IN ផ្នែកមុន។ឧទ្ទិសដល់ការវិភាគ អត្ថន័យធរណីមាត្រអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ យើងបានទទួលរូបមន្តមួយចំនួនសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid:
S (G) = ∫ a b f (x) d x សម្រាប់អនុគមន៍បន្តនិងមិនអវិជ្ជមាន y = f (x) នៅលើចន្លោះពេល [ a ; ខ],
S (G) = − ∫ a b f (x) d x សម្រាប់អនុគមន៍បន្តនិងមិនវិជ្ជមាន y = f (x) នៅលើចន្លោះពេល [ a ; ខ ]។
រូបមន្តទាំងនេះអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ការដោះស្រាយទាក់ទងនឹង កិច្ចការសាមញ្ញ. តាមការពិត យើងច្រើនតែត្រូវធ្វើការជាមួយតួលេខស្មុគ្រស្មាញ។ ក្នុងន័យនេះ យើងនឹងលះបង់ផ្នែកនេះទៅជាការវិភាគនៃក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយមុខងារក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់ i.e. ដូចជា y = f (x) ឬ x = g (y) ។
ទ្រឹស្តីបទអនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f 1 (x) និង y = f 2 (x) ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើចន្លោះពេល [ a ; b ] និង f 1 (x) ≤ f 2 (x) សម្រាប់តម្លៃណាមួយ x ពី [ a ; ខ ]។ បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃរូប G ដែលចងដោយបន្ទាត់ x = a, x = b, y = f 1 (x) និង y = f 2 (x) នឹងមើលទៅដូច S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x ។
រូបមន្តស្រដៀងគ្នានឹងអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y = c, y = d, x = g 1 (y) និង x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y ។
ភស្តុតាង
សូមក្រឡេកមើលករណីបីដែលរូបមន្តនឹងមានសុពលភាព។
ក្នុងករណីដំបូងដោយគិតគូរពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបន្ថែមនៃតំបន់ផលបូកនៃតំបន់នៃតួរលេខ G និង curvilinear trapezoid G 1 គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃរូប G 2 ។ វាមានន័យថា
ដូច្នេះ S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x − ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) − f 1 (x)) dx ។
យើងអាចអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិទីបីនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
កនុងករណីទី 2 សមភាពគឺ៖ S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + − ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) − f 1 (x)) d x
រូបភាពក្រាហ្វិកនឹងមើលទៅដូចនេះ៖
ប្រសិនបើមុខងារទាំងពីរមិនវិជ្ជមាន យើងទទួលបាន៖ S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x − − ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . រូបភាពក្រាហ្វិកនឹងមើលទៅដូចនេះ៖
ចូរបន្តពិចារណាករណីទូទៅនៅពេលដែល y = f 1 (x) និង y = f 2 (x) ប្រសព្វអ័ក្ស O x ។
យើងកំណត់ចំនុចប្រសព្វជា x i, i = 1, 2, ។ . . , n - 1 ។ ចំណុចទាំងនេះបំបែកផ្នែក [a; b ] ទៅជា n ផ្នែក x i - 1 ; x i, i = 1, 2, ។ . . , n, ដែល α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
អាស្រ័យហេតុនេះ
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) − f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n ( f 2 (x) − f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) − f 1 (x) d x
យើងអាចធ្វើការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទីប្រាំនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
ចូរយើងបង្ហាញករណីទូទៅនៅលើក្រាហ្វ។
រូបមន្ត S (G) = ∫ a b f 2 (x) − f 1 (x) d x អាចចាត់ទុកថាជាភស្តុតាង។
ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅការវិភាគឧទាហរណ៍នៃការគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ y = f (x) និង x = g (y) ។
យើងនឹងចាប់ផ្តើមការពិចារណារបស់យើងលើឧទាហរណ៍ណាមួយដោយបង្កើតក្រាហ្វ។ រូបភាពនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងឱ្យតួលេខស្មុគស្មាញដែលជាសហជីពកាន់តែច្រើន តួលេខសាមញ្ញ. ប្រសិនបើការបង្កើតក្រាហ្វ និងតួរលេខនៅលើពួកវាពិបាកសម្រាប់អ្នក អ្នកអាចសិក្សាផ្នែកអំពីមុខងារបឋមមូលដ្ឋាន ការបំប្លែងធរណីមាត្រនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ក៏ដូចជាការបង្កើតក្រាហ្វនៅពេលសិក្សាមុខងារមួយ។
ឧទាហរណ៍ ១
វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡា y = − x 2 + 6 x − 5 និងបន្ទាត់ត្រង់ y = - 1 3 x − 1 2, x = 1, x = 4 ។
ដំណោះស្រាយ
ចូរគូរបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ។
នៅលើផ្នែក [1 ; 4] ក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា y = − x 2 + 6 x − 5 ស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ y = − 1 3 x − 1 2 ។ ក្នុងន័យនេះ ដើម្បីទទួលបានចំលើយ យើងប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានមុននេះ ក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz៖
S (G) = ∫ 1 4 − x 2 + 6 x − 5 − 1 3 x − 1 2 d x = = ∫ 1 4 − x 2 + 19 3 x − 9 2 d x = − 1 3 x 3 + 19 6 x 2 − 9 2 x 1 4 = = − 1 3 4 3 + 19 6 4 2 − 9 2 4 − − 1 3 1 3 + 19 6 1 2 − 9 2 1 = = − 64 3 + 152 3 − 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
ចម្លើយ៖ S(G) = ១៣
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញមួយ។
ឧទាហរណ៍ ២
វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ y = x + 2, y = x, x = 7 ។
ដំណោះស្រាយ
ក្នុងករណីនេះ យើងមានបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលមានទីតាំងស្របនឹងអ័ក្ស x ។ នេះគឺ x = 7 ។ នេះតម្រូវឱ្យយើងស្វែងរកដែនកំណត់ទីពីរនៃការរួមបញ្ចូលខ្លួនយើង។
ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វ ហើយគូសវាសលើវាតាមបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។
មានក្រាហ្វនៅពីមុខភ្នែករបស់យើង យើងអាចកំណត់បានយ៉ាងងាយស្រួលថាដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូលនឹងជា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ y = x និងពាក់កណ្តាលប៉ារ៉ាបូល y = x + 2 ។ ដើម្បីស្វែងរក abscissa យើងប្រើសមភាព៖
y = x + 2 O DZ : x ≥ − 2 x 2 = x + 2 2 x 2 − x − 2 = 0 D = ( − 1 ) 2 − 4 1 ( − 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 − 9 2 = − 1 ∉ O DZ
វាប្រែថា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វគឺ x = 2 ។
យើងគូរយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះការពិតដែលថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ទូទៅនៅក្នុងគំនូរបន្ទាត់ y = x + 2, y = x ប្រសព្វនៅចំណុច (2; 2) ដូច្នេះការគណនាលម្អិតបែបនេះអាចហាក់ដូចជាមិនចាំបាច់។ យើងបានផ្តល់ដំណោះស្រាយយ៉ាងលម្អិតនៅទីនេះតែប៉ុណ្ណោះ ពីព្រោះក្នុងករណីស្មុគស្មាញជាងនេះ ដំណោះស្រាយប្រហែលជាមិនច្បាស់ទេ។ នេះមានន័យថាវាតែងតែល្អប្រសើរក្នុងការគណនាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដោយវិភាគ។
នៅចន្លោះពេល [ 2 ; 7] ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x ស្ថិតនៅខាងលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x + 2 ។ ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តដើម្បីគណនាផ្ទៃដី៖
S (G) = ∫ 2 7 (x − x + 2) d x = x 2 2 − 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 − 2 3 · (7 + 2) 3 2 − 2 2 2 − 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 − 18 − 2 + 16 3 = 59 6
ចំលើយ៖ S (G) = 59 ៦
ឧទាហរណ៍ ៣
វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 1 x និង y = − x 2 + 4 x − 2 ។
ដំណោះស្រាយ
ចូរយើងគូរបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វ។
ចូរកំណត់ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដោយសមីការកន្សោម 1 x និង - x 2 + 4 x - 2 ។ ផ្តល់ថា x មិនមែនជាសូន្យ សមភាព 1 x = − x 2 + 4 x − 2 ក្លាយជាសមមូលនឹងសមីការដឺក្រេទីបី - x 3 + 4 x 2 − 2 x − 1 = 0 ជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។ ដើម្បីធ្វើឱ្យការចងចាំរបស់អ្នកឡើងវិញអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះ យើងអាចយោងទៅលើផ្នែក "ការដោះស្រាយសមីការគូប" ។
ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ x = 1: − 1 3 + 4 1 2 − 2 1 − 1 = 0 ។
ការបែងចែកកន្សោម − x 3 + 4 x 2 − 2 x − 1 ដោយ binomial x − 1 យើងទទួលបាន៖ − x 3 + 4 x 2 − 2 x − 1 ⇔ − (x − 1) (x 2 − 3 x - 1) = 0
យើងអាចរកឫសដែលនៅសល់ពីសមីការ x 2 − 3 x − 1 = 0 ៖
x 2 − 3 x − 1 = 0 D = ( − 3 ) 2 − 4 · 1 · ( − 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . ៣; x 2 = 3 − 13 2 ≈ − 0 ។ ៣
យើងបានរកឃើញចន្លោះពេល x ∈ 1; 3 + 13 2 ដែលរូប G មាននៅពីលើពណ៌ខៀវ និងខាងក្រោមបន្ទាត់ក្រហម។ នេះជួយយើងកំណត់តំបន់នៃតួលេខ៖
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 − x 2 + 4 x − 2 − 1 x d x = − x 3 3 + 2 x 2 − 2 x − ln x 1 3 + 13 2 = = − 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 − 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
ចំលើយ៖ S (G) = 7 + 13 3 − ln 3 + 13 ២
ឧទាហរណ៍ 4
វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយខ្សែកោង y = x 3, y = - log 2 x + 1 និងអ័ក្ស abscissa ។
ដំណោះស្រាយ
ចូរយើងគូរបន្ទាត់ទាំងអស់នៅលើក្រាហ្វ។ យើងអាចទទួលបានក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = - log 2 x + 1 ពីក្រាហ្វ y = log 2 x ប្រសិនបើយើងដាក់ទីតាំងវាស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស x ហើយផ្លាស់ទីវាឡើងលើមួយឯកតា។ សមីការនៃអ័ក្ស x គឺ y = 0 ។
ចូរយើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីរូបភាពក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x 3 និង y = 0 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (0; 0) ។ វាកើតឡើងដោយសារតែ x = 0 គឺជាឫសពិតតែមួយគត់នៃសមីការ x 3 = 0 ។
x = 2 គឺជាឫសគល់តែមួយគត់នៃសមីការ - log 2 x + 1 = 0 ដូច្នេះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = - log 2 x + 1 និង y = 0 ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច (2; 0)។
x = 1 គឺជាឫសតែមួយគត់នៃសមីការ x 3 = - log 2 x + 1 ។ ក្នុងន័យនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x 3 និង y = - log 2 x + 1 ប្រសព្វត្រង់ចំនុច (1; 1) ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ចុងក្រោយប្រហែលជាមិនច្បាស់ទេ ប៉ុន្តែសមីការ x 3 = - log 2 x + 1 មិនអាចមានឫសច្រើនជាងមួយបានទេ ព្រោះមុខងារ y = x 3 កំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ហើយមុខងារ y = - log 2 x + 1 គឺ ថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។
ដំណោះស្រាយបន្ថែមពាក់ព័ន្ធនឹងជម្រើសជាច្រើន។
ជម្រើសទី 1
យើងអាចស្រមៃមើលរូប G ជាផលបូកនៃរាងចតុកោណកែងពីរដែលស្ថិតនៅខាងលើអ័ក្ស x ដែលទីមួយស្ថិតនៅខាងក្រោម បន្ទាត់កណ្តាលនៅលើផ្នែក x ∈ 0; 1 និងទីពីរគឺនៅក្រោមបន្ទាត់ក្រហមនៅលើផ្នែក x ∈ 1; ២. នេះមានន័យថាផ្ទៃនឹងស្មើនឹង S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ។
ជម្រើសលេខ 2
រូបភាព G អាចត្រូវបានតំណាងថាជាភាពខុសគ្នានៃតួលេខពីរដែលទីមួយមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស x និងខាងក្រោមបន្ទាត់ពណ៌ខៀវនៅលើផ្នែក x ∈ 0; 2, និងទីពីររវាងបន្ទាត់ក្រហមនិងខៀវនៅលើផ្នែក x ∈ 1; ២. នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតំបន់ដូចខាងក្រោម:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x − ∫ 1 2 x 3 − (− log 2 x + 1) d x
ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃ អ្នកនឹងត្រូវប្រើរូបមន្តនៃទម្រង់ S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ។ តាមការពិត បន្ទាត់ដែលចងតួរលេខអាចត្រូវបានតំណាងជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ y ។
ចូរដោះស្រាយសមីការ y = x 3 និង - log 2 x + 1 ទាក់ទងនឹង x៖
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
យើងទទួលបានតំបន់ដែលត្រូវការ៖
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 − y − y 3) d y = − 2 1 − y ln 2 − y 4 4 0 1 = = − 2 1 − 1 ln 2 − 1 4 4 − − 2 1 − 0 ln 2 − 0 4 4 = − 1 ln 2 − 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 − 1 4
ចំលើយ៖ S (G) = 1 ln 2 − 1 ៤
ឧទាហរណ៍ 5
វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ y = x, y = 2 3 x − 3, y = - 1 2 x + 4 ។
ដំណោះស្រាយ
យើងនឹងគូរបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វជាមួយនឹងបន្ទាត់ក្រហម ផ្តល់ដោយមុខងារ y = x ។ យើងគូរបន្ទាត់ y = − 1 2 x + 4 ជាពណ៌ខៀវ ហើយបន្ទាត់ y = 2 3 x − 3 ជាពណ៌ខ្មៅ។
ចូរសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វ។
ចូររកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x និង y = − 1 2 x + 4 ៖
x = − 1 2 x + 4 O DZ : x ≥ 0 x = − 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 − 4 x + 16 ⇔ x 2 − 20 x + 64 = 0 D = (− 20 ) 2 − 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 − 144 2 = 4 ពិនិត្យ៖ x 1 = 16 = 4, − 1 2 x 1 + 4 = − 1 2 16 + 4 = − 4 ⇒ x 1 = 16 មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ x 2 = 4 = 2, − 1 2 x 2 + 4 = − 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ⇒ (4; 2) ចំនុចប្រសព្វ i y = x និង y = − 1 2 x + ៤
ចូររកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x និង y = 2 3 x − 3 ៖
x = 2 3 x − 3 O DZ : x ≥ 0 x = 2 3 x − 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 − 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 − 45 x + 81 = 0 D = (− 45) 2 − 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 − 729 8 = 9 4 ពិនិត្យ៖ x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 − 3 = 2 3 9 − 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ ⇒ (9 ; 3) ចង្អុល a s y = x និង y = 2 3 x − 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 − 3 = 2 3 9 4 − 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 មិនមានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការទេ
ចូររកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ y = − 1 2 x + 4 និង y = 2 3 x − 3 ៖
1 2 x + 4 = 2 3 x − 3 ⇔ − 3 x + 24 = 4 x − 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 − 1 2 6 + 4 = 2 3 6 − 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) ចំនុចប្រសព្វ y = − 1 2 x + 4 និង y = 2 3 x − 3
វិធីសាស្រ្តលេខ 1
អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្រមៃមើលតំបន់នៃតួលេខដែលចង់បានជាផលបូកនៃតំបន់នៃតួលេខបុគ្គល។
បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួលេខគឺ:
S (G) = ∫ 4 6 x − − 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x − 2 3 x − 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 − 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 − x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 − 4 6 − 2 3 4 3 2 + 4 2 4 − 4 4 + + 2 3 9 3 2 − 9 2 3 + 3 9 − 2 3 6 3 2 − 6 2 3 + 3 6 = = − 25 3 + 4 6 + − 4 6 + 12 = 11 3
វិធីសាស្រ្តលេខ 2
តំបន់នៃតួលេខដើមអាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃតួលេខពីរផ្សេងទៀត។
បន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយសមីការនៃបន្ទាត់ដែលទាក់ទងទៅនឹង x ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃតួលេខ។
y = x ⇒ x = y 2 បន្ទាត់ក្រហម y = 2 3 x − 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 បន្ទាត់ខ្មៅ y = − 1 2 x + 4 ⇒ x = − 2 y + 8 s i n i a l i n e
ដូច្នេះតំបន់គឺ៖
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 − − 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 − y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y − 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 − y 2 d y = = 7 4 y 2 − 7 4 y 1 2 + − y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 − 7 4 2 − 7 4 1 2 − 7 4 1 + + − 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 − − 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញតម្លៃគឺដូចគ្នា។
ចម្លើយ៖ S (G) = 11 ៣
លទ្ធផល
ដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងត្រូវសង់បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វរបស់វា ហើយអនុវត្តរូបមន្តដើម្បីស្វែងរកតំបន់នោះ។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងបានពិនិត្យមើលវ៉ារ្យ៉ង់ទូទៅបំផុតនៃភារកិច្ច។
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter
ការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខ- នេះប្រហែលជាបញ្ហាលំបាកបំផុតមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីតំបន់។ នៅក្នុងធរណីមាត្រសាលា ពួកគេបង្រៀនអ្នកឱ្យស្វែងរកផ្នែកនៃមេ រាងធរណីមាត្រដូចជាឧទាហរណ៍ ត្រីកោណ រាងមូល ចតុកោណកែង រាងពងក្រពើ រង្វង់។ល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយជារឿយៗអ្នកត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនាផ្នែកនៃតួលេខស្មុគស្មាញជាង។ វាគឺនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដែលវាងាយស្រួលប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល។
និយមន័យ។
រាងចតុកោណកែងហៅតួលេខមួយចំនួន G ដែលចងដោយបន្ទាត់ y = f(x), y = 0, x = a និង x = b ហើយមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [a; b] ហើយមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វានៅលើវា។ (រូបទី 1) ។តំបន់នៃ trapezoid កោងអាចត្រូវបានតំណាងដោយ S (G) ។
អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ʃ a b f(x)dx សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) ដែលបន្តនិងមិនអវិជ្ជមាននៅចន្លោះពេល [a; b] និងជាតំបន់នៃ trapezoid កោងដែលត្រូវគ្នា។
នោះគឺដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខ G ដែលចងដោយបន្ទាត់ y = f (x), y = 0, x = a និង x = b វាចាំបាច់ត្រូវគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ʃ a b f (x)dx ។ .
ដូច្នេះ S(G) = ʃ a b f(x)dx ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មិនវិជ្ជមាននៅលើ [a; b] បន្ទាប់មកតំបន់នៃ trapezoid កោងអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត S(G) = -ʃ a b f(x)dx ។
ឧទាហរណ៍ ១.
គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y = x 3; y = 1; x = ២.
ដំណោះស្រាយ។
បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាតួលេខ ABC ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់ចូល អង្ករ។ ២.
តំបន់ដែលត្រូវការគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងតំបន់នៃរាងចតុកោណកែង DACE និងការ៉េ DABE ។
ដោយប្រើរូបមន្ត S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) យើងរកឃើញដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ:
(y = x 3,
(y = 1 ។
ដូច្នេះ យើងមាន x 1 = 1 – ដែនកំណត់ទាប និង x = 2 – ដែនកំណត់ខាងលើ។
ដូច្នេះ S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (ឯកតា sq ។
ចម្លើយ: 11/4 sq ។ ឯកតា
ឧទាហរណ៍ ២.
គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y = √x; y = 2; x = ៩.
ដំណោះស្រាយ។
បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាតួលេខ ABC ដែលត្រូវបានកំណត់ខាងលើដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍
y = √x ហើយខាងក្រោមគឺជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 2។ តួលេខលទ្ធផលត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់ក្នុង អង្ករ។ ៣.
តំបន់ដែលត្រូវការគឺ S = ʃ a b (√x − 2) ។ ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលៈ b = 9 ដើម្បីស្វែងរក a យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ៖
(y = √x,
(y = 2 ។
ដូច្នេះយើងមាន x = 4 = a - នេះគឺជាដែនកំណត់ទាប។
ដូច្នេះ S = ∫ 4 9 (√x − 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (ឯកតា sq.)
ចម្លើយ៖ S = 2 2/3 sq ។ ឯកតា
ឧទាហរណ៍ ៣.
គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0 ។
ដំណោះស្រាយ។
ចូរយើងរៀបចំអនុគមន៍ y = x 3 – 4x សម្រាប់ x ≥ 0 ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមស្វែងរកដេរីវេ y '៖
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 at x = ±2/√3 ≈ 1.1 – ចំនុចសំខាន់។
ប្រសិនបើយើងគូសចំនុចសំខាន់ៗនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយរៀបចំសញ្ញានៃដេរីវេ នោះយើងឃើញថាមុខងារថយចុះពីសូន្យទៅ 2/√3 ហើយកើនឡើងពី 2/√3 ទៅបូកគ្មានដែនកំណត់។ បន្ទាប់មក x = 2/√3 ជាចំនុចអប្បបរមា តម្លៃអប្បបរមានៃអនុគមន៍ y min = -16/(3√3) ≈ −3 ។
ចូរកំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖
ប្រសិនបើ x = 0 បន្ទាប់មក y = 0 ដែលមានន័យថា A(0; 0) គឺជាចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស Oy ។
ប្រសិនបើ y = 0 បន្ទាប់មក x 3 – 4x = 0 ឬ x (x 2 – 4) = 0 ឬ x(x – 2)(x + 2) = 0, whence x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = −2 (មិនសមទេព្រោះ x ≥ 0)។
ចំណុច A(0; 0) និង B(2; 0) គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សអុក។
បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាតួលេខ OAB ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់ចូល អង្ករ។ ៤.
ដោយសារអនុគមន៍ y = x 3 – 4x យកតម្លៃអវិជ្ជមានលើ (0; 2) បន្ទាប់មក
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|។
យើងមាន៖ ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx = (x 4/4 – 4х 2/2)| 0 2 = −4, wherece S = 4 sq ។ ឯកតា
ចម្លើយ៖ S = 4 sq ។ ឯកតា
ឧទាហរណ៍ 4 ។
រកផ្ទៃនៃរូបដែលចងដោយប៉ារ៉ាបូឡា y = 2x 2 – 2x + 1 បន្ទាត់ x = 0, y = 0 និងតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡានេះនៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 = 2 ។
ដំណោះស្រាយ។
ដំបូង ចូរយើងបង្កើតសមីការសម្រាប់តង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡា y = 2x 2 – 2x + 1 នៅចំណុចជាមួយ abscissa x₀ = 2 ។
ចាប់តាំងពីដេរីវេ y '= 4x − 2, បន្ទាប់មក x 0 = 2 យើងទទួលបាន k = y'(2) = 6 ។
ចូរយើងរកតម្រៀបនៃចំនុចតង់សង់៖ y 0 = 2 2 2 − 2 2 + 1 = 5 ។
ដូច្នេះ សមីការតង់សង់មានទម្រង់៖ y − 5 = 6 (x − 2) ឬ y = 6x – 7 ។
តោះបង្កើតតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖
y = 2x 2 − 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x − 7 ។
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – ប៉ារ៉ាបូឡា។ ចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោណេ៖ A(0; 1) – ជាមួយអ័ក្ស Oy; ជាមួយនឹងអ័ក្សអុក - មិនមានចំណុចប្រសព្វទេពីព្រោះ សមីការ 2x 2 – 2x + 1 = 0 មិនមានដំណោះស្រាយទេ (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2 ពោលគឺ ចំនុចកំពូលនៃចំនុចប៉ារ៉ាបូឡា B មានកូអរដោនេ B(1/2; 1/2)។
ដូច្នេះតួរលេខដែលតំបន់ត្រូវកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់ អង្ករ។ ៥.
យើងមាន៖ S O A B D = S OABC – S ADBC ។
ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច D ពីលក្ខខណ្ឌ៖
6x – 7 = 0, ឧ។ x = 7/6 ដែលមានន័យថា DC = 2 – 7/6 = 5/6 ។
យើងរកឃើញផ្ទៃនៃត្រីកោណ DBC ដោយប្រើរូបមន្ត S ADBC = 1/2 · DC · BC ។ ដូច្នេះ
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 sq ។ ឯកតា
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2/2 + x)| 0 2 = 10/3 (ឯកតា sq ។ ) ។
ទីបំផុតយើងទទួលបាន៖ S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (sq. units)។
ចម្លើយ៖ S = 1 1/4 sq ។ ឯកតា
យើងបានមើលឧទាហរណ៍ ការស្វែងរកផ្នែកនៃតួលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ. ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវចេះបង្កើតបន្ទាត់ និងក្រាហ្វនៃមុខងារនៅលើយន្តហោះ ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ អនុវត្តរូបមន្តដើម្បីស្វែងរកតំបន់ ដែលបង្កប់ន័យសមត្ថភាពក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលជាក់លាក់។
គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។
នៅក្នុងមេរៀននេះយើងនឹងរៀនគណនា តំបន់នៃតួលេខយន្តហោះដែលត្រូវបានគេហៅថា រាងចតុកោណកែង .
ឧទាហរណ៍នៃតួលេខបែបនេះមាននៅក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។
នៅលើដៃមួយការស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺសាមញ្ញបំផុត។ យើងកំពុងនិយាយអំពីផ្ទៃនៃតួរលេខ ដែលត្រូវបានកំណត់ពីខាងលើដោយខ្សែកោងជាក់លាក់មួយ ពីខាងក្រោមដោយអ័ក្ស abscissa ( គោ) ហើយនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ មានបន្ទាត់ត្រង់មួយចំនួន។ ភាពសាមញ្ញគឺថា អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍ដែលខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យគឺជាផ្ទៃនៃតួលេខបែបនេះ(រាងចតុកោណកែង) ។
ដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃតួលេខយើងត្រូវការ៖
- កំណត់អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍កំណត់ខ្សែកោង ដែលកំណត់រាងកោងពីខាងលើ។ ហើយនៅទីនេះការ nuance សំខាន់ដំបូងកើតឡើង: trapezoid កោងអាចត្រូវបានកំណត់ដោយខ្សែកោងមិនត្រឹមតែពីខាងលើប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏ពីខាងក្រោមផងដែរ។ . តើត្រូវបន្តក្នុងករណីនេះយ៉ាងដូចម្តេច? សាមញ្ញ ប៉ុន្តែសំខាន់ក្នុងការចងចាំ៖ អាំងតេក្រាលក្នុងករណីនេះត្រូវបានយកដោយសញ្ញាដក .
- ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល កនិង ខដែលយើងរកឃើញពីសមីការនៃបន្ទាត់ដែលចងរូបខាងឆ្វេងនិងស្តាំ៖ x = ក , x = ខ, កន្លែងណា កនិង ខ- លេខ។
ដោយឡែកពីគ្នាអំពី nuances មួយចំនួនទៀត។.
ខ្សែកោងដែលចងខ្សែកោងនៅផ្នែកខាងលើ (ឬខាងក្រោម) ត្រូវតែជា ក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តនិងមិនអវិជ្ជមាន y = f(x) .
តម្លៃ "x" ត្រូវតែជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក [ក, ខ]។ នោះគឺបន្ទាត់ដូចជាការកាត់ផ្សិតមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណាទេដើមដែលសមនឹងផ្នែកនេះយ៉ាងល្អហើយមួកគឺធំទូលាយជាង។
ផ្នែកចំហៀងអាចខូចទៅជាចំណុច . ប្រសិនបើអ្នកឃើញតួលេខបែបនេះនៅក្នុងគំនូរ នេះមិនគួរច្រឡំអ្នកទេ ព្រោះចំណុចនេះតែងតែមានតម្លៃរបស់វានៅលើអ័ក្ស "x" ។ នេះមានន័យថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្ថិតនៅក្នុងលំដាប់ជាមួយនឹងដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។
ឥឡូវអ្នកអាចបន្តទៅរូបមន្ត និងការគណនា។ ដូច្នេះតំបន់ ស trapezoid កោងអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត
ប្រសិនបើ f(x) ≤ 0 (ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានទីតាំងនៅខាងក្រោមអ័ក្ស គោ), នោះ។ តំបន់នៃ trapezoid កោងមួយ។អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត
មានករណីផងដែរនៅពេលដែលព្រំដែនខាងលើ និងខាងក្រោមនៃតួលេខមានមុខងាររៀងៗខ្លួន y = f(x) និង y = φ (x) បន្ទាប់មកផ្ទៃដីនៃតួលេខបែបនេះត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
. (3)
ដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយគ្នា
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងករណីដែលផ្ទៃនៃតួលេខអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត (1) ។
ឧទាហរណ៍ ១.គោ) និងត្រង់ x = 1 , x = 3 .
ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារតែ y = 1/x> 0 នៅលើផ្នែក បន្ទាប់មកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត (1):
.
ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍, បន្ទាត់ x= 1 និង x-axis ( គោ ).
ដំណោះស្រាយ។ លទ្ធផលនៃការអនុវត្តរូបមន្ត (១)៖
បើអញ្ចឹង ស= 1/2 ; ប្រសិនបើពេលនោះ ស= 1/3 ។ល។
ឧទាហរណ៍ ៣.ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ អ័ក្ស abscissa ( គោ) និងត្រង់ x = 4 .
ដំណោះស្រាយ។ តួរលេខដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺ រាងចតុកោណកែង ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងបានខូចទៅជាចំណុចមួយ។ ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលគឺ 0 និង 4។ ចាប់តាំងពី ដោយប្រើរូបមន្ត (1) យើងរកឃើញតំបន់នៃ curvilinear trapezoid:
.
ឧទាហរណ៍ 4 ។ស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ , និងមានទីតាំងនៅត្រីមាសទី 1 ។
ដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីប្រើរូបមន្ត (1) ចូរយើងស្រមៃមើលផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌនៃឧទាហរណ៍ដែលជាផលបូកនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ OABនិង trapezoid កោង ABC. នៅពេលគណនាផ្ទៃដីនៃត្រីកោណ OABដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលគឺជា abscissas នៃចំណុច អូនិង កនិងសម្រាប់តួលេខ ABC- abscissas នៃចំណុច កនិង គ (កគឺជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ O.A.និងប៉ារ៉ាបូឡា និង គ- ចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយអ័ក្ស គោ) ការដោះស្រាយរួមគ្នា (ជាប្រព័ន្ធ) សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប៉ារ៉ាបូឡា យើងទទួលបាន ( abscissa នៃចំណុច ក) និង ( abscissa នៃចំណុចប្រសព្វមួយទៀតនៃបន្ទាត់ និងប៉ារ៉ាបូឡា ដែលមិនត្រូវការសម្រាប់ដំណោះស្រាយ)។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរយើងទទួលបាន , ( abscissas នៃពិន្ទុ គនិង ឃ) ឥឡូវនេះយើងមានអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលយើងត្រូវស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខមួយ។ យើងស្វែងរក:
ឧទាហរណ៍ 5 ។ស្វែងរកតំបន់នៃ trapezoid កោង ACDB, ប្រសិនបើសមីការនៃខ្សែកោង ស៊ីឌីនិង abscissas កនិង ខ 1 និង 2 រៀងៗខ្លួន។
ដំណោះស្រាយ។ ចូរបញ្ចេញមតិ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យខ្សែកោងតាមរយៈហ្គេម៖ តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត (១)៖
.
ចូរបន្តទៅករណីដែលផ្ទៃនៃតួលេខអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត (2) ។
ឧទាហរណ៍ ៦.រកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយប៉ារ៉ាបូឡា និងអ័ក្ស x ( គោ ).
ដំណោះស្រាយ។ តួលេខនេះមានទីតាំងនៅខាងក្រោមអ័ក្ស x ។ ដូច្នេះដើម្បីគណនាផ្ទៃដីរបស់វា យើងនឹងប្រើរូបមន្ត (2)។ ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលគឺ abscissa និងចំណុចប្រសព្វនៃ parabola ជាមួយអ័ក្ស គោ. អាស្រ័យហេតុនេះ
ឧទាហរណ៍ ៧.ស្វែងរកតំបន់ដែលព័ទ្ធជុំវិញរវាងអ័ក្ស abscissa ( គោ) និងរលកស៊ីនុសពីរដែលនៅជាប់គ្នា។
ដំណោះស្រាយ។ ផ្ទៃនៃតួលេខនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត (2):
.
ចូរយើងស្វែងរកពាក្យនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា៖
.
.
ទីបំផុតយើងរកឃើញតំបន់នេះ៖
.
ឧទាហរណ៍ ៨.ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលព័ទ្ធជុំវិញរវាងប៉ារ៉ាបូឡា និងខ្សែកោង។
ដំណោះស្រាយ។ ចូរបង្ហាញពីសមីការនៃបន្ទាត់តាមរយៈហ្គេម៖
តំបន់យោងទៅតាមរូបមន្ត (2) ត្រូវបានទទួល
,
កន្លែងណា កនិង ខ- abscissas នៃចំណុច កនិង ខ. ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយការដោះស្រាយសមីការជាមួយគ្នា៖
ទីបំផុតយើងរកឃើញតំបន់នេះ៖
ហើយចុងក្រោយករណីនៅពេលដែលផ្ទៃនៃតួលេខមួយអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត (3) ។
ឧទាហរណ៍ 9 ។ស្វែងរកតំបន់នៃតួរលេខដែលព័ទ្ធជុំវិញរវាងប៉ារ៉ាបូឡា 
និង។
តាមការពិត ដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខ អ្នកមិនត្រូវការចំណេះដឹងច្រើនអំពីអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ និងច្បាស់លាស់នោះទេ។ ភារកិច្ច "គណនាផ្ទៃដីដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់" តែងតែពាក់ព័ន្ធនឹងការសាងសង់គំនូរដូច្នេះចំណេះដឹង និងជំនាញគូររបស់អ្នកនឹងក្លាយជាបញ្ហាសំខាន់ជាងនេះ។ ក្នុងន័យនេះ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការធ្វើឱ្យការចងចាំរបស់អ្នកឡើងវិញនូវក្រាហ្វនៃមេ មុខងារបឋមហើយយ៉ាងហោចណាស់ អាចសង់បន្ទាត់ត្រង់ និងអ៊ីពែបូឡាបាន។
រាងចតុកោណកែងគឺជារូបសំប៉ែតដែលចងភ្ជាប់ដោយអ័ក្ស បន្ទាត់ត្រង់ និងក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តលើផ្នែកដែលមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅលើចន្លោះពេលនេះ។ សូមឱ្យតួលេខនេះមានទីតាំងនៅ មិនតិចជាងអ័ក្ស x៖
បន្ទាប់មក តំបន់នៃ trapezoid curvilinear គឺស្មើនឹងចំនួនអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់. អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ណាមួយ (ដែលមាន) មានអត្ថន័យធរណីមាត្រល្អណាស់។
តាមទស្សនៈនៃធរណីមាត្រ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺ AREA.
នោះគឺអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ (ប្រសិនបើវាមាន) ធរណីមាត្រត្រូវគ្នាទៅនឹងផ្ទៃនៃតួលេខជាក់លាក់មួយ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ អាំងតេក្រាលកំណត់ខ្សែកោងនៅលើយន្តហោះដែលមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស (អ្នកដែលប្រាថ្នាអាចគូរបាន) ហើយអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ខ្លួនឯងគឺជាលេខ ស្មើនឹងតំបន់ trapezoid កោងដែលត្រូវគ្នា។
ឧទាហរណ៍ ១
នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ការងារធម្មតា។ ដំបូងនិង ពេលដ៏សំខាន់បំផុត។ដំណោះស្រាយ - គូរគំនូរ. លើសពីនេះទៅទៀតគំនូរត្រូវតែត្រូវបានសាងសង់ ស្តាំ.
នៅពេលសាងសង់គំនូរខ្ញុំសូមណែនាំតាមលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ ជាដំបូងវាជាការប្រសើរក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់ទាំងអស់ (ប្រសិនបើមាន) និងតែមួយគត់ បន្ទាប់មក- ប៉ារ៉ាបូឡា អ៊ីពែបូឡា ក្រាហ្វនៃមុខងារផ្សេងៗ។ វាមានផលចំណេញច្រើនជាងក្នុងការបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ ចំណុចដោយចំណុច។
នៅក្នុងបញ្ហានេះ ដំណោះស្រាយអាចមើលទៅដូចនេះ។
តោះគូររូប (ចំណាំថាសមីការកំណត់អ័ក្ស)៖
នៅលើផ្នែក ក្រាហ្វនៃមុខងារមានទីតាំងនៅ ខាងលើអ័ក្ស, នោះហើយជាមូលហេតុដែល:
ចម្លើយ៖
បន្ទាប់ពីកិច្ចការត្រូវបានបញ្ចប់ វាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការមើលគំនូរ និងស្វែងយល់ថាតើចម្លើយគឺពិតឬអត់។ ក្នុងករណីនេះ "ដោយភ្នែក" យើងរាប់ចំនួនក្រឡានៅក្នុងគំនូរ - ល្អវានឹងមានប្រហែល 9 វាហាក់ដូចជាការពិត។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងទទួលបាន, និយាយថា, ចម្លើយ: 20 ឯកតាការ៉េបន្ទាប់មកវាច្បាស់ណាស់ថាកំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងនៅកន្លែងណាមួយ - កោសិកាចំនួន 20 ច្បាស់ណាស់មិនសមនឹងតួរលេខនៅក្នុងសំណួរទេ យ៉ាងហោចណាស់មួយដប់។ ប្រសិនបើចម្លើយគឺអវិជ្ជមាន នោះកិច្ចការក៏ត្រូវបានដោះស្រាយមិនត្រឹមត្រូវដែរ។
ឧទាហរណ៍ ៣
គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ និងអ័ក្សសំរបសំរួល។
ដំណោះស្រាយ: តោះធ្វើគំនូរ
ប្រសិនបើរាងពងក្រពើកោងមានទីតាំងនៅ នៅក្រោមអ័ក្ស(ឬយ៉ាងហោចណាស់ មិនខ្ពស់ជាងអ័ក្សដែលបានផ្តល់ឱ្យ) បន្ទាប់មកតំបន់របស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖
ក្នុងករណីនេះ:
យកចិត្តទុកដាក់! ការងារទាំងពីរប្រភេទមិនគួរច្រឡំទេ។:
1) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យដោះស្រាយជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយគ្មានអត្ថន័យធរណីមាត្រ នោះវាអាចជាអវិជ្ជមាន។
2) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នោះតំបន់នោះតែងតែវិជ្ជមាន! នោះហើយជាមូលហេតុដែលដកលេចឡើងនៅក្នុងរូបមន្តដែលទើបតែពិភាក្សា។
នៅក្នុងការអនុវត្ត ភាគច្រើនជាញឹកញាប់តួលេខនេះស្ថិតនៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាលខាងលើ និងខាងក្រោម ហើយដូច្នេះ ពីបញ្ហាសាលាសាមញ្ញបំផុត យើងបន្តទៅឧទាហរណ៍ដ៏មានអត្ថន័យបន្ថែមទៀត។
ឧទាហរណ៍ 4
ស្វែងរកតំបន់នៃតួយន្តហោះដែលចងដោយបន្ទាត់ , .
ដំណោះស្រាយ៖ ដំបូងអ្នកត្រូវបំពេញគំនូរ។ និយាយជាទូទៅនៅពេលសាងសង់គំនូរនៅក្នុងបញ្ហាតំបន់យើងចាប់អារម្មណ៍បំផុតលើចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។ ចូររកចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់ត្រង់។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមពីរវិធី។ វិធីសាស្រ្តដំបូងគឺការវិភាគ។ យើងដោះស្រាយសមីការ៖
នេះមានន័យថាដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូលគឺ ដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូលគឺ .
បើអាចធ្វើបាន ប្រសើរជាងកុំប្រើវិធីនេះ។.
វាមានផលចំណេញច្រើន និងលឿនជាងមុនក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់តាមចំនុច ហើយដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្មកាន់តែច្បាស់ "ដោយខ្លួនឯង"។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រវិភាគក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់នៅតែត្រូវប្រើពេលខ្លះ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ក្រាហ្វមានទំហំធំល្មម ឬការសាងសង់លម្អិតមិនបានបង្ហាញពីដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល (ពួកវាអាចជាប្រភាគ ឬអសមហេតុផល)។ ហើយយើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍បែបនេះផងដែរ។
ចូរយើងត្រឡប់ទៅភារកិច្ចរបស់យើងវិញ៖ វាជារឿងសមហេតុសមផលជាងមុនក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់ដំបូង ហើយមានតែប៉ារ៉ាបូឡាប៉ុណ្ណោះ។ តោះធ្វើគំនូរ៖
ហើយឥឡូវនេះ រូបមន្តការងារ ៖ ប្រសិនបើមានមុខងារបន្តមួយចំនួននៅលើផ្នែក ធំជាង ឬស្មើអនុគមន៍បន្តមួយចំនួន បន្ទាប់មកផ្ទៃនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ និងបន្ទាត់ , អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖
នៅទីនេះអ្នកមិនចាំបាច់គិតអំពីកន្លែងដែលតួលេខមានទីតាំងនៅ - ខាងលើអ័ក្សឬខាងក្រោមអ័ក្សហើយនិយាយប្រហែល។ វាសំខាន់ថាក្រាហ្វណាខ្ពស់ជាង(ទាក់ទងទៅនឹងក្រាហ្វផ្សេងទៀត) ហើយមួយណានៅខាងក្រោម.
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា វាច្បាស់ណាស់ថានៅលើផ្នែក ប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ ហើយដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីដកពី
ដំណោះស្រាយដែលបានបញ្ចប់អាចមើលទៅដូចនេះ៖
តួលេខដែលចង់បានត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡាខាងលើ និងបន្ទាត់ត្រង់ខាងក្រោម។
នៅលើផ្នែកនេះបើយោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា:
ចម្លើយ៖
ឧទាហរណ៍ 4
គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ , , , .
ដំណោះស្រាយ៖ ដំបូងយើងធ្វើការគូរ៖
តួរលេខដែលតំបន់ដែលយើងត្រូវស្វែងរកគឺពណ៌ខៀវ(មើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលក្ខខណ្ឌ - របៀបដែលតួលេខត្រូវបានកំណត់!) ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តដោយសារតែការមិនយកចិត្តទុកដាក់ "ភាពមិនទៀងទាត់" កើតឡើងជាញឹកញាប់ដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដែលមានស្រមោលពណ៌បៃតង!
ឧទាហរណ៍នេះក៏មានប្រយោជន៍ផងដែរដែលវាគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ពីរ។
ពិត:
1) នៅលើផ្នែកខាងលើអ័ក្សមានក្រាហ្វនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ;
2) នៅលើផ្នែកខាងលើអ័ក្សមានក្រាហ្វនៃអ៊ីពែបូឡា។
វាច្បាស់ណាស់ថាតំបន់អាច (និងគួរ) ត្រូវបានបន្ថែម ដូច្នេះ៖
របៀបគណនាបរិមាណតួរង្វិលប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់?
ស្រមៃមើលតួរលេខសំប៉ែតនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ។ យើងបានរកឃើញតំបន់របស់វារួចហើយ។ ប៉ុន្តែលើសពីនេះ តួលេខនេះក៏អាចបង្វិលបាន និងបង្វិលតាមពីរវិធី៖
ជុំវិញអ័ក្ស x;
ជុំវិញអ័ក្ស y .
អត្ថបទនេះនឹងពិនិត្យមើលករណីទាំងពីរ។ វិធីសាស្រ្តទីពីរនៃការបង្វិលគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសវាបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកបំផុតប៉ុន្តែតាមពិតដំណោះស្រាយគឺស្ទើរតែដូចគ្នានឹងការបង្វិលជាទូទៅជុំវិញអ័ក្ស x ។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងប្រភេទនៃការបង្វិលដ៏ពេញនិយមបំផុត។
ការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាលទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត
ការគណនាតំបន់
អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍មិនអវិជ្ជមានបន្ត f(x) គឺស្មើនឹងលេខផ្ទៃនៃរាងចតុកោណកែងដែលជាប់នឹងខ្សែកោង y = f(x) អ័ក្ស O x និងបន្ទាត់ត្រង់ x = a និង x = b ។ ស្របតាមនេះ រូបមន្តតំបន់ត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការគណនាតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ។
កិច្ចការទី 1. គណនាផ្ទៃដែលចងដោយបន្ទាត់ y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 ។
ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងបង្កើតតួរលេខដែលតំបន់របស់យើងនឹងត្រូវគណនា។
y = x 2 + 1 គឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមែករបស់វាតម្រង់ទៅខាងលើ ហើយប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរឡើងលើដោយឯកតាមួយទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស O y (រូបភាពទី 1) ។
រូបភាពទី 1. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x 2 + 1
កិច្ចការទី 2. គណនាផ្ទៃដែលចងដោយបន្ទាត់ y = x 2 – 1, y = 0 ក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ 1 ។
 |
ដំណោះស្រាយ។ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡានៃមែកធាងដែលត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ ហើយប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស O y ចុះក្រោមដោយឯកតាមួយ (រូបភាពទី 2) ។
រូបភាពទី 2. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x 2 − 1
កិច្ចការទី 3. ធ្វើគំនូរមួយហើយគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់
y = 8 + 2x − x 2 និង y = 2x − 4 ។
ដំណោះស្រាយ។ទីមួយនៃបន្ទាត់ទាំងពីរនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែករបស់វាតម្រង់ចុះក្រោម ចាប់តាំងពីមេគុណនៃ x 2 គឺអវិជ្ជមាន ហើយបន្ទាត់ទីពីរគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វអ័ក្សកូអរដោនេទាំងពីរ។
ដើម្បីសង់ប៉ារ៉ាបូឡា យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលរបស់វា៖ y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscissa នៃ vertex; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ជាការចាត់តាំងរបស់វា N(1;9) គឺជាចំនុចកំពូល។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់ត្រង់ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
សមីការផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដែលផ្នែកខាងឆ្វេងស្មើគ្នា។
យើងទទួលបាន 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ឬ x 2 – 12 = 0 មកពីណា 
.
ដូច្នេះចំនុចគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាពទី 1)។
រូបភាពទី 3 ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 8 + 2x – x 2 និង y = 2x – 4
ចូរយើងបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ y = 2x – 4 ។ វាឆ្លងកាត់ចំនុច (0; -4), (2;0) នៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។
ដើម្បីបង្កើតប៉ារ៉ាបូឡា អ្នកក៏អាចប្រើចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងអ័ក្ស 0x ពោលគឺឫសនៃសមីការ 8 + 2x – x 2 = 0 ឬ x 2 – 2x – 8 = 0 ។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta វាងាយស្រួល។ ដើម្បីរកឫសរបស់វា៖ x 1 = 2, x 2 = 4 ។
រូបភាពទី 3 បង្ហាញពីតួរលេខ (ផ្នែកប៉ារ៉ាបូល M 1 N M 2) ដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ទាំងនេះ។
ផ្នែកទីពីរនៃបញ្ហាគឺស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខនេះ។ តំបន់របស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់យោងទៅតាមរូបមន្ត 
.
ទាក់ទងនឹងលក្ខខណ្ឌនេះ យើងទទួលបានអាំងតេក្រាល៖ 
2 ការគណនាបរិមាណនៃតួនៃការបង្វិល
បរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានពីការបង្វិលនៃខ្សែកោង y = f (x) ជុំវិញអ័ក្ស O x ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
នៅពេលបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស O y រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖
កិច្ចការទី 4 ។ កំណត់បរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានពីការបង្វិលនៃ trapezoid រាងកោងដែលចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ x = 0 x = 3 និងកោង y = ជុំវិញអ័ក្ស O x ។
ដំណោះស្រាយ។តោះគូររូបភាព (រូបភាពទី 4) ។
រូបភាពទី 4. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y =
បរិមាណដែលត្រូវការគឺ 
កិច្ចការទី 5 ។ គណនាបរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានពីការបង្វិលនៃរាងចតុកោណកែងដែលចងដោយខ្សែកោង y = x 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ y = 0 និង y = 4 ជុំវិញអ័ក្ស O y ។
ដំណោះស្រាយ។យើងមាន:
ពិនិត្យមើលសំណួរ