Formula untuk mengira jarak dari titik ke garisan dalam satah

Jika persamaan garis Ax + By + C = 0 diberikan, maka jarak dari titik M(M x , M y) ke garis boleh didapati menggunakan formula berikut

Contoh tugas untuk mengira jarak dari titik ke garis dalam satah

Contoh 1

Cari jarak antara garis 3x + 4y - 6 = 0 dan titik M(-1, 3).

Keputusan. Gantikan dalam formula pekali garis dan koordinat titik

Jawapan: jarak dari satu titik ke garis ialah 0.6.

persamaan satah yang melalui titik berserenjang dengan vektorPersamaan am satah

Vektor bukan sifar berserenjang dengan satah tertentu dipanggil vektor biasa (atau, ringkasnya, biasa ) untuk pesawat ini.

Biarkan dalam ruang koordinat (dalam sistem segi empat tepat koordinat) diberikan:

a) titik ;

b) vektor bukan sifar (Rajah 4.8, a).

Ia dikehendaki menulis persamaan untuk satah yang melalui titik berserenjang dengan vektor Akhir pembuktian.

Pertimbangkan sekarang jenis yang berbeza persamaan garis lurus pada satah.

1) Persamaan am satahP .

Daripada terbitan persamaan ia mengikuti bahawa pada masa yang sama A, B dan C tidak sama dengan 0 (terangkan mengapa).

Point kepunyaan kapal terbang P hanya jika koordinatnya memenuhi persamaan satah itu. Bergantung kepada pekali A, B, C dan D kapal terbang P menduduki satu jawatan atau yang lain.

- satah melalui asal sistem koordinat, - satah tidak melalui asal sistem koordinat,

- satah selari dengan paksi X,

X,

- satah selari dengan paksi Y,

- satah tidak selari dengan paksi Y,

- satah selari dengan paksi Z,

- satah tidak selari dengan paksi Z.

Buktikan sendiri kenyataan ini.

Persamaan (6) mudah diperoleh daripada persamaan (5). Sesungguhnya, biarkan titik itu terletak pada pesawat P. Kemudian koordinatnya memenuhi persamaan Menolak persamaan (7) daripada persamaan (5) dan mengumpulkan terma, kita memperoleh persamaan (6). Pertimbangkan sekarang dua vektor dengan koordinat, masing-masing. Ia mengikuti daripada formula (6) bahawa hasil skalar mereka adalah sama dengan sifar. Oleh itu, vektor adalah berserenjang dengan vektor Permulaan dan penghujung vektor terakhir masing-masing pada titik yang dimiliki oleh satah. P. Oleh itu, vektor adalah berserenjang dengan satah P. Jarak dari titik ke satah P, persamaan am yang ditentukan oleh formula Bukti formula ini sama sekali dengan bukti formula untuk jarak antara titik dan garis (lihat Rajah 2).
nasi. 2. Kepada terbitan formula bagi jarak antara satah dan garis lurus.

Memang jaraknya d antara garis dan satah ialah

di manakah titik terletak di atas kapal terbang. Dari sini, seperti dalam kuliah No. 11, formula di atas diperolehi. Dua satah selari jika vektor normalnya selari. Dari sini kita memperoleh keadaan selari dua satah - pekali persamaan am bagi satah. Dua satah berserenjang jika vektor normalnya berserenjang, oleh itu kita memperoleh keadaan serenjang dua satah jika persamaan amnya diketahui

Sudut f antara dua satah adalah sama dengan sudut antara vektor normalnya (lihat Rajah 3) dan oleh itu boleh dikira daripada formula
Menentukan sudut antara satah.

(11)

Jarak dari titik ke satah dan cara mencarinya

Jarak dari titik ke kapal terbang ialah panjang serenjang yang dijatuhkan dari satu titik ke satah ini. Terdapat sekurang-kurangnya dua cara untuk mencari jarak dari titik ke satah: geometri dan algebra.

Dengan kaedah geometri mula-mula anda perlu memahami bagaimana serenjang terletak dari satu titik ke satah: mungkin ia terletak pada satah yang mudah, ia adalah ketinggian dalam beberapa segi tiga yang mudah (atau tidak), atau mungkin serenjang ini biasanya ketinggian dalam beberapa piramid. .

Selepas peringkat pertama dan paling sukar ini, masalah itu terbahagi kepada beberapa masalah planimetrik tertentu (mungkin dalam satah yang berbeza).

Dengan cara algebra untuk mencari jarak dari titik ke satah, anda perlu memasukkan sistem koordinat, mencari koordinat titik dan persamaan satah, dan kemudian gunakan formula untuk jarak dari titik ke satah.

Universiti Teknikal Marin Negeri St. Petersburg

Jabatan Grafik Komputer dan Sokongan Maklumat

AKTIVITI 3

TUGASAN AMALI №3

Menentukan jarak dari satu titik ke garis lurus.

Anda boleh menentukan jarak antara titik dan garis lurus dengan melakukan pembinaan berikut (lihat Rajah 1):

dari satu titik DARI jatuhkan serenjang dengan garis lurus a;

menandakan satu titik Kepada persilangan serenjang dengan garis lurus;

ukur panjang potongan KS, yang permulaannya ialah titik yang diberikan, dan yang penghujungnya ialah titik persilangan yang ditanda.

Rajah 1. Jarak dari titik ke garis.

Asas untuk menyelesaikan masalah jenis ini ialah peraturan unjuran sudut tepat: sudut tegak diunjurkan tanpa herotan jika sekurang-kurangnya satu sisinya selari dengan satah unjuran(iaitu menduduki jawatan peribadi). Mari kita mulakan dengan hanya kes sedemikian dan pertimbangkan pembinaan untuk menentukan jarak dari titik DARI kepada garis lurus AB.

Tiada kes ujian dalam tugasan ini dan pilihan untuk melaksanakan tugas individu diberikan jadual1 dan jadual2. Penyelesaian masalah diterangkan di bawah, dan pembinaan yang sepadan ditunjukkan dalam Rajah.2.

1. Menentukan jarak dari satu titik ke garisan kedudukan tertentu.

Pertama, unjuran titik dan segmen dibina. Unjuran A1B1 selari dengan paksi X. Ini bermakna bahawa pemotongan AB selari dengan kapal terbang P2. Jika dari satu titik DARI lukis serenjang dengan AB, kemudian sudut tepat diunjurkan tanpa herotan tepat ke atas satah P2. Ini membolehkan anda melukis serenjang dari titik C2 pada unjuran A2B2.

Menu lungsur turun Lukisan Garisan (Lukis- barisan) . Tetapkan kursor ke titik C2 dan menetapkannya sebagai titik pertama segmen. Gerakkan kursor ke arah normal ke segmen A2B2 dan betulkan titik kedua padanya semasa gesaan muncul Biasa (Serenjang) . Tentukan titik yang dibina K2. Dayakan Mod ORTHO(ORTHO) , dan dari sudut K2 lukis garis sambungan menegak ke persimpangan dengan unjuran A1 B1. Titik persilangan dilambangkan dengan K1. titik Kepada berbaring di segmen AB, ialah titik persilangan serenjang yang dilukis dari titik itu DARI, dengan segmen AB. Oleh itu, pemotongan KS ialah jarak yang dikehendaki dari titik ke garisan.

Ia boleh dilihat daripada pembinaan yang segmen KS menduduki kedudukan umum dan, oleh itu, unjurannya diputarbelitkan. Bercakap tentang jarak selalu bermakna nilai sebenar segmen menyatakan jarak. Oleh itu, kita perlu mencari nilai sebenar segmen tersebut KS, dengan menukarnya kepada kedudukan peribadi, contohnya, KS|| P1. Keputusan pembinaan ditunjukkan dalam Rajah.2.

Daripada binaan yang ditunjukkan dalam Rajah 2, kita boleh membuat kesimpulan: kedudukan tertentu garis lurus (segmen adalah selari dengan P1 atau P2) membolehkan anda membina unjuran jarak dari titik ke garis dengan cepat, tetapi ia diherotkan.

Rajah.2. Menentukan jarak dari satu titik ke garisan kedudukan tertentu.

2. Menentukan jarak dari titik ke garis kedudukan umum.

Segmen tidak selalu menduduki kedudukan tertentu dalam keadaan awal. Dengan kedudukan awal yang sama, pembinaan berikut dilakukan untuk menentukan jarak dari titik ke garis:

a) menggunakan kaedah transformasi lukisan, tukar segmen daripada kedudukan umum kepada kedudukan persendirian - ini akan membolehkan anda membina unjuran jarak (terherot);

b) menggunakan kaedah untuk kali kedua, terjemahkan segmen yang sepadan dengan jarak yang diperlukan ke kedudukan tertentu - kita akan mendapat unjuran jarak dari segi nilai yang sama dengan yang sebenar.

Pertimbangkan urutan binaan untuk menentukan jarak dari suatu titik DAN sehingga segmen dalam kedudukan umum matahari(Gamb. 3).

Pada putaran pertama adalah perlu untuk mendapatkan kedudukan segmen tertentu ATC. Untuk melakukan ini, dalam lapisan TMR perlu menyambung titik DALAM 2, C2 dan A2. Menggunakan arahan Edit-Putar (Ubah suai – Putar) segi tiga B2C2A2 berputar mengelilingi satu titik C2 ke titik di mana unjuran baru B2*C2 akan diletakkan secara mendatar (titik DARI tidak bergerak dan, oleh itu, unjuran baharunya bertepatan dengan yang asal dan tatatanda C2* dan C1* mungkin tidak ditunjukkan pada lukisan). Hasilnya, unjuran baharu segmen akan diperolehi B2*C2 dan mata: A2*. Datang dari mata A2* dan DALAM 2* dilukis secara menegak, dan dari titik DALAM 1 dan A1 talian komunikasi mendatar. Persilangan garisan yang sepadan akan menentukan kedudukan titik unjuran mendatar baharu: segmen B1*C1 dan mata A1*.

Dalam kedudukan tertentu yang terhasil, anda boleh membina unjuran jarak untuk ini: dari titik A1* membina normal kepada B1*C1. Titik persimpangan antara mereka - K1*. Garis sambungan menegak dilukis dari titik ini ke persimpangan dengan unjuran B2*C2. Titik yang ditanda K2*. Akibatnya, unjuran segmen AK, iaitu jarak yang diingini dari titik DAN kepada garis lurus matahari.

Seterusnya, anda perlu membina unjuran jarak dalam keadaan awal. Untuk ini, dari sudut K1* adalah mudah untuk melukis garisan mendatar ke persimpangan dengan unjuran B1C1 dan tandakan titik persimpangan K1. Kemudian satu titik dibina K2 pada unjuran hadapan segmen dan unjuran dijalankan A1K1 dan A2K2. Hasil daripada pembinaan, unjuran jarak diperolehi, tetapi kedua-duanya pada awal dan dalam kedudukan khusus segmen yang baharu. matahari, segmen garisan AK menduduki kedudukan umum, dan ini membawa kepada fakta bahawa semua unjurannya diputarbelitkan.

Pada putaran kedua segmen perlu diputar AK ke kedudukan tertentu, yang akan membolehkan anda menentukan nilai sebenar jarak - unjuran A2*K2**. Keputusan semua pembinaan ditunjukkan dalam Rajah.3.

TUGASAN №3-1. DARI kepada garis lurus kedudukan peribadi, diberikan oleh segmen AB. Berikan jawapan anda dalam mm (Jadual 1).Keluarkan garis unjuran

Jadual 1

TUGASAN №3-2. Cari jarak sebenar dari satu titik M kepada garis lurus dalam kedudukan umum yang diberikan oleh segmen ED. Berikan jawapan anda dalam mm (jadual 2).

jadual 2

Menyemak dan mengkreditkan TUGASAN No. 3 yang lengkap.

Artikel ini membincangkan topik tersebut « jarak dari titik ke garis », takrifan jarak dari titik ke garisan dipertimbangkan dengan contoh bergambar dengan kaedah koordinat. Setiap blok teori pada akhir telah menunjukkan contoh penyelesaian masalah yang serupa.

Jarak dari titik ke garisan didapati dengan menentukan jarak dari titik ke titik. Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci.

Biarkan ada garis a dan titik M 1 bukan milik garisan yang diberi. Lukis garisan melaluinya berserenjang dengan garis a. Ambil titik persilangan garis sebagai H 1. Kami mendapat bahawa M 1 H 1 ialah serenjang, yang diturunkan dari titik M 1 ke garis a.

Definisi 1

Jarak dari titik M 1 ke garis lurus a dipanggil jarak antara titik M 1 dan H 1 .

Terdapat rekod definisi dengan angka panjang serenjang.

Definisi 2

Jarak dari titik ke garisan ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke garis tertentu.

Takrifan adalah setara. Pertimbangkan rajah di bawah.

Adalah diketahui bahawa jarak dari satu titik ke garis lurus adalah yang terkecil dari semua yang mungkin. Mari kita lihat ini dengan contoh.

Jika kita mengambil titik Q terletak pada garis a, tidak bertepatan dengan titik M 1, maka kita dapati bahawa segmen M 1 Q dipanggil serong, diturunkan dari M 1 ke garis a. Adalah perlu untuk menunjukkan bahawa serenjang dari titik M 1 adalah kurang daripada mana-mana serong lain yang dilukis dari titik ke garis lurus.

Untuk membuktikannya, pertimbangkan segi tiga M 1 Q 1 H 1 , di mana M 1 Q 1 ialah hipotenus. Adalah diketahui bahawa panjangnya sentiasa lebih besar daripada panjang mana-mana kaki. Oleh itu, kita mempunyai M 1 H 1 itu< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Data awal untuk mencari dari titik ke garis lurus membenarkan menggunakan beberapa kaedah penyelesaian: melalui teorem Pythagoras, takrif sinus, kosinus, tangen sudut, dan lain-lain. Kebanyakan tugasan jenis ini diselesaikan di sekolah dalam pelajaran geometri.

Apabila, apabila mencari jarak dari titik ke garisan, anda boleh memasukkan sistem koordinat segi empat tepat, maka kaedah koordinat digunakan. Dalam perenggan ini, kami mempertimbangkan dua kaedah utama untuk mencari jarak yang diingini dari titik tertentu.

Kaedah pertama melibatkan mencari jarak sebagai serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis a. Kaedah kedua menggunakan persamaan normal garis lurus a untuk mencari jarak yang diperlukan.

Jika terdapat satu titik pada satah dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) terletak dalam sistem koordinat segi empat tepat, garis lurus a, dan anda perlu mencari jarak M 1 H 1, anda boleh mengira dalam dua cara. Mari kita pertimbangkan mereka.

Cara pertama

Jika terdapat koordinat titik H 1 sama dengan x 2, y 2, maka jarak dari titik ke garis dikira dari koordinat dari formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Sekarang mari kita teruskan untuk mencari koordinat titik H 1.

Adalah diketahui bahawa garis lurus dalam O x y sepadan dengan persamaan garis lurus dalam satah. Mari kita ambil cara untuk mentakrifkan garis lurus a melalui penulisan persamaan am garis lurus atau persamaan dengan cerun. Kami menyusun persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berserenjang dengan garis a. Mari kita nyatakan baris dengan beech b . H 1 ialah titik persilangan garis a dan b, jadi untuk menentukan koordinat, anda mesti menggunakan artikel, yang berkaitan dengan koordinat titik persilangan dua baris.

Dapat dilihat bahawa algoritma untuk mencari jarak dari titik tertentu M 1 (x 1, y 1) ke garis lurus a dijalankan mengikut titik:

Definisi 3

• mencari persamaan umum garis lurus a , mempunyai bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, atau persamaan dengan pekali cerun, mempunyai bentuk y \u003d k 1 x + b 1;
• mendapatkan persamaan am garis b, yang mempunyai bentuk A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 atau persamaan dengan cerun y \u003d k 2 x + b 2 jika garis b bersilang dengan titik M 1 dan berserenjang dengan garis a;
• penentuan koordinat x 2, y 2 titik H 1, iaitu titik persilangan a dan b, untuk ini sistem diselesaikan persamaan linear A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• pengiraan jarak yang diperlukan dari satu titik ke garis lurus, menggunakan formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Cara kedua

Teorem boleh membantu menjawab soalan mencari jarak dari titik tertentu ke garis tertentu pada satah.

Teorem

Sistem koordinat segi empat tepat mempunyai O x y mempunyai titik M 1 (x 1, y 1), dari mana garis lurus dilukis a ke satah, diberikan oleh persamaan normal satah, mempunyai bentuk cos α x + cos β y - p \u003d 0, sama dengan modulo nilai yang diperoleh di sebelah kiri persamaan garis lurus normal, dikira pada x = x 1, y = y 1, bermakna M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - hlm.

Bukti

Garis a sepadan dengan persamaan normal satah, yang mempunyai bentuk cos α x + cos β y - p = 0, maka n → = (cos α , cos β) dianggap sebagai vektor normal garis a pada a jarak dari asal ke garis a dengan unit p . Ia adalah perlu untuk menggambarkan semua data dalam rajah, tambah satu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) , di mana vektor jejari titik M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Ia adalah perlu untuk melukis garis lurus dari satu titik ke garis lurus, yang akan kita nyatakan dengan M 1 H 1 . Ia adalah perlu untuk menunjukkan unjuran M 2 dan H 2 titik M 1 dan H 2 pada garis lurus yang melalui titik O dengan vektor arah dalam bentuk n → = (cos α , cos β) , dan unjuran berangka daripada vektor akan dilambangkan sebagai O M 1 → = (x 1 , y 1) ke arah n → = (cos α , cos β) sebagai n p n → O M 1 → .

Variasi bergantung pada lokasi titik M 1 itu sendiri. Pertimbangkan rajah di bawah.

Kami menetapkan keputusan menggunakan formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Kemudian kita bawa kesamaan kepada bentuk ini M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p untuk mendapatkan n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Hasil darab skalar bagi vektor menghasilkan formula berubah dalam bentuk n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , iaitu hasil darab dalam bentuk koordinat bagi bentuk n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Oleh itu, kita memperoleh bahawa n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ia berikutan bahawa M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teorem telah terbukti.

Kami mendapat bahawa untuk mencari jarak dari titik M 1 (x 1, y 1) ke garis lurus a pada satah, beberapa tindakan mesti dilakukan:

Definisi 4

• mendapatkan persamaan normal garis a cos α · x + cos β · y - p = 0, dengan syarat ia tidak berada dalam tugas;
• pengiraan ungkapan cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , di mana nilai yang terhasil mengambil M 1 H 1 .

Mari gunakan kaedah ini untuk menyelesaikan masalah dengan mencari jarak dari titik ke satah.

Contoh 1

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 1 , 2) ke garis 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Keputusan

Mari gunakan kaedah pertama untuk menyelesaikannya.

Untuk melakukan ini, anda perlu mencari persamaan am bagi garis b, yang melalui titik tertentu M 1 (- 1 , 2) berserenjang dengan garis 4 x - 3 y + 35 = 0 . Ia boleh dilihat daripada keadaan garis b berserenjang dengan garis a, maka vektor arahnya mempunyai koordinat sama dengan (4, - 3) . Oleh itu, kita mempunyai peluang untuk menulis persamaan kanonik bagi garis b pada satah, kerana terdapat koordinat titik M 1, tergolong dalam garis b. Mari kita tentukan koordinat bagi vektor arah bagi garis lurus b . Kami mendapat bahawa x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Persamaan kanonik yang terhasil mesti ditukar kepada persamaan umum. Kemudian kita dapat itu

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Mari cari koordinat titik persilangan garis, yang akan kita ambil sebagai sebutan H 1. Transformasi kelihatan seperti ini:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Daripada perkara di atas, kita mempunyai bahawa koordinat titik H 1 ialah (- 5; 5) .

Adalah perlu untuk mengira jarak dari titik M 1 ke garis lurus a. Kami mempunyai koordinat titik M 1 (- 1, 2) dan H 1 (- 5, 5), kemudian kami menggantikan ke dalam formula untuk mencari jarak dan kami mendapatnya

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Penyelesaian kedua.

Untuk menyelesaikan dengan cara lain, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis lurus. Kami mengira nilai faktor penormalan dan darab kedua-dua belah persamaan 4 x - 3 y + 35 = 0 . Dari sini kita dapati bahawa faktor penormalan ialah - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , dan persamaan normalnya ialah dalam bentuk - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Menurut algoritma pengiraan, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis lurus dan mengiranya dengan nilai x = - 1 , y = 2 . Kemudian kita mendapat itu

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Dari sini kita dapati bahawa jarak dari titik M 1 (- 1 , 2) ke garis lurus yang diberi 4 x - 3 y + 35 = 0 mempunyai nilai - 5 = 5 .

Jawapan: 5 .

Ia dilihat bahawa dalam kaedah ini adalah penting untuk menggunakan persamaan normal garis lurus, kerana kaedah ini adalah yang paling pendek. Tetapi kaedah pertama adalah mudah kerana ia konsisten dan logik, walaupun ia mempunyai lebih banyak titik pengiraan.

Contoh 2

Pada satah itu terdapat sistem koordinat segi empat tepat O x y dengan titik M 1 (8, 0) dan garis lurus y = 1 2 x + 1. Cari jarak dari titik tertentu ke garis lurus.

Keputusan

Penyelesaian dengan cara pertama membayangkan pengurangan persamaan yang diberikan dengan kecerunan kepada persamaan Pandangan umum. Untuk memudahkan, anda boleh melakukannya secara berbeza.

Jika hasil darab cerun garis serenjang mempunyai nilai - 1, maka cerun garis berserenjang dengan y = 1 2 x + 1 yang diberi mempunyai nilai 2 . Sekarang kita mendapat persamaan garis lurus yang melalui titik dengan koordinat M 1 (8, 0) . Kami mempunyai y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Kami meneruskan untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan y \u003d - 2 x + 16 dan y \u003d 1 2 x + 1. Kami menyusun sistem persamaan dan mendapatkan:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Ia berikutan bahawa jarak dari titik dengan koordinat M 1 (8 , 0) ke garis y = 1 2 x + 1 adalah sama dengan jarak dari titik mula dan titik akhir dengan koordinat M 1 (8 , 0) dan H 1 (6, 4) . Mari kita hitung dan dapatkan bahawa M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Penyelesaian dalam cara kedua adalah untuk lulus dari persamaan dengan pekali ke bentuk normalnya. Iaitu, kita mendapat y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, maka nilai faktor normalisasi ialah - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Ia berikutan bahawa persamaan normal garis lurus mengambil bentuk - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Mari kita hitung dari titik M 1 8 , 0 kepada garis lurus dalam bentuk - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Kita mendapatkan:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Jawapan: 2 5 .

Contoh 3

Ia adalah perlu untuk mengira jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 2 , 4) ke garis lurus 2 x - 3 = 0 dan y + 1 = 0 .

Keputusan

Kami mendapat persamaan bentuk normal garis lurus 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Kemudian kita teruskan untuk mengira jarak dari titik M 1 - 2, 4 ke garis lurus x - 3 2 = 0. Kita mendapatkan:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Persamaan garis lurus y + 1 = 0 mempunyai faktor penormalan dengan nilai -1. Ini bermakna persamaan akan mengambil bentuk - y - 1 = 0 . Kami meneruskan untuk mengira jarak dari titik M 1 (- 2 , 4) ke garis lurus - y - 1 = 0 . Kami mendapat bahawa ia sama dengan - 4 - 1 = 5.

Jawapan: 3 1 2 dan 5 .

Mari kita pertimbangkan secara terperinci penentuan jarak dari titik tertentu pada satah ke paksi koordinat O x dan O y.

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, paksi O y mempunyai persamaan garis lurus, yang tidak lengkap dan mempunyai bentuk x \u003d 0, dan O x - y \u003d 0. Persamaan adalah normal untuk paksi koordinat, maka perlu mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 x 1 , y 1 ke garis lurus. Ini dilakukan berdasarkan formula M 1 H 1 = x 1 dan M 1 H 1 = y 1 . Pertimbangkan rajah di bawah.

Contoh 4

Cari jarak dari titik M 1 (6, - 7) ke garis koordinat yang terletak dalam satah O x y.

Keputusan

Oleh kerana persamaan y \u003d 0 merujuk kepada garis O x, anda boleh mencari jarak dari M 1 dengan koordinat yang diberikan kepada garis ini menggunakan formula. Kami mendapat bahawa 6 = 6 .

Oleh kerana persamaan x \u003d 0 merujuk kepada garis O y, anda boleh mencari jarak dari M 1 ke garis ini menggunakan formula. Kemudian kita mendapat bahawa - 7 = 7 .

Jawapan: jarak dari M 1 ke O x mempunyai nilai 6, dan dari M 1 ke O y mempunyai nilai 7.

Apabila dalam ruang tiga dimensi kita mempunyai titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1), adalah perlu untuk mencari jarak dari titik A ke garis a.

Pertimbangkan dua cara yang membolehkan anda mengira jarak dari satu titik ke garis lurus yang terletak di angkasa. Kes pertama mempertimbangkan jarak dari titik M 1 ke garis, di mana titik pada garis dipanggil H 1 dan merupakan tapak serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke garis a. Kes kedua menunjukkan bahawa titik satah ini mesti dicari sebagai ketinggian segi empat selari.

Cara pertama

Daripada definisi, kita mempunyai bahawa jarak dari titik M 1 yang terletak pada garis lurus a ialah panjang serenjang M 1 H 1, maka kita dapati dengan koordinat titik H 1 yang ditemui, maka kita dapati jarak antara M 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan H 1 (x 1, y 1, z 1) berdasarkan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Kami mendapat bahawa keseluruhan penyelesaian pergi untuk mencari koordinat asas serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis a. Ini dilakukan seperti berikut: H 1 ialah titik di mana garis a bersilang dengan satah yang melalui titik yang diberi.

Ini bermakna bahawa algoritma untuk menentukan jarak dari titik M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garis lurus a ruang membayangkan beberapa titik:

Definisi 5

• merangka persamaan satah χ sebagai persamaan satah yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis;
• penentuan koordinat (x 2 , y 2 , z 2) kepunyaan titik H 1 iaitu titik persilangan garis a dan satah χ ;
• pengiraan jarak dari titik ke garis menggunakan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Cara kedua

Daripada keadaan kita mempunyai garis a, maka kita boleh menentukan vektor arah a → = a x, a y, a z dengan koordinat x 3, y 3, z 3 dan titik tertentu M 3 kepunyaan garis a. Diberi koordinat titik M 1 (x 1 , y 1) dan M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → boleh dikira:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Adalah perlu untuk menangguhkan vektor a → \u003d a x, a y, a z dan M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 dari titik M 3, sambung dan dapatkan rajah selari. M 1 H 1 ialah ketinggian segi empat selari.

Pertimbangkan rajah di bawah.

Kami mempunyai ketinggian M 1 H 1 ialah jarak yang dikehendaki, maka anda perlu mencarinya menggunakan formula. Iaitu, kita sedang mencari M 1 H 1 .

Nyatakan luas segi empat selari dengan huruf S, didapati dengan formula menggunakan vektor a → = (a x , a y , a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Rumus luas mempunyai bentuk S = a → × M 3 M 1 → . Juga, luas rajah adalah sama dengan hasil darab panjang sisi dan ketinggiannya, kita dapati bahawa S \u003d a → M 1 H 1 dengan → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, iaitu panjang vektor a → \u003d (a x, a y, a z) , sedang sisi yang sama segi empat selari. Oleh itu, M 1 H 1 ialah jarak dari titik ke garis. Ia didapati dengan formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Untuk mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garis lurus a dalam ruang, anda perlu melakukan beberapa titik algoritma:

Definisi 6

• penentuan vektor arah garis lurus a - a → = (a x , a y , a z) ;
• pengiraan panjang vektor arah a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• mendapatkan koordinat x 3 , y 3 , z 3 kepunyaan titik M 3 yang terletak pada garis a;
• pengiraan koordinat vektor M 3 M 1 → ;
• mencari produk vektor vektor a → (a x , a y , a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 sebagai → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 untuk mendapatkan panjang mengikut formula a → × M 3 M 1 → ;
• pengiraan jarak dari satu titik ke garis M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Menyelesaikan masalah mencari jarak dari titik tertentu ke garis lurus tertentu dalam ruang

Contoh 5

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 2 , - 4 , - 1 ke garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Keputusan

Kaedah pertama bermula dengan menulis persamaan satah χ melalui M 1 dan berserenjang dengan titik tertentu. Kami mendapat ungkapan seperti:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan dengan satah χ kepada garis lurus yang diberikan oleh keadaan. Ia adalah perlu untuk bergerak dari bentuk kanonik kepada yang bersilang. Kemudian kita mendapat sistem persamaan bentuk:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Adalah perlu untuk mengira sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 dengan kaedah Cramer, maka kita dapati bahawa:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Oleh itu kita mempunyai H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Kaedah kedua mesti dimulakan dengan mencari koordinat dalam persamaan kanonik. Untuk melakukan ini, perhatikan penyebut pecahan. Maka a → = 2 , - 1 , 5 ialah vektor arah bagi garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Ia adalah perlu untuk mengira panjang menggunakan formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jelas bahawa garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 bersilang dengan titik M 3 (- 1 , 0 , - 5), maka kita mempunyai bahawa vektor dengan asalan M 3 (- 1 , 0 , - 5) dan hujungnya pada titik M 1 2 , - 4 , - 1 ialah M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Cari hasil darab vektor a → = (2, - 1, 5) dan M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Kami mendapat ungkapan bentuk a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

kita dapati bahawa panjang hasil silang ialah a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Kami mempunyai semua data untuk menggunakan formula untuk mengira jarak dari titik untuk garis lurus, jadi kami menggunakannya dan mendapatkan:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Jawapan: 11 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

pengenalan

Dalam kerja kursus ini, saya mempertimbangkan topik "jarak dari titik ke garisan": definisi jarak dari titik ke garis diberikan, ilustrasi grafik diberikan. Mencari jarak dari titik ke garis lurus pada satah dan dalam angkasa dengan kaedah koordinat dianalisis. Selepas setiap blok teori, penyelesaian terperinci contoh dan masalah untuk mencari jarak dari titik ke garis ditunjukkan.

Jarak dari titik ke garis - definisi

Biarkan garis a dan titik M 1 tidak terletak pada garis a diberikan pada satah atau dalam ruang tiga dimensi. Mari kita lukis garis b melalui titik M 1 berserenjang dengan garis a. Mari kita nyatakan titik persilangan garis a dan b sebagai H 1 . Segmen M 1 H 1 dipanggil serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke garis a.

Definisi.

Jarak dari titik M 1 ke garis a ialah jarak antara titik M 1 dan H 1 .

Walau bagaimanapun, takrifan jarak dari titik ke garis adalah lebih biasa, di mana panjang serenjang muncul.

Definisi.

Jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke garis tertentu.

Takrifan ini bersamaan dengan takrifan pertama jarak dari titik ke garis.

Gambar 1

Perhatikan bahawa jarak dari titik ke garis adalah jarak terkecil dari titik itu ke titik pada garis yang diberikan. Jom tunjuk.

Ambil satu titik Q pada garis a yang tidak bertepatan dengan titik M 1 . Segmen M 1 Q dipanggil serong, dilukis dari titik M 1 ke garis lurus a. Kita perlu menunjukkan bahawa serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke garis a adalah kurang daripada sebarang serong yang dilukis dari titik M 1 ke garis a. Ini benar: segi tiga M 1 QH 1 adalah bersudut tegak dengan hipotenus M 1 Q, dan panjang hipotenus sentiasa lebih besar daripada panjang mana-mana kaki, oleh itu, .