Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi fungsi. Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif

NOMBOR KOMPLEKS XI

§ 253. Mengeluarkan punca kuasa dua daripada nombor negatif.
Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif

Seperti yang kita tahu,

i 2 = - 1.

Pada masa yang sama

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Oleh itu, terdapat sekurang-kurangnya dua nilai punca kuasa dua - 1, iaitu i Dan - i . Tetapi mungkin terdapat beberapa nombor kompleks lain yang kuasa duanya sama dengan - 1?

Untuk menjelaskan soalan ini, andaikan kuasa dua nombor kompleks a + bi adalah sama dengan - 1. Kemudian

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - b 2 = - 1

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian sebenar dan pekali bahagian khayalannya adalah sama. sebab tu

{	A 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Menurut persamaan kedua sistem (1), sekurang-kurangnya satu daripada nombor A Dan b mestilah sifar. Jika b = 0, maka dari persamaan pertama kita dapat A 2 = - 1. Nombor A nyata, dan oleh itu A 2 > 0. Nombor bukan negatif A 2 tidak boleh sama dengan nombor negatif - 1. Oleh itu, kesamaan b = 0 adalah mustahil dalam kes ini. Ia tetap untuk mengakui itu A = 0, tetapi kemudian dari persamaan pertama sistem kita dapat: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Oleh itu, nombor kompleks yang kuasa duanya sama dengan -1 hanyalah nombor i Dan - i , Secara konvensional, ini ditulis dalam bentuk:

√-1 = ± i .

Dengan menggunakan penaakulan yang sama, pelajar boleh diyakinkan bahawa terdapat betul-betul dua nombor yang kuasa duanya adalah sama dengan nombor negatif - A . Nombor tersebut ialah √ a i dan -√ a i . Secara konvensional, ia ditulis seperti ini:

√- A = ± √ a i .

Di bawah √ a di sini kita maksudkan aritmetik, iaitu, positif, akar. Contohnya, √4 = 2, √9 =.3; sebab tu

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Jika sebelum ini, apabila mempertimbangkan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif, kita mengatakan bahawa persamaan tersebut tidak mempunyai punca, kini kita tidak boleh mengatakannya lagi. Persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif mempunyai punca yang kompleks. Akar ini diperolehi mengikut formula yang kita ketahui. Biarkan, sebagai contoh, diberikan persamaan x 2 + 2X + 5 = 0; Kemudian

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Jadi, persamaan yang diberikan mempunyai dua akar: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Akar-akar ini saling berkonjugasi. Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa jumlah mereka ialah - 2, dan hasil darabnya ialah 5, jadi teorem Vieta berlaku.

Senaman

2022. (No. set) Selesaikan persamaan:

A) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; pukul 3 x 2 = - 5.

2023. Cari semua nombor kompleks yang kuasa duanya adalah sama:

A) i ; b) 1 / 2 - √ 3 / 2 i ;

2024. Selesaikan persamaan kuadratik:

A) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

Selesaikan sistem persamaan (No. 2025, 2026):

{	*x+y* = 6 xy = 45

{	2x- 3y = 1 xy = 1

2027. Buktikan bahawa akar umbi persamaan kuadratik dengan pekali nyata dan diskriminasi negatif adalah saling berganding.

2028. Buktikan bahawa teorem Vieta adalah benar untuk mana-mana persamaan kuadratik, dan bukan hanya untuk persamaan dengan diskriminasi bukan negatif.

2029. Susun persamaan kuadratik dengan pekali nyata, punca-puncanya ialah:

a) X 1 = 5 - i , X 2 = 5 + i ; b) X 1 = 3i , X 2 = - 3i .

2030. Susun persamaan kuadratik dengan pekali nyata, salah satu puncanya adalah sama dengan (3 - i ) (2i - 4).

2031. Susun persamaan kuadratik dengan pekali nyata, salah satu puncanya adalah sama dengan 32 - i
1- 3i .

Diskriminasi ialah istilah berbilang nilai. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang diskriminasi polinomial, yang membolehkan anda menentukan sama ada polinomial tertentu mempunyai penyelesaian yang sah. Formula untuk polinomial kuadratik terdapat dalam kursus sekolah tentang algebra dan analisis. Bagaimana untuk mencari diskriminasi? Apakah yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan?

Polinomial kuadratik atau persamaan darjah kedua dipanggil i * w ^ 2 + j * w + k sama dengan 0, dengan "i" dan "j" ialah pekali pertama dan kedua, masing-masing, "k" ialah pemalar, kadangkala dipanggil "istilah tolak," dan "w" ialah pembolehubah. Akarnya akan menjadi semua nilai pembolehubah di mana ia berubah menjadi identiti. Kesamaan sedemikian boleh ditulis semula sebagai hasil darab i, (w - w1) dan (w - w2) bersamaan dengan 0. Dalam kes ini, adalah jelas bahawa jika pekali “i” tidak menjadi sifar, maka fungsi pada sebelah kiri akan menjadi sifar hanya jika jika x mengambil nilai w1 atau w2. Nilai-nilai ini adalah hasil daripada menetapkan polinomial sama dengan sifar.

Untuk mencari nilai pembolehubah di mana polinomial kuadratik lenyap, binaan tambahan digunakan, dibina di atas pekalinya dan dipanggil diskriminasi. Reka bentuk ini dikira mengikut formula D bersamaan dengan j * j - 4 * i * k. Mengapa ia digunakan?

Ia memberitahu sama ada terdapat keputusan yang sah.
Dia membantu mengira mereka.

Bagaimanakah nilai ini menunjukkan kehadiran akar sebenar:

Jika ia positif, maka dua punca boleh didapati di kawasan nombor nyata.
Jika diskriminasi adalah sifar, maka kedua-dua penyelesaian adalah sama. Kita boleh mengatakan bahawa terdapat hanya satu penyelesaian, dan ia adalah dari bidang nombor nyata.
Jika diskriminasi kurang daripada sifar, maka polinomial tidak mempunyai punca sebenar.

Pilihan pengiraan untuk mengamankan bahan

Untuk jumlah (7 * w^2; 3 * w; 1) sama dengan 0 Kami mengira D menggunakan formula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, kami mendapat -19. Nilai diskriminasi di bawah sifar menunjukkan bahawa tiada keputusan pada baris sebenar.

Jika kita menganggap 2 * w^2 - 3 * w + 1 bersamaan dengan 0, maka D dikira sebagai (-3) kuasa dua tolak hasil darab nombor (4; 2; 1) dan sama dengan 9 - 8, iaitu 1. Nilai positif menunjukkan dua keputusan pada garis nyata.

Jika kita mengambil jumlah (w ^ 2; 2 * w; 1) dan menyamakannya dengan 0, D dikira sebagai dua kuasa dua tolak hasil darab nombor (4; 1; 1). Ungkapan ini akan dipermudahkan kepada 4 - 4 dan pergi ke sifar. Ternyata hasilnya sama. Jika anda melihat dengan teliti formula ini, ia akan menjadi jelas bahawa ini adalah "persegi lengkap". Ini bermakna bahawa kesamaan boleh ditulis semula dalam bentuk (w + 1) ^ 2 = 0. Ia menjadi jelas bahawa keputusan dalam masalah ini ialah “-1”. Dalam keadaan di mana D bersamaan dengan 0, bahagian kiri kesamaan sentiasa boleh diruntuhkan menggunakan formula "kuadrat jumlah".

Menggunakan diskriminasi dalam mengira punca

Pembinaan tambahan ini bukan sahaja menunjukkan bilangan penyelesaian sebenar, tetapi juga membantu mencarinya. Formula pengiraan am untuk persamaan darjah kedua ialah:

w = (-j +/- d) / (2 * i), dengan d ialah pendiskriminasi kuasa 1/2.

Katakan diskriminasi adalah di bawah sifar, maka d adalah khayalan dan hasilnya adalah khayalan.

D ialah sifar, maka d sama dengan D dengan kuasa 1/2 juga adalah sifar. Penyelesaian: -j / (2 * i). Sekali lagi mempertimbangkan 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, kita dapati hasil yang bersamaan dengan -2 / (2 * 1) = -1.

Katakan D > 0, maka d ialah nombor nyata, dan jawapan di sini terbahagi kepada dua bahagian: w1 = (-j + d) / (2 * i) dan w2 = (-j - d) / (2 * i ). Kedua-dua keputusan akan sah. Mari kita lihat 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Di sini diskriminasi dan d ialah satu. Ternyata w1 adalah sama dengan (3 + 1) dibahagikan dengan (2 * 2) atau 1, dan w2 adalah sama dengan (3 - 1) dibahagikan dengan 2 * 2 atau 1/2.

Hasil daripada menyamakan ungkapan kuadratik kepada sifar dikira mengikut algoritma:

Menentukan bilangan penyelesaian yang sah.
Pengiraan d = D^(1/2).
Mencari keputusan mengikut formula (-j +/- d) / (2 * i).
Menggantikan hasil yang diperoleh kepada kesamaan asal untuk pengesahan.

Beberapa kes khas

Bergantung pada pekali, penyelesaiannya mungkin agak dipermudahkan. Jelas sekali, jika pekali pembolehubah kepada kuasa kedua adalah sifar, maka kesamaan linear diperolehi. Apabila pekali pembolehubah kepada kuasa pertama adalah sifar, maka dua pilihan adalah mungkin:

polinomial dikembangkan menjadi perbezaan kuasa dua apabila sebutan bebas adalah negatif;
untuk pemalar positif, tiada penyelesaian sebenar boleh ditemui.

Jika sebutan bebas ialah sifar, maka puncanya ialah (0; -j)

Tetapi terdapat kes khas lain yang memudahkan mencari penyelesaian.

Persamaan darjah kedua dikurangkan

Yang diberi dipanggil trinomial kuadratik sedemikian, di mana pekali sebutan utama ialah satu. Untuk situasi ini, teorem Vieta terpakai, yang menyatakan bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali pembolehubah kepada kuasa pertama, didarab dengan -1, dan hasil darab sepadan dengan pemalar "k".

Oleh itu, w1 + w2 sama dengan -j dan w1 * w2 sama dengan k jika pekali pertama ialah satu. Untuk mengesahkan ketepatan perwakilan ini, anda boleh menyatakan w2 = -j - w1 daripada formula pertama dan menggantikannya dengan kesamaan kedua w1 * (-j - w1) = k. Hasilnya ialah kesamaan asal w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Adalah penting untuk diperhatikan, bahawa i * w ^ 2 + j * w + k = 0 boleh dicapai dengan membahagi dengan “i”. Hasilnya ialah: w^2 + j1 * w + k1 = 0, di mana j1 bersamaan dengan j/i dan k1 bersamaan dengan k/i.

Mari kita lihat 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 yang telah diselesaikan dengan keputusan w1 = 1 dan w2 = 1/2. Kita perlu membahagikannya kepada separuh, akibatnya w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Mari kita semak bahawa syarat teorem adalah benar untuk keputusan yang ditemui: 1 + 1/2 = 3/ 2 dan 1*1/2 = 1/2.

Malah faktor kedua

Jika faktor pembolehubah kepada kuasa pertama (j) boleh dibahagi dengan 2, maka ia akan menjadi mungkin untuk memudahkan formula dan mencari penyelesaian melalui satu perempat daripada diskriminasi D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. ternyata w = (-j +/- d/2) / i, di mana d/2 = D/4 kepada kuasa 1/2.

Jika i = 1, dan pekali j adalah genap, maka penyelesaiannya akan menjadi hasil darab -1 dan separuh pekali pembolehubah w, tambah/tolak punca kuasa dua separuh ini tolak pemalar “k”. Formula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Susunan diskriminasi yang lebih tinggi

Diskriminasi bagi trinomial darjah kedua yang dibincangkan di atas adalah yang paling biasa digunakan kes istimewa. Dalam kes umum, diskriminasi polinomial ialah kuasa dua darab bagi beza punca polinomial ini. Oleh itu, diskriminasi sama dengan sifar menunjukkan kehadiran sekurang-kurangnya dua penyelesaian berbilang.

Pertimbangkan i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Katakan diskriminasi melebihi sifar. Ini bermakna terdapat tiga punca dalam kawasan nombor nyata. Pada sifar terdapat pelbagai penyelesaian. Jika D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Video kami akan memberitahu anda secara terperinci tentang pengiraan diskriminasi.

Tidak mendapat jawapan kepada soalan anda? Cadangkan topik kepada pengarang.

Kami terus mengkaji topik itu " menyelesaikan persamaan" Kami telah membiasakan diri dengan persamaan linear dan beralih kepada membiasakan diri dengan persamaan kuadratik.

Mula-mula kita akan melihat apakah persamaan kuadratik dan bagaimana ia ditulis Pandangan umum, dan berikan definisi yang berkaitan. Selepas ini, kami akan menggunakan contoh untuk mengkaji secara terperinci bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan. Mari kita beralih kepada penyelesaian persamaan lengkap, kita akan mendapatkan formula punca, berkenalan dengan diskriminasi persamaan kuadratik, dan mempertimbangkan penyelesaian kepada contoh biasa. Akhir sekali, mari kita mengesan hubungan antara akar dan pekali.

Navigasi halaman.

Apakah persamaan kuadratik? Jenis mereka

Mula-mula anda perlu memahami dengan jelas apa itu persamaan kuadratik. Oleh itu, adalah logik untuk memulakan perbualan tentang persamaan kuadratik dengan definisi persamaan kuadratik, serta definisi yang berkaitan. Selepas ini, anda boleh mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadratik: dikurangkan dan tidak dikurangkan, serta persamaan lengkap dan tidak lengkap.

Definisi dan contoh persamaan kuadratik

Definisi.

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk a x 2 +b x+c=0, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ialah bukan sifar.

Katakan segera bahawa persamaan kuadratik sering dipanggil persamaan darjah kedua. Ini disebabkan oleh fakta bahawa persamaan kuadratik adalah persamaan algebra ijazah kedua.

Takrifan yang dinyatakan membolehkan kita memberikan contoh persamaan kuadratik. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, dsb. Ini adalah persamaan kuadratik.

Definisi.

Nombor a, b dan c dipanggil pekali persamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c=0, dan pekali a dipanggil pertama, atau tertinggi, atau pekali x 2, b ialah pekali kedua, atau pekali x, dan c ialah sebutan bebas .

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadratik dalam bentuk 5 x 2 −2 x −3=0, di sini pekali pendahulu ialah 5, pekali kedua bersamaan dengan −2, dan sebutan bebas adalah sama dengan -3. Sila ambil perhatian bahawa apabila pekali b dan/atau c adalah negatif, seperti dalam contoh yang diberi, bentuk pendek persamaan kuadratik ialah 5 x 2 −2 x−3=0 , bukannya 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Perlu diingat bahawa apabila pekali a dan/atau b adalah sama dengan 1 atau -1, ia biasanya tidak hadir secara eksplisit dalam persamaan kuadratik, yang disebabkan oleh keanehan penulisan sedemikian . Contohnya, dalam persamaan kuadratik y 2 −y+3=0 pekali pendahulu ialah satu, dan pekali y adalah sama dengan -1.

Persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang

Bergantung pada nilai pekali utama, persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang dibezakan. Mari kita berikan definisi yang sepadan.

Definisi.

Persamaan kuadratik di mana pekali utama ialah 1 dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan. Jika tidak, persamaan kuadratik ialah tidak disentuh.

mengikut takrifan ini, persamaan kuadratik x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, dsb. – diberikan, dalam setiap daripada mereka pekali pertama sama dengan satu. A 5 x 2 −x−1=0, dsb. - persamaan kuadratik tidak dikurangkan, pekali utamanya berbeza daripada 1.

Daripada mana-mana persamaan kuadratik yang tidak dikurangkan, dengan membahagikan kedua-dua belah dengan pekali pendahulu, anda boleh pergi ke yang dikurangkan. Tindakan ini ialah penjelmaan setara, iaitu, persamaan kuadratik terkurang yang diperoleh dengan cara ini mempunyai punca yang sama seperti persamaan kuadratik tak terkurang asal, atau, seperti itu, tidak mempunyai punca.

Mari kita lihat contoh bagaimana peralihan daripada persamaan kuadratik tidak dikurangkan kepada persamaan dikurangkan dilakukan.

Contoh.

Daripada persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, pergi ke persamaan kuadratik terkurang yang sepadan.

Penyelesaian.

Kita hanya perlu membahagikan kedua-dua belah persamaan asal dengan pekali utama 3, ia bukan sifar, jadi kita boleh melakukan tindakan ini. Kami mempunyai (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, yang sama, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, dan kemudian (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, dari mana . Ini adalah bagaimana kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang, yang bersamaan dengan yang asal.

Jawapan:

Persamaan kuadratik lengkap dan tidak lengkap

Takrif persamaan kuadratik mengandungi keadaan a≠0. Keadaan ini perlu supaya persamaan a x 2 + b x + c = 0 adalah kuadratik, kerana apabila a = 0 ia sebenarnya menjadi persamaan linear bentuk b x + c = 0.

Bagi pekali b dan c, ia boleh sama dengan sifar, secara individu dan bersama. Dalam kes ini, persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0 dipanggil tidak lengkap, jika sekurang-kurangnya satu daripada pekali b, c adalah sama dengan sifar.

Pada gilirannya

Definisi.

Persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan di mana semua pekali adalah berbeza daripada sifar.

Nama sedemikian tidak diberikan secara kebetulan. Ini akan menjadi jelas daripada perbincangan berikut.

Jika pekali b ialah sifar, maka persamaan kuadratik mengambil bentuk a·x 2 +0·x+c=0, dan ia bersamaan dengan persamaan a·x 2 +c=0. Jika c=0, iaitu persamaan kuadratik mempunyai bentuk a·x 2 +b·x+0=0, maka ia boleh ditulis semula sebagai a·x 2 +b·x=0. Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapat persamaan kuadratik a·x 2 =0. Persamaan yang terhasil berbeza daripada persamaan kuadratik lengkap kerana bahagian kirinya tidak mengandungi sama ada sebutan dengan pembolehubah x, atau sebutan bebas, atau kedua-duanya. Oleh itu nama mereka - persamaan kuadratik tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan −2 x 2 −5 x+0.2=0 ialah contoh persamaan kuadratik lengkap, dan x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Daripada maklumat dalam perenggan sebelum ini ia berikutan bahawa terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

a·x 2 =0, pekali b=0 dan c=0 sepadan dengannya;
a x 2 +c=0 apabila b=0 ;
dan a·x 2 +b·x=0 apabila c=0.

Mari kita periksa mengikut urutan bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap bagi setiap jenis ini diselesaikan.

a x 2 =0

Mari kita mulakan dengan menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap di mana pekali b dan c adalah sama dengan sifar, iaitu, dengan persamaan bentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh daripada yang asal dengan membahagikan kedua-dua bahagian dengan nombor bukan sifar a. Jelas sekali, punca persamaan x 2 =0 ialah sifar, kerana 0 2 =0. Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang dijelaskan oleh fakta bahawa bagi mana-mana nombor bukan sifar p ketaksamaan p 2 >0 berlaku, yang bermaksud bahawa untuk p≠0 kesamaan p 2 =0 tidak pernah dicapai.

Jadi, persamaan kuadratik tidak lengkap a·x 2 =0 mempunyai punca tunggal x=0.

Sebagai contoh, kami memberikan penyelesaian kepada persamaan kuadratik tidak lengkap −4 x 2 =0. Ia bersamaan dengan persamaan x 2 =0, punca tunggalnya ialah x=0, oleh itu, persamaan asal mempunyai sifar punca tunggal.

Penyelesaian ringkas dalam kes ini boleh ditulis seperti berikut:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan di mana pekali b ialah sifar dan c≠0, iaitu persamaan bentuk a x 2 +c=0. Kita tahu bahawa memindahkan sebutan dari satu sisi persamaan ke yang lain dengan tanda bertentangan, serta membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor bukan sifar, memberikan persamaan yang setara. Oleh itu, kita boleh menjalankan transformasi setara berikut bagi persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 +c=0:

gerakkan c ke sebelah kanan, yang memberikan persamaan a x 2 =−c,
dan bahagikan kedua-dua belah dengan a, kita dapat .

Persamaan yang terhasil membolehkan kita membuat kesimpulan tentang puncanya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ungkapan boleh menjadi negatif (contohnya, jika a=1 dan c=2, maka ) atau positif (contohnya, jika a=−2 dan c=6, maka ), ia bukan sifar , kerana mengikut keadaan c≠0. Mari lihat kes secara berasingan.

Jika , maka persamaan itu tidak mempunyai punca. Pernyataan ini berikutan fakta bahawa kuasa dua mana-mana nombor ialah nombor bukan negatif. Ia berikutan daripada ini bahawa apabila , maka untuk sebarang nombor p kesamaan tidak boleh benar.

Jika , maka keadaan dengan punca-punca persamaan adalah berbeza. Dalam kes ini, jika kita ingat tentang , maka punca persamaan serta-merta menjadi jelas; Sangat mudah untuk meneka bahawa nombor itu juga merupakan punca persamaan, sememangnya, . Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang boleh ditunjukkan, sebagai contoh, dengan percanggahan. Mari lakukannya.

Mari kita nyatakan punca-punca persamaan yang baru diumumkan sebagai x 1 dan −x 1 . Katakan persamaan itu mempunyai satu lagi punca x 2, berbeza daripada punca yang ditunjukkan x 1 dan −x 1. Adalah diketahui bahawa menggantikan puncanya kepada persamaan dan bukannya x menjadikan persamaan itu menjadi kesamaan berangka yang betul. Untuk x 1 dan −x 1 kita ada , dan untuk x 2 kita ada . Sifat kesamaan berangka membolehkan kita melakukan penolakan sebutan demi sebutan bagi benar kesamaan berangka, jadi penolakan bahagian yang berkaitan kesamaan dan memberikan x 1 2 −x 2 2 =0. Sifat operasi dengan nombor membolehkan kita menulis semula kesamaan yang terhasil sebagai (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Kita tahu bahawa hasil darab dua nombor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripadanya sama dengan sifar. Oleh itu, daripada kesamaan yang terhasil ia mengikuti bahawa x 1 −x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0, iaitu sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 =−x 1. Jadi kita sampai kepada percanggahan, kerana pada mulanya kita mengatakan bahawa punca persamaan x 2 adalah berbeza daripada x 1 dan −x 1. Ini membuktikan bahawa persamaan tidak mempunyai punca selain dan .

Mari kita ringkaskan maklumat dalam perenggan ini. Persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 +c=0 adalah bersamaan dengan persamaan yang

tidak mempunyai akar jika ,
mempunyai dua punca dan , jika .

Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk a·x 2 +c=0.

Mari kita mulakan dengan persamaan kuadratik 9 x 2 +7=0. Selepas memindahkan sebutan bebas ke sebelah kanan persamaan, ia akan mengambil bentuk 9 x 2 =−7. Membahagikan kedua-dua belah persamaan yang terhasil dengan 9, kita tiba di . Oleh kerana bahagian kanan mempunyai nombor negatif, persamaan ini tidak mempunyai punca, oleh itu, persamaan kuadratik tidak lengkap asal 9 x 2 +7 = 0 tidak mempunyai punca.

Mari kita selesaikan satu lagi persamaan kuadratik tidak lengkap −x 2 +9=0. Kami memindahkan sembilan ke sebelah kanan: −x 2 =−9. Sekarang kita bahagikan kedua-dua belah dengan -1, kita dapat x 2 =9. Di sebelah kanan terdapat nombor positif, dari mana kita membuat kesimpulan bahawa atau . Kemudian kita tuliskan jawapan akhir: persamaan kuadratik tidak lengkap −x 2 +9=0 mempunyai dua punca x=3 atau x=−3.

a x 2 +b x=0

Ia kekal untuk menangani penyelesaian jenis terakhir persamaan kuadratik tidak lengkap untuk c=0. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk a x 2 + b x = 0 membolehkan anda menyelesaikannya kaedah pemfaktoran. Jelas sekali, kita boleh, terletak di sebelah kiri persamaan, yang cukup untuk mengambil faktor sepunya x daripada kurungan. Ini membolehkan kita beralih daripada persamaan kuadratik tak lengkap asal kepada persamaan setara dalam bentuk x·(a·x+b)=0. Dan persamaan ini bersamaan dengan satu set dua persamaan x=0 dan a·x+b=0, yang kedua adalah linear dan mempunyai punca x=−b/a.

Jadi, persamaan kuadratik tidak lengkap a·x 2 +b·x=0 mempunyai dua punca x=0 dan x=−b/a.

Untuk menyatukan bahan, kami akan menganalisis penyelesaian kepada contoh tertentu.

Contoh.

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian.

Mengambil x daripada kurungan memberikan persamaan . Ia bersamaan dengan dua persamaan x=0 dan . Menyelesaikan apa yang kita dapat persamaan linear: , dan membahagi nombor bercampur dengan pecahan sepunya, kita dapati . Oleh itu, punca-punca persamaan asal ialah x=0 dan .

Selepas mendapat amalan yang diperlukan, penyelesaian kepada persamaan tersebut boleh ditulis secara ringkas:

Jawapan:

x=0 , .

Diskriminasi, formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, terdapat formula punca. Mari kita menulisnya formula untuk punca-punca persamaan kuadratik: , Di mana D=b 2 −4 a c- kononnya diskriminasi bagi persamaan kuadratik. Entri itu pada dasarnya bermaksud bahawa .

Adalah berguna untuk mengetahui bagaimana formula punca diperoleh dan bagaimana ia digunakan dalam mencari punca persamaan kuadratik. Mari kita fikirkan perkara ini.

Terbitan rumus bagi punca-punca persamaan kuadratik

Mari kita perlu menyelesaikan persamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c=0. Mari lakukan beberapa transformasi yang setara:

Kita boleh membahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan nombor bukan sifar a, menghasilkan persamaan kuadratik berikut.
Sekarang pilih petak lengkap di sebelah kirinya: . Selepas ini, persamaan akan mengambil bentuk .
Pada peringkat ini, adalah mungkin untuk memindahkan dua istilah terakhir ke sebelah kanan dengan tanda bertentangan, kita ada .
Dan mari juga mengubah ungkapan di sebelah kanan: .

Hasilnya, kita sampai pada persamaan yang setara dengan persamaan kuadratik asal a·x 2 +b·x+c=0.

Kami telah menyelesaikan persamaan yang serupa dalam bentuk dalam perenggan sebelumnya, apabila kami meneliti. Ini membolehkan kita membuat kesimpulan berikut mengenai punca-punca persamaan:

jika , maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian sebenar;
jika , maka persamaan itu mempunyai bentuk , oleh itu, , yang daripadanya satu-satunya puncanya kelihatan;
jika , maka atau , yang sama dengan atau , iaitu persamaan mempunyai dua punca.

Oleh itu, kehadiran atau ketiadaan punca persamaan, dan oleh itu persamaan kuadratik asal, bergantung pada tanda ungkapan di sebelah kanan. Sebaliknya, tanda ungkapan ini ditentukan oleh tanda pengangka, kerana penyebut 4·a 2 sentiasa positif, iaitu, dengan tanda ungkapan b 2 −4·a·c. Ungkapan ini b 2 −4 a c dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik dan ditetapkan oleh surat itu D. Dari sini intipati diskriminasi adalah jelas - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka membuat kesimpulan sama ada persamaan kuadratik mempunyai punca sebenar, dan jika ya, apakah nombor mereka - satu atau dua.

Mari kita kembali kepada persamaan dan tulis semula menggunakan tatatanda diskriminasi: . Dan kami membuat kesimpulan:

jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jika D=0, maka persamaan ini mempunyai punca tunggal;
akhirnya, jika D>0, maka persamaan itu mempunyai dua punca atau, yang boleh ditulis semula dalam bentuk atau, dan selepas mengembang dan mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa kami menerima .

Jadi kami memperoleh formula untuk punca persamaan kuadratik, ia kelihatan seperti , di mana diskriminasi D dikira oleh formula D=b 2 −4·a·c.

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminasi positif, anda boleh mengira kedua-dua punca sebenar persamaan kuadratik. Apabila diskriminasi adalah sama dengan sifar, kedua-dua formula memberikan nilai akar yang sama, sepadan dengan satu-satunya penyelesaian persamaan kuadratik. Dan dengan diskriminasi negatif, apabila cuba menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, kita berhadapan dengan mengekstrak punca kuasa dua nombor negatif, yang membawa kita di luar skop kurikulum sekolah. Dengan diskriminasi negatif, persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar, tetapi mempunyai pasangan konjugat kompleks akar, yang boleh didapati menggunakan formula akar yang sama yang kami perolehi.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan rumus punca

Dalam amalan, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, anda boleh segera menggunakan formula akar untuk mengira nilainya. Tetapi ini lebih berkaitan dengan mencari akar yang kompleks.

Walau bagaimanapun, dalam kursus algebra sekolah kita biasanya bercakap bukan tentang kompleks, tetapi tentang punca sebenar persamaan kuadratik. Dalam kes ini, adalah dinasihatkan, sebelum menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, terlebih dahulu mencari diskriminasi, pastikan ia bukan negatif (jika tidak, kita boleh membuat kesimpulan bahawa persamaan itu tidak mempunyai punca sebenar), dan hanya kemudian mengira nilai akar.

Alasan di atas membolehkan kita menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0, anda perlu:

menggunakan formula diskriminasi D=b 2 −4·a·c, hitung nilainya;
membuat kesimpulan bahawa persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar jika diskriminasi adalah negatif;
hitung satu-satunya punca persamaan menggunakan formula jika D=0;
cari dua punca nyata bagi persamaan kuadratik menggunakan formula punca jika diskriminasinya positif.

Di sini kami hanya ambil perhatian bahawa jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, anda juga boleh menggunakan formula itu akan memberikan nilai yang sama seperti .

Anda boleh beralih kepada contoh menggunakan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Contoh penyelesaian persamaan kuadratik

Mari kita pertimbangkan penyelesaian kepada tiga persamaan kuadratik dengan positif, negatif dan sama dengan sifar diskriminasi. Setelah menangani penyelesaian mereka, dengan analogi adalah mungkin untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lain. Mari kita mulakan.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan x 2 +2·x−6=0.

Penyelesaian.

Dalam kes ini, kita mempunyai pekali persamaan kuadratik berikut: a=1, b=2 dan c=−6. Menurut algoritma, pertama anda perlu mengira diskriminasi; untuk melakukan ini, kami menggantikan a, b dan c yang ditunjukkan ke dalam formula diskriminasi, yang kami ada D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Oleh kerana 28>0, iaitu, diskriminasi lebih besar daripada sifar, persamaan kuadratik mempunyai dua punca nyata. Mari cari mereka menggunakan formula akar, kita dapat , di sini anda boleh memudahkan ungkapan yang terhasil dengan melakukan menggerakkan pengganda melebihi tanda akar diikuti dengan pengurangan pecahan:

Jawapan:

Mari kita beralih kepada contoh tipikal seterusnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadratik −4 x 2 +28 x−49=0 .

Penyelesaian.

Kita mulakan dengan mencari diskriminasi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai punca tunggal, yang kita dapati sebagai , iaitu,

Jawapan:

x=3.5.

Ia kekal untuk mempertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5·y 2 +6·y+2=0.

Penyelesaian.

Berikut ialah pekali bagi persamaan kuadratik: a=5, b=6 dan c=2. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula diskriminasi, yang kami ada D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminasi adalah negatif, oleh itu, persamaan kuadratik ini tidak mempunyai punca sebenar.

Jika anda perlu menunjukkan punca kompleks, maka kami menggunakan formula yang terkenal untuk punca persamaan kuadratik, dan lakukan operasi dengan nombor kompleks:

Jawapan:

tiada akar sebenar, akar kompleks ialah: .

Mari kita perhatikan sekali lagi bahawa jika diskriminasi persamaan kuadratik adalah negatif, maka di sekolah mereka biasanya segera menulis jawapan di mana mereka menunjukkan bahawa tidak ada punca sebenar, dan punca kompleks tidak dijumpai.

Formula akar untuk pekali kedua genap

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, di mana D=b 2 −4·a·c membolehkan anda memperoleh formula lebih penampilan padat, yang membolehkan anda menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali genap untuk x (atau hanya dengan pekali yang mempunyai bentuk 2·n, contohnya, atau 14·ln5=2·7·ln5). Mari kita bawa dia keluar.

Katakan kita perlu menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk a x 2 +2 n x+c=0. Mari cari puncanya menggunakan formula yang kita tahu. Untuk melakukan ini, kami mengira diskriminasi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), dan kemudian kami menggunakan formula akar:

Mari kita nyatakan ungkapan n 2 −a c sebagai D 1 (kadangkala ia dilambangkan D "). Kemudian formula untuk punca-punca persamaan kuadratik yang dipertimbangkan dengan pekali kedua 2 n akan mengambil bentuk. , dengan D 1 =n 2 −a·c.

Adalah mudah untuk melihat bahawa D=4·D 1, atau D 1 =D/4. Dalam erti kata lain, D 1 ialah bahagian keempat diskriminasi. Jelas bahawa tanda D 1 adalah sama dengan tanda D . Iaitu, tanda D 1 juga merupakan penunjuk kehadiran atau ketiadaan punca-punca persamaan kuadratik.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali kedua 2·n, anda perlukan

Kira D 1 =n 2 −a·c ;
Jika D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jika D 1 =0, maka kira satu-satunya punca persamaan menggunakan formula;
Jika D 1 >0, maka cari dua punca nyata menggunakan rumus.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan contoh menggunakan formula akar yang diperolehi dalam perenggan ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadratik 5 x 2 −6 x −32=0 .

Penyelesaian.

Pekali kedua persamaan ini boleh diwakili sebagai 2·(−3) . Iaitu, anda boleh menulis semula persamaan kuadratik asal dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, di sini a=5, n=−3 dan c=−32, dan hitung bahagian keempat daripada diskriminasi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Oleh kerana nilainya positif, persamaan mempunyai dua punca nyata. Mari cari mereka menggunakan formula akar yang sesuai:

Ambil perhatian bahawa adalah mungkin untuk menggunakan formula biasa untuk punca-punca persamaan kuadratik, tetapi dalam kes ini lebih banyak kerja pengiraan perlu dilakukan.

Jawapan:

Mempermudahkan bentuk persamaan kuadratik

Kadang-kadang, sebelum mula mengira punca persamaan kuadratik menggunakan formula, tidak ada salahnya untuk bertanya soalan: "Adakah mungkin untuk memudahkan bentuk persamaan ini?" Setuju bahawa dari segi pengiraan adalah lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik 11 x 2 −4 x−6=0 daripada 1100 x 2 −400 x−600=0.

Lazimnya, memudahkan bentuk persamaan kuadratik dicapai dengan mendarab atau membahagi kedua-dua belah dengan nombor tertentu. Sebagai contoh, dalam perenggan sebelumnya adalah mungkin untuk memudahkan persamaan 1100 x 2 −400 x −600=0 dengan membahagikan kedua-dua belah dengan 100.

Penjelmaan yang serupa dilakukan dengan persamaan kuadratik, pekalinya bukan . Dalam kes ini, kita biasanya membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nilai mutlak pekalinya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadratik 12 x 2 −42 x+48=0. nilai mutlak pekalinya: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Membahagikan kedua-dua belah persamaan kuadratik asal dengan 6, kita sampai pada persamaan kuadratik setara 2 x 2 −7 x+8=0.

Dan mendarab kedua-dua belah persamaan kuadratik biasanya dilakukan untuk menyingkirkan pekali pecahan. Dalam kes ini, pendaraban dijalankan oleh penyebut pekalinya. Sebagai contoh, jika kedua-dua belah persamaan kuadratik didarab dengan LCM(6, 3, 1)=6, maka ia akan mengambil bentuk yang lebih mudah x 2 +4·x−18=0.

Sebagai kesimpulan daripada perkara ini, kita perhatikan bahawa mereka hampir selalu menyingkirkan tolak pada pekali tertinggi persamaan kuadratik dengan menukar tanda-tanda semua sebutan, yang sepadan dengan mendarab (atau membahagi) kedua-dua belah dengan -1. Sebagai contoh, biasanya seseorang bergerak dari persamaan kuadratik −2 x 2 −3 x+7=0 kepada penyelesaian 2 x 2 +3 x−7=0 .

Hubungan antara punca dan pekali persamaan kuadratik

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik menyatakan punca-punca persamaan melalui pekalinya. Berdasarkan formula akar, anda boleh mendapatkan hubungan lain antara akar dan pekali.

Formula yang paling terkenal dan terpakai daripada teorem Vieta adalah dalam bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadratik yang diberikan, jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Sebagai contoh, dengan melihat bentuk persamaan kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kita boleh dengan serta-merta mengatakan bahawa jumlah puncanya adalah sama dengan 7/3, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama dengan 22 /3.

Dengan menggunakan formula yang telah ditulis, anda boleh mendapatkan beberapa sambungan lain antara punca dan pekali persamaan kuadratik. Sebagai contoh, anda boleh menyatakan jumlah kuasa dua punca persamaan kuadratik melalui pekalinya: .

Bibliografi.

Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. Gred 8. Dalam 2 jam Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Diskriminasi, seperti persamaan kuadratik, mula dipelajari dalam kursus algebra dalam gred 8. Anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi dan menggunakan teorem Vieta. Kaedah mengkaji persamaan kuadratik, serta formula diskriminasi, agak tidak berjaya diajarkan kepada pelajar sekolah, seperti banyak perkara dalam pendidikan sebenar. Oleh itu, tahun sekolah berlalu, pendidikan di gred 9-11 menggantikan " pendidikan tinggi"dan semua orang melihat lagi - "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik?", "Bagaimana untuk mencari punca persamaan?", "Bagaimana untuk mencari diskriminasi?" Dan...

Formula diskriminasi

Diskriminasi D bagi persamaan kuadratik a*x^2+bx+c=0 adalah sama dengan D=b^2–4*a*c.
Punca (penyelesaian) persamaan kuadratik bergantung pada tanda diskriminasi (D):
D>0 - persamaan mempunyai 2 punca nyata yang berbeza;
D=0 - persamaan mempunyai 1 punca (2 punca yang sepadan):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula untuk mengira diskriminasi agak mudah, begitu banyak tapak web menawarkan kalkulator diskriminasi dalam talian. Kami belum mengetahui skrip jenis ini lagi, jadi jika sesiapa tahu cara melaksanakan ini, sila tulis kepada kami melalui e-mel Alamat e-mel ini dilindungi daripada spambots. Anda mesti mendayakan JavaScript untuk melihatnya. .

Formula am untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik:

Kami mencari punca-punca persamaan menggunakan formula
Jika pekali pembolehubah kuasa dua dipasangkan, maka adalah dinasihatkan untuk mengira bukan diskriminasi, tetapi bahagian keempatnya
Dalam kes sedemikian, punca-punca persamaan ditemui menggunakan formula

Cara kedua untuk mencari punca ialah Teorem Vieta.

Teorem ini dirumuskan bukan sahaja untuk persamaan kuadratik, tetapi juga untuk polinomial. Anda boleh membaca ini di Wikipedia atau sumber elektronik lain. Walau bagaimanapun, untuk memudahkan, mari kita pertimbangkan bahagian yang berkenaan dengan persamaan kuadratik di atas, iaitu, persamaan bentuk (a=1)
Intipati formula Vieta ialah jumlah punca persamaan adalah sama dengan pekali pembolehubah, diambil dengan tanda yang bertentangan. Hasil darab punca-punca persamaan adalah sama dengan sebutan bebas. Teorem Vieta boleh ditulis dalam formula.
Derivasi formula Vieta agak mudah. Mari kita tulis persamaan kuadratik melalui faktor mudah
Seperti yang anda lihat, segala-galanya yang bijak adalah mudah pada masa yang sama. Adalah berkesan untuk menggunakan formula Vieta apabila perbezaan modulus akar atau perbezaan modulus akar ialah 1, 2. Sebagai contoh, persamaan berikut, mengikut teorem Vieta, mempunyai punca.

Sehingga persamaan 4, analisis sepatutnya kelihatan seperti ini. Hasil darab punca persamaan ialah 6, oleh itu puncanya boleh menjadi nilai (1, 6) dan (2, 3) atau berpasangan dengan tanda yang berlawanan. Jumlah punca ialah 7 (pekali pembolehubah dengan tanda bertentangan). Dari sini kita membuat kesimpulan bahawa penyelesaian kepada persamaan kuadratik ialah x=2; x=3.
Lebih mudah untuk memilih punca persamaan antara pembahagi istilah bebas, menyesuaikan tanda mereka untuk memenuhi formula Vieta. Pada mulanya, ini kelihatan sukar untuk dilakukan, tetapi dengan latihan pada beberapa persamaan kuadratik, teknik ini akan menjadi lebih berkesan daripada mengira diskriminasi dan mencari punca persamaan kuadratik dengan cara klasik.
Seperti yang anda lihat, teori sekolah untuk mengkaji diskriminasi dan kaedah mencari penyelesaian kepada persamaan tidak mempunyai makna praktikal - "Mengapa pelajar sekolah memerlukan persamaan kuadratik?", "Apakah maksud fizikal diskriminasi?"

Mari cuba fikirkan Apakah yang diterangkan oleh diskriminasi itu?

Dalam kursus algebra mereka mempelajari fungsi, skema untuk mengkaji fungsi dan membina graf fungsi. Daripada semua fungsi, parabola menduduki tempat yang penting, persamaannya boleh ditulis dalam bentuk
Jadi maksud fizik persamaan kuadratik ialah sifar parabola, iaitu titik persilangan graf fungsi dengan paksi absis Ox.
Saya meminta anda mengingati sifat-sifat parabola yang diterangkan di bawah. Masanya akan tiba untuk mengambil peperiksaan, ujian, atau peperiksaan kemasukan dan anda akan berterima kasih atas bahan rujukan. Tanda pembolehubah kuasa dua sepadan dengan sama ada cabang parabola pada graf akan naik (a>0),

atau parabola dengan cabang ke bawah (a<0) .

Puncak parabola terletak di tengah-tengah antara akar

Makna fizikal diskriminasi:

Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar (D>0) parabola mempunyai dua titik persilangan dengan paksi Lembu.
Jika diskriminasi adalah sifar (D=0) maka parabola pada bucu menyentuh paksi-x.
Dan kes terakhir, apabila diskriminasi kurang daripada sifar (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Manusia menggunakan persamaan pada zaman dahulu, dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Diskriminasi membolehkan anda menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik menggunakan formula umum, yang mempunyai bentuk berikut:

Formula diskriminasi bergantung pada tahap polinomial. Formula di atas sesuai untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk berikut:

Diskriminasi mempunyai sifat berikut yang perlu anda ketahui:

* "D" ialah 0 apabila polinomial mempunyai berbilang punca (akar sama);

* "D" ialah polinomial simetri berkenaan dengan akar polinomial dan oleh itu polinomial dalam pekalinya; lebih-lebih lagi, pekali polinomial ini adalah integer tanpa mengira lanjutan di mana akar diambil.

Katakan kita diberi persamaan kuadratik dalam bentuk berikut:

1 persamaan

Mengikut formula yang kami ada:

Oleh kerana \, persamaan mempunyai 2 punca. Mari kita tentukan mereka:

Di manakah saya boleh menyelesaikan persamaan menggunakan penyelesai dalam talian yang diskriminasi?

Anda boleh menyelesaikan persamaan di laman web kami https://site. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam masa beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mengetahui cara menyelesaikan persamaan di laman web kami Dan jika anda mempunyai sebarang soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.