Трапец хэлбэрийн харьцаа. Трапец, трапецын дунд шугам, гурвалжин

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна.
Трапецын сууриудаас үүссэн гурвалжин ба тэдгээрийн огтлолцох цэг хүртэлх диагональуудын хэрчмүүд нь ижил төстэй байдаг.
Трапецын хажуугийн хажуу тал дээр байрлах трапецын диагональ хэсгүүдээс үүссэн гурвалжингууд нь ижил хэмжээтэй (ижил талбайтай)
Хэрэв та трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгавал суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугамтай нэг цэг дээр огтлолцоно.
Трапецын сууриудыг холбож, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийг трапецын суурийн уртын харьцаатай тэнцүү хэмжээгээр энэ цэгт хуваана.
Шугамын сегмент, суурьтай зэрэгцээтрапец, диагональуудын огтлолцлын цэгээр зурсан ба энэ цэгээр хуваагдсан бөгөөд урт нь 2ab/(a + b), энд a ба b нь трапецын суурь юм.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн шинж чанарууд

ABCD трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбоно, үүний үр дүнд бид LM сегменттэй болно.
Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент трапецын дунд шугам дээр байрладаг.

Энэ сегмент трапецын суурьтай зэрэгцээ.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн урт нь суурийн зөрүүний хагастай тэнцүү байна.

LM = (МЭ - МЭӨ)/2
эсвэл
LM = (a-b)/2

Трапецын диагональуудаас үүссэн гурвалжны шинж чанарууд

Трапецын суурь ба трапецын диагональуудын огтлолцох цэгээс үүссэн гурвалжингууд - төстэй.
BOC ба AOD гурвалжин ижил төстэй. BOC ба AOD өнцгүүд нь босоо тул тэнцүү байна.
OCB ба OAD өнцгүүд нь AD ба BC параллель шулуунууд (трапецын суурь нь хоорондоо параллель) ба АС таслагч шугамтай хөндлөн хэвтэх дотоод өнцөг тул тэдгээр нь тэнцүү байна.
OBC болон ODA өнцөг нь ижил шалтгаанаар тэнцүү байна (дотоод хөндлөн).

Нэг гурвалжны гурван өнцөг нь өөр гурвалжны харгалзах өнцөгтэй тэнцүү тул эдгээр гурвалжин ижил төстэй байна.

Үүнээс юу гарах вэ?

Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд гурвалжны ижил төстэй байдлыг дараах байдлаар ашигладаг. Хэрэв бид ижил төстэй гурвалжны харгалзах хоёр элементийн уртыг мэддэг бол ижил төстэй байдлын коэффициентийг олно (бид нэгийг нь нөгөөгөөр нь хуваана). Бусад бүх элементүүдийн уртууд хоорондоо яг ижил утгатай холбоотой байдаг.

Трапецын хажуу тал ба диагональ дээр байрлах гурвалжны шинж чанарууд

AB ба CD трапецын хажуу тал дээр байрлах хоёр гурвалжинг авч үзье. Эдгээр нь AOB ба COD гурвалжин юм. Хэдийгээр эдгээр гурвалжны бие даасан талуудын хэмжээ нь огт өөр байж болох ч хажуу талуудаас үүссэн гурвалжны талбай ба трапецын диагональуудын огтлолцлын цэг тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл гурвалжин нь тэнцүү хэмжээтэй байна.

Хэрэв бид трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгавал талуудын огтлолцох цэг нь болно. суурийн дундуур дайран өнгөрөх шулуун шугамтай давхцана.

Тиймээс аливаа трапецийг гурвалжин болгон өргөжүүлж болно. Үүнд:

Өргөтгөсөн талуудын огтлолцлын цэгт нийтлэг оройтой трапецын сууриудаас үүссэн гурвалжнууд ижил төстэй байна.
Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугам нь нэгэн зэрэг баригдсан гурвалжны медиан юм.

Трапецын суурийг холбосон сегментийн шинж чанарууд

Хэрэв та трапецын (KN) диагональуудын огтлолцлын цэг дээр байрлах трапецын суурь дээр төгсгөлүүд нь байрлах сегментийг зурвал суурийн хажуугаас огтлолцох цэг хүртэлх түүний бүрдүүлэгч сегментүүдийн харьцааг тодорхойлно. диагональуудын (KO/ON) трапецын суурийн харьцаатай тэнцүү байх болно(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Энэ шинж чанар нь харгалзах гурвалжны ижил төстэй байдлаас үүдэлтэй (дээрхийг үзнэ үү).

Трапецын суурьтай параллель сегментийн шинж чанарууд

Хэрэв бид трапецын суурьтай параллель сегментийг зурж, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрвөл энэ нь дараахь шинж чанартай байх болно.

Заасан зай (KM) трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр хоёр хуваагдсан
Хэсгийн урттрапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрөх ба суурийн параллель нь тэнцүү байна. KM = 2ab/(a + b)

Трапецын диагональуудыг олох томьёо

а, б- трапец хэлбэрийн суурь

в, г- трапецын талууд

d1 d2- трапецын диагональууд

α β - трапецын илүү том суурьтай өнцөг

Суурийн суурь, хажуу ба өнцгөөр дамжин трапецын диагональуудыг олох томъёо

Эхний бүлгийн томъёо (1-3) нь трапецын диагональуудын үндсэн шинж чанаруудын нэгийг тусгасан болно.

1. Трапецын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь талуудын квадратуудын нийлбэр дээр суурийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэртэй тэнцүү байна. Трапецын диагональуудын энэ шинж чанарыг тусдаа теорем болгон баталж болно

2 . Энэ томьёог өмнөх томьёог хувиргах замаар олж авна. Хоёрдахь диагональ квадратыг тэнцүү тэмдгээр шидэж, дараа нь илэрхийллийн зүүн ба баруун талаас квадрат язгуурыг гаргаж авна.

3 . Трапецын диагональ уртыг олох энэхүү томьёо нь өмнөхтэй төстэй бөгөөд илэрхийллийн зүүн талд өөр диагональ үлдсэн байдгаараа ялгаатай.

Дараагийн бүлэг томьёо (4-5) нь утгын хувьд ойролцоо бөгөөд ижил төстэй харилцааг илэрхийлдэг.

Томъёоны бүлэг (6-7) нь трапецын том суурь, нэг тал ба суурийн өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол трапецын диагональыг олох боломжийг олгодог.

Трапецын диагональуудыг өндрөөр олох томьёо

Анхаарна уу. Энэ хичээл нь трапецын талаархи геометрийн асуудлуудын шийдлүүдийг өгдөг. Хэрэв та сонирхож буй төрлийн геометрийн асуудлын шийдлийг олж чадаагүй бол форум дээр асуулт асуугаарай.

Даалгавар.
ABCD (AD | | BC) трапецын диагональууд О цэг дээр огтлолцоно.Трапецын суурийн ВС суурийн уртыг ол AD = 24 см, урт AO = 9 см, урт OS = 6 см бол.

Шийдэл.
Энэ асуудлын шийдэл нь үзэл суртлын хувьд өмнөх асуудлуудтай яг адилхан юм.

AOD ба BOC гурвалжин нь гурван өнцгөөр төстэй - AOD ба BOC нь босоо, үлдсэн өнцөгүүд нь нэг шугам ба хоёр зэрэгцээ шугамын огтлолцолоор үүссэн тул хосоороо тэнцүү байна.

Гурвалжин нь ижил төстэй тул бүгдээрээ геометрийн хэмжээсүүдАсуудлын нөхцлийн дагуу бидэнд мэдэгдэж байгаа AO ба OC сегментүүдийн геометрийн хэмжээсүүд хоорондоо хамааралтай. Тэр бол

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / МЭӨ
МЭӨ = 24 * 6 / 9 = 16

Хариулт: 16 см

Даалгавар.
ABCD трапецын хувьд AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17 гэдгийг мэддэг. Трапецын талбайг ол.

Шийдэл.
Б ба С жижиг суурийн оройноос трапецын өндрийг олохын тулд бид хоёр өндрийг том суурь руу буулгана. Трапец тэгш бус тул бид уртыг AM = a, урт KD = b () гэж тэмдэглэнэ. томьёоны тэмдэглэгээтэй андуурч болохгүйтрапецын талбайг олох). Трапецын суурь нь параллель бөгөөд том суурьтай перпендикуляр хоёр өндрийг буулгасан тул MBCK нь тэгш өнцөгт болно.

гэсэн үг
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

DBM ба ACK гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул тэдгээрийн тэгш өнцөг нь трапецын өндрөөс үүсдэг. Трапецын өндрийг h гэж тэмдэглэе. Дараа нь Пифагорын теоремоор

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Тэгээд
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Эхний тэгшитгэлд a = 16 - b гэдгийг анхаарч үзье
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Пифагорын теоремыг ашиглан олж авсан хоёр дахь тэгшитгэлд өндрийн квадратын утгыг орлъё. Бид авах:
425 - (8 + б) 2 + (24 - б) 2 = 169
-(64 + 16б + б) 2 + (24 - б) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64б = -768
b = 12

Тэгэхээр KD = 12
Хаана
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Трапецын талбайг өндрөөр нь ба суурийнх нь нийлбэрийн хагасыг ол
, энд a b - трапецын суурь, h - трапецын өндөр
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Хариулт: трапецын талбай нь 80 см2.

Трапецын дунд шугамын тухай ойлголт

Эхлээд ямар дүрсийг трапец гэж нэрлэдэгийг санацгаая.

Тодорхойлолт 1

Хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр нь параллель биш дөрвөн өнцөгтийг трапец гэнэ.

Энэ тохиолдолд параллель талуудыг трапецын суурь, зэрэгцээ бус талуудыг трапецын хажуу талууд гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 2

Трапецын дунд шугам нь трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.

Трапецын дунд шугамын теорем

Одоо бид трапецын дунд шугамын тухай теоремыг танилцуулж, векторын аргаар баталж байна.

Теорем 1

Трапецын дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.

Баталгаа.

$AD\ ба \ BC$ суурьтай $ABCD$ трапецийг бидэнд өгье. Мөн $MN$ -- дунд шугамэнэ трапец (Зураг 1).

Зураг 1. Трапецын дунд шугам

$MN||AD\ ба\ MN=\frac(AD+BC)(2)$ гэдгийг баталъя.

$\overrightarrow(MN)$ векторыг авч үзье. Дараа нь бид вектор нэмэхийн тулд олон өнцөгт дүрмийг ашиглана. Нэг талаас бид үүнийг ойлгодог

Нөгөө талаар

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлийг нэмээд олж авъя

$M$ ба $N$ нь трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүд тул бид дараах хэлбэртэй болно.

Бид авах:

Тиймээс

Ижил тэгшитгэлээс ($\overrightarrow(BC)$ ба $\overrightarrow(AD)$ нь хоорондоо уялдаа холбоотой, тиймээс хоорондоо уялдаа холбоотой байдаг тул) бид $MN||AD$-г олж авна.

Теорем нь батлагдсан.

Трапецын дунд шугамын талаархи асуудлын жишээ

Жишээ 1

Трапецын хажуу талууд нь $15\см$ ба $17\см$ байна. Трапецын периметр нь $52\см$ байна. Трапецын дунд шугамын уртыг ол.

Шийдэл.

Трапецын дунд шугамыг $n$ гэж тэмдэглэе.

Талуудын нийлбэр нь тэнцүү байна

Тиймээс периметр нь $52\ см$ тул суурийн нийлбэр нь тэнцүү байна

Тиймээс 1-р теоремын дагуу бид олж авна

Хариулт:$10\см$.

Жишээ 2

Тойргийн диаметр нь түүний шүргэгчээс $9$см ба $5$см-ийн зайд байгаа бөгөөд энэ тойргийн диаметрийг ол.

Шийдэл.

Бидэнд төв нь $O$ цэгтэй, $AB$ диаметртэй тойрог өгье. $l$ шүргэгч зураад $AD=9\ cm$ ба $BC=5\ cm$ зайг байгуулъя. $OH$ радиусыг зуръя (Зураг 2).

Зураг 2.

$AD$ ба $BC$ нь шүргэгч хүртэлх зай тул $AD\bot l$ ба $BC\bot l$, $OH$ нь радиус тул $OH\bot l$, тиймээс $OH байна. |\left|AD\right||BC$. Энэ бүхнээс бид $ABCD$ нь трапец, $OH$ нь түүний дунд шугам юм. Теорем 1-ээр бид олж авна

Хичээлийн зорилго:

1) оюутнуудад трапецын дунд шугамын тухай ойлголтыг танилцуулж, түүний шинж чанарыг харгалзан үзэж, нотлох;

2) трапецын дунд шугамыг хэрхэн барихыг заах;

3) оюутнуудын трапецын дунд шугамын тодорхойлолт, трапецын дунд шугамын шинж чанарыг асуудлыг шийдвэрлэхдээ ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;

4) шаардлагатай математикийн нэр томъёог ашиглан оюутнуудын чадварлаг ярих чадварыг үргэлжлүүлэн хөгжүүлэх; өөрийн үзэл бодлыг батлах;

5) хөгжүүлэх логик сэтгэлгээ, санах ой, анхаарал.

Хичээлийн үеэр

1. Хичээлийн явцад гэрийн даалгавраа шалгана. Гэрийн даалгавар нь аман байсан, санаарай:

а) трапецын тодорхойлолт; трапецын төрлүүд;

б) гурвалжны дунд шугамыг тодорхойлох;

в) гурвалжны дунд шугамын шинж чанар;

г) гурвалжны дунд шугамын тэмдэг.

2. Шинэ материал судлах.

a) Самбар нь ABCD трапецийг харуулж байна.

б) Багш танаас трапецын тодорхойлолтыг санахыг хүсч байна. Ширээ бүр дээр "Трапец" сэдвийн үндсэн ойлголтуудыг санахад туслах зөвлөмжийн диаграм байдаг (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү). 1-р хавсралтыг ширээ бүрт олгов.

Сурагчид дэвтэр дээрээ ABCD трапецийг зурдаг.

в) Багш танаас дунд шугамын тухай ойлголт аль сэдвээр тохиолдсоныг санахыг хүсч байна ("Гурвалжны дунд шугам"). Оюутнууд гурвалжны дунд шугам, түүний шинж чанаруудын тодорхойлолтыг санаж байна.

д) Трапецын дунд шугамын тодорхойлолтыг дэвтэрт зурж бич.

Дунд шугамТрапец бол түүний хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.

Энэ үе шатанд трапецын дунд шугамын шинж чанар батлагдаагүй байгаа тул хичээлийн дараагийн шатанд трапецын дунд шугамын шинж чанарыг нотлох ажил орно.

Теорем. Трапецын дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.

Өгөгдсөн: ABCD - трапец,

MN – дунд шугам ABCD

Нотлох, Юу:

1. МЭӨ || MN || А.Д.

2. MN = (МЭ + МЭӨ).

Теоремын нөхцлөөс үүдэн гарах зарим үр дагаварыг бид бичиж болно.

AM = MB, CN = ND, BC || А.Д.

Зөвхөн жагсаасан шинж чанарууд дээр үндэслэн юу шаардагдахыг батлах боломжгүй юм. Асуулт, дасгалын систем нь оюутнуудыг трапецын дунд шугамыг зарим гурвалжны дунд шугамтай холбох хүсэлд хөтлөх ёстой бөгөөд тэдгээрийн шинж чанарыг аль хэдийн мэддэг байх ёстой. Хэрэв санал байхгүй бол та асуулт асууж болно: MN сегмент нь дунд шугам байх гурвалжинг хэрхэн байгуулах вэ?

Тохиолдлын аль нэгэнд зориулж нэмэлт бүтээн байгуулалтыг бичье.

AD талын үргэлжлэлийг K цэгт огтолж BN шулуун зуръя.

Нэмэлт элементүүд гарч ирнэ - гурвалжин: ABD, BNM, DNK, BCN. Хэрэв бид BN = NK гэдгийг нотлох юм бол энэ нь MN нь ABD-ийн дунд шугам гэсэн үг бөгөөд гурвалжингийн дунд шугамын шинж чанарыг ашиглаж, шаардлагатайг баталж чадна.

Нотолгоо:

1. BNC болон DNK-г авч үзье, тэдгээр нь:

a) CNB =DNK (босоо өнцгийн шинж чанар);

b) BCN = NDK (дотоод хөндлөн огтлолын өнцгийн шинж чанар);

в) CN = ND (теоремын нөхцлийн үр дүнд).

Энэ нь BNC =DNK (хажуу тал ба хоёр зэргэлдээ өнцөг) гэсэн үг юм.

Q.E.D.

Баталгаажуулалтыг ангид амаар хийж болох бөгөөд гэртээ сэргээн засварлаж, тэмдэглэлийн дэвтэрт бичиж болно (багшийн үзэмжээр).

Энэ теоремыг батлах бусад боломжит аргуудын талаар хэлэх шаардлагатай.

1. Трапецын диагональуудын аль нэгийг зурж, гурвалжны дунд шугамын тэмдэг, шинж чанарыг ашиглана.

2. CF || хийх BA ба ABCF ба DCF параллелограммыг авч үзье.

3. EF || хийх BA ба FND болон ENC-ийн тэгш байдлыг авч үзэх.

g) Энэ үе шатанд үүнийг тодорхойлсон гэрийн даалгавар: 84-р зүйл, сурах бичиг хэвлэл. Атанасян Л.С. (трапецын дунд шугамын шинж чанарыг векторын аргаар нотлох) дэвтэртээ бичнэ үү.

h) Бид бэлэн зураг ашиглан трапецын дунд шугамын тодорхойлолт, шинж чанарыг ашиглан асуудлыг шийддэг (Хавсралт 2-ыг үзнэ үү). Хавсралт 2-ыг оюутан бүрт өгч, асуудлын шийдлийг нэг хуудсан дээр богино хэлбэрээр бичнэ.

Трапецын дунд шугамын тухай ойлголт

Эхлээд ямар дүрсийг трапец гэж нэрлэдэгийг санацгаая.

Тодорхойлолт 1

Хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр нь параллель биш дөрвөн өнцөгтийг трапец гэнэ.

Энэ тохиолдолд параллель талуудыг трапецын суурь, зэрэгцээ бус талуудыг трапецын хажуу талууд гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 2

Трапецын дунд шугам нь трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.

Трапецын дунд шугамын теорем

Одоо бид трапецын дунд шугамын тухай теоремыг танилцуулж, векторын аргаар баталж байна.

Теорем 1

Трапецын дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.

Баталгаа.

$AD\ ба \ BC$ суурьтай $ABCD$ трапецийг бидэнд өгье. Мөн энэ трапецын дунд шугамыг $MN$ болгоё (Зураг 1).

Зураг 1. Трапецын дунд шугам

$MN||AD\ ба\ MN=\frac(AD+BC)(2)$ гэдгийг баталъя.

Нөгөө талаар

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлийг нэмээд олж авъя

$M$ ба $N$ нь трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүд тул бид дараах хэлбэртэй болно.

Бид авах:

Тиймээс

Теорем нь батлагдсан.

Трапецын дунд шугамын талаархи асуудлын жишээ

Жишээ 1

Шийдэл.

Трапецын дунд шугамыг $n$ гэж тэмдэглэе.

Талуудын нийлбэр нь тэнцүү байна

Тиймээс периметр нь $52\ см$ тул суурийн нийлбэр нь тэнцүү байна

Тиймээс 1-р теоремын дагуу бид олж авна

Хариулт:$10\см$.

Жишээ 2

Тойргийн диаметр нь түүний шүргэгчээс $9$см ба $5$см-ийн зайд байгаа бөгөөд энэ тойргийн диаметрийг ол.

Шийдэл.

Зураг 2.

Трапец байна онцгой тохиолдолнэг хос тал нь параллель байх дөрвөн өнцөгт. "Трапец" гэсэн нэр томъёоноос гаралтай Грек үгτράπεζα, "ширээ", "ширээ" гэсэн утгатай. Энэ нийтлэлд бид трапецын төрлүүд, түүний шинж чанаруудыг авч үзэх болно. Үүнээс гадна бид хэрхэн тооцоолохыг олж мэдэх болно бие даасан элементүүдЭнэ Жишээ нь, тэгш өнцөгт трапецын диагональ, төвийн шугам, талбай гэх мэт. Материалыг энгийн түгээмэл геометрийн хэв маягаар, өөрөөр хэлбэл хялбархан хүртээмжтэй хэлбэрээр үзүүлэв.

Ерөнхий мэдээлэл

Эхлээд дөрвөн өнцөгт гэж юу болохыг олж мэдье. Энэ зураг нь дөрвөн тал, дөрвөн орой агуулсан олон өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Зэргэлдээгүй дөрвөн өнцөгтийн хоёр оройг эсрэг гэж нэрлэдэг. Зэргэлдээгүй хоёр талын хувьд мөн адил зүйлийг хэлж болно. Дөрвөн өнцөгтийн үндсэн төрлүүд нь параллелограмм, тэгш өнцөгт, ромб, дөрвөлжин, трапец, дельтоид юм.

Тиймээс трапецууд руу буцаж орцгооё. Бид аль хэдийн хэлсэнчлэн энэ зураг хоёр зэрэгцээ талтай. Тэдгээрийг суурь гэж нэрлэдэг. Нөгөө хоёр (параллель бус) нь хажуу талууд юм. Шалгалтын материал болон төрөл бүрийн туршилтуудИхэнх тохиолдолд та трапецтай холбоотой асуудлуудыг олох боломжтой бөгөөд үүний шийдэл нь оюутнуудаас хөтөлбөрт тусгаагүй мэдлэгтэй байхыг шаарддаг. Сургуулийн геометрийн хичээл нь оюутнуудад өнцөг ба диагональ, мөн дунд шугамын шинж чанаруудыг танилцуулдаг тэгш өнцөгт трапец. Гэхдээ үүнээс гадна дурдсан геометрийн дүрс нь өөр шинж чанартай байдаг. Гэхдээ тэдний талаар бага зэрэг дараа ...

Трапецын төрлүүд

Энэ дүрсийн олон төрөл байдаг. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ тэдгээрийн хоёрыг авч үзэх нь заншилтай байдаг - тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт.

1. Тэгш өнцөгт трапец гэдэг нь аль нэг тал нь суурийн перпендикуляр байрласан дүрс юм. Түүний хоёр өнцөг нь үргэлж ерэн градустай тэнцүү байдаг.

2. Талууд нь хоорондоо тэнцүү геометрийн дүрсийг ижил өнцөгт трапец гэнэ. Энэ нь суурийн өнцөг нь хосоороо тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Трапецын шинж чанарыг судлах арга зүйн үндсэн зарчим

Гол зарчим нь даалгавар гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах явдал юм. Үнэн хэрэгтээ энэ дүрсийн шинэ шинж чанарыг геометрийн онолын хичээлд нэвтрүүлэх шаардлагагүй юм. Тэдгээрийг шийдвэрлэх явцад илрүүлж, томъёолж болно янз бүрийн даалгавар(системээс илүү сайн). Үүний зэрэгцээ багш оюутнуудад нэг удаад ямар даалгавар өгөх ёстойг мэддэг байх нь маш чухал юм. боловсролын үйл явц. Түүгээр ч зогсохгүй трапецын шинж чанар бүрийг даалгаврын системийн гол даалгавар болгон төлөөлж болно.

Хоёрдахь зарчим бол трапецын "гайхалтай" шинж чанарыг судлах спираль зохион байгуулалт юм. Энэ нь сургалтын үйл явцад тухайн зүйлийн бие даасан шинж чанарт буцаж очих гэсэн үг юм геометрийн дүрс. Энэ нь оюутнуудад тэдгээрийг санахад хялбар болгодог. Жишээлбэл, дөрвөн цэгийн өмч. Үүнийг ижил төстэй байдлыг судлах, дараа нь вектор ашиглах үед нотлох боломжтой. Зургийн хажуу талуудтай зэргэлдээх гурвалжнуудын эквивалентийг зөвхөн нэг шулуун дээр байрлах талууд руу татсан ижил өндөртэй гурвалжны шинж чанарыг ашиглахаас гадна S = 1/2() томъёог ашиглан баталж болно. ab*sinα). Нэмж дурдахад та бичээстэй трапец эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжин дээр ажиллаж болно.

Сургуулийн хичээлийн агуулгад геометрийн дүрсийн "хичээлээс гадуурх" шинж чанарыг ашиглах нь тэдгээрийг заах даалгаварт суурилсан технологи юм. Бусад сэдвүүдийг судлах явцад судалж буй шинж чанаруудыг байнга дурдах нь оюутнуудад трапецын талаар илүү гүнзгий мэдлэг олж авах боломжийг олгож, даалгасан асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Ингээд энэ гайхалтай дүрийг судалж эхэлцгээе.

Хоёр талт трапецын элементүүд ба шинж чанарууд

Өмнө дурьдсанчлан энэ геометрийн дүрс нь тэнцүү талуудтай. Үүнийг мөн зөв трапец гэж нэрлэдэг. Яагаад ийм гайхалтай, яагаад ийм нэртэй болсон бэ? Энэ зургийн онцлог нь зөвхөн суурийн талууд ба өнцөг нь тэнцүү төдийгүй диагональууд юм. Үүнээс гадна ижил өнцөгт трапецын өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Бүх мэдэгдэж байгаа трапецын дотроос зөвхөн ижил өнцөгтийг тойрог гэж тодорхойлж болно. Энэ нь энэ зургийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байгаатай холбоотой бөгөөд зөвхөн энэ нөхцөлд л дөрвөлжин тойргийг дүрсэлж болно. Харгалзан үзэж буй геометрийн дүрсийн дараагийн шинж чанар нь суурийн оройноос энэ суурийг агуулсан шулуун шугамын эсрэг оройн проекц хүртэлх зай нь дунд шугамтай тэнцүү байх явдал юм.

Одоо ижил өнцөгт трапецын өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдье. Зургийн талуудын хэмжээсийг мэддэг бол энэ асуудлыг шийдэх арга замыг авч үзье.

Шийдэл

Ихэвчлэн дөрвөн өнцөгтийг A, B, C, D үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд BS ба AD нь суурь юм. Хоёр талт трапецын хувьд талууд тэнцүү байна. Бид тэдгээрийн хэмжээ нь X-тэй тэнцүү, суурийн хэмжээ нь Y ба Z-тэй тэнцүү байна (тус тус бүр жижиг ба том). Тооцооллыг хийхийн тулд B өнцгөөс H өндрийг зурах шаардлагатай. Үр дүн нь ABN тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд энд AB нь гипотенуз, BN ба AN нь хөл юм. Бид AN хөлний хэмжээг тооцоолно: бид том сууриас жижигийг хасч, үр дүнг 2-т хуваана. Бид үүнийг томъёогоор бичнэ: (Z-Y)/2 = F. Одоо хурц өнцгийг тооцоолохын тулд. гурвалжны хувьд бид ашиглах болно cos функц. Бид дараах оруулгыг авна: cos(β) = X/F. Одоо бид өнцгийг тооцоолно: β=arcos (X/F). Цаашилбал, нэг өнцгийг мэдсэнээр бид хоёр дахь өнцгийг тодорхойлж чадна, үүний тулд бид энгийн арифметик үйлдлийг гүйцэтгэдэг: 180 - β. Бүх өнцгийг тодорхойлсон.

Энэ асуудлыг шийдэх хоёр дахь шийдэл бий. Эхлээд бид булангаас өндөрт буулгана H. Бид хөл BN-ийн утгыг тооцоолно. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Бид дараахийг авна: BN = √(X2-F2). Дараа нь бид ашигладаг тригонометрийн функцтг. Үүний үр дүнд бид: β = arctan (BN/F). Хурц өнцөг олдсон. Дараа нь бид үүнийг эхний аргын адилаар тодорхойлно.

Хоёр талт трапецын диагональуудын шинж чанар

Эхлээд дөрвөн дүрмийг бичье. Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал:

Зургийн өндөр нь суурийн нийлбэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү байх болно;

Түүний өндөр ба дунд шугам нь тэнцүү;

Тойргийн төв нь цэг юм;

Хэрэв хажуу талыг шүргэлтийн цэгээр H ба M сегментүүдэд хуваасан бол энэ нь тэнцүү байна квадрат язгуурэдгээр сегментийн бүтээгдэхүүн;

Шүргэх цэгүүд, трапецын орой ба бичээстэй тойргийн төвөөс үүссэн дөрвөн өнцөгт нь тал нь радиустай тэнцүү дөрвөлжин юм;

Зургийн талбай нь суурийн үржвэр ба суурийн нийлбэр ба түүний өндрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.

Үүнтэй төстэй трапецууд

Энэ сэдэв нь түүний шинж чанарыг судлахад маш тохиромжтой. Жишээ нь, диагональууд нь трапецийг дөрвөн гурвалжинд хуваадаг бөгөөд суурьтай зэргэлдээх нь ижил төстэй, хажуу талуудтай зэргэлдээх нь тэнцүү хэмжээтэй байна. Энэ мэдэгдлийг трапецийг диагональаар нь хуваасан гурвалжны шинж чанар гэж нэрлэж болно. Энэхүү мэдэгдлийн эхний хэсэг нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй байдлын тэмдгээр нотлогддог. Хоёрдахь хэсгийг батлахын тулд доор өгөгдсөн аргыг ашиглах нь дээр.

Теоремын баталгаа

ABSD (AD ба BS нь трапецын суурь) дүрсийг VD ба AC диагональд хуваасныг бид хүлээн зөвшөөрч байна. Тэдний огтлолцлын цэг нь O. Бид дөрвөн гурвалжин авдаг: AOS - доод суурь дээр, BOS - дээд суурь дээр, ABO ба SOD хажуу талдаа. Хэрэв BO ба OD хэрчмүүд нь тэдгээрийн суурь бол SOD ба BOS гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байна. Тэдний талбайн ялгаа (P) нь эдгээр сегментүүдийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү болохыг бид олж мэдсэн: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Тиймээс PSOD = PBOS/K. Үүний нэгэн адил BOS ба AOB гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байдаг. Бид CO ба OA сегментүүдийг үндэс болгон авдаг. Бид PBOS/PAOB = CO/OA = K ба PAOB = PBOS/K-г авна. Үүнээс үзэхэд PSOD = PAOB байна.

Материалыг нэгтгэхийн тулд оюутнуудад трапецийг диагональд нь хуваасан үүссэн гурвалжны талбайн хоорондын холбоог дараах асуудлыг шийдэх замаар олохыг зөвлөж байна. BOS ба AOD гурвалжин нь ижил талбайтай байдаг нь трапецын талбайг олох шаардлагатай байдаг. PSOD = PAOB тул PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD гэсэн үг. BOS ба AOD гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд BO/OD = √(PBOS/PAOD) байна. Тиймээс PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Бид PSOD = √(PBOS*PAOD) авна. Дараа нь PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Ижил төстэй шинж чанарууд

Энэ сэдвийг үргэлжлүүлэн хөгжүүлснээр нэг нь нөгөөгөө нотолж чадна сонирхолтой онцлогтрапец. Тиймээс ижил төстэй байдлыг ашиглан энэ геометрийн дүрсийн диагональуудын огтлолцолоос үүссэн цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийн шинж чанарыг суурьтай параллель нотолж болно. Үүний тулд дараах бодлогыг шийдье: О цэгийг дайран өнгөрөх RK хэрчмийн уртыг олох хэрэгтэй. AOD ба BOS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас AO/OS = AD/BS гарч ирнэ. AOP ба ASB гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=BS*BP/(BS+BP)-ийг авна. Үүний нэгэн адил DOC ба DBS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд OK = BS*AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=OK ба RK=2*BS*AD/(BS+AD) гэсэн утгыг авна. Диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрч, суурьтай параллель, хоёр хажуу талыг холбосон сегментийг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана. Түүний урт нь зургийн суурийн гармоник дундаж юм.

Дөрвөн цэгийн өмч гэж нэрлэгддэг трапецын дараах шинж чанарыг авч үзье. Диагональуудын огтлолцлын цэгүүд (O), талуудын үргэлжлэл (E) огтлолцол, түүнчлэн суурийн дунд цэгүүд (T ба F) үргэлж нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнийг ижил төстэй байдлын аргаар хялбархан баталж болно. Үүссэн гурвалжин BES ба AED нь ижил төстэй бөгөөд тэдгээр нь тус бүрт ET ба EJ медианууд нь E оройн өнцгийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваадаг. Тиймээс E, T, F цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнтэй адилаар T, O, Zh цэгүүд нь ижил шулуун дээр байрлана. Эндээс бид бүх дөрвөн цэг - E, T, O, F - нэг шулуун дээр байх болно гэж дүгнэж байна.

Ижил төстэй трапецын тусламжтайгаар та зургийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегментийн уртыг (LS) олохыг сурагчдаас хүсч болно. Энэ сегмент нь суурьтай зэрэгцээ байх ёстой. Үүссэн трапецын ALFD ба LBSF нь ижил төстэй тул BS/LF = LF/AD болно. Үүнээс LF=√(BS*AD) гарч ирнэ. Трапецийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегмент нь зургийн суурийн уртын геометрийн дундажтай тэнцүү урттай болохыг бид олж мэдэв.

Дараах ижил төстэй шинж чанарыг авч үзье. Энэ нь трапецийг хоёр тэнцүү дүрс болгон хуваах сегмент дээр суурилдаг. ABSD трапецийг EH сегментээр ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваана гэж бид таамаглаж байна. В оройноос өндрийг хассан бөгөөд энэ нь EN сегментээр B1 ба B2 гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана. Бид дараахыг авна: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ба PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Дараа нь бид эхний тэгшитгэл нь (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, хоёр дахь (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 гэсэн системийг зохио. Үүнээс үзэхэд B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ба BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Трапецийг хоёр тэнцүү болгон хуваах сегментийн урт нь суурийн уртын язгуур квадраттай тэнцүү болохыг олж мэдэв: √((BS2+AD2)/2).

Ижил төстэй байдлын үр дүн

Тиймээс бид үүнийг нотолсон:

1. Трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим нь AD ба BS-тэй параллель байх ба BS ба AD-ийн арифметик дундажтай тэнцүү байна (трапецын суурийн урт).

2. AD ба BS параллель диагональуудын огтлолцлын О цэгийг дайран өнгөрөх шулуун нь AD ба BS тоонуудын гармоник дундажтай тэнцүү байна (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Трапецийг ижил төстэй хэсгүүдэд хуваах сегмент нь BS ба AD суурийн геометрийн дундаж урттай байна.

4. Дүрсийг хоёр тэнцүү болгон хуваах элемент нь AD ба BS тоонуудын язгуур квадратын урттай байна.

Материалыг нэгтгэх, авч үзсэн сегментүүдийн хоорондын холболтыг ойлгохын тулд оюутан тэдгээрийг тодорхой трапецын хувьд барих хэрэгтэй. Тэрээр суурьтай параллель - зургийн диагональуудын огтлолцол - O цэгээр дамждаг дунд шугам ба сегментийг хялбархан харуулж чадна. Харин гурав, дөрөв дэх нь хаана байрлах вэ? Энэ хариулт нь оюутныг дундаж утгуудын хоорондын хүссэн хамаарлыг олж мэдэхэд хүргэнэ.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент

Энэ зургийн дараах шинж чанарыг анхаарч үзээрэй. MH хэрчмийг суурьтай параллель, диагональуудыг хоёр хуваасан гэж бид таамаглаж байна. Ш ба Ш огтлолцох цэгүүдийг нэрлэе. Энэ хэрчим нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна. Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье. MS нь ABS гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь BS/2-тэй тэнцүү байна. MSH нь ABD гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь AD/2-тэй тэнцүү байна. Дараа нь бид ShShch = MSh-MSh, тиймээс ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2 гэдгийг олж авна.

Таталцлын төв

Өгөгдсөн геометрийн дүрсийн хувьд энэ элемент хэрхэн тодорхойлогддогийг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд суурийг эсрэг чиглэлд сунгах шаардлагатай. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Та доод суурийг дээд суурь руу нэмэх хэрэгтэй - аль ч чиглэлд, жишээлбэл, баруун тийш. Мөн бид доод хэсгийг дээд талынх нь уртаар зүүн тийш сунгана. Дараа нь бид тэдгээрийг диагональ байдлаар холбоно. Энэ сегментийн зургийн дунд шугамтай огтлолцох цэг нь трапецын хүндийн төв юм.

Бичсэн ба хүрээлэгдсэн трапецууд

Ийм тоонуудын онцлогуудыг жагсаая:

1. Трапецийг зөвхөн ижил өнцөгт байвал тойрог дотор бичиж болно.

2. Суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байх нөхцөлд трапецийг тойрог хэлбэрээр дүрсэлж болно.

Тойргийн үр дагавар:

1. Тайлбарласан трапецын өндөр нь үргэлж хоёр радиустай тэнцүү байна.

2. Тодорхойлсон трапецын тал нь тойргийн төвөөс тэгш өнцөгт ажиглагдаж байна.

Эхний үр дүн нь ойлгомжтой боловч хоёр дахь нь SOD өнцөг зөв гэдгийг батлах шаардлагатай бөгөөд энэ нь үнэндээ тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ мэдлэг энэ өмчийнасуудлыг шийдвэрлэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглах боломжийг танд олгоно.

Одоо тойрог дотор бичсэн ижил өнцөгт трапецын хувьд эдгээр үр дагаврыг тодорхойлъё. Өндөр нь зургийн суурийн геометрийн дундаж болохыг олж мэдэв: H=2R=√(BS*AD). Оюутан трапецын асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн арга барилыг (хоёр өндрийг зурах зарчим) дадлага хийхдээ дараахь даалгаврыг шийдвэрлэх ёстой. BT нь ABSD-ийн тэгш өнцөгт дүрсийн өндөр гэж бид таамаглаж байна. AT ба TD сегментүүдийг олох шаардлагатай. Дээр дурдсан томъёог ашиглан үүнийг хийхэд хэцүү биш байх болно.

Одоо хүрээлэгдсэн трапецын талбайг ашиглан тойргийн радиусыг хэрхэн тодорхойлохыг олж мэдье. Бид өндрийг B оройноос AD суурь хүртэл бууруулна. Тойрог трапец хэлбэрээр бичдэг тул BS+AD = 2AB эсвэл AB = (BS+AD)/2 болно. ABN гурвалжнаас бид sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD)-ийг олно. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Бид PABSD = (BS+BP)*R авна, үүнээс R = PABSD/(BS+BP) гарч ирнэ.

Трапецын дунд шугамын бүх томъёо

Одоо энэ геометрийн дүрсийн сүүлчийн элемент рүү шилжих цаг болжээ. Трапецын дунд шугам (M) нь юутай тэнцүү болохыг олж мэдье.

1. Суурийн тусламжтайгаар: M = (A+B)/2.

2. Өндөр, суурь, булангаар:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Өндөр, диагональ, тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр. Жишээлбэл, D1 ба D2 нь трапецын диагональ юм; α, β - тэдгээрийн хоорондох өнцөг:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Талбай ба өндрөөр: M = P/N.