Sudėtinės funkcijos išvestinė apskaičiuojama naudojant formulę. Sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklė. Paprastesnis pavyzdys, kurį reikia išspręsti patiems

Nuo tada, kai atvykote čia, tikriausiai jau matėte šią formulę vadovėlyje

ir padaryk tokį veidą:

Drauge, nesijaudink! Tiesą sakant, viskas yra tiesiog baisu. Jūs tikrai viską suprasite. Tik vienas prašymas – skaitykite straipsnį lėtai, stenkitės suprasti kiekvieną žingsnį. Rašiau kuo paprasčiau ir aiškiau, bet vis tiek reikia suprasti mintį. Ir būtinai išspręskite užduotis iš straipsnio.

Kas yra sudėtinga funkcija?

Įsivaizduokite, kad kraustotės į kitą butą ir dėl to kraunatės daiktus į dideles dėžes. Tarkime, jums reikia surinkti keletą smulkių daiktų, pavyzdžiui, mokyklinę rašymo medžiagą. Jei tiesiog įmesite juos į didžiulę dėžę, jie pasimes, be kitų dalykų. Norėdami to išvengti, pirmiausia įdėkite juos, pavyzdžiui, į maišelį, kurį vėliau įdėkite didelė dėžė, po to užsandarinate. Šis „sudėtingas“ procesas parodytas toliau pateiktoje diagramoje:

Atrodytų, ką su tuo turi matematika? Taip, nepaisant to, kad sudėtinga funkcija formuojama LYGIAI TAIP pat! Tik mes „pakuojame“ ne sąsiuvinius ir rašiklius, o \(x\), o „paketai“ ir „dėžės“ skiriasi.

Pavyzdžiui, paimkime x ir „supakuosime“ į funkciją:

Dėl to, žinoma, gauname \(\cos⁡x\). Tai mūsų „daiktų krepšys“. Dabar įdėkime jį į „dėžutę“ – supakuokite, pavyzdžiui, į kubinę funkciją.

Kas bus galų gale? Taip, teisingai, bus „daiktų maišas dėžutėje“, tai yra „X kosinusas kubo pavidalu“.

Gautas dizainas yra sudėtinga funkcija. Nuo paprasto jis skiriasi tuo Vienam X iš eilės taikomi KELI „įtaka“ (paketai). ir pasirodo tarsi „funkcija iš funkcijos“ – „pakavimas pakuotėje“.

Mokyklos kurse yra labai nedaug šių „paketų“ tipų, tik keturi:

Dabar „supakuosime“ X į eksponentinę funkciją su 7 baze, o tada į trigonometrinę funkciją. Mes gauname:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Dabar „supakuosime“ X du kartus trigonometrinės funkcijos, pirmiausia , o paskui:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Paprasta, tiesa?

Dabar pats parašykite funkcijas, kur x:
- pirmiausia jis „supakuotas“ į kosinusą, o po to į eksponentinę funkciją su baze \(3\);
- pirmiausia į penktąją laipsnį, o paskui į liestinę;
- pirmiausia logaritmas iki bazės \(4\) , tada į laipsnį \(-2\).

Atsakymus į šią užduotį rasite straipsnio pabaigoje.

Ar galime X „supakuoti“ ne du, o tris kartus? Jokiu problemu! Ir keturis, ir penkis, ir dvidešimt penkis kartus. Pavyzdžiui, čia yra funkcija, kurioje x yra „supakuotas“ \(4\) kartus:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Bet tokių formulių mokyklinėje praktikoje nerasi (mokiniams labiau pasisekė – jų gali būti sudėtingiau☺).

Sudėtingos funkcijos „išpakavimas“.

Dar kartą pažiūrėkite į ankstesnę funkciją. Ar galite išsiaiškinti „pakavimo“ seką? Į ką X buvo prikimštas pirmas, į ką tada ir taip iki pat pabaigos. Tai yra, kuri funkcija kurioje yra įdėta? Paimkite popieriaus lapą ir užsirašykite, ką manote. Tai galite padaryti naudodami grandinę su rodyklėmis, kaip rašėme aukščiau, arba bet kokiu kitu būdu.

Dabar teisingas atsakymas: pirmiausia x buvo „supakuotas“ į \(4\) laipsnį, tada rezultatas supakuotas į sinusą, o savo ruožtu į logaritmą į bazę \(2\) , ir galiausiai visa ši konstrukcija buvo sugrūsta į galios penketuką.

Tai yra, jums reikia išvynioti seką ATvirkštine tvarka. Ir čia yra užuomina, kaip tai padaryti lengviau: iš karto pažvelk į X – nuo ​​jo reikia šokti. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Pavyzdžiui, čia yra ši funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Mes žiūrime į X – kas jam atsitiks pirmiausia? Paimta iš jo. Ir tada? Imama rezultato tangentė. Seka bus tokia pati:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Kitas pavyzdys: \(y=\cos⁡((x^3))\). Išanalizuokime – iš pradžių kubavome X, o paskui paėmėme rezultato kosinusą. Tai reiškia, kad seka bus tokia: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atkreipkite dėmesį, funkcija atrodo panaši į pačią pirmąją (kur yra nuotraukos). Bet tai yra visiškai kitokia funkcija: čia kube yra x (ty \(\cos⁡((x·x·x)))\), o kube yra kosinusas \(x\) ( tai yra \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Šis skirtumas atsiranda dėl skirtingų „pakavimo“ sekų.

Paskutinis pavyzdys (su svarbi informacija jame): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Aišku, kad čia jie pirmiausia atliko aritmetinius veiksmus su x, tada paėmė rezultato sinusą: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ir šis svarbus punktas: nepaisant to, kad aritmetinės operacijos savaime nėra funkcijos, čia jos veikia ir kaip „pakavimo“ būdas. Pasigilinkime į šį subtilumą.

Kaip sakiau aukščiau, paprastose funkcijose x „supakuotas“ vieną kartą, o sudėtingose ​​- dvi ar daugiau. Be to, bet koks paprastų funkcijų derinys (tai yra jų suma, skirtumas, daugyba ar padalijimas) taip pat yra paprasta funkcija. Pavyzdžiui, \(x^7\) yra paprasta funkcija, taip pat ir \(ctg x\). Tai reiškia, kad visi jų deriniai yra paprastos funkcijos:

\(x^7+ ctg x\) – paprastas,
\(x^7· lovelė x\) – paprasta,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – paprastas ir kt.

Tačiau jei tokiam deriniui bus pritaikyta dar viena funkcija, ji taps sudėtinga, nes bus du „paketai“. Žiūrėti diagramą:

Gerai, pirmyn dabar. Parašykite „vyniojimo“ funkcijų seką:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Atsakymai vėl pateikiami straipsnio pabaigoje.

Vidinės ir išorinės funkcijos

Kodėl turime suprasti funkcijų įdėjimą? Ką tai mums duoda? Faktas yra tas, kad be tokios analizės negalėsime patikimai rasti aukščiau aptartų funkcijų išvestinių.

O norint eiti toliau, mums reikės dar dviejų sąvokų: vidinių ir išorinių funkcijų. Tai labai paprastas dalykas, be to, iš tikrųjų mes juos jau išanalizavome aukščiau: jei prisiminsime savo analogiją pačioje pradžioje, tada vidinė funkcija yra „paketas“, o išorinė – „dėžutė“. Tie. tai, į ką X „įvyniojama“ pirmiausia, yra vidinė funkcija, o į ką „įvyniojama“ vidinė funkcija – jau išorinė. Na, aišku kodėl – ji lauke, vadinasi, išorė.

Šiame pavyzdyje: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) yra vidinė ir
- išorinis.

Ir čia: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) yra vidinis ir
- išorinis.

Užbaikite paskutinę sudėtingų funkcijų analizės praktiką ir pagaliau pereikime prie to, nuo ko visi buvome pradėti – rasime sudėtingų funkcijų išvestinius:

Lentelėje užpildykite tuščias vietas:

Sudėtingos funkcijos išvestinė

Bravo mums, pagaliau priėjome prie šios temos „boso“ – tiesą sakant, išvestinio sudėtinga funkcija, o konkrečiai, į tą labai baisią formulę nuo straipsnio pradžios.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ši formulė skamba taip:

Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi išorinės funkcijos išvestinės pastovios vidinės funkcijos ir vidinės funkcijos išvestinei sandaugai.

Ir nedelsdami pažiūrėkite į „žodis po žodžio“ analizavimo diagramą, kad suprastumėte, kas yra kas:

Tikiuosi, kad terminai „darinė“ ir „produktas“ nesukels jokių sunkumų. „Sudėtinga funkcija“ - mes jau ją sutvarkėme. Laimikis „išvestinėje“ išorinė funkcija pagal nepakitusią vidinę“. Kas tai yra?

Atsakymas: Tai įprastas išorinės funkcijos darinys, kuriame keičiasi tik išorinė funkcija, o vidinė išlieka ta pati. Vis dar neaišku? Gerai, panaudokime pavyzdį.

Turėkime funkciją \(y=\sin⁡(x^3)\). Aišku, kad vidinė funkcija čia yra \(x^3\), o išorinė
. Dabar suraskime išorės išvestinį pastovaus interjero atžvilgiu.

Pateikiami išvestinių skaičiavimo, naudojant kompleksinės funkcijos išvestinės formulę, pavyzdžiai.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Sudėtinės funkcijos išvestinės formulės įrodymas

Pagrindinės formulės

Čia pateikiame išvestinių išvestinių skaičiavimo pavyzdžius šias funkcijas:
; ; ; ; .

Jei funkcija gali būti pavaizduota kaip sudėtinga funkcija sekančią formą:
,
tada jo išvestinė nustatoma pagal formulę:
.
Toliau pateiktuose pavyzdžiuose šią formulę parašysime taip:
.
Kur.
Čia apatiniai indeksai arba , esantys po išvestiniu ženklu, žymi kintamuosius, pagal kuriuos diferencijuojama.

Paprastai išvestinių lentelėse pateikiamos funkcijų išvestinės iš kintamojo x. Tačiau x yra formalus parametras. Kintamąjį x galima pakeisti bet kuriuo kitu kintamuoju. Todėl, atskirdami funkciją nuo kintamojo, išvestinių lentelėje kintamąjį x tiesiog pakeičiame į kintamąjį u.

Paprasti pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite sudėtingos funkcijos išvestinę
.

Užsirašykime suteikta funkcija lygiaverte forma:
.
Darinių lentelėje randame:
;
.

Pagal sudėtingos funkcijos išvestinės formulę turime:
.
čia .

2 pavyzdys

Raskite išvestinę
.

Iš išvestinio ženklo paimame konstantą 5 ir iš išvestinių lentelės randame:
.

.
čia .

3 pavyzdys

Raskite išvestinę
.

Išimame konstantą -1 vedinio ženklui ir iš vedinių lentelės randame:
;
Iš darinių lentelės randame:
.

Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę:
.
čia .

Sudėtingesni pavyzdžiai

Sudėtingesniuose pavyzdžiuose sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę taikome kelis kartus. Šiuo atveju išvestinę skaičiuojame nuo galo. Tai yra, suskaidome funkciją į sudedamąsias dalis ir randame paprasčiausių dalių išvestinius darinių lentelė. Mes taip pat naudojame sumų diferencijavimo taisyklės, produktai ir frakcijos. Tada atliekame pakaitalus ir taikome kompleksinės funkcijos išvestinės formulę.

4 pavyzdys

Raskite išvestinę
.

Pasirinkime paprasčiausią formulės dalį ir suraskime jos išvestinę. .

.
Čia mes panaudojome žymėjimą
.

Remdamiesi gautais rezultatais randame kitos pradinės funkcijos dalies išvestinę. Sumos diferencijavimui taikome taisyklę:
.

Dar kartą taikome sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę.

.
čia .

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę
.

Pasirinkime paprasčiausią formulės dalį ir iš išvestinių lentelės suraskime jos išvestinę. .

Taikome sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklę.
.
Čia
.

Atskirkime kita dalis, pritaikius gautus rezultatus.
.
Čia
.

Išskirkime kitą dalį.

.
Čia
.

Dabar randame norimos funkcijos išvestinę.

.
Čia
.

Taip pat žiūrėkite:

Labai lengva prisiminti.

Na, toli nenueikime, iš karto apsvarstykime atvirkštinę funkciją. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinei funkcijai? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj to rašome.

Kam jis lygus? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Eksponentinis ir natūralusis logaritmas yra unikaliai paprastos funkcijos iš išvestinės perspektyvos. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikai diferencialą vadina tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

1. taške;
2. taške;
3. taške;
4. taške.

Sprendimai:

1. (išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes š tiesinė funkcija, Prisiminti?);

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: pristatykime naują funkciją ir suraskime jos prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijų ir išvestines;
2. Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją sumažinti iki naujos bazės:

Tam naudosime paprasta taisyklė: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jo negalima užrašyti daugiau paprasta forma. Todėl atsakyme paliekame jį tokia forma.

Atkreipkite dėmesį, kad čia yra dviejų funkcijų koeficientas, todėl taikome atitinkamą diferenciacijos taisyklę:

Šiame pavyzdyje dviejų funkcijų sandauga:

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to parašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Išvestinės iš eksponentinės ir logaritmines funkcijas beveik niekada nedalyvauja vieningame valstybiniame egzamine, bet nepakenktų juos pažinti.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas yra sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums suteikiamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji tai, ką gavau (susiriši kaspinu). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Mūsų pavyzdžiu, .

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: iš pradžių pakelkite kvadratą, o tada ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi funkcija sudėtingos funkcijos: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

1. Kokį veiksmą atliksime pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuokime sinusą, o tik tada supjaustykime. Tai reiškia, kad tai vidinė, bet išorinė funkcija.
   O pradinė funkcija yra jų sudėtis: .
2. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
3. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
4. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
5. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime savo šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Pritaikyta originalus pavyzdys atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

Sprendimai:

1) Vidinis: ;

Išorinis: ;

2) Vidinis: ;

(Tik nemėginkite jo nukirpti! Niekas neišnyra iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis: ;

Išorinis: ;

Iš karto aišku, kad tai trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau pati savaime yra kompleksinė funkcija, iš jos ištraukiame ir šaknį, tai yra, atliekame trečią veiksmą (šokoladą dedame į vyniotinį). ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šią funkciją vis tiek „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo pabaigos.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.

Tokiais atvejais patogu sunumeruoti veiksmus. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo „išoriškesnė“ bus atitinkama funkcija. Veiksmų seka yra tokia pati kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų eigą.

1. Radikali išraiška. .

2. Šaknis. .

3. Sinusas. .

4. Kvadratas. .

5. Viską sudėti:

IŠVEDINĖ VEIKLA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
2. Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
3. Pirmo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Tai pagrindinė tema nusprendėme skirti šios dienos straipsnį. Kas yra darinys, koks jo fizinis ir geometrine prasme kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

Fizinė prasmė išvestinė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis tam tikrą laiką:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: nustatykite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:

Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai pasitaiko spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Per trumpą laiką padėsime išspręsti sunkiausią testą ir suprasti užduotis, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.

Po išankstinio artilerijos paruošimo pavyzdžiai su 3-4-5 funkcijų lizdais bus mažiau baisūs. Galbūt kai kuriems šie du pavyzdžiai atrodys sudėtingi, bet jei juos suprasite (kas nors nukentės), tada beveik visa kita diferencialinis skaičiavimas Tai atrodys kaip vaiko pokštas.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip jau buvo pažymėta, ieškant sudėtingos funkcijos išvestinę, pirmiausia reikia Teisingai SUPRASTAS savo investicijas. Tais atvejais, kai kyla abejonių, primenu jums naudingą techniką: paimame, pavyzdžiui, eksperimentinę „x“ reikšmę ir bandome (protiškai arba juodraštyje) šią reikšmę pakeisti „siaubinga išraiška“.

1) Pirmiausia turime apskaičiuoti išraišką, o tai reiškia, kad suma yra giliausias įterpimas.

2) Tada reikia apskaičiuoti logaritmą:

4) Tada supjaustykite kosinusą:

5) Penktame etape skirtumas:

6) Ir galiausiai, tolimiausia funkcija yra kvadratinė šaknis:

Sudėtingos funkcijos diferencijavimo formulė yra taikomi atvirkštine tvarka, nuo išorinės funkcijos iki vidinės. Mes nusprendžiame:

Atrodo be klaidų:

1) Paimkite kvadratinės šaknies išvestinę.

2) Paimkite skirtumo išvestinę taisyklę

3) Trigubo išvestinė lygi nuliui. Antruoju nariu imame laipsnio (kubo) išvestinę.

4) Paimkite kosinuso išvestinę.

6) Ir galiausiai paimame giliausio įterpimo išvestinį.

Tai gali atrodyti per sunku, bet tai nėra pats žiauriausias pavyzdys. Paimkite, pavyzdžiui, Kuznecovo kolekciją ir įvertinsite visą analizuojamo darinio grožį ir paprastumą. Pastebėjau, kad jie mėgsta duoti panašų dalyką per egzaminą, kad patikrintų, ar studentas supranta, kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, ar nesupranta.

Šis pavyzdys skirtas jums patiems išspręsti.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Patarimas: pirmiausia taikome tiesiškumo taisykles ir produktų diferenciacijos taisyklę

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Atėjo laikas pereiti prie kažko mažesnio ir gražesnio.
Neretai pavyzdyje parodoma ne dviejų, o trijų funkcijų sandauga. Kaip rasti trijų veiksnių sandaugos išvestinę?

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Pirmiausia pažiūrėkime, ar įmanoma trijų funkcijų sandaugą paversti dviejų funkcijų sandauga? Pavyzdžiui, jei gaminyje būtų du daugianariai, galėtume atidaryti skliaustus. Tačiau nagrinėjamame pavyzdyje visos funkcijos skiriasi: laipsnis, eksponentas ir logaritmas.

Tokiais atvejais būtina nuosekliai taikyti produktų diferencijavimo taisyklę du kartus

Apgaulė ta, kad raide „y“ žymime dviejų funkcijų sandaugą: , o „ve“ žymime logaritmą: . Kodėl tai galima padaryti? Ar tikrai - tai ne dviejų veiksnių rezultatas ir taisyklė neveikia?! Nėra nieko sudėtingo:

Dabar belieka taisyklę taikyti antrą kartą skliausteliui:

Taip pat galite susisukti ir ką nors įdėti iš skliaustų, tačiau tokiu atveju geriau palikti atsakymą tiksliai šioje formoje - bus lengviau patikrinti.

Nagrinėjamas pavyzdys gali būti išspręstas antruoju būdu:

Abu sprendimai yra visiškai lygiaverčiai.

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys pavyzdyje, jis išspręstas naudojant pirmąjį metodą.

Pažvelkime į panašius pavyzdžius su trupmenomis.

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite eiti keliais būdais:

Arba taip:

Tačiau sprendimas bus parašytas kompaktiškiau, jei pirmiausia pasinaudosime koeficiento diferenciacijos taisykle , imant visą skaitiklį:

Iš principo pavyzdys išspręstas, o palikus tokį, koks yra, tai nebus klaida. Bet jei turite laiko, visada patartina patikrinti juodraštį, ar galima supaprastinti atsakymą?

Sumažinkime skaitiklio išraišką iki Bendras vardiklis ir atsikratyti trijų aukštų trupmenos:

Papildomų supaprastinimų trūkumas yra tas, kad kyla pavojus suklysti ne ieškant išvestinio, o atliekant banalias mokyklos transformacijas. Kita vertus, mokytojai dažnai atmeta užduotį ir prašo „atsiminti“ išvestinį.

Paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes ir toliau įvaldome išvestinės radimo metodus, o dabar nagrinėsime tipišką atvejį, kai diferencijavimui siūlomas „siaubingas“ logaritmas