Luas segi tiga adalah sama dengan separuh hasil darab sisinya dan sinus sudut di antaranya.
Bukti:
Pertimbangkan segitiga ABC sembarangan. Biarkan sisi BC = a di dalamnya, sisi CA = b dan S ialah luas segi tiga ini. Ia adalah perlu untuk membuktikannya S = (1/2)*a*b*sin(C).
Untuk memulakan, mari kita masuk sistem segi empat tepat koordinat dan letakkan asalan pada titik C. Mari kita susun sistem koordinat kita supaya titik B terletak pada arah positif paksi Cx, dan titik A akan mempunyai ordinat positif.
Jika semuanya dilakukan dengan betul, anda harus mendapatkan angka berikut.
Luas segi tiga yang diberikan boleh dikira menggunakan formula berikut: S = (1/2)*a*h, di mana h ialah ketinggian segi tiga itu. Dalam kes kami, ketinggian segi tiga h adalah sama dengan ordinat titik A, iaitu, h \u003d b * sin (C).
Memandangkan keputusan yang diperolehi, formula untuk luas segi tiga boleh ditulis semula seperti berikut: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.
Penyelesaian masalah
Tugasan 1. Cari luas segi tiga ABC jika a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, sudut A = 60 darjah b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, sudut B= 45 darjah c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, sudut C = 48 darjah.
Menurut teorem yang dibuktikan di atas, luas S bagi segi tiga ABC adalah sama dengan:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Mari buat pengiraan:
a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.
b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.
c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.
Kami mengira nilai sinus sudut pada kalkulator atau menggunakan nilai dari jadual nilai sudut trigonometri. Jawapan:
a) 12*√6 cm^2.
c) kira-kira 36.41 cm^2.
Masalah 2. Luas segi tiga ABC ialah 60 cm^2. Cari sisi AB jika AC = 15 cm, sudut A = 30˚.
Biarkan S ialah luas segi tiga ABC. Dengan teorem luas segi tiga, kita mempunyai:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Gantikan nilai yang kita ada ke dalamnya:
60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.
Dari sini kita nyatakan panjang sisi AB: AB = (60*4)/15 = 16.
sebelah segi tiga boleh dikesan bukan sahaja di sepanjang perimeter dan kawasan, tetapi juga di sepanjang sisi dan sudut tertentu. Untuk ini, fungsi trigonometri digunakan - resdung dan co resdung. Masalah dengan aplikasinya ditemui dalam kursus geometri sekolah, serta dalam kursus universiti geometri analitik dan algebra linear.
Arahan
1. Jika salah satu sisi segitiga dan sudut di antaranya dengan sisi yang lain terkenal, gunakan fungsi trigonometri - resdung om dan bersama resdung ohm. Bayangkan segi tiga tegak HBC, yang manakah mempunyai sudut? adalah sama dengan 60 darjah. Segitiga HBC ditunjukkan dalam rajah. Disebabkan resdung, seperti yang anda ketahui, ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus, dan kepada resdung- nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus, untuk menyelesaikan masalah, gunakan hubungan selanjutnya antara parameter ini:
2. Jika, sebaliknya, kaki segi tiga diberikan dalam keadaan masalah, cari hipotenusnya, dipandu oleh hubungan lanjut antara nilai yang diberikan: BC \u003d HB / dosa? Dengan analogi, cari sisi segitiga dan menggunakan resdung a, menukar ungkapan sebelumnya dengan cara berikut: cos ?=HC/BC
3. Dalam matematik asas terdapat perwakilan teorem resdung ov. Berpandukan fakta yang diterangkan oleh teorem ini, ia juga mungkin untuk mencari sisi segitiga. Di samping itu, ia membolehkan anda mencari sisi segitiga yang tertulis dalam bulatan, jika anda mengetahui jejari yang terakhir. Untuk melakukan ini, gunakan hubungan di bawah: a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2R .
4. Di luar teorem resdung ov, terdapat juga teorem yang serupa dengannya pada dasarnya resdung ov, yang, seperti yang sebelumnya, juga boleh digunakan untuk segi tiga daripada semua 3 jenis: bersudut tegak, bersudut akut dan bersudut tumpul. Berpandukan fakta yang membuktikan teorem ini, ia dibenarkan untuk mencari kuantiti yang tidak diketahui menggunakan hubungan berikut antara mereka: c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?
Rajah geometri yang terdiri daripada tiga mata, bukan milik satu garis lurus yang dipanggil bucu, dan tiga segmen yang menghubungkannya secara berpasangan, dipanggil sisi, dipanggil segi tiga. Terdapat banyak masalah untuk mencari sisi dan sudut segitiga diberi bilangan data awal yang terhad, salah satu masalah ini ialah mencari sisi segitiga diberi satu sisi dan dua sudut .
Arahan
1. Biarkan segitiga dibina? ABC dan terkenal - sisi BC dan sudut ?? dan ??. Diketahui bahawa jumlah sudut mana-mana segi tiga ialah 180? akan sama? = 180? – (?? + ??).Adalah mungkin untuk mencari sisi AC dan AB dengan menggunakan teorem sinus, yang berbunyi AB / sin?? = BC/dosa?? = AC/dosa?? \u003d 2 * R, di mana R ialah jejari segitiga yang dikelilingi? Bulatan ABC, maka kita mendapat R \u003d BC / sin??, AB \u003d 2 * R * sin??, AC \u003d 2 * R * sin ??. Teorem sinus boleh digunakan untuk mana-mana 2 sudut dan satu sisi.
2. Sisi segitiga tertentu boleh didapati dengan mengira luasnya menggunakan formula S \u003d 2 * R? *dosa?? *dosa?? * sin??, di mana R dikira dengan formula R = BC / sin??, R ialah jejari bagi segi tiga berhad? ABC dari siniKemudian sebelah AB boleh didapati dengan mengira ketinggian yang dijatuhkan padanya h = BC * sin??, daripada formula S = 1/2 * h * AB kita mempunyai AB = 2 * S / h sebelah AC.
3. Jika sudut diberi sudut luar segi tiga?? dan ??, kemudian temui sudut dalaman dibenarkan dengan sokongan nisbah yang sesuai?? = 180? – ??,?? = 180? – ??,?? = 180? – (?? + ??) Kemudian kita bertindak seperti dua mata pertama.
Pemahaman segitiga telah dijalankan oleh ahli matematik selama beberapa milenium. Sains segi tiga - trigonometri - menggunakan kuantiti khas: sinus dan kosinus.
Segitiga kanan
Pada mulanya, sinus dan kosinus muncul kerana keperluan untuk mengira kuantiti dalam segi tiga tepat. Adalah diperhatikan bahawa jika nilai ukuran darjah sudut dalam segi tiga tegak tidak diubah, maka nisbah aspek, tidak kira bagaimana sisi ini berubah panjang, kekal sentiasa sama. Beginilah gambaran sinus dan kosinus diperkenalkan. Sinus sudut akut dalam segi tiga tepat ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus, dan kosinus ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.
Teorem kosinus dan sinus
Tetapi kosinus dan sinus boleh digunakan bukan sahaja dalam segi tiga tepat. Untuk mengetahui nilai sudut tumpul atau akut, sisi mana-mana segi tiga, cukup untuk menggunakan teorem kosinus dan sinus. Teorem kosinus adalah agak primitif: "Kuasa dua sisi segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua bagi 2 sisi yang lain tolak hasil darab sisi-sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka.” Terdapat dua tafsiran teorem sinus: kecil dan lanjutan. Menurut yang kecil: "Dalam segitiga, sudut adalah berkadar dengan sisi bertentangan." Teorem ini sering diperluaskan kerana sifat bulatan segitiga: "Dalam segi tiga, sudut adalah berkadar dengan sisi bertentangan, dan nisbahnya adalah sama dengan diameter bulatan yang dikelilingi."
Derivatif
Derivatif ialah alat matematik yang menunjukkan betapa cepatnya fungsi berubah berkenaan dengan metamorfosis hujahnya. Derivatif digunakan dalam algebra, geometri, ekonomi dan fizik, dan dalam beberapa disiplin teknikal. Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu mengetahui nilai jadual derivatif fungsi trigonometri: sinus dan kosinus. Terbitan sinus ialah kosinus, dan terbitan kosinus ialah sinus, tetapi dengan tanda tolak.
Aplikasi dalam matematik
Selalunya, sinus dan kosinus digunakan dalam menyelesaikan segi tiga bersudut tegak dan masalah yang berkaitan dengannya. Kemudahan sinus dan kosinus mendapati pantulannya dalam teknologi. Adalah primitif untuk menganggar sudut dan sisi menggunakan teorem kosinus dan sinus, memecahkan angka dan objek yang sukar kepada segi tiga "primitif". Jurutera dan arkitek, sering berurusan dengan nisbah bidang dan darjah, menghabiskan banyak masa dan usaha untuk mengira kosinus dan sinus sudut bukan jadual. Kemudian jadual Bradis datang untuk menyelamatkan, mengandungi beribu-ribu nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen pelbagai sudut. Pada zaman Soviet, beberapa guru memaksa anak jagaan mereka untuk menghafal halaman jadual Bradis.
Sinus adalah salah satu fungsi trigonometri asas, aplikasinya tidak terhad kepada geometri sahaja. Jadual untuk mengira fungsi trigonometri, seperti kalkulator kejuruteraan, tidak selalu tersedia, dan pengiraan sinus kadangkala diperlukan untuk menyelesaikan pelbagai tugas. Secara umumnya, pengiraan sinus akan membantu untuk menyatukan kemahiran lukisan dan pengetahuan identiti trigonometri.
Permainan pembaris dan pensel
Tugas mudah: bagaimana untuk mencari sinus sudut yang dilukis di atas kertas? Untuk menyelesaikannya, anda memerlukan pembaris biasa, segitiga (atau kompas) dan pensel. Cara paling mudah untuk mengira sinus sudut ialah membahagikan kaki jauh segitiga dengan sudut tegak dengan sisi panjang- hipotenus. Oleh itu, mula-mula anda perlu melengkapkan sudut akut kepada rajah segi tiga tepat dengan melukis garis berserenjang dengan salah satu sinar pada jarak sewenang-wenangnya dari bucu sudut. Adalah perlu untuk memerhatikan sudut tepat 90 °, yang mana kita memerlukan segitiga perkeranian.
Menggunakan kompas adalah sedikit lebih tepat, tetapi akan mengambil masa yang lebih lama. Pada salah satu sinar, anda perlu menandakan 2 titik pada jarak tertentu, tetapkan jejari pada kompas kira-kira sama dengan jarak antara titik, dan lukis separuh bulatan dengan pusat pada titik ini sehingga garisan ini bersilang. Dengan menyambungkan titik persilangan bulatan kita antara satu sama lain, kita akan mendapat serenjang yang ketat dengan sinar sudut kita, ia kekal hanya untuk memanjangkan garis sehingga ia bersilang dengan sinar lain.
Dalam segi tiga yang terhasil, anda perlu mengukur sisi yang bertentangan dengan sudut dan sisi panjang pada salah satu sinar dengan pembaris. Nisbah ukuran pertama kepada yang kedua akan menjadi nilai sinus sudut akut yang dikehendaki.
Cari sinus untuk sudut yang lebih besar daripada 90°
Untuk sudut tumpul, tugasnya tidaklah lebih sukar. Ia adalah perlu untuk melukis sinar dari bucu dalam arah yang bertentangan menggunakan pembaris untuk membentuk garis lurus dengan salah satu sinar sudut yang kita minati. Dengan sudut akut yang terhasil, teruskan seperti yang diterangkan di atas, sinus sudut bersebelahan, membentuk bersama-sama sudut maju 180 °, adalah sama.
Mengira sinus daripada fungsi trigonometri yang lain
Juga, pengiraan sinus adalah mungkin jika nilai fungsi trigonometri lain sudut atau sekurang-kurangnya panjang sisi segitiga diketahui. Identiti trigonometri akan membantu kita dengan ini. Mari lihat contoh biasa.
Bagaimana untuk mencari sinus dengan kosinus sudut yang diketahui? Identiti trigonometri pertama, yang berasal dari teorem Pythagoras, mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut yang sama adalah sama dengan satu.
Bagaimana untuk mencari sinus dengan tangen sudut yang diketahui? Tangen diperoleh dengan membahagikan kaki jauh dengan yang dekat atau dengan membahagi sinus dengan kosinus. Oleh itu, sinus akan menjadi hasil darab kosinus dan tangen, dan kuasa dua sinus akan menjadi kuasa dua produk ini. Kami menggantikan kosinus kuasa dua dengan perbezaan antara perpaduan dan sinus persegi mengikut identiti trigonometri pertama dan, melalui manipulasi mudah, kami membawa persamaan untuk mengira sinus persegi melalui tangen, masing-masing, untuk mengira sinus, anda perlu ekstrak akar daripada hasil yang diperolehi.
Bagaimana untuk mencari sinus dengan kotangen sudut yang diketahui? Nilai kotangen boleh dikira dengan membahagikan panjang yang dekat dari sudut kaki dengan panjang yang jauh, dan juga membahagikan kosinus dengan sinus, iaitu, kotangen ialah fungsi songsang tangen dengan berkenaan dengan nombor 1. Untuk mengira sinus, anda boleh mengira tangen menggunakan formula tg α \u003d 1 / ctg α dan gunakan formula dalam pilihan kedua. Anda juga boleh memperoleh formula langsung dengan analogi dengan tangen, yang akan kelihatan seperti ini.
Bagaimana untuk mencari sinus bagi tiga sisi segitiga
Terdapat formula untuk mencari panjang sisi yang tidak diketahui mana-mana segitiga, bukan hanya segi tiga tegak, diberikan dua sisi yang diketahui menggunakan fungsi trigonometri kosinus sudut bertentangan. Dia kelihatan seperti ini.
Jika masalah diberikan panjang dua sisi segitiga dan sudut di antara mereka, maka anda boleh menggunakan formula untuk luas segi tiga melalui sinus.
Contoh pengiraan luas segi tiga menggunakan sinus. Diberi sisi a = 3, b = 4, dan sudut γ= 30°. Sinus bagi sudut 30° ialah 0.5 
Luas segi tiga itu ialah 3 persegi. cm.
Mungkin juga ada syarat lain. Jika panjang satu sisi dan sudut diberikan, maka pertama anda perlu mengira sudut yang hilang. Kerana jumlah semua sudut segitiga ialah 180°, maka:
Luasnya akan sama dengan separuh segi empat sama sisi yang didarab dengan pecahan. Dalam pengangkanya ialah hasil daripada sinus sudut bersebelahan, dan dalam penyebutnya ialah sinus sudut bertentangan. Sekarang kita mengira kawasan menggunakan formula berikut:
Sebagai contoh, diberi segitiga dengan sisi a=3 dan sudut γ=60°, β=60°. Hitung sudut ketiga: 
Menggantikan data ke dalam formula
Kami mendapat bahawa luas segi tiga ialah 3.87 meter persegi. cm.
II. Luas segi tiga dari segi kosinus
Untuk mencari luas segi tiga, anda perlu mengetahui panjang semua sisi. Dengan teorem kosinus, anda boleh mencari sisi yang tidak diketahui, dan hanya kemudian gunakan .
Menurut undang-undang kosinus, kuasa dua sisi yang tidak diketahui segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua sisi yang tinggal tolak dua kali hasil darab sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka.
Daripada teorem kita memperoleh formula untuk mencari panjang sisi yang tidak diketahui:
Mengetahui cara mencari bahagian yang hilang, mempunyai dua sisi dan sudut di antara mereka, anda boleh mengira kawasan dengan mudah. Formula untuk luas segi tiga dari segi kosinus membantu anda dengan cepat dan mudah mencari penyelesaian kepada pelbagai masalah.
Contoh pengiraan formula untuk luas segi tiga melalui kosinus
Diberi sebuah segitiga dengan sisi yang diketahui a = 3, b = 4, dan sudut γ= 45°. Kita cari bahagian yang hilang dulu. Dengan. Dengan kosinus 45°=0.7. Untuk melakukan ini, kami menggantikan data ke dalam persamaan yang diperoleh daripada teorem kosinus.
Sekarang menggunakan formula, kita dapati
Dalam kehidupan, kita sering perlu berhadapan dengan masalah matematik: di sekolah, di universiti, dan kemudian membantu anak kita dengan kerja rumah. Orang dari profesion tertentu akan menghadapi matematik setiap hari. Oleh itu, adalah berguna untuk menghafal atau mengingat kembali peraturan matematik. Dalam artikel ini, kami akan menganalisis salah satu daripadanya: mencari kaki segi tiga tepat.
Apakah segi tiga tepat
Pertama, mari kita ingat apa itu segi tiga tepat. Segitiga tepat ialah angka geometri daripada tiga segmen yang menghubungkan titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, dan salah satu sudut rajah ini ialah 90 darjah. Sisi yang membentuk sudut tegak dipanggil kaki, dan sisi yang terletak bertentangan sudut tepat- hipotenus.
Mencari kaki segi tiga tepat
Terdapat beberapa cara untuk mengetahui panjang kaki. Saya ingin mempertimbangkan mereka dengan lebih terperinci.
Teorem Pythagoras untuk mencari kaki segi tiga tepat
Jika kita mengetahui hipotenus dan kaki, maka kita boleh mencari panjang kaki yang tidak diketahui menggunakan teorem Pythagoras. Bunyinya seperti ini: "Kuasa dua sisi miring adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki." Formula: c²=a²+b², dengan c ialah hipotenus, a dan b ialah kaki. Kami mengubah formula dan mendapat: a²=c²-b².
Contoh. Hipotenus ialah 5 cm, dan kaki ialah 3 cm. Kami mengubah formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Seterusnya, kami memutuskan: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Hubungan trigonometri untuk mencari kaki segi tiga tepat
Ia juga mungkin untuk mencari kaki yang tidak diketahui jika mana-mana sisi lain dan mana-mana sudut akut segi tiga tepat diketahui. Terdapat empat pilihan untuk mencari kaki menggunakan fungsi trigonometri: dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen. Untuk menyelesaikan masalah, jadual di bawah akan membantu kami. Mari kita pertimbangkan pilihan ini.
Cari kaki segi tiga tepat menggunakan sinus
Sinus sudut (sin) ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus. Formula: sin \u003d a / c, dengan a ialah kaki bertentangan dengan sudut yang diberikan, dan c ialah hipotenus. Seterusnya, kita mengubah formula dan mendapat: a=sin*c.
Contoh. Hipotenus ialah 10 cm dan sudut A ialah 30 darjah. Menurut jadual, kami mengira sinus sudut A, ia sama dengan 1/2. Kemudian, menggunakan formula yang diubah, kita selesaikan: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Cari kaki segi tiga tepat menggunakan kosinus
Kosinus sudut (cos) ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus. Formula: cos \u003d b / c, dengan b ialah kaki bersebelahan dengan sudut yang diberikan, dan c ialah hipotenus. Mari kita ubah formula dan dapatkan: b=cos*c.
Contoh. Sudut A ialah 60 darjah, hipotenus ialah 10 cm. Menurut jadual, kita mengira kosinus sudut A, ia bersamaan dengan 1/2. Seterusnya, kita selesaikan: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Cari kaki segi tiga tepat menggunakan tangen
Tangen bagi sudut (tg) ialah nisbah kaki bertentangan dengan yang bersebelahan. Formula: tg \u003d a / b, dengan a ialah kaki bertentangan dengan sudut, dan b bersebelahan. Mari kita ubah formula dan dapatkan: a=tg*b.
Contoh. Sudut A ialah 45 darjah, hipotenus ialah 10 cm Menurut jadual, kita mengira tangen sudut A, ia adalah sama dengan Selesaikan: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Cari kaki segi tiga tepat menggunakan kotangen
Kotangen bagi sudut (ctg) ialah nisbah kaki bersebelahan dengan kaki bertentangan. Formula: ctg \u003d b / a, dengan b ialah kaki bersebelahan dengan sudut, dan bertentangan. Dalam erti kata lain, kotangen ialah "tangen terbalik". Kami dapat: b=ctg*a.
Contoh. Sudut A ialah 30 darjah, kaki bertentangan ialah 5 cm.Menurut jadual, tangen bagi sudut A ialah √3. Kira: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Jadi, sekarang anda tahu bagaimana untuk mencari kaki dalam segi tiga tepat. Seperti yang anda lihat, ia tidak begitu sukar, perkara utama adalah untuk mengingati formula.