Хичээлийн төрөл:сургалтын даалгавар тавих.
Хичээлийн зорилго:
Боловсролын: энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргын талаархи оюутнуудын мэдлэгийг системчлэх, тойрог, хүснэгттэй ажиллах чадварыг нэгтгэх.
Хөгжлийн: Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн арга техникийг ашиглах замаар оюутнуудын бүтээлч оюуны чадварыг хөгжүүлэх ажлыг үргэлжлүүлэх.
Боловсролын: хамтын сэтгэцийн үйл ажиллагааны ур чадварыг хөгжүүлэх, харилцан дэмжлэг үзүүлэх, өөрийн үзэл бодлоос өөр үзэл бодлыг хүлээн зөвшөөрөх.
Хичээлийн үеэр
1. Амжилтанд хүрэх нөхцөл байдал.
Тэгшитгэлийг шийд: cosx=1; cosx=0; cosx= -1.
2. Мэдлэг, мунхагийн хоорондох нөхцөл байдал, зай завсар.
Тэгшитгэлийг шийд: cosx=½; cosx=a.
Хэлэлцүүлэг.
3. Боловсролын даалгаврын мэдэгдэл.
Энэ төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
1) (1;0) цэгийг эхийн эргэн тойронд: -тэй тэнцүү өнцгөөр эргүүлэхэд нэгж тойрог дээрх цэгийн абсцисса хэд вэ?
2). Юутай тэнцүү вэ: 
?
Хариулт:
3).Юутай тэнцүү вэ: .
Хариулт:
;
;
(1)
.
Багшийн хэлсэн үг: математикчид урвуу cos гэдэг үгийг арккосин (arccos) гэж нэрлэдэг. Тооны нумын косинус нь косинус нь a-тай тэнцүү тоо юм.
arccosa=α,хэрэв cosα=a ба 0≤α≤π.
4). Arccos тэмдгийг ашиглан тэгш байдлыг (1) бич.
5). Тэгшитгэлийг шийд: cosx=½, cosx=α.
Хариулт: x=arccos½, x=arccosa.
6). ½-тэй тэнцүү абсциссатай нэгж тойргийн (1;0) цэгийн эргэлтийн өнцгийг нэрлэнэ үү.
Хариулт: цэгийг π/3 ба -π/3 өнцгөөр эргүүлэхэд абсцисса нь ½-тэй тэнцүү байна.
өөрөөр хэлбэл cosx=½ үед x=±arccos½
cosx=a үед x=±arccosa.
7). (1;0) цэгийг өнцгөөр эргүүлснээр олж авсан цэгүүдийн абсцисс хэд вэ: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.
Хариулт: абсцисса нь ½ ба cosx=½ x=±arccos½+2πn,.
cosx=a үед x=±arccosa+2πn,.
8). Дүгнэлт: cosx=a тэгшитгэл
1) ≤1 бол үндэстэй,
2) >1 бол үндэсгүй.
9). Хичээлийн хураангуй:
a) a ба α-ийн ямар утгуудын хувьд arccosa = α тэгш байдал нь утга учиртай вэ?
б) a-ийн нумын косинусыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
в) cosx=a тэгшитгэл нь ямар утгад үндэстэй вэ?
d) cosx=a тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёо.
Жишээ нь:
\(2\sin(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ:
Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг дараах төрлүүдийн аль нэгэнд нь буулгана.
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
Энд \(t\) нь x-тэй илэрхийлэл, \(a\) нь тоо юм. Ийм тригонометрийн тэгшитгэлгэж нэрлэдэг хамгийн энгийн. Тэдгээрийг () эсвэл тусгай томъёогоор хялбархан шийдэж болно:
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх инфографикийг эндээс үзнэ үү:, болон.
Жишээ . \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.Шийдэл:
Хариулт: \(\left[ \begin(цуглуулсан)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \төгсгөл(цуглуулсан)\баруун.\) \(k,n∈Z\)
Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёонд тэмдэг тус бүр ямар утгатай болохыг үзнэ үү.
Анхаар!\(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) бол \(\sinx=a\) ба \(\cosx=a\) тэгшитгэлүүдэд шийдэл байхгүй. Учир нь дурын х-ийн синус ба косинус нь \(-1\)-ээс их буюу тэнцүү, \(1\)-ээс бага эсвэл тэнцүү байна:
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
Жишээ
. \(\cosx=-1,1\) тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Хариулах
: шийдэл байхгүй.
Жишээ . tg\(x=1\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
|
|
Тооны тойргийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдье. Үүний тулд: |
Жишээ
. \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
|
|
Тооны тойргийг дахин ашиглая. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Бид ердийнхөөрөө \(x\)-г тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
Тригонометрийн тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгон багасгах нь бүтээлч ажил бөгөөд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргуудыг ашиглах хэрэгтэй.
- Арга (Улсын нэгдсэн шалгалтанд хамгийн алдартай).
- Арга.
- Туслах аргументуудын арга.
Квадрат тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх жишээг авч үзье
Жишээ . \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.Шийдэл:
|
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Орлуулах \(t=\cosx\) хийцгээе. |
|
Бидний тэгшитгэл ердийн болсон. Та үүнийг ашиглан шийдэж болно. |
|
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
|
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
Бид урвуу орлуулалт хийдэг. |
|
\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
Бид тооны тойргийг ашиглан эхний тэгшитгэлийг шийддэг. |
 |
Эдгээр цэгүүд дээр байгаа бүх тоог бичье. |
ODZ-ийн судалгаатай тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх жишээ:
Жишээ (USE) . \(=0\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Бутархай, котангенс байдаг - энэ нь бид үүнийг бичих хэрэгтэй гэсэн үг юм. Котангенс нь үнэндээ бутархай гэдгийг танд сануулъя: ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) Тиймээс ctg\(x\)-ийн ODZ: \(\sinx≠0\). |
|
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\)
\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Тооны тойрог дээр "шийдвэргүй" гэж тэмдэглэе. |
|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Тэгшитгэлийн хуваагчийг ctg\(x\)-ээр үржүүлээд хасъя. ctg\(x ≠0\) гэж дээр бичсэн болохоор бид үүнийг хийж чадна. |
|
\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
Синусын давхар өнцгийн томъёог хэрэглэцгээе: \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\). |
|
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Хэрэв таны гар косинусаар хуваахаар сунгавал буцааж тат! Хэрэв энэ нь тэгтэй тэнцүү биш бол хувьсагчтай илэрхийллээр хувааж болно (жишээ нь: \(x^2+1.5^x\)). Үүний оронд хаалтнаас \(\cosx\)-г авч үзье. |
|
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
Тэгшитгэлийг хоёр болгон "хуваацгаая". |
|
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Тооны тойргийг ашиглан эхний тэгшитгэлийг шийдье. Хоёр дахь тэгшитгэлийг \(2\)-д хувааж \(\sinx\) баруун тал руу шилжүүлье. |
 |
|
|
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Үүссэн үндэс нь ODZ-д ороогүй болно. Тиймээс бид хариу бичихгүй. |
|
Бид дахин тойрог ашигладаг. |
|
|
|
Эдгээр үндэс нь ODZ-д хасагдаагүй тул та тэдгээрийг хариултанд бичиж болно. |
cos тэгшитгэл X = А
Тэгшитгэлийн үндэс бүр
cos X = А (1)
синусоидын зарим огтлолцлын цэгийн абсцисса гэж үзэж болно y = cosX шулуун шугамаар у =А , мөн эсрэгээр, ийм огтлолцлын цэг бүрийн абсцисса нь (1) тэгшитгэлийн язгууруудын нэг юм. Иймээс (1) тэгшитгэлийн бүх язгуурын олонлог нь косинусын долгионы бүх огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудын олонлогтой давхцдаг. y = cosX шулуун шугамаар у = А .
Хэрэв | А| >1 , дараа нь косинус y = cosX шугамтай огтлолцохгүй у = А .
Энэ тохиолдолд (1) тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.
At |А| < 1 хязгааргүй олон уулзвар цэгүүд байдаг.
a > 0-ийн хувьд
төлөө a< 0.
Бид эдгээр бүх уулзваруудыг хоёр бүлэгт хуваана.
A -2 , A - 1 , A 1 , A 2 , ... ,
B -2 , B - 1 , B 1 , B 2 , ... ,
Цэг Аабсциссатай arccos А , мөн эхний бүлгийн бусад бүх цэгүүд түүнээс 2-ын үржвэртэй зайд тусгаарлагдана π
arccos а+ 2к π . (2)
Цэг IN, тоонуудаас амархан ойлгогдохоор, абсциссатай - аркосА , мөн хоёр дахь бүлгийн бусад бүх цэгүүд нь 2-ын үржвэртэй зайд арилдаг π . Тиймээс тэдгээрийн абсциссуудыг дараах байдлаар илэрхийлнэ
arccos А+ 2нπ . (3)
Тиймээс (1) тэгшитгэл нь (2) ба (3) томъёогоор тодорхойлогдсон хоёр бүлэг үндэстэй байна. Гэхдээ энэ хоёр томьёог нэг томъёогоор бичиж болох нь ойлгомжтой
X = ± arccos а+ 2м π , (4)
Хаана мбүх бүхэл тоогоор дамждаг (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...).
Энэ томъёог гаргахдаа бидний хийсэн үндэслэл нь зөвхөн зөв юм
| а| =/= 1. Гэхдээ албан ёсоор харилцаа (4)
тэгшитгэлийн бүх язгуурыг тодорхойлно cosx=a
болон | А| =1. (Үүнийг нотол!) Тиймээс бид томъёо гэж хэлж болно (4)
аливаа утгын хувьд тэгшитгэлийн (1) бүх язгуурыг өгнө А
, Хэрэв зөвхөн |А|
<
1
.
Гэхдээ гурван онцгой тохиолдолд ( А = 0, А = -1, А= +1) томъёог ашиглахгүй байхыг зөвлөж байна (4) , гэхдээ өөр харилцааг ашиглана. Тэгшитгэлийн үндэс гэдгийг санах нь зүйтэй cos X = 0 томъёогоор өгөгдөнө
X = π / 2 +n π ; (5)
тэгшитгэлийн үндэс cos X = -1 томъёогоор өгөгдөнө
X = π + 2м π ; (6)
эцэст нь тэгшитгэлийн үндэс cos X = 1 томъёогоор өгөгдөнө
X = 2м π ; (7)
Дүгнэж хэлэхэд бид томъёог тэмдэглэж байна (4) , (5), (6) ба (7) нь зөвхөн хүссэн өнцгийн таамаглалаар зөв байна X радианаар илэрхийлнэ. Хэрэв үүнийг градусаар илэрхийлсэн бол эдгээр томъёог байгалийн жамаар өөрчлөх шаардлагатай. Тэгэхээр, томъёо (4) томъёогоор солих ёстой
X = ± arccos а+ 360° н,
томъёо (5) томъёо
X = 90° + 180° nгэх мэт.
Захарова Людмила Владимировна
MBOU "Хоёрдогч" иж бүрэн сургууль№ 59" Барнаул
математикийн багш
[имэйлээр хамгаалагдсан]
№1 Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл
Зорилтот: 1. Хэлбэрийн хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдийн томьёог гарга sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;
2. Томъёо ашиглан энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж сурна.
Тоног төхөөрөмж: 1) y= тригонометрийн функцын графиктай хүснэгтүүд sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; 2) Урвуу тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт; 3) Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёоны хураангуй хүснэгт.
Лекцийн хичээлийн төлөвлөгөө:
1 .Тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах
a) sinx =a,
б) cosx= а,
в) tgx= а,
г) ctgx= А.
2 . Хүлээн авсан томъёог нэгтгэх аман урд талын ажил.
3 . Судалсан материалыг нэгтгэх бичгийн ажил
Хичээлийн үеэр.Алгебр, геометр, физик болон бусад хичээлүүдэд бид янз бүрийн асуудалтай тулгардаг бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явдал юм. Бид тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг судалж үзсэн тул функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэл рүү шилжих нь зүйн хэрэг юм.
Тодорхойлолт: Маягтын тэгшитгэл синкс = а , cosx= а , tgx= а , ctgx= А хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүх арга, техник нь тэдгээрийг хамгийн энгийн болгон багасгахаас бүрддэг тул хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурах нь маш чухал юм.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд "идэвхтэй" ажилладаг томьёо гаргаж эхэлцгээе.
1. sinx = хэлбэрийн тэгшитгэл а.
sinx = тэгшитгэлийг шийдье аграфикаар. Үүнийг хийхийн тулд нэг координатын системд y=sinx ба y= функцуудын графикийг байгуулна. А.
1) Хэрэв А> 1 ба Анүгэл x= АШулуун ба синус долгион нь нийтлэг цэггүй тул шийдэл байхгүй.
2) Хэрэв -1a a нь синусын долгионыг хязгааргүй олон удаа гаталж байвал. Энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг sinx = ахязгааргүй олон шийдэлтэй.
Синусын үе нь 2 тул 
, дараа нь тэгшитгэлийг шийднэ sinx = а 2 урттай аль ч сегмент дээрх бүх шийдлийг олоход хангалттай.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь [-/2; /2] arcsine x=-ийн тодорхойлолтоорарксин а, мөн x=-arcsin дээр а. у=sinx функцийн үечлэлийг харгалзан бид дараах илэрхийллийг олж авна
x = -arcsin а+2n, n Z.
Хоёр цуврал шийдлийг нэгтгэж болно
X = (-1) n арксин а+n, nZ.
Дараах гурван тохиолдолд ерөнхий томъёоноос илүү энгийн харилцааг ашиглахыг илүүд үздэг.
Хэрэв А=-1, дараа нь sin x =-1, x=-/2+2n
Хэрэв А=1, тэгвэл sin x =1, x =/2+2n
Хэрэв a= 0, дараа нь sin x =0. x = n,
Жишээ нь: Тэгшитгэлийг шийд sinx =1/2.
Шийдлийн томъёог бүтээцгээе x=arcsin 1/2+ 2n
X= - arcsin a+2n
Утгыг нь тооцоод үзье arcsin1/2. Олсон утгыг шийдлийн томъёонд орлуулъя
x=5/6+2n
эсвэл ерөнхий томъёоны дагуу
X= (-1) n нуман 1/2+n,
X= (-1) n /6+n,
2. Маягтын тэгшитгэл cosx = а.
cosx= тэгшитгэлийг шийдье амөн графикаар, y= cosx ба y= функцүүдийн графикаар А.
1) Хэрэв 1 бол тэгшитгэл cosx = аГрафикууд нийтлэг цэггүй тул шийдэл байхгүй.
2) Хэрэв -1 а cosx = ахязгааргүй олон шийдэлтэй.
Бид бүх шийдлийг олох болно cosx = акосинусын хугацаа 2 байх тул 2 уртын интервал дээр.
Нумын косинусын тодорхойлолтоор тэгшитгэлийн шийдэл нь x= болноаркос а. Косинусын функцийн паритетийг авч үзвэл [-;0] дээрх тэгшитгэлийн шийдэл нь x=-arcos болно. а.
Тиймээс тэгшитгэлийг шийдэж байна cosx = а x= + аркос а+ 2 н,
Гурван тохиолдолд бид ерөнхий томъёог ашиглахгүй, харин илүү энгийн харилцааг ашиглах болно.
Хэрэв А=-1, дараа нь cosx =-1, x =-/2+2n
Хэрэв А=1, дараа нь cosx =1, x = 2n,
Хэрэв a=0 бол cosx=0. x =/2+n
Жишээ нь: Тэгшитгэлийг шийд cos x =1/2,
Шийдлийн томъёог бүтээцгээе x=arccos 1/2+ 2n
Утгыг нь тооцоод үзье arccos1/2.
Олсон утгыг шийдлийн томъёонд орлуулъя
X= + /3+ 2n, nZ.
Маягтын тэгшитгэл tgx= а.
Шүргэгчийн үе тэнцүү тул тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олохын тулд tgx= а, уртын аль ч интервал дээр бүх шийдлийг олоход хангалттай. Арктангенсын тодорхойлолтоор (-/2; /2) дээрх тэгшитгэлийн шийдэл нь арктан байна. а. Функцийн хугацааг харгалзан тэгшитгэлийн бүх шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно
x = арктан а+ n, nZ.
Жишээ:Тэгшитгэлийг шийдбор х = 3/3
x=-г шийдэх томьёог бүтээцгээе arctan 3/3 +n, nZ.
Артангенсийн утгыг тооцоолъё arktan 3/3= /6, тэгвэл
X=/6+ n, nZ.
Тэгшитгэлийг шийдэх томьёоны гарган авах -тай tgx= аоюутнуудад өгөх боломжтой.
Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийд ctg x = 1.
x = arcсtg 1 + n, nZ,
X = /4 + n, nZ.
Судалсан материалын үр дүнд оюутнууд хүснэгтийг бөглөж болно.
"Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх."
тэгшитгэл
Судалсан материалыг нэгтгэх дасгалууд.
(Аман) Бичсэн тэгшитгэлүүдийн алийг нь томъёогоор шийдэж болох вэ?
a) x= (-1) n arcsin а+n, nZ;
б) x= + аркос a+ 2н?
cos x = 2/2, tan x= 1, sin x = 1/3, cos x = 3/3, sin x = -1/2, cos x= 2/3, sin x = 3, cos x = 2 .
Дараах тэгшитгэлүүдийн аль нь шийдэлгүй вэ?
Тэгшитгэлийг шийд:
a) sin x = 0; e) нүгэл x = 2/2; h) нүгэл x = 2;
b) cos x = 2/2; e) cos x = -1/2; i) cos x = 1;
d) tan x = 3; g) ор х = -1; j) бор х = 1/ 3.
3. Тэгшитгэлийг шийд:
a) нүгэл 3х = 0; e) 2cos x = 1;
б) cos x/2 =1/2; e) 3 тг 3х =1;
d) нүгэл x/4 = 1; g) 2cos(2x+ /5) = 3.
Эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрмийг бичих нь ашигтай байдагнүгэл В x = а, Мөн -тайнүгэл В x = а, | а|1.
Нүгэл В x = a, |a|1.
В x = (-1) n arcsin а+n, nZ,
x= (-1) n 1/ Варксин а+n/ В, nZ.
Хичээлийг дүгнэж хэлэхэд:
Өнөөдөр хичээл дээр бид энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх томъёог гаргаж авсан.
Бид энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх жишээг авч үзсэн.
Бид тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглах хүснэгтийг бөглөсөн.
Гэрийн даалгавар.
№2 Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Зорилтот: Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх судалгааны аргууд: 1) квадрат болгон бууруулж болох 2) нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон бууруулж болно.
Хэрэглэх явцад сурагчдын ажиглах чадварыг хөгжүүлэх янз бүрийн аргаартригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Оюутнуудтай урд талын ажил.
Тригонометрийн тэгшитгэлийн язгуурын томъёо юу вэ? cos x= а, нүгэл x= а, tgx = а, ctg x = а.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (амаар):
cos x=-1, sin x=0, tgx =0, cos x=1, cos x=1.5, sin x=0.
Алдааг олж, алдааны шалтгааныг бодож үзээрэй.
cos x=1/2, x= +
/6+2к,к 
З.
sin x= 3/2, x= /3+k, kZ.
tgx = /4, x=1+ k, kZ.
2. Шинэ материал судлах.
Асаалттай энэ хичээлТригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргуудын заримыг авч үзэх болно.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг квадрат болгон бууруулсан.
Энэ ангид нэг функц (синус эсвэл косинус) эсвэл ижил аргументийн хоёр функц агуулсан тэгшитгэл багтаж болох боловч тэдгээрийн аль нэг нь үндсэн функцийг ашигладаг. тригонометрийн ижил төстэй байдалхоёрдугаарт бууна.
Жишээлбэл, cosх тэгшитгэлд тэгш тоогоор орвол бид үүнийг 1-sin 2 x, хэрэв sin 2 x бол 1-cos 2 x-ээр солино.
Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийд: 8нүгэл 2 x - 6sin x -5 =0.
Шийдэл: тэмдэглэе sin x=t, дараа нь 8t 2 - 6t – 5=0,
D= 196,
T 1 = -1/2, t 2 = -5/4.
Урвуу орлуулалтыг хийж дараах тэгшитгэлийг шийдье.
X=(-1) к+1 /6+ к, кЗ.
-5/4>1 тул тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.
Хариулт: x=(-1) k+1 /6+ k, kZ.
Нэгтгэх дасгалуудыг шийдвэрлэх.
Тэгшитгэлийг шийд:
1) 2sin 2 x+ 3cos x = 0;
2) 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0;
3) 2sin 2 x+ 3cos 2 x = -2sin x;
4) 3 тг 2 х +2 тгх-1=0.
Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
Тодорхойлолт: 1) Маягтын тэгшитгэла синкс + б cosx=0, (a=0, b=0) sin x ба cos x-ийн хувьд нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Шийдвэрлэж байна өгөгдсөн тэгшитгэлхоёр хэсгийг хуваах замаар cosx 
0. Үр дүн нь тэгшитгэл юм atgx+ b=0.
2) Маягтын тэгшитгэла нүгэл 2 x + б синкс cosx + в cos 2 x =0 2-р зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ба энд a, b, c нь дурын тоо юм.
Хэрэв a = 0 бол бид хоёр талыг хувааж тэгшитгэлийг шийднэучир нь 2 х 0. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авна atg 2 x+ btgx+с =0.
Сэтгэгдэл:Маягтын тэгшитгэла нүгэл mx + б cos mx=0 эсвэл
а нүгэл 2 mx + б нүгэл mx cos mx + в cos 2 mx =0 бас нэгэн төрлийн байдаг. Тэдгээрийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг cos-д хуваана mx=0 эсвэл cos 2 mx=0
3) Нэг төрлийн тэгшитгэл болгон бууруулж болно янз бүрийн тэгшитгэлүүд, энэ нь эхэндээ тийм биш байсан. Жишээлбэл,нүгэл 2 mx + б нүгэл mx cos mx + в cos 2 mx = г, Тэгээд а синкс + б cosx= г. Эдгээр тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та баруун талыг үржүүлэх хэрэгтэй "тригонометрийн нэгж"тэдгээр. дээр нүгэл 2 x + cos 2 xболон математик хувиргалт хийх.
Судалсан материалыг нэгтгэх дасгалууд:
1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 нүгэл 2 х – sin2x =3;
2) sin 2x+ cos2x = 0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx =2 cos 2 x ;
3) sin x+ 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x- sinx cosx =2;
4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x =0
3. Хичээлийг дүгнэх. Гэрийн даалгавар.
Энэ хичээл дээр бүлгийн бэлтгэлээс хамааран та хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзэж болно a sin mx +b cos mx=c, энд a, b, c нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна.
Бэхжүүлэх дасгалууд:
1. 3sin x + cos x=2;
2. 3sin 2x + cos 2x= 2;
3. sin x/3 + cos x/3=1;
4. 12 син x +5 cos x+13=0.
№ 3 Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Зорилтот: 1) Тригонометрийн тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх аргыг судлах; янз бүрийн тригонометрийн томъёо ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж сурах;
2) Шалгах: оюутнуудын энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёоны талаархи мэдлэг; энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар.
Хичээлийн төлөвлөгөө:
Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.
Математикийн диктант.
Шинэ материал сурах.
Бие даасан ажил.
Хичээлийг дүгнэж байна. Гэрийн даалгавар.
Хичээлийн явц:
Гэрийн даалгавраа шалгаж байна (Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг самбар дээр товч бичсэн).
Математикийн диктант.
ДАХЬ 1
1. Ямар тэгшитгэлийг хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?
2. Хэлбэрийн тэгшитгэлийг юу гэж нэрлэдэг вэа sinx + б cosx=0? Үүнийг шийдэх арга замыг зааж өгнө үү.
3.Тэгшитгэлийн язгуурын томъёог бич tgx = а(ctg x = а).
4. Маягтын тэгшитгэлийн язгуурын томъёог бич cosx = а, Хаана А=1, А=0, А=-1.
5. Тэгшитгэлийн язгуурын ерөнхий томьёог бичнүгэл х= а, | а|
6. Маягтын тэгшитгэлийг хэрхэн шийддэга cosx = б, | б|
AT 2
1. Тэгшитгэлийн язгуурын томъёог бич cosx = а,| а|
2. Тэгшитгэлийн язгуурын ерөнхий томьёог бич
= а, | а|
3. Хэлбэрийн тэгшитгэлийг юу гэж нэрлэдэг вэ?нүгэл х= а, tgx = а, нүгэл х= а?
4.Тэгшитгэлийн язгуурын томъёог бичнүгэл х= а, Хэрэв А=1, А=0, А=-1.
5. Маягтын тэгшитгэл хэрхэн шийдэгддэгнүгэл а x= б, | б|
6. Ямар тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ нэгэн төрлийн тэгшитгэлхоёрдугаар зэрэг? Тэдгээрийг хэрхэн шийдэж байна вэ?
Шинэ материал сурах.
Факторжуулалтын арга.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргуудын нэг бол хүчин зүйлчлэлийн арга юм.
Хэрэв f(x) =0 тэгшитгэлийг f 1 (x) f 2 (x) =0 гэж дүрсэлж чадвал асуудлыг f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл бууруулна. .
(Оюутнуудын хувьд дүрмийг санах нь ашигтай байдаг" Хэрэв хүчин зүйлсийн дор хаяж нэг нь байвал хүчин зүйлсийн бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байна тэгтэй тэнцүү, бусад нь утга учиртай байхад»)
Янз бүрийн нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар судалж буй материалыг нэгтгэх.
(sin x-1/2)(sin x+1)=0; 2) (cosx- 2/2)(sin x+ 2/2)=0;(өөрөө)
3) sin 2 x+ sin x cosx=0; 4) sin 2 x- sin x =0;
5) sin 2x – cosx=0; 6) 4 cos 2 x -1 =0; (2 арга)
7) cosx+ cos3x=0; 8) нүгэл 3х= нүгэл 17х;
9) нүгэл х+ нүгэл 2х+ нүгэл 3х=0; 10) cos3x cos5x
11) нүгэл х cos5x = нүгэл 9х cos3x нүгэл 2х нүгэл 2х
12) 3 cosx sin x+ cos 2 x=0(self)
13) 2 cos 2 x - sin (x- /2)+ tanx tan (x+/2)=0.
Бие даасан ажил.
Сонголт-1 Сонголт-2
1) 6 нүгэл 2 x+ 5sin x -1=0; 1) 3 cos 2 x+2 cosx -5=0;
2) sin 2x – cos2x=0; 2) 3 cos x/2 - sin x/2=0;
3) 5 sin 2 x+ sin x cosx -2 cos 2 x=2; 3) 4sin 2 x- sin x cosx +7cos 2 x=5;
4) sin x+sin5x=sin3x+sin7x; 4) нүгэл х-нүгэл 2x +sin 3x-sin 4x=0;
5) sin x+cosx=1. 5) sin x+cosx=2.
8. Хичээлийг дүгнэх. Гэрийн даалгавар.
Нэг цэг дээр төвлөрсөн А.
α
- радианаар илэрхийлсэн өнцөг.
Тодорхойлолт
Синус (нүгэл α)- Энэ тригонометрийн функц, тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарч эсрэг талын хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |BC| гипотенузын уртыг |АС|.
Косинус (cos α)нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |AB| гипотенузын уртыг |АС|.
Зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ
;
;
.
;
;
.
Синусын функцийн график, y = sin x
Косинусын функцийн график, y = cos x
Синус ба косинусын шинж чанарууд
Үе үе
Функцууд y = гэм хба у = cos xүетэй үе үе 2π.
Паритет
Синусын функц нь сондгой юм. Косинусын функц тэгш байна.
Тодорхойлолт ба утгын домэйн, экстремум, өсөлт, бууралт
Синус ба косинусын функцууд нь тодорхойлолтын муждаа, өөрөөр хэлбэл бүх x-ийн хувьд тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Тэдний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв (n - бүхэл тоо).
| у = гэм х | у = cos x | |
| Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Утгын хүрээ | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Нэмэгдэх | ||
| Бууж байна | ||
| Максима, у = 1 | ||
| Минимум, у = - 1 | ||
| Тэг, у = 0 | ||
| Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0 | у = 0 | у = 1 |
Үндсэн томъёо
Синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр
Нийлбэр ба ялгавараас синус ба косинусын томъёо
;
;
Синус ба косинусын үржвэрийн томъёо
Нийлбэр ба ялгааны томъёо
Косинусаар дамжуулан синусыг илэрхийлэх
;
;
;
.
Косинусыг синусаар илэрхийлэх
;
;
;
.
Шүргэгчээр илэрхийлэх
; .
Хэзээ, бидэнд байна:
;
.
:
;
.
Синус ба косинусын, тангенс ба котангентын хүснэгт
Энэ хүснэгтэд аргументийн тодорхой утгуудын синус ба косинусын утгыг харуулав. 
Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлсэн илэрхийллүүд
;
Эйлерийн томъёо
Гиперболын функцээр илэрхийлэгдэх илэрхийлэл
;
;
Дериватив
; . Томьёог гарган авах > > >
n-р эрэмбийн деривативууд:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секант, косекант
Урвуу функцууд
Синус ба косинусын урвуу функцууд нь арксин ба арккосинус юм.
Арксин, арксин
Арккосин, аркос
Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.