Su šiuo internetinis skaičiuotuvas galite rasti plokštumų susikirtimo liniją. Pateikiamas išsamus sprendimas su paaiškinimais. Norėdami rasti plokštumų susikirtimo linijos lygtį, įveskite koeficientus į plokštumų lygtis ir spustelėkite mygtuką „Spręsti“. Žr. toliau pateiktą teorinę dalį ir skaitinius pavyzdžius.
×
Įspėjimas
Išvalyti visas ląsteles?
Uždaryti Išvalyti
Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir tt), dešimtainiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvedama forma a/b, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.
Plokštumų susikirtimo linija – teorija, pavyzdžiai ir sprendimai
Dvi plokštumos erdvėje gali būti lygiagrečios, sutapusios arba susikertančios. Šiame straipsnyje mes apibrėžsime santykinė padėtis dvi plokštumos, o jei šios plokštumos susikerta, gauname plokštumų susikirtimo linijos lygtį.
Tegul Dekartas stačiakampė sistema koordinates Oxyz o plokštumos turi būti nurodytos šioje koordinačių sistemoje α 1 ir α 2:
Kadangi vektoriai n 1 ir n 2 yra kolineariniai, tada yra toks skaičius λ ≠0, kad lygybė tenkinama n 1 =λ n 2, t.y. A 1 =λ A 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .
Padauginus lygtį (2) iš λ , gauname:
Jei lygybė D 1 =λ D 2, tada lėktuvas α 1 ir α 2 sutampa, jei D 1 ≠λ D 2 tada lėktuvai α 1 ir α 2 yra lygiagrečios, tai yra, jie nesikerta.
2. Normalieji vektoriai n 1 ir n 2 lėktuvai α 1 ir α 2 nėra kolinearinės (2 pav.).
Jei vektoriai n 1 ir n 2 nėra kolineariniai, tada išsprendžiame sistemą tiesines lygtis(1) ir (2). Norėdami tai padaryti, laisvuosius terminus perkeliame į dešinę lygčių pusę ir sudarome atitinkamą matricos lygtį:
Kur x 0 , y 0 , z 0 , m, p, l realieji skaičiai ir t− kintamasis.
Lygybę (5) galima parašyti taip:
1 pavyzdys. Raskite plokštumų susikirtimo liniją α 1 ir α 2:
| α 1: x+2y+z+54=0. | (7) |
Išspręskime tiesinių lygčių sistemą (9) atžvilgiu x, y, z. Norėdami išspręsti sistemą, sudarome išplėstinę matricą:
Antrasis etapas. Atvirkštinis Gauso judėjimas.
Išskirkime virš elemento esančios matricos 2 stulpelio elementus a 22. Norėdami tai padaryti, pridėkite 1 eilutę su 2 eilute, padauginta iš –2/5:
Mes gauname sprendimą:
Gavome plokštumų susikirtimo linijos lygtį α 1 ir α 2 parametrine forma. Parašykime tai kanonine forma.
Atsakymas. Plokštumų susikirtimo linijos lygtis α 1 ir α 2 atrodo taip:
| (15) |
α 1 turi normalų vektorių n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(1, 2, 7). Lėktuvas α 2 turi normalų vektorių n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.
n 1 ir n 2 kolinearinis ( n 1 galima gauti dauginant n 2 pagal skaičių 1/2), tada lėktuvas α 1 ir α 2 yra lygiagretūs arba sutampa.
α 2 padaugintas iš skaičiaus 1/2:
| (18) |
Sprendimas. Pirmiausia nustatykime šių plokštumų santykinę padėtį. Lėktuvas α 1 turi normalų vektorių n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(5, -2, 3). Lėktuvas α 2 turi normalų vektorių n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.
Kadangi krypties vektoriai n 1 ir n 2 kolinearinis ( n 1 galima gauti dauginant n 2 pagal skaičių 1/3), tada lėktuvas α 1 ir α 2 yra lygiagretūs arba sutampa.
Kai padauginate lygtį iš skaičiaus, kuris nėra nulis, lygtis nepasikeičia. Transformuokime plokštumos lygtį α 2 padaugintas iš skaičiaus 1/3:
| (19) |
Kadangi (17) ir (19) lygčių normalieji vektoriai sutampa ir laisvieji nariai yra lygūs, tada plokštumos α 1 ir α 2 rungtynės.
KAMPAS TARP PLOKTUMU
Apsvarstykite dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai apibrėžtas lygtimis:
Pagal kampu tarp dviejų plokštumų suprasime vieną iš šių plokštumų suformuotų dvikampių kampų. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių arba 
. Štai kodėl 
. Nes 
Ir 
, Tai
.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.
Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.
Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai yra lygiagrečios, todėl 
.
Taigi dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai atitinkamų koordinačių koeficientai yra proporcingi:
arba
Plokštumų statmenumo sąlyga.
Akivaizdu, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalūs vektoriai yra statmeni, todėl arba .
Taigi,.
Pavyzdžiai.
TIESIAI ERDVĖJE.
VEKTORINĖ LYGTIS LINIJAI.
PARAMETRINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS
Linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš jos fiksuotų taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.
Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vedliaišios linijos vektorius.
Taigi tegul tiesi linija l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1), esantis ant vektoriui lygiagrečios linijos.
Apsvarstykite savavališką tašką M(x,y,z) tiesioje linijoje. Iš paveikslo aišku, kad 
.
Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas , kur yra daugiklis t gali įgauti bet kokią skaitinę reikšmę, priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. veiksnys t vadinamas parametru. Nurodę taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir , gauname . Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvienai parametro vertei t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M, gulėti ant tiesios linijos.
Parašykime šią lygtį koordinačių forma. Atkreipkite dėmesį, 
ir iš čia
Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesės lygtys.
Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y Ir z ir laikotarpis M juda tiesia linija.
KANONINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS
Leiskite M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – taškas, esantis tiesioje linijoje l, Ir 
yra jo krypties vektorius. Vėl paimkime savavališką linijos tašką M(x,y,z) ir apsvarstykite vektorių .
Akivaizdu, kad vektoriai taip pat yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos, todėl
– kanoninis tiesės lygtys.
1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanonines linijos lygtis galima gauti iš parametrinių, pašalinus parametrą t. Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname 
arba .
Pavyzdys. Užrašykite linijos lygtį 
parametrine forma.
Pažymėkime 
, iš čia x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
2 pastaba. Tegul tiesė yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis. Tada tiesės krypties vektorius yra statmenas Jautis, vadinasi, m=0. Todėl linijos parametrinės lygtys įgis tokią formą
Parametrų neįtraukimas iš lygčių t, gauname formos tiesės lygtis
Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje 
. Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad tiesė yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.
Panašus į kanonines lygtis 
atitinka ašims statmeną tiesę Jautis Ir Oy arba lygiagrečiai ašiai Oz.
Pavyzdžiai.
BENDROSIOS TIESĖS LYGTYBĖS KAIP Dviejų PLOKŠTUMŲ SANTRAUKOS LINĖS
Per kiekvieną tiesią erdvę erdvėje yra daugybė plokštumų. Bet kurie du iš jų, susikertantys, apibrėžia jį erdvėje. Vadinasi, bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, atspindi šios linijos lygtis.
Apskritai, pateiktos bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos bendrosios lygtys
nustatyti tiesią jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesioginis.
Pavyzdžiai.
Sukurkite tiesę, kurią pateikia lygtys 
Norint sukurti tiesią liniją, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės ir koordinačių plokštumų susikirtimo taškus. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės lygčių, darydami prielaidą z= 0:
Išsprendę šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).
Panašiai, darant prielaidą y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:
Nuo bendrųjų tiesės lygčių galima pereiti prie jos kanoninių arba parametrinių lygčių. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 tiesėje ir tiesės krypties vektorius.
Taško koordinatės M 1 gauname iš šios lygčių sistemos, suteikdami vienai iš koordinačių savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams 
Ir 
. Todėl už tiesės krypties vektoriaus l tu gali pasiimti vektorinis produktas normalūs vektoriai:
.
Pavyzdys. Pateikite bendrąsias linijos lygtis 
į kanoninę formą.
Raskime tašką, esantį ant linijos. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:
Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates 
Todėl krypties vektorius bus tiesus
. Vadinasi, l: 
.
KAMPAS TARP TIESIŲ
Kampas tarp eilučių erdvėje vadinsime bet kurią iš gretimų kampų, sudarytas iš dviejų tiesių linijų, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.
Tegu erdvėje pateikiamos dvi eilutės:
Akivaizdu, kad kampas φ tarp tiesių gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Nuo tada, naudodamiesi kampo tarp vektorių kosinuso formule, gauname
Įveskite kanonines tiesės lygtis
koeficientas skiriasi nuo nulio, t.y. tiesė nėra lygiagreti xOy plokštumai. Parašykime šias lygtis atskirai tokia forma:
Mūsų sąlygomis (6) lygtys visiškai apibrėžia tiesę. Kiekvienas iš jų atskirai išreiškia plokštumą, kai pirmoji iš jų lygiagreti Oy ašiai, o antroji - ašiai
Taigi, pavaizduodami tiesę su (6) formos lygtimis, mes laikome ją dviejų plokštumų, kurios projektuoja šią tiesę koordinačių plokštumoje xOz ir yOz, sankirta. Pirmoji iš (6) lygčių, nagrinėjama plokštumoje, nustato tam tikros tiesės projekciją į šią plokštumą; lygiai taip pat antroji iš (6) lygčių, nagrinėjama plokštumoje, nustato duotosios tiesės projekciją yOz plokštumoje. Taigi, galime sakyti, kad pateikti tiesės lygtis formoje (6), reiškia pateikti jos projekciją koordinačių plokštumoje xOz ir yOz.
Jei orientacinis koeficientas būtų lygus nuliui, tai, pavyzdžiui, bent vienas iš kitų dviejų koeficientų skirtųsi nuo nulio, ty tiesė nebūtų lygiagreti yOz plokštumai. Šiuo atveju galime išreikšti tiesią liniją
plokštumų lygtys, projektuojančios jį į koordinačių plokštumas, rašant (5) lygtis į formą
Taigi bet kurią tiesę galima išreikšti dviejų plokštumų, einančių per ją ir projektuojančių ją į koordinačių plokštumas, lygtimis. Bet visai nebūtina apibrėžti tiesės tik tokia plokštumų pora.
Per kiekvieną tiesią liniją eina daugybė plokštumų. Bet kurios dvi iš jų, susikertančios, apibrėžia ją erdvėje. Vadinasi, bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, atspindi šios linijos lygtis.
Apskritai, bet kurios dvi plokštumos, kurios nėra lygiagrečios viena kitai, turinčios bendrąsias lygtis
nustatyti jų susikirtimo tiesę.
Lygtys (7), nagrinėjamos kartu, vadinamos bendrosiomis tiesės lygtimis.
Iš tiesės (7) bendrųjų lygčių galime pereiti prie jos kanoninių lygčių. Tam turime žinoti tam tikrą linijos tašką ir krypties vektorių.
Mes galime lengvai rasti taško koordinates pagal pateiktą lygčių sistemą, savavališkai pasirinkę vieną iš koordinačių ir išspręsdami dviejų lygčių sistemą, naudodami likusių dviejų koordinačių sąlygas.
Norėdami rasti tiesės krypties vektorių, pažymime, kad šis vektorius, nukreiptas išilgai šių plokštumų susikirtimo linijos, turi būti statmenas abiem šių plokštumų normaliiesiems vektoriams. Ir atvirkščiai, kiekvienas statmenas vektorius yra lygiagretus abiem plokštumoms, taigi ir nurodytai tiesei.
Tačiau vektorinis produktas taip pat turi šią savybę. Todėl šių plokštumų normaliųjų vektorių vektorinę sandaugą galima paimti kaip tiesės krypties vektorių.
1 pavyzdys. Sumažinkite tiesės lygtį iki kanoninės formos
Savavališkai parinksime vieną iš koordinačių. Tegu, pavyzdžiui,. Tada
iš kur Taigi, mes radome tašką (2, 0, 1), esantį ant linijos,
Dabar, radę vektorių sandaugą, gauname tiesės krypties vektorių, todėl kanoninės lygtys bus tokios:
komentuoti. Iš bendrųjų (7) formos tiesių lygčių galite pereiti prie kanoninių, nesinaudodami vektoriniu metodu.
Pirmiausia pakalbėkime šiek tiek išsamiau apie lygtis
Išreikškime x ir y iš jų per . Tada gauname:
kur turėtų būti
Lygtys (6) vadinamos tiesiosiomis lygtimis projekcijose plokštumoje
Įdiegkime geometrine prasme konstantos M ir N: M yra nurodytos tiesės projekcijos į koordinačių plokštumą kampinis koeficientas (šios projekcijos kampo liestinė su Ozo ašimi), o N yra šios tiesės projekcijos į koordinačių plokštumą kampinis koeficientas. koordinačių plokštuma (šios projekcijos kampo liestinė su Ozo ašimi). Taigi, skaičiai nustato tam tikros tiesės projekcijų kryptis į dvi koordinačių plokštumas, o tai reiškia, kad jie taip pat apibūdina pačios duotosios tiesės kryptį. Todėl vadinami skaičiais M ir N kampo koeficientaiši linija.
Norėdami sužinoti geometrinę konstantų reikšmę, į (6) lygtis įdėkime tiesią liniją, tada gauname: tai yra, taškas yra tam tikroje tiesėje. Akivaizdu, kad šis taškas yra šios tiesės susikirtimo su plokštuma taškas. Taigi, tai yra šios tiesės pėdsako koordinačių plokštumoje
Dabar lengva pereiti nuo projekcinių lygčių prie kanoninių. Tarkime, pateiktos (6) lygtys. Išspręsdami šias lygtis, randame:
iš kurių tiesiogiai gauname kanonines lygtis formoje
2 pavyzdys. Pateikite kanonines tiesės lygtis
į lygtis projekcijose plokštumoje
Šias lygtis perrašome į formą
Išsprendę pirmąją iš šių lygčių x, o antrąją – y, projekcijose randame reikiamas lygtis:
3 pavyzdys. Pateikite lygtis projekcijomis
į kanoninę formą.
Išsprendę šias lygtis, gauname:
Tiesė erdvėje gali būti apibrėžta kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija, tai yra kaip taškų rinkinys, atitinkantis dviejų tiesinių lygčių sistemą.
(V.5)
Teisingas ir atvirkštinis teiginys: dviejų nepriklausomų (V.5) formos tiesinių lygčių sistema apibrėžia tiesę kaip plokštumų (jei jos nėra lygiagrečios) susikirtimo liniją. Sistemos (V.5) lygtys vadinamos bendroji lygtis tiesi linija erdvėje 
.
PavyzdysV.12 . Sudarykite kanoninę tiesės, pateiktos bendromis plokštumų lygtimis, lygtį
Sprendimas. Norėdami parašyti kanoninę tiesės lygtį arba, kas yra tas pats, tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį, turite rasti bet kurių dviejų tiesės taškų koordinates. Pavyzdžiui, jie gali būti tiesės susikirtimo taškai su bet kuriomis dviem koordinačių plokštumomis Oyz Ir Oxz.
Tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas Oyz turi abscisę 
. Todėl šioje lygčių sistemoje darant prielaidą 
, gauname sistemą su dviem kintamaisiais:
Jos sprendimas 
,
kartu su 
apibrėžia tašką 
norima tiesi linija. Darant prielaidą, kad šioje lygčių sistemoje 
, mes gauname sistemą
kurio sprendimas 
,
kartu su 
apibrėžia tašką 
tiesės susikirtimas su plokštuma Oxz.
Dabar užrašykime tiesės, einančios per taškus, lygtis 
Ir 
:
arba 
, Kur 
bus šios tiesės krypties vektorius.
PavyzdysV.13.
Tiesi linija nurodoma kanonine lygtimi 
. Parašykite bendrąją šios eilutės lygtį.
Sprendimas. Kanoninę tiesės lygtį galima parašyti kaip dviejų nepriklausomų lygčių sistemą:
Gavome bendrąją tiesės lygtį, kurią dabar pateikia dviejų plokštumų, iš kurių viena 
lygiagrečiai ašiai Oz
(
), ir kitas 
– kirviai Oi
(
).
Šią tiesią liniją galima pavaizduoti kaip dviejų kitų plokštumų susikirtimo liniją, parašius jos kanoninę lygtį kitos nepriklausomų lygčių poros forma:
komentuoti . Tą pačią tiesę galima apibrėžti skirtingomis dviejų tiesinių lygčių sistemomis (tai yra skirtingų plokštumų susikirtimu, nes per vieną tiesę galima nubrėžti begalinį skaičių plokštumų), taip pat skirtingomis kanoninėmis lygtimis (priklausomai nuo tiesės taško pasirinkimas ir jo krypties vektorius) .
Nenulinis vektorius, lygiagretus tiesei, vadinsime jį kreipiamasis vektorius .
Įsileisk į trimatę erdvę 
duota tiesi linija l, einantis per tašką 
, ir jo krypties vektorius 
.
Bet koks vektorius 
, Kur 
, esantis ant linijos, yra kolinerinis su vektoriumi 
, todėl jų koordinatės yra proporcingos, tai yra
.
(V.6)
Ši lygtis vadinama kanonine tiesės lygtimi. Ypatingu atveju, kai ﻉ yra plokštuma, gauname plokštumos tiesės lygtį
PavyzdysV.14.
. 
,
.
,
(V.7) 
,
,
.
Raskite tiesės, einančios per du taškus, lygtį
,
(V.7) t
Kur 
.
Lygtį (V.6) patogu užrašyti parametrine forma. Kadangi lygiagrečių tiesių krypties vektorių koordinatės yra proporcingos, tai, darant prielaidą
- parametras, 
Atstumas nuo taško iki linijos l Apsvarstykite dvimatę Euklido erdvę ﻉ su Dekarto koordinačių sistema. Tegul taškas 
ﻉ ir lﻉ. Raskime atstumą nuo šio taško iki linijos. Padėkime 
, ir tiesiai
pateikta lygtimi 
(V.8 pav.). 
Atstumas 
, vektorius l,
, Kur 
– normaliosios linijos vektorius 
Ir 
,
.
– kolinearinės, todėl jų koordinatės yra proporcingos, t 
, vadinasi, A Ir B Iš čia 
arba padauginus šias lygtis iš
.
atitinkamai ir juos pridėję randame
, iš čia 
(V.8) 
.
PavyzdysV.15.
nustato atstumą nuo taško 
į tiesią liniją l:
Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį 
(V.8) l.
statmena tiesei linijai 
ir raskite atstumą nuo l
Iš pav. V.8 turime
, o normalusis vektorius yra tiesus 
. Iš mūsų turimos statmenumo sąlygos
Nes
, Tai 
. 
.
(V.9) 
Tai tiesės, einančios per tašką, lygtis l:
,statmenai tiesei 
(V.8) l Turėkime tiesės (V.9), einančios per tašką, lygtį
, statmena linijai 
. Raskite atstumą nuo taško 
, naudojant formulę (V.8). 
Norint rasti reikiamą atstumą, pakanka rasti tiesės, einančios per du taškus, lygtį
, o normalusis vektorius yra tiesus 
ir laikotarpis 
. Iš mūsų turimos statmenumo sąlygos
guli ant tiesės ties statmeno pagrindu. Leiskite
, Tada 
, ir vektorius l. 
arba
(V.11)
Nuo taško
,
guli ant tiesios linijos
, tada turime kitą lygybę
PavyzdysV.16.
Sumažinkime sistemą iki tokios formos, kuri patogi Cramerio metodui taikyti 
Jo sprendimas turi formą 
. 
(V.12) 
Pakeitę (V.12) į (V.10), gauname pradinį atstumą. 
Dvimatėje erdvėje duotas taškas
ir tiesiai
. Raskite atstumą nuo taško 
Ir 
į tiesią liniją; užrašykite tiesės, einančios per tašką, lygtį 
statmenai nurodytai tiesei ir raskite atstumą nuo taško 
iki statmens pradinei linijai pagrindo. 
Pagal formulę (V.8) turime
.
Mes randame tiesės, kurioje yra statmenas, lygtį kaip tiesę, einanti per du taškus 
, naudojant formulę (V.11). Nes 
, tada, atsižvelgiant į tai, kad
, A 
,
, turime
Norėdami rasti koordinates 
ﻉ ir plokštuma ﻉ. Raskime atstumą nuo šio taško 
prie lygties pateiktos plokštumos (V.9 pav.).
Analogiškai turime dvimatę erdvę 
ir vektorius 
, a, iš čia
.
(V.13) 
Ir 
Rašome tiesės, turinčios statmeną plokštumai lygtį, kaip tiesės, einančios per du taškus, lygtį
, guli lėktuve:
. 
(V.14)
Norėdami rasti taško koordinates 
,
,
prie bet kurių dviejų (V.14) formulės lygčių pridedame lygtį 
Išspręsdami trijų lygčių sistemą (V.14), (V.15), randame
.
– taško koordinates 
. Tada statmens lygtis bus parašyta forma
Norėdami rasti atstumą nuo taško
į plokštumą vietoj formulės (V.13) naudojame l Kanoninės tiesės erdvėje lygtys yra lygtys, apibrėžiančios tiesę, einančią per nurodytą tašką kolineariai krypties vektoriui.
.
Tegu duotas taškas ir krypties vektorius. Savavališkas taškas yra tiesėje
tik jei vektoriai ir yra kolineariniai, t.y., jiems tenkinama sąlyga: m , n Aukščiau pateiktos lygtys yra kanoninės tiesės lygtys. Skaičiai Ir m , n Aukščiau pateiktos lygtys yra kanoninės tiesės lygtys. Skaičiai p yra krypties vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis. Kadangi vektorius yra ne nulis, tada visi skaičiai vienu metu negali būti lygus nuliui. Tačiau vienas ar du iš jų gali pasirodyti lygus nuliui. IN
,
analitinė geometrija Oy Aukščiau pateiktos lygtys yra kanoninės tiesės lygtys. Oz Pavyzdžiui, leidžiamas šis įrašas: Oy Aukščiau pateiktos lygtys yra kanoninės tiesės lygtys. Oz o tai reiškia, kad vektoriaus projekcijos ašyje yra lygūs nuliui. Todėl ir vektorius, ir tiesė, apibrėžta kanoninėmis lygtimis, yra statmenos ašims .
t.y. lėktuvai yOz 
1 pavyzdys. Oz
.
Parašykite lygtis tiesei, esančioje statmenai plokštumai Oz ir einančios per šios plokštumos susikirtimo su ašimi tašką Oz Sprendimas. Raskime šios plokštumos susikirtimo tašką su ašimi . Kadangi bet kuris taškas, esantis ant ašies, Turi koordinates , Tada, darant prielaidą, kad pateiktoje plokštumos lygtyje z x = y = z 0, gauname 4 Oz- 8 = 0 arba 
= 2. Todėl šios plokštumos susikirtimo taškas su ašimi
turi koordinates (0; 0; 2) . Kadangi norima tiesė yra statmena plokštumai, ji lygiagreti jos normaliajam vektoriui. Todėl tiesės krypties vektorius gali būti normalusis vektorius A duotas lėktuvas.
Dabar užrašykite reikiamas tiesės, einančios per tašką, lygtis
= (0; 0; 2) vektoriaus kryptimi: 
Ir 
Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtys
.
Tiesią liniją galima apibrėžti dviem taškais, esančiais ant jos
Šiuo atveju tiesės nukreipiantis vektorius gali būti vektorius . Tada kanoninės linijos lygtys įgauna formą Parašykite lygtį tiesės erdvėje, einančios per taškus ir .
Sprendimas. Užrašykime reikiamas tiesės lygtis tokia forma, kokia pateikta teorinėje nuorodoje:
.
Kadangi , Tada norima tiesi linija yra statmena ašiai Oy .
Tiesi kaip plokštumų susikirtimo linija
Tiesė erdvėje gali būti apibrėžta kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija, t.y. kaip taškų rinkinys, atitinkantis dviejų tiesinių lygčių sistemą.
Sistemos lygtys dar vadinamos bendrosiomis tiesės erdvėje lygtimis.
3 pavyzdys. Sudarykite kanonines tiesės lygtis erdvėje, pateiktą bendromis lygtimis
Sprendimas. Norėdami parašyti kanonines tiesės lygtis arba, kas yra tas pats, tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis, turite rasti bet kurių dviejų tiesės taškų koordinates. Pavyzdžiui, jie gali būti tiesės susikirtimo taškai su bet kuriomis dviem koordinačių plokštumomis yra lygūs nuliui. Todėl ir vektorius, ir tiesė, apibrėžta kanoninėmis lygtimis, yra statmenos ašims Aukščiau pateiktos lygtys yra kanoninės tiesės lygtys. xOz .
Tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas yra lygūs nuliui. Todėl ir vektorius, ir tiesė, apibrėžta kanoninėmis lygtimis, yra statmenos ašims turi abscisę x= 0. Todėl šioje lygčių sistemoje darant prielaidą x= 0, gauname sistemą su dviem kintamaisiais:
Jos sprendimas y = 2 , z= 6 kartu su x= 0 apibrėžia tašką A(0; 2; 6) norima eilutė. Tada darant prielaidą, kad pateiktoje lygčių sistemoje y= 0, gauname sistemą
Jos sprendimas x = -2 , z= 0 kartu su y= 0 apibrėžia tašką B(-2; 0; 0) tiesės susikirtimas su plokštuma xOz .
Dabar užrašykime tiesės, einančios per taškus, lygtis A(0; 2; 6) ir B (-2; 0; 0) :
,
arba padalijus vardiklius iš -2:
,