Terbitan bagi fungsi kompleks dikira dengan formula. Peraturan pembezaan fungsi kompleks. Contoh yang lebih mudah untuk penyelesaian buat sendiri

Sejak anda datang ke sini, anda mungkin sudah berjaya melihat formula ini dalam buku teks

dan buat muka seperti ini:

Kawan, jangan risau! Malah, semuanya mudah untuk memalukan. Anda pasti akan memahami segala-galanya. Hanya satu permintaan - baca artikel perlahan-lahan cuba fahami setiap langkah. Saya menulis semudah dan sejelas mungkin, tetapi anda masih perlu menyelidiki idea itu. Dan pastikan anda menyelesaikan tugasan dari artikel itu.

Apakah fungsi kompleks?

Bayangkan anda berpindah ke apartmen lain dan oleh itu anda mengemas barang dalam kotak besar. Biarkan ia perlu untuk mengumpul beberapa barang kecil, sebagai contoh, alat tulis sekolah. Jika anda hanya membuangnya ke dalam kotak besar, mereka akan tersesat antara lain. Untuk mengelakkan ini, anda mula-mula meletakkannya, sebagai contoh, dalam beg, yang kemudian anda masukkan kotak besar dan kemudian menutupnya. Proses "paling sukar" ini ditunjukkan dalam rajah di bawah:

Nampaknya, di manakah matematik? Dan selain itu, fungsi kompleks dibentuk dengan cara yang TEPAT SAMA! Hanya kami "mengemas" bukan buku nota dan pen, tetapi \ (x \), manakala "pakej" dan "kotak" yang berbeza disajikan.

Sebagai contoh, mari kita ambil x dan "bungkus" ke dalam fungsi:

Akibatnya, kita mendapat, sudah tentu, \(\cos⁡x\). Ini adalah "beg barang" kami. Dan sekarang kami meletakkannya dalam "kotak" - kami membungkusnya, sebagai contoh, ke dalam fungsi padu.

Apakah yang akan berlaku pada akhirnya? Ya, betul, akan ada "pakej dengan benda dalam kotak", iaitu, "kosinus x kiub."

Pembinaan yang terhasil adalah fungsi yang kompleks. Ia berbeza daripada yang mudah dalam hal itu BEBERAPA "kesan" (pakej) digunakan pada satu X berturut-turut dan ternyata, seolah-olah, "fungsi daripada fungsi" - "pakej dalam pakej".

Dalam kursus sekolah, terdapat sangat sedikit jenis "pakej" yang sama ini, hanya empat:

Sekarang mari kita "bungkus" x dahulu ke dalam fungsi eksponen dengan asas 7, dan kemudian ke dalam fungsi trigonometri. Kita mendapatkan:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Dan sekarang mari "bungkus" x dua kali masuk fungsi trigonometri, pertama dalam , dan kemudian dalam :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Mudah, kan?

Sekarang tulis fungsi sendiri, di mana x:
- mula-mula ia "dibungkus" ke dalam kosinus, dan kemudian ke dalam fungsi eksponen dengan asas \(3\);
- pertama kepada kuasa kelima, dan kemudian kepada tangen;
- pertama kepada logaritma asas \(4\) , kemudian ke kuasa \(-2\).

Lihat jawapan kepada soalan ini di akhir artikel.

Tetapi bolehkah kita "mengemas" x bukan dua, tetapi tiga kali? Tiada masalah! Dan empat, dan lima, dan dua puluh lima kali. Di sini, sebagai contoh, ialah fungsi di mana x "dibungkus" \(4\) kali:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Tetapi formula sedemikian tidak akan dijumpai dalam latihan sekolah (pelajar lebih bernasib baik - mereka boleh menjadi lebih sukar☺).

"Membongkar" fungsi yang kompleks

Lihat semula fungsi sebelumnya. Bolehkah anda mengetahui urutan "pembungkusan"? Apa X disumbat ke dalam dahulu, apa kemudian, dan seterusnya sehingga akhir. Iaitu, fungsi yang manakah bersarang di mana? Ambil sekeping kertas dan tulis apa yang anda fikirkan. Anda boleh melakukan ini dengan rangkaian anak panah, seperti yang kami tulis di atas, atau dengan cara lain.

Sekarang jawapan yang betul ialah: pertama x telah "dibungkus" ke dalam kuasa \(4\), kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam sinus, ia, seterusnya, diletakkan dalam asas logaritma \(2\), dan dalam akhir keseluruhan pembinaan telah ditolak ke dalam lima kuasa.

Iaitu, adalah perlu untuk melepaskan urutan DALAM ORDER TERBALIK. Dan berikut adalah petunjuk bagaimana untuk melakukannya dengan lebih mudah: lihat sahaja X - anda perlu menari daripadanya. Mari lihat beberapa contoh.

Sebagai contoh, berikut ialah fungsi: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Kami melihat X - apa yang berlaku kepadanya dahulu? Diambil daripadanya. Dan kemudian? Tangen hasil diambil. Dan urutannya akan sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Contoh lain: \(y=\cos⁡((x^3))\). Kami menganalisis - pertama x ditakrifkan, dan kemudian kosinus diambil daripada hasilnya. Jadi urutannya ialah: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Beri perhatian, fungsi itu nampaknya serupa dengan yang pertama (di mana dengan gambar). Tetapi ini adalah fungsi yang sama sekali berbeza: di sini dalam kubus x (iaitu, \(\cos⁡((x x x)))\), dan di sana dalam kubus kosinus \(x\) (iaitu, \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Perbezaan ini timbul daripada urutan "pembungkusan" yang berbeza.

Contoh terakhir (dengan maklumat penting di dalamnya): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Adalah jelas bahawa di sini kita mula-mula melakukan operasi aritmetik dengan x, kemudian sinus diambil daripada keputusan: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Dan ini perkara penting: walaupun pada hakikatnya operasi aritmetik bukanlah fungsi dalam diri mereka sendiri, di sini mereka juga bertindak sebagai cara "membungkus". Mari kita mendalami sedikit tentang kehalusan ini.

Seperti yang saya katakan di atas, dalam fungsi mudah x "dibungkus" sekali, dan dalam fungsi kompleks - dua atau lebih. Selain itu, sebarang gabungan fungsi mudah (iaitu jumlah, perbezaan, pendaraban atau pembahagian) juga merupakan fungsi mudah. Sebagai contoh, \(x^7\) ialah fungsi mudah, dan begitu juga \(ctg x\). Oleh itu, semua gabungan mereka adalah fungsi mudah:

\(x^7+ ctg x\) - mudah,
\(x^7 ctg x\) adalah mudah,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) adalah mudah, dan seterusnya.

Walau bagaimanapun, jika satu lagi fungsi digunakan pada gabungan sedemikian, ia akan menjadi fungsi yang kompleks, kerana akan terdapat dua "pakej". Lihat rajah:

Baiklah, mari kita teruskan sekarang. Tulis urutan fungsi "membungkus":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Jawapannya sekali lagi di penghujung artikel.

Fungsi dalaman dan luaran

Mengapa kita perlu memahami fungsi bersarang? Apa yang diberikan ini kepada kita? Intinya ialah tanpa analisis sedemikian kita tidak akan dapat mencari derivatif fungsi yang dibincangkan di atas dengan pasti.

Dan untuk meneruskan, kita memerlukan dua lagi konsep: fungsi dalaman dan luaran. Ini adalah perkara yang sangat mudah, lebih-lebih lagi, sebenarnya, kami telah menganalisisnya di atas: jika kita mengingati analogi kita pada awalnya, maka fungsi dalaman adalah "pakej", dan yang luar adalah "kotak". Itu. apa yang X "dibalut" dahulu ialah fungsi dalaman, dan apa yang "dibalut" dalam adalah sudah luaran. Nah, boleh difahami sebabnya - ia di luar, ini bermakna luaran.

Di sini dalam contoh ini: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), fungsi \(\log_2⁡x\) ialah dalaman dan
- luaran.

Dan dalam yang ini: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ialah dalaman dan
- luaran.

Lakukan amalan terakhir menganalisis fungsi kompleks, dan akhirnya, mari kita beralih ke titik di mana segala-galanya dimulakan - kita akan mencari derivatif fungsi kompleks:

Isikan ruang dalam jadual:

Terbitan fungsi kompleks

Bravo kepada kami, kami masih sampai kepada "bos" topik ini - sebenarnya, terbitan fungsi kompleks, dan khususnya, kepada formula yang sangat dahsyat itu dari awal artikel.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Formula ini berbunyi seperti ini:

Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi luaran berkenaan dengan fungsi dalaman malar dan terbitan fungsi dalaman.

Dan segera lihat skema penghuraian "dengan kata-kata" untuk memahami apa yang harus dikaitkan dengan:

Saya berharap istilah "derivatif" dan "produk" tidak menimbulkan kesulitan. "Fungsi kompleks" - kami telah pun membongkar. Halangan dalam "derivatif fungsi luaran mengikut dalaman yang tidak berubah. Apa ini?

Jawapan: ini ialah terbitan biasa bagi fungsi luar, di mana hanya fungsi luar berubah, manakala fungsi dalam kekal sama. Masih kurang jelas? Baiklah, kita ambil contoh.

Katakan kita mempunyai fungsi \(y=\sin⁡(x^3)\). Jelaslah bahawa fungsi dalam di sini ialah \(x^3\), dan bahagian luar
. Mari kita cari terbitan luar berkenaan dengan dalam tetap.

Contoh pengiraan terbitan menggunakan formula terbitan bagi fungsi kompleks diberikan.

Kandungan

Lihat juga: Bukti formula untuk terbitan fungsi kompleks

Formula Asas

Di sini kami memberikan contoh pengiraan derivatif bagi fungsi berikut:
; ; ; ; .

Jika fungsi boleh diwakili sebagai fungsi kompleks dalam borang berikut:
,
maka terbitannya ditentukan oleh formula:
.
Dalam contoh di bawah, kami akan menulis formula ini dalam bentuk berikut:
.
mana .
Di sini, subskrip atau , terletak di bawah tanda terbitan, menandakan pembolehubah berkenaan dengan pembezaan yang dilakukan.

Biasanya, dalam jadual terbitan, terbitan fungsi daripada pembolehubah x diberikan. Walau bagaimanapun, x ialah parameter formal. Pembolehubah x boleh digantikan oleh mana-mana pembolehubah lain. Oleh itu, apabila membezakan fungsi daripada pembolehubah , kita hanya menukar, dalam jadual derivatif, pembolehubah x kepada pembolehubah u .

Contoh mudah

Contoh 1

Cari terbitan bagi fungsi kompleks
.

Mari kita tulis fungsi yang diberikan dalam bentuk yang setara:
.
Dalam jadual derivatif kita dapati:
;
.

Menurut formula untuk derivatif fungsi kompleks, kita mempunyai:
.
Di sini.

Contoh 2

Cari derivatif
.

Kami mengeluarkan pemalar 5 di luar tanda terbitan dan daripada jadual derivatif kami dapati:
.

.
Di sini.

Contoh 3

Cari terbitan
.

Kami mengeluarkan pemalar -1 untuk tanda derivatif dan daripada jadual derivatif kita dapati:
;
Daripada jadual derivatif kita dapati:
.

Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks:
.
Di sini.

Contoh yang lebih kompleks

Dalam contoh yang lebih kompleks, kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompaun beberapa kali. Dengan berbuat demikian, kita mengira derivatif dari hujung. Iaitu, kita memecahkan fungsi kepada bahagian komponennya dan mencari terbitan bahagian paling mudah yang digunakan jadual terbitan. Kami juga memohon peraturan pembezaan jumlah, produk dan pecahan . Kemudian kita membuat penggantian dan menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks.

Contoh 4

Cari terbitan
.

Kami memilih bahagian termudah formula dan mencari terbitannya. .

.
Di sini kami telah menggunakan notasi
.

Kami mencari terbitan bahagian seterusnya fungsi asal, menggunakan keputusan yang diperolehi. Kami menggunakan peraturan pembezaan jumlah:
.

Sekali lagi, kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks.

.
Di sini.

Contoh 5

Cari terbitan bagi suatu fungsi
.

Kami memilih bahagian termudah formula dan mencari terbitannya daripada jadual derivatif. .

Kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks.
.
Di sini
.

Membezakan bahagian seterusnya mengaplikasikan keputusan yang diperolehi.
.
Di sini
.

Mari bezakan bahagian seterusnya.

.
Di sini
.

Sekarang kita dapati derivatif fungsi yang dikehendaki.

.
Di sini
.

Lihat juga:

Ia sangat mudah untuk diingati.

Nah, kita tidak akan pergi jauh, kita akan segera mempertimbangkan fungsi songsang. Apakah songsangan bagi fungsi eksponen? Logaritma:

Dalam kes kami, asasnya ialah nombor:

Logaritma sedemikian (iaitu, logaritma dengan asas) dipanggil "semula jadi", dan kami menggunakan tatatanda khas untuknya: kami menulis sebaliknya.

Apa yang sama dengan? Sudah tentu, .

Terbitan logaritma asli juga sangat mudah:

Contoh:

Cari terbitan bagi fungsi itu.
Apakah terbitan bagi fungsi tersebut?

Jawapan: Eksponen dan logaritma asli adalah fungsi yang unik secara ringkas dari segi terbitan. Fungsi eksponen dan logaritma dengan mana-mana asas lain akan mempunyai derivatif yang berbeza, yang akan kita analisis kemudian, selepas kita melalui peraturan pembezaan.

Peraturan pembezaan

Peraturan apa? Satu lagi istilah baru, lagi?!...

Pembezaan ialah proses mencari terbitan.

Hanya dan segala-galanya. Apakah perkataan lain untuk proses ini? Bukan proizvodnovanie... Pembezaan matematik dipanggil kenaikan sangat fungsi di. Istilah ini berasal dari differentia Latin - perbezaan. Di sini.

Apabila memperoleh semua peraturan ini, kami akan menggunakan dua fungsi, sebagai contoh, dan. Kami juga memerlukan formula untuk kenaikannya:

Terdapat 5 peraturan secara keseluruhan.

Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan.

Jika - beberapa nombor malar (malar), maka.

Jelas sekali, peraturan ini juga berfungsi untuk perbezaan: .

Jom buktikan. Biarkan, atau lebih mudah.

Contoh.

Cari derivatif fungsi:

pada titik;
pada titik;
pada titik;
pada titik.

Penyelesaian:

(derivatif adalah sama di semua titik, kerana ia adalah fungsi linear, ingat?);

Derivatif sesuatu produk

Semuanya serupa di sini: kami memperkenalkan fungsi baharu dan mencari kenaikannya:

Derivatif:

Contoh:

Cari terbitan bagi fungsi dan;
Cari terbitan bagi suatu fungsi pada satu titik.

Penyelesaian:

Terbitan fungsi eksponen

Sekarang pengetahuan anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari derivatif mana-mana fungsi eksponen, dan bukan hanya eksponen (adakah anda sudah lupa apa itu?).

Jadi mana ada nombor.

Kami sudah mengetahui terbitan fungsi tersebut, jadi mari cuba bawa fungsi kami ke pangkalan baharu:

Untuk ini kami gunakan peraturan mudah: . Kemudian:

Nah, ia berjaya. Sekarang cuba cari derivatif, dan jangan lupa bahawa fungsi ini adalah kompleks.

Terjadi?

Di sini, semak diri anda:

Formula itu ternyata sangat serupa dengan terbitan eksponen: seperti sediakala, ia kekal, hanya faktor yang muncul, yang hanya nombor, tetapi bukan pembolehubah.

Contoh:
Cari derivatif fungsi:

Jawapan:

Ini hanyalah nombor yang tidak boleh dikira tanpa kalkulator, iaitu, tidak ada cara untuk menulisnya dengan lebih banyak. bentuk mudah. Oleh itu, dalam jawapan ia ditinggalkan dalam borang ini.

Ambil perhatian bahawa berikut ialah hasil bagi dua fungsi, jadi kami menggunakan peraturan pembezaan yang sesuai:

Dalam contoh ini, hasil darab dua fungsi:

Terbitan bagi fungsi logaritma

Di sini ia adalah serupa: anda sudah mengetahui terbitan logaritma asli:

Oleh itu, untuk mencari arbitrari daripada logaritma dengan asas yang berbeza, sebagai contoh, :

Kita perlu membawa logaritma ini ke pangkalan. Bagaimanakah anda menukar asas logaritma? Saya harap anda ingat formula ini:

Hanya sekarang bukannya kami akan menulis:

Penyebut ternyata hanya pemalar (nombor tetap, tanpa pembolehubah). Derivatifnya sangat mudah:

Terbitan eksponen dan fungsi logaritma hampir tidak pernah berlaku dalam peperiksaan, tetapi ia tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Terbitan fungsi kompleks.

Apakah "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen lengkok. Fungsi ini boleh menjadi sukar untuk difahami (walaupun jika logaritma kelihatan sukar kepada anda, baca topik "Logaritma" dan semuanya akan berjaya), tetapi dari segi matematik, perkataan "kompleks" tidak bermaksud "sukar".

Bayangkan penghantar kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Sebagai contoh, yang pertama membungkus bar coklat dalam pembungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan reben. Ternyata objek komposit sedemikian: bar coklat dibalut dan diikat dengan reben. Untuk makan sebatang coklat, anda perlu melakukan langkah yang bertentangan dalam urutan terbalik.

Mari kita buat saluran paip matematik yang serupa: mula-mula kita akan mencari kosinus nombor, dan kemudian kita akan kuasa dua nombor yang terhasil. Jadi, mereka memberi kami nombor (coklat), saya dapati kosinusnya (pembungkus), dan kemudian anda kuasai apa yang saya dapat (ikat dengan reben). Apa yang berlaku? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: apabila, untuk mencari nilainya, kita melakukan tindakan pertama secara langsung dengan pembolehubah, dan kemudian satu lagi tindakan kedua dengan apa yang berlaku akibat daripada yang pertama.

Dalam kata lain, Fungsi kompleks ialah fungsi yang hujahnya adalah fungsi lain: .

Sebagai contoh kita, .

Kita mungkin melakukan tindakan yang sama dalam susunan terbalik: pertama anda kuasa dua, dan kemudian saya mencari kosinus nombor yang terhasil:. Adalah mudah untuk meneka bahawa hasilnya hampir selalu berbeza. Ciri penting fungsi kompleks: apabila anda menukar susunan tindakan, fungsi berubah.

Contoh kedua: (sama). .

Tindakan terakhir yang kita lakukan akan dipanggil fungsi "luar"., dan tindakan yang dilakukan dahulu - masing-masing fungsi "dalaman".(ini adalah nama tidak rasmi, saya menggunakannya hanya untuk menerangkan bahan dalam bahasa mudah).

Cuba tentukan sendiri fungsi mana luaran dan dalaman:

Jawapan: Pemisahan fungsi dalam dan luar sangat serupa dengan mengubah pembolehubah: contohnya, dalam fungsi

Apakah tindakan yang akan kita lakukan dahulu? Mula-mula kita mengira sinus, dan hanya kemudian kita menaikkannya ke kiub. Jadi ia adalah fungsi dalaman, bukan fungsi luaran.
Dan fungsi asal adalah komposisi mereka: .
Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .
Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .
Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .
Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .

kita menukar pembolehubah dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kami akan mengekstrak coklat kami - cari derivatifnya. Prosedur ini sentiasa diterbalikkan: mula-mula kita mencari derivatif fungsi luar, kemudian kita darabkan hasilnya dengan derivatif fungsi dalam. Digunakan untuk contoh asal ia kelihatan seperti ini:

Contoh yang lain:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan rasmi:

Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:

Nampak mudah kan?

Mari kita semak dengan contoh:

Penyelesaian:

1) Dalaman: ;

Luaran: ;

2) Dalaman: ;

(cuma jangan cuba kurangkan sekarang! Tiada apa-apa yang dikeluarkan dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Luaran: ;

Ia segera jelas bahawa terdapat fungsi kompleks tiga peringkat di sini: lagipun, ini sudah menjadi fungsi yang kompleks dengan sendirinya, dan kami masih mengeluarkan akar daripadanya, iaitu, kami melakukan tindakan ketiga (meletakkan coklat dalam pembungkus dan dengan reben dalam beg bimbit). Tetapi tidak ada sebab untuk takut: bagaimanapun, kami akan "membongkar" fungsi ini dalam susunan yang sama seperti biasa: dari akhir.

Iaitu, mula-mula kita membezakan akar, kemudian kosinus, dan hanya kemudian ungkapan dalam kurungan. Dan kemudian kita melipatgandakan semuanya.

Dalam kes sedemikian, adalah mudah untuk menomborkan tindakan. Iaitu, mari kita bayangkan apa yang kita tahu. Dalam susunan apakah kita akan melakukan tindakan untuk mengira nilai ungkapan ini? Mari lihat contoh:

Lebih lewat tindakan itu dilakukan, lebih banyak "luaran" fungsi yang sepadan. Urutan tindakan - seperti sebelumnya:

Di sini sarang biasanya 4 peringkat. Mari kita tentukan arah tindakan.

1. Ungkapan radikal. .

2. Akar. .

3. Resdung. .

4. Segi empat. .

5. Menyatukan semuanya:

DERIVATIF. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Derivatif fungsi- nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah dengan kenaikan hujah yang tidak terhingga:

Derivatif asas:

Peraturan pembezaan:

Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Terbitan jumlah:

Produk terbitan:

Terbitan hasil bagi:

Terbitan fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:

Kami mentakrifkan fungsi "dalaman", cari derivatifnya.
Kami mentakrifkan fungsi "luar", cari derivatifnya.
Kami mendarabkan keputusan mata pertama dan kedua.

Adalah mustahil untuk menyelesaikan masalah fizikal atau contoh dalam matematik tanpa pengetahuan tentang terbitan dan kaedah untuk mengiranya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dalam analisis matematik. ini tema asas kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini. Apakah derivatif, apakah fizikalnya dan makna geometri bagaimana untuk mengira terbitan fungsi? Semua soalan ini boleh digabungkan menjadi satu: bagaimana untuk memahami derivatif?

Makna geometri dan fizikal terbitan

Biar ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa selang (a,b) . Titik x dan x0 tergolong dalam selang ini. Apabila x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan hujah - perbezaan nilainya x-x0 . Perbezaan ini ditulis sebagai delta x dan dipanggil penambahan hujah. Perubahan atau kenaikan fungsi ialah perbezaan antara nilai fungsi pada dua titik. Takrif terbitan:

Terbitan fungsi pada satu titik ialah had nisbah kenaikan fungsi pada titik tertentu kepada kenaikan hujah apabila yang terakhir cenderung kepada sifar.

Jika tidak, ia boleh ditulis seperti ini:

Apa gunanya mencari had sedemikian? Tetapi yang mana satu:

terbitan bagi suatu fungsi pada suatu titik adalah sama dengan tangen sudut antara paksi OX dan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu.

makna fizikal terbitan: terbitan masa laluan adalah sama dengan kelajuan gerakan rectilinear.

Memang sejak zaman sekolah lagi semua orang tahu kelajuan itu adalah laluan peribadi. x=f(t) dan masa t . kelajuan purata untuk beberapa tempoh masa:

Untuk mengetahui kelajuan pergerakan pada satu-satu masa t0 anda perlu mengira had:

Peraturan satu: keluarkan pemalar

Pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Lebih-lebih lagi, ia mesti dilakukan. Apabila menyelesaikan contoh dalam matematik, ambil sebagai peraturan - jika anda boleh memudahkan ungkapan, pastikan anda memudahkan .

Contoh. Mari kita hitung derivatif:

Peraturan dua: terbitan hasil tambah fungsi

Terbitan hasil tambah dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah derivatif fungsi ini. Perkara yang sama berlaku untuk terbitan perbezaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorem ini, tetapi mempertimbangkan contoh praktikal.

Cari terbitan bagi suatu fungsi:

Peraturan tiga: terbitan hasil darab fungsi

Terbitan hasil darab dua fungsi boleh dibezakan dikira dengan formula:

Contoh: cari terbitan bagi suatu fungsi:

Keputusan:

Di sini adalah penting untuk mengatakan tentang pengiraan derivatif fungsi kompleks. Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi ini berkenaan dengan hujah perantaraan oleh terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan pembolehubah bebas.

Dalam contoh di atas, kita menemui ungkapan:

Dalam kes ini, hujah perantaraan ialah 8x kepada kuasa kelima. Untuk mengira derivatif ungkapan sedemikian, kita mula-mula mempertimbangkan terbitan fungsi luaran berkenaan dengan hujah perantaraan, dan kemudian darab dengan terbitan hujah perantaraan itu sendiri berkenaan dengan pembolehubah bebas.

Peraturan Empat: Terbitan hasil bagi dua fungsi

Formula untuk menentukan terbitan hasil bagi dua fungsi:

Kami cuba bercakap tentang derivatif untuk boneka dari awal. Topik ini tidak semudah yang kelihatan, jadi amaran: selalunya terdapat perangkap dalam contoh, jadi berhati-hati semasa mengira derivatif.

Dengan sebarang soalan mengenai perkara ini dan topik lain, anda boleh menghubungi perkhidmatan pelajar. Dalam masa yang singkat, kami akan membantu anda menyelesaikan kawalan yang paling sukar dan menangani tugas, walaupun anda tidak pernah berurusan dengan pengiraan derivatif sebelum ini.

Selepas penyediaan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 lampiran fungsi akan menjadi kurang menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan kelihatan rumit kepada sesetengah orang, tetapi jika mereka difahami (seseorang akan menderita), maka hampir semua yang lain adalah kalkulus pembezaan akan kelihatan seperti jenaka kanak-kanak.

Contoh 2

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Seperti yang telah dinyatakan, apabila mencari derivatif fungsi kompleks, pertama sekali, adalah perlu betul FAHAM PELABURAN. Dalam kes di mana terdapat keraguan, saya mengingatkan anda tentang helah yang berguna: kami mengambil nilai percubaan "x", sebagai contoh, dan cuba (secara mental atau pada draf) untuk menggantikan nilai ini ke dalam "ungkapan yang mengerikan".

1) Mula-mula kita perlu mengira ungkapan, jadi jumlahnya ialah sarang terdalam.

2) Kemudian anda perlu mengira logaritma:

4) Kemudian kubus kosinus:

5) Pada langkah kelima, perbezaannya:

6) Dan akhirnya, fungsi terluar ialah punca kuasa dua:

Formula Pembezaan Fungsi Kompleks digunakan dalam susunan terbalik, dari fungsi paling luar hingga paling dalam. Kami membuat keputusan:

Nampaknya bebas ralat:

1) Kami mengambil terbitan punca kuasa dua.

2) Kami mengambil terbitan perbezaan menggunakan peraturan

3) Terbitan bagi rangkap tiga adalah sama dengan sifar. Dalam penggal kedua, kita mengambil terbitan darjah (kubus).

4) Kami mengambil terbitan kosinus.

6) Dan akhirnya, kami mengambil terbitan daripada sarang terdalam .

Ia mungkin kelihatan terlalu sukar, tetapi ini bukanlah contoh yang paling kejam. Ambil, sebagai contoh, koleksi Kuznetsov dan anda akan menghargai semua daya tarikan dan kesederhanaan terbitan yang dianalisis. Saya perasan bahawa mereka suka memberikan perkara yang sama pada peperiksaan untuk menyemak sama ada pelajar memahami cara mencari terbitan fungsi kompleks, atau tidak faham.

Contoh berikut adalah untuk penyelesaian kendiri.

Contoh 3

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Petunjuk: Mula-mula kita menggunakan peraturan lineariti dan peraturan pembezaan produk

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Sudah tiba masanya untuk beralih kepada sesuatu yang lebih padat dan lebih cantik.
Ia bukan perkara biasa untuk situasi di mana hasil darab bukan dua, tetapi tiga fungsi diberikan dalam contoh. Bagaimana untuk mencari terbitan hasil darab tiga faktor?

Contoh 4

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Mula-mula, kita lihat, tetapi adakah mungkin untuk menukar hasil darab tiga fungsi menjadi hasil darab dua fungsi? Sebagai contoh, jika kita mempunyai dua polinomial dalam produk, maka kita boleh membuka kurungan. Tetapi dalam contoh ini, semua fungsi adalah berbeza: darjah, eksponen dan logaritma.

Dalam kes sedemikian, adalah perlu berturut-turut gunakan peraturan pembezaan produk dua kali

Caranya ialah untuk "y" kita menandakan hasil darab dua fungsi: , dan untuk "ve" - logaritma:. Mengapa ini boleh dilakukan? Adakah ia - ini bukan hasil dua faktor dan peraturan itu tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:

Kini ia kekal untuk menggunakan peraturan untuk kali kedua untuk kurungan:

Anda masih boleh menyeleweng dan mengeluarkan sesuatu daripada kurungan, tetapi dalam kes ini adalah lebih baik untuk meninggalkan jawapan dalam borang ini - lebih mudah untuk menyemak.

Contoh di atas boleh diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua-dua penyelesaian adalah benar-benar setara.

Contoh 5

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, dalam sampel ia diselesaikan dengan cara pertama.

Pertimbangkan contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Di sini anda boleh pergi dalam beberapa cara:

Atau seperti ini:

Tetapi penyelesaiannya boleh ditulis dengan lebih padat jika, pertama sekali, kita menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi , mengambil untuk keseluruhan pengangka:

Pada dasarnya, contoh itu diselesaikan, dan jika ia dibiarkan dalam bentuk ini, ia tidak akan menjadi kesilapan. Tetapi jika anda mempunyai masa, ia sentiasa dinasihatkan untuk menyemak draf, tetapi adakah mungkin untuk memudahkan jawapannya?

Kami membawa ungkapan pengangka ke penyebut biasa dan singkirkan pecahan tiga tingkat:

Kelemahan penyederhanaan tambahan ialah terdapat risiko membuat kesilapan bukan apabila mencari derivatif, tetapi apabila transformasi sekolah cetek. Sebaliknya, guru sering menolak tugas dan meminta untuk "membawanya ke fikiran" terbitan.

Contoh yang lebih mudah untuk penyelesaian do-it-yourself:

Contoh 7

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Kami terus menguasai teknik untuk mencari derivatif, dan kini kami akan mempertimbangkan kes biasa apabila logaritma "mengerikan" dicadangkan untuk pembezaan