Lyginių ir nelyginių funkcijų sprendimas. Lyginių ir nelyginių funkcijų grafikas
















Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Tikslai:

  • formuoti funkcijos pariteto ir nelygumo sampratą, išmokyti šias savybes nustatyti ir naudoti kada funkcijų tyrimas, braižymas;
  • ugdyti mokinių kūrybinę veiklą, loginis mąstymas, gebėjimas lyginti, apibendrinti;
  • ugdyti sunkų darbą ir matematinę kultūrą; ugdyti bendravimo įgūdžius .

Įranga: multimedijos instaliacija, interaktyvi lenta, dalomoji medžiaga.

Darbo formos: frontalinė ir grupinė su paieškos ir tiriamosios veiklos elementais.

Informacijos šaltiniai:

1. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovičius. Vadovėlis.
2. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovich. Problemų knyga.
3. Algebra 9 kl. Užduotys mokinių mokymuisi ir tobulėjimui. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PAMOKOS EIGA

1. Organizacinis momentas

Pamokos tikslų ir uždavinių nustatymas.

2. Namų darbų tikrinimas

Nr.10.17 (9 klasės užduočių knygelė. A.G. Mordkovich).

A) adresu = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija didėja su X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija ribojama iš apačios.
7. adresu naim = – 3, adresu naibas neegzistuoja
8. Funkcija yra nuolatinė.

(Ar naudojote funkcijų tyrimo algoritmą?) Skaidrė.

2. Patikrinkime lentelę, kurios jūsų paprašė iš skaidrės.

Užpildykite lentelę

Apibrėžimo sritis

Funkcijos nuliai

Ženklo pastovumo intervalai

 Grafo susikirtimo su Oy taškų koordinatės

x = –5,
x = 2

x € (–5;3) U
U(2;∞)

x € (–∞;–5) U
U (–3;2)

x ∞ –5,
x ≠ 2

x € (–5;3) U
U(2;∞)

x € (–∞;–5) U
U (–3;2)

x ≠ –5,
x ≠ 2

x € (–∞; –5) U
U(2;∞)

x € (–5; 2)

3. Žinių atnaujinimas

– Suteiktos funkcijos.
– Nurodykite kiekvienos funkcijos apibrėžimo apimtį.
– Palyginkite kiekvienos funkcijos reikšmę kiekvienai argumentų reikšmių porai: 1 ir – 1; 2 ir – 2.
– Kurioms iš šių funkcijų apibrėžimo srityje galioja lygybės f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (gautus duomenis įveskite į lentelę) Skaidrė

f(1) ir f(– 1) f(2) ir f(– 2) grafikai f(– X) = –f(X) f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =

X ≠ 0
6. f(X)= X > –1

ir neapibrėžtas

4. Nauja medžiaga

– Atlikdami šį darbą, vaikinai, nustatėme dar vieną funkcijos savybę, jums nepažįstamą, bet ne mažiau svarbią už kitas – tai funkcijos tolygumas ir keistumas. Užsirašykite pamokos temą: „Lyginės ir nelyginės funkcijos“, mūsų užduotis – išmokti nustatyti funkcijos lygumą ir nelygumą, išsiaiškinti šios savybės reikšmę funkcijų studijoms ir brėžiant grafikus.
Taigi, susiraskime apibrėžimus vadovėlyje ir skaitykime (p. 110) . Skaidrė

Def. 1 Funkcija adresu = f (X), vadinamas aibėje X net, jei už kokią nors vertę XЄ X vykdomas lygybė f(–x)= f(x). Pateikite pavyzdžių.

Def. 2 Funkcija y = f(x), apibrėžiamas aibėje X vadinamas nelyginis, jei už kokią nors vertę XЄ X galioja lygybė f(–х)= –f(х). Pateikite pavyzdžių.

Kur mes sutikome terminus „lyginis“ ir „nelyginis“?
Kaip manote, kuri iš šių funkcijų bus lygi? Kodėl? Kurie yra nelyginiai? Kodėl?
Bet kuriai formos funkcijai adresu= x n, Kur n– sveikasis skaičius, galima teigti, kad funkcija nelyginė kai n– nelyginis, o funkcija lyginė, kai n– net.
– Peržiūrėti funkcijas adresu= ir adresu = 2X– 3 nėra nei lyginiai, nei nelyginiai, nes lygybės netenkinamos f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Tyrimas, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, vadinamas funkcijos pariteto tyrimu. Skaidrė

1 ir 2 apibrėžimuose mes kalbėjome apie funkcijos reikšmes x ir – x, todėl daroma prielaida, kad funkcija taip pat yra apibrėžta verte X, ir – X.

Def 3. Jei numerių rinkinys kartu su kiekvienu jo elementu x taip pat yra priešingas elementas –x, tada aibė X vadinama simetriška aibe.

Pavyzdžiai:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) yra simetriškos aibės, o , [–5;4] yra asimetrinės.

– Ar net funkcijos turi apibrėžimo sritį, kuri yra simetriška aibė? Keistas?
– jei D( f) yra asimetrinė aibė, tai kokia yra funkcija?
– Taigi, jei funkcija adresu = f(X) – lyginis arba nelyginis, tada jo apibrėžimo sritis yra D( f) yra simetriškas rinkinys. Ar teisingas atvirkštinis teiginys: jei funkcijos apibrėžimo sritis yra simetrinė aibė, tai lyginė ar nelyginė?
– Tai reiškia, kad apibrėžimo srities simetrinės aibės buvimas yra būtina sąlyga, bet nepakankama.
– Taigi kaip ištirti pariteto funkciją? Pabandykime sukurti algoritmą.

Skaidrė

Pariteto funkcijos tyrimo algoritmas

1. Nustatykite, ar funkcijos apibrėžimo sritis yra simetriška. Jei ne, tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jei taip, pereikite prie 2 algoritmo veiksmo.

2. Parašykite išraišką už f(–X).

3. Palyginkite f(–X).Ir f(X):

  • Jeigu f(–X).= f(X), tada funkcija lygi;
  • Jeigu f(–X).= – f(X), tada funkcija yra nelyginė;
  • Jeigu f(–X) ≠ f(X) Ir f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Pavyzdžiai:

Išnagrinėkite lygybės funkciją a) adresu= x 5 +; b) adresu= ; V) adresu= .

Sprendimas.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrinė aibė.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x) = x 5 + nelyginis.

b) y =,

adresu = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrinė aibė, o tai reiškia, kad funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2 variantas

1. Ar duotoji aibė yra simetriška: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?


A); b) y = x (5 – x 2). 2. Išnagrinėkite pariteto funkciją:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Pav. buvo sukurtas grafikas adresu = f(X), visiems X, tenkinantis sąlygą X? 0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra lygi funkcija.

3. Pav. buvo sukurtas grafikas adresu = f(X), visiems x, atitinkantiems sąlygą x? 0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra nelyginė funkcija.

Kolegų peržiūra skaidrėje.

6. Namų darbai: Nr 11.11, 11.21, 11.22;

Pariteto savybės geometrinės reikšmės įrodymas.

***(Vieningo valstybinio egzamino varianto priskyrimas).

1. Nelyginė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Bet kuriai neneigiamai kintamojo x vertei šios funkcijos reikšmė sutampa su funkcijos g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Raskite funkcijos h( X) = at X = 3.

7. Apibendrinimas

Norėdami tai padaryti, naudokite grafinį popierių arba grafinį skaičiuotuvą. Pasirinkite bet kokį nepriklausomo kintamojo x (\displaystyle x) skaitinių reikšmių skaičių ir prijunkite jas prie funkcijos, kad apskaičiuotumėte priklausomo kintamojo y (\displaystyle y) reikšmes. Nubraižykite rastas taškų koordinates koordinačių plokštumoje ir sujunkite šiuos taškus, kad sukurtumėte funkcijos grafiką.

  • Pakeiskite teigiamas skaitines reikšmes x (\displaystyle x) ir atitinkamas neigiamas skaitines reikšmes į funkciją. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į funkciją . Į jį pakeiskite šias reikšmes x (\displaystyle x):
    • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\ displaystyle (1,3)) .
    • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . Gavome tašką su koordinatėmis (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
    • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Gavome tašką su koordinatėmis (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
    • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Gavome tašką su koordinatėmis (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .

  • Patikrinkite, ar funkcijos grafikas yra simetriškas Y ašies atžvilgiu. Jei grafiko dalis, esanti dešinėje nuo Y ašies (teigiamos nepriklausomo kintamojo reikšmės), yra tokia pati kaip grafiko dalis, esanti kairėje nuo Y ašies (neigiamos nepriklausomo kintamojo reikšmės ), grafikas yra simetriškas Y ašies atžvilgiu.

    • Galite patikrinti grafiko simetriją naudodami atskirus taškus. Jei y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) reikšmė atitinka y (\displaystyle y) reikšmę, kuri atitinka − x (\displaystyle -x) reikšmę, funkcija yra lygi. Mūsų pavyzdyje su funkcija f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) gavome tokias taškų koordinates:
      • (1,3) ir (-1,3)
      • (2,9) ir (-2,9)
    • Atkreipkite dėmesį, kad x=1 ir x=-1 priklausomas kintamasis yra y=3, o x=2 ir x=-2 priklausomas kintamasis yra y=9. Taigi funkcija yra lygi. Tiesą sakant, norint tiksliai nustatyti funkcijos formą, reikia atsižvelgti į daugiau nei du taškus, tačiau aprašytas metodas yra geras apytikslis.

  • Patikrinkite, ar funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.

    • Pradinė vieta yra taškas su koordinatėmis (0,0). Kilmės simetrija reiškia, kad teigiama y reikšmė (\displaystyle y) (jei teigiama x reikšmė (\displaystyle x) ) atitinka neigiamą (\displaystyle y) reikšmę (\displaystyle y) (jei neigiama reikšmė iš x (\displaystyle x) ), ir atvirkščiai. Nelyginės funkcijos turi simetriją kilmės atžvilgiu.
      • Jei į funkciją pakeisite kelias teigiamas ir atitinkamas neigiamas x (\displaystyle x) reikšmes, y reikšmės (\displaystyle y) skirsis ženklu. Pavyzdžiui, duota funkcija f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Pakeiskite keletą x reikšmių (\displaystyle x):
      • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Gavome tašką su koordinatėmis (1,2).
      • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
      • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
    • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10) . Gavome tašką su koordinatėmis (-2,-10).

  • Patikrinkite, ar funkcijos grafikas turi simetriją.

    • Paskutinis funkcijos tipas yra funkcija, kurios grafikas neturi simetrijos, tai yra, nėra veidrodinio vaizdo tiek ordinačių ašies, tiek pradžios atžvilgiu. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į funkciją .
      • Pakeiskite keletą teigiamų ir atitinkamų neigiamų x (\displaystyle x) reikšmių į funkciją:
      • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Gavome tašką su koordinatėmis (1,4).
      • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Gavome tašką su koordinatėmis (-1,-2).
      • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Gavome tašką su koordinatėmis (2,10).
    • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2) . Gavome tašką su koordinatėmis (2,-2).
    • Pagal gautus rezultatus simetrijos nėra. Y (\displaystyle y) reikšmės priešingoms x reikšmėms (\displaystyle x) nėra vienodos ir nėra priešingos. Taigi funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

    • Atkreipkite dėmesį, kad funkciją f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) galima parašyti taip: f (x) = (x + 1) ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Kai rašoma tokia forma, funkcija pasirodo net todėl, kad yra lyginis eksponentas. Tačiau šis pavyzdys įrodo, kad funkcijos tipo negalima greitai nustatyti, jei nepriklausomas kintamasis yra skliausteliuose. Tokiu atveju reikia atidaryti skliaustus ir išanalizuoti gautus eksponentus.

    Kaip į svetainę įterpti matematines formules? Jei kada nors reikės pridėti vieną ar dvi matematines formules į tinklalapį, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių pavidalu, kuriuos automatiškai sugeneruoja Wolfram Alpha. . Be paprastumo, tai universalus metodas

    padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemose. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet jau morališkai pasenęs.

    Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą galite greitai prijungti MathJax scenarijų prie savo svetainės, kuri bus tinkamas momentas automatiškai įkeliama iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) atsisiųskite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas – sudėtingesnis ir daug laiko reikalaujantis – pagreitins jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir vos per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

    Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba dokumentacijos puslapyje:

    Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

    Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. iki šablono pradžios (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). tiek. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir esate pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

    Bet kuris fraktalas konstruojamas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

    Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodi kubeliai. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš likusių 20 mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą be galo, gauname Menger kempinę.

    Kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kuriame kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę, vadinama funkcija. Pažymėjimui naudokite žymėjimą y=f(x). Kiekviena funkcija turi keletą pagrindinių savybių, tokių kaip monotoniškumas, paritetas, periodiškumas ir kt.

    Atidžiau pažvelkite į pariteto savybę.

    Funkcija y=f(x) iškviečiama, net jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

    2. Funkcijos reikšmė taške x, priklausanti funkcijos apibrėžimo sričiai, turi būti lygi funkcijos reikšmei taške -x. Tai yra, bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti tenkinama tokia lygybė: f(x) = f(-x).

    Tvarkaraštis lygi funkcija

    Jei nubraižysite lyginės funkcijos grafiką, jis bus simetriškas Oy ašiai.

    Pavyzdžiui, funkcija y=x^2 yra lyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.

    Paimkime savavališką x=3. f(x)=3^2=9.

    f(-x)=(-3)^2=9. Todėl f(x) = f(-x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau yra funkcijos y=x^2 grafikas.

    Paveikslėlyje parodyta, kad grafikas yra simetriškas Oy ašiai.

    Nelyginės funkcijos grafikas

    Funkcija y=f(x) vadinama nelygine, jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

    1. Duotosios funkcijos apibrėžimo sritis turi būti simetriška taško O atžvilgiu. Tai yra, jei kuris nors taškas a priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, tai atitinkamas taškas -a taip pat turi priklausyti apibrėžimo sričiai. nurodytos funkcijos.

    2. Bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = -f(x).

    Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas taško O – koordinačių pradžios – atžvilgiu. Pavyzdžiui, funkcija y=x^3 yra nelyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.

    Paimkime savavališką x=2. f(x)=2^3=8.

    f(-x)=(-2)^3=-8. Todėl f(x) = -f(x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra funkcijos y=x^3 grafikas.

    Paveikslėlyje aiškiai matyti, kad nelyginė funkcija y=x^3 yra simetriška kilmei.