Sukurkite funkciją

Atkreipiame jūsų dėmesį į funkcijų grafikų braižymo internete paslaugą, į kurią visos teisės priklauso įmonei Desmos. Norėdami įvesti funkcijas, naudokite kairįjį stulpelį. Galite įvesti rankiniu būdu arba naudodami virtualią klaviatūrą lango apačioje. Norėdami padidinti diagramos langą, galite paslėpti ir kairįjį stulpelį, ir virtualiąją klaviatūrą.

Internetinio diagramų sudarymo pranašumai

• Vizualus pristatytų funkcijų rodymas
• Labai sudėtingų grafikų kūrimas
• Netiesiogiai apibrėžtų grafikų braižymas (pvz., elipsė x^2/9+y^2/16=1)
• Galimybė išsaugoti diagramas ir gauti nuorodą į jas, kuri tampa prieinama visiems internete
• Mastelio valdymas, linijos spalva
• Gebėjimas braižyti grafikus taškais, konstantų naudojimas
• Kelių funkcijų grafikų konstravimas vienu metu
• Braižymas polinėmis koordinatėmis (naudokite r ir θ(\theta))

Su mumis paprasta kurti įvairaus sudėtingumo grafikus internete. Statyba atliekama akimirksniu. Paslauga yra paklausi ieškant funkcijų susikirtimo taškų, atvaizduojant grafikus jų tolesniam perkėlimui į Word dokumentą kaip iliustracijas sprendžiant uždavinius, analizuojant funkcijų grafikų elgsenos ypatybes. Optimali naršyklė darbui su diagramomis šiame svetainės puslapyje yra Google Chrome. Naudojant kitas naršykles teisingas veikimas negarantuojamas.

Kaip ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką?

Atrodo, pradedu suprasti sielos kupiną pasaulio proletariato lyderio, surinktų kūrinių 55 tomų autoriaus veidą... Ilga kelionė prasidėjo nuo elementarios informacijos apie funkcijos ir grafikai, o dabar darbas sunkia tema baigiasi natūraliu rezultatu – straipsniu apie visą funkcijų tyrimą. Ilgai laukta užduotis suformuluota taip:

Ištirkite funkciją metodais diferencialinis skaičiavimas ir remiantis tyrimo rezultatais sudaryti jo tvarkaraštį

Arba trumpai: išnagrinėkite funkciją ir nubraižykite ją.

Kodėl tyrinėti? Paprastais atvejais mums nebus sunku susidoroti su elementariomis funkcijomis, nubraižyti grafiką, gautą naudojant elementarios geometrinės transformacijos ir tt Tačiau savybės ir grafiniai vaizdai daugiau sudėtingos funkcijos toli gražu nėra akivaizdūs, todėl reikalingas visas tyrimas.

Pagrindiniai sprendimo žingsniai apibendrinti pamatinėje medžiagoje Funkcijų tyrimo schema, tai jūsų skyriaus vadovas. Manekenams reikia nuoseklaus temos paaiškinimo, kai kurie skaitytojai nežino, nuo ko pradėti ir kaip organizuoti studijas, o pažengusius studentus gali sudominti tik keli punktai. Bet kas bebūtumėte, mielas lankytojau, siūloma santrauka su nuorodomis į įvairias pamokas per trumpiausią įmanomą laiką nukreips ir nukreips jus dominančia kryptimi. Robotai nubraukė ašarą =) Vadovas buvo sudarytas pdf failo pavidalu ir užėmė deramą vietą puslapyje Matematinės formulės ir lentelės.

Funkcijos tyrimą suskirstiau į 5–6 taškus:

6) Papildomi taškai ir grafikas remiantis tyrimo rezultatais.

Kalbant apie galutinį veiksmą, manau, kad visi viską supranta – bus labai apmaudu, jei per kelias sekundes jis bus perbrauktas ir užduotis bus grąžinta peržiūrėti. TEISINGAS IR TIKSLAS BRĖŽINIS – pagrindinis sprendimo rezultatas! Labai tikėtina, kad tai „užslėps“ analitinius apsirikimus, o neteisingas ir (arba) aplaistytas grafikas sukels problemų net ir puikiai atlikus tyrimą.

Pažymėtina, kad kituose šaltiniuose tyrimo elementų skaičius, jų vykdymo eiliškumas ir projektavimo stilius gali gerokai skirtis nuo mano pasiūlytos schemos, tačiau dažniausiai to visiškai pakanka. Paprasčiausias uždavinio variantas susideda tik iš 2-3 etapų ir yra suformuluotas maždaug taip: „naršyti funkciją naudojant išvestinę ir braižyti“ arba „ištirti funkciją naudojant 1 ir 2 išvestinius, braižyti“.

Natūralu, kad jei jūsų mokymo vadove yra išsamiai išanalizuotas kitas algoritmas arba jūsų mokytojas griežtai reikalauja, kad laikytųsi jo paskaitų, turėsite šiek tiek pakoreguoti sprendimą. Ne sunkiau nei šakę pakeisti grandininio pjūklo šaukštu.

Patikrinkime funkciją lyginis / nelyginis:

Po to pateikiamas šablono prenumeratos atsisakymas:
, todėl ši funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Kadangi funkcija yra nuolatinė, vertikalių asimptočių nėra.

Įstrižų asimptotų taip pat nėra.

Pastaba : Primenu, kad kuo aukščiau augimo tvarka nei , taigi galutinė riba yra tiksliai " Pliusas begalybė“.

Išsiaiškinkime, kaip funkcija veikia begalybėje:

Kitaip tariant, jei einame į dešinę, tai grafikas eina be galo aukštyn, jei einame į kairę, be galo toli žemyn. Taip, viename įraše taip pat yra dvi ribos. Jei jums sunku iššifruoti ženklus, apsilankykite pamokoje apie be galo mažos funkcijos.

Taigi funkcija neapribota iš viršaus ir neapribota iš apačios. Atsižvelgiant į tai, kad lūžio taškų neturime, tampa aišku ir funkcijų diapazonas: taip pat yra bet koks tikrasis skaičius.

NAUDINGA TECHNIKA

Kiekvienas užduoties veiksmas suteikia naujos informacijos apie funkcijos grafiką, todėl sprendimo eigoje patogu naudoti savotišką IŠKLAIDYMĄ. Nubraižykime Dekarto koordinačių sistemą. Kas tikrai žinoma? Pirma, grafikas neturi asimptotų, todėl nereikia brėžti tiesių. Antra, mes žinome, kaip funkcija veikia begalybėje. Remiantis analize, darome pirmąjį apytikslį:

Atkreipkite dėmesį, kad iš tikrųjų tęstinumą funkcija ir faktas, kad , grafikas turi kirsti ašį bent kartą. O gal yra keli susikirtimo taškai?

3) Funkcijos nuliai ir pastovaus ženklo intervalai.

Pirmiausia suraskite grafiko susikirtimo tašką su y ašimi. Tai paprasta. Funkcijos reikšmę reikia apskaičiuoti, kai:

Pusiau virš jūros lygio.

Norėdami rasti susikirtimo su ašimi taškus (funkcijos nulius), turite išspręsti lygtį, ir čia mūsų laukia nemaloni staigmena:

Pabaigoje slepiasi nemokamas narys, o tai gerokai apsunkina užduotį.

Tokia lygtis turi bent vieną realią šaknį ir dažniausiai ši šaknis yra neracionali. Pačioje baisiausioje pasakoje mūsų laukia trys paršiukai. Lygtį galima išspręsti naudojant vadinamąjį Cardano formulės, tačiau popieriaus žala prilygsta beveik visam tyrimui. Šiuo atžvilgiu protingiau žodžiu arba juodraštyje pabandyti pasiimti bent vieną visasšaknis. Patikrinkime, ar šie skaičiai yra:
- netinka;
- valgyk!

Čia pasisekė. Gedimo atveju taip pat galite išbandyti ir, o jei šie skaičiai netinka, baiminuosi, kad yra labai mažai šansų rasti pelningą lygties sprendimą. Tuomet geriau tyrimo tašką praleisti visiškai – gal kas paaiškės paskutiniame žingsnyje, kai prasimuš papildomi taškai. O jei šaknys (šaknys) aiškiai „blogos“, tai apie ženklų pastovumo intervalus geriau kukliai nutylėti ir tiksliau užbaigti piešinį.

Tačiau mes turime gražią šaknį, todėl dalijame daugianarį be likučio:

Dauginamo padalijimo iš daugianario algoritmas išsamiai aptariamas pirmame pamokos pavyzdyje. Sudėtingos ribos.

Dėl to kairioji pradinės lygties pusė plečiasi į produktą:

O dabar šiek tiek apie sveikas būdas gyvenimą. Žinoma, aš tai suprantu kvadratines lygtis reikia išspręsti kiekvieną dieną, tačiau šiandien padarysime išimtį: lygtį turi dvi tikras šaknis.

Skaičių eilutėje pavaizduojame rastas reikšmes ir intervalo metodas apibrėžkite funkcijos požymius:


og Taigi, ant intervalų esanti diagrama
žemiau x ašies ir intervalais - virš šios ašies.

Gauti rezultatai leidžia patobulinti išdėstymą, o antrasis grafiko apytikslis vaizdas atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos intervale turi būti bent vienas maksimumas ir bent vienas minimumas intervale. Bet nežinia kiek kartų, kur ir kada grafikas „apsuks“. Beje, funkcija gali turėti be galo daug kraštutinumai.

4) Funkcijos didinimas, sumažėjimas ir ekstremumai.

Raskime kritinius taškus:

Ši lygtis turi dvi tikras šaknis. Sudėkime juos į skaičių eilutę ir nustatykime išvestinės ženklus:


Todėl funkcija padidėja ir sumažėja .
Kai funkcija pasiekia maksimumą: .
Kai funkcija pasiekia minimumą: .

Nustatyti faktai nukreipia mūsų šabloną į gana griežtą sistemą:

Nereikia nė sakyti, kad diferencialinis skaičiavimas yra galingas dalykas. Galiausiai panagrinėkime grafiko formą:

5) Išgaubtumo, įgaubimo ir vingio taškai.

Raskite antrosios išvestinės kritinius taškus:

Apibrėžkime ženklus:


Funkcijų grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas . Apskaičiuokime vingio taško ordinates: .

Beveik viskas išsiaiškinta.

6) Belieka rasti papildomų taškų, kurie padės tiksliau sudaryti grafiką ir atlikti savitikrą. Šiuo atveju jų nedaug, tačiau nepamiršime:

Atlikime piešinį:

žaliai pažymėtas vingio taškas, kryželiai nurodo papildomus taškus. Kubinės funkcijos grafikas yra simetriškas jos vingio taškui, kuris visada yra tiksliai viduryje tarp maksimumo ir minimumo.

Vykdydamas užduotį pateikiau tris hipotetinius tarpinius brėžinius. Praktiškai užtenka nubraižyti koordinačių sistemą, pažymėti rastus taškus ir po kiekvieno tyrimo taško mintyse išsiaiškinti, kaip galėtų atrodyti funkcijos grafikas. Gerą pasirengimo lygį turintiems studentams nebus sunku atlikti tokią analizę vien mintyse, neįtraukiant juodraščio.

Dėl nepriklausomas sprendimas:

2 pavyzdys

Ištirkite funkciją ir sukurkite grafiką.

Čia viskas greičiau ir smagiau, apytikslis finišo pavyzdys pamokos pabaigoje.

Daug paslapčių atskleidžiama tiriant trupmenines racionalias funkcijas:

3 pavyzdys

Diferencialinio skaičiavimo metodais ištirti funkciją ir, remiantis tyrimo rezultatais, sudaryti jos grafiką.

Sprendimas: pirmasis tyrimo etapas niekuo nepaprasto nesiskiria, išskyrus skylę apibrėžimo srityje:

1) Funkcija yra apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką, domenas: .

, todėl ši funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

Funkcijos grafiką sudaro dvi ištisinės šakos, esančios kairėje ir dešinėje pusplokštumose – tai bene svarbiausia 1-osios pastraipos išvada.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

a) Vienpusių ribų pagalba tiriame funkcijos elgseną šalia įtartino taško, kur vertikali asimptotė turi būti aiškiai:

Iš tiesų, funkcijos išlieka begalinis tarpas taške
o tiesi linija (ašis) yra vertikali asimptota grafika .

b) Patikrinkite, ar nėra įstrižų asimptotų:

Taip, linija yra įstrižas asimptotas grafika, jei .

Nėra prasmės analizuoti ribas, nes jau aišku, kad funkcija glėbyje su savo įstriža asimptote neapribota iš viršaus ir neapribota iš apačios.

Antrasis tyrimo taškas atnešė daug svarbi informacija apie funkciją. Padarykime apytikslį eskizą:

Išvada Nr. 1 susijusi su ženklų pastovumo intervalais. Prie „minuso begalybės“ funkcijos grafikas yra vienareikšmiškai žemiau x ašies, o ties „pliuso begalybe“ – virš šios ašies. Be to, vienpusės ribos mums pasakė, kad taško kairėje ir dešinėje funkcija taip pat yra didesnė už nulį. Atkreipkite dėmesį, kad kairėje pusplokštumoje grafikas turi kirsti x ašį bent vieną kartą. Dešinėje pusplokštumoje funkcijos nulių gali nebūti.

Išvada Nr. 2 yra ta, kad funkcija didėja taške ir į kairę nuo jo (eina „iš apačios į viršų“). Į dešinę nuo šio taško funkcija mažėja (eina „iš viršaus į apačią“). Dešinėje grafiko šakoje tikrai turi būti bent vienas minimumas. Kairėje kraštutinumai negarantuojami.

Išvadoje Nr. 3 pateikiama patikima informacija apie grafiko įdubimą taško kaimynystėje. Dar negalime nieko pasakyti apie išgaubimą/įgaubtumą begalybėje, nes linija gali būti prispausta prie savo asimptotės tiek iš viršaus, tiek iš apačios. Paprastai tariant, šiuo metu yra analitinis būdas tai išsiaiškinti, tačiau diagramos forma „už nieką“ taps aiškesnė vėliau.

Kodėl tiek daug žodžių? Norėdami kontroliuoti tolesnius tyrimo taškus ir išvengti klaidų! Tolesni skaičiavimai neturėtų prieštarauti padarytoms išvadoms.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, funkcijos pastovaus ženklo intervalai.

Funkcijos grafikas nekerta ašies.

Naudodami intervalo metodą nustatome ženklus:

, jei ;
, jei .

Pastraipos rezultatai visiškai atitinka 1 išvadą. Po kiekvieno veiksmo pažiūrėkite į juodraštį, mintyse peržiūrėkite tyrimą ir užbaikite nubraižyti funkcijos grafiką.

Šiame pavyzdyje skaitiklis dalijamas iš termino iš vardiklio, o tai labai naudinga diferencijuojant:

Tiesą sakant, tai jau buvo padaryta ieškant asimptotų.

- kritinis taškas.

Apibrėžkime ženklus:

padidėja iki ir sumažėja iki

Kai funkcija pasiekia minimumą: .

Taip pat nebuvo jokių neatitikimų su išvada Nr. 2 ir, greičiausiai, einame teisingu keliu.

Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra įgaubtas visoje apibrėžimo srityje.

Puiku – ir nieko piešti nereikia.

Posūkio taškų nėra.

Įdubimas atitinka 3 išvadą, be to, tai rodo, kad begalybėje (ir ten, ir ten) yra funkcijos grafikas aukštesnė jos įstrižas asimptotas.

6) Sąžiningai užduotį prisegsime papildomais taškais. Čia turime sunkiai dirbti, nes iš tyrimo žinome tik du punktus.

Ir nuotrauka, kurią tikriausiai daugelis jau seniai pateikė:

Atliekant užduotį reikia pasirūpinti, kad tarp tyrimo etapų nebūtų prieštaravimų, tačiau kartais situacija yra skubi ar net beviltiška aklavietė. Čia analitika „nesusilieja“ – ir tiek. Tokiu atveju rekomenduoju avarinę techniką: surandame kuo daugiau grafikui priklausančių taškų (kiek užtenka kantrybės), pažymime juos koordinačių plokštumoje. Grafinė rastų verčių analizė daugeliu atvejų parodys, kur yra tiesa, o kur melas. Be to, grafiką galima iš anksto sukurti naudojant kokią nors programą, pavyzdžiui, toje pačioje „Excel“ (aišku, kad tam reikia įgūdžių).

4 pavyzdys

Diferencialinio skaičiavimo metodais ištirkite funkciją ir nubraižykite jos grafiką.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Jame savikontrolę sustiprina funkcijos tolygumas – grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu, ir jei kas nors jūsų tyrime prieštarauja šiam faktui, ieškokite klaidos.

Net arba nelyginė funkcija galima ištirti tik , ir tada naudoti grafiko simetriją. Šis sprendimas yra optimalus, bet atrodo, mano nuomone, labai neįprastai. Asmeniškai aš vertinu visą skaitinę ašį, bet vis tiek randu papildomų taškų tik dešinėje:

5 pavyzdys

Atlikite išsamų funkcijos tyrimą ir nubraižykite jos grafiką.

Sprendimas: smarkiai puolė:

1) Funkcija apibrėžta ir tęstinė visoje realioje eilutėje: .

Tai reiškia, kad ši funkcija yra nelyginė, jos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

Kadangi funkcija yra nuolatinė, vertikalių asimptočių nėra

Paprastai funkcijai, kurioje yra eksponentas atskiras„pliuso“ ir „minuso begalybės“ tyrimas, tačiau mūsų gyvenimą palengvina vien grafiko simetrija – arba yra asimptotė kairėje ir dešinėje, arba jos nėra. Todėl abi begalinės ribos gali būti išdėstytos viename įraše. Sprendimo eigoje naudojame L'Hopital taisyklė:

Tiesi linija (ašis) yra horizontali grafiko asimptotė ties .

Atkreipkite dėmesį, kaip gudriai išvengiau viso įstrižos asimptotės paieškos algoritmo: riba yra gana legali ir paaiškina funkcijos elgseną begalybėje, o horizontalioji asimptotė buvo rasta „tarsi tuo pačiu metu“.

Dėl tęstinumo ir horizontalios asimptotės egzistavimo išplaukia, kad funkcija apribotas iš viršaus ir apribotas iš apačios.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, pastovumo intervalai.

Čia taip pat sutrumpiname sprendimą:
Grafikas eina per pradžią.

Kitų susikirtimo taškų su koordinačių ašimis nėra. Be to, pastovumo intervalai yra akivaizdūs, o ašies negalima nubrėžti: , tai reiškia, kad funkcijos ženklas priklauso tik nuo „x“:
, jei ;
, jei.

4) funkcijos didėjimas, mažėjimas, ekstremumai.


yra kritiniai taškai.

Taškai yra simetriški nuliui, kaip ir turėtų būti.

Apibrėžkime išvestinės požymius:


Funkcija didėja intervalais ir mažėja intervalais

Kai funkcija pasiekia maksimumą: .

Dėl turto (funkcijos keistumas) minimumo galima praleisti:

Kadangi funkcija mažėja intervale , akivaizdu, kad grafikas yra "minus begalybėje" pagal su savo asimptote. Ant intervalo funkcija taip pat mažėja, tačiau čia yra atvirkščiai - perėjus per maksimalų tašką, linija artėja prie ašies iš viršaus.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, taip pat išplaukia, kad funkcijos grafikas yra išgaubtas ties „minus begalybe“, o įgaubtas ties „pliuso begalybe“.

Po šio tyrimo taško taip pat buvo nubrėžta funkcijos reikšmių sritis:

Jei nesupratote kokių nors punktų, dar kartą raginu savo sąsiuvinyje nubrėžti koordinačių ašis ir su pieštuku rankose iš naujo išanalizuoti kiekvieną užduoties išvadą.

5) Grafo išgaubtumas, įdubimas, linksniai.

yra kritiniai taškai.

Taškų simetrija išsaugoma ir, greičiausiai, neklystame.

Apibrėžkime ženklus:


Funkcijos grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas .

Buvo patvirtintas išgaubimas / įgaubimas kraštutiniais intervalais.

Visuose kritiniuose grafiko taškuose yra linksnių. Raskime vingio taškų ordinates, dar kartą sumažindami skaičiavimų skaičių, naudodami funkcijos nelygumą:

Funkcijos tyrimo procesas susideda iš kelių etapų. Norint gauti kuo išsamesnę idėją apie funkcijos elgesį ir jos grafiko pobūdį, būtina rasti:

Funkcijos apimtis.

Ši sąvoka apima ir verčių sritį, ir funkcijos apimtį.

Lūžio taškai. (Jei jie yra).

Didėjimo ir mažėjimo intervalai.

Aukšti ir žemi taškai.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė jos domene.

Išgaubtos ir įgaubtos sritys.

Posūkio taškai (jei yra).

Asimptotės (jei yra).

Grafo sudarymas.

Panaudokime šią schemą su pavyzdžiu.

Pavyzdys. Ištirkite funkciją ir nubraižykite jos grafiką.

Randame funkcijos egzistavimo sritį. Tai akivaizdu apibrėžimo sritis funkcija yra sritis (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

Savo ruožtu matyti, kad tiesės x = 1, x = -1 yra vertikalios asimptotės kreivas.

Vertės sritisšios funkcijos intervalas (-; ).

lūžio taškai funkcijos yra taškai x=1, x=-1.

Mes randame kritinius taškus.

Raskime funkcijos išvestinę

Kritiniai taškai: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.

Raskime antrąją funkcijos išvestinę

Nustatykime kreivės išgaubtą ir įgaubtą intervalais.

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0, kreivė įgaubta

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0, kreivė įgaubta

< x < , y >0, kreivė įgaubta

Spragų radimas didėja ir nusileidžiantis funkcijas. Norėdami tai padaryti, nustatome funkcijos išvestinės požymius intervaluose.

- < x < -,y >0, funkcija didėja

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0, funkcija didėja

Matyti, kad taškas x = - yra taškas maksimalus, o taškas x = yra taškas minimumas. Funkcijų reikšmės šiuose taškuose yra atitinkamai 3/2 ir -3/2.

Apie vertikalią asimptotų jau buvo pasakyta aukščiau. Dabar suraskime įstrižai asimptotai.

Taigi, įstrižosios asimptotės lygtis yra y = x.

Pastatykime tvarkaraštį funkcijos:

Žemiau pateikiame keletą tyrimų įvairių tipų funkcijų diferencialinio skaičiavimo metodais pavyzdžių.

Pavyzdys: Diferencialinio skaičiavimo metodai

1. Šios funkcijos sritis yra visi realieji skaičiai (-; ).

3. Susikirtimo taškai su koordinačių ašimis: su Oy ašimi: x = 0; y = 1;

su Ox ašimi: y = 0; x = 1;

4. Nutrūkimo taškai ir asimptotės: vertikalių asimptočių nėra.

Įstrižai asimptotai: bendroji lygtis y = kx + b;

Iš viso: y \u003d -x - įstrižas asimptotas.

5. Didėjančios ir mažėjančios funkcijos, ekstremumo taškai.

Matyti, kad у 0 esant bet kuriam x  0, todėl funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje ir neturi ekstremalių. Taške x = 0 pirmoji funkcijos išvestinė lygi nuliui, tačiau šiame taške mažėjimas nesikeičia į didėjimą, todėl taške x = 0 funkcija greičiausiai turi linksnį. Norėdami rasti vingio taškus, randame antrąją funkcijos išvestinę.

y = 0, kai x = 0, ir y = , kai x = 1.

Taškai (0,1) ir (1,0) yra vingio taškai, nes y (1 val.)< 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h)< 0 для любого h > 0.

6. Sukurkime funkcijos grafiką.

Pavyzdys: Ištirkite funkciją ir nubraižykite jos grafiką.

1. Funkcijos apimtis yra visos x reikšmės, išskyrus x = 0.

2. Funkcija yra funkcija bendras vaizdas lyginių ir nelyginių atžvilgiu.

3. Susikirtimo taškai su koordinačių ašimis: su Ox ašimi: y = 0; x=

su Oy ašimi: x = 0; y neegzistuoja.

4. Taškas x \u003d 0 yra nenutrūkstamo taškas, todėl linija x \u003d 0 yra vertikali asimptotė.

Įstrižų asimptotų ieškoma formoje: y = kx + b.

Įstrižinė asimptotė y = x.

5. Raskite funkcijos ekstremalinius taškus.

; y = 0, kai x = 2, y = , kai x = 0.

y > 0, kai x  (-, 0) - funkcija didėja,

y< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 ties x  (2, ) – funkcija didėja.

Taigi taškas (2, 3) yra mažiausias taškas.

Norėdami nustatyti funkcijos išgaubtumo / įgaubimo pobūdį, randame antrąją išvestinę.

> 0 bet kuriam x  0, todėl funkcija yra įgaubta visoje apibrėžimo srityje.

6. Sukurkime funkcijos grafiką.

Pavyzdys: Ištirkite funkciją ir nubraižykite jos grafiką.

Šios funkcijos sritis yra intervalas x  (-, ).

Lyginių ir nelyginių prasme funkcija yra bendrosios formos funkcija.

Susikirtimo taškai su koordinačių ašimis: su Oy ašimi: x = 0, y = 0;

su Ox ašimi: y = 0, x = 0, x = 1.

Kreivės asimptotės.

Vertikalių asimptotų nėra.

Pabandykime rasti įstrižinius asimptotus forma y = kx + b.

- nėra įstrižų asimptotų.

Ekstremalumo taškų paieška.

Norėdami rasti kritinius taškus, turėtumėte išspręsti lygtį 4x 3 - 9x 2 + 6x -1 \u003d 0.

Norėdami tai padaryti, išskaidome šį trečiojo laipsnio daugianarį į veiksnius.

Atranka gali nustatyti, kad viena iš šios lygties šaknų yra skaičius

x = 1. Tada:

4x 3 - 9x 2 + 6x - 1 x - 1

 4x 3 - 4x 2 4x 2 - 5x + 1

Tada galime parašyti (x - 1) (4x 2 - 5x + 1) = 0. Galiausiai gauname du kritinius taškus: x = 1 ir x = ¼.

Pastaba. Daugiavardžių dalybos operacijos būtų galima išvengti, jei ieškant išvestinės būtų naudojama sandaugos išvestinės formulė:

Raskime antrąją funkcijos išvestinę: 12x 2 - 18x + 6. Prilyginę nuliui, randame:

Gautą informaciją susisteminame lentelėje:

	sutrikimas žemyn		dideja sutrikimas žemyn		dideja vyp.up		dideja sutrikimas žemyn

Sukurkime funkcijos grafiką.

Užduotis: atlikti išsamų funkcijos tyrimą ir sudaryti jos grafiką.

Kiekvienas mokinys atliko panašias užduotis.

Tai, kas išdėstyta toliau, reiškia geras žinias. Jei turite klausimų, rekomenduojame perskaityti šį skyrių.

Funkcijų tyrimo algoritmas susideda iš šių žingsnių.

Funkcijos apimties radimas.

Tai labai svarbus veiksmas tiriant funkciją, nes visi tolesni veiksmai bus atliekami apibrėžimo srityje.

Mūsų pavyzdyje turime rasti vardiklio nulius ir neįtraukti juos iš realiųjų skaičių srities.



(Kituose pavyzdžiuose gali būti šaknų, logaritmų ir kt. Prisiminkite, kad šiais atvejais domeno ieškoma taip:
pavyzdžiui, lyginio laipsnio šaknis - apibrėžimo sritis randama iš nelygybės ;
logaritmui – apibrėžimo sritis randama iš nelygybės ).

Funkcijos elgsenos ant apibrėžimo srities ribos tyrimas, vertikalių asimptočių radimas.

Apibrėžimo srities ribose funkcija turi vertikalios asimptotės, jei šiose ribose taškai yra begaliniai.

Mūsų pavyzdyje apibrėžimo srities ribiniai taškai yra .

Tiriame funkcijos elgseną artėjant prie šių taškų iš kairės ir dešinės, kuriems randame vienpuses ribas:


Kadangi vienpusės ribos yra begalinės, linijos yra vertikalios grafiko asimptotės.

Lyginio ar nelyginio pariteto funkcijos tyrimas.

Funkcija yra net, jei. Funkcijos paritetas rodo grafiko simetriją y ašies atžvilgiu.

Funkcija yra nelyginis, jei . Funkcijos nelygumas rodo grafiko simetriją pradžios atžvilgiu.

Jei netenkinama nė viena lygybė, tada turime bendrosios formos funkciją.

Mūsų pavyzdyje lygybė yra teisinga, todėl mūsų funkcija yra lygi. Į tai atsižvelgsime braižydami grafiką – jis bus simetriškas y ašiai.

Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalų, ekstremalių taškų radimas.

Didėjimo ir mažėjimo intervalai yra atitinkamai nelygybių sprendiniai.

Vadinami taškai, kuriuose išvestinė išnyksta stacionarus.

Kritiniai funkcijos taškai iškviesti vidinius apibrėžimo srities taškus, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.

KOMENTARAS(ar įtraukti kritinius taškus į didėjimo ir mažėjimo intervalus).

Kritinius taškus įtrauksime į didėjančius ir mažėjančius intervalus, jei jie priklauso funkcijos sričiai.

Šiuo būdu, nustatyti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus

• pirma, randame išvestinę;
• antra, randame kritinius taškus;
• trečia, apibrėžimo sritį pagal kritinius taškus padalijame į intervalus;
• ketvirta, kiekviename intervale nustatome išvestinės ženklą. Pliuso ženklas atitiks didinimo intervalą, minuso – mažinimo intervalą.

Pirmyn!

Išvestinį randame apibrėžimo srityje (jei kyla sunkumų, žr. skyrių).


Mes randame tam svarbius taškus:

Šiuos taškus dedame į skaitinę ašį ir kiekviename gautame intervale nustatome išvestinės ženklą. Arba galite paimti bet kurį intervalo tašką ir tame taške apskaičiuoti išvestinės vertės vertę. Jei vertė yra teigiama, įdėkite pliuso ženklą ant šio intervalo ir pereikite prie kito, jei neigiama, tada įdėkite minusą ir pan. Pavyzdžiui, , todėl prie pirmojo intervalo kairėje dedame pliusą.


Darome išvadą:

Schematiškai pliusai / minusai žymi intervalus, kai išvestinė yra teigiama / neigiama. Didėjančios / mažėjančios rodyklės rodo didėjimo / mažėjimo kryptį.

funkcijos ekstremalūs taškai yra taškai, kuriuose funkcija apibrėžiama ir einantys per kuriuos išvestinė keičia ženklą.

Mūsų pavyzdyje ekstremumo taškas yra x=0. Funkcijos reikšmė šiuo metu yra . Kadangi išvestinė, eidama per tašką x=0, keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai (0; 0) yra vietinis maksimalus taškas. (Jei išvestinė pakeistų ženklą iš minuso į pliusą, tada turėtume vietinį minimumą).

Funkcijos išgaubimo ir įgaubimo intervalų bei vingio taškų paieška.

Funkcijos įgaubtumo ir išgaubtumo intervalai randami atitinkamai sprendžiant nelygybes ir.

Kartais įdubimas vadinamas išgaubimu žemyn, o išgaubtas – į viršų.

Čia taip pat galioja pastabos, panašios į pastraipoje apie didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Šiuo būdu, nustatyti funkcijos įgaubto ir išgaubto tarpatramius:

• pirma, randame antrą išvestinę;
• antra, randame antrosios išvestinės skaitiklio ir vardiklio nulius;
• trečia, apibrėžimo sritį pagal gautus taškus padalijame į intervalus;
• ketvirta, kiekviename intervale nustatome antrosios išvestinės ženklą. Pliuso ženklas atitiks įdubimo intervalą, minuso ženklas - išgaubtą intervalą.

Pirmyn!

Apibrėžimo srityje randame antrąją išvestinę.


Mūsų pavyzdyje nėra skaitiklio nulių, vardiklio nulių.

Šiuos taškus dedame į realiąją ašį ir kiekviename gautame intervale nustatome antrosios išvestinės ženklą.



Darome išvadą:

Taškas vadinamas Vingio taškas, jei tam tikrame taške yra funkcijos grafiko liestinė ir antroji funkcijos išvestinė keičia ženklą eidama pro .

Kitaip tariant, vingio taškai gali būti taškai, per kuriuos antroji išvestinė keičia ženklą, pačiuose taškuose arba lygus nuliui, arba neegzistuoja, tačiau šie taškai yra įtraukti į funkcijos sritį.

Mūsų pavyzdyje vingio taškų nėra, nes antroji išvestinė, eidama per taškus, keičia ženklą ir jie neįtraukiami į funkcijos sritį.

Horizontalių ir įstrižų asimptotų radimas.

Horizontalių arba įstrižų asimptotų reikia ieškoti tik tada, kai funkcija apibrėžta begalybėje.

Įstrižai asimptotai ieškoma tiesių linijų forma , kur ir .

Jeigu k=0 ir b nelygu begalybei, tada tampa įstrižinė asimptotė horizontaliai.

Kas vis dėlto yra tie asimptotai?

Tai yra linijos, prie kurių funkcijos grafikas artėja prie begalybės. Taigi jie labai padeda braižant funkciją.

Jei nėra horizontalių ar įstrižų asimptotų, bet funkcija yra apibrėžta plius begalybėje ir (arba) minus begalybėje, tada reikia apskaičiuoti funkcijos ribą plius begalybė ir (arba) minus begalybė, kad susidarytų supratimas apie funkcijos grafikas.

Mūsų pavyzdžiu

yra horizontalioji asimptotė.

Tai baigia funkcijos tyrimą, pereiname prie braižymo.

Funkcijų reikšmes apskaičiuojame tarpiniuose taškuose.

Norėdami tiksliau braižyti, rekomenduojame tarpiniuose taškuose (ty bet kuriuose funkcijos apibrėžimo srities taškuose) rasti kelias funkcijos reikšmes.

Mūsų pavyzdyje suraskime funkcijos reikšmes taškuose x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Dėl funkcijos pariteto šios reikšmės sutaps su reikšmėmis taškuose x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Grafo sudarymas.

Pirmiausia sukuriame asimptotes, nubraižome funkcijos lokalinių maksimumų ir minimumų taškus, vingio taškus ir tarpinius taškus. Braižymo patogumui taip pat galite pritaikyti schematišką padidėjimo, mažėjimo, išgaubimo ir įgaubimo intervalų žymėjimą, ne veltui studijavome funkciją =).


Belieka nubrėžti grafiko linijas per pažymėtus taškus, artėjant prie asimptočių ir sekant rodyklėmis.


Pagal šį šedevrą vaizdiniai menai pilnai ištirti funkciją ir sudaryti braižą užduotis baigta.

Kai kurių diagramos elementarios funkcijos galima sukurti naudojant pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus.

Vienas iš svarbiausių diferencialinio skaičiavimo uždavinių yra bendrųjų funkcijų elgsenos tyrimo pavyzdžių kūrimas.

Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė intervale, o jos išvestinė yra teigiama arba lygi 0 intervale (a, b), tada y \u003d f (x) padidėja (f "(x) 0). Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė atkarpoje , o jos išvestinė yra neigiama arba lygi 0 intervale (a,b), tada y=f(x) sumažėja (f"( x)0)

Intervalai, kuriuose funkcija nemažėja arba nedidėja, vadinami funkcijos monotoniškumo intervalais. Funkcijos monotoniškumo pobūdis gali keistis tik tuose jos apibrėžimo srities taškuose, kuriuose kinta pirmosios išvestinės ženklas. Taškai, kuriuose pirmoji funkcijos išvestinė išnyksta arba nutrūksta, vadinami kritiniais taškais.

1 teorema (1-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul funkcija y=f(x) yra apibrėžta taške x 0 ir tebūna tokia kaimynystė δ>0, kad funkcija būtų ištisinė atkarpoje , diferencijuojama intervale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , o jo išvestinė kiekviename iš šių intervalų išlaiko pastovų ženklą. Tada jei ant x 0 -δ, x 0) ir (x 0, x 0 + δ) išvestinės ženklai yra skirtingi, tai x 0 yra ekstremumo taškas, o jei jie sutampa, tai x 0 nėra ekstremumo taškas . Be to, jei einant per tašką x0, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą (kairėje nuo x 0 atliekamas f "(x)> 0, tai x 0 yra maksimalus taškas; jei išvestinė keičia ženklą nuo minuso iki pliuso (dešinėje nuo x 0 vykdomas f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Didžiausias ir mažiausias taškai yra vadinami funkcijos ekstremumais, o funkcijos maksimumai ir minimumai – kraštutinėmis reikšmėmis.

2 teorema (būtinas lokalinio ekstremumo kriterijus).

Jei funkcija y=f(x) turi ekstremumą, kai srovė yra x=x 0, tada arba f'(x 0)=0, arba f'(x 0) neegzistuoja.
Diferencijuojamos funkcijos ekstremaliuose taškuose jos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

Ekstremo funkcijos tyrimo algoritmas:

1) Raskite funkcijos išvestinę.
2) Raskite kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose funkcija yra ištisinė, o išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
3) Apsvarstykite kiekvieno taško kaimynystę ir išnagrinėkite išvestinės ženklą į kairę ir į dešinę nuo šio taško.
4) Nustatykite kraštutinių taškų koordinates, šią kritinių taškų reikšmę pakeiskite šia funkcija. Naudodamiesi pakankamai ekstremaliomis sąlygomis, padarykite atitinkamas išvadas.

18 pavyzdys. Ištirkite funkciją y=x 3 -9x 2 +24x

Sprendimas.
1) y" = 3x 2 -18x + 24 = 3 (x-2) (x-4).
2) Išvestinę prilyginę nuliui, randame x 1 =2, x 2 =4. Šiuo atveju išvestinė apibrėžiama visur; taigi, be dviejų rastų taškų, kitų kritinių taškų nėra.
3) Išvestinės y ženklas "=3(x-2)(x-4) keičiasi priklausomai nuo intervalo, kaip parodyta 1 paveiksle. Einant per tašką x=2, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, o einant per tašką x=4 - nuo minuso iki pliuso.
4) Taške x=2 funkcija turi didžiausią y max =20, o taške x=4 - minimalų y min =16.

3. teorema (2-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul f "(x 0) ir f "" (x 0) egzistuoja taške x 0. Jei f "" (x 0)> 0, tai x 0 yra mažiausias taškas, o jei f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Atkarpoje funkcija y \u003d f (x) gali pasiekti mažiausią (bent jau) arba didžiausią (daugiausia) reikšmę kritiniuose funkcijos taškuose, esančiuose intervale (a; b), arba galuose segmento.

Algoritmas, kaip rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos y=f(x) reikšmes atkarpoje:

1) Raskite f "(x).
2) Raskite taškus, kuriuose f "(x) = 0 arba f" (x) - neegzistuoja, ir pasirinkite iš jų tuos, kurie yra atkarpos viduje.
3) Apskaičiuokite funkcijos y \u003d f (x) reikšmę taškuose, gautuose 2 dalyje), taip pat atkarpos galuose ir pasirinkite didžiausią ir mažiausią iš jų: jie yra atitinkamai didžiausi ( didžiausios) ir mažiausios (mažiausios) funkcijos reikšmės segmente .

19 pavyzdys. Raskite atkarpoje didžiausią tolydžios funkcijos y=x 3 -3x 2 -45+225 reikšmę.

1) Segmente turime y "=3x 2 -6x-45
2) Išvestinė y" egzistuoja visiems x. Raskime taškus, kur y"=0; mes gauname:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę taškuose x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Atkarpai priklauso tik taškas x=5. Didžiausia iš rastų funkcijos reikšmių yra 225, o mažiausia yra skaičius 50. Taigi, kai max = 225, kai max = 50.

Išgaubtumo funkcijos tyrimas

Paveiksle pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Pirmasis iš jų pasukamas iškilimu į viršų, antrasis – su iškilimu žemyn.

Funkcija y=f(x) yra ištisinė atkarpoje ir diferencijuojama intervale (a;b), šiame atkarpoje vadinama išgaubta aukštyn (žemyn), jei axb jos grafikas yra ne aukščiau (ne žemiau) už liestinę. nubrėžta bet kuriame taške M 0 (x 0 ;f(x 0)), kur axb.

4 teorema. Tegul funkcija y=f(x) turi antrą išvestinę bet kuriame vidiniame atkarpos taške x ir yra tolydi šios atkarpos galuose. Tada, jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (a;b), tai funkcija yra žemyn išgaubta atkarpoje ; jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (а;b), tai funkcija yra išgaubta į viršų .

5 teorema. Jei funkcija y=f(x) turi antrąją išvestinę intervale (a;b) ir ji keičia ženklą eidama per tašką x 0 , tai M(x 0 ;f(x 0)) yra vingio taškas.

Posūkio taškų radimo taisyklė:

1) Raskite taškus, kuriuose f""(x) neegzistuoja arba išnyksta.
2) Išnagrinėkite ženklą f""(x) kairėje ir dešinėje nuo kiekvieno taško, rasto pirmame žingsnyje.
3) Remdamiesi 4 teorema, padarykite išvadą.

20 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ekstremumo taškus ir vingio taškus.

Turime f"(x)=12x3 -24x2 +12x=12x(x-1) 2. Akivaizdu, kad f"(x)=0, kai x 1 =0, x 2 =1. Išvestinė, eidama per tašką x=0, keičia ženklą iš minuso į pliusą, o eidama per tašką x=1 – ženklo nekeičia. Tai reiškia, kad x=0 yra mažiausias taškas (y min =12), o taške x=1 ekstremumo nėra. Toliau randame . Antroji išvestinė išnyksta taškuose x 1 =1, x 2 =1/3. Antrosios išvestinės ženklai kinta taip: Ant spindulio (-∞;) turime f""(x)>0, intervale (;1) turime f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Todėl x= yra funkcijos grafiko vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo žemyn į išgaubtą aukštyn), o x=1 taip pat yra vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo aukštyn į išgaubtą žemyn). Jei x=, tai y= ; jei, tai x=1, y=13.

Grafo asimptotės radimo algoritmas

I. Jei y=f(x) kaip x → a , tai x=a yra vertikali asimptotė.
II. Jei y=f(x) kaip x → ∞ arba x → -∞, tada y=A yra horizontalioji asimptotė.
III. Norėdami rasti įstrižą asimptotą, naudojame šį algoritmą:
1) Apskaičiuokite. Jei riba egzistuoja ir yra lygi b, tai y=b yra horizontalioji asimptotė; jei , tada pereikite prie antrojo veiksmo.
2) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus k, pereikite prie trečio žingsnio.
3) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus b, pereikite prie ketvirto žingsnio.
4) Užrašykite įstriosios asimptotės y=kx+b lygtį.

21 pavyzdys: Raskite funkcijos asimptotę

1)
2)
3)
4) Įstrižinė asimptotinė lygtis turi formą

Funkcijos tyrimo schema ir jos grafiko sudarymas

I. Raskite funkcijos sritį.
II. Raskite funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.
III. Raskite asimptotus.
IV. Raskite galimo ekstremumo taškus.
V. Raskite kritinius taškus.
VI. Naudodami pagalbinį brėžinį ištirkite pirmojo ir antrojo vedinių ženklą. Nustatykite funkcijos didėjimo ir mažėjimo sritis, raskite grafiko išgaubimo kryptį, ekstremumo taškus ir vingio taškus.
VII. Sudarykite grafiką, atsižvelgdami į 1–6 dalyse atliktą tyrimą.

22 pavyzdys: Nubraižykite funkcijos grafiką pagal aukščiau pateiktą schemą

Sprendimas.
I. Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė, išskyrus x=1.
II. Kadangi lygtis x 2 +1=0 neturi realių šaknų, tai funkcijos grafikas neturi susikirtimo taškų su Ox ašimi, o kerta Oy ašį taške (0; -1).
III. Išsiaiškinkime asimptotų egzistavimo klausimą. Tiriame funkcijos elgseną šalia nutrūkimo taško x=1. Kadangi y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+, tai tiesė x=1 yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.
Jei x → +∞(x → -∞), tai y → +∞(y → -∞); todėl grafikas neturi horizontalios asimptotės. Be to, nuo ribų egzistavimo

Išsprendę lygtį x 2 -2x-1=0, gauname du galimo ekstremumo taškus:
x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2

V. Norėdami rasti kritinius taškus, apskaičiuojame antrąją išvestinę:

Kadangi f""(x) neišnyksta, kritinių taškų nėra.
VI. Tiriame pirmojo ir antrojo darinių ženklą. Galimi ekstremumai, į kuriuos reikia atsižvelgti: x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2, padalinkite funkcijos egzistavimo sritį į intervalus (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) ir (1+√2;+∞).

Kiekviename iš šių intervalų vedinys išlaiko savo ženklą: pirmame - pliusas, antrasis - minusas, trečias - pliusas. Pirmosios išvestinės ženklų seka bus rašoma taip: +, -, +.
Gauname, kad funkcija ties (-∞;1-√2) didėja, ant (1-√2;1+√2) mažėja, o ant (1+√2;+∞) vėl didėja. Ekstremalūs taškai: maksimalus ties x=1-√2, be to f(1-√2)=2-2√2 minimumas, kai x=1+√2, be to, f(1+√2)=2+2√2. Ant (-∞;1) grafikas yra išgaubtas aukštyn, o ant (1;+∞) - žemyn.
VII Padarykime gautų reikšmių lentelę

VIII Remdamiesi gautais duomenimis sudarome funkcijos grafiko eskizą