Fungsi hubungan ekonomi. Fungsi Fungsi berikut berhubung dengan

Intipati dan klasifikasi hubungan ekonomi

Sejak dia berpisah dengan dunia hidupan liar, manusia berkembang sebagai makhluk biososial. Ini menentukan keadaan untuk perkembangan dan pembentukannya. Rangsangan utama pembangunan manusia dan masyarakat ialah keperluan. Untuk memenuhi keperluan ini, seseorang mesti bekerja.

Buruh ialah aktiviti sedar seseorang untuk mencipta barangan untuk memenuhi keperluan atau mendapatkan faedah.

Semakin banyak keperluan meningkat, semakin kompleks proses buruh. Ia memerlukan perbelanjaan sumber yang lebih besar dan tindakan yang lebih terkoordinasi daripada semua anggota masyarakat. Terima kasih kepada kerja, ciri utama terbentuk penampilan manusia moden, dan ciri-ciri manusia sebagai makhluk sosial. Buruh bergerak ke fasa aktiviti ekonomi.

Aktiviti ekonomi merujuk kepada aktiviti manusia dalam penciptaan, pengagihan semula, pertukaran dan penggunaan barangan material dan rohani.

Aktiviti ekonomi melibatkan keperluan untuk memasuki beberapa jenis hubungan antara semua peserta proses ini. Hubungan ini dipanggil ekonomi.

Definisi 1

Hubungan ekonomi ialah sistem perhubungan antara fizikal dan entiti undang-undang, terbentuk semasa proses pengeluaran. pengagihan semula, pertukaran dan penggunaan sebarang barangan.

Hubungan ini mempunyai pelbagai bentuk dan tempoh. Oleh itu, terdapat beberapa pilihan untuk klasifikasi mereka. Semuanya bergantung pada kriteria yang dipilih. Kriterianya mungkin masa, kekerapan (keteraturan), tahap faedah, ciri-ciri peserta dalam hubungan ini, dsb. Jenis hubungan ekonomi yang paling kerap disebut ialah:

antarabangsa dan domestik;
saling menguntungkan dan diskriminasi (menguntungkan satu pihak dan melanggar kepentingan pihak yang lain);
sukarela dan terpaksa;
tetap stabil dan episodik (jangka pendek);
kredit, kewangan dan pelaburan;
hubungan pembelian dan penjualan;
perhubungan proprietari, dsb.

Dalam proses aktiviti ekonomi, setiap peserta dalam perhubungan boleh bertindak dalam beberapa peranan. Secara konvensional, tiga kumpulan pembawa hubungan ekonomi dibezakan. Ini adalah:

pengeluar dan pengguna barangan ekonomi;
penjual dan pembeli barangan ekonomi;
pemilik dan pengguna barang.

Kadangkala kategori perantara yang berasingan dibezakan. Tetapi sebaliknya, perantara hanya wujud dalam beberapa bentuk pada masa yang sama. Oleh itu, sistem hubungan ekonomi dicirikan oleh pelbagai bentuk dan manifestasi.

Terdapat satu lagi klasifikasi hubungan ekonomi. Kriteria ialah ciri-ciri proses dan matlamat yang berterusan bagi setiap jenis perhubungan. Jenis-jenis ini ialah organisasi aktiviti buruh, organisasi aktiviti ekonomi dan pengurusan aktiviti ekonomi.

Asas pembentukan hubungan ekonomi semua peringkat dan jenis adalah hak pemilikan sumber dan alat pengeluaran. Mereka menentukan pemilikan barang yang dihasilkan. Faktor pembentuk sistem seterusnya ialah prinsip pengagihan barangan yang dihasilkan. Kedua-dua titik ini menjadi asas kepada pembentukan jenis sistem ekonomi.

Fungsi perhubungan organisasi dan ekonomi

Definisi 2

Hubungan organisasi-ekonomi ialah hubungan untuk mewujudkan keadaan untuk penggunaan sumber yang paling cekap dan mengurangkan kos melalui organisasi bentuk pengeluaran.

Fungsi bentuk hubungan ekonomi ini ialah penggunaan maksimum kelebihan ekonomi relatif dan penggunaan rasional peluang yang jelas. Bentuk utama hubungan organisasi dan ekonomi termasuk penumpuan (penggabungan) pengeluaran, gabungan (gabungan pengeluaran daripada industri yang berbeza dalam satu perusahaan), pengkhususan dan kerjasama (untuk meningkatkan produktiviti). Pembentukan kompleks pengeluaran wilayah dianggap sebagai bentuk lengkap hubungan organisasi dan ekonomi. Kesan ekonomi tambahan diperoleh kerana lokasi wilayah yang menguntungkan perusahaan dan penggunaan rasional infrastruktur.

Ahli ekonomi dan ahli geografi ekonomi Soviet Rusia pada pertengahan abad kedua puluh mengembangkan teori kitaran pengeluaran tenaga (EPC). Mereka mencadangkan menganjurkannya dengan cara ini proses pengeluaran di wilayah tertentu untuk menggunakan satu aliran bahan mentah dan tenaga untuk menghasilkan rangkaian keseluruhan produk. Ini akan mengurangkan kos pengeluaran secara mendadak dan mengurangkan sisa pengeluaran. Hubungan organisasi dan ekonomi berkait secara langsung dengan pengurusan ekonomi.

Fungsi hubungan sosio-ekonomi

Definisi 3

Hubungan sosio-ekonomi ialah hubungan antara agen ekonomi, yang berasaskan hak milik.

Harta adalah sistem perhubungan antara manusia, yang ditunjukkan dalam sikap mereka terhadap sesuatu - hak untuk melupuskannya.

Fungsi hubungan sosio-ekonomi adalah untuk memperkemaskan hubungan harta benda mengikut norma sesuatu masyarakat. Lagipun, hubungan undang-undang dibina, di satu pihak, atas dasar hak milik, dan di pihak yang lain, atas dasar hubungan harta sukarela. Interaksi antara kedua-dua pihak ini berbentuk kedua-dua norma moral dan norma perundangan (termaktub secara sah).

Hubungan sosio-ekonomi bergantung kepada pembentukan sosial di mana ia berkembang. Mereka berkhidmat untuk kepentingan kelas pemerintah dalam masyarakat tertentu itu. Hubungan sosio-ekonomi memastikan pemindahan hak milik daripada seseorang kepada orang lain (pertukaran, pembelian dan penjualan, dsb.).

Fungsi hubungan ekonomi antarabangsa

Hubungan ekonomi antarabangsa melaksanakan fungsi menyelaraskan aktiviti ekonomi negara-negara di seluruh dunia. Mereka menyandang watak ketiga-tiga bentuk utama hubungan ekonomi - pengurusan ekonomi, organisasi-ekonomi dan sosio-ekonomi. Ini amat relevan pada masa kini kerana kepelbagaian model sistem ekonomi campuran.

Bahagian organisasi dan ekonomi hubungan antarabangsa bertanggungjawab untuk pengembangan kerjasama antarabangsa berdasarkan proses integrasi. Aspek sosio-ekonomi hubungan antarabangsa ialah keinginan untuk peningkatan umum dalam tahap kesejahteraan penduduk semua negara di dunia dan pengurangan ketegangan sosial dalam ekonomi dunia. Pengurusan ekonomi global bertujuan untuk mengurangkan percanggahan antara ekonomi negara dan mengurangkan kesan inflasi global dan fenomena krisis.

Dalam subseksyen ini kami memperkenalkan produk, hubungan, fungsi dan graf Cartesian. Kami mengkaji sifat-sifat model matematik ini dan hubungan antara mereka.

Hasil cartesian dan penghitungan unsur-unsurnya

Produk Cartesian set A Dan B ialah satu set yang terdiri daripada pasangan tertib: A´ B= {(a,b): (aÎ A) & (bÎ B)}.

Untuk set A 1, …, A n produk Cartesian ditentukan oleh aruhan:

Dalam kes set indeks sewenang-wenangnya saya Produk Cartesian keluarga set ( A i} i Î saya ditakrifkan sebagai satu set yang terdiri daripada fungsi tersebut f:saya® Ai, itu untuk semua orang iÎ saya betul f(i)Î A i .

Teorem 1

biarlah A danB ialah set terhingga. Kemudian |A´ B| = |A|×| B|.

Bukti

biarlah A = (a 1 , …,a m), B = (b 1 , …,bn). Unsur-unsur produk Cartesian boleh disusun menggunakan jadual

(a 1 ,b 1), (a 1 ,b 2), …, (a 1 ,b n);

(a 2 ,b 1), (a 2 ,b 2), …, (a 2 ,b n);

(a m ,b 1), (a m ,b 2),…, (a m ,b n),

yang terdiri daripada n lajur, setiap satunya terdiri daripada m elemen. Dari sini | A´ B|=mn.

Akibat 1

Bukti

Menggunakan induksi pada n. Biarkan formula itu benar untuk n. Kemudian

Perhubungan

biarlah n³1 ialah integer positif dan A 1, …, A n– set sewenang-wenangnya. Hubungan antara unsur-unsur set A 1, …, A n atau hubungan n-ary dipanggil subset arbitrari.

Perhubungan dan fungsi binari

Hubungan binari antara unsur set A Dan B(atau, ringkasnya, antara A Dan B) dipanggil subset RÍ A´ B.

Definisi 1

Fungsi atau paparan dipanggil triple yang terdiri daripada set A Dan B dan subset fÍ A´ B(grafik fungsi), memenuhi dua syarat berikut;

1) untuk sesiapa sahaja xÎ A ada macam tu yÎ f, Apa (x,y)Î f;

2) jika (x,y)Î f Dan (x,z)Î f, Itu y =z.

Ia mudah untuk melihatnya fÍ A´ B akan kemudian dan hanya mentakrifkan fungsi apabila untuk mana-mana xÎ A hanya ada satu yÎ f, Apa ( x,y) Î f. ini y menandakan dengan f(x).

Fungsi itu dipanggil suntikan, jika ada x,x'Î A, seperti Apa x¹ x', berlaku f(x)¹ f(x'). Fungsi itu dipanggil surjection, jika untuk setiap yÎ B ada macam tu xÎ A, Apa f(x) = y. Jika fungsi adalah suntikan dan surjection, maka ia dipanggil bijection.

Teorem 2

Agar fungsi menjadi bijection, adalah perlu dan mencukupi untuk kewujudan fungsi sedemikian fg =ID B Dan gf =ID A.

Bukti

biarlah f– bijection. Disebabkan surjektiviti f untuk setiap yÎ B anda boleh memilih elemen xÎ A, untuk yang mana f(x) = y. Disebabkan suntikan f, elemen ini akan menjadi satu-satunya, dan kami akan menandakannya dengan g(y) = x. Jom dapatkan fungsinya.

Dengan membina fungsi g, persamaan dipegang f(g(y)) = y Dan g(f(x)) = x. Jadi betul fg =ID B Dan gf =ID A. Sebaliknya adalah jelas: jika fg =ID B Dan gf =ID A, Itu f– surjection berkuat kuasa f(g(y)) = y, untuk setiap yÎ B. Dalam kes ini ia akan menyusul , dan itu bermakna . Oleh itu, f– suntikan. Ia berikutan daripada ini bahawa f– bijection.

Imej dan prototaip

Biar menjadi satu fungsi. Dengan cara subset XÍ A dipanggil subset f(X) = (f(x):xÎ X)Í B. Untuk YÍ B subset f - -1 (Y) =(xÎ A:f(x)Î Y) dipanggil prototaip subsetY.

Perkaitan dan graf

Perhubungan binari boleh digambarkan menggunakan graf terarah.

Definisi 2

Graf terarah dipanggil sepasang set (E,V) bersama-sama dengan beberapa pemetaan s,t:E® V. Elemen set V diwakili oleh titik pada satah dan dipanggil puncak. Unsur daripada E dipanggil tepi terarah atau anak panah. Setiap elemen eÎ E digambarkan sebagai anak panah (mungkin melengkung) yang menghubungkan bucu s(e) dengan bahagian atas t(e).

Kepada hubungan binari sewenang-wenangnya RÍ V´ V sepadan dengan graf terarah dengan bucu vÎ V, yang anak panahnya tersusun berpasangan (awak,v)Î R. Paparan s,t:R® V ditentukan oleh formula:

s(awak,v) =u Dan t(awak,v) =v.

Contoh 1

biarlah V = (1,2,3,4).

Pertimbangkan hubungannya

R = ((1,1), (1,3), (1.4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)).

Ia akan sepadan dengan graf terarah (Rajah 1.2). Anak panah graf ini akan menjadi pasangan (saya,j)Î R.

nasi. 1.2. Graf hubungan binari terarah

Dalam graf terarah yang terhasil, mana-mana pasangan bucu disambungkan dengan paling banyak satu anak panah. Graf terarah sedemikian dipanggil ringkas. Jika kita tidak mengambil kira arah anak panah, maka kita sampai kepada definisi berikut:

Definisi 3

Graf mudah (tidak berarah). G = (V,E) pasangan yang terdiri daripada satu set dipanggil V dan banyak E, terdiri daripada beberapa pasangan tidak tertib ( v 1,v 2) unsur v 1,v 2Î V seperti itu v 1¹ v 2. Pasangan ini dipanggil tulang rusuk, dan unsur-unsur daripada V – puncak.

nasi. 1.3. Graf tidak terarah mudah K 4

Sekumpulan E mentakrifkan hubungan anti-refleksi simetri binari yang terdiri daripada pasangan ( v 1,v 2), untuk yang mana ( v 1,v 2} Î E. Bucu graf ringkas digambarkan sebagai titik, dan tepi sebagai segmen. Dalam Rajah. 1.3 menunjukkan graf ringkas dengan banyak bucu

V={1, 2, 3, 4}

dan banyak tulang rusuk

E= {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

Operasi pada hubungan binari

Hubungan binari antara unsur set A Dan B subset arbitrari dipanggil RÍ A´ B. Rekod aRb(pada aÎ A, bÎ B) bermakna (a,b)Î R.

Operasi perhubungan berikut ditakrifkan RÍ A´ A:

· R -1= ((a,b): (b,a)Î R);

· R° S = ((a,b): ($ xÎ A)(a,x)Î R&(x,b)Î R);

· Rn=R°(R n -1);

biarlah Id A = ((a,a):aÎ A)- hubungan yang sama. Sikap R Í X´ X dipanggil:

1) reflektif, Jika (a,a)Î R untuk semua aÎ X;

2) anti-reflektif, Jika (a,a)Ï R untuk semua aÎ X;

3) simetri, jika untuk semua orang a,bÎ X implikasinya adalah benar aRbÞ bRa;

4) antisimetri, Jika aRb &bRaÞ a=b;

5) transitif, jika untuk semua orang a,b,cÎ X implikasinya adalah benar aRb &bRcÞ aRc;

6) linear, untuk semua a,bÎ X implikasinya adalah benar a¹ bÞ aRbÚ bRa.

Mari kita nyatakan ID A melalui ID. Adalah mudah untuk melihat bahawa perkara berikut berlaku.

Ayat 1

Sikap RÍ X´ X:

1) secara refleks Û IDÍ R;

2) anti-refleksi Û RÇ Id=Æ ;

3) simetri Û R = R -1;

4) antisimetri Û RÇ R -1Í ID;

5) transitif Û R° RÍ R;

6) linear Û RÈ IDÈ R -1 = X´ X.

Matriks hubungan binari

biarlah A= {a 1, a 2, …, a m) Dan B= {b 1, b 2, …, b n) ialah set terhingga. Matriks hubungan binari R Í A ´ B dipanggil matriks dengan pekali:

biarlah A– set terhingga, | A| = n Dan B= A. Mari kita pertimbangkan algoritma untuk mengira matriks komposisi T= R° S perhubungan R, S Í A´ A. Mari kita nyatakan pekali bagi matriks hubungan R, S Dan T sewajarnya melalui r ij, s ij Dan t ij.

Sejak harta ( a i,a k)Î T adalah bersamaan dengan kewujudan sedemikian a jÎ A, Apa ( a i,a j)Î R Dan ( a j,a k) Î S, maka pekali tik akan sama dengan 1 jika dan hanya jika indeks sedemikian wujud j, Apa r ij= 1 dan sjk= 1. Dalam kes lain tik sama dengan 0. Oleh itu, tik= 1 jika dan hanya jika .

Oleh itu, untuk mencari matriks komposisi hubungan adalah perlu untuk mendarabkan matriks ini dan dalam hasil darab matriks, pekali bukan sifar digantikan dengan satu. Contoh berikut menunjukkan bagaimana matriks komposisi dikira dengan cara ini.

Contoh 2

Pertimbangkan hubungan binari pada A = (1,2,3), sama R = ((1,2),(2,3)). Mari kita tulis matriks hubungan R. Mengikut definisi, ia terdiri daripada pekali r 12 = 1, r 23 = 1 dan selebihnya r ij= 0. Oleh itu matriks hubungan R adalah sama dengan:

Jom cari hubungan R° R. Untuk tujuan ini, kami mendarabkan matriks hubungan R kepada diri saya sendiri:

Kami mendapat matriks hubungan:

Oleh itu, R° R= {(1,2),(1,3),(2,3)}.

Konsekuensi berikut adalah daripada Proposisi 1.

Akibat 2

Jika A= B, kemudian hubungan R pada A:

1) secara refleks jika dan hanya jika semua elemen pepenjuru utama matriks hubungan R sama dengan 1;

2) anti-refleksi jika dan hanya jika semua elemen pepenjuru utama matriks hubungan R sama dengan 0;

3) simetri jika dan hanya jika matriks hubungan R simetri;

4) transitif jika dan hanya jika setiap pekali matriks hubungan R° R tidak lebih daripada pekali matriks nisbah yang sepadan R.

Manusia mempunyai keperluan yang wujud untuk berkomunikasi dan berinteraksi dengan orang lain. Dengan memenuhi keperluan ini, dia menunjukkan dan menyedari keupayaannya.

Kehidupan manusia sepanjang tempohnya menunjukkan dirinya, pertama sekali, dalam komunikasi. Dan semua kepelbagaian kehidupan tercermin dalam kepelbagaian komunikasi yang tidak berkesudahan: dalam keluarga, sekolah, di tempat kerja, dalam kehidupan seharian, dalam syarikat, dll.

Komunikasi- salah satu bentuk aktiviti keperibadian sejagat, yang ditunjukkan dalam penubuhan dan perkembangan hubungan antara orang, dalam pembentukan perhubungan sesama manusia dan dijana oleh keperluan untuk aktiviti bersama.

Komunikasi melakukan keseluruhan baris utama fungsi:

Maklumat - fungsi menerima dan menghantar maklumat;
Hubungan - mewujudkan hubungan sebagai keadaan kesediaan bersama orang untuk menerima dan menghantar maklumat;
Insentif - fungsi merangsang aktiviti untuk bertindak;
Penyelarasan - fungsi orientasi bersama dan penyelarasan tindakan;
Pemahaman - melibatkan bukan sahaja penerimaan maklumat, tetapi juga pemahaman maklumat ini oleh satu sama lain;
Amotif - fungsi membangkitkan emosi, pengalaman, perasaan yang diperlukan dalam pasangan, melibatkan pertukaran emosi, perubahan dalam keadaan emosi;
Fungsi mewujudkan hubungan adalah kesedaran dan penetapan seseorang status sosial, peranan sosial dalam komuniti sosial tertentu.
Fungsi mempengaruhi ialah mengubah keadaan, tingkah laku, niat, idea, sikap, pendapat, keputusan, keperluan, tindakan, dll.

Bersama-sama dengan fungsi, yang utama dikenal pasti jenis komunikasi.

Mengikut bilangan peserta:

interpersonal;
kumpulan.

Dengan cara komunikasi:

lisan;
bukan lisan.

Mengikut kedudukan mereka yang berkomunikasi:

kenalan;
jauh.

Mengikut syarat komunikasi:

rasmi;
tidak rasmi.

DALAM struktur komunikasi dibezakan oleh tiga aspek yang saling berkait rapat dan saling bergantung:

Sisi persepsi komunikasi ialah proses memahami satu sama lain.
Sisi komunikatif komunikasi melibatkan pemindahan maklumat. Adalah perlu untuk mengambil kira bahawa seseorang menyatakan 80% daripada apa yang ingin dikatakannya, pendengar merasakan 70% dan memahami 60% daripada apa yang dikatakan.
Sisi interaktif komunikasi melibatkan organisasi interaksi (penyelarasan tindakan, pengagihan fungsi, dll.).

Apabila mengatur komunikasi, perlu mengambil kira bahawa ia melalui beberapa peringkat, yang masing-masing mempengaruhi keberkesanannya.

Jika salah satu peringkat komunikasi terlepas, keberkesanan komunikasi menurun secara mendadak dan ada kemungkinan tidak mencapai matlamat yang telah ditetapkan semasa mengatur komunikasi. Keupayaan untuk mencapai matlamat yang ditetapkan secara berkesan dalam komunikasi dipanggil kebolehmasyarakatan, kecekapan komunikatif, kecerdasan sosial.

Paparan f set X ke set Y dianggap diberikan jika setiap unsur x X dikaitkan dengan tepat satu unsur y Y, dilambangkan f(x).

Himpunan X dipanggil domain definisi memetakan f, dan set Y ialah julat nilai. Set pasangan yang dipesan

Г f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))

dipanggil paparan graf f. Ia mengikuti terus daripada takrifan bahawa graf f ialah subset hasil darab Cartes X×Y:

Tegasnya, peta ialah tiga set (X, Y, G) supaya G⊂ X×Y, dan setiap unsur x daripada X ialah unsur pertama tepat satu pasangan (x, y) G. Menandakan yang kedua unsur pasangan sedemikian dengan f(x), kita memperoleh pemetaan f set X ke dalam set Y. Selain itu, G=Г f. Jika y=f(x), kita akan menulis f:x→y dan mengatakan bahawa unsur x pergi atau memetakan ke unsur y; unsur f(x) dipanggil imej bagi unsur x berkenaan dengan pemetaan f. Untuk menandakan pemetaan kita akan menggunakan tatatanda bentuk f: X→Y.

Biarkan f: X→Y ialah pemetaan daripada set X kepada set Y, dan A dan B ialah subset bagi set X dan Y, masing-masing. Set f(A)=(y| y=f(x) untuk beberapa x∈A) dipanggil cara set A. Set f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)

dipanggil prototaip set B. Pemetaan f: A→Y supaya x→f(x) untuk semua x∈A dipanggil menyempitkan memetakan f ke set A; penyempitan akan dilambangkan dengan f| A.

Biarkan terdapat pemetaan f: X→Y dan g: Y→Z. Pemetaan X→Z di mana x pergi ke g(f(x)) dipanggil gubahan pemetaan f dan g dan dilambangkan dengan fg.

Pemetaan set X ke X, di mana setiap elemen masuk ke dalam dirinya sendiri, x→x, dipanggil sama dan dilambangkan dengan id X .

Untuk pemetaan arbitrari f: X→Y kita mempunyai id X ⋅f = f⋅id Y .

Pemetaan f: X→Y dipanggil suntikan, jika bagi mana-mana elemen daripada dan ia mengikutinya. Pemetaan f: X→Y dipanggil surjektif, jika setiap unsur y daripada Y ialah imej bagi beberapa unsur x daripada X, iaitu, f(x)=y. Pemetaan f: X→Y dipanggil bijektif, jika ia adalah injektif dan surjektif. Peta bijektif f: X→Y ialah boleh terbalik. Ini bermakna terdapat pemetaan g: Y→X dipanggil terbalik kepada peta f supaya g(f(x))=x dan f(g(y))=y untuk sebarang x∈X, y∈Y. Songsangan bagi f dilambangkan dengan f − 1 .

Pemetaan boleh terbalik f: X→Y set satu-satu korespondensi antara elemen set X dan Y. Pemetaan injektif f: X→Y mewujudkan korespondensi satu-dengan-satu antara set X dan set f(X).

Contoh. 1) Fungsi f:R→R >0, f (x)=e x, mewujudkan kesepadanan satu-dengan-satu antara set semua nombor nyata R dan set nombor nyata positif R >0. Songsangan bagi pemetaan f ialah pemetaan g:R >0 →R, g(x)=ln x.

2) Pemetaan f:R→R ≥ 0, f(x)=x 2, set semua R nyata pada set nombor bukan negatif R ≥ 0 adalah surjektif, tetapi bukan injektif, dan oleh itu bukan bijektif.

Sifat fungsi:

1. Komposisi dua fungsi ialah fungsi, iaitu. jika , maka .

2. Komposisi dua fungsi bijektif ialah fungsi bijektif, jika , maka .

3. Pemetaan mempunyai pemetaan songsang kemudian dan

jika dan hanya jika f ialah bijection, i.e. jika , maka .

Definisi. n – hubungan tempatan, atau n – predikat tempatan P, pada set A 1 ;…;

Penetapan n - hubungan tempatan P(x 1 ;x 2 ;…;x n). Apabila n=1 hubungan P dipanggil unary dan merupakan subset bagi set A 1 . binari(ganda untuk n=2) hubungan ialah set pasangan tertib.

Definisi. Untuk mana-mana set A, hubungan itu dipanggil hubungan sama, atau pepenjuru, dan - hubungan lengkap, atau kuasa dua lengkap.

Biarkan P ialah beberapa hubungan binari. Kemudian domain definisi hubungan binari P dipanggil set untuk beberapa y), dan julat nilai– satu set untuk beberapa x). terbalik satu set dipanggil hubungan kepada P.

Hubungan P dipanggil reflektif, jika ia mengandungi semua pasangan bentuk (x,x) untuk sebarang x daripada X. Hubungan P dipanggil anti-reflektif, jika ia tidak mengandungi sebarang pasangan bentuk (x,x). Sebagai contoh, hubungan x≤y adalah refleksif, dan hubungan x

Hubungan P dipanggil simetri, jika bersama setiap pasangan (x,y) ia juga mengandungi pasangan (y,x). Simetri hubungan P bermakna P = P –1.

Hubungan P dipanggil antisimetri, jika (x;y) dan (y;x), maka x=y.

Hubungan R dipanggil transitif, jika, bersama mana-mana pasangan (x,y) dan (y,z), ia juga mengandungi pasangan (x,z), iaitu dari xPy dan yPz mengikuti xPz.

Sifat perhubungan binari:

Contoh. Biarkan A=(x/x – angka Arab); Р=((x;y)/x,yA,x-y=5). Cari D;R;P -1 .

Penyelesaian. Hubungan P boleh ditulis dalam bentuk P=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)), maka untuknya kita ada D= (5;6 ;7;8;9); E=(0;1;2;3;4); P -1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)).

Pertimbangkan dua set terhingga dan hubungan binari. Mari kita perkenalkan matriks hubungan binari P seperti berikut: .

Matriks mana-mana hubungan binari mempunyai sifat:

1. Jika dan , maka , dan penambahan unsur matriks dijalankan mengikut peraturan 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, dan pendaraban adalah sebutan mengikut cara biasa, i.e. mengikut peraturan 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Jika , maka , dan matriks didarab mengikut peraturan biasa untuk pendaraban matriks, tetapi hasil darab dan hasil tambah unsur apabila mendarab matriks ditemui mengikut peraturan langkah 1.

4. Jika , maka dan

Contoh. Hubungan binari ditunjukkan dalam Rajah 2. Matriksnya mempunyai bentuk .

Penyelesaian. Biarlah;

Biarkan P ialah hubungan binari pada set A, . Hubungan P pada set A dipanggil reflektif, jika , di mana asterisk menunjukkan sifar atau satu. Hubungan P dipanggil tidak refleksif, Jika . Hubungan P pada set A dipanggil simetri, jika untuk dan untuk ia mengikuti daripada syarat bahawa . Ia bermakna bahawa . Hubungan P dipanggil antisimetri, jika ia mengikuti daripada syarat bahawa x=y, i.e. atau . Sifat ini membawa kepada fakta bahawa semua elemen matriks di luar pepenjuru utama akan menjadi sifar (boleh juga terdapat sifar pada pepenjuru utama). Hubungan P dipanggil transitif, jika dari dan ia mengikuti itu , i.e. .

Contoh. Hubungan P dan . Di sini pada pepenjuru utama matriks adalah semua unit, oleh itu, P adalah refleksif. Matriks adalah tidak simetri, maka nisbah P adalah tidak simetri

Kerana tidak semua unsur yang terletak di luar pepenjuru utama adalah sifar, maka hubungan P bukan antisimetri.

Itu. , oleh itu hubungan P adalah tak transitif.

Hubungan refleksif, simetri dan transitif dipanggil hubungan kesetaraan. Adalah menjadi kebiasaan untuk menggunakan simbol ~ untuk menunjukkan hubungan kesetaraan. Keadaan reflekstiviti, simetri dan transitiviti boleh ditulis seperti berikut:

Contoh. 1) Biarkan X ialah satu set fungsi yang ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor. Kami akan menganggap bahawa fungsi f dan g berkaitan dengan hubungan ~ jika mereka mengambil nilai yang sama pada titik 0, iaitu, f(x)~g(x), jika f(0)=g(0) . Contohnya, sinx~x, e x ~cosx. Hubungan ~ adalah refleksif (f(0)=f(0) untuk sebarang fungsi f(x)); secara simetri (dari f(0)=g(0) ia mengikuti bahawa g(0)=f(0)); transitif (jika f(0)=g(0) dan g(0)=h(0), maka f(0)=h(0)). Oleh itu, ~ ialah hubungan kesetaraan.

2) Biarkan ~ menjadi hubungan pada set nombor asli, di mana x~y, jika x dan y memberikan baki yang sama apabila dibahagikan dengan 5. Contohnya, 6~11, 2~7, 1~6. Adalah mudah untuk melihat bahawa hubungan ini adalah refleksif, simetri dan transitif dan, oleh itu, adalah hubungan kesetaraan.

Hubungan pesanan separa Hubungan binari pada set dipanggil jika ia adalah refleksif, antisimetri, transitif, i.e.

1. - refleksitiviti;

2. - antisimetri;

3. - transitivity.

Hubungan perintah yang ketat Hubungan binari pada set dipanggil jika ia adalah anti-refleksif, antisimetri, transitif. Kedua-dua hubungan ini dipanggil hubungan pesanan. Satu set di mana hubungan pesanan ditentukan, boleh menjadi: set yang dipesan sepenuhnya atau sebahagiannya dipesan. Tertib separa adalah penting dalam kes di mana kita ingin mencirikan keutamaan, i.e. memutuskan dalam keadaan apa untuk menganggap satu elemen set itu lebih unggul daripada yang lain. Satu set tertib separa dipanggil tersusun secara linear, jika tiada unsur yang tiada tandingan di dalamnya, i.e. salah satu syarat atau berpuas hati. Sebagai contoh, set dengan susunan semula jadi padanya disusun secara linear.

Perhubungan. Konsep dan definisi asas

Definisi 2.1.Sepasang yang dipesan<x, y> dipanggil himpunan dua elemen x Dan y, disusun mengikut susunan tertentu.

Dua pasang tempah<x, y> dan<u, v> adalah sama antara satu sama lain jika dan hanya jika x = u Dan y= v.

Contoh 2.1.

<a, b>, <1, 2>, <x, 4> – pasangan tertib.

Begitu juga, kita boleh mempertimbangkan triplet, quadruples, n unsur -ki<x 1 , x 2 ,… x n>.

Definisi 2.2.Langsung(atau Cartesian)kerja dua set A Dan B ialah set pasangan tertib supaya elemen pertama setiap pasangan tergolong dalam set A, dan yang kedua – ke set B:

A ´ B = {<a, b>, ç aÎ A Dan bÏ DALAM}.

Secara umum, produk langsung n set A 1 ,A 2 ,…A n dipanggil set A 1 A 2 ´…´ A n, yang terdiri daripada set elemen tertib<a 1 , a 2 , …,a n> panjang n, seperti itu saya- ke a i kepunyaan ramai A i,a i Î A i.

Contoh 2.2.

biarlah A = {1, 2}, DALAM = {2, 3}.

Kemudian A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

Contoh 2.3.

biarlah A= {x ç0 £ x£ 1) dan B= {yç2 £ y£3)

Kemudian A ´ B = {<x, y >, ç0 £ x£1&2£ y£3).

Justeru, ramai A ´ B terdiri daripada titik yang terletak di dalam dan pada sempadan segi empat tepat yang dibentuk oleh garis lurus x= 0 (paksi-y), x= 1,y= 2i y = 3.

Ahli matematik dan ahli falsafah Perancis Descartes adalah orang pertama yang mencadangkan perwakilan koordinat titik pada satah. Ini adalah contoh pertama produk langsung dari segi sejarah.

Definisi 2.3.binari(atau berganda)nisbah r dipanggil set pasangan tertib.

Jika pasangan<x, y> kepunyaan r, maka ditulis sebagai berikut:<x, y> Î r atau, apa yang sama, xr y.

Contoh2.4.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

Begitu juga kita boleh menentukan n-hubungan tempatan sebagai satu set tertib n-OKEY.

Oleh kerana hubungan binari ialah set, kaedah untuk menentukan hubungan binari adalah sama dengan kaedah untuk menentukan set (lihat Bahagian 1.1). Hubungan binari boleh ditentukan dengan menyenaraikan pasangan tertib atau dengan menyatakan sifat umum pasangan tertib.

Contoh 2.5.

1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – hubungan ditentukan dengan menghitung pasangan tertib;

2. r = {<x, y> ç x+ y = 7, x, y– nombor nyata) – hubungan ditentukan dengan menyatakan sifat x+ y = 7.

Selain itu, hubungan binari boleh diberikan matriks hubungan binari. biarlah A = {a 1 , a 2 , …, a n) ialah set terhingga. Matriks hubungan binari C ialah matriks segi empat sama tertib n, yang unsur-unsurnya c ij ditakrifkan seperti berikut:

Contoh 2.6.

A= (1, 2, 3, 4). Mari kita tentukan hubungan binari r dalam tiga cara yang disenaraikan.

1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – hubungan ditentukan dengan menghitung semua pasangan tertib.

2. r = {<a i, a j> ç a i < a j; a i, a jÎ A) – hubungan ditentukan dengan menunjukkan sifat "kurang daripada" pada set A.

3. – hubungan ditentukan oleh matriks hubungan binari C.

Contoh 2.7.

Mari kita lihat beberapa hubungan binari.

1. Perkaitan pada set nombor asli.

a) hubungan £ berlaku untuk pasangan<1, 2>, <5, 5>, tetapi tidak berlaku untuk pasangan itu<4, 3>;

b) hubungan "mempunyai pembahagi biasa selain daripada satu" berlaku untuk pasangan<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, tetapi tidak berlaku untuk pasangan itu<3, 28>.

2. Hubungan pada set titik satah sebenar.

a) hubungan "berada pada jarak yang sama dari titik (0, 0)" berpuas hati untuk mata (3, 4) dan (–2, Ö21), tetapi tidak berpuas hati untuk mata (1, 2) dan ( 5, 3);

b) hubungan “agar simetri tentang paksi OY" dilakukan untuk semua titik ( x, y) Dan (- x, –y).

3. Hubungan dengan ramai orang.

a) sikap "tinggal di bandar yang sama";

b) sikap "belajar dalam kumpulan yang sama";

c) sikap "menjadi lebih tua".

Definisi 2.4. Domain takrifan perhubungan binari r ialah set D r = (x çterdapat y sehingga xr y).

Definisi 2.5. Julat nilai perhubungan binari r ialah set R r = (y wujud x sehingga xr y).

Definisi 2.6. Domain untuk menentukan hubungan binari r dipanggil set M r = D r ÈR r .

Menggunakan konsep produk langsung, kita boleh menulis:

rÎ D r´ R r

Jika D r= R r = A, maka kita katakan bahawa hubungan binari r ditakrifkan pada set A.

Contoh 2.8.

biarlah r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Kemudian D r ={1, 3, 4}, R r = {3, 2}, Encik= {1, 2, 3, 4}.

Operasi pada perhubungan

Oleh kerana hubungan adalah set, semua operasi pada set adalah sah untuk hubungan.

Contoh 2.9.

r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r 1 Ç r 2 = {<1, 2>}.

r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

Contoh 2.10.

biarlah R– set nombor nyata. Mari kita pertimbangkan hubungan berikut pada set ini:

r 1 – "£"; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 – "³"; r 5 – " > ".

r 1 = r 2 È r 3 ;

r 2 = r 1 Ç r 4 ;

r 3 = r 1 \ r 2 ;

r 1 = ;

Mari kita tentukan dua lagi operasi pada hubungan.

Definisi 2.7. Hubungan itu dipanggil terbalik kepada sikap r(ditandakan r – 1), jika

r – 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r}.

Contoh 2.11.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r – 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Contoh 2.12.

r = {<x, y> ç x – y = 2, x, y Î R}.

r – 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r} = r – 1 = {<x, y> ç y–x = 2, x, y Î R} = {<x, y> ç– x+ y = 2, x, y Î R}.

Definisi 2.8.Komposisi dua hubungan r dan s dipanggil hubungan

s r= {<x, z> ada perkara sedemikian y, Apa<x, y> Î r Dan< y, z> Î s}.

Contoh 2.13.

r = {<x, y> ç y = sinx}.

s= {<x, y> ç y = Ö x}.

s r= {<x, z> ada perkara sedemikian y, Apa<x, y> Î r Dan< y, z> Î s} = {<x, z> ada perkara sedemikian y, Apa y = sinx Dan z= Ö y} = {<x, z> ç z= Ö sinx}.

Takrif komposisi dua hubungan sepadan dengan definisi fungsi kompleks:

y = f(x), z= g(y) Þ z= g(f(x)).

Contoh 2.14.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Proses mencari s r selaras dengan definisi komposisi, adalah mudah untuk menggambarkannya dalam jadual di mana semua nilai yang mungkin disenaraikan x, y, z. bagi setiap pasangan<x, y> Î r kita perlu mempertimbangkan semua pasangan yang mungkin< y, z> Î s(Jadual 2.1).

Jadual 2.1

<x, y> Î r	< y, z> Î s	<x, z> Î s r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Ambil perhatian bahawa baris pertama, ketiga dan keempat, serta baris kedua dan kelima lajur terakhir jadual mengandungi pasangan yang sama. Oleh itu kita mendapat:

s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Sifat perhubungan

Definisi 2.9. Sikap r dipanggil reflektif pada satu set X, jika ada xÎ X dilakukan xr x.

Daripada takrifan ia mengikuti bahawa setiap elemen<x,x > Î r.

Contoh 2.15.

a) Biarkan X- set terhingga, X= (1, 2, 3) dan r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Sikap r secara reflektif. Jika X ialah set terhingga, maka pepenjuru utama matriks hubungan refleksif mengandungi hanya satu. Untuk contoh kita

b) Biarkan X r hubungan kesamarataan. Sikap ini bersifat refleksif, kerana setiap nombor adalah sama dengan dirinya sendiri.

c) Biarkan X- ramai orang dan r sikap "tinggal di bandar yang sama". Sikap ini bersifat refleksif, kerana semua orang tinggal di bandar yang sama dengan diri mereka sendiri.

Definisi 2.10. Sikap r dipanggil simetri pada satu set X, jika ada x, yÎ X daripada xry sepatutnya thn x.

Ia adalah jelas bahawa r simetri jika dan hanya jika r = r – 1 .

Contoh 2.16.

a) Biarkan X- set terhingga, X= (1, 2, 3) dan r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Sikap r secara simetri. Jika X ialah set terhingga, maka matriks hubungan simetri adalah simetri berkenaan dengan pepenjuru utama. Untuk contoh kita

b) Biarkan X– set nombor nyata dan r hubungan kesamarataan. Hubungan ini adalah simetri, kerana Jika x sama y, kemudian y sama x.

c) Biarkan X– ramai pelajar dan r sikap "belajar dalam kumpulan yang sama". Hubungan ini adalah simetri, kerana Jika x pengajian dalam kumpulan yang sama dengan y, kemudian y pengajian dalam kumpulan yang sama dengan x.

Definisi 2.11. Sikap r dipanggil transitif pada satu set X, jika ada x, y,zÎ X daripada xry Dan thn z sepatutnya xr z.

Pemenuhan syarat serentak xry, thn z, xr z bermakna pasangan itu<x,z> tergolong dalam komposisi r r. Oleh itu untuk transitivity r ia adalah perlu dan mencukupi untuk set r r ialah subset r, iaitu r rÍ r.

Contoh 2.17.

a) Biarkan X- set terhingga, X= (1, 2, 3) dan r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Sikap r transitif, kerana bersama-sama dengan pasangan<x,y>dan<y,z> mempunyai pasangan<x,z>. Sebagai contoh, bersama-sama dengan pasangan<1, 2>, Dan<2, 3>ada sepasang<1, 3>.

b) Biarkan X– set nombor nyata dan r nisbah £ (kurang daripada atau sama dengan). Hubungan ini adalah transitif, kerana Jika x£ y Dan y£ z, Itu x£ z.

c) Biarkan X- ramai orang dan r sikap "menjadi lebih tua". Hubungan ini adalah transitif, kerana Jika x lebih tua y Dan y lebih tua z, Itu x lebih tua z.

Definisi 2.12. Sikap r dipanggil hubungan kesetaraan pada satu set X, jika ia adalah refleksif, simetri dan transitif pada set X.

Contoh 2.18.

a) Biarkan X- set terhingga, X= (1, 2, 3) dan r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Sikap r ialah hubungan kesetaraan.

b) Biarkan X– set nombor nyata dan r hubungan kesamarataan. Ini adalah hubungan kesetaraan.

c) Biarkan X– ramai pelajar dan r sikap "belajar dalam kumpulan yang sama". Ini adalah hubungan kesetaraan.

biarlah r X.

Definisi 2.13. biarlah r– hubungan kesetaraan pada set X Dan xÎ X. Kelas kesetaraan, dihasilkan oleh elemen x, dipanggil subset bagi set X, yang terdiri daripada unsur-unsur tersebut yÎ X, untuk yang mana xry. Kelas kesetaraan yang dijana oleh unsur x, dilambangkan dengan [ x].

Oleh itu, [ x] = {yÎ X|xry}.

Bentuk kelas kesetaraan partition set X, iaitu, sistem subset tidak berpasangan berpasangan yang tidak kosong, penyatuannya bertepatan dengan keseluruhan set X.

Contoh 2.19.

a) Hubungan kesamaan pada set integer menjana kelas kesetaraan berikut: untuk sebarang elemen x daripada set ini [ x] = {x), iaitu setiap kelas kesetaraan terdiri daripada satu elemen.

b) Kelas kesetaraan yang dijana oleh pasangan<x, y> ditentukan oleh hubungan:

[<x, y>] = .

Setiap kelas kesetaraan dijana oleh pasangan<x, y>, mentakrifkan satu nombor rasional.

c) Bagi hubungan kepunyaan satu kumpulan pelajar, kelas kesetaraan ialah set pelajar kumpulan yang sama.

Definisi 2.14. Sikap r dipanggil antisimetri pada satu set X, jika ada x, yÎ X daripada xry Dan thn x sepatutnya x = y.

Daripada definisi antisimetri ia mengikuti bahawa apabila sepasang<x,y>dimiliki pada masa yang sama r Dan r – 1, kesaksamaan mesti dipenuhi x = y. Dalam kata lain, r Ç r – 1 hanya terdiri daripada pasangan borang<x,x >.

Contoh 2.20.

a) Biarkan X- set terhingga, X= (1, 2, 3) dan r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Sikap r antisimetri.

Sikap s= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) bukan antisimetri. Sebagai contoh,<1, 2> Î s, Dan<2, 1> Î s, tetapi 1¹2.

b) Biarkan X– set nombor nyata dan r nisbah £ (kurang daripada atau sama dengan). Hubungan ini adalah antisimetri, kerana Jika x £ y, Dan y £ x, Itu x = y.

Definisi 2.15. Sikap r dipanggil hubungan susunan separa(atau hanya pesanan separa) pada set X, jika ia adalah refleksif, antisimetri dan transitif pada set X. Sekumpulan X dalam kes ini ia dipanggil tertib separa dan hubungan yang ditentukan selalunya dilambangkan dengan simbol £, jika ini tidak membawa kepada salah faham.

Songsangan hubungan tertib separa jelas akan menjadi hubungan tertib separa.

Contoh 2.21.

a) Biarkan X- set terhingga, X= (1, 2, 3) dan r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Sikap r

b) Sikap AÍ DALAM pada set subset bagi beberapa set U terdapat hubungan tertib separa.

c) Hubungan boleh bahagi pada set nombor asli ialah hubungan tertib separa.

Fungsi. Konsep dan definisi asas

Dalam analisis matematik, definisi fungsi berikut diterima.

Pembolehubah y dipanggil fungsi pembolehubah x, jika mengikut beberapa peraturan atau undang-undang setiap nilai x sepadan dengan satu nilai tertentu y = f(x). Kawasan perubahan berubah-ubah x dipanggil domain definisi fungsi, dan domain perubahan pembolehubah y– julat nilai fungsi. Jika satu nilai x sepadan dengan beberapa (dan bahkan banyak nilai yang tidak terhingga) y), maka fungsi itu dipanggil berbilang nilai. Walau bagaimanapun, dalam kursus analisis fungsi pembolehubah sebenar, fungsi berbilang nilai dielakkan dan fungsi bernilai tunggal dipertimbangkan.

Mari kita pertimbangkan satu lagi definisi fungsi dari segi perhubungan.

Definisi 2.16. Fungsi ialah sebarang hubungan binari yang tidak mengandungi dua pasangan dengan komponen pertama yang sama dan yang kedua yang berbeza.

Sifat perhubungan ini dipanggil ketidakjelasan atau kefungsian.

Contoh 2.22.

A) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) – fungsi.

b) (<x, y>: x, y Î R, y = x 2) – fungsi.

V) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) ialah hubungan, tetapi bukan fungsi.

Definisi 2.17. Jika f– fungsi, kemudian Df – domain, A R f – julat fungsi f.

Contoh 2.23.

Contohnya 2.22 a) Df – {1, 3, 4, 5}; R f – {2, 4, 6}.

Contohnya 2.22 b) Df = R f = (–¥, ¥).

Setiap elemen x Df padanan fungsi hanya satu unsur y R f. Ini dilambangkan dengan notasi yang terkenal y = f(x). unsur x dipanggil hujah fungsi atau unsur praimej y dengan fungsi f, dan unsur y nilai fungsi f pada x atau imej unsur x di f.

Jadi, dari semua hubungan, fungsi menonjol kerana setiap elemen dari domain definisi mempunyai hanya satu gambar.

Definisi 2.18. Jika Df = X Dan R f = Y, maka mereka mengatakan bahawa fungsi f ditentukan pada X dan mengambil nilai-nilainya Y, A f dipanggil memetakan set X kepada Y(X ® Y).

Definisi 2.19. Fungsi f Dan g adalah sama jika domain mereka adalah set yang sama D, dan untuk sesiapa sahaja x Î D kesaksamaan adalah benar f(x) = g(x).

Takrifan ini tidak bercanggah dengan takrifan kesamaan fungsi sebagai kesamaan set (lagipun, kita takrifkan fungsi sebagai hubungan, iaitu, set): set f Dan g adalah sama jika dan hanya jika ia terdiri daripada unsur-unsur yang sama.

Definisi 2.20. Fungsi (paparan) f dipanggil surjektif atau secara ringkas surjection, jika untuk sebarang elemen y Y ada unsur x Î X, seperti itu y = f(x).

Jadi setiap fungsi f ialah pemetaan surjektif (surjection) Df® R f.

Jika f ialah surjection, dan X Dan Y ialah set terhingga, kemudian ³ .

Definisi 2.21. Fungsi (paparan) f dipanggil suntikan atau secara ringkas suntikan atau satu-satu, jika dari f(a) = f(b) sepatutnya a = b.

Definisi 2.22. Fungsi (paparan) f dipanggil bijektif atau secara ringkas bijection, jika ia adalah injektif dan surjektif.

Jika f adalah bijection, dan X Dan Y ialah set terhingga, maka = .

Definisi 2.23. Jika julat fungsi Df terdiri daripada satu unsur, maka f dipanggil fungsi tetap.

Contoh 2.24.

A) f(x) = x 2 ialah pemetaan daripada set nombor nyata kepada set nombor nyata bukan negatif. Kerana f(–a) = f(a), Dan a ¹ – a, maka fungsi ini bukan suntikan.

b) Untuk semua orang x R= (– , ) fungsi f(x) = 5 – fungsi malar. Ia memaparkan banyak R untuk menetapkan (5). Fungsi ini bersifat surjektif, tetapi bukan injektif.

V) f(x) = 2x+ 1 adalah suntikan dan bijection, kerana daripada 2 x 1 +1 = 2x 2 +1 mengikuti x 1 = x 2 .

Definisi 2.24. Fungsi yang melaksanakan paparan X 1 X 2 ´...´ Xn ® Y dipanggil n-tempatan fungsi.

Contoh 2.25.

a) Tambah, tolak, darab dan bahagi ialah fungsi dua tempat pada set R nombor nyata, iaitu fungsi seperti R 2® R.

b) f(x, y) = ialah fungsi dua tempat yang melaksanakan pemetaan R ´ ( R \ )® R. Fungsi ini bukan suntikan, kerana f(1, 2) = f(2, 4).

c) Jadual kemenangan loteri menentukan fungsi dua tempat yang mewujudkan surat-menyurat antara pasangan N 2 (N– satu set nombor asli) dan satu set kemenangan.

Oleh kerana fungsi adalah hubungan binari, adalah mungkin untuk mencari fungsi songsang dan menggunakan operasi gubahan. Komposisi mana-mana dua fungsi ialah fungsi, tetapi bukan untuk setiap fungsi f sikap f–1 ialah fungsi.

Contoh 2.26.

A) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) – fungsi.

Sikap f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) bukan fungsi.

b) g = {<1, a>, <2, b>, <3, c>, <4, D>) ialah fungsi.

g -1 = {<a, 1>, <b, 2>, <c, 3>, <D, 4>) juga merupakan fungsi.

c) Cari komposisi fungsi f daripada contoh a) dan g-1 daripada contoh b). Kami ada g -1f = {<a, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <d, 2>}.

fg-1 = Æ.

Perhatikan, bahawa ( g -1f)(a) = f(g -1 (a)) = f(1) = 2; (g -1f)(c) = f(g -1 (c)) = f(3) = 4.

Fungsi asas dalam analisis matematik setiap fungsi dipanggil f, yang merupakan komposisi bilangan terhingga fungsi aritmetik, serta fungsi berikut:

1) Fungsi pecahan-rasional, iaitu. fungsi borang

a 0 + a 1 x + ... + a n x n

b 0 + b 1 x + ... + b m x m.

2) Fungsi kuasa f(x) = x m, Di mana m– sebarang nombor nyata tetap.

3) Fungsi eksponen f(x) = e x.

4) fungsi logaritma f(x) = log a x, a >0, a 1.

5) Fungsi trigonometri dosa, cos, tg, ctg, sec, csc.

6) Fungsi hiperbolik sh, ch, th, cth.

7) Terbalik fungsi trigonometri arcsin, arccos dan lain-lain.

Sebagai contoh, fungsi log 2 (x 3 +sincos 3x) adalah asas, kerana ia adalah komposisi fungsi cosx, sinx, x 3 , x 1 + x 2 , logx, x 2 .

Ungkapan yang menerangkan komposisi fungsi dipanggil formula.

Untuk fungsi berbilang tempat, hasil penting berikut adalah sah, yang diperoleh oleh A. N. Kolmogorov dan V. I. Arnold pada tahun 1957 dan yang merupakan penyelesaian kepada masalah ke-13 Hilbert:

Teorem. Mana-mana fungsi berterusan n pembolehubah boleh diwakili sebagai komposisi fungsi berterusan dua pembolehubah.

Kaedah untuk menentukan fungsi

1. Cara paling mudah untuk menentukan fungsi adalah melalui jadual (Jadual 2.2):

Jadual 2.2

Walau bagaimanapun, fungsi yang ditakrifkan pada set terhingga boleh ditakrifkan dengan cara ini.

Jika fungsi yang ditakrifkan pada set tak terhingga (segmen, selang) diberikan pada bilangan titik terhingga, contohnya, dalam bentuk jadual trigonometri, jadual fungsi khas, dsb., maka peraturan interpolasi digunakan untuk mengira nilai fungsi pada titik perantaraan.

2. Fungsi boleh ditentukan sebagai formula yang menerangkan fungsi sebagai komposisi fungsi lain. Formula menentukan urutan untuk mengira fungsi.

Contoh 2.28.

f(x) = dosa(x + Ö x) ialah komposisi fungsi berikut:

g(y) = Ö y; h(awak, v) = u+ v; w(z) = sinz.

3. Fungsi boleh ditentukan sebagai prosedur rekursif. Prosedur rekursif menentukan fungsi yang ditakrifkan pada set nombor asli, i.e. f(n), n= 1, 2,... seperti berikut: a) tetapkan nilai f(1) (atau f(0)); b) nilai f(n+ 1) ditentukan melalui gubahan f(n) dan fungsi lain yang diketahui. Contoh paling mudah bagi prosedur rekursif ialah pengiraan n!: a) 0! = 1; b) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Banyak prosedur kaedah berangka adalah prosedur rekursif.

4. Terdapat cara yang mungkin untuk menentukan fungsi yang tidak mengandungi kaedah untuk mengira fungsi, tetapi hanya menerangkannya. Sebagai contoh:

f M(x) =

Fungsi f M(x) – fungsi ciri set M.

Jadi, mengikut maksud definisi kami, tetapkan fungsi f– bermaksud untuk menetapkan paparan X ® Y, iaitu mentakrifkan satu set X´ Y, jadi persoalannya adalah untuk menentukan set tertentu. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk mentakrifkan konsep fungsi tanpa menggunakan bahasa teori set, iaitu: fungsi dianggap diberikan jika prosedur pengiraan diberikan bahawa, diberi nilai hujah, mencari nilai fungsi yang sepadan. Fungsi yang ditakrifkan dengan cara ini dipanggil boleh dikira.

Contoh 2.29.

Prosedur penentuan Nombor Fibonacci, diberikan oleh hubungan

Fn= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)

dengan nilai awal F 0 = 1, F 1 = 1.

Formula (2.1) bersama-sama dengan nilai awal menentukan siri nombor Fibonacci berikut:

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
Fn	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

Prosedur pengiraan untuk menentukan nilai fungsi daripada nilai hujah yang diberikan tidak lebih daripada algoritma.

Soalan kawalan ke topik 2

1. Nyatakan cara untuk mentakrifkan hubungan binari.

2. Diagonal utama matriks hubungan yang manakah mengandungi hanya satu?

3. Untuk hubungan apa? r syaratnya sentiasa dipenuhi r = r – 1 ?

4. Untuk sikap apa r syaratnya sentiasa dipenuhi r rÍ r.

5. Perkenalkan hubungan kesetaraan dan susunan separa pada set semua garisan dalam satah.

6. Nyatakan cara untuk menentukan fungsi.

7. Manakah antara pernyataan berikut adalah benar?

a) Setiap hubungan binari ialah fungsi.

b) Setiap fungsi ialah hubungan binari.

Topik 3. GRAF

Karya pertama Euler mengenai teori graf muncul pada tahun 1736. Pada mulanya, teori ini dikaitkan dengan teka-teki dan permainan matematik. Walau bagaimanapun, seterusnya teori graf mula digunakan dalam topologi, algebra, dan teori nombor. Kini, teori graf digunakan dalam pelbagai bidang sains, teknologi dan aktiviti praktikal. Ia digunakan dalam reka bentuk rangkaian elektrik, perancangan pengangkutan, dan pembinaan litar molekul. Teori graf juga digunakan dalam ekonomi, psikologi, sosiologi, dan biologi.