Kiekvienam mokiniui, besiruošiančiam vieningam valstybiniam matematikos egzaminui, pravers pakartoti temą „Kampo tarp tiesių radimas“. Kaip rodo statistika, išlaikant sertifikavimo testą, užduotys šioje stereometrijos dalyje sukelia sunkumų didelis kiekis studentai. Tuo pačiu metu užduotys, kurioms reikia rasti kampą tarp tiesių, yra vieningame valstybiniame egzamine tiek pagrindiniame, tiek specializuotame lygyje. Tai reiškia, kad kiekvienas turėtų sugebėti jas išspręsti.
Pagrindiniai momentai
Kosmose yra 4 tipai santykinė padėtis tiesiai Jos gali sutapti, susikirsti, būti lygiagrečios arba susikertančios. Kampas tarp jų gali būti ūmus arba tiesus.
Norėdami rasti kampą tarp linijų vieningame valstybiniame egzamine arba, pavyzdžiui, sprendžiant, Maskvos ir kitų miestų moksleiviai gali naudoti kelis šios stereometrijos skyriaus uždavinių sprendimo būdus. Galite atlikti užduotį naudodami klasikines konstrukcijas. Norėdami tai padaryti, verta išmokti pagrindines stereometrijos aksiomas ir teoremas. Studentas turi mokėti logiškai samprotauti ir kurti brėžinius, kad užduotį paverstų planimetrine problema.
Taip pat galite naudoti koordinačių vektoriaus metodą naudodami paprastas formules, taisykles ir algoritmus. Svarbiausia šiuo atveju yra teisingai atlikti visus skaičiavimus. Švietimo projektas „Shkolkovo“ padės patobulinti stereometrijos ir kitų mokyklos kurso dalių problemų sprendimo įgūdžius.
1 problema
Raskite kampo tarp eilučių $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ ir $\left\() kosinusą \begin(masyvas )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(masyvas)\right $.
Tegul erdvėje pateikiamos dvi eilutės: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ ir $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Pasirinkime savavališką erdvės tašką ir per jį nubrėžkime dvi pagalbines linijas, lygiagrečias duomenims. Kampas tarp šių linijų yra bet kuris iš dviejų gretimų kampų, suformuotas pagalbinėmis linijomis. Vieno iš kampų tarp tiesių kosinusą galima rasti naudojant gerai žinomą formulę $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Jei reikšmė $\cos \phi >0$, tada gaunamas smailus kampas tarp eilučių, jei $\cos \phi
Pirmosios eilutės kanoninės lygtys: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
Antrosios eilutės kanonines lygtis galima gauti iš parametrinių:
\ \ \
Taigi šios eilutės kanoninės lygtys yra: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Skaičiuojame:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ kairė(-3\dešinė)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) \apytiksliai 0,9449.\]
2 problema
Pirmoji eilutė eina per duotus taškus $A\left(2,-4,-1\right)$ ir $B\left(-3,5,6\right)$, antroji eilutė eina per duotus taškus $ C\left (1,-2,8\right)$ ir $D\left(6,7,-2\right)$. Raskite atstumą tarp šių linijų.
Tegul tam tikra tiesė yra statmena tiesėms $AB$ ir $CD$ ir susikerta jas atitinkamai taškuose $M$ ir $N$. Esant tokioms sąlygoms, atkarpos $MN$ ilgis yra lygus atstumui tarp tiesių $AB$ ir $CD$.
Sukuriame vektorių $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]
Tegul atkarpa, vaizduojanti atstumą tarp tiesių, eina per tašką $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ tiesėje $AB$.
Sukuriame vektorių $\overline(AM)$:
\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ juosta(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]
Vektoriai $\overline(AB)$ ir $\overline(AM)$ yra vienodi, todėl yra kolineariniai.
Yra žinoma, kad jei vektoriai $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ ir $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ yra kolinearinės, tada jų koordinatės yra proporcingi, tada yra $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it 2) it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, kur $m $ yra padalijimo rezultatas.
Iš čia gauname: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Galiausiai gauname taško $M$ koordinačių išraiškas:
Sukuriame vektorių $\overline(CD)$:
\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ left(-2-8\right)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Tegul atkarpa, nurodanti atstumą tarp tiesių, eina per tašką $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ tiesėje $CD$.
Sukuriame vektorių $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]
Vektoriai $\overline(CD)$ ir $\overline(CN)$ sutampa, todėl yra kolineariniai. Taikome vektorių kolineariškumo sąlygą:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, kur $n $ yra padalijimo rezultatas.
Iš čia gauname: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Galiausiai gauname taško $N$ koordinačių išraiškas:
Sukuriame vektorių $\overline(MN)$:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]
Taškų $M$ ir $N$ koordinates pakeičiame išraiškomis:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\right)\right)\cdot \bar(k).\]
Atlikę veiksmus, gauname:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]
Kadangi linijos $AB$ ir $MN$ yra statmenos, atitinkamų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, tai yra $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
Atlikę veiksmus, gauname pirmąją lygtį $m$ ir $n$ nustatymui: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Kadangi linijos $CD$ ir $MN$ yra statmenos, atitinkamų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, tai yra $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ [-5+25\ctaškas n+25\ctaškas m+18+81\ctaškas n-81\ctaškas m-90+100\ctaškas n+70\ctaškas m=0.\]
Atlikę veiksmus, gauname antrą lygtį $m$ ir $n$ nustatymui: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
$m$ ir $n$ randame išspręsdami lygčių sistemą $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206 \cdot n =77)\end(masyvas)\right$.
Taikome Cramer metodą:
\[\Delta =\left|\begin(masyvas)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(masyvas)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(masyvas)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(masyvas)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(masyvas)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(masyvas)\right|=10731;\ ]\
Raskite taškų $M$ ir $N$ koordinates:
\ \
Pagaliau:
Galiausiai įrašome vektorių $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4.618-2.6701\right)\cdot \bar(k)$ arba $\overline(MN)=3.3125\cdot \bar(i)+0.3251\cdot \bar(j)+1.9479\cdot \bar(k)$ .
Atstumas tarp eilučių $AB$ ir $CD$ yra vektoriaus $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^(2) ) ilgis apie 3,8565 USD. vienetų
KAMPAS TARP PLOKTUMU
Apsvarstykite dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai apibrėžtas lygtimis:
Pagal kampu tarp dviejų plokštumų suprasime vieną iš šių plokštumų suformuotų dvikampių kampų. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių arba 
. Štai kodėl 
. Nes 
Ir 
, Tai
.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.
Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.
Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai yra lygiagrečios, todėl 
.
Taigi dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai atitinkamų koordinačių koeficientai yra proporcingi:
arba
Plokštumų statmenumo sąlyga.
Akivaizdu, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalūs vektoriai yra statmeni, todėl arba .
Taigi,.
Pavyzdžiai.
TIESIAI ERDVĖJE.
VEKTORINĖ LYGTIS LINIJAI.
PARAMETRINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS
Linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš jos fiksuotų taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.
Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vedliaišios linijos vektorius.
Taigi tegul tiesi linija l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1), guli ant tiesės, lygiagrečios vektoriui .
Apsvarstykite savavališką tašką M(x,y,z) tiesioje linijoje. Iš paveikslo aišku, kad 
.
Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas , kur yra daugiklis t gali įgauti bet kokią skaitinę reikšmę, priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. faktorius t vadinamas parametru. Nurodę taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir , gauname . Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvienai parametro vertei t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M, gulėti ant tiesios linijos.
Parašykime šią lygtį koordinačių forma. Pastebėti, kad , 
ir iš čia
Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesės lygtys.
Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y Ir z ir laikotarpis M juda tiesia linija.
KANONINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS
Leisti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – taškas, esantis tiesioje linijoje l, Ir 
yra jo krypties vektorius. Vėl paimkime savavališką linijos tašką M(x,y,z) ir apsvarstykite vektorių .
Akivaizdu, kad vektoriai taip pat yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos, todėl
– kanoninis tiesės lygtys.
1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanonines linijos lygtis galima gauti iš parametrinių, pašalinus parametrą t. Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname 
arba .
Pavyzdys. Užrašykite linijos lygtį 
parametrine forma.
Pažymėkime 
, iš čia x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Užrašas 2. Tegul tiesė yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis. Tada tiesės krypties vektorius yra statmenas Jautis, vadinasi, m=0. Todėl linijos parametrinės lygtys įgis tokią formą
Iš lygčių neįtraukiant parametro t, gauname formos tiesės lygtis
Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje 
. Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad tiesė yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.
Panašus į kanonines lygtis 
atitinka ašims statmeną tiesę Jautis Ir Oy arba lygiagrečiai ašiai Oz.
Pavyzdžiai.
BENDROSIOS TIESĖS LYGTYBĖS KAIP Dviejų PLOKŠTUMŲ SANTRAUKOS LINĖS
Per kiekvieną tiesią erdvę erdvėje yra daugybė plokštumų. Bet kurios dvi iš jų, susikertančios, apibrėžia ją erdvėje. Vadinasi, bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, atspindi šios linijos lygtis.
Apskritai, bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos, apibrėžtos bendromis lygtimis
nustatyti tiesią jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesiai.
Pavyzdžiai.
Sukurkite tiesę, kurią pateikia lygtys 
Norint sukurti tiesią liniją, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės ir koordinačių plokštumų susikirtimo taškus. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės lygčių, darydami prielaidą z= 0:
Išsprendę šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).
Panašiai, darant prielaidą y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:
Nuo bendrųjų tiesės lygčių galima pereiti prie jos kanoninių arba parametrinių lygčių. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 tiesėje ir tiesės krypties vektorius.
Taško koordinatės M 1 gauname iš šios lygčių sistemos, suteikdami vienai iš koordinačių savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams 
Ir 
. Todėl už tiesės krypties vektoriaus l tu gali pasiimti vektorinis produktas normalūs vektoriai:
.
Pavyzdys. Vadovauti bendrosios lygtys tiesiai 
į kanoninę formą.
Raskime tašką, esantį ant linijos. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:
Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates 
Todėl krypties vektorius bus tiesus
. Vadinasi, l: 
.
KAMPAS TARP TIESIŲ
Kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.
Tegu erdvėje pateikiamos dvi eilutės:
Akivaizdu, kad kampas φ tarp tiesių gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Nuo tada, naudojant kampo tarp vektorių kosinuso formulę, gauname
A. Pateikiamos dvi tiesės Šios tiesės, kaip nurodyta 1 skyriuje, sudaro įvairius teigiamus ir neigiamus kampus, kurie gali būti smailūs arba buki. Žinodami vieną iš šių kampų, galime lengvai rasti bet kurį kitą.
Beje, visiems šiems kampams liestinės skaitinė reikšmė yra vienoda, skirtumas gali būti tik ženkle
Tiesių lygtys. Skaičiai yra pirmosios ir antrosios tiesių krypties vektorių projekcijos Kampas tarp šių vektorių yra lygus vienam iš tiesių suformuotų kampų. Todėl problema kyla dėl kampo tarp vektorių nustatymo
Paprastumo dėlei galime sutikti, kad kampas tarp dviejų tiesių yra smailus teigiamas kampas(kaip, pavyzdžiui, 53 pav.).
Tada šio kampo liestinė visada bus teigiama. Taigi, jei (1) formulės dešinėje yra minuso ženklas, turime jį atmesti, ty išsaugoti tik absoliučią reikšmę.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių
Pagal (1) formulę turime
Su. Jei nurodyta, kuri iš kampo kraštinių yra jo pradžia, o kuri pabaiga, tai visada skaičiuojant kampo kryptį prieš laikrodžio rodyklę, iš (1) formulės galime išgauti dar ką nors. Kaip nesunku matyti iš fig. 53, dešinėje (1) formulės pusėje gautas ženklas parodys, kokį kampą – smailų ar bukąjį – sudaro antroji tiesė su pirmąja.
(Iš tiesų, iš 53 pav. matome, kad kampas tarp pirmojo ir antrojo krypties vektorių yra arba lygus norimam kampui tarp tiesių, arba skiriasi nuo jo ±180°.)
d. Jei tiesės lygiagrečios, tai jų krypties vektoriai yra lygiagretūs Taikant dviejų vektorių lygiagretumo sąlygą, gauname!
Tai būtina ir pakankama dviejų tiesių lygiagretumo sąlyga.
Pavyzdys. Tiesioginis
yra lygiagrečios, nes
e. Jei tiesės yra statmenos, tada jų krypties vektoriai taip pat yra statmeni. Taikydami dviejų vektorių statmenumo sąlygą, gauname dviejų tiesių statmenumo sąlygą, t.
Pavyzdys. Tiesioginis
yra statmenos dėl to, kad
Atsižvelgdami į lygiagretumo ir statmenumo sąlygas, išspręsime šiuos du uždavinius.
f. Nubrėžkite liniją per tašką, lygiagrečią nurodytai linijai
Sprendimas atliekamas taip. Kadangi norima tiesė yra lygiagreti šiai, tai jos krypties vektoriui galime paimti tą patį, kaip ir duotosios tiesės, t.y. vektorių su projekcijomis A ir B. Tada bus įrašyta norimos tiesės lygtis forma (§ 1)
Pavyzdys. Tiesės, einančios per tašką (1; 3), lygiagrečiai tiesei, lygtis
bus kitas!
g. Nubrėžkite liniją per tašką, statmeną nurodytai linijai
Čia nebetinka vektoriaus su projekcijomis A ir kaip kreipiamąjį vektorių, bet reikia imti statmeną jam vektorių. Todėl šio vektoriaus projekcijos turi būti parinktos pagal abiejų vektorių statmenumo sąlygą, t. y. pagal sąlygą
Šią sąlygą galima įvykdyti daugybe būdų, nes čia yra viena lygtis su dviem nežinomaisiais
Pavyzdys. Tiesės, einančios per tašką (-7; 2) statmenoje tiesėje, lygtis
bus taip (pagal antrą formulę)!
h. Tuo atveju, kai eilutės pateikiamos formos lygtimis
perrašydami šias lygtis skirtingai, turime
Apibrėžimas. Jei dvi tiesės pateiktos y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų bus apibrėžtas kaip
Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/ k 2.
Teorema. Tiesės Ax + Bу + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 = λA, B 1 = λB yra proporcingi. Jei taip pat C 1 = λC, tai tiesės sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis
Statmena nurodytai tiesei
Apibrėžimas. Tiesi linija, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y = kx + b, pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos
Teorema. Jei nurodytas taškas M(x 0, y 0), tai atstumas iki tiesės Ax + Bу + C = 0 nustatomas kaip
.
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į nurodytą tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:
(1)
Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti išsprendus lygčių sistemą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną duotai tiesei, lygtis. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Iš 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x – 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y – 3 = 0 yra statmenos.
Sprendimas. Randame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, vadinasi, tiesės yra statmenos.
Pavyzdys. Duotos trikampio A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.
Sprendimas. Randame kraštinės AB lygtį: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Reikalinga aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: 
iš kur b = 17. Iš viso: . 
Atsakymas: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygtis. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų tiesių. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas
1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.
2. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2), parašyta taip:
Tiesės, einančios per du duotus taškus, kampinis koeficientas nustatomas pagal formulę
3. Kampas tarp tiesių linijų A Ir B yra kampas, kuriuo turi būti pasukta pirmoji tiesi linija A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B. Jei dvi tiesės pateiktos lygtimis su nuolydžiu
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
tada kampas tarp jų nustatomas pagal formulę
Pažymėtina, kad trupmenos skaitiklyje pirmosios eilutės nuolydis atimamas iš antrosios eilutės nuolydžio.
Jei tiesės lygtys pateiktos bendras vaizdas
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
kampas tarp jų nustatomas pagal formulę
4. Dviejų linijų lygiagretumo sąlygos:
a) Jei tiesės pateiktos lygtimis (4) su kampiniu koeficientu, tai būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra jų kampinių koeficientų lygybė:
k 1 = k 2 . (8)
b) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos bendrosios formos (6) lygtimis, būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra ta, kad koeficientai atitinkamoms srovės koordinatėms jų lygtyse būtų proporcingi, t.y.
5. Dviejų tiesių statmenumo sąlygos:
a) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos lygtimis (4) su kampiniu koeficientu, būtina ir pakankama jų statmenumo sąlyga yra ta, kad jos šlaitai yra atvirkštiniai pagal dydį ir priešingi pagal ženklą, t.y.
Šią sąlygą taip pat galima įrašyti formoje
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Jei tiesių lygtys pateiktos bendrąja forma (6), tai jų statmenumo sąlyga (būtina ir pakankama) yra tenkinti lygybę
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos sprendžiant (6) lygčių sistemą. Linijos (6) susikerta tada ir tik tada
1. Parašykite lygtis tiesių, einančių per tašką M, kurių viena lygiagreti, o kita statmena duotai tiesei l.