Трапецын талууд тэнцүү гэдгийг хэрхэн батлах вэ. Трапецын дунд шугам

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна.
Трапецын сууриудаас үүссэн гурвалжин ба тэдгээрийн огтлолцох цэг хүртэлх диагональуудын сегментүүд нь ижил төстэй байдаг.
Трапецын хажуугийн хажуу тал дээр байрлах трапецын диагональ хэсгүүдээс үүссэн гурвалжингууд нь ижил хэмжээтэй (ижил талбайтай)
Хэрэв та трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгавал суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугамтай нэг цэг дээр огтлолцоно.
Трапецын сууриудыг холбож, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийг трапецын суурийн уртын харьцаатай тэнцүү хэмжээгээр энэ цэгт хуваана.
Шугамын сегмент, суурьтай зэрэгцээтрапец, диагональуудын огтлолцлын цэгээр зурсан ба энэ цэгээр хуваагдсан бөгөөд түүний урт нь 2ab/(a + b), энд a ба b нь трапецын суурь юм.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн шинж чанарууд

ABCD трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбоно, үүний үр дүнд бид LM сегменттэй болно.
Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент трапецын дунд шугам дээр байрладаг.

Энэ сегмент трапецын суурьтай зэрэгцээ.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн урт нь суурийн зөрүүний хагастай тэнцүү байна.

LM = (МЭ - МЭӨ)/2
эсвэл
LM = (a-b)/2

Трапецын диагональуудаас үүссэн гурвалжны шинж чанарууд

Трапецын суурь ба трапецын диагональуудын огтлолцох цэгээс үүссэн гурвалжингууд - төстэй.
BOC ба AOD гурвалжин ижил төстэй. BOC ба AOD өнцгүүд нь босоо тул тэнцүү байна.
OCB ба OAD өнцгүүд нь AD ба BC параллель шулуунууд (трапецын суурь нь хоорондоо параллель байдаг) ба AC таслагч шугамтай хөндлөн хэвтэх дотоод өнцөг тул тэдгээр нь тэнцүү байна.
OBC болон ODA өнцөг нь ижил шалтгаанаар тэнцүү байна (дотоод хөндлөн).

Нэг гурвалжны гурван өнцөг нь өөр гурвалжны харгалзах өнцөгтэй тэнцүү тул эдгээр гурвалжнууд ижил төстэй байна.

Үүнээс юу гарах вэ?

Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд гурвалжны ижил төстэй байдлыг дараах байдлаар ашигладаг. Хэрэв бид ижил төстэй гурвалжны харгалзах хоёр элементийн уртыг мэддэг бол ижил төстэй байдлын коэффициентийг олно (бид нэгийг нь нөгөөгөөр нь хуваана). Бусад бүх элементүүдийн уртууд хоорондоо яг ижил утгатай холбоотой байдаг.

Трапецын хажуу тал ба диагональ дээр байрлах гурвалжны шинж чанарууд

AB ба CD трапецын хажуу тал дээр байрлах хоёр гурвалжинг авч үзье. Эдгээр нь AOB ба COD гурвалжин юм. Эдгээр гурвалжны бие даасан талуудын хэмжээ нь огт өөр байж болох ч гэсэн хажуу талуудаас үүссэн гурвалжны талбай ба трапецын диагональуудын огтлолцлын цэг тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл гурвалжин нь тэнцүү хэмжээтэй байна.

Хэрэв бид трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгавал талуудын огтлолцох цэг нь болно. суурийн дундуур дайран өнгөрөх шулуун шугамтай давхцана.

Тиймээс аливаа трапецийг гурвалжин болгон өргөжүүлж болно. Үүнд:

Өргөтгөсөн талуудын огтлолцлын цэгт нийтлэг оройтой трапецын сууриудаас үүссэн гурвалжин ижил төстэй байна.
Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугам нь нэгэн зэрэг баригдсан гурвалжны медиан юм.

Трапецын суурийг холбосон сегментийн шинж чанарууд

Хэрэв та трапецын (KN) диагональуудын огтлолцлын цэг дээр байрлах трапецын суурь дээр төгсгөлүүд нь байрлах сегментийг зурвал суурийн хажуугаас огтлолцох цэг хүртэлх түүний бүрдүүлэгч сегментүүдийн харьцааг тодорхойлно. диагональуудын (KO/ON) трапецын суурийн харьцаатай тэнцүү байх болно(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Энэ шинж чанар нь харгалзах гурвалжны ижил төстэй байдлаас үүдэлтэй (дээрхийг үзнэ үү).

Трапецын суурьтай параллель сегментийн шинж чанарууд

Хэрэв бид трапецын суурьтай параллель сегментийг зурж, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрвөл энэ нь дараахь шинж чанартай байх болно.

Заасан зай (KM) трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр хоёр хуваагдсан
Сегментийн урттрапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрөх ба суурийн параллель нь тэнцүү байна. KM = 2ab/(a + b)

Трапецын диагональуудыг олох томьёо

а, б- трапец хэлбэрийн суурь

в, г- трапецын талууд

d1 d2- трапецын диагональууд

α β - трапецын илүү том суурьтай өнцөг

Суурийн суурь, хажуу ба өнцгөөр дамжин трапецын диагональуудыг олох томъёо

Эхний бүлгийн томъёо (1-3) нь трапецын диагональуудын үндсэн шинж чанаруудын нэгийг тусгасан болно.

1. Трапецын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь талуудын квадратуудын нийлбэр дээр суурийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэртэй тэнцүү байна. Трапецын диагональуудын энэ шинж чанарыг тусдаа теоремоор баталж болно

2 . Энэ томъёог өмнөх томьёог хувиргах замаар олж авна. Хоёрдахь диагональ квадратыг тэнцүү тэмдгээр шидэж, дараа нь илэрхийллийн зүүн ба баруун талаас квадрат язгуурыг гаргаж авна.

3 . Трапецын диагональ уртыг олох энэхүү томьёо нь өмнөхтэй төстэй бөгөөд илэрхийллийн зүүн талд өөр диагональ үлдсэн байдгаараа ялгаатай.

Дараагийн бүлэг томьёо (4-5) нь утгын хувьд ойролцоо бөгөөд ижил төстэй харилцааг илэрхийлдэг.

Томъёоны бүлэг (6-7) нь трапецын том суурь, нэг тал ба суурийн өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол трапецын диагональыг олох боломжийг олгодог.

Трапецын диагональуудыг өндрөөр олох томьёо

Анхаарна уу. Энэ хичээл нь трапецын талаархи геометрийн асуудлуудын шийдлүүдийг өгдөг. Хэрэв та сонирхож буй төрлийн геометрийн асуудлын шийдлийг олж чадаагүй бол форум дээр асуулт асуугаарай.

Даалгавар.
ABCD (AD | | BC) трапецын диагональууд О цэг дээр огтлолцоно.Трапецын суурийн ВС суурийн уртыг ол AD = 24 см, урт AO = 9 см, урт OS = 6 см бол.

Шийдэл.
Энэ асуудлын шийдэл нь үзэл суртлын хувьд өмнөх асуудлуудтай яг адилхан юм.

AOD ба BOC гурвалжин нь гурван өнцгөөр төстэй - AOD ба BOC нь босоо, үлдсэн өнцөгүүд нь нэг шугам ба хоёр зэрэгцээ шугамын огтлолцолоор үүссэн тул хосоороо тэнцүү байна.

Гурвалжин нь ижил төстэй тул бүгдээрээ геометрийн хэмжээсүүдАсуудлын нөхцлийн дагуу бидэнд мэдэгдэж байгаа AO ба OC сегментүүдийн геометрийн хэмжээсүүд хоорондоо хамааралтай. Тэр бол

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / МЭӨ
МЭӨ = 24 * 6 / 9 = 16

Хариулах: 16 см

Даалгавар.
ABCD трапецын хувьд AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17 гэдгийг мэддэг. Трапецын талбайг ол.

Шийдэл.
Б ба С жижиг суурийн оройноос трапецын өндрийг олохын тулд бид хоёр өндрийг том суурь руу буулгана. Трапец тэгш бус тул бид уртыг AM = a, урт KD = b () гэж тэмдэглэнэ. томьёоны тэмдэглэгээтэй андуурч болохгүйтрапецын талбайг олох). Трапецын суурь нь параллель бөгөөд том суурьтай перпендикуляр хоёр өндрийг буулгасан тул MBCK нь тэгш өнцөгт болно.

гэсэн үг
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

DBM ба ACK гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул тэдгээрийн тэгш өнцөг нь трапецын өндрөөс үүсдэг. Трапецын өндрийг h гэж тэмдэглэе. Дараа нь Пифагорын теоремоор

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Тэгээд
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Эхний тэгшитгэлд a = 16 - b гэдгийг анхаарч үзье
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Пифагорын теоремыг ашиглан олж авсан хоёр дахь тэгшитгэлд өндрийн квадратын утгыг орлъё. Бид авах:
425 - (8 + б) 2 + (24 - б) 2 = 169
-(64 + 16б + б) 2 + (24 - б) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64б = -768
b = 12

Тэгэхээр KD = 12
Хаана
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Трапецын талбайг өндрөөр нь ба суурийн нийлбэрийн хагасыг ол
, энд a b - трапецын суурь, h - трапецын өндөр
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Хариулах: трапецын талбай нь 80 см2.

Трапец байна онцгой тохиолдолнэг хос тал нь параллель байх дөрвөн өнцөгт. "Трапец" гэсэн нэр томъёоноос гаралтай Грек үгτράπεζα, "хүснэгт", "хүснэгт" гэсэн утгатай. Энэ нийтлэлд бид трапецын төрлүүд, түүний шинж чанаруудыг авч үзэх болно. Үүнээс гадна бид хэрхэн тооцоолохыг олж мэдэх болно бие даасан элементүүдЭнэ Жишээ нь, тэгш өнцөгт трапецын диагональ, төвийн шугам, талбай гэх мэт. Материалыг энгийн түгээмэл геометрийн хэв маягаар, өөрөөр хэлбэл хялбархан хүртээмжтэй хэлбэрээр үзүүлэв.

Ерөнхий мэдээлэл

Эхлээд дөрвөн өнцөгт гэж юу болохыг олж мэдье. Энэ зураг нь дөрвөн тал, дөрвөн орой агуулсан олон өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Зэргэлдээгүй дөрвөн өнцөгтийн хоёр оройг эсрэг гэж нэрлэдэг. Зэргэлдээгүй хоёр талын хувьд мөн адил зүйлийг хэлж болно. Дөрвөн өнцөгтийн үндсэн төрлүүд нь параллелограмм, тэгш өнцөгт, ромб, дөрвөлжин, трапец, дельтоид юм.

Тиймээс трапецууд руу буцаж орцгооё. Бид аль хэдийн хэлсэнчлэн энэ зураг хоёр зэрэгцээ талтай. Тэдгээрийг суурь гэж нэрлэдэг. Нөгөө хоёр (параллель бус) нь хажуу талууд юм. Шалгалтын материал болон төрөл бүрийн туршилтуудИхэнх тохиолдолд та трапецтай холбоотой асуудлуудыг олох боломжтой бөгөөд үүний шийдэл нь оюутнуудаас хөтөлбөрт тусгаагүй мэдлэгтэй байхыг шаарддаг. Сургуулийн геометрийн хичээл нь оюутнуудад өнцөг ба диагональуудын шинж чанарууд, мөн адил тэгш өнцөгт трапецын дунд шугамыг танилцуулдаг. Гэхдээ үүнээс гадна дурдсан геометрийн дүрс нь өөр шинж чанартай байдаг. Гэхдээ тэдний талаар бага зэрэг дараа ...

Трапецын төрлүүд

Энэ дүрсийн олон төрөл байдаг. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ тэдгээрийн хоёрыг авч үзэх нь заншилтай байдаг - тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт.

1. Тэгш өнцөгт трапец- энэ бол талуудын аль нэг нь суурийн перпендикуляр байгаа зураг юм. Түүний хоёр өнцөг нь үргэлж ерэн градустай тэнцүү байдаг.

2. Талууд нь хоорондоо тэнцүү геометрийн дүрсийг ижил өнцөгт трапец гэнэ. Энэ нь суурийн өнцөг нь хосоороо тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Трапецын шинж чанарыг судлах арга зүйн үндсэн зарчим

Гол зарчим нь даалгавар гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах явдал юм. Үнэн хэрэгтээ энэ дүрсийн шинэ шинж чанарыг геометрийн онолын хичээлд нэвтрүүлэх шаардлагагүй юм. Тэдгээрийг шийдвэрлэх явцад илрүүлж, томъёолж болно янз бүрийн даалгавар(системээс илүү сайн). Үүний зэрэгцээ багш оюутнуудад нэг удаад ямар даалгавар өгөх ёстойг мэддэг байх нь маш чухал юм. боловсролын үйл явц. Түүгээр ч зогсохгүй трапецын шинж чанар бүрийг даалгаврын системийн гол даалгавар болгон төлөөлж болно.

Хоёрдахь зарчим бол трапецын "гайхалтай" шинж чанарыг судлах спираль зохион байгуулалт юм. Энэ нь сургалтын үйл явцад тухайн зүйлийн бие даасан шинж чанарт буцаж очих гэсэн үг юм геометрийн дүрс. Энэ нь оюутнуудад тэдгээрийг санахад хялбар болгодог. Жишээлбэл, дөрвөн цэгийн өмч. Үүнийг ижил төстэй байдлыг судлах, дараа нь вектор ашиглах үед нотлох боломжтой. Зургийн хажуу талуудтай зэргэлдээх гурвалжнуудын эквивалентийг зөвхөн нэг шулуун дээр байрлах талууд руу татсан ижил өндөртэй гурвалжны шинж чанарыг ашиглахаас гадна S = 1/2() томъёог ашиглан баталж болно. ab*sinα). Нэмж дурдахад та бичээстэй трапец эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжин дээр ажиллаж болно.

Сургуулийн хичээлийн агуулгад геометрийн дүрсийн "хичээлээс гадуурх" шинж чанарыг ашиглах нь тэдгээрийг заах даалгаварт суурилсан технологи юм. Бусад сэдвүүдийг судлах явцад судалж буй шинж чанаруудыг байнга дурдах нь оюутнуудад трапецын талаар илүү гүнзгий мэдлэг олж авах боломжийг олгож, даалгасан асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Ингээд энэ гайхалтай дүрийг судалж эхэлцгээе.

Хоёр талт трапецын элементүүд ба шинж чанарууд

Өмнө дурьдсанчлан энэ геометрийн дүрс нь тэнцүү талуудтай. Үүнийг мөн зөв трапец гэж нэрлэдэг. Яагаад ийм гайхалтай, яагаад ийм нэртэй болсон бэ? Энэ зургийн онцлог нь зөвхөн суурийн талууд ба өнцөг нь тэнцүү төдийгүй диагональууд юм. Үүнээс гадна ижил өнцөгт трапецын өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Бүх мэдэгдэж байгаа трапецын дотроос зөвхөн ижил өнцөгтийг тойрог гэж тодорхойлж болно. Энэ нь энэ зургийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байгаатай холбоотой бөгөөд зөвхөн энэ нөхцөлд л дөрвөлжин тойргийг дүрсэлж болно. Харгалзан үзэж буй геометрийн дүрсийн дараагийн шинж чанар нь суурийн оройноос энэ суурийг агуулсан шулуун шугамын эсрэг оройн проекц хүртэлх зай нь дунд шугамтай тэнцүү байх явдал юм.

Одоо ижил өнцөгт трапецын өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдье. Зургийн талуудын хэмжээсийг мэддэг бол энэ асуудлыг шийдэх арга замыг авч үзье.

Шийдэл

Ихэвчлэн дөрвөн өнцөгтийг A, B, C, D үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд BS ба AD нь суурь юм. Хоёр талт трапецын хувьд талууд тэнцүү байна. Бид тэдгээрийн хэмжээ нь X-тэй тэнцүү, суурийн хэмжээ нь Y ба Z-тэй тэнцүү байна (тус тус бүр жижиг ба том). Тооцооллыг хийхийн тулд B өнцгөөс H өндрийг зурах шаардлагатай. Үр дүн нь ABN тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд энд AB нь гипотенуз, BN ба AN нь хөл юм. Бид AN хөлний хэмжээг тооцоолно: бид том сууриас жижигийг нь хасаад үр дүнг 2-т хуваана. Бид үүнийг томъёогоор бичнэ: (Z-Y)/2 = F. Одоо цочмог хэмжээг тооцоолохын тулд. гурвалжны өнцгийн хувьд бид cos функцийг ашигладаг. Бид дараах оруулгыг авна: cos(β) = X/F. Одоо бид өнцгийг тооцоолно: β=arcos (X/F). Цаашилбал, нэг өнцгийг мэдсэнээр бид хоёр дахь өнцгийг тодорхойлж чадна, үүний тулд бид энгийн арифметик үйлдлийг гүйцэтгэдэг: 180 - β. Бүх өнцгийг тодорхойлсон.

Энэ асуудлыг шийдэх хоёр дахь шийдэл бий. Эхлээд бид булангаас өндөрт буулгана H. Бид хөл BN-ийн утгыг тооцоолно. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Бид дараахийг авна: BN = √(X2-F2). Дараа нь бид ашигладаг тригонометрийн функцтг. Үүний үр дүнд бид: β = arctan (BN/F). Хурц өнцөг олдсон. Дараа нь бид үүнийг эхний аргын адилаар тодорхойлно.

Хоёр талт трапецын диагональуудын шинж чанар

Эхлээд дөрвөн дүрмийг бичье. Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал:

Зургийн өндөр нь суурийн нийлбэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү байх болно;

Түүний өндөр ба дунд шугам нь тэнцүү;

Тойргийн төв нь цэг юм;

Хэрэв хажуу талыг шүргэлтийн цэгээр H ба M сегментүүдэд хуваасан бол энэ нь тэнцүү байна квадрат язгуурэдгээр сегментийн бүтээгдэхүүн;

Шүргэх цэгүүд, трапецын орой ба бичээстэй тойргийн төвөөс үүссэн дөрвөн өнцөгт нь тал нь радиустай тэнцүү дөрвөлжин юм;

Зургийн талбай нь суурийн үржвэр ба суурийн нийлбэр ба түүний өндрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.

Үүнтэй төстэй трапецууд

Энэ сэдэв нь түүний шинж чанарыг судлахад маш тохиромжтой. Жишээ нь, диагональууд нь трапецийг дөрвөн гурвалжинд хуваадаг бөгөөд суурьтай зэргэлдээх нь ижил төстэй, хажуу талуудтай зэргэлдээх нь тэнцүү хэмжээтэй байна. Энэ мэдэгдлийг трапецийг диагональаар нь хуваасан гурвалжны шинж чанар гэж нэрлэж болно. Энэхүү мэдэгдлийн эхний хэсэг нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй байдлын тэмдгээр нотлогддог. Хоёрдахь хэсгийг батлахын тулд доор өгөгдсөн аргыг ашиглах нь дээр.

Теоремын баталгаа

ABSD (AD ба BS нь трапецын суурь) дүрсийг VD ба AC диагональд хуваасныг бид хүлээн зөвшөөрч байна. Тэдний огтлолцлын цэг нь O. Бид дөрвөн гурвалжин авдаг: AOS - доод суурь дээр, BOS - дээд суурь дээр, ABO ба SOD хажуу талдаа. Хэрэв BO ба OD хэрчмүүд нь тэдгээрийн суурь бол SOD ба BOS гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байна. Тэдний талбайн ялгаа (P) нь эдгээр сегментүүдийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү болохыг бид олж мэдсэн: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Тиймээс PSOD = PBOS/K. Үүний нэгэн адил BOS ба AOB гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байдаг. Бид CO ба OA сегментүүдийг үндэс болгон авдаг. Бид PBOS/PAOB = CO/OA = K ба PAOB = PBOS/K-г авна. Үүнээс үзэхэд PSOD = PAOB байна.

Материалыг нэгтгэхийн тулд оюутнуудад трапецийг диагональд нь хуваасан үүссэн гурвалжны талбайн хоорондын холбоог дараах асуудлыг шийдэх замаар олохыг зөвлөж байна. BOS ба AOD гурвалжин нь ижил талбайтай байдаг нь трапецын талбайг олох шаардлагатай байдаг. PSOD = PAOB тул PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD гэсэн үг. BOS ба AOD гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд BO/OD = √(PBOS/PAOD) байна. Тиймээс PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Бид PSOD = √(PBOS*PAOD) авна. Дараа нь PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Ижил төстэй шинж чанарууд

Энэ сэдвийг үргэлжлүүлэн хөгжүүлснээр нэг нь нөгөөгөө нотолж чадна сонирхолтой онцлогтрапец. Тиймээс ижил төстэй байдлыг ашиглан энэ геометрийн дүрсийн диагональуудын огтлолцолоос үүссэн цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийн шинж чанарыг суурьтай параллель нотолж болно. Үүний тулд дараах бодлогыг шийдье: О цэгийг дайран өнгөрөх RK хэрчмийн уртыг олох хэрэгтэй. AOD ба BOS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас AO/OS = AD/BS гарч ирнэ. AOP ба ASB гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=BS*BP/(BS+BP)-ийг авна. Үүний нэгэн адил DOC ба DBS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд OK = BS*AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=OK ба RK=2*BS*AD/(BS+AD) гэсэн утгыг авна. Диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрч, суурьтай параллель, хажуугийн хоёр талыг холбосон сегментийг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана. Түүний урт нь зургийн суурийн гармоник дундаж юм.

Дөрвөн цэгийн өмч гэж нэрлэгддэг трапецын дараах шинж чанарыг авч үзье. Диагональуудын огтлолцлын цэгүүд (O), талуудын үргэлжлэл (E) огтлолцол, түүнчлэн суурийн дунд цэгүүд (T ба F) үргэлж нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнийг ижил төстэй байдлын аргаар хялбархан баталж болно. Үүссэн гурвалжин BES ба AED нь ижил төстэй бөгөөд тэдгээр нь тус бүрт ET ба EJ медианууд нь E оройн өнцгийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваадаг. Тиймээс E, T, F цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнтэй адилаар T, O, Zh цэгүүд нь ижил шулуун дээр байрлана. Эндээс бид бүх дөрвөн цэг - E, T, O, F - нэг шулуун дээр байх болно гэж дүгнэж байна.

Ижил төстэй трапецын тусламжтайгаар та зургийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегментийн уртыг (LS) олохыг сурагчдаас хүсч болно. Энэ сегмент нь суурьтай зэрэгцээ байх ёстой. Үүссэн трапецын ALFD ба LBSF нь ижил төстэй тул BS/LF = LF/AD болно. Үүнээс LF=√(BS*AD) гарч ирнэ. Трапецийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегмент нь зургийн суурийн уртын геометрийн дундажтай тэнцүү урттай болохыг бид олж мэдэв.

Дараах ижил төстэй шинж чанарыг авч үзье. Энэ нь трапецийг хоёр тэнцүү дүрс болгон хуваах сегмент дээр суурилдаг. ABSD трапецийг EH сегментээр ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваана гэж бид таамаглаж байна. В оройноос өндрийг хассан бөгөөд энэ нь EN сегментээр B1 ба B2 гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана. Бид дараахыг авна: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ба PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Дараа нь бид эхний тэгшитгэл нь (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, хоёр дахь (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 гэсэн системийг зохио. Үүнээс үзэхэд B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ба BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Трапецийг хоёр тэнцүү болгон хуваах сегментийн урт нь суурийн уртын язгуур квадраттай тэнцүү болохыг олж мэдэв: √((BS2+AD2)/2).

Ижил төстэй байдлын үр дүн

Тиймээс бид үүнийг нотолсон:

1. Трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим нь AD ба BS-тэй параллель байх ба BS ба AD-ийн арифметик дундажтай тэнцүү байна (трапецын суурийн урт).

2. AD ба BS параллель диагональуудын огтлолцлын О цэгийг дайран өнгөрөх шулуун нь AD ба BS тоонуудын гармоник дундажтай тэнцүү байна (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Трапецийг ижил төстэй хэсгүүдэд хуваах сегмент нь BS ба AD суурийн геометрийн дундаж урттай байна.

4. Дүрсийг хоёр тэнцүү болгон хуваах элемент нь AD ба BS тоонуудын язгуур квадратын урттай байна.

Материалыг нэгтгэж, авч үзсэн сегментүүдийн хоорондын холболтыг ойлгохын тулд оюутан тэдгээрийг тодорхой трапецын хувьд барих хэрэгтэй. Тэрээр суурьтай параллель - зургийн диагональуудын огтлолцол - O цэгээр дамждаг дунд шугам ба сегментийг хялбархан харуулж чадна. Харин гурав, дөрөв дэх нь хаана байрлах вэ? Энэ хариулт нь оюутныг дундаж утгуудын хоорондын хүссэн хамаарлыг олж мэдэхэд хүргэнэ.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент

Энэ зургийн дараах шинж чанарыг анхаарч үзээрэй. MH хэрчмийг суурьтай параллель, диагональуудыг хоёр хуваасан гэж бид таамаглаж байна. Ш ба Ш огтлолцох цэгүүдийг нэрлэе. Энэ хэрчим нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна. Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье. MS нь ABS гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь BS/2-тэй тэнцүү байна. MSH нь ABD гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь AD/2-тэй тэнцүү байна. Дараа нь бид ShShch = MSh-MSh, тиймээс ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2 гэдгийг олж авна.

Таталцлын төв

Өгөгдсөн геометрийн дүрсийн хувьд энэ элемент хэрхэн тодорхойлогддогийг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд суурийг эсрэг чиглэлд сунгах шаардлагатай. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Та доод суурийг дээд суурь руу нэмэх хэрэгтэй - аль ч чиглэлд, жишээлбэл, баруун тийш. Мөн бид доод хэсгийг дээд талынх нь уртаар зүүн тийш сунгана. Дараа нь бид тэдгээрийг диагональ байдлаар холбоно. Энэ сегментийн зургийн дунд шугамтай огтлолцох цэг нь трапецын хүндийн төв юм.

Бичсэн ба хүрээлэгдсэн трапецууд

Ийм тоонуудын онцлогуудыг жагсаая:

1. Трапецийг зөвхөн ижил өнцөгт байвал тойрог дотор бичиж болно.

2. Суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байх нөхцөлд трапецийг тойрог хэлбэрээр дүрсэлж болно.

Тойргийн үр дагавар:

1. Тайлбарласан трапецын өндөр нь үргэлж хоёр радиустай тэнцүү байна.

2. Тодорхойлсон трапецын тал нь тойргийн төвөөс тэгш өнцөгт ажиглагдаж байна.

Эхний үр дүн нь ойлгомжтой боловч хоёр дахь нь SOD өнцөг зөв гэдгийг батлах шаардлагатай бөгөөд энэ нь үнэндээ тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ мэдлэг энэ өмчийнасуудлыг шийдвэрлэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглах боломжийг танд олгоно.

Одоо тойрог дотор бичсэн ижил өнцөгт трапецын хувьд эдгээр үр дагаврыг тодорхойлъё. Өндөр нь зургийн суурийн геометрийн дундаж болохыг олж мэдэв: H=2R=√(BS*AD). Трапецын асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн арга барил (хоёр өндрийг зурах зарчим) дадлага хийх явцад оюутан дараахь даалгаврыг шийдвэрлэх ёстой. BT нь ABSD-ийн тэгш өнцөгт дүрсийн өндөр гэж бид таамаглаж байна. AT ба TD сегментүүдийг олох шаардлагатай. Дээр дурдсан томъёог ашиглан үүнийг хийхэд хэцүү биш байх болно.

Одоо хүрээлэгдсэн трапецын талбайг ашиглан тойргийн радиусыг хэрхэн тодорхойлохыг олж мэдье. Бид өндрийг B оройноос AD суурь хүртэл бууруулна. Тойрог трапец хэлбэрээр бичсэн тул BS+AD = 2AB эсвэл AB = (BS+AD)/2 болно. ABN гурвалжнаас бид sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD)-ийг олно. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Бид PABSD = (BS+BP)*R авна, үүнээс R = PABSD/(BS+BP) гарна.

Трапецын дунд шугамын бүх томъёо

Одоо энэ геометрийн дүрсийн сүүлчийн элемент рүү шилжих цаг болжээ. Трапецын дунд шугам (M) нь юутай тэнцүү болохыг олж мэдье.

1. Суурийн тусламжтайгаар: M = (A+B)/2.

2. Өндөр, суурь, булангаар:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Өндөр, диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр. Жишээлбэл, D1 ба D2 нь трапецын диагональ юм; α, β - тэдгээрийн хоорондох өнцөг:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Талбай ба өндрөөр: M = P/N.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайтад хүсэлт гаргахад бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай гэж үзвэл хуулийн дагуу шүүхийн журам, хуулийн дагуу болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн үндсэн дээр - өөрийн хувийн мэдээллийг задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Зөвхөн хоёр тал нь параллель байдаг дөрвөн өнцөгтийг нэрлэдэг трапец.

Трапецын зэрэгцээ талуудыг түүний гэж нэрлэдэг шалтгаанууд, мөн параллель биш талуудыг дуудна талууд. Хэрэв талууд тэнцүү бол ийм трапец нь тэгш өнцөгт юм. Суурийн хоорондох зайг трапецын өндөр гэж нэрлэдэг.

Дунд шугамын трапец

дунд шугам- энэ бол трапецын хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм. Трапецын дунд шугам нь түүний суурьтай параллель байна.

Теорем:

Хэрэв нэг талын дундыг огтолж буй шулуун шугам нь трапецын суурьтай параллель байвал трапецын хоёр дахь талыг хоёр хуваана.

Теорем:

Дунд шугамын урт нь түүний суурийн уртын арифметик дундажтай тэнцүү байна

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN дунд шугам, AB ба CD - суурь, AD ба BC - хажуу талууд

MN = (AB + DC)/2

Теорем:

Трапецын дунд шугамын урт нь суурийн уртын арифметик дундажтай тэнцүү байна.

Гол ажил: Трапецын суурийн голд төгсгөл нь байрлах хэрчмийг трапецын дунд шугам нь хоёр хуваадаг болохыг батал.

Гурвалжингийн дунд шугам

Гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчмийг гурвалжны дунд шугам гэнэ. Энэ нь гурав дахь талтай параллель бөгөөд урт нь гурав дахь талын уртын хагастай тэнцүү байна.
Теорем: Гурвалжны нэг талын дунд цэгийг огтолж байгаа шулуун нь нөгөө талтай параллель байвал гурав дахь талыг нь хуваана.

AM = MC ба BN = NC =>

Гурвалжин ба трапецын дунд шугамын шинж чанарыг ашиглах

Сегментийг тодорхой хэмжээгээр хуваах тэнцүү хэсгүүд.
Даалгавар: AB сегментийг 5 тэнцүү хэсэгт хуваа.
Шийдэл:
Эх нь А цэг, AB шулуун дээр оршдоггүй санамсаргүй туяа p гэж үзье. Бид p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 дээр 5 тэнцүү сегментийг дараалан байрлуулна.
Бид A 5-ыг B-тэй холбож, A 4, A 3, A 2, A 1-ээр дамжуулан A 5 B-тэй параллель шугамуудыг татдаг. Тэд AB-ийг B 4, B 3, B 2, B 1 цэгүүдээр тус тус огтолно. Эдгээр цэгүүд AB сегментийг 5 тэнцүү хэсэгт хуваана. Үнэхээр BB 3 A 3 A 5 трапецаас бид BB 4 = B 4 B 3 болохыг харж байна. Үүнтэй адилаар B 4 B 2 A 2 A 4 трапецаас бид B 4 B 3 = B 3 B 2-г авна.

Трапецаас B 3 B 1 A 1 A 3 байхад B 3 B 2 = B 2 B 1 байна.
Дараа нь B 2 AA 2-оос B 2 B 1 = B 1 A. Дүгнэж хэлэхэд бид дараахь зүйлийг олж авна.
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB хэрчмийг өөр тооны тэнцүү хэсгүүдэд хуваахын тулд бид ижил тооны тэнцүү хэсгүүдийг p туяанд тусгах хэрэгтэй болох нь тодорхой байна. Тэгээд дээр дурдсан аргаар үргэлжлүүлээрэй.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.