Fungsi binaan
Kami menawarkan kepada perhatian anda perkhidmatan untuk membina graf fungsi dalam talian, semua hak yang dimiliki oleh syarikat Desmos. Gunakan lajur kiri untuk memasukkan fungsi. Anda boleh memasukkan secara manual atau menggunakan papan kekunci maya di bahagian bawah tetingkap. Untuk membesarkan tetingkap dengan graf, anda boleh menyembunyikan kedua-dua lajur kiri dan papan kekunci maya.
Faedah carta dalam talian
- Paparan visual fungsi yang dimasukkan
- Membina graf yang sangat kompleks
- Pembinaan graf yang dinyatakan secara tersirat (contohnya, elips x^2/9+y^2/16=1)
- Keupayaan untuk menyimpan carta dan menerima pautan kepadanya, yang tersedia untuk semua orang di Internet
- Kawalan skala, warna garisan
- Kemungkinan memplot graf mengikut titik, menggunakan pemalar
- Memplot beberapa graf fungsi secara serentak
- Memplot dalam koordinat kutub (gunakan r dan θ(\theta))
Dengan kami adalah mudah untuk membina carta pelbagai kerumitan dalam talian. Pembinaan dilakukan serta-merta. Perkhidmatan ini diperlukan untuk mencari titik persilangan fungsi, untuk menggambarkan graf untuk mengalihkannya ke dalam dokumen Word sebagai ilustrasi semasa menyelesaikan masalah, dan untuk menganalisis ciri tingkah laku graf fungsi. Penyemak imbas yang optimum untuk bekerja dengan carta pada halaman tapak ini ialah Google Chrome. Operasi yang betul tidak dijamin apabila menggunakan pelayar lain.
Membina graf fungsi yang mengandungi modul biasanya menyebabkan kesukaran yang besar untuk pelajar sekolah. Walau bagaimanapun, semuanya tidak begitu buruk. Ia cukup untuk mengingati beberapa algoritma untuk menyelesaikan masalah sedemikian, dan anda boleh membina graf dengan mudah walaupun untuk yang paling kelihatan. fungsi kompleks. Mari kita fikirkan jenis algoritma ini.
1. Memplot graf bagi fungsi y = |f(x)|
Ambil perhatian bahawa set nilai fungsi y = |f(x)| : y ≥ 0. Oleh itu, graf bagi fungsi tersebut sentiasa terletak sepenuhnya pada separuh satah atas.
Memplot graf bagi fungsi y = |f(x)| terdiri daripada empat langkah mudah berikut.
1) Bina graf fungsi y = f(x) dengan teliti dan teliti.
2) Biarkan tidak berubah semua titik pada graf di atas atau pada paksi 0x.
3) Paparkan bahagian graf yang terletak di bawah paksi 0x secara simetri berbanding paksi 0x.
Contoh 1. Lukiskan graf bagi fungsi y = |x 2 – 4x + 3|
1) Kami membina graf bagi fungsi y = x 2 – 4x + 3. Jelas sekali, graf bagi fungsi ini ialah parabola. Mari cari koordinat semua titik persilangan parabola dengan paksi koordinat dan koordinat bucu parabola.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Oleh itu, parabola memotong paksi 0x pada titik (3, 0) dan (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Oleh itu, parabola memotong paksi 0y pada titik (0, 3).
Koordinat puncak parabola:
x dalam = -(-4/2) = 2, y dalam = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Oleh itu, titik (2, -1) ialah puncak parabola ini.
Lukiskan parabola menggunakan data yang diperoleh (Rajah 1)
2) Bahagian graf yang terletak di bawah paksi 0x dipaparkan secara simetri berbanding paksi 0x.
3) Kami mendapat graf fungsi asal ( nasi. 2, ditunjukkan dalam garis putus-putus).
2. Memplot fungsi y = f(|x|)
Perhatikan bahawa fungsi bentuk y = f(|x|) adalah genap:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Ini bermakna graf bagi fungsi tersebut adalah simetri tentang paksi 0y.
Memplot graf bagi fungsi y = f(|x|) terdiri daripada rantaian tindakan mudah berikut.
1) Graf fungsi y = f(x).
2) Biarkan bahagian graf yang x ≥ 0, iaitu bahagian graf yang terletak di separuh satah kanan.
3) Paparkan bahagian graf yang dinyatakan dalam titik (2) secara simetri kepada paksi 0y.
4) Sebagai graf akhir, pilih gabungan lengkung yang diperoleh dalam titik (2) dan (3).
Contoh 2. Lukiskan graf bagi fungsi y = x 2 – 4 · |x| + 3
Oleh kerana x 2 = |x| 2, maka fungsi asal boleh ditulis semula sebagai borang berikut: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Sekarang kita boleh menggunakan algoritma yang dicadangkan di atas.
1) Kami dengan teliti dan teliti membina graf bagi fungsi y = x 2 – 4 x + 3 (lihat juga nasi. 1).
2) Kami meninggalkan bahagian graf yang x ≥ 0, iaitu bahagian graf yang terletak di separuh satah kanan.
3) Paparkan bahagian kanan graf secara simetri kepada paksi 0y.
(Gamb. 3).
Contoh 3. Lukiskan graf bagi fungsi y = log 2 |x|
Kami menggunakan skim yang diberikan di atas.
1) Graf fungsi y = log 2 x (Gamb. 4).
3. Memplot fungsi y = |f(|x|)|
Perhatikan bahawa fungsi bentuk y = |f(|x|)| adalah juga sekata. Sesungguhnya, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), dan oleh itu, graf mereka adalah simetri tentang paksi 0y. Set nilai fungsi tersebut: y ≥ 0. Ini bermakna graf bagi fungsi tersebut terletak sepenuhnya pada separuh satah atas.
Untuk memplot fungsi y = |f(|x|)|, anda perlu:
1) Berhati-hati bina graf bagi fungsi y = f(|x|).
2) Biarkan bahagian graf di atas atau pada paksi 0x tidak berubah.
3) Paparkan bahagian graf yang terletak di bawah paksi 0x secara simetri berbanding paksi 0x.
4) Sebagai graf akhir, pilih gabungan lengkung yang diperoleh dalam titik (2) dan (3).
Contoh 4. Lukiskan graf bagi fungsi y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Ambil perhatian bahawa x 2 = |x| 2. Ini bermakna bukannya fungsi asal y = -x 2 + 2|x| - 1
anda boleh menggunakan fungsi y = -|x| 2 + 2|x| – 1, kerana graf mereka bertepatan.
Kami membina graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Untuk ini kami menggunakan algoritma 2.
a) Graf fungsi y = -x 2 + 2x – 1 (Gamb. 6).
b) Kami meninggalkan bahagian graf yang terletak di separuh satah kanan.
c) Kami memaparkan bahagian graf yang terhasil secara simetri kepada paksi 0y.
d) Graf yang terhasil ditunjukkan dalam garis putus-putus dalam rajah (Gamb. 7).
2) Tiada titik di atas paksi 0x; kita biarkan mata pada paksi 0x tidak berubah.
3) Bahagian graf yang terletak di bawah paksi 0x dipaparkan secara simetri berbanding 0x.
4) Graf yang terhasil ditunjukkan dalam rajah dengan garis putus-putus (Gamb. 8).
Contoh 5. Graf fungsi y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Mula-mula anda perlu memplot fungsi y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Untuk melakukan ini, kita kembali ke Algoritma 2.
a) Plot dengan teliti fungsi y = (2x – 4) / (x + 3) (Gamb. 9).
Perhatikan bahawa fungsi ini adalah linear pecahan dan grafnya ialah hiperbola. Untuk memplot lengkung, anda perlu mencari asimtot graf terlebih dahulu. Mendatar – y = 2/1 (nisbah pekali x dalam pengangka dan penyebut pecahan), menegak – x = -3.
2) Kami akan membiarkan bahagian graf yang berada di atas paksi 0x atau padanya tidak berubah.
3) Bahagian graf yang terletak di bawah paksi 0x akan dipaparkan secara simetri berbanding 0x.
4) Graf akhir ditunjukkan dalam rajah (Gamb. 11).
laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.
“Logaritma semula jadi” - 0.1. Logaritma semula jadi. 4. dart logaritma. 0.04. 7.121.
"Fungsi kuasa gred 9" - U. Parabola kubik. Y = x3. Guru kelas 9 Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y = xn, y = x-n dengan n ialah yang diberi nombor asli. X. Eksponen ialah nombor asli genap (2n).
"Fungsi Kuadratik" - 1 Definisi fungsi kuadratik 2 Sifat fungsi 3 Graf fungsi 4 Ketaksamaan kuadratik 5 Kesimpulan. Sifat: Ketaksamaan: Disediakan oleh pelajar kelas 8A Andrey Gerlitz. Pelan: Graf: -Selang kemonotonan untuk a > 0 untuk a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
“Fungsi kuadratik dan grafnya” - Penyelesaian.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-milik. Apabila a=1, formula y=ax mengambil bentuk.
“Fungsi kuadratik gred 8” - 1) Bina bucu parabola. Memplot graf bagi fungsi kuadratik. x. -7. Bina graf bagi fungsi tersebut. Algebra Guru darjah 8 496 Bovina school T.V. -1. Pelan pembinaan. 2) Bina paksi simetri x=-1. y.
Fungsi y=x^2 dipanggil fungsi kuadratik. Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola. Borang am Parabola ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Fungsi kuadratik
Rajah 1. Pandangan umum parabola
Seperti yang dapat dilihat daripada graf, ia adalah simetri tentang paksi Oy. Paksi Oy dipanggil paksi simetri parabola. Ini bermakna jika anda melukis garis lurus pada graf selari dengan paksi Lembu di atas paksi ini. Kemudian ia akan memotong parabola pada dua titik. Jarak dari titik ini ke paksi Oy adalah sama.
Paksi simetri membahagikan graf parabola kepada dua bahagian. Bahagian ini dipanggil cabang parabola. Dan titik parabola yang terletak pada paksi simetri dipanggil puncak parabola. Iaitu, paksi simetri melalui puncak parabola. Koordinat titik ini ialah (0;0).
Sifat asas bagi fungsi kuadratik
1. Pada x =0, y=0, dan y>0 pada x0
2. Fungsi kuadratik mencapai nilai minimum pada puncaknya. Ymin pada x=0; Ia juga harus diperhatikan bahawa nilai maksimum fungsi tidak wujud.
3. Fungsi berkurangan pada selang (-∞;0] dan meningkat pada selang Menyelesaikan persamaan \(x"\left(t \right) = 0,\) kita tentukan titik pegun bagi fungsi \(x\ kiri(t \kanan):\ ) \[ (x"\kiri(t \kanan) = 0,)\;\; (\Anak panah Kanan 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1, 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] Untuk \ (t = 1\) fungsi \ (x\left(t \right)\) mencapai maksimum sama dengan \dan pada titik \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) yang ada minimum sama dengan \[ (x\left(( \frac(1)(3)) \right) ) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\ kiri((\frac(1)(3)) \kanan)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1 )(3) = - \frac(5)((27)).) \] Pertimbangkan terbitan \(y"\left(t \right):\) \ [ (y"\left(t \right) = ( \left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prima ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] Cari titik pegun bagi fungsi \(y \left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3 (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ ; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \ptg \sqrt (64) ))(6) = - 2 ;\;\frac(2)(3.) \] Di sini, begitu juga, fungsi \(y\left(t \right)\) mencapai maksimum pada titik \(t = -2:\) \ dan a minimum pada titik \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left( (\frac(2)(3)) \kanan)^3) + 2(\ kiri((\frac(2)(3)) \kanan)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \ ] Graf fungsi \(x\left(t \right)\), \(y\ left(t \right)\) ditunjukkan secara skematik dalam Rajah \(15a.\)
Rajah 15a |
Rajah 15b |
Rajah 15c |
Ambil perhatian bahawa sejak \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] maka lengkung \(y\left(x \right)\) tidak mempunyai kedua-dua menegak, tiada asimtot mendatar. Selain itu, sejak \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\had_(t \hingga \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \hingga \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \hingga \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (biru)(t^3)) + \warna(merah)(2(t^2)) - \warna(hijau)(4t) - \batal(\warna(biru)(t^3)) - \ warna (merah)(t^2) + \warna(hijau)(t)) \kanan) ) = (\lim\limits_(t \hingga \pm \infty ) \kiri((\warna(merah)(t^ 2 ) - \color(hijau)(3t)) \kanan) = + \infty ,) \] maka lengkung \(y\left(x \right)\) juga tidak mempunyai asimtot serong.
Mari tentukan titik persilangan graf \(y\left(x \right)\) dengan paksi koordinat. Persilangan dengan paksi-x berlaku pada titik berikut: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Anak panah kanan t\kiri(((t^2) + 2t - 4) \kanan) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Anak panah Kanan D = 4 - 4 \cdot \kiri(( - 4) \kanan) = 20,)\;\; (\ Anak panah kanan (t_(2,3)) = \besar\frac(( - 2 \ptg \sqrt (20) ))(2)\saiz normal = - 1 \ptg \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Anak panah Kanan D = 1 - 4 \cdot \kiri(( - 1) \kanan) = 5,)\;\; (\ Anak panah kanan (t_(2,3)) = \besar\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\saiz normal.) \)
Pada selang kedua \(\left(( - 2, - 1) \right)\) pembolehubah \(x\) meningkat daripada \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) kepada \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) dan pembolehubah \(y\) berkurangan daripada \(y\left((- 2) \right) = 8\) kepada \(y\left (( - 1) \kanan) = 5.\) Di sini kita mempunyai bahagian lengkung menurun \(y\left(x \right).\) Ia bersilang dengan paksi ordinat pada titik \(\left((0.3) + 2\sqrt 5 ) \kanan).\)
Dalam selang ketiga \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) kedua-dua pembolehubah berkurangan. Nilai \(x\) berubah daripada \(x\left(( - 1) \right) = 1\) kepada \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Sehubungan itu, nilai \(y\) berkurangan daripada \(y\left(( - 1) \right) = 5\) kepada \(y\ kiri((\besar\frac(1)(3)\normalsize) \kanan) = - \besar\frac(29)((27))\normalsize.\) Lengkung \(y\left(x \right)\ ) bersilang dengan asal koordinat.
Pada selang keempat \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) pembolehubah \(x\) meningkat daripada \( x\left((\besar\frac(1)(3)\normalsize) \kanan) = - \besar\frac(5)((27))\normalsize\) kepada \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) dan pembolehubah \(y\) berkurangan daripada \(y\left(( \besar\ frac(1)(3)\saiz normal) \kanan) = - \besar\frac(29)((27))\saiz normal\) kepada \(y\left((\besar\frac(2)( 3)\ saiz normal) \kanan) = - \besar\frac(40)((27))\saiz normal.\) Dalam bahagian ini, lengkung \(y\kiri(x \kanan)\) bersilang dengan paksi ordinat pada titik \(\kiri( (0.3 - 2\sqrt 5 ) \kanan).\)
Akhirnya, pada selang terakhir \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) kedua-dua fungsi \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) meningkat. Lengkung \(y\left(x \right)\) bersilang dengan paksi-x pada titik \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \lebih kurang 2.18.\)
Untuk menjelaskan bentuk lengkung \(y\left(x \right)\), mari kita hitung titik maksimum dan minimum. Derivatif \(y"\left(x \right)\) dinyatakan sebagai \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) (((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3)) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \kiri(((t^3) + (t^2) - t) \kanan))^\prima ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\batal(3)\kiri((t + 2) \kanan)\kiri((t - \frac(2)(3)) \ kanan)))((\batal(3)\kiri((t + 1) \kanan)\kiri((t - \frac(1)(3)) \kanan))) ) = (\frac(( \ kiri((t + 2) \kanan)\kiri((t - \frac(2)(3)) \kanan)))(\kiri((t + 1) \kanan)\kiri((t - \ frac(1)(3)) \kanan))).) \] Perubahan dalam tanda terbitan \(y"\left(x \right)\) ditunjukkan dalam Rajah \(15c.\) Ia boleh dilihat bahawa pada titik \(t = - 2,\) i.e. pada sempadan selang \(I\)-th dan \(II\)-th lengkung mempunyai maksimum, dan pada \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (pada sempadan selang \(IV\) ke- dan \(V\) ke-) terdapat minimum. Apabila melalui titik \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\), derivatif juga menukar tanda daripada tambah kepada tolak, tetapi di rantau ini lengkung \(y\left(x \right) \) bukan fungsi unik. Oleh itu, titik yang ditunjukkan bukanlah ekstrem.
Kami juga mengkaji kecembungan lengkung ini. Derivatif kedua\(y""\left(x \right)\) mempunyai bentuk: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \kanan))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2))) + 4t - 4) ) )(((3(t^2) + 2t - 1))) \kanan))^\prima )))((((\kiri(((t^3)) + (t^2) - t)) \ kanan ))^\prima ))) = \frac((\kiri((6t + 4) \kanan)\kiri((3(t^2) + 2t - 1) \kanan) - \kiri((3( t ^2) + 4t - 4) \kanan)\kiri((6t + 2) \kanan)))(((\kiri((3(t^2)) + 2t - 1) \kanan))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \kanan)))((((\kiri((3(t^2)) + 2t - 1) \kanan))^3))) = \ frac((\batal(\warna(biru)(18(t^3))) + \warna(merah)(24(t^2)) + \warna(hijau)(2t) - \warna(marun) ( 4) - \batal(\warna(biru)(18(t^3))) - \warna(merah)(30(t^2)) + \warna(hijau)(16t) + \warna(marun) ( 8)))((((\kiri((3(t^2))) + 2t - 1) \kanan))^3))) = \frac(( - \color(merah)(6(t^2) ) ) + \warna(hijau)(18t) + \warna(marun)(4)))((((\kiri((3(t^2)) + 2t - 1) \kanan))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105)) ) )(6)) \kanan)))((((\kiri((t + 1) \kanan))^3)((\kiri((3t - 1) \kanan))^3))). \] Akibatnya, terbitan kedua menukar tandanya kepada sebaliknya apabila melalui titik berikut (Gamb.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \kanan ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0.24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0.91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 40.1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 40.8.) \] Oleh itu, titik yang ditunjukkan mewakili titik lengkuk lengkung \(y\left( x \kanan).\)
Graf skematik lengkung \(y\left(x \right)\) ditunjukkan di atas dalam Rajah \(15b.\)