រូបមន្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល។ ច្បាប់នៃចំនួនធំ។ ការបង្រៀន។ ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល

ការអនុវត្តនៃការសិក្សាបាតុភូតចៃដន្យបង្ហាញថា ទោះបីជាលទ្ធផលនៃការសង្កេតបុគ្គល សូម្បីតែសកម្មភាពដែលធ្វើឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នាអាចខុសគ្នាខ្លាំងក៏ដោយ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ លទ្ធផលជាមធ្យមសម្រាប់ការសង្កេតមួយចំនួនធំមានស្ថេរភាព និងខ្សោយអាស្រ័យទៅលើ លទ្ធផលនៃការសង្កេតបុគ្គល។ មូលដ្ឋានទ្រឹស្តីសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃបាតុភូតចៃដន្យនេះគឺ ច្បាប់ លេខធំ . អត្ថន័យទូទៅនៃច្បាប់នៃចំនួនធំគឺថា សកម្មភាពរួមបញ្ចូលគ្នានៃកត្តាចៃដន្យមួយចំនួនធំនាំទៅរកលទ្ធផលដែលស្ទើរតែឯករាជ្យនៃឱកាស។

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល

ទ្រឹស្តីបទ Lyapunovពន្យល់ពីការចែកចាយយ៉ាងទូលំទូលាយនៃច្បាប់ចែកចាយធម្មតា និងពន្យល់ពីយន្តការនៃការបង្កើតរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទអនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ថានៅពេលណាដែលអថេរចៃដន្យត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមនៃចំនួនដ៏ច្រើននៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ វ៉ារ្យ៉ង់ដែលមានទំហំតូចបើប្រៀបធៀបទៅនឹងការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃផលបូក ច្បាប់ចែកចាយនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរចៃដន្យនេះ ចេញជាច្បាប់ស្ទើរតែធម្មតា។ ហើយចាប់តាំងពីអថេរចៃដន្យតែងតែត្រូវបានបង្កើតដោយចំនួនមិនកំណត់នៃមូលហេតុ ហើយភាគច្រើនមិនមានការបែកខ្ញែកដែលអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរចៃដន្យដោយខ្លួនឯង អថេរចៃដន្យភាគច្រើនដែលបានជួបប្រទះក្នុងការអនុវត្តគឺស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយធម្មតា។ ()

ដូច្នេះនេះគឺជាការចែកចាយទូទៅបំផុតនៃបរិមាណបន្តនៅក្នុងធម្មជាតិ។ យុត្តិកម្មគណិតវិទ្យាសម្រាប់ការពិតនេះគឺជាទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល៖

ផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើននៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយតាមអំពើចិត្តគឺត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា asymptotically ប្រសិនបើមានតែលក្ខខណ្ឌធ្វើឱ្យមានការរួមចំណែកតិចតួចស្មើភាពគ្នាទៅនឹងផលបូកនោះ។

នេះមានន័យថាលក្ខខណ្ឌឯករាជ្យកាន់តែច្រើននៅក្នុងផលបូក ច្បាប់នៃការចែកចាយរបស់វាកាន់តែខិតទៅជិតធម្មតា។ ជំនួសឱ្យផលបូក មធ្យមនព្វន្ធនៃអថេរចៃដន្យមួយចំនួនធំត្រូវបានពិចារណាជាញឹកញាប់ វាខុសពីផលបូកដោយកត្តា (1/n) ដូច្នេះការចែកចាយរបស់វាក៏មានទំនោរទៅធម្មតាដូចចំនួន n នៃតម្លៃបូក។ កើនឡើង។ ចាប់តាំងពីអថេរចៃដន្យដែលយើងជួបប្រទះឧទាហរណ៍ក្នុងអំឡុងពេលវាស់គឺជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពនៃកត្តាឯករាជ្យជាច្រើនវាអាចយល់បានថាហេតុអ្វីបានជាតម្លៃដែលបានវាស់វែងជាក្បួនត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា។

លទ្ធផលនៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលគឺទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace ដែលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ទាំងនេះបន្ថែម៖

  • វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់បន្តប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកផងដែរ។ សារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Lyapunov គឺធំធេងណាស់។ បទពិសោធន៍បង្ហាញថាច្បាប់នៃការចែកចាយផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យដែលអាចប្រៀបធៀបបាននៅក្នុងការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយរបស់ពួកគេជិតដល់ធម្មតា។ រួចហើយនៅពេលដែលចំនួនពាក្យគឺប្រហែលដប់ ច្បាប់នៃការចែកចាយផលបូកអាចត្រូវបានជំនួសដោយពាក្យធម្មតា។ ប៉ុន្តែជាមធ្យម ជាមួយនឹងការសន្មត់រដុប ការចែកចាយត្រូវបានចាត់ទុកថាធម្មតានៅពេលដែល n>=30។
  • ច្បាប់នៃចំនួនធំគឺជាមូលដ្ឋាន ប្រភេទផ្សេងៗការធានារ៉ាប់រង (ការធានារ៉ាប់រងអាយុជីវិតមនុស្សសម្រាប់រយៈពេលដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ ទ្រព្យសម្បត្តិ បសុសត្វ ដំណាំ។ល។)។
  • នៅពេលរៀបចំផែនការជួរនៃទំនិញប្រើប្រាស់ តម្រូវការរបស់ប្រជាជនសម្រាប់ពួកគេត្រូវយកមកពិចារណា។ ការទាមទារនេះបង្ហាញពីឥទ្ធិពលនៃច្បាប់នៃចំនួនដ៏ច្រើន។
  • វិធីសាស្រ្តគំរូដែលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងស្ថិតិរកឃើញមូលដ្ឋានវិទ្យាសាស្ត្ររបស់វានៅក្នុងច្បាប់នៃចំនួនធំ។ ជាឧទាហរណ៍ គុណភាពនៃស្រូវសាលីដែលនាំមកពីកសិដ្ឋានសមូហភាពមួយទៅកាន់ចំណុចលទ្ធកម្មត្រូវបានវិនិច្ឆ័យដោយគុណភាពនៃគ្រាប់ធញ្ញជាតិដែលចាប់យកដោយចៃដន្យក្នុងរង្វាស់តូចមួយ។ មិនមានគ្រាប់ធញ្ញជាតិច្រើននៅក្នុងរង្វាស់ទេបើប្រៀបធៀបទៅនឹងដុំទាំងមូល ប៉ុន្តែក្នុងករណីណាក៏ដោយ រង្វាស់ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយហេតុថាមានគ្រាប់ធញ្ញជាតិគ្រប់គ្រាន់នៅក្នុងនោះ ដើម្បីបង្ហាញពីច្បាប់នៃចំនួនដ៏ច្រើនជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបំពេញតម្រូវការ។ យើងមានសិទ្ធិយកសូចនាករដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងគំរូជាសូចនាករនៃការចម្លងរោគ សំណើម និងទម្ងន់មធ្យមនៃគ្រាប់ធញ្ញជាតិទាំងមូល។ (

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល (CLT) គឺជាក្រុមទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងច្បាប់ចែកចាយ ផលបូកនៃអថេរចៃដន្យនិងទម្រង់ចុងក្រោយរបស់វា - ច្បាប់ចែកចាយធម្មតា។

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបាននិយាយអំពីស្ថេរភាពនៃលក្ខណៈមធ្យមនៃការធ្វើតេស្តមួយចំនួនធំ ឬច្បាស់ជាងនេះអំពីស្ថេរភាពនៃផលបូកនៃទម្រង់

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគួរកត់សំគាល់ថាតម្លៃ
ចៃដន្យ ដែលមានន័យថាវាមានច្បាប់ចែកចាយមួយចំនួន។ វាប្រែថាការពិតគួរឱ្យកត់សម្គាល់នេះបង្កើតខ្លឹមសារ

ក្រុមមួយទៀតនៃទ្រឹស្តីបទ រួបរួមគ្នាក្រោមឈ្មោះទូទៅ ដែនកំណត់កណ្តាលទ្រឹស្តីបទដែលស្ថិតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌទូទៅដោយយុត្តិធម៌ ច្បាប់ចែកចាយ ជិតនឹងច្បាប់ធម្មតា។

ចាប់តាំងពីតម្លៃ ខុសគ្នាពីបរិមាណ

គ្រាន់តែជាកត្តាថេរ
បន្ទាប់មកនៅក្នុង គ្រោងទូទៅខ្លឹមសារនៃ CLT អាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម។

ការចែកចាយផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើននៃអថេរចៃដន្យដោយឯករាជ្យជាមួយ very

លក្ខខណ្ឌទូទៅជិតនឹងច្បាប់ចែកចាយធម្មតា។

វាត្រូវបានគេដឹងថាអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងការអនុវត្ត (មិនត្រឹមតែនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងនៅក្នុងកម្មវិធីជាច្រើនរបស់វាផងដែរ)។ តើអ្វីពន្យល់ពីបាតុភូតនេះ? ចម្លើយចំពោះ "បាតុភូត" បែបនេះត្រូវបានផ្តល់ជាលើកដំបូងដោយគណិតវិទូជនជាតិរុស្ស៊ីឆ្នើម A.M. Lyapunov ក្នុងឆ្នាំ 1901: "ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលរបស់ Lyapunov" ។ ចម្លើយរបស់ Lyapunov ស្ថិតនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌរបស់គាត់ដែល CLT មាន (សូមមើលខាងក្រោម)។

ដើម្បីរៀបចំទម្រង់ត្រឹមត្រូវនៃ CLT អនុញ្ញាតឱ្យយើងសួរខ្លួនឯងនូវសំណួរពីរ៖

1. តើអ្វីទៅជាអត្ថន័យច្បាស់លាស់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលថា "ច្បាប់នៃការចែកចាយផលបូក "ជិត" ទៅនឹងច្បាប់ធម្មតា?

2. នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌណាដែលនៅជិតនេះមានសុពលភាព?

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរទាំងនេះ សូមពិចារណាពីលំដាប់អថេរនៃអថេរចៃដន្យ៖
ចូរយើងសរសេរ "ផលបូកមួយផ្នែក" នៃលំដាប់នៃ r.v.

(23)

ពីអថេរចៃដន្យនីមួយៗ ចូរបន្តទៅអថេរចៃដន្យ "ធម្មតា"

(24)

យើងបានបង្កើត (សូមមើល T.8. កថាខ័ណ្ឌ 3 សមភាព (19)) នោះ។
.

ចម្លើយចំពោះសំណួរទី 1 ឥឡូវនេះអាចត្រូវបានបង្កើតក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពដែនកំណត់

(25)
, (
,

មានន័យថាច្បាប់នៃការចែកចាយ r.v. ជាមួយនឹងកំណើន ខិតជិតច្បាប់ធម្មតាជាមួយ
. ជាការពិតណាស់ពីការពិតដែលថាតម្លៃ មានការចែកចាយប្រហែលធម្មតា វាធ្វើតាមតម្លៃនោះ។ ប្រហែលចែកចាយជាធម្មតា

(26)

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផលបូកនៃ r.v. នឹងស្ថិតនៅក្នុងដែនកំណត់ដែលបានបញ្ជាក់។ CPT ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់

ទាក់ទងនឹងលក្ខខណ្ឌដែលគួរដាក់លើបរិមាណ
ការពិចារណាខាងក្រោមអាចត្រូវបានធ្វើឡើង។ ចូរយើងពិចារណាពីភាពខុសគ្នា
យើងទទួលបានគម្លាតនៃ r.v. ពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។ អត្ថន័យទូទៅនៃលក្ខខណ្ឌដាក់លើបរិមាណ
នោះគឺជាគម្លាតបុគ្គល
ត្រូវតែតូចដូចគ្នា បើប្រៀបធៀបទៅនឹងគម្លាតសរុប
ទម្រង់ពិតប្រាកដនៃលក្ខខណ្ឌទាំងនេះដែលទំនាក់ទំនងដែនកំណត់មានសុពលភាពត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ M.A. Lyapunov ក្នុងឆ្នាំ 1901 ។ វាមានដូចខាងក្រោម។

អនុញ្ញាតឱ្យសម្រាប់បរិមាណនីមួយៗ
លេខគឺកំណត់ (ចំណាំ មានការបែកខ្ញែក r.v.
- « ពេលកណ្តាលនៃលំដាប់ទីបី").

ប្រសិនបើនៅ

,

បន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយថាលំដាប់
ពេញចិត្ត ស្ថានភាពរបស់ Lyapunov ។

ជាពិសេស CLT សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលនៅក្នុងផលបូកនៃអថេរចៃដន្យពាក្យនីមួយៗមានការចែកចាយដូចគ្នា i.e. អ្វីគ្រប់យ៉ាងនិង
បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌ Lyapunov ត្រូវបានពេញចិត្ត

ពោលគឺនៅក្នុងការអនុវត្ត ករណី CLT នេះត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត។ ដោយសារតែនៅក្នុងស្ថិតិគណិតវិទ្យា គំរូចៃដន្យណាមួយនៃ r.v. មានការចែកចាយដូចគ្នា ពីព្រោះ "គំរូ" ត្រូវបានដកចេញពីចំនួនប្រជាជនដូចគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតករណីនេះជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដាច់ដោយឡែកនៃ CLT ។

ទ្រឹស្តីបទ ១០.៧ (CPT) ។អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ
ឯករាជ្យ, ស្មើភាពគ្នា។ចែកចាយ មានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាកំណត់
និងភាពខុសប្លែកគ្នា។

បន្ទាប់មកមុខងារចែកចាយនៃផលបូកកណ្តាលនិងធម្មតានៃ r.v. នៅ
ទំនោរទៅនឹងមុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យធម្មតាស្តង់ដារ៖

(27)

នៅក្នុងករណីពិសេសនេះ វាជាការល្អក្នុងការស្វែងយល់ពីរបៀបដែល "ភាពតូច" ឯកសណ្ឋាននៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបង្ហាញ។
តើតម្លៃនៅឯណា មានការបញ្ជាទិញ និងតម្លៃ
លំដាប់
ដូច្នេះសមាមាត្រនៃបរិមាណទីមួយទៅទីពីរមាននិន្នាការទៅ 0 ។

ឥឡូវនេះយើងអាចបង្កើតទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលក្នុងទម្រង់ A.M. លីយ៉ាពូណូវ៉ា។

ទ្រឹស្តីបទ ១០.៨. (Lyapunov) ។ប្រសិនបើលំដាប់
នៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យបំពេញលក្ខខណ្ឌ Lyapunov បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងដែនកំណត់គឺត្រឹមត្រូវ

(28)
,

សម្រាប់ណាមួយ។
និង ដែលក្នុងនោះ (
.

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតក្នុងករណីនេះច្បាប់នៃការបែងចែកបរិមាណធម្មតា។ បង្រួបបង្រួមទៅនឹងច្បាប់ធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាដើម្បីបញ្ជាក់ CPT A.M. Lyapunov បានបង្កើតវិធីសាស្រ្តពិសេសមួយដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីនៃមុខងារលក្ខណៈ។ វិធីសាស្រ្តនេះបានប្រែទៅជាមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងសាខាផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា (សូមមើលភស្តុតាងនៃ CLT ជាឧទាហរណ៍នៅក្នុងសៀវភៅ Borodin […]) ។ នៅក្នុងសៀវភៅនេះ យើងនឹងផ្តល់ព័ត៌មានអំពីការបង្កើតមុខងារ ព័ត៌មានសង្ខេបនិងកម្មវិធីមួយចំនួនក្នុងការគណនាលក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ។

ព័ត៌មានសង្ខេបអំពីកំហុសក្នុងការវាស់វែង។វាត្រូវបានគេដឹងថានៅពេលដែលការវាស់វែងម្តងទៀតនៃវត្ថុដូចគ្នាត្រូវបានអនុវត្តជាមួយឧបករណ៍វាស់ដូចគ្នាជាមួយនឹងការយកចិត្តទុកដាក់ដូចគ្នា (ក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា) លទ្ធផលដូចគ្នាមិនតែងតែសម្រេចបានទេ។ ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃលទ្ធផលរង្វាស់គឺបណ្តាលមកពីការពិតដែលថាដំណើរការរង្វាស់ត្រូវបានជះឥទ្ធិពលដោយកត្តាជាច្រើនដែលមិនអាចធ្វើទៅបាន ឬមិនគួរយកទៅពិចារណា។ ក្នុងស្ថានភាពនេះ កំហុសដែលកើតឡើងនៅពេលវាស់បរិមាណការប្រាក់ចំពោះយើង ជារឿយៗអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌឯករាជ្យមួយចំនួនធំ ដែលនីមួយៗមានការចូលរួមចំណែកតិចតួចប៉ុណ្ណោះចំពោះការបង្កើតផលបូកទាំងមូល។ ប៉ុន្តែករណីបែបនេះនាំយើងយ៉ាងជាក់លាក់ទៅនឹងលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Lyapunov ហើយយើងអាចរំពឹងថាការចែកចាយកំហុសនៃបរិមាណដែលបានវាស់វែងមានភាពខុសគ្នាតិចតួចពីការចែកចាយធម្មតា។

ជាទូទៅ កំហុសគឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ចៃដន្យមួយចំនួនធំ ដែលនីមួយៗមានភាពខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចពីតម្លៃដែលរំពឹងទុករបស់វា។ តាមរយៈ​ការ​កំណត់​មុខងារ​នេះ ពោល​គឺ​ជំនួស​វា​ដោយ​លីនេអ៊ែរ យើង​មក​ករណី​មុន​ម្ដងទៀត។ បទពិសោធន៍ប្រមូលផ្ដុំក្នុងដំណើរការស្ថិតិនៃលទ្ធផលរង្វាស់ពិតជាបញ្ជាក់ពីការពិតនេះនៅក្នុងករណីជាក់ស្តែងភាគច្រើន។

ហេតុផលស្រដៀងគ្នាពន្យល់ពីរូបរាងនៃការចែកចាយធម្មតានៅក្នុងគម្លាតនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលកំណត់ការចេញផ្សាយ ផលិតផលសម្រេច(ផលិតផល), ពីតម្លៃស្តង់ដារសម្រាប់ផលិតកម្មដ៏ធំ។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 5 ។អថេរចៃដន្យឯករាជ្យ ចែកចាយស្មើៗគ្នាលើផ្នែក។ ស្វែងរកច្បាប់ចែកចាយ r.v.
ក៏ដូចជាប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។

ដំណោះស្រាយ។លក្ខខណ្ឌនៃ CPT ត្រូវបានបំពេញដូច្នេះ r.v. មានដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រហែល

យោងតាមរូបមន្តដែលគេស្គាល់សម្រាប់ m.o. និងភាពខុសប្លែកគ្នានៅក្នុងករណីនៃការចែកចាយឯកសណ្ឋានយើងរកឃើញ៖ បន្ទាប់មក

ដោយផ្អែកលើរូបមន្ត (26) យើងរកឃើញ (ដោយគិតគូរពីតម្លៃតារាងនៃមុខងារ Laplace)

បទប្បញ្ញត្តិដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេគឺអ្វីដែលគេហៅថា ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល។ដូចជាច្បាប់នៃលេខធំវាមានទម្រង់មួយចំនួន។ នៅក្នុងគ្រប់ទម្រង់នៃច្បាប់នៃចំនួនដ៏ច្រើន ការពិតនៃការបង្រួបបង្រួមក្នុងប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យមួយចំនួនទៅអថេរ ដែលមិនចៃដន្យត្រូវបានបង្កើតឡើងជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួនពិសោធន៍។ ទំឬចំនួនអថេរចៃដន្យដែលបានសង្កេត។

នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងពិចារណាក្រុមមួយទៀតនៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ គឺទ្រឹស្តីបទដែលកំណត់លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការកើតឡើងនៃការចែកចាយធម្មតា (ច្បាប់របស់ Gauss) ។ លក្ខខណ្ឌបែបនេះជារឿយៗកើតឡើងក្នុងការអនុវត្ត ដែលពន្យល់អំពីប្រេវ៉ាឡង់ដ៏ធំទូលាយនៃច្បាប់ធម្មតានៅក្នុងបាតុភូតធម្មជាតិចៃដន្យ។

យើងបាននិយាយអ្វីមួយរួចហើយអំពីលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ (ក្នុងកម្រិតពណ៌នាសុទ្ធសាធ) មុននេះ (ជំពូកទី 6) ដែលជាកន្លែងដែលយើងជួបប្រទះការចែកចាយធម្មតា។ ពោលគឺការចែកចាយធម្មតាកើតឡើងនៅពេលដែលអថេរចៃដន្យជាច្រើនឯករាជ្យ (ឬខ្សោយ) ដែលអាចប្រៀបធៀបបានតាមលំដាប់នៃឥទ្ធិពលរបស់វាទៅលើការបែកខ្ញែកនៃផលបូក។

នៅក្នុងការងារជាក់ស្តែងរបស់វិស្វករស្ថានភាពបែបនេះតែងតែកើតឡើង។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាពីគម្លាត យប៉ារ៉ាម៉ែត្រលទ្ធផលនៃសៀគ្វីរួមបញ្ចូលគ្នាធំ (LSI) ពីតម្លៃនាមករណ៍។ គម្លាតនេះ (ក្រោមការសន្មត់ជាក់លាក់) អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូក ទំគម្លាតបឋមទាក់ទងនឹងហេតុផលបុគ្គល៖

កន្លែងណាឧទាហរណ៍

X x -គម្លាតដែលបណ្តាលមកពីឥទ្ធិពលសីតុណ្ហភាព;

X 2 - គម្លាតដែលបណ្តាលមកពីឥទ្ធិពលនៃសំណើមខ្យល់;

Xs -គម្លាតដែលបណ្តាលមកពីកំហុសក្នុងការបញ្ចូលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ; X 4 - គម្លាតដែលបណ្តាលមកពីភាពបរិសុទ្ធមិនគ្រប់គ្រាន់នៃសម្ភារៈផលិតផល;

ចំនួន ទំនៃគម្លាតបឋមទាំងនេះគឺមានទំហំធំណាស់ ដូចគ្នានឹងចំនួនដែរ។ ទំហេតុផលដែលបណ្តាលឱ្យមានគម្លាតសរុប Г "; ជាធម្មតាលក្ខខណ្ឌ X x, X 2, ..., X ទំប្រៀបធៀបតាមលំដាប់នៃឥទ្ធិពលរបស់ពួកគេលើការបែកខ្ញែកនៃបរិមាណ។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យណាមួយ។ X x, X 2,..., ^ "មានឥទ្ធិពលយ៉ាងខ្លាំងទៅលើការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃបរិមាណច្រើនជាងអ្នកដទៃទៀត វាជារឿងធម្មតាទេក្នុងការចាត់វិធានការពិសេសដើម្បីលុបបំបាត់។ មូលហេតុចម្បងការបែកខ្ញែក; ដោយសារមិនមានវិធានការបែបនេះទេ វាអាចត្រូវបានសន្មត់ថាលក្ខខណ្ឌចៃដន្យដែលនៅសេសសល់អាចប្រៀបធៀបបានតាមលំដាប់លំដោយនៃឥទ្ធិពល (តូចដូចគ្នា) របស់ពួកគេលើការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃផលបូក។

ច្បាប់ធម្មតាគឺរីករាលដាលនៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យា; ក្នុងករណីភាគច្រើន កំហុសក្នុងការវាស់វែងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កំហុសក្នុងការប្រតិបត្តិពាក្យបញ្ជា កំហុសក្នុងការបញ្ចូលបរិមាណផ្សេងៗទៅក្នុងឧបករណ៍បច្ចេកទេសត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតា (ឬជិតធម្មតា)។ កំហុសបែបនេះជាធម្មតាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃ "កំហុសបឋម" ជាច្រើន x ខដែលនីមួយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងមូលហេតុដាច់ដោយឡែក ស្ទើរតែឯករាជ្យពីអ្នកដទៃ។

វាត្រូវបានអនុវត្តចំពោះទ្រឹស្តីនៃកំហុសដែលច្បាប់ធម្មតាត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលើកដំបូងដោយ Laplace និង Gauss ។

ច្បាប់ធម្មតាគឺរីករាលដាលនៅក្នុងជីវវិទ្យា៖ ម៉ាស់ ទំហំ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងទៀតនៃអ្នកតំណាងនៃពិភពរុក្ខជាតិ និងសត្វនៅក្នុងករណីជាច្រើនមានការចែកចាយធម្មតា ចាប់តាំងពីការខ្ចាត់ខ្ចាយរបស់ពួកវាគឺបណ្តាលមកពីឥទ្ធិពលសរុបនៃកត្តាជាច្រើន ដែលក្នុងនោះមិនមានឥទ្ធិពលខ្លាំង។ អ្នកដែលស្ថិតក្នុងឥទ្ធិពលរបស់ពួកគេ។

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល នៅក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗរបស់វា បង្កើតលក្ខខណ្ឌដែលការចែកចាយធម្មតាកើតឡើង និងការបំពានដែលនាំទៅដល់ការចែកចាយក្រៅពីធម្មតា។

ទម្រង់ផ្សេងៗនៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលមានភាពខុសប្លែកគ្នាក្នុងចំណោមពួកគេនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលបានកំណត់លើការចែកចាយនៃពាក្យចៃដន្យបង្កើតផលបូក X x, X 2, ... , X ទំ។លក្ខខណ្ឌទាំងនេះកាន់តែតឹងរ៉ឹង វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ។ ពួកគេកាន់តែទូលំទូលាយ ភស្តុតាងកាន់តែពិបាក។ នៅទីនេះយើងនឹងបញ្ជាក់មួយក្នុងចំណោមភាគច្រើនបំផុត។ រាងសាមញ្ញទ្រឹស្តីបទនេះ ពោលគឺទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលសម្រាប់ពាក្យចែកចាយដូចគ្នាបេះបិទ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើ X x, X 2, X n, ... គឺជាអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ, មានការចែកចាយដូចគ្នាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា m និងវ៉ារ្យង់ a 2, បន្ទាប់មកនៅពេលដែល n កើនឡើង ច្បាប់នៃការចែកចាយបរិមាណ

ភស្តុតាង។ ចូរ​យើង​អនុវត្ត​ភស្តុតាង​សម្រាប់​ករណី​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ​បន្ត (សម្រាប់​អថេរ​ដាច់​ពីគ្នា​វា​នឹង​ស្រដៀង​គ្នា)។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើឧបករណ៍នៃមុខងារលក្ខណៈសម្រាប់ការនេះ។ យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែករង 8.9 មុខងារលក្ខណៈនៃផលបូក (10.2.2) គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមុខងារលក្ខណៈនៃលក្ខខណ្ឌ។ អថេរចៃដន្យ X v X 2, ..., X ទំមានដង់ស៊ីតេដូចគ្នា។ f(x),ដូច្នេះមុខងារលក្ខណៈដូចគ្នា 0* ( t) ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងអាចផ្លាស់ទីប្រភពដើមនៃអថេរចៃដន្យទាំងអស់។ X v X 2, ... , X p ក្នុងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាទូទៅរបស់ពួកគេ។ ធនេះគឺស្មើនឹងការដាក់កណ្តាលរបស់ពួកគេ ហើយចំពោះការពិតដែលថា m.o. ពួកវានីមួយៗនឹងស្មើនឹងសូន្យ។

ចូរចាំថាមុខងារលក្ខណៈនៃ s. វ. X k (k = 1,2,..., ទំ)តាមនិយមន័យគឺស្មើនឹង (សូមមើល (8.9.4))

កន្លែងណា / =4=~ - ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ មុខងារលក្ខណៈនៃអថេរចៃដន្យ យស្មើនឹងផលិតផល ទំមុខងារលក្ខណៈនៃពាក្យ (សូមមើល ៨.៩.៩)៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពង្រីកមុខងារ ( t) នៅជិតចំណុច t = 0 នៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ដែលមានបីពាក្យ៖

កន្លែងដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានយកចេញពី t a(t)-> 0 នៅ t -» 0.

ចូរ​ស្វែង​រក​តម្លៃ &D0); ៩^(០); $"(0) ។

ការកំណត់ // ០ ក្នុងរូបមន្ត (១០.២.៣) យើងមាន៖

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃដង់ស៊ីតេចែកចាយ / (x) ។

ចូរយើងបែងចែក (10.2.3) ទាក់ទងនឹង t.

ការកំណត់ // ០ ក្នុង (១០.២.៦) យើងទទួលបាន៖

ដែលជាកន្លែងដែល M [X -ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ទំ. វ. Xsដង់ស៊ីតេ / (x) ។ ក្នុងករណីរបស់យើង អថេរចៃដន្យទាំងអស់។ X x, X 2, ..., X ទំមានដង់ស៊ីតេ /(x) និង m.o. ស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះ

ចូរយើងបែងចែក (10.2.6) ម្តងទៀត៖

សន្មតថា / = 0 យើងទទួលបាន៖

ហើយនេះគ្មានអ្វីក្រៅពីការបែកខ្ញែកនៃកណ្តាល s ។ វ. Xsដង់ស៊ីតេ / (x) (មានសញ្ញាដក) ។

អាស្រ័យហេតុនេះ

ការជំនួសទៅក្នុង (10.2.5) E x (0) = 1; 0" x (0) = 0 និង "(0) = -сг 2 យើងទទួលបាន

ចូរយើងងាកទៅរកអថេរចៃដន្យ យ.យើងចង់បង្ហាញថាជាមួយនឹងការកើនឡើង ទំច្បាប់ចែកចាយរបស់វាខិតជិតធម្មតា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមឱ្យយើងផ្លាស់ទីពីវាទៅមួយដែលទាក់ទងនឹងលីនេអ៊ែរ យ"ធម្មតា" អថេរចៃដន្យ

បរិមាណនេះគឺមានភាពងាយស្រួលដោយសារតែការបែកខ្ញែករបស់វាមិនអាស្រ័យលើ ទំនិងស្មើនឹងមួយសម្រាប់ណាមួយ។ ទំ.វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយមើល Znម៉េច មុខងារលីនេអ៊ែរអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ X x, X 2, ..., X ទំ,ដែលនីមួយៗមានភាពខុសគ្នា a 2 ។

ប្រសិនបើយើងបញ្ជាក់ថា ស. វ. Znមានការចែកចាយធម្មតា មានន័យថា គ. វ. យូទាក់ទងនឹងលីនេអ៊ែរ Z ",ចែកចាយជាធម្មតា។

ជំនួសឱ្យការបង្ហាញថាច្បាប់ចែកចាយ គ. វ. Zជាមួយនឹងការកើនឡើង ទំខិតជិតធម្មតា យើងបង្ហាញថាមុខងារលក្ខណៈរបស់វា ដែលកំណត់ដង់ស៊ីតេជាក់លាក់ ចូលទៅជិតមុខងារលក្ខណៈនៃច្បាប់ធម្មតាជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រដូចគ្នានឹង Z ": m z = 0; o z =1 (8.9.16).

ចូរយើងស្វែងរកមុខងារលក្ខណៈ គ. វ. Z. ពីលក្ខណៈសម្បត្តិ (8.9.7) នៃមុខងារលក្ខណៈ (ផ្នែករង 8.9) យើងមាន៖

តើមុខងារលក្ខណៈនៅឯណា គ. វ. យ.ពី (10.2.4) និង (10.2.8) យើងមាន:

ឬដោយប្រើរូបមន្ត (*)

ចូរយើងយកលោការីតនៃកន្សោមនេះ៖

ចូរយើងណែនាំការសម្គាល់


យើងនឹងកើនឡើងដោយគ្មានកំណត់ ទំក្នុងករណីនេះយោងទៅតាម (10.2.10) តម្លៃនៃ k នឹងមានទំនោរទៅសូន្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពង្រីកនៅក្នុង (1 - k) ជាស៊េរីនៅក្នុងអំណាចនៃ k និងកំណត់ខ្លួនយើងទៅនឹងរយៈពេលមួយនៃការពង្រីក (នៅសល់ដូចខ្ញុំ -> oo ក្លាយជាធ្វេសប្រហែស):


ប៉ុន្តែមុខងារ a(0 មានទំនោរទៅសូន្យដូច t-> 0; ដូច្នេះ លីម៉ា (t/(oJn)) = 0 និងកំបោរ (t) = -t 2 / 2, ដែលជាកន្លែងដែល liming មកពី (t) = អ៊ី ~ '' ២ ,

tl-L->0c n n->អូ"

ហើយនេះគ្មានអ្វីក្រៅពីមុខងារលក្ខណៈនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ធ= O, st = 1 (សូមមើល (8.9.16)) ។

ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្ហាញឱ្យឃើញនូវទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលសម្រាប់ករណីពិសេសនៃលក្ខខណ្ឌដែលបានចែកចាយដូចគ្នាបេះបិទ។ យើងបង្ហាញទម្រង់ទូទៅផ្សេងទៀត (និងស្មុគស្មាញជាង) នៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលដោយគ្មានភស្តុតាង។

ទ្រឹស្តីបទ Lyapunov ។ អនុញ្ញាតឱ្យ X x, X 2, ..., X ទំ- អថេរចៃដន្យដោយឯករាជ្យជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា m ស៊ី, t X2,..., t HPនិងភាពខុសគ្នា Z), ឃ r, ... , Z > , និងជាមួយ ទំ-" អូ។

x x 2 x ទំ

កន្លែងណា X k = X k -t k ។

A.M. Lyapunov បានបង្ហាញ នៅ n-> អូ ច្បាប់ចែកចាយអថេរចៃដន្យ

ជិតដល់កម្រិតធម្មតា។

អត្ថន័យនៃលក្ខខណ្ឌ (10.2.12) គឺថាផលបូក (10.2.13) មិនគួរមានពាក្យដែលឥទ្ធិពលលើការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃផលបូកគឺធំលើសលប់បើប្រៀបធៀបទៅនឹងឥទ្ធិពលរបស់អ្នកដទៃទាំងអស់ ហើយក៏មិនគួរមានចំនួនច្រើនដែរ។ នៃពាក្យចៃដន្យដែលឥទ្ធិពលលើការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃចំនួននេះគឺតូចបាត់ទៅ បើប្រៀបធៀបទៅនឹងឥទ្ធិពលសរុបរបស់អ្នកដទៃ។

លក្ខខណ្ឌទូទៅបំផុត (ចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់) សម្រាប់សុពលភាពនៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលគឺ ស្ថានភាព Lindeberg៖សម្រាប់ m> 0 ណាមួយ។

កន្លែងណា f(x) - ដង់ស៊ីតេចែកចាយ គ. វ. X h t-,= ម [X'] (/" = 1, 2,ទំ).

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការប្រើប្រាស់លក្ខខណ្ឌ Lindeberg ក្នុងការអនុវត្តគឺពិបាកណាស់ ព្រោះយើងកម្រដឹងច្បាស់អំពីច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ Xt (/ = 1, 2,ទំ).

តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ ទម្រង់បង្ហាញដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលគឺ ទ្រឹស្តីបទ Laplaceដែលរួមមានដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើផលិត ទំការពិសោធន៍ឯករាជ្យ ក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ កលេចឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ Rបន្ទាប់មកធំ ទំសមភាពប្រហាក់ប្រហែលមានសុពលភាព៖

កន្លែងណា Y n -ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ កវ ទំការពិសោធន៍; q = 1 - រФ(х) - មុខងារ Laplace ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទាញយករូបមន្ត (10.2.15) ដែលជាលទ្ធផលនៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលសម្រាប់លក្ខខណ្ឌចែកចាយដូចគ្នា។ អថេរចៃដន្យ "ធម្មតា"

ទាក់ទង​នឹង​ការ​អាស្រ័យ​មិន​លីនេអ៊ែរ, និយាយ​យ៉ាង​តឹងរ៉ឹង, គឺ​ដាច់​ពី​គ្នា, ក៏​ដាច់​ដោយ​ឡែក​ជាមួយ។ វ. យនចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ binomial ប៉ុន្តែជាធំ ទំតម្លៃរបស់វាមានទីតាំងនៅជិតអ័ក្ស abscissa ដែលវាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាបន្តដោយមានដង់ស៊ីតេចែកចាយ / (r) ។ តម្លៃចៃដន្យ យមានការចែកចាយ binomial ជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ល។ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា M [ Y n ] = ល។ភាពខុសគ្នារបស់វាគឺស្មើនឹង D [ Y n ] = npqចូរយើងស្វែងរកលក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ (10.2.16): m.o. និងភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែររបស់ s ។ វ. យ.យើង​មាន:


ដូច្នេះអថេរចៃដន្យ Zn(១០.២.១៦) មានឯករាជ្យ ទំលក្ខណៈលេខ ធ= 0, a = 1 (នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងផ្លាស់ទីទៅ r.v. Znពី យន)

ពិចារណាថា Т“ = ^ កន្លែងណា X (-សូចនាករព្រឹត្តិការណ៍ កនៅក្នុងការពិសោធន៍ / ទី - 1 = 1

ទាំងនោះ យើងត្រូវប្រាកដថា s. វ. Zn(១០.២.១៦) ជាផលបូក ទំអថេរចៃដន្យចែកចាយដោយឯករាជ្យ។ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលសម្រាប់ពាក្យដែលបានចែកចាយដូចគ្នា យើងជឿជាក់ថាជាមួយនឹងការពិសោធន៍មួយចំនួនធំ ទំជាមួយ។ វ. Znមានការចែកចាយជិតធម្មតា ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ធ= 0; a = 1 ដែលបង្កប់ន័យសុពលភាពនៃរូបមន្ត (10.2.15) ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកប្រហែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ binomial នៅ តម្លៃធំប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ទំខណៈពេលដែលប្រូបាប៊ីលីតេ រមិនគួរធំពេក ឬតូចពេកទេ។

នៅក្នុងការអនុវត្ត មនុស្សម្នាក់អាចវិនិច្ឆ័យលទ្ធភាពនៃការជំនួសការចែកចាយ binomial ជាមួយនឹងការធម្មតាមួយដោយថាតើទិន្នន័យពេញចិត្តឬអត់ ទំនិង រលក្ខខណ្ឌ៖

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានបំពេញ នោះប្រូបាប៊ីលីតេអាចត្រូវបានគណនា R k = R ( Y n = k)ជាការបង្កើនមុខងារចែកចាយធម្មតានៅក្នុងតំបន់ពី ទៅពីមុន k + 1:

កន្លែងណា F(x)- មុខងារចែកចាយនៃច្បាប់ធម្មតា៖

ការជំនួសនៅក្នុង (10.2.19) t - នៅក = yfnpq,យើង​ទទួល​បាន:

ការគណនាការបង្កើនមុខងារនេះនៅក្នុងតំបន់ពី ទៅពីមុន k + 1, យើងទទួលបាន:

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace (10.2.15) អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខុសគ្នាបន្តិច ប្រសិនបើយើងត្រឡប់ពីគ. វ. Zn(10.2.16) ដល់ទំ។ វ. Y n -

ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុង ទំការពិសោធន៍ - ទាក់ទងនឹង Znការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ៖

មុខងារចែកចាយអថេរចៃដន្យ យធំ ទំនឹងនៅជិតដោយបំពានទៅនឹងមុខងារចែកចាយធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t u - pr; o "= Jnpq៖

និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយទៅលើអថេរចៃដន្យ យសម្រាប់ផ្នែកណាមួយពី a ដល់ p គឺប្រហែលស្មើនឹង

ដែលជាកន្លែងដែលជាទម្រង់មួយផ្សេងទៀតនៃការសរសេរទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace:

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន ដែលក្នុងទម្រង់នីមួយៗនៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលត្រូវតែអនុវត្ត ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ 1. មាន ទំដូចគ្នាបេះបិទ ឧបករណ៍បច្ចេកទេស(TU) ពេលវេលាប្រតិបត្តិការដែលមិនមានការបរាជ័យនៃ/-th នីមួយៗដែលជាអថេរចៃដន្យ 7) ចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ X,ដូចគ្នាសម្រាប់លក្ខណៈពិសេសទាំងអស់។ ចំនួន ទំលក្ខណៈបច្ចេកទេសដែលប្រមូលបាននៅក្នុងប្រព័ន្ធបែបនេះគឺមានទំហំធំណាស់។ អថេរចៃដន្យ 7j, T 2, ..., T t..., ^ ឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ក្នុងករណីមានការបរាជ័យនៃឧបករណ៍បច្ចេកទេស /th មានការប្តូរភ្លាមៗនិងមិនមានសុវត្ថិភាពទៅឧបករណ៍បន្ទាប់តាមលំដាប់លំដោយ (/ + )-អ៊ី TU (/" + 1 ទំ) ។ ពេលវេលាសរុបប្រតិបត្តិការមិនដំណើរការនៃប្រព័ន្ធឧបករណ៍បច្ចេកទេសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដង ធី ;

ស្វែងរកប្រហែលប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រព័ន្ធបរិក្ខារបច្ចេកទេសនឹងដំណើរការដោយគ្មានការបរាជ័យក្នុងរយៈពេលមិនតិចជាង t:

(ចាប់តាំងពី r.v. ធគឺបន្ត សញ្ញាស្មើគ្នាអាចត្រូវបានកាត់ចេញ។

ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលសម្រាប់ពាក្យចែកចាយដូចគ្នា គ. វ. ធ(10.2.23) នឹងត្រូវបានចែកចាយប្រមាណយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

យើងរកឃើញប្រហែលប្រូបាប៊ីលីតេ (10.2.24): កន្លែងណា F( m) - មុខងារចែកចាយធម្មតាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

សម្រាប់ច្បាប់ធម្មតា មុខងារចែកចាយគឺស្មើនឹង៖

ដែលជាកន្លែងដែល Ф (X)- មុខងារ Laplace ។

ឧទាហរណ៍ 2. ម៉ាស៊ីនដែលគ្រប់គ្រងជាលេខផលិតក្នុងមួយវេន ទំ= 1000 ផលិតផល ដែលជាមធ្យម 2% មានជម្ងឺ។ ស្វែងរកប្រហែលប្រូបាប៊ីលីតេដែលផលិតផលដែលមានគុណភាពល្អ (មិនខូចគុណភាព) យ៉ាងហោចណាស់ 970 នឹងត្រូវបានផលិតក្នុងមួយវេន ប្រសិនបើផលិតផលប្រែទៅជាគុណភាពល្អដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។

ដំណោះស្រាយ។ ប្រូបាប៊ីលីតេ រផលិតផលិតផលដែលមានគុណភាពខ្ពស់៖ រ = 0,98, យ-ចំនួននៃផលិតផលដែលមានគុណភាពល្អ; ចំនួននៃការពិសោធន៍ឯករាជ្យ ទំ= 1000. យើងពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌ (10.2.17) ត្រូវបានបំពេញ; យើង​ស្វែងរក:

ដូច្នេះ​អាច​ប្រើ​ច្បាប់​ធម្មតា; ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace ក្នុងទម្រង់ (១០.២.២២) យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការគឺខ្ពស់ណាស់ (ស្មើនឹង 0.988) ប៉ុន្តែនៅតែមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.012 យើងអាចរំពឹងថាចំនួនផលិតផលដែលមានគុណភាពល្អក្នុងមួយវេននឹងមានតិចជាង 970?

ឧទាហរណ៍ 3. សម្រាប់លក្ខខណ្ឌនៃឧទាហរណ៍មុន កំណត់ថាតើផលិតផលមានគុណភាពល្អប៉ុន្មានដែលធុងសំរាមបានរៀបចំសម្រាប់ពួកគេគួរតែត្រូវបានរចនាឡើងសម្រាប់ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការហៀរចេញរបស់វាមិនលើសពី 0.01 ទេ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងរក y ពីលក្ខខណ្ឌ

យើងកំពុងស្វែងរកតម្លៃបែបនេះ y = y ដែលមុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ យ

i.e.

ដោយប្រើតារាងមុខងារ Laplace (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធទី 2) យើងរកឃើញអាគុយម៉ង់ដែលអនុគមន៍ Laplace ស្មើនឹង 0.49; វាគឺប្រហែលស្មើនឹង 2.33 ដូច្នេះហើយ។

ឧទាហរណ៍ 4. រថភ្លើងមួយមាន ទំទូរថភ្លើង; ម៉ាស់របស់រថយន្តនីមួយៗគិតជាតោនគឺជាអថេរចៃដន្យ Xs m.o. t xនិង ស. k.o. អូ។ចំនួនរថយន្ត ទំ- ធំ (រាប់សិប) ។ ក្បាលរថភ្លើងមិនអាចផ្ទុកម៉ាសទៀតទេ q(ត); ប្រសិនបើម៉ាសនៃសមាសភាពគឺធំជាង q(t) យើងត្រូវភ្ជាប់ក្បាលរថភ្លើងទីពីរ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្បាលរថភ្លើងមួយមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ដឹកជញ្ជូនរថភ្លើង។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសម្គាល់ Q = ^ J X jទំងន់នៃសមាសភាព។ ផ្អែកលើ

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលសម្រាប់ទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ ទំជាមួយ។ វ. សំណួរចែកចាយប្រហែលយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

m q - pt x, o q =^ = y = yD; D = n/X ២.ដូច្នេះ ស. វ. Xsការចែកចាយធម្មតាដែលយើងត្រូវការត្រូវបានកំណត់ដោយ T(p)រូបមន្ត

និងទំហំ Xនឹងត្រូវបានកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌពីកន្លែងណា

ឧទាហរណ៍ 9. ប្រហាក់ប្រហែលច្បាប់ធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ w xនិង Dxដោយប្រើផលបូក I នៃឯករាជ្យ s ។ វ. X និង ..., X ទំ,ចែកចាយស្មើៗគ្នាក្នុងចន្លោះពេល (0, 1)។

ដំណោះស្រាយ។ ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលសម្រាប់ធំ ទំតម្លៃចៃដន្យ

ចែកចាយប្រមាណយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

មួយដែលយើងត្រូវការ អថេរចៃដន្យ Xតំណាងឱ្យវាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរនៃអថេរចៃដន្យ យ n:


តើយើងរកមេគុណនៅឯណា? កនិង ខនៅក្នុងរូបមន្ត (10.2.29)

ដូច្នេះដើម្បីទទួលបានអថេរចៃដន្យ X,ចែកចាយប្រហែលយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាអ្នកត្រូវបន្ថែមឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់ លេខធំ ទំអថេរចៃដន្យឯករាជ្យបានចែកចាយស្មើៗគ្នាក្នុងចន្លោះពេល (0, 1) ហើយដាក់បញ្ចូលទៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ (10.2.29)។

នៅក្នុងការអនុវត្តនៃការធ្វើការជាមួយកុំព្យូទ័រនៅពេលបង្កើតគំរូបាតុភូតចៃដន្យ អថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាត្រូវបានទទួលតាមវិធីនេះ។ បទពិសោធន៍បង្ហាញថាភាពត្រឹមត្រូវគួរឱ្យពេញចិត្តអាចទទួលបានរួចហើយជាមួយ ទំ= ៦; លេខ ទំ= Yun-12 គឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។ ?

ឧទាហរណ៍ 10. មានចំនួនទឹកប្រាក់នៅក្នុងតុសាច់ប្រាក់របស់ស្ថាប័ន ឃ= 3500 (ជូត។ ) ឈរជាជួរ n = 20 នាក់។ ផលបូក X,ដែលត្រូវតែបង់ទៅឱ្យបុគ្គល - អថេរចៃដន្យជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា t x = 150 (ជូត។) និងគម្លាតស្តង់ដារ o* = 60 (ជូត។) ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលបរិមាណ ដល់​កំណត់គ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង់ប្រាក់ឱ្យមនុស្សទាំងអស់នៅក្នុងជួរ។

ដំណោះស្រាយ។ ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលសម្រាប់ពាក្យចែកចាយដូចគ្នាបេះបិទសម្រាប់ធំ ទំ(ក ទំ= 20 អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជា "ធំ") ជាអថេរចៃដន្យ ឬ

កន្លែងណា Xj- ចំនួនទឹកប្រាក់ដែលត្រូវបង់ទៅមនុស្ស i-th មានការចែកចាយប្រហែលធម្មតាជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖


ដូច្នេះ ដោយមានប្រូបាប៊ីលីតេប្រហែល 3% ចំនួនទឹកប្រាក់ដែលមាននៅតុសាច់ប្រាក់នឹងមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទូទាត់អ្នកគ្រប់គ្នានៅក្នុងជួរនោះទេ។

ឧទាហរណ៍ 11. នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃឧទាហរណ៍មុន: តើចំនួនប៉ុន្មាន កចាំបាច់ត្រូវមាននៅក្នុងបញ្ជីសាច់ប្រាក់ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាវាមិនគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបង់អ្នកគ្រប់គ្នាដែលមានតម្លៃវាស្មើនឹង 0.005?

ដំណោះស្រាយ។ យើងមានលក្ខខណ្ឌ P ( Y n > a)= 0.5 - F ((ក- 3000)/268) = = 0.005, i.e. F ((ក- 3000)/268) = 0.495 ។ ដោយប្រើតារាង Ф(х) នៅក្នុងឧបសម្ព័ន្ធ យើងរកឃើញអាគុយម៉ង់នៃមុខងារ Laplace ដែលវាស្មើនឹង 0.495៖

កន្លែងណា ក - 3691.

ដូច្នេះការកើនឡើងតិចតួចនៃបរិមាណ ក(ពី 3500 ដល់ 3691) គឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីធានាការទូទាត់ដល់អ្នកគ្រប់គ្នាដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់នៃ 0.995 ។ ?

ឧទាហរណ៍ 12: ការបោះកាក់ ទំ= 1000 ដង។ ចាត់ទុកថាទំ។ វ. X-ចំនួនអាវធំដែលទម្លាក់។ កំណត់ជួរនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន គ. វ. X,ស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹង m.o. ភូមិនេះ។ c. ដែលវាធ្លាក់ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 9 > = 0,997.

ដំណោះស្រាយ។ X = ^X ( ,កន្លែងណា X (-ចំនួននិមិត្តសញ្ញាបានធ្លាក់ចុះអំឡុងពេលបោះ /th: ""=i



ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល p ។ វ. X ត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា ដូច្នេះ

ការប្រើប្រាស់តារាង Ф(х) - មុខងារ Laplace យើងរកឃើញ៖

ចន្លោះពេលដែលត្រូវការនឹងមានៈ

ដូច្នេះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់ណាស់។ $P= 0.997 វាអាចប្រកែកបានថាចំនួនអាវធំដែលបានទម្លាក់នឹងស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពី 453 ដល់ 577 (នេះត្រូវបានពិភាក្សារួចហើយនៅក្នុងផ្នែករង 1L)។ ?

  • ចំណាំថាឧបករណ៍នេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ A.M. Lyapunov ជាពិសេសដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល។

ចូរយើងបង្ហាញពីការសន្និដ្ឋានសំខាន់នៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលដោយប្រើMSEXCEL៖ ចូរយើងសាងសង់ការចែកចាយគំរូនៃមធ្យម គណនាកំហុសស្តង់ដារ និងប្រៀបធៀបតម្លៃដែលទទួលបានពីគំរូជាមួយនឹងការសន្និដ្ឋាននៃ CLT ។

ខិតខំ ការចែកចាយធម្មតា។ជាមួយ តម្លៃមធ្យមμ និង គម្លាតស្តង់ដារស្មើនឹង σ/√n

ចំណាំ៖ ប្រូ ស្ថិតិនិងពួកគេ។ ការចែកចាយគំរូអាចត្រូវបានអាននៅក្នុងអត្ថបទ។

សូមបង្ហាញមូលហេតុ ស្មើនឹង σ/√n ។

ការសង្កេតបុគ្គលនីមួយៗ X i in គំរូវា​មាន ការបែកខ្ញែកσ ២ . ពី វាដូចខាងក្រោមដែលផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យនៅក្នុង គំរូ, i.e. x 1 + x 2 ... + x n, មាន ការបែកខ្ញែក n*σ ២ , ក គម្លាតស្តង់ដារចំនួនទឹកប្រាក់នេះ។ ស្មើនឹង ROOT(n) * σ . ដើម្បីស្វែងរក គម្លាតស្តង់ដារនៃមធ្យមគំរូចាំបាច់ត្រូវបែងចែក គម្លាតស្តង់ដារផលបូកក្នុងមួយ n ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានវា។ គម្លាតស្តង់ដារនៃមធ្យមគំរូស្មើនឹង σ/√n ។

ដោយសារតែ ជាធម្មតា គម្លាតស្តង់ដារការចែកចាយដើមដែលវាត្រូវបានគេយក គំរូ,មិនស្គាល់ បន្ទាប់មកក្នុងការគណនាជំនួសឱ្យ σ ការប៉ាន់ស្មានរបស់វាត្រូវបានប្រើ ស - គម្លាតស្តង់ដារគំរូ.

តម្លៃដែលត្រូវគ្នាគឺ s/√n ដែល n ជាទំហំ គំរូ, មាន​ឈ្មោះ​ពិសេស​: កំហុសស្តង់ដារ (កំហុសស្តង់ដារនៃនេះ។មធ្យម, អេសម).

ចំណាំ៖ ពាក្យ SEM ពេលខ្លះក៏អាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ គម្លាតស្តង់ដារ មធ្យោបាយចែកចាយគំរូ។

ចំណាំ៖ទោះបីជា កំហុសស្តង់ដារតាមពិតគឺ គម្លាតស្តង់ដារ, ឈ្មោះពិសេសរបស់វាគឺដោយសារតែបំណងប្រាថ្នាដើម្បីបញ្ជាក់ថាវាបង្ហាញពីចំនួននៃភាពមិនច្បាស់លាស់ មធ្យមគំរូ. កំហុសស្តង់ដារប៉ាន់ប្រមាណថាប៉ុន្មាន មធ្យមគំរូ X ជាមធ្យមខុសគ្នាពី តម្លៃមធ្យមμនៃការចែកចាយដើម។ និងពាក្យ គម្លាតស្តង់ដារជាធម្មតាត្រូវបានប្រើដើម្បីចង្អុលបង្ហាញបរិមាណនៃការប្រែប្រួល ធាតុបុគ្គល គំរូពី មធ្យម.

សម្រាប់ការប្រើប្រាស់ CPTលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវតែបំពេញ៖

  • ការសង្កេតបុគ្គលនៅក្នុង គំរូត្រូវតែឯករាជ្យ;
  • ការសង្កេតត្រូវបានយកពីដូចគ្នា។ ចំនួនប្រជាជន , i.e. មានការចែកចាយដូចគ្នាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ μ និង σ ;
  • ទំហំ គំរូ n ត្រូវតែ "ធំល្មម" (សូមមើលការពន្យល់ខាងក្រោម)។

ចំណាំ: មធ្យោបាយគំរូគឺជាអថេរចៃដន្យ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងលើត្រូវបានបំពេញ មធ្យោបាយគំរូចែកចាយនៅទូទាំង ច្បាប់ធម្មតា។. ក្នុងករណីនេះវាមិនតម្រូវឱ្យមានការចែកចាយដើមពីណានោះទេ។ គំរូត្រូវតែ ធម្មតា។.

ចំណាំ៖ ទោះបីជាការពិតដែលថាតម្លៃបុគ្គល x ខ្ញុំគោរពច្បាប់ចែកចាយមួយចំនួនដែលមិនស្គាល់ចំពោះយើង នីតិវិធីសម្រាប់ការផ្សំតម្លៃជាច្រើនដើម្បីគណនាផលបូក ឬ មធ្យម, ដឹកនាំ​ទៅ ការចែកចាយធម្មតា។(ដែលយើងអាចគណនាប្រូបាប៊ីលីតេ)។ ជាញឹកញាប់វាសមហេតុផលក្នុងការនិយាយថាគឺជាការចែកចាយ ធម្មតា។ឬអត់ ទាក់ទងតែបរិមាណ ឬ មធ្យម.

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៅក្នុង MS EXCEL ដោយប្រើ CLT

បញ្ហា 1 . ក្រុមហ៊ុននេះផលិតឈីសកែច្នៃ។ ទំងន់បន្ទាប់បន្សំនៃឈីសគួរតែមាន 100 ក្រាម។ សម្រាប់ហេតុផលធម្មជាតិទម្ងន់នៃឈីសនីមួយៗខុសគ្នាពីតម្លៃបន្ទាប់បន្សំ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់តាមរយៈបទពិសោធន៍នោះ។ ទម្ងន់​ម​ធ្យោ​មឈីសគឺ 105 ក្រាមហើយគម្លាតស្តង់ដារគឺ 15 ក្រាម។ ដើម្បី​កុំឱ្យ​បាត់បង់​កេរ្តិ៍ឈ្មោះ​ក្រុមហ៊ុន ទម្ងន់​ឈីស​មិនគួរ​តូច​ពេក​ទេ តែ​មិនគួរ​ធំ​ពេក​ទេ ព្រោះ​... ទន្ទឹមនឹងនេះការចំណាយកើនឡើង។ វាត្រូវបានគេដឹងថាកញ្ចប់ណាមួយនៃ 30 បំណែកនៃ curd ឈីសត្រូវបានបដិសេធប្រសិនបើទម្ងន់ជាមធ្យមនៃឈីសនៅក្នុងវាគឺតិចជាង 95g និងច្រើនជាង 110g ។ តើផ្នែកណាមួយនៃកញ្ចប់នឹងត្រូវបានបដិសេធជាមួយនឹងការត្រួតពិនិត្យ 100%?

ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ (សមាមាត្រនៃកញ្ចប់ដែលត្រូវបានបដិសេធ) យើងត្រូវដឹងពីការចែកចាយអថេរចៃដន្យ - ទម្ងន់នៃកញ្ចប់។ ទោះបីជាយើងមិនដឹងពីគំរូនៃការចែកចាយនៃឈីសបុគ្គល (នេះ ការចែកចាយមិន​ចាំបាច់ ធម្មតា។) ប៉ុន្តែពី CPTយើងដឹងថាទម្ងន់នៃកញ្ចប់នឹងត្រូវបានចែកចាយនៅទូទាំង ច្បាប់ធម្មតា។. វានៅសល់ដើម្បីកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការចែកចាយនេះ។

ចំណាំ៖ ទោះបីជានៅក្នុង CPTវាត្រូវបានគេនិយាយថាដោយ ច្បាប់ធម្មតា។ចែកចាយ មធ្យមគំរូប៉ុន្តែវាច្បាស់ណាស់។ ការចែកចាយគំរូបរិមាណក៏នឹងត្រូវបានចែកចាយផងដែរ។ ច្បាប់ធម្មតា។ប៉ុន្តែជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងគ្នា។

ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាយើងដឹងថា តម្លៃមធ្យមទំងន់នៃកញ្ចប់ឈីសគឺ 30pcs*105 ក្រាម។. យើងក៏អាចគណនាបានដែរ។ គម្លាតស្តង់ដារនេះ ការចែកចាយគំរូ.

គម្លាតស្តង់ដារស្គាល់តែឈីស ( 15 ក្រាម។) ប៉ុន្តែពី (យើងសន្មត់ថាទម្ងន់នៃ curds ត្រូវបានទទួលដោយចៃដន្យ) យើងអាចគណនាបាន។ គម្លាតស្តង់ដារសម្រាប់កញ្ចប់៖
Var(x 1 +…+x 30)= Var(x 1)+…+ Var(x 30)=30* Var(x)

ដោយសារតែ យើងសន្មត់ថាទម្ងន់ទាំងអស់ x i មានការចែកចាយដូចគ្នា បន្ទាប់មកយើងគ្រាន់តែបង្ហាញពីអថេរចៃដន្យ (ទម្ងន់នៃឈីស) ដោយ x ។

អាស្រ័យហេតុនេះ គម្លាតស្តង់ដារកញ្ចប់ឈីស = 15 * ឫស (30)

ជាដំបូង ចូរកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលកញ្ចប់នៃឈីសឈីសនឹងមានទម្ងន់តិចជាង 95 * 30 ក្រាម។ នៅក្នុង MS EXCEL នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើរូបមន្ត៖
=NORM.DIST(95*30; 105*30; 15*SQRT(30); ពិត)=0.013%

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលកញ្ចប់នៃឈីសឈីសនឹងមានទម្ងន់លើសពី 110 * 30 ក្រាម។
=1-NORM.DIST(110*30; 105*30; 15*SQRT(30); ពិត)=3.395%

ដូច្នេះ 3.395% + 0.013% = 3.407% នៃផលិតផលនឹងត្រូវបានបដិសេធ។

លទ្ធផលដូចគ្នាអាចទទួលបាននៅពេលគណនាតាមរយៈ តម្លៃមធ្យមឈីសមួយ:
=NORM.DIST(95, 105, 15/SQRT(30), ពិត)+ 1-NORM.DIST(110, 105, 15/SQRT(30), ពិត)

បញ្ហា ២. ពីទ្រព្យសម្បត្តិ ការចែកចាយធម្មតា។វាអាចត្រូវបានគេរំពឹងថាប្រហែល 95% នៃករណី មធ្យមគំរូនឹងស្ថិតនៅក្នុង 2 កំហុសស្តង់ដារពី មធ្យម ចំនួនប្រជាជន(ការចែកចាយដើមដែល គំរូ), i.e. នៅខាងក្នុង៖

2*s/ROOT(n)<μ<2*s/КОРЕНЬ(n)

ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យទំហំ គំរូ n=30, មធ្យម ចំនួនប្រជាជនμ=0 និងគណនាដោយផ្អែកលើ គំរូ គម្លាតស្តង់ដារ s=5.

ក្នុងករណី​នេះ កំហុសស្តង់ដារ = 5/ROOT (30)

ចូរយើងបង្ហាញដោយប្រើរូបមន្ត MS EXCEL ថាប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានគឺពិតជាជិតដល់ 95%៖
=1-((1-NORM.DIST(2*5/SQRT(30),0,5/SQRT(30),TRUE))+ NORM.DIST(-2*5/SQRT(30),0,5 /ROOT(30);ពិត))=95.45%

តើ CLT ដំណើរការយ៉ាងដូចម្តេចនៅ n=3 និង n=10

ដើម្បីបង្ហាញពីការរកឃើញ CPTចូរយើងអនុវត្ត "ការវាយតម្លៃនៃភាពធម្មតា" នៃការចែកចាយ មធ្យមគំរូនៅ n=3 និង n=10។

ក្នុងនាមជាការចែកចាយដំបូង យើងយក ដែលពិពណ៌នាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានផ្នែកជាក់លាក់មួយនៅពេលបោះចោល។

ដូចដែលបានដឹងហើយថា តម្លៃមធ្យមនៃការចែកចាយនេះ =(1+6)/2=3.5; ក ការចែកចាយស្តង់ដារ =ROOT(((6-1+1)^2-1)/12)=1.708

ដោយប្រើ MS EXCEL យើងនឹងបង្កើត 100 ស៊េរីនៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួន 3 (n=3) និង 100 ស៊េរីនៃការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួន 10 (n=10) ។

សម្រាប់ស៊េរីនៃការបោះនីមួយៗ (ឧទាហរណ៍សម្រាប់នីមួយៗ គំរូ) យើងនឹងគណនា មធ្យមគំរូ។បន្ទាប់មកយើងគណនា មធ្យម មធ្យោបាយគំរូនិង កំហុសស្តង់ដារ. ចូរ​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​ស្រប​តាម​ CPTតម្លៃទាំងនេះគឺ 3.5 និង 1.708/ROOT(n) រៀងគ្នា។

យើង​ក៏​នឹង​សាងសង់​ដើម្បី​ធ្វើ​ឲ្យ​ប្រាកដ​ថា​វា​ដែរ។ មធ្យមគំរូចែកចាយជាង និងសម្រាប់ដើម ការចែកចាយឯកសណ្ឋាននិងការចែកចាយ មធ្យមគំរូ។

ឯកសារឧទាហរណ៍នៅលើសន្លឹក CPT Classic.

នៅពេល n = 3 ក្រាហ្វនៃការធ្វើតេស្តចែកចាយសម្រាប់ភាពធម្មតា។នឹង​ត្រូវ​គ្នា​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់​ត្រង់​យ៉ាង​ខ្លាំង​តាម​លក្ខខណ្ឌ (ភាព​មិន​ច្បាស់លាស់​នៃ​ទិន្នន័យ​ដែល​ទទួល​បាន​ពី​ការ​ចែកចាយ​ដើម​ត្រូវ​បាន​រក្សា​ទុក) ប៉ុន្តែ​សម្រាប់ n=10 - ការ​ឆ្លើយ​ឆ្លង ការចែកចាយធម្មតា។នឹងល្អ។


ចំណាំ៖ ជាឧទាហរណ៍ សូមប្រៀបធៀប ក្រាហ្វការធ្វើតេស្តចែកចាយសម្រាប់ភាពធម្មតា។ជាមួយ n=3 និងដំបូង, i.e. សម្រាប់ n=1 (ចំណុចក្រហមក្នុងរូបខាងក្រោម)។ ដូចដែលអាចមើលឃើញនៅក្នុងរូបភាពតម្លៃយកពី ការចែកចាយឯកសណ្ឋាន,មានទីតាំងនៅក្នុងក្រុមដែលបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់។

មធ្យមនិង កំហុសស្តង់ដារនៃការចែកចាយគំរូនៃមធ្យមជិត​នឹង​តម្លៃ​គណនា​ដែល​បាន​ព្យាករ CPT.

សម្រាប់ n=10 វាច្បាស់ណាស់ថាការរីករាលដាលនៃតម្លៃ មធ្យមគំរូ(អ៊ីស្តូក្រាមនៅខាងឆ្វេង) មិនមានអ្វីដូចគ្នាជាមួយអ៊ីស្តូក្រាមដែលទទួលបានពី គំរូពីដើម ការចែកចាយឯកសណ្ឋាន(អ៊ីស្តូក្រាមនៅខាងស្តាំ) ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ការប្រើប្រាស់ MS EXCEL យើងបានបង្ហាញពីរបៀបដែលវាដំណើរការ CPT៖ ទោះបីជាការចែកចាយរូបរាងដើមមិនមានជាប់ពាក់ព័ន្ធក៏ដោយ។ ធម្មតា។រួចហើយជាមួយនឹង n=10 តូច មធ្យមគំរូចែកចាយនៅទូទាំង ច្បាប់ជិតដល់ធម្មតា។ជាមួយដូចគ្នា។ តម្លៃមធ្យមនិងជាមួយ គម្លាតស្តង់ដារស្មើ កំហុសស្តង់ដារ.

នៅក្នុងការអនុវត្ត វាជាញឹកញាប់ចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ទំហំគំរូ n គ្រប់គ្រាន់ដើម្បីធានាថាការចែកចាយ មធ្យមគំរូជិតដល់កម្រិតធម្មតា។ វាច្បាស់ណាស់ថាការប៉ាន់ស្មាន asymptotic នៃការចែកចាយ មធ្យមគំរូអាស្រ័យលើការចែកចាយដើមដែលវាត្រូវបានយក គំរូ(ប្រសិនបើការចែកចាយដើមមាន នោះការចែកចាយ មធ្យមគំរូនឹង​ចូល​មក​ដល់​ធម្មតា​កាន់​តែ​យឺត​ពេល​មាន​ការ​កើន​ឡើង​)។ នៅក្នុងការអនុវត្ត ការចែកចាយដើមគឺមិនស្គាល់ ដូច្នេះជាធម្មតាវាត្រូវបានសន្មត់ថាទំហំគំរូគួរតែ n=>30 ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើ CLT បុរាណ

អ្នកកំពុងធ្វើសវនកម្មរបស់ធនាគារធំមួយ។ ភ្នាក់ងារធនាគារប្រាប់អ្នកថាប្រាក់បញ្ញើជាមធ្យមនៅធនាគារគឺ $200 ហើយគម្លាតស្តង់ដារគឺ $45 អ្នកចង់ធ្វើឱ្យប្រាកដថាព័ត៌មានរបស់អ្នកគ្រប់គ្រងគឺពិត ដូច្នេះអ្នកសម្រេចចិត្តយកទិន្នន័យពីគំរូប្រាក់បញ្ញើចៃដន្យចំនួន 50។
ផ្តល់ការពិពណ៌នាអំពីការចែកចាយគំរូនៃមធ្យមនៅន=50. ដោយសន្មតថាលក្ខណៈនៃការចែកចាយដែលបានរាយការណ៍របស់អ្នកគ្រប់គ្រងគឺត្រឹមត្រូវ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលជាមធ្យមគំរូដែលបានគណនារបស់អ្នកនឹងមានតិចជាង $190 ។

ដំបូន្មាន៖សេចក្តីសង្ខេបដ៏ល្អនៃសម្ភារៈលើប្រធានបទនេះមាននៅលើគេហទំព័រ http://brownmath.com/swt/chap08.htm(ភាសាអង់គ្លេស)

ជាដំបូងសូមផ្តល់ការពិពណ៌នា មធ្យោបាយចែកចាយគំរូ. ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការវា? ចំនុចនោះគឺថា ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេ អ្នកត្រូវដឹងពីការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ។ ទាំងនោះ។ ចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញវា។ មធ្យមគំរូចែកចាយតាមច្បាប់ធម្មតា។

សូមចាំថា ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីការចែកចាយណាមួយ ចាំបាច់ត្រូវគណនាវា។ មធ្យម, ការឆ្លងរាលដាលនិង ទម្រង់.

ទម្រង់ចែកចាយ. ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកត្រូវប្រាកដក្នុងចិត្ត ការចែកចាយមធ្យមគំរូគឺ ធម្មតា។(លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការអនុវត្ត CPT ត្រូវបានបំពេញ) ។ តាមក្បួនសម្រាប់ការនេះអ្នកត្រូវពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ 2:

  • ទំហំ គំរូមិនគួរលើសពី 10% នៃ ចំនួនប្រជាជន;
  • ទំហំ គំរូគ្រប់គ្រាន់ដែលទោះបីជាមានរូបរាងនៃការចែកចាយដើមក៏ដោយ ការចែកចាយមធ្យមគំរូគឺ ធម្មតា។. ជាធម្មតាវាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ n ដើម្បីធំជាង 30 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មតថាលក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានបំពេញ (អនុញ្ញាតឱ្យវាដឹងថាធនាគារមានប្រាក់បញ្ញើលើសពី 1000 អាស្រ័យហេតុនេះ 50 ប្រាក់បញ្ញើគឺតិចជាង 10% នៃចំនួនប្រាក់បញ្ញើសរុបរបស់ធនាគារ។ ការ​ចែកចាយ​ដើម​ទំនង​ជា​នឹង​ត្រូវ​បាន​បង្វែរ​ទៅ​ខាង​ឆ្វេង ព្រោះ​ ជាធម្មតា ប្រាក់បញ្ញើភាគច្រើនមានទំហំតូចទៅមធ្យម ហើយប្រាក់បញ្ញើធំមានទំហំតូចជាងច្រើន។ ទំហំគំរូមានទំហំធំល្មម (50>30) ដើម្បីធានាថារូបរាងនៃការចែកចាយនៃមធ្យមគំរូគឺនៅជិត ការចែកចាយធម្មតា។.

មធ្យម. មធ្យោបាយចែកចាយគំរូ, យោង​ទៅ​តាម CPT, ស្មើ មធ្យមការចែកចាយដើម, i.e. ក្នុងករណីរបស់យើង 200 ដុល្លារ។

ខ្ចាត់ខ្ចាយ. គម្លាតស្តង់ដារនៃមធ្យមគំរូ (កំហុសស្តង់ដារ) យោងតាម ​​CLT គឺស្មើនឹង =45/ROOT(50)=6.36។

ឥឡូវនេះសូមផ្លាស់ទីដោយផ្ទាល់ទៅការដោះស្រាយបញ្ហា។ ចូរយើងសាងសង់ជាមុនសិន មធ្យមគំរូ N(200; 45/SQRT(50)) ។

បន្ទាត់បញ្ឈរពណ៌បៃតងត្រូវគ្នាទៅនឹង x=$190។

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាយើងបានយក គំរូពី 50 ប្រាក់បញ្ញើនិងគណនា មធ្យមគំរូនេះ (Xsr) ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែល Xcp នឹងតិចជាង $190 នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើរូបមន្ត
=NORM.DIST(190, 200, 45/SQRT(50), ពិត)=0.058

ដូច្នេះប្រសិនបើ X avg ដែលគណនាពីប្រាក់បញ្ញើចំនួន 50 ប្រែទៅជាតិចជាង $190 នោះវាអាចក្លាយជាហេតុផលដ៏ធ្ងន់ធ្ងរមួយក្នុងការសង្ស័យពីភាពត្រឹមត្រូវនៃពាក្យរបស់បុគ្គលិកធនាគារ (ដែលបានអះអាងថាប្រាក់បញ្ញើធនាគារជាមធ្យមស្មើនឹង $200) , ដោយសារតែ នេះគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនទំនង (<6%).

ការគណនាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ឯកសារនៅលើសន្លឹកកិច្ចការ.

ចំណាំ៖ កំហុសទូទៅនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះគឺការប្រើប្រាស់មិនត្រឹមត្រូវ គម្លាតស្តង់ដារ, i.e. នៅពេលជំនួស កំហុសស្តង់ដារប្រើដែលគេស្គាល់ គម្លាតស្តង់ដារការបែងចែកដើម (45 ដុល្លារ) ដែលមិនចាំបាច់ ធម្មតា។. ប៉ុន្តែទោះបីជាការចែកចាយដើមក៏ដោយ។ ធម្មតា។បន្ទាប់មកតម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេដែលបានគណនា (ក្នុងករណីរបស់យើងវានឹងមានប្រហែល 40%) គឺតែងតែខ្ពស់ជាងតម្លៃត្រឹមត្រូវ (ប្រហែល 6%)។ នេះ​ត្រូវ​នឹង​គ្រោងការណ៍​គណនា ប្រសិនបើ​យើង​ជ្រើសរើស​ប្រាក់​បញ្ញើ​តែ 1 ប៉ុណ្ណោះ (ជំនួស​ឱ្យ 50) ហើយ​ព្យាយាម​សម្រេច​លើ​ការពិត​នៃ​ពាក្យ​របស់​បុគ្គលិក​ធនាគារ​ដោយ​ផ្អែក​លើ​តម្លៃ​របស់វា។

សង្ខេប៖ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់នៅក្នុងការអនុវត្ត ការចែកចាយពីអ្វីដែល គំរូមិនស្គាល់ (គេគ្រាន់តែអាចសន្មត់ថាការចែកចាយប្រាក់បញ្ញើរបស់ធនាគារទំនងជាបត់ទៅខាងឆ្វេង ព្រោះប្រាក់បញ្ញើតូចៗជាធម្មតាបង្កើតបានចំនួនច្រើនបំផុត)។ ប៉ុន្តែដោយមិនដឹងពីកន្សោមគណិតវិទ្យាសម្រាប់ការចែកចាយនោះ យើងមិនអាចប៉ាន់ប្រមាណនូវប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទាញយកតម្លៃជាក់លាក់ណាមួយពីវាបានទេ។ វាគឺនៅក្នុងករណីបែបនេះដែលវាជួយយើង CPT.

ទម្រង់ជំនួសនៃ CLT

ឥឡូវនេះសូមមើលពីរបៀបដែលវាដំណើរការ CPTក្នុងករណីដែលអថេរចៃដន្យគឺជាផលបូកនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ផ្សេងៗគ្នាដែលមានភាពខុសគ្នា មធ្យមនិង គម្លាតស្តង់ដារ.

ប្រសិនបើ x 1, x 2, x 3, … x n គឺជាអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងតម្លៃដែលគេស្គាល់ មធ្យម μខ្ញុំ​និង គម្លាតស្តង់ដារσ i និង y = x 1 + x 2 + x 3 + … + x n បន្ទាប់មកការចែកចាយ

ខិតជិត ន(0;1) នៅ នខិតខំឆ្ពោះទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់។

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត CPTបញ្ជាក់ថាចំនួនទឹកប្រាក់ នអថេរចៃដន្យឯករាជ្យសម្រាប់ទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ ននឹងត្រូវបានចែកចាយ ច្បាប់ធម្មតា។ជាមួយ មធ្យមតម្លៃស្មើនឹងផលបូក មធ្យមតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យទាំងនេះ និង ការបែកខ្ញែកស្មើនឹងផលបូករបស់ពួកគេ។ ភាពខុសប្លែកគ្នា, i.e. នៅ​ក្នុង​ច្បាប់

ដូចករណី CPT បុរាណដើម្បីបង្ហាញលទ្ធផល CPT យើងប្រើ MS EXCEL ។ ជាការចែកចាយដំបូង យើងយក 4 B(0.1; 20), 3 U និង 3)