მარტივი მეთოდი
რეალური ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანები შეიცავს უამრავ შეზღუდვებსა და უცნობებს და შესრულებულია კომპიუტერზე. Simplex მეთოდი არის ყველაზე ზოგადი ალგორითმი, რომელიც გამოიყენება ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად. მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ გარკვეული რაოდენობის სპეციალური სიმპლექსის გარდაქმნების შემდეგ, ZLP, რომელიც შემცირებულია სპეციალურ ფორმაში, წყდება. სიმპლექსის მეთოდის მოქმედებაში დემონსტრირების მიზნით, მოდით გადავჭრათ შემდეგი პრობლემა თანმხლები კომენტარებით:
- იმისათვის, რომ დაიწყოთ პრობლემის გადაჭრა სიმპლექსის მეთოდით, საჭიროა პრობლემის გადატანა სპეციალურ ფორმაში და შეავსოთ მარტივი ცხრილი.
სისტემა (4) არის ბუნებრივი შეზღუდვა და არ ჯდება ცხრილში. განტოლებები (1), (2), (3) ქმნიან შესაძლებელი ამონახსნების რეგიონს. გამოხატულება (5) არის ობიექტური ფუნქცია. უფასო პირობები შეზღუდვების სისტემაში და დასაშვები გადაწყვეტილებების რეგიონში უნდა იყოს არაუარყოფითი.
ამ მაგალითში X3, X4, X5 არის ძირითადი უცნობი. ისინი უნდა გამოიხატოს თავისუფალი უცნობის ტერმინებით და შეიცვალოს ობიექტურ ფუნქციაში.
ახლა თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ სიმპლექსის ცხრილის შევსება:
| ბ. | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | C |
| X3 | 0 | -1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| X4 | 0 | 1 | -1 | 0 | 1 | 1 |
| X5 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 |
| ვ | 0 | -6 | 7 | 0 | 0 | 3 |
ამ ცხრილის პირველი სვეტი მიუთითებს ძირითად უცნობებს, ბოლო - თავისუფალი უცნობის მნიშვნელობებს, ხოლო დანარჩენი - უცნობების კოეფიციენტებს.
- იმისათვის, რომ იპოვოთ f ფუნქციის მაქსიმუმი, გაუსის გარდაქმნების გამოყენებით, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ ბოლო მწკრივის უცნობი უცნობის ყველა კოეფიციენტი არის არაუარყოფითი (მინიმალის საპოვნელად, დარწმუნდით, რომ ყველა კოეფიციენტი ნაკლებია ან ტოლია ნულამდე).
| ბ | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | C |
| X3 | -1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| X4 | 1 | -1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| X5 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 |
| ვ | -6 | 7 | 0 | 0 | 0 | 3 |
ამისათვის აირჩიეთ სვეტი უარყოფითი კოეფიციენტით ბოლო მწკრივში (სვეტი 3) და შეადგინეთ თავისუფალი ვადა/კოეფიციენტის კავშირი (1/1; 2/1) ამ სვეტის დადებითი ელემენტებისთვის. ამ კოეფიციენტებიდან აირჩიეთ ყველაზე პატარა და მონიშნეთ შესაბამისი ხაზი.
ჩვენ შევარჩიეთ ელემენტი უჯრედში (3;3). ახლა, გაუსის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ აღვადგენთ ამ სვეტის სხვა კოეფიციენტებს, ეს იწვევს საფუძვლის ცვლილებას და ჩვენ ერთი ნაბიჯით ვუახლოვდებით ოპტიმალურ გადაწყვეტას.
| ბ | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | C |
| X3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| X1 | 1 | -1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| X5 | 0 | 2 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| ვ | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 9 |
როგორც ცხრილიდან ჩანს, ახლა ბოლო მწკრივის ყველა კოეფიციენტი მეტია ან ტოლია ნულის. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიპოვეთ ოპტიმალური მნიშვნელობა. თავისუფალი უცნობები ნულის ტოლია, ძირითადი უცნობის მნიშვნელობა და f ფუნქციის მაქსიმუმი შეესაბამება თავისუფალი უცნობის მნიშვნელობებს.
