Муруй трапецын талбай d тэнцүү байна. Жишээ. Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох

IN өмнөх хэсэгТодорхой интегралын геометрийн утгыг шинжлэхэд зориулж бид муруйн трапецын талбайг тооцоолох хэд хэдэн томъёог хүлээн авлаа.

S (G) = ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба сөрөг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба эерэг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; b ].

Эдгээр томъёог шийдвэрлэхэд тохиромжтой энгийн даалгаварууд. Бодит байдал дээр бид илүү төвөгтэй тоонуудтай ажиллах шаардлагатай болдог. Үүнтэй холбогдуулан бид энэ хэсгийг тодорхой хэлбэрээр функцээр хязгаарлагдсан тоонуудын талбайг тооцоолох алгоритмын шинжилгээнд зориулах болно. y = f(x) эсвэл x = g(y) гэх мэт.

Теорем

y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд [ a ; b ] , ба f 1 (x) ≤ f 2 (x) нь [ a -аас ямар ч х утгын хувьд; b ]. Дараа нь x = a, x = b, y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) шугамаар хязгаарлагдсан G зургийн талбайг тооцоолох томъёо нь S (G) = ∫ хэлбэртэй болно. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Үүнтэй төстэй томъёог y = c, y = d, x = g 1 (y) ба x = g 2 (y) шугамаар хязгаарласан зургийн талбайд хэрэглэнэ: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Баталгаа

Томъёо хүчинтэй байх гурван тохиолдлыг авч үзье.

Эхний тохиолдолд талбайн нэмэлт шинж чанарыг харгалзан үзэхэд анхны зураг G ба муруйн шугаман трапецын G 1 талбайн нийлбэр нь G 2 зургийн талбайтай тэнцүү байна. Энэ нь тийм гэсэн үг

Тиймээс S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Бид тодорхой интегралын гурав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

Хоёр дахь тохиолдолд тэгш байдал нь үнэн: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

График дүрс нь дараах байдлаар харагдах болно.

Хэрэв функц хоёулаа эерэг биш бол бид дараахийг авна: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . График дүрс нь дараах байдлаар харагдах болно.

y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) нь O x тэнхлэгтэй огтлолцох ерөнхий тохиолдлыг авч үзье.

Бид огтлолцох цэгүүдийг x i, i = 1, 2, гэж тэмдэглэнэ. . . , n - 1. Эдгээр цэгүүд сегментийг хуваадаг [a; b ] n хэсэгт x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, энд α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Тиймээс,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Бид тодорхой интегралын тав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

График дээрх ерөнхий тохиолдлыг харуулъя.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x томьёог батлагдсан гэж үзэж болно.

Одоо y = f (x) ба x = g (y) шугамаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн талбайг тооцоолох жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Бид график байгуулах замаар жишээнүүдийн аль нэгийг авч үзэх болно. Энэ зураг нь нарийн төвөгтэй тоонуудыг илүү олон хүмүүсийн нэгдэл болгон төлөөлөх боломжийг бидэнд олгоно энгийн тоонууд. Хэрэв түүн дээр график, зураг зурах нь танд бэрхшээл учруулдаг бол та үндсэн хэсгийг судалж болно үндсэн функцууд, функцийн графикийн геометрийн хувиргалт, түүнчлэн функцийг судлах явцад график байгуулах.

Жишээ 1

y = - x 2 + 6 x - 5 парабол ба y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээрх шугамуудыг декартын координатын системээр зуръя.

Сегмент дээр [1; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 параболын график нь y = - 1 3 x - 1 2 шулуунаас дээш байрлана. Үүнтэй холбогдуулан хариултыг авахын тулд бид өмнө нь олж авсан томъёо, түүнчлэн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох аргыг ашигладаг.

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Хариулт: S(G) = 13

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.

Жишээ 2

y = x + 2, y = x, x = 7 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Энэ тохиолдолд бид x тэнхлэгтэй параллель байрласан зөвхөн нэг шулуун шугамтай байна. Энэ нь x = 7 байна. Энэ нь биднээс интеграцийн хоёр дахь хязгаарыг өөрсдөө олохыг шаарддаг.

График байгуулж, түүн дээр асуудлын тайлбарт өгөгдсөн шугамуудыг зуръя.

Графикийг нүдэн дээр нь тавьснаар интегралын доод хязгаар нь y = x шулуун шугам ба хагас парабол y = x + 2-ийн графын огтлолцох цэгийн абсцисса байх болно гэдгийг хялбархан тодорхойлж чадна. Абсциссыг олохын тулд бид тэгшитгэлийг ашиглана:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Уулзалтын цэгийн абсцисса нь x = 2 байна.

Зурган дээрх ерөнхий жишээн дээр y = x + 2, y = x шугамууд (2; 2) цэг дээр огтлолцдог тул ийм нарийвчилсан тооцоо шаардлагагүй мэт санагдаж болох тул бид таны анхаарлыг татаж байна. Илүү нарийн төвөгтэй тохиолдолд шийдэл нь тийм ч тодорхой биш байж болох тул бид ийм нарийн шийдлийг энд оруулсан болно. Энэ нь шугамын огтлолцлын координатыг аналитик аргаар тооцоолох нь үргэлж дээр гэсэн үг юм.

Интервал дээр [ 2 ; 7] y = x функцийн график нь у = x + 2 функцийн график дээр байрлана. Талбайг тооцоолохын тулд томъёог ашиглацгаая.

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Хариулт: S (G) = 59 6

Жишээ 3

y = 1 x ба y = - x 2 + 4 x - 2 функцуудын графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээр мөрүүдийг зуръя.

Интеграцийн хязгаарыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид 1 x ба - x 2 + 4 x - 2 илэрхийллүүдийг тэнцүүлэх замаар шугамуудын огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Хэрэв x тэг биш бол 1 x = - x 2 + 4 x - 2 тэгшитгэл нь бүхэл тооны коэффициент бүхий 3-р зэргийн тэгшитгэл - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0-тэй тэнцүү болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмын талаарх таны санах ойг сэргээхийн тулд бид "Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" хэсгийг үзэж болно.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 илэрхийлэлийг x - 1 хоёрт хуваавал: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x) болно. - 1) = 0

Бид x 2 - 3 x - 1 = 0 тэгшитгэлээс үлдсэн үндсийг олж болно.

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Бид x ∈ 1 интервалыг олсон; 3 + 13 2, үүнд G зураг цэнхэр дээр, улаан шугамын доор байна. Энэ нь зургийн талбайг тодорхойлоход тусална:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Хариулт: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Жишээ 4

y = x 3, y = - log 2 x + 1 муруй ба абсцисса тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээрх бүх мөрийг зуръя. y = - log 2 x + 1 функцийн графикийг х тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрлуулж, нэг нэгж дээш хөдөлгөвөл y = log 2 x графикаас авч болно. Х тэнхлэгийн тэгшитгэл нь у = 0 байна.

Шугамануудын огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэе.

Зурагнаас харахад у = x 3 ба у = 0 функцуудын графикууд (0; 0) цэг дээр огтлолцож байна. Энэ нь x = 0 нь x 3 = 0 тэгшитгэлийн цорын ганц бодит язгуур учир болдог.

x = 2 нь тэгшитгэлийн цорын ганц язгуур - log 2 x + 1 = 0 тул y = - log 2 x + 1 ба y = 0 функцуудын графикууд (2; 0) цэг дээр огтлолцоно.

x = 1 нь x 3 = - log 2 x + 1 тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм. Үүнтэй холбогдуулан y = x 3 ба y = - log 2 x + 1 функцуудын графикууд (1; 1) цэг дээр огтлолцоно. Сүүлийн мэдэгдэл нь тодорхой биш байж болох ч x 3 = - log 2 x + 1 тэгшитгэл нь нэгээс олон язгууртай байж болохгүй, учир нь y = x 3 функц хатуу нэмэгдэж, y = - log 2 x + 1 функц нь хатуу бууруулж байна.

Цаашдын шийдэл нь хэд хэдэн сонголтыг агуулдаг.

Сонголт №1

Бид G дүрсийг x тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хоёр муруй шугаман трапецын нийлбэр гэж төсөөлж болно, эхнийх нь доор байрладаг. дунд шугамх ∈ 0 сегмент дээр; 1, хоёр дахь нь x ∈ 1 сегмент дээрх улаан шугамын доор байна; 2. Энэ нь талбай нь S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Сонголт №2

Зураг G-ийг хоёр зургийн зөрүүгээр дүрсэлж болох бөгөөд эхнийх нь x тэнхлэгээс дээш, x ∈ 0 сегмент дээрх цэнхэр шугамын доор байрладаг; 2, хоёр дахь нь х ∈ 1 сегмент дээрх улаан ба цэнхэр шугамуудын хооронд; 2. Энэ нь бидэнд талбайг дараах байдлаар олох боломжийг олгоно.

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Энэ тохиолдолд талбайг олохын тулд S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y хэлбэрийн томъёог ашиглах шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, дүрсийг холбосон шугамуудыг y аргументийн функцээр илэрхийлж болно.

y = x 3 ба - log 2 x + 1 тэгшитгэлийг x-тэй харьцуулан бодъё.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Бид шаардлагатай талбайг авдаг:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Хариулт: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Жишээ 5

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Бид график дээр улаан шугамаар зураас зурах болно. функцээр өгөгдсөну = x. Бид y = - 1 2 x + 4 шугамыг цэнхэр өнгөөр, y = 2 3 x - 3 шугамыг хараар зурдаг.

Уулзалтын цэгүүдийг тэмдэглэе.

y = x ба y = - 1 2 x + 4 функцуудын графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олъё.

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Шалгана уу: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 биш Тэгшитгэлийн шийдэл x 2 = мөн үү? 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 тэгшитгэлийн шийдэл ⇒ (4; 2) огтлолцлын цэг i y = x ба y = - 1 2 x + 4

y = x ба y = 2 3 x - 3 функцуудын графикуудын огтлолцох цэгийг олъё.

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Шалгана уу: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 нь тэгшитгэлийн шийдэл ⇒ (9 ; 3) цэг a s y = x ба у = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй

y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3 шулуунуудын огтлолцох цэгийг олъё:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) огтлолцлын цэг y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3

Арга №1

Хүссэн зургийн талбайг бие даасан дүрсүүдийн талбайн нийлбэр гэж төсөөлөөд үз дээ.

Дараа нь зургийн талбай нь:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Арга №2

Анхны зургийн талбайг бусад хоёр зургийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Дараа нь бид x-тэй харьцуулахад шугамын тэгшитгэлийг шийдэж, зөвхөн үүний дараа бид зургийн талбайг тооцоолох томъёог ашиглана.

y = x ⇒ x = y 2 улаан шугам y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 хар шугам y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Тиймээс талбай нь:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь ижил байна.

Хариулт: S (G) = 11 3

Үр дүн

Өгөгдсөн шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг олохын тулд бид хавтгай дээр шугам барьж, тэдгээрийн огтлолцох цэгийг олж, талбайг олох томъёог ашиглах хэрэгтэй. Энэ хэсэгт бид даалгаврын хамгийн түгээмэл хувилбаруудыг авч үзсэн.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Буцаад урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.

Түлхүүр үг:салшгүй, муруйн трапец, сараана цэцгээр хүрээлэгдсэн дүрсүүдийн талбай

Тоног төхөөрөмж: тэмдэглэгээний самбар, компьютер, мультимедиа проектор

Хичээлийн төрөл: хичээл-лекц

Хичээлийн зорилго:

• боловсролын:оюуны хөдөлмөрийн соёлыг төлөвшүүлэх, оюутан бүрийн амжилтын нөхцөлийг бүрдүүлэх, суралцах эерэг сэдлийг бий болгох; ярих, бусдыг сонсох чадварыг хөгжүүлэх.
• хөгжиж буй:янз бүрийн нөхцөл байдалд мэдлэгээ ашиглах оюутны бие даасан сэтгэлгээг бий болгох, дүн шинжилгээ хийх, дүгнэлт гаргах чадвар, логикийг хөгжүүлэх, асуултуудыг зөв тавих, түүнд хариулт олох чадварыг хөгжүүлэх. Тооцоолох, тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх, санал болгож буй даалгаврыг биелүүлэх явцад оюутнуудын сэтгэхүйг хөгжүүлэх, алгоритмын соёлыг хөгжүүлэх.
• боловсролын: муруйн трапецын тухай, интегралын тухай ойлголтыг төлөвшүүлэх, хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох чадварыг эзэмших.

Сургалтын арга:тайлбарлах, тайлбарлах.

Хичээлийн үеэр

Өмнөх хичээлүүд дээр бид хил хязгаар нь тасархай шугамтай дүрсүүдийн талбайг тооцоолж сурсан. Математикийн хувьд муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн талбайг тооцоолох боломжийг олгодог аргууд байдаг. Ийм дүрсийг муруй шугаман трапец гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн талбайг антидериватив ашиглан тооцоолдог.

Муруй шугаман трапец ( слайд 1)

Муруй трапец гэдэг нь функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрс юм, ( sh.m.), Чигээрээ x = aТэгээд x = bба x тэнхлэг

Төрөл бүрийн муруй трапецын хэлбэрүүд ( слайд 2)

Бид авч үзэж байна янз бүрийн төрөлмуруй шугаман трапец ба тэмдэглэгээ: шугамын аль нэг нь цэг болж доройтож, шугам нь хязгаарлах функцийг гүйцэтгэдэг.

Муруй трапецын талбай (слайд 3)

Интервалын зүүн төгсгөлийг засах А,мөн зөв нь Xбид өөрчлөгдөх болно, өөрөөр хэлбэл, бид муруйн трапецын баруун ханыг хөдөлгөж, өөрчлөгдөж буй дүрсийг авна. Функцийн графикаар хязгаарлагдсан хувьсах муруйн трапецын талбай нь эсрэг дериватив юм. Ффункцийн хувьд е

Мөн сегмент дээр [ a; б] функцээр үүссэн муруйн трапецын талбай е,Энэ функцийн эсрэг деривативын өсөлттэй тэнцүү байна:

Дасгал 1:

Функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбайг ол. f(x) = x 2ба шулуун y = 0, x = 1, x = 2.

Шийдэл: ( 3-р слайдын алгоритмын дагуу)

Функц ба шугамын графикийг зуръя

Функцийн эсрэг деривативуудын нэгийг олъё f(x) = x 2 :

Слайд дээр өөрийгөө шалгах

Интеграл

Функцээр тодорхойлогдсон муруй шугаман трапецийг авч үзье есегмент дээр [ a; б]. Энэ сегментийг хэд хэдэн хэсэгт хувааж үзье. Бүх трапецын талбайг жижиг муруй трапецын талбайн нийлбэрт хуваана. ( слайд 5). Ийм трапец бүрийг ойролцоогоор тэгш өнцөгт гэж үзэж болно. Эдгээр тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр нь муруй трапецын бүх талбайн ойролцоо санааг өгдөг. Бид жижиг байх тусмаа сегментийг хуваадаг [ a; б], бид талбайг илүү нарийвчлалтай тооцоолох болно.

Эдгээр аргументуудыг томъёо хэлбэрээр бичье.

Сегментийг хуваах [ a; б] цэгээр n хэсэгт хуваана x 0 = a, x1,…, xn = b.Урт к- th -ээр тэмдэглэнэ xk = xk – xk-1. Нийлбэр гаргая

Геометрийн хувьд энэ нийлбэр нь зураг дээр сүүдэрлэсэн зургийн талбайг илэрхийлнэ ( sh.m.)

Маягтын нийлбэрийг функцийн интеграл нийлбэр гэж нэрлэдэг е. (ш.м.)

Интеграл нийлбэр нь талбайн ойролцоо утгыг өгдөг. Яг үнэ цэнэхязгаарт хүрэх замаар олж авдаг. Бид сегментийн хуваалтыг сайжруулж байна гэж төсөөлье. a; б] ингэснээр бүх жижиг сегментүүдийн урт тэг байх хандлагатай байна. Дараа нь зурсан зургийн талбай нь муруй трапецын талбайд ойртох болно. Муруй трапецын талбай нь интеграл нийлбэрийн хязгаартай тэнцүү гэж бид хэлж чадна. Sc.t. (ш.м.)эсвэл интеграл, өөрөөр хэлбэл,

Тодорхойлолт:

Функцийн интеграл f(x)-аас аөмнө бинтеграл нийлбэрийн хязгаар гэж нэрлэдэг

= (ш.м.)

Ньютон-Лейбницийн томъёо.

Интеграл нийлбэрийн хязгаар нь муруйн трапецын талбайтай тэнцүү гэдгийг бид санаж байгаа бөгөөд энэ нь бид дараах зүйлийг бичиж болно гэсэн үг юм.

Sc.t. = (ш.м.)

Нөгөө талаас муруй трапецын талбайг томъёогоор тооцоолно

С к.т. (ш.м.)

Эдгээр томъёог харьцуулж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

= (ш.м.)

Энэ тэгш байдлыг Ньютон-Лейбницийн томъёо гэж нэрлэдэг.

Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс томъёог дараах байдлаар бичнэ.

= = (ш.м.)

Даалгавар: (ш.м.)

1. Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглан интегралыг тооцоол: ( 5-р слайдыг шалгана уу)

2. Зургийн дагуу интеграл зохиох ( 6-р слайдыг шалгана уу)

3. y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2 гэсэн шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг ол. ( Слайд 7)

Хавтгайн дүрсүүдийн талбайг олох ( слайд 8)

Муруй трапец биш дүрсүүдийн талбайг хэрхэн олох вэ?

Графикийг нь слайд дээр харж байгаа хоёр функцийг өгье . (ш.м.)Сүүдэрлэсэн зургийн талбайг ол . (ш.м.). Энэ зураг муруй трапец мөн үү? Талбайн нэмэгдлийн шинж чанарыг ашиглан түүний талбайг хэрхэн олох вэ? Хоёр муруй трапецийг авч үзээд тэдгээрийн аль нэгнийх нь талбайгаас нөгөөгийнх нь талбайг хас. sh.m.)

Слайд дээрх хөдөлгөөнт дүрсийг ашиглан талбайг олох алгоритмыг бүтээцгээе.

1. График функцууд
2. Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг х тэнхлэгт тусга
3. Графикууд огтлолцох үед олж авсан дүрсийг сүүдэрлэнэ
4. Өгөгдсөн дүрс огтлолцол буюу нэгдэл нь муруй шугаман трапецийг ол.
5. Тэд тус бүрийн талбайг тооцоол
6. Талбайн зөрүү буюу нийлбэрийг ол

Аман даалгавар: Сүүдэрлэсэн дүрсийн талбайг хэрхэн олж авах вэ (хөдөлгөөнт дүрс ашиглан хэлэх, слайд 8 ба 9)

Гэрийн даалгавар: 353 (а), № 364 (а) гэсэн тэмдэглэлүүдээр ажилла.

Ном зүй

1. Алгебр ба анализын эхлэл: оройн (ээлжийн) сургуулийн 9-11-р ангийн сурах бичиг / ред. Г.Д. Глазер. - М: Гэгээрэл, 1983 он.
2. Башмаков М.И. Алгебр ба анализын эхлэл: ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурах бичиг / Башмаков М.И. - М: Гэгээрэл, 1991 он.
3. Башмаков М.И. Математик: анхан шатны байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг. болон Лхагва гараг проф. боловсрол / M.I. Башмаков. - М: Академи, 2010 он.
4. Колмогоров А.Н. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: 10-11-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд / A.N. Kolmogorov. - М: Боловсрол, 2010 он.
5. Островский С.Л. Хичээлдээ хэрхэн илтгэл тавих вэ?/ S.L. Островский. – М.: 2010 оны 9-р сарын 1.

A)

Шийдэл.

Эхлээд ба хамгийн чухал мөчшийдэл - зураг зурах.

Зураг зурцгаая:

Тэгшитгэл y=0 "x" тэнхлэгийг тохируулна;

- x=-2 Тэгээд x=1 - шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ OU;

- y=x 2 +2 - (0;2) цэг дээр оройтой, мөчрүүд нь дээш чиглэсэн парабол.

Сэтгэгдэл.Параболыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. оруулах x=0 тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол OU мөн үүний дагуу шийдвэр гаргах квадрат тэгшитгэл, тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол Өө .

Параболын оройг дараах томъёогоор олж болно.

Та мөн шугамыг цэг болгон барьж болно.

[-2;1] интервал дээр функцийн график y=x 2 +2 байрладаг тэнхлэгээс дээш Үхэр , Тийм учраас:

Хариулт: С =9 м.кв нэгж

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зурган дээрх эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн бололтой. Хэрэв бид 20 гэсэн хариулт авсан бол энэ нь тодорхой байна квадрат нэгж, дараа нь хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ арав. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн доор Өө?

б)Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y=-e x , x=1 ба координат тэнхлэгүүд.

Шийдэл.

Зураг зурцгаая.

Хэрэв муруй трапец бол тэнхлэгийн доор бүрэн байрладаг Өө , Дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Хариулт: S=(e-1) кв. нэгж" 1.72 кв. нэгж

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та энгийнээр шийдэхийг хүсч байвал тодорхой интегралямар ч геометрийн утгагүй бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг.

хамт)Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y=2x-x 2, y=-x.

Шийдэл.

Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабол болон шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм.

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм a=0 , интеграцийн дээд хязгаар b=3 .

Бид өгөгдсөн шугамуудыг байгуулна: 1. Парабола - (1;1) цэг дээрх орой; тэнхлэгийн уулзвар Өө -оноо (0;0) ба (0;2). 2. Шулуун шугам - 2 ба 4-р координатын өнцгийн биссектриса. Тэгээд одоо Анхаар! Хэрэв сегмент дээр байгаа бол [ а;б] зарим нэг тасралтгүй функц f(x)зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү g(x), дараа нь харгалзах зургийн талбайг томъёог ашиглан олж болно: . Энэ зураг хаана байрлах нь хамаагүй - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ аль график нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм. Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Та шугамыг цэгээр байгуулж болох бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог.

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.

Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:

Хариулт: С =4.5 м.кв нэгж

Функц нь сөрөг биш ба интервал дээр тасралтгүй байг. Дараа нь дагуу геометрийн мэдрэмжтодорхой интегралын хувьд муруй шугаман трапецын талбайг дээрх функцийн графикаар, доороос нь тэнхлэгээр, зүүн ба баруун талд шулуун шугамаар хязгаарласан ба (2-р зургийг үз) томъёогоор тооцоолно.

Жишээ 9.Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол ба тэнхлэг.

Шийдэл. Функцийн график мөчрүүд нь доош чиглэсэн парабол юм. Үүнийг бүтээцгээе (Зураг 3). Интегралчлалын хязгаарыг тодорхойлохын тулд бид тэнхлэгтэй (шулуун шугам) шугамын (парабол) огтлолцох цэгүүдийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг

Бид авах: , хаана , ; иймээс, , .

Цагаан будаа. 3

Бид (5) томъёог ашиглан зургийн талбайг олно.

Хэрэв функц нь сегмент дээр эерэг биш бөгөөд тасралтгүй байвал муруй шугаман трапецын талбайг доороос энэ функцийн графикаар, дээр нь тэнхлэгээр, зүүн ба баруун талд шулуун шугамаар хязгаарласан ба , -ээр тооцоолно. томъёо

. (6)

Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд тэмдэг өөрчлөгдвөл сүүдэрлэсэн зургийн талбай (Зураг 4) нь харгалзах тодорхой интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Цагаан будаа. 4

Жишээ 10.Тэнхлэг болон функцийн графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Цагаан будаа. 5

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 5). Шаардлагатай талбай нь талбайн нийлбэр ба . Эдгээр талбар бүрийг олцгооё. Нэгдүгээрт, бид системийг шийдэх замаар интеграцийн хязгаарыг тодорхойлдог Бид авдаг, . Тиймээс:

;

.

Тиймээс сүүдэрлэсэн зургийн талбай нь байна

(кв. нэгж).

Цагаан будаа. 6

Төгсгөлд нь муруйн трапецийг сегмент дээр тасралтгүй функцүүдийн графикаар дээд ба доор хязгаарлая.
мөн зүүн ба баруун талд - шулуун шугамууд ба (Зураг 6). Дараа нь түүний талбайг томъёогоор тооцоолно

. (8)

Жишээ 11.ба шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Шийдэл.Энэ зургийг Зураг дээр үзүүлэв. 7. Түүний талбайг (8) томъёогоор тооцоолъё. Бид олдог тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх, ; иймээс, , . Бид сегмент дээр: . Энэ нь (8) томъёонд бид дараах байдлаар авна гэсэн үг юм x, чанарын хувьд – . Бид авах:

(кв. нэгж).

Талбайг тооцоолох илүү төвөгтэй асуудлууд нь зургийг давхцаагүй хэсгүүдэд хувааж, бүх зургийн талбайг эдгээр хэсгүүдийн талбайн нийлбэр болгон тооцоолох замаар шийдэгддэг.

Цагаан будаа. 7

Жишээ 12., , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 8). Энэ зургийг доороос тэнхлэгээр, зүүн ба баруун тийш шулуун шугамаар, дээрээс нь функцийн графикаар хязгаарласан муруйн трапец гэж үзэж болно. Зураг нь дээрээс хоёр функцийн графикаар хязгаарлагддаг тул түүний талбайг тооцоолохын тулд бид энэ шулуун шугамын дүрсийг хоёр хэсэгт хуваана (1 нь шугамын огтлолцох цэгийн абсцисса ба ). Эдгээр хэсэг бүрийн талбайг (4) томъёогоор олно.

(кв. нэгж); (кв. нэгж). Тиймээс:

(кв. нэгж).

Цагаан будаа. 8

X= j( цагт)

Цагаан будаа. 9

Дүгнэж хэлэхэд, хэрэв муруйн трапец нь шулуун шугамаар хязгаарлагдмал ба , тэнхлэг ба муруй дээр тасралтгүй үргэлжилдэг (Зураг 9) бол түүний талбайг томъёогоор олно гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн

Сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар тэнхлэгээр, шулуун ба -аар хязгаарлагдсан муруй шугаман трапецийг тэнхлэгийг тойрон эргэцгээе (Зураг 10). Дараа нь үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно

. (9)

Жишээ 13.Гипербол, шулуун шугам, тэнхлэгээр хязгаарлагдсан муруйн трапецын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл. Зураг зурцгаая (Зураг 11).

Асуудлын нөхцөл байдлаас үзэхэд , . Томъёогоор (9) бид олж авна

.

Цагаан будаа. 10

Цагаан будаа. арван нэгэн

Нэг тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүн OUшулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапец у = вТэгээд y = d, тэнхлэг OUба томьёогоор тодорхойлогддог сегмент дэх тасралтгүй функцийн график (Зураг 12).

. (10)

X= j( цагт)

Цагаан будаа. 12

Жишээ 14. Нэг тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол OUшугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапец X 2 = 4цагт, у = 4, x = 0 (Зураг 13).

Шийдэл. Асуудлын нөхцөлийн дагуу бид интеграцийн хязгаарыг олно: , . Томъёо (10) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Цагаан будаа. 13

Хавтгай муруйны нумын урт

Муруй байг тэгшитгэлээр өгөгдсөн, хаана , хавтгайд байрладаг (Зураг 14).

Цагаан будаа. 14

Тодорхойлолт. Нумын урт гэдэг нь энэ нуманд сийлсэн тасархай шугамын урт нь хязгааргүй байх хандлагатай байх үед эвдэрсэн шугамын холбоосын тоо хязгааргүй, хамгийн том холбоосын урт тэг болох хандлагатай байгаа хязгаарыг ойлгодог.

Хэрэв функц ба түүний дериватив сегмент дээр тасралтгүй байвал муруйн нумын уртыг томъёогоор тооцоолно.

. (11)

Жишээ 15. Цэгүүдийн хооронд бэхлэгдсэн муруйн нумын уртыг тооцоол .

Шийдэл. Бидэнд байгаа асуудлын нөхцөл байдлаас . Томъёо (11) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

4. Буруу интеграл
интеграцийн хязгааргүй хязгаартай

Тодорхой интегралын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхдээ дараахь хоёр нөхцөл хангагдсан гэж үзсэн.

a) интеграцийн хязгаар Амөн хязгаарлагдмал;

б) интеграл нь интервал дээр хязгаарлагддаг.

Хэрэв эдгээр нөхцлүүдийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол интегралыг дуудна чинийх биш.

Эхлээд интегралын хязгааргүй хязгаартай буруу интегралуудыг авч үзье.

Тодорхойлолт. Функц нь интервал дээр тодорхойлогддог ба тасралтгүй байгмөн баруун талд хязгааргүй (Зураг 15).

Хэрэв буруу интеграл нийлбэл энэ талбай төгсгөлтэй байна; хэрэв буруу интеграл ялгарах юм бол энэ талбай хязгааргүй болно.

Цагаан будаа. 15

Интегралын хязгааргүй доод хязгаартай буруу интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно.

. (13)

Хэрэв тэгш байдлын баруун талын хязгаар (13) байгаа бөгөөд төгсгөлтэй байвал энэ интеграл нийлдэг; эс бөгөөс интегралыг дивергент гэнэ.

Интегралын хоёр хязгааргүй хязгаартай зохисгүй интегралыг дараах байдлаар тодорхойлно.

, (14)

Энд c нь интервалын дурын цэг юм. Тэгш байдлын (14) баруун талын интеграл хоёулаа нийлсэн тохиолдолд л интеграл нийлнэ.

;

G) = [ хуваарьт бүрэн квадратыг сонгоно уу: ] = [солих:

] =

Энэ нь буруу интеграл нийлж, утга нь -тэй тэнцүү байна гэсэн үг.

Зургийн талбайг тооцоолох- Энэ нь магадгүй талбайн онолын хамгийн хэцүү асуудлын нэг юм. Сургуулийн геометрийн хичээл дээр тэд үндсэн хэсгүүдийг олохыг заадаг геометрийн хэлбэрүүджишээлбэл, гурвалжин, ромб, тэгш өнцөгт, трапец, тойрог гэх мэт. Гэсэн хэдий ч та илүү төвөгтэй тоонуудын талбайг тооцоолоход ихэвчлэн тулгардаг. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үед интеграл тооцооллыг ашиглах нь маш тохиромжтой байдаг.

Тодорхойлолт.

Муруй шугаман трапец y = f(x), y = 0, x = a ба x = b шулуунуудаар хязгаарлагдсан зарим G дүрсийг дуудах ба f(x) функц нь [a сегмент дээр тасралтгүй байна; b] гэсэн тэмдэглэгээг өөрчлөхгүй (Зураг 1).Муруй трапецын талбайг S(G) гэж тэмдэглэж болно.

f(x) функцийн тодорхой интеграл ʃ a b f(x)dx нь [a интервал дээр сөрөг бус үргэлжилдэг; b] бөгөөд энэ нь харгалзах муруй трапецын талбай юм.

Өөрөөр хэлбэл, y = f(x), y = 0, x = a ба x = b шугамаар хүрээлэгдсэн G дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхой интеграл ʃ a b f(x)dx-ийг тооцоолох шаардлагатай. .

Тиймээс, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Хэрэв y = f(x) функц нь [a; b], дараа нь муруй трапецын талбайг томъёог ашиглан олж болно S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Жишээ 1.

y = x 3 шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоолох; y = 1; x = 2.

Шийдэл.

Өгөгдсөн шугамууд нь ABC дүрсийг үүсгэдэг бөгөөд үүнийг ангаахайгаар харуулав будаа. 2.

Шаардлагатай талбай нь муруй трапецын DACE ба DABE квадратын талбайн зөрүүтэй тэнцүү байна.

S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) томьёог ашиглан интегралчлалын хязгаарыг олно. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийднэ.

(y = x 3,
(y = 1.

Тиймээс бид x 1 = 1 - доод хязгаар, x = 2 - дээд хязгаартай байна.

Тэгэхээр S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. нэгж).

Хариулт: 11/4 кв. нэгж

Жишээ 2.

y = √x шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол; y = 2; x = 9.

Шийдэл.

Өгөгдсөн шугамууд нь функцийн графикаар хязгаарлагдсан ABC дүрсийг үүсгэдэг

y = √x, доор нь y = 2 функцийн график байна. Үр дүнгийн зургийг ангаахайгаар харуулав. будаа. 3.

Шаардлагатай талбай нь S = ʃ a b (√x – 2). Интегралчлалын хязгаарыг олъё: b = 9, a-г олохын тулд бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийднэ.

(y = √x,
(y = 2.

Тиймээс бид x = 4 = a гэсэн утгатай - энэ нь доод хязгаар юм.

Тэгэхээр S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. нэгж).

Хариулт: S = 2 2/3 кв. нэгж

Жишээ 3.

y = x 3 – 4x шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоолно уу; y = 0; x ≥ 0.

Шийдэл.

x ≥ 0-ийн хувьд y = x 3 – 4x функцийн графикийг зуръя. Үүний тулд у’ деривативыг ол:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 at x = ±2/√3 ≈ 1.1 – эгзэгтэй цэгүүд.

Хэрэв бид тоон шулуун дээрх эгзэгтэй цэгүүдийг зурж, деривативын тэмдгүүдийг цэгцэлвэл функц тэгээс 2/√3 хүртэл буурч, 2/√3-аас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгддэг болохыг олж мэднэ. Тэгвэл x = 2/√3 нь хамгийн бага цэг, функцийн хамгийн бага утга y min = -16/(3√3) ≈ -3 байна.

Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлъё.

хэрэв x = 0 бол y = 0, энэ нь A(0; 0) нь Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэг гэсэн үг;

хэрэв y = 0 бол x 3 – 4x = 0 эсвэл x(x 2 – 4) = 0, эсвэл x(x – 2)(x + 2) = 0, үүнээс x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (тохиромжгүй, учир нь x ≥ 0).

A(0; 0) ба B(2; 0) цэгүүд нь графикийн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм.

Өгөгдсөн шугамууд нь OAB дүрсийг бүрдүүлдэг бөгөөд үүнийг ангаахайгаар харуулав будаа. 4.

y = x 3 – 4x функц (0; 2) дээр сөрөг утгыг авдаг тул

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Бидэнд: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, үүнээс S = 4 кв. нэгж

Хариулт: S = 4 кв. нэгж

Жишээ 4.

y = 2x 2 – 2x + 1 парабол, x = 0, y = 0 шулуунууд болон абсцисса х 0 = 2 цэгт энэ параболын шүргэгчээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг ол.

Шийдэл.

Эхлээд абсцисса x₀ = 2 цэгт y = 2x 2 – 2x + 1 параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулъя.

Дериватив y’ = 4x – 2 тул x 0 = 2-ын хувьд k = y’(2) = 6 болно.

Шүргэх цэгийн ординатыг олъё: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Иймд шүргэгч тэгшитгэл нь y – 5 = 6(x ​​– 2) эсвэл y = 6x – 7 хэлбэртэй байна.

Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээцгээе.

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабол. Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд: A(0; 1) – Ой тэнхлэгтэй; Үхрийн тэнхлэгтэй - огтлолцох цэг байхгүй, учир нь 2x 2 – 2x + 1 = 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, өөрөөр хэлбэл В параболын цэгийн орой нь B(1/2; 1/2) координаттай байна.

Тиймээс талбайг тодорхойлох шаардлагатай дүрсийг ангаахайгаар харуулав будаа. 5.

Бидэнд: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​байна.

Нөхцөлөөс D цэгийн координатыг олъё.

6x – 7 = 0, өөрөөр хэлбэл. x = 7/6, энэ нь DC = 2 – 7/6 = 5/6 гэсэн үг.

DBC гурвалжны талбайг S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC томъёог ашиглан олно. Тиймээс,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. нэгж

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (кв. нэгж).

Бид эцэст нь: S O A B D = S OABC – S ADBC  = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. нэгж) авна.

Хариулт: S = 1 1/4 кв. нэгж

Бид жишээнүүдийг харлаа Өгөгдсөн шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсүүдийн талбайг олох. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та хавтгай дээр функцүүдийн шугам, график зурах, шугамын огтлолцлын цэгүүдийг олох, тодорхой интегралыг тооцоолох чадварыг илэрхийлдэг талбайг олох томъёог ашиглах чадвартай байх хэрэгтэй.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.