Atkreipkite dėmesį: visi apibrėžimai apima skaičių aibę X, kuri yra funkcijos srities dalis: X su D(f). Praktikoje dažniausiai pasitaiko atvejų, kai X yra skaitinis intervalas (segmentas, intervalas, spindulys ir kt.).
1 apibrėžimas.
Laikoma, kad funkcija y = f(x) didėja aibėje X su D(f), jei bet kuriuose dviejuose aibės X taškuose x 1 ir x 2 taip, kad x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).
2 apibrėžimas.
Laikoma, kad funkcija y = f(x) mažėja aibėje X su D(f), jei bet kuriuose dviejuose aibės X taškuose x 1 ir x 2 taip, kad x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x 2).
Praktikoje patogiau naudoti tokias formuluotes: funkcija padidėja, jei didesnę vertę argumentas atitinka didesnę funkcijos reikšmę; funkcija mažėja, jei didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
7 ir 8 klasėse naudojome tokį geometrinį funkcijos didinimo ar mažinimo sąvokų aiškinimą: judant didėjančios funkcijos grafiku iš kairės į dešinę, atrodo, kad lipame į kalną (55 pav.); judant mažėjančios funkcijos grafiku iš kairės į dešinę, tarsi leidžiamės nuo kalno (56 pav.).
Paprastai terminai „didinanti funkcija“ ir „mažėjanti funkcija“ jungiami bendru pavadinimu monotoninė funkcija, o funkcijos didinimo ar mažinimo tyrimas vadinamas monotoniškumo funkcijos tyrimu.
Atkreipkime dėmesį į dar vieną aplinkybę: jei funkcija didėja (arba mažėja) savo natūralioje apibrėžimo srityje, tada paprastai sakome, kad funkcija didėja (arba mažėja) – nenurodydami. numerių rinkinys X.
1 pavyzdys.
Patikrinkite monotoniškumo funkciją:
A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.
Sprendimas:
a) Paimkite savavališkas argumento x 1 ir x 2 reikšmes ir tegul x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:
Paskutinė nelygybė reiškia, kad f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).
Taigi nuo x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), o tai reiškia, kad duotoji funkcija mažėja (visoje skaičių eilutėje).
3 apibrėžimas.
Laikoma, kad funkcija y - f(x) iš apačios apribota aibėje X su D(f), jei visos funkcijos reikšmės aibėje X yra didesnės už tam tikrą skaičių (kitaip tariant, jei yra toks skaičius m, kad bet kuriai reikšmei x є X būtų nelygybė f(x) >m).
4 apibrėžimas.
Sakoma, kad funkcija y = f(x) iš viršaus apribota aibėje X su D(f), jei visos funkcijos reikšmės yra mažesnės už tam tikrą skaičių (kitaip tariant, jei yra skaičius M, pvz. kad bet kuriai reikšmei x є X galioja nelygybė f(x).< М).
Jei aibė X nenurodyta, tai suprantama, kad kalbame apie funkcijos apribojimą iš apačios arba iš viršaus visoje apibrėžimo srityje.
Jei funkcija yra apribota ir žemiau, ir aukščiau, tada ji vadinama apribota.
Funkcijos ribotumas lengvai nuskaitomas iš jos grafiko: jei funkcija ribojama iš apačios, tai jos grafikas visas yra virš tam tikros horizontalios linijos y = m (57 pav.); jei funkcija apribota iš viršaus, tai jos grafikas visas yra žemiau kokios nors horizontalios linijos y = M (58 pav.).
2 pavyzdys. Patikrinkite funkcijos ribotumą
Sprendimas. Viena vertus, nelygybė yra gana akivaizdi (pagal apibrėžimą kvadratinė šaknis Tai reiškia, kad funkcija ribojama iš apačios. Kita vertus, turime ir todėl
Tai reiškia, kad funkcija yra viršutinė. Dabar pažvelkite į pateiktos funkcijos grafiką (52 pav. iš ankstesnės pastraipos). Iš grafiko gana lengvai galima perskaityti funkcijos apribojimą tiek aukščiau, tiek žemiau.
5 apibrėžimas.
Skaičius m vadinamas mažiausia funkcijos y = f(x) reikšme aibėje X C D(f), jei:
1) X yra taškas x 0, kad f(x 0) = m;
2) visiems x iš X galioja nelygybė m>f(x 0).
6 apibrėžimas.
Skaičius M vadinamas didžiausia funkcijos y = f(x) reikšme aibėje X C D(f), jei:
1) X yra taškas x 0, kad f(x 0) = M;
2) visiems x iš X nelygybė
Mažiausią funkcijos reikšmę tiek 7, tiek 8 klasėse pažymėjome simboliu y, o didžiausią – simboliu y.
Jei aibė X nenurodyta, tai daroma prielaida, kad mes kalbame apie mažiausios arba didžiausios funkcijos reikšmės radimą visoje apibrėžimo srityje.
Šie naudingi teiginiai yra gana akivaizdūs:
1) Jei funkcija turi Y, tada ji apribota žemiau.
2) Jei funkcija turi Y, tada ji apribota aukščiau.
3) Jei funkcija nėra apribota žemiau, tai Y neegzistuoja.
4) Jei funkcija neapribota aukščiau, tai Y neegzistuoja.
3 pavyzdys.
Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes
Sprendimas.
Gana akivaizdu, ypač jei naudojate funkcijų grafiką (52 pav.), kad = 0 (šią reikšmę funkcija pasiekia taškuose x = -3 ir x = 3), a = 3 (funkcija šią reikšmę pasiekia x = 0.
7 ir 8 klasėse paminėjome dar dvi funkcijų savybes. Pirmasis buvo vadinamas funkcijos išgaubtumo savybe. Funkcija laikoma išgaubta žemyn intervale X, jei bet kuriuos du jos grafiko taškus (su abscisėmis iš X) sujungę su tiesiąja atkarpa, mes nustatome, kad atitinkama dalis grafika yra po nubrėžtu segmentu (59 pav.). tęstinumas Funkcija yra išgaubta į viršų intervale X, jei sujungę bet kuriuos du jos grafiko taškus (su abscisėmis iš X) funkcijos su tiesiąja atkarpa, nustatome, kad atitinkama grafiko dalis yra virš nubrėžtos atkarpos ( 60 pav.).
Antroji savybė – funkcijos tęstinumas intervale X – reiškia, kad funkcijos grafikas intervale X yra tolydis, t.y. neturi pradūrimų ar šuolių.
komentuoti.
Tiesą sakant, matematikoje viskas yra, kaip sakoma, „visiškai priešingai“: funkcijos grafikas vaizduojamas kaip ištisinė linija (be pradūrimų ar šuolių) tik tada, kai įrodomas funkcijos tęstinumas. Tačiau formalus funkcijos tęstinumo apibrėžimas, kuris yra gana sudėtingas ir subtilus, dar nėra mūsų galimybės. Tą patį galima pasakyti ir apie funkcijos išgaubimą. Aptardami šias dvi funkcijų savybes, mes ir toliau remsimės vaizdinėmis ir intuityviomis sąvokomis.
Dabar peržvelkime savo žinias. Prisimindami funkcijas, kurias mokėmės 7 ir 8 klasėse, išsiaiškinkime, kaip atrodo jų grafikai ir išvardinkime funkcijos savybes, laikydamiesi tam tikros tvarkos, pavyzdžiui, ši: apibrėžimo sritis; monotoniškas; apribojimas; , ; tęstinumas; diapazonas; išgaubtas.
Vėliau atsiras naujų funkcijų ypatybių ir atitinkamai pasikeis savybių sąrašas.
1. Pastovi funkcija y = C
Funkcijos y = C grafikas parodytas pav. 61 - tiesi linija, lygiagreti x ašiai. Tai tokia neįdomi funkcija, kad nėra prasmės išvardyti jos savybių.
Funkcijos y = kx + m grafikas yra tiesi (62, 63 pav.).
Funkcijos y = kx + m savybės:
1) 
2) didėja, jei k > 0 (62 pav.), mažėja, jei k< 0 (рис. 63);
4) nėra nei didžiausio, nei mažiausios vertės;
5) funkcija yra nuolatinė;
6) 
7) nėra prasmės kalbėti apie išgaubimą.
Funkcijos y = kx 2 grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra pradžioje ir kurios šakos nukreiptos į viršų, jei k > O (64 pav.), o į apačią, jei k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.
Funkcijos y - kx 2 savybės:
Atvejui k> 0 (64 pav.):
1) D(f) = (-oo,+oo);
4) = neegzistuoja;
5) nuolatinis;
6) E(f) = funkcija mažėja, o intervale mažėja spinduliu;
7) išgaubtas į viršų.
Funkcijos y = f(x) grafikas brėžiamas taškas po taško; Kuo daugiau formos (x; f(x)) taškų paimsime, tuo tikslesnį grafiko vaizdą gausime. Jei paimsite daug šių taškų, gausite išsamesnį grafiko vaizdą. Būtent šiuo atveju intuicija mums sako, kad grafikas turi būti pavaizduotas kaip ištisinė linija (šiuo atveju parabolės pavidalu). Ir tada, skaitydami grafiką, darome išvadas apie funkcijos tęstinumą, apie jos išgaubimą žemyn arba į viršų, apie funkcijos reikšmių diapazoną. Turite suprasti, kad iš išvardytų septynių savybių tik savybės 1), 2), 3), 4) yra „teisėtos“ – „teisėtos“ ta prasme, kad galime jas pagrįsti remdamiesi tiksliais apibrėžimais. Turime tik vaizdines ir intuityvių idėjų apie likusias savybes. Beje, čia nėra nieko blogo. Iš matematikos raidos istorijos žinoma, kad žmonija dažnai ir ilgą laiką naudojo įvairias tam tikrų objektų savybes, nežinodama tikslių apibrėžimų. Tada, kai buvo galima suformuluoti tokius apibrėžimus, viskas stojo į savo vietas. 
Funkcijos grafikas yra hiperbolė, koordinačių ašys tarnauja kaip hiperbolės asimptotės (66, 67 pav.).
1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) jei k > 0, tai funkcija mažėja atvirame spindulyje (-oo, 0) ir atvirajame (0, +oo) (66 pav.); jei reikia< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nėra ribojamas nei iš apačios, nei iš viršaus;
4) nėra nei mažiausios, nei didžiausios vertės;
5) funkcija yra nepertraukiama atvirame spindulyje (-oo, 0) ir atvirame spindulyje (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) jei k > 0, tai funkcija yra išgaubta aukštyn ties x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, t.y. ant atviros sijos (0, +oo) (66 pav.). Jei reikia< 0, то функция выпукла вверх при х >O ir išgaubta žemyn ties x< О (рис. 67).
Funkcijos grafikas yra parabolės atšaka (68 pav.). Funkcijos savybės:
1) D(f) = didėja ant spindulio (aibės A), tada ant jo jis bus ribojamas ir viršuje, ir apačioje.
Iš tiesų, norėdami parodyti, kad jis ribojamas iš viršaus, turime atsižvelgti į predikatą
ir parodykite, kad yra (egzistuoja) toks M, kad visiems x, paimtiems intervale [–2;1], tai bus tiesa
Rasti tokį M nėra sunku. Galime daryti prielaidą, kad M = 7, egzistavimo kvantorius reikalauja rasti bent vieną M reikšmę. Tokio M buvimas patvirtina faktą, kad funkcija intervale [–2;1] yra apribota iš viršaus.
Norėdami įrodyti, kad jis ribojamas iš apačios, turime atsižvelgti į predikatą
M reikšmė, užtikrinanti duoto predikato teisingumą, yra, pavyzdžiui, M = –100.
Galima įrodyti, kad funkcija taip pat bus ribojama moduliu: visiems x iš atkarpos [–2;1] funkcijos reikšmės sutampa su reikšmėmis, todėl kaip M galime imti, Pavyzdžiui, ankstesnė vertė M = 7.
Parodykime, kad ta pati funkcija, bet intervale, bus neribota, tai yra
Norėdami parodyti, kad toks x egzistuoja, apsvarstykite teiginį
Ieškodami reikiamų x reikšmių tarp teigiamų argumento reikšmių, gauname
Tai reiškia, kad nesvarbu, kokį teigiamą M imtume, x reikšmės užtikrina nelygybės išsipildymą
gaunami iš santykio.
Atsižvelgiant į funkciją visoje realioje ašyje, galima parodyti, kad ji yra neribota absoliučia verte.
Tikrai, nuo nelygybės
Tai yra, nesvarbu, kokio dydžio teigiamas M yra, arba užtikrins nelygybės išsipildymą.
EKSTREMALI FUNKCIJA.
Funkcija turi tašką Su vietinis maksimumas (minimalus), jei yra tokia šio taško kaimynystė, kad už x¹ Su iš šios kaimynystės galioja nelygybė
ypač tai, kad ekstremumo taškas gali būti tik vidinis intervalo taškas, o f(x) jame būtinai turi būti apibrėžtas. Galimi ekstremumo nebuvimo atvejai parodyti fig. 8.8.
Jei funkcija didėja (mažėja) tam tikru intervalu ir mažėja (didėja) tam tikru intervalu, tada taškas Su yra vietinis maksimalus (minimalus) taškas.
Funkcijos f(x) maksimumo nebuvimas taške Su galima suformuluoti taip:
_______________________
f(x) turi maksimumą taške c
Tai reiškia, kad jei taškas c nėra vietinis maksimalus taškas, kad ir kokia būtų kaimynystė, kurioje taškas c yra vidinis, bus bent viena reikšmė x, kuri nėra lygi c, kuriai . Taigi, jei taške c nėra maksimumo, tai šiame taške ekstremumo gali nebūti iš viso arba tai gali būti minimalus taškas (8.9 pav.).
Ekstremalumo sąvoka suteikia lyginamąjį funkcijos vertės bet kuriame taške įvertinimą, palyginti su šalia esančiomis. Panašus funkcijų reikšmių palyginimas gali būti atliktas visuose tam tikro intervalo taškuose.
DIDŽIAUSI (MAŽIAUSIA) aibės funkcijos reikšmė yra jos reikšmė taške iš šio rinkinio, kad – ties . Didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama vidiniame atkarpos taške, o mažiausia – kairiajame jos gale.
Norint nustatyti didžiausią (mažiausią) intervale nurodytos funkcijos reikšmę, reikia pasirinkti didžiausią (mažiausią) skaičių tarp visų jos maksimumų (minimumo) reikšmių, taip pat priimtinų verčių. intervalo pabaigoje. Tai bus didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė. Ši taisyklė bus paaiškinta vėliau.
Problemą rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes atvirame intervale ne visada lengva išspręsti. Pavyzdžiui, funkcija
intervale (8.11 pav.) jų neturi.
Pavyzdžiui, įsitikinkime, kad ši funkcija neturi didžiausios reikšmės. Tiesą sakant, atsižvelgiant į funkcijos monotoniškumą, galima teigti, kad nesvarbu, kaip arti nustatysime x reikšmes į kairę nuo vienybės, bus kitų x, kuriuose funkcijos reikšmės bus būti didesnės už jo vertes imtuose fiksuotuose taškuose, bet vis tiek mažesnės už vieną.
Pamoka ir pranešimas tema: "Funkcijos savybės. Didėjančios ir mažėjančios funkcijos"
Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.
Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 9 klasei
Interaktyvus vadovėlis 9 klasei „Geometrijos taisyklės ir pratimai“
Elektroninis vadovėlis „Suprantama geometrija“ 7-9 kl
Vaikinai, mes toliau studijuojame skaitines funkcijas. Šiandien mes sutelksime dėmesį į tokią temą kaip funkcijų savybės. Funkcijos turi daug savybių. Prisiminkite, kokias savybes neseniai tyrinėjome. Tiesa, apibrėžimo sritis ir reikšmių sritis yra viena iš pagrindinių savybių. Niekada nepamirškite apie juos ir atminkite, kad funkcija visada turi šias savybes.
Šiame skyriuje apibrėšime kai kurias funkcijų savybes. Sprendžiant problemas rekomenduoju vadovautis tokia tvarka, kokia jas nustatysime.
Didina ir mažina funkcijas
Pirmoji savybė, kurią apibūdinsime, yra didėjanti ir mažėjanti funkcija.
Laikoma, kad funkcija didėja aibėje X⊂D(f), jei bet kuriam x1 ir x2, kad x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.Laikoma, kad funkcija mažėja aibėje X⊂D(f), jei bet kuriam x1 ir x2 taip, kad x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
Funkcijos „padidėjimo“ ir „mažėjimo“ sąvokas labai lengva suprasti, jei atidžiai pažiūrėsite į funkcijos grafikus. Dėl didėjančios funkcijos: atrodo, kad kylame į kalną, dėl mažėjančios funkcijos – atitinkamai leidžiamės žemyn. Bendras vaizdas didėjančios ir mažėjančios funkcijos pateiktos toliau pateiktuose grafikuose.
Didėjančios ir mažėjančios funkcijos paprastai vadinamos monotoniškumu. Tai yra, mūsų užduotis yra rasti funkcijos mažėjimo ir didėjimo intervalus. Bendruoju atveju tai formuluojama taip: suraskite monotoniškumo intervalus arba ištirkite monotoniškumo funkciją.
Išnagrinėkite funkcijos $y=3x+2$ monotoniškumą.
Sprendimas: patikrinkime bet kurio x1 ir x2 funkciją ir tegul x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Nuo x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Ribota funkcija
Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$ aibėje X⊂D(f) apribota iš apačios, jei yra skaičius a, kad bet kuriai хϵХ galioja nelygybė f(x)< a.
Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$ aibėje X⊂D(f) apribota iš viršaus, jei yra toks skaičius a, kad bet kuriai хϵХ galioja nelygybė f(x)< a.
Jei intervalas X nenurodytas, tada funkcija laikoma apribota visoje apibrėžimo srityje. Funkcija, kuri yra apribota ir aukščiau, ir žemiau, vadinama ribojama.
Funkcijos apribojimą lengva perskaityti iš grafiko. Galima nubrėžti kokią nors tiesią liniją
$у=а$, o jei funkcija aukštesnė už šią eilutę, tada ji apribota iš apačios. Jei žemiau, tai atitinkamai aukščiau. Žemiau pateikiamas žemiau apribotos funkcijos grafikas. Vaikinai, pabandykite patys nupiešti ribotos funkcijos grafiką.
Išnagrinėkite funkcijos $y=\sqrt(16-x^2)$ ribotumą.
Sprendimas: kurio nors skaičiaus kvadratinė šaknis yra didesnė nei arba lygus nuliui. Akivaizdu, kad mūsų funkcija taip pat yra didesnė arba lygi nuliui, tai yra, ribojama iš apačios.
Kvadratinę šaknį galime išskirti tik iš neneigiamo skaičiaus, tada $16-x^2≥0$.
Mūsų nelygybės sprendimas bus intervalas [-4;4]. Šiame segmente $16-x^2≤16$ arba $\sqrt(16-x^2)≤4$, bet tai reiškia apribotą iš viršaus.
Atsakymas: mūsų funkcija apribota iki dviejų tiesių $y=0$ ir $y=4$.
Didžiausia ir mažiausia vertė
Mažiausia funkcijos y= f(x) reikšmė aibėje X⊂D(f) yra koks nors skaičius m, kad:
b) Bet kuriam хϵХ galioja $f(x)≥f(x0)$.
Didžiausia funkcijos y=f(x) reikšmė aibėje X⊂D(f) yra koks nors skaičius m, kad:
a) Yra toks x0, kad $f(x0)=m$.
b) Bet kuriam хϵХ galioja $f(x)≤f(x0)$.
Didžiausios ir mažiausios reikšmės paprastai žymimos y max. ir y vardas .
Apribotumo ir didžiausio, turinčio mažiausią funkcijos reikšmę, sąvokos yra glaudžiai susijusios. Šie teiginiai yra teisingi:
a) Jei funkcijai yra minimali reikšmė, tada ji apribota žemiau.
b) Jei yra didžiausia vertė funkcija, tada ji apribota aukščiau.
c) Jei funkcija neapribota aukščiau, tada didžiausia reikšmė neegzistuoja.
d) Jei funkcija nėra apribota žemiau, tada mažiausia reikšmė neegzistuoja.
Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ reikšmę.
Sprendimas: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5 USD.
Jei $х=4$ $f(4)=5$, visoms kitoms reikšmėms funkcija įgauna mažesnes reikšmes arba neegzistuoja, tai yra, tai yra didžiausia funkcijos reikšmė.
Pagal apibrėžimą: $9-4x^2+16x≥0$. Raskime kvadratinio trinalio $(2x+1)(2x-9)≥0$ šaknis. Kai $x=-0.5$ ir $x=4.5$, funkcija išnyksta visuose kituose taškuose, ji yra didesnė už nulį. Tada pagal apibrėžimą mažiausia funkcijos reikšmė yra lygi nuliui.
Atsakymas: y maks. =5 ir y vardas. =0.
Vaikinai, mes taip pat ištyrėme funkcijos išgaubimo sąvoką. Sprendžiant kai kurias problemas, mums gali prireikti šio turto. Ši savybė taip pat lengvai nustatoma naudojant grafikus.
Funkcija yra išgaubta žemyn, jei bet kurie du taškai pradinės funkcijos grafike yra sujungti, o funkcijos grafikas yra žemiau taškų sujungimo linijos.
Funkcija yra išgaubta į viršų, jei bet kurie du pradinės funkcijos grafiko taškai yra sujungti, o funkcijos grafikas yra virš taškų sujungimo linijos.
Funkcija yra ištisinė, jei mūsų funkcijos grafike nėra pertraukų, pavyzdžiui, kaip ir aukščiau esančios funkcijos grafike.
Jei reikia rasti funkcijos ypatybes, ypatybių paieškos seka yra tokia:
a) Apibrėžimo sritis.
b) Monotonija.
c) Apribojimas.
d) Didžiausia ir mažiausia reikšmė.
d) Tęstinumas.
e) reikšmių diapazonas.
Raskite funkcijos $y=-2x+5$ savybes.
Sprendimas.
a) Apibrėžimo sritis D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Patikrinkime bet kokias reikšmes x1 ir x2 ir tegul x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Nuo x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Apribojimas. Akivaizdu, kad funkcija nėra ribojama.
d) Didžiausia ir mažiausia reikšmė. Kadangi funkcija neapribota, nėra maksimalios ar minimalios vertės.
d) Tęstinumas. Mūsų funkcijos grafikas neturi pertraukų, tada funkcija yra ištisinė.
e) reikšmių diapazonas. E(y)=(-∞;+∞).
Nepriklausomo sprendimo funkcijos savybių uždaviniai
Raskite funkcijos ypatybes:a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.
Teorema apie monotoninės funkcijos ribą. Teoremos įrodymas pateikiamas dviem būdais. Taip pat pateikiamos griežtai didėjančių, nemažėjančių, griežtai mažėjančių ir nedidėjančių funkcijų apibrėžimai. Monotoninės funkcijos apibrėžimas.
Apibrėžimai
Didėjančių ir mažėjančių funkcijų apibrėžimai
Tegul funkcija f (x) yra apibrėžtas kai kuriose realiųjų skaičių X aibėje.
Funkcija vadinama griežtai didėja (griežtai mažėja), jei visiems x′, x′′ ∈ X toks, kad x′< x′′
выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′)
(f (x′) > f(x′′) )
.
Funkcija vadinama nemažėjantis (nedidėjantis), jei visiems x′, x′′ ∈ X toks, kad x′< x′′
выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) )
.
Iš to išplaukia, kad griežtai didėjanti funkcija taip pat nemažėja. Griežtai mažėjanti funkcija taip pat yra nedidėjanti.
Monotoninės funkcijos apibrėžimas
Funkcija vadinama monotoniškas, jei jis nemažėja arba nedidėja.
Norėdami ištirti funkcijos monotoniškumą tam tikroje aibėje X, turite rasti jos reikšmių skirtumą dviejuose savavališkuose taškuose, priklausančiuose šiai aibei. Jei , tai funkcija griežtai didėja; jei , tai funkcija nemažėja; jei , tada griežtai mažėja; jei , tai nedidėja.
Jei tam tikrame rinkinyje funkcija yra teigiama: , tada norėdami nustatyti monotoniškumą, galite ištirti jos verčių padalijimo koeficientą dviejuose savavališkuose šio rinkinio taškuose. Jei , tai funkcija griežtai didėja; jei , tai funkcija nemažėja; jei , tada griežtai mažėja; jei , tai nedidėja.
Teorema
Tegul funkcija f (x) intervale nesumažėja (a, b), Kur.
Jei aukščiau jį riboja skaičius M:, tada taške b: yra baigtinė kairioji riba. (x) Jei f
nėra ribojamas iš viršaus, tada . (x) Jei f (x)žemiau yra ribojamas skaičiumi m : , tada taške a : yra baigtinė dešinioji riba.
Jei f
nėra apribotas žemiau, tada .
Jei taškai a ir b yra begalybėje, tada išraiškose ribiniai ženklai reiškia, kad . (x) intervale nesumažėja (a, b)Šią teoremą galima suformuluoti kompaktiškiau.
;
.
Tegul funkcija f
, Kur. Tada taškuose a ir b yra vienpusės ribos:
;
.
Panaši teorema nedidėjančiai funkcijai.
Tegul funkcija nepadidėja intervale, kur .
Tada yra vienpusės ribos:
Pasekmė
Tegul funkcija yra monotoniška intervale.
Tada bet kuriame šio intervalo taške yra vienpusės baigtinės funkcijos ribos:
Ir .
Teoremos įrodymas
.
;
.
Funkcija nemažėja
b – galutinis skaičius
Funkcija ribojama iš viršaus
;
;
.
1.1.1. Tegul funkcija iš viršaus ribojama skaičiumi M: už .
b – galutinis skaičius
b – galutinis skaičius
Kadangi funkcija nemažėja, tada, kai .
Tada
adresu .
Transformuokime paskutinę nelygybę:
Nes tada.
Tada
.
b – galutinis skaičius
„Funkcijos vienpusių ribų galutiniame taške apibrėžimai“).
b – galutinis skaičius
Funkcija nėra ribojama iš viršaus
1. Tegul funkcija nemažėja intervale.
Ir .
adresu .
1.1. Tegul skaičius b yra baigtinis: .
Tada
1.1.2. Tegul funkcija neapsiriboja aukščiau.
.
Įrodykime, kad šiuo atveju yra riba.
;
Pažymėkime.
.
Tada bet kam yra, taigi
b – galutinis skaičius
Taigi, mes nustatėme, kad bet kam yra skaičius, taigi
b – galutinis skaičius
„Vienpusių ribų apibrėžimai begalybėje“).
Tada
adresu .
1.2. Tegul skaičius b lygus plius begalybei: .
1.2.2. Tegul funkcija neapsiriboja aukščiau.
Tada
Kadangi funkcija aukščiau neapribota, bet kuriam skaičiui M yra argumentas, už kurį
.
Kadangi funkcija nemažėja, tada, kai .
Tada prie .
b – galutinis skaičius
Taigi bet kuriam yra skaičius, taigi
Tai reiškia, kad riba at yra lygi (žr. „Vienpusių begalinių ribų, esančių begalybėje, apibrėžimai“).
Funkcija nedidėja
Dabar apsvarstykite atvejį, kai funkcija nedidėja. Kaip nurodyta aukščiau, kiekvieną parinktį galite apsvarstyti atskirai. Bet mes tuoj pat juos padengsime. Tam mes naudojame. Įrodykime, kad šiuo atveju yra riba.
.
Apsvarstykite baigtinį funkcijos reikšmių rinkinio infumą:
;
Čia B gali būti arba baigtinis skaičius, arba taškas begalybėje.
.
Pagal tikslios apatinės ribos apibrėžimą tenkinamos šios sąlygos:
bet kuriai taško B kaimynystei yra argumentas, už kurį
b – galutinis skaičius
Pagal teoremos sąlygas, .
b – galutinis skaičius
Štai kodėl.
Kadangi funkcija nedidėja, tada, kai .
b – galutinis skaičius
Nuo tada
Arba
Toliau pažymime, kad nelygybė apibrėžia taško b kairiąją pradurtą kaimynystę.
Taigi, mes nustatėme, kad bet kurioje taško kaimynystėje yra pradurta kairioji taško b kaimynystė, kad
Tai reiškia, kad taško b riba kairėje yra: -1 (žr. universalų funkcijos ribos apibrėžimą pagal Koši).
Riba taške a
.
Dabar parodysime, kad taške a yra riba, ir surasime jos reikšmę.
.
Panagrinėkime funkciją.
.
Pagal teoremos sąlygas funkcija yra monotoniška .
(1)
.
Pakeiskime kintamąjį x į - x (arba atlikime pakeitimą ir tada pakeiskime kintamąjį t į x ). Tada funkcija yra monotoniška .
.
Padauginus nelygybes iš
b – galutinis skaičius
Tegu a yra baigtinis skaičius. Išreikškime taško -a kairįjį pradurtą kaimynystę naudodami nelygybes:
b – galutinis skaičius
Pakeiskime x į -x ir atsižvelgsime į tai:
b – galutinis skaičius
Paskutinės dvi nelygybės apibrėžia taško a pradurtą dešiniąją kaimynystę.
b – galutinis skaičius
Tada
Tegul a yra begalinis skaičius, .
Tegul a yra begalinis skaičius, .
Tegul a yra begalinis skaičius, .
b – galutinis skaičius
Pakartojame samprotavimus.
b – galutinis skaičius
adresu ;
.
Taigi, mes nustatėme, kad bet kas yra toks
Tai reiškia, kad
Teorema įrodyta.
Funkcijos samprata. Ribotos funkcijos. Funkcijos apibrėžimas: Jei kiekvienas skaičius x iš skaičių aibės D yra susietas su vienu skaičiumi y, tada jie sako, kad funkcija f duota aibėje D ir rašo y= f(x), kur x vadinamas nepriklausomas šios funkcijos kintamasis arba argumentas, o aibė D yra šios funkcijos apibrėžimo sritis. Ribotos ir neribotos funkcijos. Funkcija vadinama ribotas, jei yra toks teigiamas skaičius M(kas |) | f x M visoms vertybėms x..
Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija yra
neribotas
PAVYZDŽIAI. Funkcijos lyginės, nelyginės, monotoniškos. Lyginės ir nelyginės funkcijos. Jei už bet koks x(- x) = M (x iš funkcijos apibrėžimo srities galioja: f), tada funkcija iškviečiama M(- x) = - M (x iš funkcijos apibrėžimo srities galioja: net; jei taip atsitiks: nelyginis. Tvarkaraštis lygi funkcija simetriškas Y ašies atžvilgiu (5 pav.), grafikas nelyginė funkcija simetriškas apie
kilmės(6 pav.). x Monotoniška funkcija. x Jei kurioms dviem argumento reikšmėms x 2 >kas | 1 ir M(kas | 2 ) >bet koks x(kas | 2 sąlygos bet koks x(kas |) 1 seka 1), tada funkcija paskambino x Monotoniška funkcija. x Jei kurioms dviem argumento reikšmėms x 2 >kas | 1 ir M(kas | 2 ) <bet koks x(kas | 1 didėja M(kas |; jei dėl kokių nors ), tada funkcija) vadinamas monotoniškas.
mažėja
. Funkcija, kuri tik didėja arba tik mažėja, vadinama x 3. Skaičių sekos. Apibrėžimas ir pavyzdžiai. Sakysime, kad kintamasis Yra užsakytas kintamasis, jei žinoma jo pasikeitimo sritis ir kiekvienai iš dviejų jo reikšmių galima pasakyti, kuri iš jų yra ankstesnė, o kuri yra kita. Ypatingas užsakyto kintamo kiekio atvejis yra kintamasis dydis, kurio reikšmės susidaro skaičių seka x 1 ,x 2 ,…,x n ,…< j, i, j Î N Už tokias vertybes i, prasmė x i laikomas ankstesniu ir x j.
– paskesnis, neatsižvelgiant į tai, kuri iš šių reikšmių yra didesnė. Taigi skaičių seka yra kintamasis, kurio nuoseklias reikšmes galima pernumeruoti. Skaičių seką pažymėsime . Atskiri skaičiai sekoje vadinami jos
elementai Pavyzdžiui, skaitinę seką sudaro šie dydžiai: 3. , kur
a, d
– pastovūs skaičiai. Skaičių sekos riba. Skaičius a paskambino x = {riba), jei savavališkam iš anksto nustatytam savavališkai mažam teigiamam skaičiui ε yra toks natūralusis skaičius N kad visų akivaizdoje n>N nelygybė |x n - a|< ε.
Jei numeris Skaičių sekos riba. yra sekos riba x = {riba), tada jie taip sako riba siekia Skaičių sekos riba., ir parašyk.
Norėdami suformuluoti šį apibrėžimą geometriniais terminais, pristatome sekanti koncepcija. Taško x 0 kaimynystė vadinamas savavališku intervalu ( a, b), kuriame šis taškas yra savyje. Dažnai svarstoma taško kaimynystė x 0, kuriam x 0 tada yra vidurys x 0 Skaičius centras kaimynystė ir vertė ( b–Skaičių sekos riba.)/2 – spindulys kaimynystėje.
Taigi, išsiaiškinkime, ką geometriškai reiškia skaičių sekos ribos sąvoka. Norėdami tai padaryti, mes įrašome paskutinę nelygybę iš apibrėžimo kaip Ši nelygybė reiškia, kad visi sekos elementai su skaičiais n>N turi gulėti intervale (a – ε; a + ε).
Todėl pastovus skaičius Skaičių sekos riba. yra skaičių sekos apribojimas ( riba), jei tai nedidelis rajonas, kurio centras yra taškas Skaičių sekos riba. spindulys ε (ε yra taško kaimynystė Skaičių sekos riba.) yra toks sekos elementas su skaičiumi N kad visi tolesni elementai būtų sunumeruoti n>N bus šiose apylinkėse.
Pavyzdžiai.
1. Tegul kintamasis yra x paima reikšmes nuosekliai
Įrodykime, kad šios skaičių sekos riba lygi 1. Paimkime savavališką teigiamą skaičių ε. Turime rasti tokį natūralųjį skaičių N kad visų akivaizdoje n>N nelygybė galioja | riba - 1| < ε. Действительно, т.к.
tada kad būtų patenkintas santykis |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N bet koks natūralusis skaičius, tenkinantis nelygybę, gauname tai, ko mums reikia. Taigi, jei paimtume, pavyzdžiui, dėjimą N= 6, visiems n>6 turėsime .
2. Naudodamiesi skaičių sekos ribos apibrėžimu, įrodykite, kad .
Paimkime savavališką ε > 0. Nagrinėkime Tada , jei arba , t.y. . Todėl pasirenkame bet kurį nelygybę tenkinantį natūralųjį skaičių.
Pavyzdžiai.
3. Pasvarstykime. At x→1 trupmenos skaitiklis linkęs į 1, o vardiklis į 0. Tačiau kadangi, t.y. yra be galo maža funkcija at x → 1, tada
4 teorema. Tegu pateikiamos trys funkcijos f(x), u(x) Ir v(x), tenkinant nelygybes u (x)≤f(x)≤ v(x). Jei funkcijos u(x) Ir v(x) turi tą pačią ribą x→a(arba x→∞), tada funkcija f(x) linksta į tą pačią ribą, t.y. Jeigu
5 teorema. Jei pas x→a(arba x→∞) funkcija y=f(x) priima neneigiamas vertes y≥0 ir kartu linksta į ribą b, tada ši riba negali būti neigiama: b≥0.
Įrodymas. Įrodinėjimą atliksime prieštaravimu. Tarkime, kad b<0 , Tada |y – b|≥|b| ir todėl skirtumo modulis nėra linkęs į nulį, kai x→a. Bet tada y nepasiekia ribos b adresu x→a, o tai prieštarauja teoremos sąlygoms.
6 teorema. Jei dvi funkcijos f(x) Ir g(x) visoms argumento vertėms x patenkinti nelygybę f(x)≥ g(x) ir turi ribas, tada nelygybė galioja b≥c.
Įrodymas. Pagal teoremos sąlygas f(x)-g(x) ≥0, todėl pagal 5 teoremą arba .
6. Neapibrėžtumo atskleidimas (0/0), ∞ -∞
aš. Nežinomybė.
Skaičiuodami skaitiklį, naudojome polinomo padalijimo iš daugianario iš „kampo“ taisyklę. Nuo numerio x=1 yra daugianario šaknis x 3 – 6x 2 + 11x– 6, tada dalijant gauname
7. Sekos riba . Natūralaus logaritmo samprata.
ANTRA PAŽYMI RIBA
Pavyzdžiai:
Logaritmas iki pagrindo e (e- transcendentinis skaičius, maždaug lygus 2,718281828...) vadinamas natūralusis logaritmas. Natūralusis skaičiaus logaritmas xžymimas ln x. Natūralūs logaritmai plačiai naudojami matematikoje, fizikoje ir inžineriniuose skaičiavimuose.
Logaritmai yra plačiai naudojami
bazė, vadinama natūralia. Natūralūs logaritmai žymimi simboliu
Funkcijos ribos samprata.
Funkcijos tęstinumo samprata yra tiesiogiai susijusi su funkcijos ribos samprata.
Skaičius A vadinamas funkcijos f riba taške a, aibės E riba, jei bet kurioje taško A apylinkėje V(A) yra taško a pradurta kaimynystė, kad jos vaizdas žemiau atvaizdavimas f yra taško A duotosios apylinkės V(A) poaibis.
Funkcijos f riba taške a, aibės E riba, žymima taip: arba, jei aibės E galima nepaminėti.
Kadangi kiekvieną apylinkę galima susieti su savo reguliaria (simetriška) kaimynyste, ribos apibrėžimas gali būti suformuluotas kalba -δ, kaip įprasta matematinėje analizėje:
Funkcijos riba taške f taške a, aibės E riba, yra tiesiogiai susijusi su sekos riba.
Apsvarstysime visas galimas aibės E taškų sekas, kurių riba yra taškas a, ir atitinkamas funkcijų reikšmių sekas sekos taškuose. Jei funkcijos f riba taške a egzistuoja, tai ši riba bus kiekvienos sekos riba.
Taip pat yra priešingai: jei visos sekos susilieja į tą pačią reikšmę, tada funkcija turi ribą, lygią tai reikšmei.
PIRMOJI PAŽYMI RIBA
Funkcija neapibrėžta, kada x=0, nes trupmenos skaitiklis ir vardiklis tampa nuliu. Funkcijos grafikas parodytas paveikslėlyje.
Tačiau šios funkcijos ribą galima rasti ties X→0.
Pateiksime rašytinės formulės įrodymą. Apsvarstykite 1 spindulio apskritimą ir manykite, kad kampas α, išreikštas radianais, yra 0 ribose.< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) Iš paveikslo aišku, kad
SΔOAC .
Kadangi nurodyti plotai yra atitinkamai vienodi
SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙ nuodėmė α= 0,5 sinα, S sekta. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α = 0,5 α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC = 0,5 tgα.
Vadinasi,
sin α< α < tg α.
Visus nelygybės narius padalinkime iš sin α > 0: .
Bet . Todėl, remdamiesi 4 teorema apie ribas, darome išvadą, kad išvestinė formulė vadinama pirmąja reikšminga riba.
Taigi pirmoji pastebima riba padeda atskleisti neapibrėžtumą. Atminkite, kad gautos formulės nereikėtų painioti su ribomis Pavyzdžiai.
11.Limitas ir su juo susijusias ribas.
ANTRA PAŽYMI RIBA
Antroji puiki riba skirta 1 ∞ neapibrėžčiai atskleisti ir atrodo taip:
Atkreipkime dėmesį į tai, kad antrosios žymiosios ribos formulėje rodiklis turi turėti atvirkštinę išraišką tai, kas pridedama prie vieneto bazėje (kadangi šiuo atveju galima įvesti kintamųjų ir sumažinti siekiamą ribą iki antros reikšmingos ribos)
Pavyzdžiai.
1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 yra be galo mažas x→1, nes (žr. pav.).
2. Funkcija f(x)= tg x– be galo mažas at x→0.
3. f(x)= log(1+ x) – be galo mažas at x→0.
4. f(x) = 1/x– be galo mažas at x→∞.
Nustatykime šiuos svarbius santykius:
Teorema. Jei funkcija y=f(x) reprezentatyvus su x→a kaip pastovaus skaičiaus suma b ir be galo mažas dydis α(x): f (x)=b+ α(x) kad .
Ir atvirkščiai, jei , tada f (x) = b + α (x), Kur a(x)– be galo mažas at x→a.
Įrodymas.
1. Įrodykime pirmąją teiginio dalį. Iš lygybės f(x)=b+α(x) turėtų |f(x) – b|=| α|. Bet kadangi a(x) yra be galo maža, tada savavališkam ε yra δ – taško kaimynystė a, visų akivaizdoje x iš kurių, vertybės a(x) patenkinti santykius |α(x)|< ε. Tada |f(x) – b|< ε. O tai reiškia, kad.
2. Jei , tai bet kuriam ε >0 visiems X iš kai kurių δ – taško kaimynystė Skaičių sekos riba. valios |f(x) – b|< ε. Bet jei pažymėsime f(x) – b= α, Tai |α(x)|< ε, o tai reiškia Skaičių sekos riba.– be galo maža.
Panagrinėkime pagrindines be galo mažų funkcijų savybes.
1 teorema. Dviejų, trijų ir apskritai bet kurio baigtinio begalinių mažųjų skaičiaus algebrinė suma yra be galo maža funkcija.
Įrodymas. Pateiksime dviejų terminų įrodymą. Leiskite f(x)=α(x)+β(x), kur ir. Turime įrodyti, kad bet kokiam savavališkam mažam ε > 0 rasta δ> 0, toks, kad už x, tenkinantis nelygybę |x – a|<δ , yra įvykdytas |f(x)|< ε.
Taigi, pataisykime savavališką skaičių ε > 0. Kadangi pagal teoremos sąlygas α(x) yra be galo maža funkcija, tada yra tokia δ 1 > 0, tai yra |x – a|< δ 1 turime |α(x)|< ε / 2. Taip pat nuo β(x) yra be galo mažas, tada yra toks δ 2 > 0, tai yra |x – a|< δ 2 turime | β(x)|< ε / 2.
Paimkime δ=min(δ 1 , δ2 } .Tada taško apylinkėse Skaičių sekos riba. spindulys δ kiekviena iš nelygybių bus patenkinta |α(x)|< ε / 2 ir | β(x)|< ε / 2. Todėl šioje kaimynystėje bus
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,
tie. |f(x)|< ε, ką ir reikėjo įrodyti.
2 teorema. Be galo mažos funkcijos sandauga a(x) ribotai funkcijai f(x) adresu x→a(arba kada x→∞) yra be galo maža funkcija.
Įrodymas. Nuo funkcijos f(x) yra ribotas, tada yra skaičius M toks, kad visoms vertybėms x iš kokio nors taško kaimynystės a|f(x)|≤M. Be to, nuo a(x) yra be galo maža funkcija at x→a, tada savavališkai ε > 0 yra taško kaimynystė Skaičių sekos riba., kurioje išliks nelygybė |α(x)|< ε /M. Tada mažesniuose iš šių rajonų turime | αf|< ε /M= ε. O tai reiškia, kad af– be galo maža. Progai x→∞įrodinėjimas atliekamas panašiai.
Iš įrodytos teoremos išplaukia:
1 išvada. Jei ir , tada
2 išvada. Jei ir c= const, tada .
3 teorema. Be galo mažos funkcijos santykis α(x) pagal funkciją f(x), kurios riba skiriasi nuo nulio, yra be galo maža funkcija.
Įrodymas. Tegul . Tada 1 /f(x) 3. Skaičių sekos. Apibrėžimas ir pavyzdžiai. ribota funkcija. Todėl trupmena yra be galo mažos funkcijos ir ribotos funkcijos sandauga, t.y. funkcija yra be galo maža.
Pavyzdžiai.
1. Aišku, kad kada x→+∞ funkcija y = x 2 + 1 yra be galo didelis. Bet tada, pagal aukščiau suformuluotą teoremą, funkcija yra be galo maža x→+∞, t.y. .
Galima įrodyti ir atvirkštinę teoremą.
2 teorema. Jei funkcija f(x)- be galo mažas x→a(arba x→∞) ir tada neišnyksta y= 1/f(x) yra be galo didelė funkcija.
Įrodykite teoremą patys.
Pavyzdžiai.
3. , nes funkcijos ir yra be galo mažos x→+∞, tada be galo mažų funkcijų suma yra be galo maža funkcija. Funkcija yra pastovaus skaičiaus ir be galo mažos funkcijos suma. Vadinasi, pagal 1 teoremą be galo mažoms funkcijoms gauname reikiamą lygybę.
Taigi, paprasčiausias be galo mažų ir be galo didelių funkcijų savybes galima parašyti naudojant šiuos sąlyginius ryšius: A≠ 0
13. Tos pačios eilės begalinės mažumos funkcijos, lygiaverčiai begaliniai mažumai.
Be galo mažos funkcijos ir yra vadinamos be galo mažomis tos pačios eilės mažumo, jei , žymi . Ir galiausiai, jei jo nėra, tai be galo mažos funkcijos yra nepalyginamos.
2 PAVYZDYS. Be galo mažų funkcijų palyginimas
Lygiavertės be galo mažos funkcijos.
Jei , tada vadinamos begalinės mažos funkcijos lygiavertis, pažymėkite ~ .
Vietoje lygiavertės funkcijos:
Kada jei
Kai kurie atitikmenys(at ):
Vienpusės ribos.
Iki šiol svarstėme nustatyti funkcijos ribą kada x→a savavališkai, t.y. funkcijos riba nepriklausė nuo to, kaip ji buvo išdėstyta x santykyje su Skaičių sekos riba., į kairę arba į dešinę nuo Skaičių sekos riba.. Tačiau gana dažnai galima rasti funkcijų, kurioms nėra jokių apribojimų pagal šią sąlygą, tačiau jos turi ribą, jei x→a, likę vienoje pusėje A, kairėn arba dešinėn (žr. pav.). Todėl įvedamos vienpusių ribų sąvokos.
Jeigu f(x) linkęs į ribą b adresu x linkę į tam tikrą skaičių Skaičių sekos riba. Taigi x priima tik mažesnes nei reikšmes Skaičių sekos riba., tada jie rašo ir skambina funkcijos f(x) riba taške a kairėje.
Taigi skaičius b vadinama funkcijos riba y=f(x) adresu x→a kairėje, jei bet koks teigiamas skaičius ε yra, yra toks skaičius δ (mažesnis Skaičių sekos riba.
Taip pat, jei x→a ir įgauna dideles vertybes Skaičių sekos riba., tada jie rašo ir skambina b funkcijos riba taške A teisingai. Tie. numerį b Skaičius funkcijos y=f(x) riba kaip x→a dešinėje, jei bet koks teigiamas skaičius ε yra, yra toks skaičius δ (didesnis A), kad nelygybė galioja visiems.
Atkreipkite dėmesį, kad jei ribos kairėje ir dešinėje taške Skaičių sekos riba. už funkciją f(x) nesutampa, tada funkcija taške neturi ribos (dvipusė). A.
Pavyzdžiai.
1. Apsvarstykite funkciją y=f(x), apibrėžta segmente taip
Raskime funkcijos ribas f(x) adresu x → 3. Akivaizdu, ir
Kitaip tariant, bet kuriam savavališkai mažam epsilonų skaičiui yra delta skaičius, priklausantis nuo epsilono, todėl iš to, kad bet kokiam x, tenkinančiai nelygybę, išplaukia, kad funkcijos reikšmių skirtumai šiuose taškuose bus savavališkai mažas.
Funkcijos tęstinumo taške kriterijus:
Funkcija valios tęstinis taške A tada ir tik tada, kai jis yra ištisinis taške A ir dešinėje, ir kairėje, tai yra, kad taške A yra dvi vienpusės ribos, jos yra lygios viena kitai ir lygios funkcija taške A.
2 apibrėžimas: Funkcija yra nuolatinė aibėje, jei ji yra ištisinė visuose šios aibės taškuose.
Funkcijos taške išvestinė
Tegul dana yra apibrėžta kaimynystėje. Pasvarstykime
Jei ši riba egzistuoja, tada ji vadinama funkcijos f išvestinė taške .
Funkcijos išvestinė– funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio riba, kai argumentas didinamas.
Vadinamasis išvestinės apskaičiavimo arba radimo taške operacija diferenciacija .
Diferencijavimo taisyklės.
Darinys funkcijas f(x) taške x=x 0 vadinamas funkcijos prieaugio šiame taške ir argumento prieaugio santykiu, nes pastarasis linkęs į nulį diferenciacija. Funkcijos išvestinė apskaičiuojama naudojant bendroji taisyklė diferenciacija: pažymėkime f(x) = u, g(x) = v- taške skiriasi funkcijos X. Pagrindinės diferenciacijos taisyklės 1) (sumos išvestinė lygi jos išvestinių sumai) 2) (iš čia visų pirma išplaukia, kad funkcijos ir konstantos sandaugos išvestinė yra lygi šios išvestinės sandaugai funkcija ir konstanta) 3) Dalinio išvestinė: , jei g 0 4) Sudėtinės funkcijos išvestinė: 5) Jei funkcija nurodyta parametriškai: , tada
Pavyzdžiai.
1. y = x a yra laipsnio funkcija su savavališku eksponentu.
Netiesioginė funkcija
Jei funkcija pateikiama lygtimi y=ƒ(x), išspręsta y atžvilgiu, tada funkcija pateikiama aiškia forma (eksplicitinė funkcija).
Pagal numanoma užduotis funkcijos supranta funkcijos apibrėžimą lygties F(x;y)=0 forma, neišspręstos y atžvilgiu.
Viskas aišku suteikta funkcija y=ƒ (x) gali būti parašytas kaip netiesioginis pateikta lygtimiƒ(x)-y=0, bet ne atvirkščiai.
Ne visada lengva, o kartais ir neįmanoma, išspręsti y lygtį (pavyzdžiui, y+2x+jaukus-1=0 arba 2 y -x+y=0).
Jei numanoma funkcija pateikiama lygtimi F(x; y) = 0, tai norint rasti y išvestinę x atžvilgiu, nereikia spręsti lygties y atžvilgiu: pakanka diferencijuoti šią lygtį x atžvilgiu, laikant y kaip x funkciją, ir tada išspręskite gautą y lygtį."
Netiesioginės funkcijos išvestinė išreiškiama argumentu x ir funkcija y.
Pavyzdys:
Raskite funkcijos y išvestinę, pateiktą lygtimi x 3 + y 3 -3xy = 0.
Sprendimas: Funkcija y nurodyta netiesiogiai. Lygybę x 3 + y 3 -3xy = 0 išskiriame x atžvilgiu. Iš gauto santykio
3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0
iš to seka, kad y 2 y"-xy"=y-x 2, t. y. y"=(y-x 2)/(y 2 -x).
Aukštesnės eilės išvestinės priemonės
Aišku, kad išvestinė
funkcijas y=f(x) taip pat yra funkcija iš x:
y" = f " (x)
Jei funkcija f“ (x) yra diferencijuojamas, tada jo išvestinė žymima simboliu y"" =f "" (x) x du kartus.
Antrojo vedinio vedinys, t.y. funkcijas y""=f"""(x), paskambino trečioji funkcijos y=f(x) išvestinė arba trečios eilės funkcijos f(x) išvestinė ir yra pažymėtas simboliais
Iš viso n-i vedinys arba vedinys n užsakymo funkcija y=f(x)žymimas simboliais
Philas Leibnizas:
Tarkime, kad funkcijos ir yra diferencijuojamos kartu su jų išvestinėmis iki n-osios eilės imtinai. Taikydami dviejų funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyklę, gauname
Palyginkime šias išraiškas su dvinario galiomis:
Stebina atitikimo taisyklė: norint gauti formulę funkcijų ir sandaugos 1, 2 ar 3 eilės išvestinei, reikia pakeisti laipsnius ir išraiškoje (kur n= 1,2,3) atitinkamų eilių išvestinės. Be to, nulinės dydžių laipsniai turėtų būti pakeisti nulinės eilės išvestinėmis, kurios reiškia funkcijas ir:
Apibendrinant šią taisyklę savavališkos eilės išvestinėms priemonėms n, gauname Leibnizo formulė,
kur yra binominiai koeficientai:
Rolio teorema.
Ši teorema leidžia rasti kritinius taškus ir tada, esant pakankamoms sąlygoms, ištirti ekstremalių funkciją.
Tegul 1) f(x) yra apibrėžtas ir tęstinis tam tikru uždaru intervalu; 2) bent atvirajame intervale (a;b) yra baigtinė išvestinė; 3) galuose intervalas f-iįgauna lygias reikšmes f(a) = f(b). Tada tarp taškų a ir b yra taškas c, kad išvestinė šiame taške bus = 0.
Pagal teoremą apie funkcijų, kurios yra tolydžios intervale, savybę, funkcija f(x) šiame intervale įgyja maksimalias ir minimalias reikšmes.
f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ;x 2 О
1) Tegul M = m, t.y. m £ f(x) £ M
Þ f(x) įims pastovias reikšmes intervale nuo a iki b, o Þ jo išvestinė bus lygi nuliui. f’(x)=0
2) Tegul M>m
Nes pagal teoremos sąlygas f(a) = f(b) Þ jos mažiausia arba didžiausia vertė f-i neužims atkarpos galuose, bet Þ ims M arba m vidiniame šios atkarpos taške. Tada pagal Ferma teoremą f’(c)=0.
Lagranžo teorema.
Baigtinė prieaugio formulė arba Lagranžo vidutinės vertės teorema teigia, kad jei funkcija M yra nuolatinis intervale [ Skaičių sekos riba.;b] ir skiriasi intervalu ( Skaičių sekos riba.;b), tada yra toks dalykas
Koši teorema.
Jei funkcijos f(x) ir g(x) yra tolydžios intervale ir diferencijuojamos intervale (a, b) ir g¢(x) ¹ 0 intervale (a, b), tada yra bent vienas taškas e, a< e < b, такая, что
Tie. funkcijų prieaugių santykis duotame segmente yra lygus išvestinių taške e santykiui. Užduočių sprendimo paskaitų kurso pavyzdžiai Kūno tūrio skaičiavimas iš žinomų jo lygiagrečių pjūvių plotų Integralinis skaičiavimas
Vykdymo pavyzdžiai kursinis darbas Elektrotechnika
Norint įrodyti šią teoremą, iš pirmo žvilgsnio labai patogu pasinaudoti Lagranžo teorema. Užrašykite kiekvienos funkcijos baigtinio skirtumo formulę ir padalykite jas vieną iš kitos. Tačiau ši mintis klaidinga, nes taškas e kiekvienai funkcijai paprastai skiriasi. Žinoma, kai kuriais ypatingais atvejais šis intervalo taškas gali pasirodyti vienodas abiem funkcijoms, tačiau tai labai retas sutapimas, o ne taisyklė, todėl negali būti naudojamas teoremai įrodyti.
Įrodymas. Apsvarstykite pagalbininko funkciją
Kai x→x 0, c reikšmė taip pat linkusi į x 0; Pereikime prie ankstesnės lygybės ribos:
Nes , Tai.
Štai kodėl
(dviejų begalinių mažųjų santykio riba lygi jų išvestinių santykio ribai, jei pastarasis yra)
L'Hopital taisyklė, esant ∞/∞.