Formula untuk mengira jarak dari titik ke garis pada satah

Jika persamaan garis Ax + By + C = 0 diberikan, maka jarak dari titik M(M x , M y) ke garis boleh didapati menggunakan formula berikut

Contoh masalah untuk mengira jarak dari titik ke garis pada satah

Contoh 1.

Cari jarak antara garis 3x + 4y - 6 = 0 dan titik M(-1, 3).

Penyelesaian. Mari kita gantikan pekali garis dan koordinat titik ke dalam formula

Jawapan: jarak dari titik ke garis ialah 0.6.

persamaan satah yang melalui titik berserenjang dengan vektorPersamaan am satah

Vektor bukan sifar berserenjang dengan satah tertentu dipanggil vektor biasa (atau, ringkasnya, biasa ) untuk pesawat ini.

Biarkan dalam ruang koordinat (dalam sistem segi empat tepat koordinat) diberikan:

a) titik ;

b) vektor bukan sifar (Rajah 4.8, a).

Anda perlu mencipta persamaan untuk satah yang melalui titik berserenjang dengan vektor Akhir pembuktian.

Sekarang mari kita pertimbangkan Pelbagai jenis persamaan garis lurus pada satah.

1) Persamaan am satahP .

Daripada terbitan persamaan ia mengikuti bahawa pada masa yang sama A, B Dan C tidak sama dengan 0 (terangkan mengapa).

Titik milik kapal terbang P hanya jika koordinatnya memenuhi persamaan satah itu. Bergantung pada kemungkinan A, B, C Dan D kapal terbang P menduduki satu jawatan atau yang lain:

- satah melalui asal sistem koordinat, - satah tidak melalui asal sistem koordinat,

- satah selari dengan paksi X,

X,

- satah selari dengan paksi Y,

- satah tidak selari dengan paksi Y,

- satah selari dengan paksi Z,

- satah tidak selari dengan paksi Z.

Buktikan sendiri kenyataan ini.

Persamaan (6) mudah diperoleh daripada persamaan (5). Sesungguhnya, biarkan titik itu terletak pada pesawat P. Kemudian koordinatnya memenuhi persamaan Menolak persamaan (7) daripada persamaan (5) dan mengumpulkan terma, kita memperoleh persamaan (6). Mari kita pertimbangkan dua vektor dengan koordinat masing-masing. Daripada formula (6) ia mengikuti bahawa hasil skalar mereka adalah sama dengan sifar. Oleh itu, vektor adalah berserenjang dengan vektor Permulaan dan penghujung vektor terakhir terletak, masing-masing, pada titik yang dimiliki oleh satah P. Oleh itu, vektor adalah berserenjang dengan satah P. Jarak dari titik ke satah P, persamaan am yang ditentukan oleh formula Bukti formula ini sama sekali dengan bukti formula untuk jarak antara titik dan garis (lihat Rajah 2).
nasi. 2. Untuk mendapatkan formula bagi jarak antara satah dan garis lurus.

Memang jaraknya d antara garis lurus dan satah adalah sama

di manakah titik terletak di atas kapal terbang. Dari sini, seperti dalam kuliah No. 11, formula di atas diperolehi. Dua satah selari jika vektor normalnya selari. Dari sini kita memperoleh syarat untuk keselarian dua satah - pekali persamaan am bagi satah. Dua satah berserenjang jika vektor normalnya berserenjang, oleh itu kita memperoleh syarat untuk keserenjangan dua satah jika persamaan amnya diketahui

Sudut f antara dua satah adalah sama dengan sudut antara vektor normalnya (lihat Rajah 3) dan oleh itu boleh dikira menggunakan formula
Menentukan sudut antara satah.

(11)

Jarak dari titik ke satah dan kaedah mencarinya

Jarak dari titik ke kapal terbang– panjang serenjang jatuh dari satu titik ke satah ini. Terdapat sekurang-kurangnya dua cara untuk mencari jarak dari titik ke satah: geometri Dan algebra.

Dengan kaedah geometri Anda mesti terlebih dahulu memahami bagaimana serenjang dari satu titik ke satah terletak: mungkin ia terletak pada satah yang mudah, adalah ketinggian dalam beberapa segi tiga yang mudah (atau tidak begitu mudah), atau mungkin serenjang ini biasanya merupakan ketinggian dalam beberapa piramid.

Selepas peringkat pertama dan paling kompleks ini, masalah itu terpecah kepada beberapa masalah planimetrik tertentu (mungkin dalam satah yang berbeza).

Dengan kaedah algebra untuk mencari jarak dari titik ke satah, anda perlu memasukkan sistem koordinat, mencari koordinat titik dan persamaan satah, dan kemudian menggunakan formula untuk jarak dari titik ke satah.

Universiti Teknikal Marin Negeri St. Petersburg

Jabatan Grafik Komputer dan Sokongan Maklumat

PELAJARAN 3

TUGASAN AMALI Bil 3

Menentukan jarak dari satu titik ke garis lurus.

Anda boleh menentukan jarak antara titik dan garis lurus dengan melakukan pembinaan berikut (lihat Rajah 1):

· dari titik DENGAN turunkan serenjang kepada garis lurus A;

· menandakan satu titik KEPADA persilangan serenjang dengan garis lurus;

ukur panjang segmen KS, yang permulaannya ialah titik tertentu, dan penghujungnya ialah titik persilangan yang ditanda.

Rajah 1. Jarak dari titik ke garis.

Asas untuk menyelesaikan masalah jenis ini ialah peraturan unjuran sudut tepat: sudut tegak diunjurkan tanpa herotan jika sekurang-kurangnya satu sisinya selari dengan satah unjuran(iaitu menduduki jawatan peribadi). Mari kita mulakan dengan hanya kes sedemikian dan pertimbangkan pembinaan untuk menentukan jarak dari satu titik DENGAN kepada segmen garis lurus AB.

Tiada contoh ujian dalam tugasan ini dan pilihan untuk menyelesaikan tugasan individu diberikan jadual1 dan jadual2. Penyelesaian kepada masalah diterangkan di bawah, dan pembinaan yang sepadan ditunjukkan dalam Rajah 2.

1. Menentukan jarak dari satu titik ke garis tertentu.

Pertama, unjuran titik dan segmen dibina. Unjuran A1B1 selari dengan paksi X. Ini bermakna bahawa segmen AB selari dengan kapal terbang P2. Jika dari titik DENGAN lukis berserenjang dengan AB, kemudian sudut tepat diunjurkan tanpa herotan ke atas satah P2. Ini membolehkan anda melukis serenjang dari satu titik C2 kepada unjuran A2B2.

Menu lungsur turun Segmen Lukisan (Lukis- Talian) . Letakkan kursor pada titik C2 dan menetapkannya sebagai titik pertama segmen. Gerakkan kursor ke arah normal ke segmen A2B2 dan betulkan titik kedua padanya pada saat pembayang muncul Biasa (Serenjang) . Tandakan titik yang dibina K2. Dayakan mod ORTHO(ORTHO) , dan dari sudut K2 lukis garis sambungan menegak sehingga ia bersilang dengan unjuran A1 B1. Tentukan titik persilangan dengan K1. titik KEPADA, berbaring di bahagian AB, ialah titik persilangan bagi serenjang yang dilukis dari titik itu DENGAN, dengan segmen AB. Oleh itu, segmen KS ialah jarak yang diperlukan dari titik ke garisan.

Dari pembinaan jelas bahawa segmen KS menduduki kedudukan umum dan, oleh itu, unjurannya diputarbelitkan. Apabila bercakap tentang jarak, kita selalu maksudkan nilai sebenar segmen, menyatakan jarak. Oleh itu, kita perlu mencari nilai sebenar segmen tersebut KS, dengan memutarkannya ke kedudukan tertentu, contohnya, KS|| P1. Hasil binaan ditunjukkan dalam Rajah 2.

Daripada binaan yang ditunjukkan dalam Rajah 2, kita boleh membuat kesimpulan: kedudukan garis tertentu (segmen adalah selari P1 atau P2) membolehkan anda membina unjuran jarak dari titik ke garis dengan cepat, tetapi ia diherotkan.

Rajah.2. Menentukan jarak dari satu titik ke garis tertentu.

2. Menentukan jarak dari titik ke garis kedudukan umum.

Segmen tidak selalu menduduki kedudukan tertentu dalam keadaan awal. Dengan kedudukan awal umum, pembinaan berikut dilakukan untuk menentukan jarak dari titik ke garis:

a) menggunakan kaedah transformasi lukisan, tukar segmen daripada kedudukan umum kepada yang tertentu - ini akan membolehkan membina unjuran jarak (terherot);

b) menggunakan kaedah itu sekali lagi, tukarkan segmen yang sepadan dengan jarak yang diperlukan ke kedudukan tertentu - kami memperoleh unjuran jarak dalam magnitud yang sama dengan yang sebenar.

Pertimbangkan urutan binaan untuk menentukan jarak dari suatu titik A kepada segmen dalam kedudukan umum matahari(Gamb. 3).

Pada putaran pertama adalah perlu untuk mendapatkan kedudukan tertentu segmen DALAMC. Untuk melakukan ini dalam lapisan TMR perlu menyambung titik PADA 2, C2 Dan A2. Menggunakan arahan Tukar-Putar (Ubah suai – Putar) segi tiga В2С2А2 berputar mengelilingi satu titik C2 kepada kedudukan di mana unjuran baru B2*C2 akan diletakkan secara mendatar (titik DENGAN tidak bergerak dan, oleh itu, unjuran baharunya bertepatan dengan unjuran asal dan penetapannya C2* Dan C1* mungkin tidak ditunjukkan pada lukisan). Hasilnya, unjuran baharu segmen akan diperolehi B2*C2 dan mata: A2*. Seterusnya dari mata A2* Dan PADA 2* yang menegak dijalankan, dan dari mata DALAM 1 Dan A1 talian komunikasi mendatar. Persilangan garisan yang sepadan akan menentukan kedudukan titik unjuran mendatar baharu: segmen B1*C1 dan titik A1*.

Dalam kedudukan tertentu yang terhasil, kita boleh membina unjuran jarak untuk ini: dari titik A1* biasa ke B1*C1. Titik persimpangan antara mereka adalah K1*. Garis sambungan menegak dilukis dari titik ini sehingga ia bersilang dengan unjuran B2*C2. Satu titik ditanda K2*. Hasilnya, unjuran segmen diperoleh AK, iaitu jarak yang diperlukan dari titik A kepada segmen garis lurus matahari.

Seterusnya, adalah perlu untuk membina unjuran jarak dalam keadaan awal. Untuk melakukan ini dari sudut K1* adalah mudah untuk melukis garisan mendatar sehingga ia bersilang dengan unjuran V1S1 dan tandakan titik persimpangan K1. Kemudian satu titik dibina K2 pada unjuran hadapan segmen dan unjuran dijalankan A1K1 Dan A2K2. Hasil daripada pembinaan, unjuran jarak diperolehi, tetapi kedua-duanya dalam kedudukan awal dan dalam kedudukan separa baru segmen matahari, segmen garisan AK menduduki kedudukan umum, dan ini membawa kepada fakta bahawa semua unjurannya diputarbelitkan.

Pada putaran kedua adalah perlu untuk memutarkan segmen AK ke kedudukan tertentu, yang akan membolehkan kita menentukan nilai sebenar jarak - unjuran A2*K2**. Keputusan semua pembinaan ditunjukkan dalam Rajah 3.

TUGASAN No 3-1. DENGAN kepada garis lurus kedudukan tertentu yang ditentukan oleh segmen AB. Berikan jawapan dalam mm (Jadual 1).Tanggalkan kanta unjuran

Jadual 1

TUGASAN No 3-2. Cari jarak sebenar dari satu titik M kepada garis lurus dalam kedudukan umum yang diberikan oleh segmen ED. Berikan jawapan dalam mm (jadual 2).

jadual 2

Menyemak dan lulus TUGASAN yang telah siap No. 3.

Artikel ini membincangkan topik tersebut « jarak dari satu titik ke garis », Membincangkan takrifan jarak dari titik ke garisan dengan contoh bergambar menggunakan kaedah koordinat. Setiap blok teori pada akhir telah menunjukkan contoh penyelesaian masalah yang serupa.

Jarak dari titik ke garisan didapati dengan menentukan jarak dari titik ke titik. Mari kita lihat lebih dekat.

Biarkan terdapat garis a dan titik M 1 yang tidak termasuk dalam garisan yang diberikan. Melaluinya kita lukis garis lurus b, terletak berserenjang dengan garis lurus a. Mari kita ambil titik persilangan garis sebagai H 1. Kami memperoleh bahawa M 1 H 1 ialah serenjang yang diturunkan dari titik M 1 ke garis lurus a.

Definisi 1

Jarak dari titik M 1 ke garis lurus a dipanggil jarak antara titik M 1 dan H 1.

Terdapat definisi yang merangkumi panjang serenjang.

Definisi 2

Jarak dari titik ke garisan ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke garis tertentu.

Takrifan adalah setara. Pertimbangkan rajah di bawah.

Adalah diketahui bahawa jarak dari satu titik ke garis adalah yang terkecil dari semua yang mungkin. Mari kita lihat ini dengan contoh.

Jika kita mengambil titik Q terletak pada garis lurus a, yang tidak bertepatan dengan titik M 1, maka kita memperoleh bahawa segmen M 1 Q dipanggil segmen condong, diturunkan dari M 1 ke garis lurus a. Adalah perlu untuk menunjukkan bahawa serenjang dari titik M 1 adalah kurang daripada mana-mana garis condong lain yang dilukis dari titik ke garis lurus.

Untuk membuktikannya, pertimbangkan segi tiga M 1 Q 1 H 1, di mana M 1 Q 1 ialah hipotenus. Adalah diketahui bahawa panjangnya sentiasa lebih besar daripada panjang mana-mana kaki. Ini bermakna kita mempunyai M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Data awal untuk mencari dari titik ke garis membolehkan penggunaan beberapa kaedah penyelesaian: melalui teorem Pythagoras, penentuan sinus, kosinus, tangen sudut dan lain-lain. Kebanyakan tugasan jenis ini diselesaikan di sekolah semasa pelajaran geometri.

Apabila, apabila mencari jarak dari titik ke garisan, sistem koordinat segi empat tepat boleh diperkenalkan, maka kaedah koordinat digunakan. Dalam perenggan ini, kami akan mempertimbangkan dua kaedah utama untuk mencari jarak yang diperlukan dari titik tertentu.

Kaedah pertama melibatkan pencarian jarak sebagai serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis lurus a. Kaedah kedua menggunakan persamaan normal garis lurus a untuk mencari jarak yang diperlukan.

Jika terdapat satu titik pada satah dengan koordinat M 1 (x 1 , y 1), terletak dalam sistem koordinat segi empat tepat, garis lurus a, dan anda perlu mencari jarak M 1 H 1, anda boleh membuat pengiraan dalam dua cara. Mari lihat mereka.

Cara pertama

Jika terdapat koordinat titik H 1 sama dengan x 2, y 2, maka jarak dari titik ke garis dikira menggunakan koordinat dari formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2). - y 1) 2.

Sekarang mari kita teruskan untuk mencari koordinat titik H 1.

Adalah diketahui bahawa garis lurus dalam O x y sepadan dengan persamaan garis lurus pada satah. Mari kita ambil kaedah mentakrifkan garis lurus a dengan menulis persamaan am garis lurus atau persamaan dengan pekali sudut. Kami menyusun persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berserenjang dengan garis lurus a. Mari kita nyatakan garis lurus dengan huruf b. H 1 ialah titik persilangan garis a dan b, yang bermaksud untuk menentukan koordinat yang anda perlukan untuk menggunakan artikel, yang berkaitan dengan koordinat titik persilangan dua baris.

Dapat dilihat bahawa algoritma untuk mencari jarak dari titik tertentu M 1 (x 1, y 1) ke garis lurus a dijalankan mengikut titik:

Definisi 3

• mencari persamaan am bagi garis lurus a, mempunyai bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, atau persamaan dengan pekali sudut, mempunyai bentuk y = k 1 x + b 1;
• mendapatkan persamaan am bagi garis b, mempunyai bentuk A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau persamaan dengan pekali sudut y = k 2 x + b 2, jika garis b bersilang dengan titik M 1 dan berserenjang dengan baris yang diberi a;
• penentuan koordinat x 2, y 2 bagi titik H 1, iaitu titik persilangan a dan b, untuk tujuan ini sistem diselesaikan persamaan linear A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• mengira jarak yang diperlukan dari titik ke garis menggunakan formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Cara kedua

Teorem boleh membantu menjawab soalan mencari jarak dari titik tertentu ke garis lurus tertentu pada satah.

Teorem

Sistem koordinat segi empat tepat mempunyai O x y mempunyai titik M 1 (x 1, y 1), dari mana garis lurus dilukis ke satah, diberikan oleh persamaan normal satah, mempunyai bentuk cos α x + cos β y - p = 0, sama dengan Nilai mutlak yang diperoleh di sebelah kiri persamaan normal garis, dikira pada x = x 1, y = y 1, bermakna M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - hlm.

Bukti

Garis a sepadan dengan persamaan normal satah, mempunyai bentuk cos α x + cos β y - p = 0, maka n → = (cos α, cos β) dianggap sebagai vektor normal garis a pada jarak dari asal kepada garis a dengan unit p . Ia adalah perlu untuk memaparkan semua data dalam rajah, tambah satu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1), di mana vektor jejari titik M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Ia adalah perlu untuk melukis garis lurus dari satu titik ke garis lurus, yang kita nyatakan sebagai M 1 H 1 . Adalah perlu untuk menunjukkan unjuran M 2 dan H 2 bagi titik M 1 dan H 2 ke atas garis lurus yang melalui titik O dengan vektor arah dalam bentuk n → = (cos α, cos β), dan menandakan unjuran berangka vektor sebagai O M 1 → = (x 1, y 1) ke arah n → = (cos α , cos β) sebagai n p n → O M 1 → .

Variasi bergantung pada lokasi titik M1 itu sendiri. Mari lihat rajah di bawah.

Kami menetapkan keputusan menggunakan formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Kemudian kita bawa kesamaan kepada bentuk ini M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p untuk mendapatkan n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Hasil darab skalar bagi vektor menghasilkan formula berubah bentuk n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , iaitu hasil darab dalam bentuk koordinat daripada bentuk n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ini bermakna kita mendapat bahawa n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ia berikutan bahawa M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorem terbukti.

Kami mendapati bahawa untuk mencari jarak dari titik M 1 (x 1 , y 1) ke garis lurus a pada satah, anda perlu melakukan beberapa tindakan:

Definisi 4

• mendapatkan persamaan normal garis lurus a cos α · x + cos β · y - p = 0, dengan syarat ia tidak berada dalam tugas;
• pengiraan ungkapan cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, di mana nilai yang terhasil mengambil M 1 H 1.

Mari gunakan kaedah ini untuk menyelesaikan masalah dengan mencari jarak dari titik ke satah.

Contoh 1

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 1, 2) ke garis lurus 4 x - 3 y + 35 = 0.

Penyelesaian

Mari gunakan kaedah pertama untuk menyelesaikannya.

Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mencari persamaan umum garis b, yang melalui titik tertentu M 1 (- 1, 2), berserenjang dengan garis 4 x - 3 y + 35 = 0. Daripada keadaan itu jelas bahawa garis b adalah berserenjang dengan garis a, maka vektor arahnya mempunyai koordinat sama dengan (4, - 3). Oleh itu, kita mempunyai peluang untuk menuliskan persamaan kanonik garis b pada satah, kerana terdapat koordinat titik M 1, yang tergolong dalam garis b. Mari kita tentukan koordinat vektor arah bagi garis lurus b. Kami mendapat bahawa x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Persamaan kanonik yang terhasil mesti ditukar kepada persamaan umum. Kemudian kita dapat itu

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Mari kita cari koordinat titik persilangan garis, yang akan kita ambil sebagai sebutan H 1. Transformasi kelihatan seperti ini:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Daripada apa yang ditulis di atas, kita mempunyai bahawa koordinat titik H 1 adalah sama dengan (- 5; 5).

Ia adalah perlu untuk mengira jarak dari titik M 1 ke garis lurus a. Kami mempunyai koordinat titik M 1 (- 1, 2) dan H 1 (- 5, 5), kemudian kami menggantikannya ke dalam formula untuk mencari jarak dan mendapatkannya

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Penyelesaian kedua.

Untuk menyelesaikan dengan cara lain, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis. Kami mengira nilai faktor penormalan dan darab kedua-dua belah persamaan 4 x - 3 y + 35 = 0. Dari sini kita dapati bahawa faktor penormalan adalah sama dengan - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, dan persamaan normalnya ialah dalam bentuk - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Menurut algoritma pengiraan, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis dan mengiranya dengan nilai x = - 1, y = 2. Kemudian kita dapat itu

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Daripada ini kita perolehi bahawa jarak dari titik M 1 (- 1, 2) ke garis lurus yang diberi 4 x - 3 y + 35 = 0 mempunyai nilai - 5 = 5.

Jawapan: 5 .

Jelas bahawa dalam kaedah ini Adalah penting untuk menggunakan persamaan normal garis, kerana kaedah ini adalah yang paling pendek. Tetapi kaedah pertama adalah mudah kerana ia konsisten dan logik, walaupun ia mempunyai lebih banyak titik pengiraan.

Contoh 2

Pada satah itu terdapat sistem koordinat segi empat tepat O x y dengan titik M 1 (8, 0) dan garis lurus y = 1 2 x + 1. Cari jarak dari titik tertentu ke garis lurus.

Penyelesaian

Penyelesaian pertama melibatkan pemutus persamaan yang diberikan dengan kecerunan kepada persamaan Pandangan umum. Untuk memudahkan, anda boleh melakukannya secara berbeza.

Jika hasil darab pekali sudut garis serenjang mempunyai nilai - 1, maka pekali sudut garis berserenjang dengan satu tertentu y = 1 2 x + 1 mempunyai nilai 2. Sekarang kita mendapat persamaan garis yang melalui titik dengan koordinat M 1 (8, 0). Kami mempunyai y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Kami meneruskan untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan y = - 2 x + 16 dan y = 1 2 x + 1. Kami menyusun sistem persamaan dan mendapatkan:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Ia berikutan bahawa jarak dari titik dengan koordinat M 1 (8, 0) ke garis lurus y = 1 2 x + 1 adalah sama dengan jarak dari titik mula dan titik akhir dengan koordinat M 1 (8, 0) dan H 1 (6, 4) . Mari kita mengira dan mendapati bahawa M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Penyelesaian dalam cara kedua ialah bergerak dari persamaan dengan pekali ke bentuk normalnya. Iaitu, kita mendapat y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, maka nilai faktor penormalan ialah - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Ia berikutan bahawa persamaan normal garis itu mengambil bentuk - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Mari kita laksanakan pengiraan dari titik M 1 8, 0 ke garis bentuk - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Kita mendapatkan:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Jawapan: 2 5 .

Contoh 3

Adalah perlu untuk mengira jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 2, 4) ke garisan 2 x - 3 = 0 dan y + 1 = 0.

Penyelesaian

Kami memperoleh persamaan bentuk normal garis lurus 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Kemudian kita teruskan untuk mengira jarak dari titik M 1 - 2, 4 ke garis lurus x - 3 2 = 0. Kita mendapatkan:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Persamaan garis lurus y + 1 = 0 mempunyai faktor penormalan dengan nilai sama dengan -1. Ini bermakna persamaan akan mengambil bentuk - y - 1 = 0. Kami meneruskan pengiraan jarak dari titik M 1 (- 2, 4) ke garis lurus - y - 1 = 0. Kami mendapati bahawa ia adalah sama dengan - 4 - 1 = 5.

Jawapan: 3 1 2 dan 5.

Mari kita lihat lebih dekat mencari jarak dari titik tertentu pada satah ke paksi koordinat O x dan O y.

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, paksi O y mempunyai persamaan garis lurus, yang tidak lengkap dan mempunyai bentuk x = 0, dan O x - y = 0. Persamaan adalah normal untuk paksi koordinat, maka perlu mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 x 1, y 1 ke garisan. Ini dilakukan berdasarkan formula M 1 H 1 = x 1 dan M 1 H 1 = y 1. Mari lihat rajah di bawah.

Contoh 4

Cari jarak dari titik M 1 (6, - 7) ke garis koordinat yang terletak dalam satah O x y.

Penyelesaian

Oleh kerana persamaan y = 0 merujuk kepada garis lurus O x, anda boleh mencari jarak dari M 1 dengan koordinat yang diberikan ke garis lurus ini menggunakan formula. Kami mendapat bahawa 6 = 6.

Oleh kerana persamaan x = 0 merujuk kepada garis lurus O y, anda boleh mencari jarak dari M 1 ke garis lurus ini menggunakan formula. Kemudian kita mendapat bahawa - 7 = 7.

Jawapan: jarak dari M 1 ke O x mempunyai nilai 6, dan dari M 1 ke O y mempunyai nilai 7.

Apabila dalam ruang tiga dimensi kita mempunyai titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1), adalah perlu untuk mencari jarak dari titik A ke garis lurus a.

Mari kita pertimbangkan dua kaedah yang membolehkan anda mengira jarak dari satu titik ke garis lurus yang terletak di angkasa. Kes pertama mempertimbangkan jarak dari titik M 1 ke garis, di mana titik pada garis dipanggil H 1 dan merupakan tapak serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke garis a. Kes kedua menunjukkan bahawa titik satah ini mesti dicari sebagai ketinggian segi empat selari.

Cara pertama

Daripada definisi kita mempunyai bahawa jarak dari titik M 1 yang terletak pada garis lurus a ialah panjang serenjang M 1 H 1, maka kita memperolehi bahawa dengan koordinat titik H 1 yang ditemui, maka kita mencari jarak antara M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) dan H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , berdasarkan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Kami dapati bahawa keseluruhan penyelesaian menuju ke arah mencari koordinat tapak serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis lurus a. Ini dilakukan seperti berikut: H 1 ialah titik di mana garis lurus a bersilang dengan satah yang melalui titik yang diberikan.

Ini bermakna bahawa algoritma untuk menentukan jarak dari titik M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garisan a dalam ruang membayangkan beberapa titik:

Definisi 5

• merangka persamaan satah χ sebagai persamaan satah yang melalui titik tertentu yang terletak berserenjang dengan garis;
• penentuan koordinat (x 2, y 2, z 2) kepunyaan titik H 1, iaitu titik persilangan garis lurus a dan satah χ;
• mengira jarak dari titik ke garis menggunakan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Cara kedua

Daripada keadaan kita mempunyai garis lurus a, maka kita boleh menentukan vektor arah a → = a x, a y, a z dengan koordinat x 3, y 3, z 3 dan titik tertentu M 3 kepunyaan lurus a. Jika anda mempunyai koordinat titik M 1 (x 1, y 1) dan M 3 x 3, y 3, z 3, anda boleh mengira M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Kita harus ketepikan vektor a → = a x , a y , a z dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 dari titik M 3 , sambungkannya dan dapatkan rajah selari . M 1 H 1 ialah ketinggian segi empat selari.

Mari lihat rajah di bawah.

Kami mempunyai ketinggian M 1 H 1 adalah jarak yang diperlukan, maka perlu mencarinya menggunakan formula. Iaitu, kami sedang mencari M 1 H 1.

Mari kita nyatakan luas segi empat selari dengan huruf S, didapati dengan formula menggunakan vektor a → = (a x, a y, a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula luas ialah S = a → × M 3 M 1 → . Juga, luas rajah adalah sama dengan hasil darab panjang sisi dan ketinggiannya, kita dapat S = a → · M 1 H 1 dengan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, yang mana ialah panjang vektor a → = (a x, a y, a z), sedang sisi yang sama segi empat selari. Ini bermakna M 1 H 1 ialah jarak dari titik ke garisan. Ia didapati menggunakan formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Untuk mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garis lurus a dalam ruang, anda perlu melakukan beberapa langkah algoritma:

Definisi 6

• penentuan vektor arah garis lurus a - a → = (a x, a y, a z);
• mengira panjang vektor arah a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• mendapatkan koordinat x 3 , y 3 , z 3 kepunyaan titik M 3 yang terletak pada garis lurus a;
• mengira koordinat bagi vektor M 3 M 1 → ;
• mencari produk vektor vektor a → (a x , a y , a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 sebagai → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 untuk mendapatkan panjang menggunakan formula a → × M 3 M 1 → ;
• mengira jarak dari satu titik ke garis M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Menyelesaikan masalah mencari jarak dari titik tertentu ke garis tertentu dalam ruang

Contoh 5

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 2, - 4, - 1 ke garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Penyelesaian

Kaedah pertama bermula dengan menulis persamaan satah χ melalui M 1 dan berserenjang dengan titik tertentu. Kami mendapat ungkapan seperti:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan dengan satah χ kepada garis yang ditentukan oleh keadaan. Anda harus beralih dari pandangan kanonik kepada yang bersilang. Kemudian kita mendapat sistem persamaan bentuk:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Adalah perlu untuk mengira sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 dengan kaedah Cramer, maka kita dapati bahawa:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Dari sini kita mempunyai H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Kaedah kedua mesti bermula dengan mencari koordinat dalam persamaan kanonik. Untuk melakukan ini, anda perlu memberi perhatian kepada penyebut pecahan. Maka a → = 2, - 1, 5 ialah vektor arah bagi garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Ia adalah perlu untuk mengira panjang menggunakan formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jelas bahawa garis lurus x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 bersilang dengan titik M 3 (- 1 , 0 , - 5), maka kita mempunyai bahawa vektor dengan asalan M 3 (- 1 , 0 , - 5) dan hujungnya pada titik M 1 2, - 4, - 1 ialah M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Cari hasil darab vektor a → = (2, - 1, 5) dan M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Kami mendapat ungkapan bentuk a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

kita dapati bahawa panjang hasil darab vektor adalah sama dengan a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Kami mempunyai semua data untuk menggunakan formula untuk mengira jarak dari titik untuk garis lurus, jadi mari kita gunakannya dan dapatkan:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Jawapan: 11 .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

pengenalan

Dalam kerja kursus ini, saya meneliti topik "jarak dari titik ke garis": takrifan jarak dari titik ke garis diberikan, dan ilustrasi grafik diberikan. Mencari jarak dari titik ke garis pada satah dan dalam ruang menggunakan kaedah koordinat dibincangkan. Selepas setiap blok teori, penyelesaian terperinci bagi contoh dan masalah untuk mencari jarak dari titik ke garis ditunjukkan.

Jarak dari titik ke garis - definisi

Biarkan garis a dan titik M 1 tidak terletak pada garis a diberikan pada satah atau dalam ruang tiga dimensi. Mari kita lukis garis b melalui titik M 1 berserenjang dengan garis a. Mari kita nyatakan titik persilangan garis a dan b sebagai H 1 . Segmen M 1 H 1 dipanggil serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke garis a.

Definisi.

Jarak dari titik M 1 ke garis lurus a ialah jarak antara titik M 1 dan H 1.

Walau bagaimanapun, takrifan yang paling biasa bagi jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang.

Definisi.

Jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke garis tertentu.

Takrifan ini bersamaan dengan takrifan pertama jarak dari titik ke garis.

Gambar 1

Sila ambil perhatian bahawa jarak dari titik ke garis adalah jarak terkecil dari titik ini ke titik pada garis tertentu. Jom tunjuk.

Mari kita ambil satu titik Q pada garis a yang tidak bertepatan dengan titik M 1 . Segmen M 1 Q dipanggil segmen condong yang dilukis dari titik M 1 ke garis lurus a. Kita perlu menunjukkan bahawa serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke garis a adalah kurang daripada sebarang serong yang dilukis dari titik M 1 ke garis lurus a. Ini adalah benar: segi tiga M 1 QH 1 adalah bersudut tegak dengan hipotenus M 1 Q, dan panjang hipotenus sentiasa lebih besar daripada panjang mana-mana kaki, oleh itu.