Formula untuk terbitan bagi fungsi yang dinyatakan dalam cara parametrik. Bukti dan contoh penggunaan formula ini. Contoh pengiraan terbitan tertib pertama, kedua dan ketiga.
Biarkan fungsi dinyatakan dalam cara parametrik:
(1)
di mana beberapa pembolehubah dipanggil parameter. Dan biarkan fungsi mempunyai derivatif pada nilai tertentu pembolehubah. Selain itu, fungsi itu juga mempunyai fungsi songsang dalam kejiranan tertentu titik. Kemudian fungsi (1) mempunyai terbitan pada titik, yang, dalam bentuk parametrik, ditentukan oleh formula:
(2)
Di sini dan ialah terbitan bagi fungsi dan berkenaan dengan pembolehubah (parameter). Mereka sering ditulis seperti berikut:
;
.
Kemudian sistem (2) boleh ditulis seperti berikut:
Bukti
Mengikut keadaan, fungsi mempunyai fungsi songsang. Mari kita nyatakan sebagai
.
Kemudian fungsi asal boleh diwakili sebagai fungsi kompleks:
.
Mari cari terbitannya menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks dan songsang:
.
Peraturan itu telah terbukti.
Bukti dengan cara kedua
Mari cari derivatif dengan cara kedua, berdasarkan takrifan derivatif fungsi pada titik:
.
Mari kita perkenalkan notasi:
.
Kemudian formula sebelumnya mengambil bentuk:
.
Mari kita mengambil kesempatan daripada fakta bahawa fungsi mempunyai fungsi songsang dalam kejiranan titik.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
;
;
;
.
Bahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan:
.
Pada , .
.
Peraturan itu telah terbukti.
Kemudian
Derivatif peringkat tinggi
(1)
Untuk mencari derivatif pesanan yang lebih tinggi, perlu melakukan pembezaan beberapa kali. Katakan kita perlu mencari terbitan tertib kedua bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, dalam bentuk berikut:
(2)
Menggunakan formula (2) kita dapati derivatif pertama, yang juga ditentukan secara parametrik:
.
Mari kita nyatakan derivatif pertama oleh pembolehubah:
(3)
Kemudian, untuk mencari terbitan kedua bagi fungsi berkenaan dengan pembolehubah, anda perlu mencari terbitan pertama bagi fungsi berkenaan dengan pembolehubah. Kebergantungan pembolehubah pada pembolehubah juga dinyatakan dalam cara parametrik:
Membandingkan (3) dengan formula (1) dan (2), kita dapati:
.
Sekarang mari kita nyatakan hasilnya melalui fungsi dan . Untuk melakukan ini, mari kita gantikan dan gunakan formula pecahan terbitan:
.
Kemudian 
Dari sini kita memperoleh derivatif kedua bagi fungsi berkenaan dengan pembolehubah:
.
Meneruskan proses, anda boleh mendapatkan derivatif fungsi daripada pembolehubah pesanan ketiga dan lebih tinggi.
Ambil perhatian bahawa kita tidak perlu memperkenalkan notasi untuk terbitan. Anda boleh menulisnya seperti ini:
;
.
Contoh 1
Cari terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik:
Penyelesaian
Kami mencari derivatif berkenaan dengan .
Daripada jadual derivatif kita dapati:
;
.
Kami memohon:
.
Di sini.
.
Di sini.
Derivatif yang diperlukan:
.
Jawab
Contoh 2
Cari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan melalui parameter:
Penyelesaian
Mari kembangkan kurungan menggunakan formula untuk fungsi kuasa dan akar:
.
Mencari terbitan:
.
Mencari terbitan. Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan pembolehubah dan menggunakan formula untuk derivatif fungsi kompleks.
.
Kami mencari derivatif yang dikehendaki:
.
Jawab
Contoh 3
Cari terbitan tertib kedua dan ketiga bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik dalam Contoh 1:
Penyelesaian
Dalam Contoh 1 kami menemui derivatif tertib pertama:
Mari kita perkenalkan sebutannya. Maka fungsi tersebut adalah terbitan berkenaan dengan . Ia dinyatakan secara parametrik:
Untuk mencari terbitan kedua berkenaan dengan , kita perlu mencari terbitan pertama berkenaan dengan .
Mari bezakan dengan .
.
Kami mendapati terbitan dalam Contoh 1:
.
Derivatif tertib kedua berkenaan dengan adalah sama dengan terbitan tertib pertama berkenaan dengan:
.
Jadi, kami mendapati terbitan tertib kedua berkenaan dengan bentuk parametrik:
Sekarang kita dapati derivatif tertib ketiga. Mari kita perkenalkan sebutannya. Kemudian kita perlu mencari derivatif tertib pertama bagi fungsi, yang dinyatakan dalam cara parametrik:
Cari terbitan berkenaan dengan . Untuk melakukan ini, kami menulis semula dalam bentuk yang setara:
.
daripada
.
Derivatif tertib ketiga berkenaan dengan adalah sama dengan terbitan tertib pertama berkenaan dengan:
.
Komen
Anda tidak perlu memasukkan pembolehubah dan , yang merupakan terbitan dan , masing-masing. Kemudian anda boleh menulisnya seperti ini:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Jawab
Dalam perwakilan parametrik, terbitan tertib kedua mempunyai pandangan seterusnya:
Derivatif tertib ketiga:
Pertimbangkan untuk mentakrifkan garis pada satah di mana pembolehubah x, y adalah fungsi pembolehubah ketiga t (dipanggil parameter):
Bagi setiap nilai t dari selang tertentu nilai tertentu sepadan x Dan y, a, oleh itu, titik tertentu M (x, y) satah itu. Bila t berjalan melalui semua nilai dari selang tertentu, kemudian titik M (x, y) menerangkan beberapa baris L. Persamaan (2.2) dipanggil persamaan garis parametrik L.
Jika fungsi x = φ(t) mempunyai songsang t = Ф(x), kemudian menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan y = g(t), kita memperoleh y = g(Ф(x)), yang menentukan y sebagai fungsi daripada x. Dalam kes ini, kita katakan bahawa persamaan (2.2) mentakrifkan fungsi y secara parametrik.
Contoh 1. biarlah M(x,y)– titik sewenang-wenangnya pada bulatan jejari R dan berpusat pada asal. biarlah t– sudut antara paksi lembu dan jejari OM(lihat Rajah 2.3). Kemudian x, y dinyatakan melalui t:
Persamaan (2.3) ialah persamaan parametrik bagi bulatan. Marilah kita mengecualikan parameter t daripada persamaan (2.3). Untuk melakukan ini, kita kuasa duakan setiap persamaan dan tambahkannya, kita dapat: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) atau x 2 + y 2 = R 2 – persamaan bulatan dalam Cartesan sistem koordinat. Ia mentakrifkan dua fungsi: Setiap fungsi ini diberikan oleh persamaan parametrik (2.3), tetapi untuk fungsi pertama , dan untuk yang kedua .
Contoh 2. Persamaan parametrik
tentukan elips dengan separuh paksi a, b(Gamb. 2.4). Tidak termasuk parameter daripada persamaan t, kita memperoleh persamaan kanonik bagi elips:
Contoh 3. Sikloid ialah garis yang diterangkan oleh titik yang terletak pada bulatan jika bulatan ini bergolek tanpa menggelongsor dalam garis lurus (Rajah 2.5). Mari kita perkenalkan persamaan parametrik bagi sikloid. Biarkan jejari bulatan bergolek itu a, titik M, menerangkan sikloid, pada permulaan pergerakan bertepatan dengan asal koordinat. 
Mari tentukan koordinat x, mata y M selepas bulatan itu berputar melalui suatu sudut t
(Gamb. 2.5), t = ÐMCB. Panjang lengkok M.B. sama dengan panjang segmen O.B. kerana bulatan bergolek tanpa tergelincir, oleh itu
OB = at, AB = MD = asin, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – kos).
Jadi, persamaan parametrik sikloid diperoleh:
Apabila menukar parameter t dari 0 hingga 2π bulatan berputar satu pusingan, dan titik M menerangkan satu lengkok bagi sikloid. Persamaan (2.5) memberi y sebagai fungsi daripada x. Walaupun fungsi x = a(t – sint) mempunyai fungsi songsang, tetapi ia tidak dinyatakan dalam sebutan fungsi asas, jadi fungsi y = f(x) tidak dinyatakan melalui fungsi asas.
Mari kita pertimbangkan pembezaan fungsi yang ditakrifkan secara parametrik oleh persamaan (2.2). Fungsi x = φ(t) pada selang perubahan t tertentu mempunyai fungsi songsang t = Ф(x), Kemudian y = g(Ф(x)). biarlah x = φ(t), y = g(t) mempunyai derivatif, dan x"t≠0. Mengikut peraturan pembezaan fungsi kompleks y"x=y"t×t"x. Berdasarkan peraturan untuk membezakan fungsi songsang, oleh itu:
Formula yang terhasil (2.6) membolehkan seseorang mencari derivatif bagi fungsi yang dinyatakan secara parametrik.
Contoh 4. Biarkan fungsi y, bergantung kepada x, dinyatakan secara parametrik:
Penyelesaian. 
.
Contoh 5. Cari cerun k tangen kepada sikloid pada titik M 0 sepadan dengan nilai parameter.
Penyelesaian. Daripada persamaan sikloid: y" t = masin, x" t = a(1 – kos), sebab tu 
Faktor cerun tangen pada satu titik M0 sama dengan nilai di t 0 = π/4:
FUNGSI BERBEZA
Biarkan fungsi pada titik x 0 mempunyai derivatif. A-priory: 
oleh itu, mengikut sifat had (Seksyen 1.8), di mana a– sangat kecil pada Δx → 0. Dari sini
Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)
Sebagai Δx → 0, sebutan kedua dalam kesamaan (2.7) adalah sangat kecil perintah yang lebih tinggi, berbanding dengan 
, oleh itu Δy dan f " (x 0)×Δx adalah setara, infinitesimal (untuk f "(x 0) ≠ 0).
Oleh itu, kenaikan fungsi Δy terdiri daripada dua sebutan, yang mana f "(x 0)×Δx pertama ialah bahagian utama kenaikan Δy, linear berkenaan dengan Δx (untuk f "(x 0)≠ 0).
Berbeza fungsi f(x) pada titik x 0 dipanggil bahagian utama kenaikan fungsi dan dilambangkan dengan: dy atau df(x0). Oleh itu,
df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)
Contoh 1. Cari pembezaan fungsi dy dan pertambahan fungsi Δy untuk fungsi y = x 2 pada:
1) sewenang-wenangnya x dan Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.
Penyelesaian
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Jika x 0 = 20, Δx = 0.1, maka Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; dy = 40×0.1= 4.
Mari kita tulis kesamaan (2.7) dalam bentuk:
Δy = dy + a×Δx. (2.9)
Kenaikan Δy berbeza daripada pembezaan dy kepada infinitesimal of higher order, berbanding dengan Δx, oleh itu, dalam pengiraan anggaran, anggaran kesamaan Δy ≈ dy digunakan jika Δx cukup kecil.
Memandangkan Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), kita memperoleh formula anggaran:
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
Contoh 2. Kira kira-kira.
Penyelesaian. Pertimbangkan:
Menggunakan formula (2.10), kami memperoleh:
Jadi, ≈ 2.025.
Mari kita pertimbangkan makna geometri pembezaan df(x 0)(Gamb. 2.6). 
Mari kita lukis tangen kepada graf fungsi y = f(x) pada titik M 0 (x0, f(x 0)), biarkan φ ialah sudut antara tangen KM0 dan paksi Ox, kemudian f"( x 0) = tanφ daripada ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Tetapi PN ialah kenaikan ordinat tangen apabila x berubah daripada x 0 kepada x 0 + Δx.
Akibatnya, pembezaan fungsi f(x) pada titik x 0 adalah sama dengan kenaikan ordinat tangen.
Mari cari pembezaan fungsi
y = x. Oleh kerana (x)" = 1, maka dx = 1×Δx = Δx. Kami akan menganggap bahawa pembezaan pembolehubah bebas x adalah sama dengan kenaikannya, iaitu dx = Δx.
Jika x ialah nombor arbitrari, maka daripada kesamaan (2.8) kita memperoleh df(x) = f "(x)dx, dari mana 
.
Oleh itu, terbitan bagi fungsi y = f(x) adalah sama dengan nisbah pembezaannya dengan pembezaan hujah.
Mari kita pertimbangkan sifat pembezaan fungsi.
Jika u(x), v(x) ialah fungsi boleh dibezakan, maka formula berikut adalah sah:
Untuk membuktikan formula ini, formula terbitan untuk jumlah, hasil darab dan hasil bagi suatu fungsi digunakan. Mari kita buktikan, sebagai contoh, formula (2.12):
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Mari kita pertimbangkan pembezaan fungsi kompleks: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).
Kemudian dy = y" t dt, tetapi y" t = y" x ×x" t, jadi dy =y" x x" t dt. Memandangkan,
bahawa x" t = dx, kita dapat dy = y" x dx =f "(x)dx.
Oleh itu, pembezaan fungsi kompleks y = f(x), dengan x =φ(t), mempunyai bentuk dy = f "(x)dx, sama seperti dalam kes apabila x ialah pembolehubah bebas. Sifat ini dipanggil invarian bentuk pembezaan A.
Jangan tekankan, segala-galanya dalam perenggan ini juga agak mudah. Anda boleh menulis formula umum fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, tetapi, untuk menjelaskannya, saya akan segera menulis contoh khusus. Dalam bentuk parametrik, fungsi diberikan oleh dua persamaan: . Selalunya persamaan ditulis bukan di bawah kurungan kerinting, tetapi secara berurutan: , .
Pembolehubah dipanggil parameter dan boleh mengambil nilai daripada "tolak infiniti" kepada "tambah infiniti". Pertimbangkan, sebagai contoh, nilai dan gantikannya ke dalam kedua-dua persamaan: 
. Atau dalam istilah manusia: "jika x sama dengan empat, maka y sama dengan satu." Anda boleh menandakan titik pada satah koordinat, dan titik ini akan sepadan dengan nilai parameter. Begitu juga, anda boleh mencari titik untuk sebarang nilai parameter "te". Bagi fungsi "biasa", bagi orang India Amerika bagi fungsi yang ditentukan secara parametrik, semua hak juga dihormati: anda boleh membina graf, mencari derivatif, dsb. Dengan cara ini, jika anda perlu memplot graf fungsi yang ditentukan secara parametrik, muat turun atur cara geometri saya pada halaman Formula dan jadual matematik.
Dalam kes yang paling mudah, adalah mungkin untuk mewakili fungsi secara eksplisit. Mari kita nyatakan parameter dari persamaan pertama: 
– dan gantikannya ke dalam persamaan kedua: 
. Hasilnya ialah fungsi padu biasa.
Dalam kes yang lebih "teruk", helah ini tidak berfungsi. Tetapi tidak mengapa, kerana terdapat formula untuk mencari derivatif fungsi parametrik:
Kami mencari terbitan "permainan berkenaan dengan pembolehubah te":
Semua peraturan pembezaan dan jadual terbitan adalah sah, secara semula jadi, untuk huruf , oleh itu, tiada kebaharuan dalam proses mencari derivatif. Hanya gantikan semua "X" dalam jadual dengan huruf "Te".
Kami mencari terbitan "x berkenaan dengan pembolehubah te": 
Sekarang yang tinggal hanyalah untuk menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam formula kami: 
sedia. Derivatif, seperti fungsi itu sendiri, juga bergantung pada parameter.
Bagi tatatanda, bukannya menulisnya dalam formula, seseorang hanya boleh menulisnya tanpa subskrip, kerana ini adalah terbitan "biasa" "berkenaan dengan X". Tetapi dalam kesusasteraan sentiasa ada pilihan, jadi saya tidak akan menyimpang dari standard.
Contoh 6
Kami menggunakan formula
Dalam kes ini:
Oleh itu: 
Satu ciri khas mencari terbitan bagi fungsi parametrik ialah hakikat bahawa pada setiap langkah adalah berfaedah untuk memudahkan hasilnya sebanyak mungkin. Jadi, dalam contoh yang dipertimbangkan, apabila saya menemuinya, saya membuka kurungan di bawah akar (walaupun saya mungkin tidak melakukan ini). Terdapat peluang yang baik bahawa apabila menggantikan formula, banyak perkara akan dikurangkan dengan baik. Walaupun, sudah tentu, terdapat contoh dengan jawapan yang kekok.
Contoh 7
Cari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara parametrik 
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.
Dalam artikel Masalah biasa yang paling mudah dengan derivatif kita melihat contoh di mana kita perlu mencari terbitan kedua bagi suatu fungsi. Untuk fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, anda juga boleh mencari terbitan kedua, dan ia didapati menggunakan formula berikut: . Agak jelas bahawa untuk mencari derivatif kedua, anda mesti mencari derivatif pertama terlebih dahulu.
Contoh 8
Cari terbitan pertama dan kedua bagi fungsi yang diberi secara parametrik
Mula-mula, mari cari derivatif pertama.
Kami menggunakan formula
Dalam kes ini: 
Menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam formula. Untuk tujuan penyederhanaan, kami menggunakan formula trigonometri: 
Saya perhatikan bahawa dalam masalah mencari derivatif fungsi parametrik, selalunya untuk tujuan pemudahan ia perlu digunakan rumus trigonometri . Ingat mereka atau pastikan mereka berguna, dan jangan lepaskan peluang untuk memudahkan setiap keputusan dan jawapan perantaraan. Untuk apa? Sekarang kita perlu mengambil terbitan , dan ini jelas lebih baik daripada mencari terbitan .
Mari cari terbitan kedua.
Kami menggunakan formula: .
Mari lihat formula kami. Penyebut telah dijumpai dalam langkah sebelumnya. Ia kekal untuk mencari pengangka - terbitan terbitan pertama berkenaan dengan pembolehubah "te":
Ia tetap menggunakan formula: 
Untuk mengukuhkan bahan, saya menawarkan beberapa lagi contoh untuk anda selesaikan sendiri.
Contoh 9
Contoh 10
Cari dan untuk fungsi yang ditentukan secara parametrik 
Semoga anda berjaya!
Saya harap pelajaran ini berguna, dan kini anda boleh mencari derivatif fungsi yang dinyatakan secara tersirat dan daripada fungsi parametrik
Penyelesaian dan jawapan:
Contoh 3: Penyelesaian:
Oleh itu:
Fungsi boleh ditentukan dalam beberapa cara. Ia bergantung pada peraturan yang digunakan untuk menentukannya. Bentuk eksplisit untuk menyatakan fungsi ialah y = f (x). Ada kalanya penerangannya mustahil atau menyusahkan. Jika terdapat banyak pasangan (x; y) yang perlu dikira untuk parameter t sepanjang selang (a; b). Untuk menyelesaikan sistem x = 3 cos t y = 3 sin t dengan 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Definisi fungsi parametrik
Dari sini kita dapati bahawa x = φ (t), y = ψ (t) ditakrifkan untuk nilai t ∈ (a; b) dan mempunyai fungsi songsang t = Θ (x) untuk x = φ (t), maka kita bercakap tentang menentukan persamaan parametrik bagi fungsi bentuk y = ψ (Θ (x)) .
Terdapat kes apabila, untuk mengkaji fungsi, adalah perlu untuk mencari derivatif berkenaan dengan x. Mari kita pertimbangkan formula untuk terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik bagi bentuk y x " = ψ " (t) φ " (t), mari kita bincangkan tentang terbitan bagi tertib ke-2 dan ke-n.
Terbitan formula untuk terbitan bagi fungsi yang ditentukan secara parametrik
Kami mempunyai bahawa x = φ (t), y = ψ (t), ditakrifkan dan boleh dibezakan untuk t ∈ a; b, dengan x t " = φ " (t) ≠ 0 dan x = φ (t), maka terdapat fungsi songsang bagi bentuk t = Θ (x).
Sebagai permulaan, anda harus beralih daripada tugas parametrik kepada tugas yang jelas. Untuk melakukan ini, anda perlu mendapatkan fungsi kompleks dalam bentuk y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), di mana terdapat hujah x.
Berdasarkan peraturan untuk mencari terbitan bagi fungsi kompleks, kita memperoleh bahawa y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
Ini menunjukkan bahawa t = Θ (x) dan x = φ (t) ialah fungsi songsang daripada formula fungsi songsang Θ " (x) = 1 φ " (t), kemudian y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan untuk menyelesaikan beberapa contoh menggunakan jadual derivatif mengikut peraturan pembezaan.
Contoh 1
Cari terbitan bagi fungsi x = t 2 + 1 y = t.
Penyelesaian
Dengan syarat kita mempunyai bahawa φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, dari sini kita memperoleh bahawa φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Anda mesti menggunakan formula terbitan dan tulis jawapan dalam borang:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Jawapan: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
Apabila bekerja dengan derivatif fungsi h, parameter t menentukan ungkapan argumen x melalui parameter yang sama t, supaya tidak kehilangan hubungan antara nilai derivatif dan fungsi yang ditakrifkan secara parametrik dengan argumen kepada yang sepadan dengan nilai-nilai ini.
Untuk menentukan terbitan tertib kedua bagi fungsi yang diberikan secara parametrik, anda perlu menggunakan formula untuk derivatif tertib pertama pada fungsi yang terhasil, kemudian kami mendapatnya
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Contoh 2
Cari terbitan tertib ke-2 dan ke-2 bagi fungsi yang diberi x = cos (2 t) y = t 2 .
Penyelesaian
Mengikut keadaan, kita dapati φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.
Kemudian selepas transformasi
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Ia berikutan bahawa y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Kami memperoleh bahawa bentuk terbitan tertib pertama ialah x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Untuk menyelesaikannya, anda perlu menggunakan formula terbitan tertib kedua. Kami mendapat ungkapan borang
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Kemudian nyatakan terbitan tertib ke-2 menggunakan fungsi parametrik
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Penyelesaian yang serupa boleh diselesaikan menggunakan kaedah lain. Kemudian
φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2
Dari sini kita dapat itu
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Jawapan: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Derivatif tertib tinggi dengan fungsi yang ditakrifkan secara parametrik didapati dengan cara yang sama.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Sehingga kini, kami telah mempertimbangkan persamaan garisan pada satah yang menyambung secara langsung koordinat semasa bagi titik garisan ini. Walau bagaimanapun, kaedah lain untuk menentukan garis sering digunakan, di mana koordinat semasa dianggap sebagai fungsi pembolehubah ketiga.
Biarkan dua fungsi pembolehubah diberikan
dipertimbangkan untuk nilai yang sama t. Kemudian mana-mana nilai t ini sepadan dengan nilai tertentu dan nilai tertentu y, dan oleh itu ke titik tertentu. Apabila pembolehubah t berjalan melalui semua nilai dari domain definisi fungsi (73), titik menerangkan garis C tertentu dalam satah Persamaan (73) dipanggil persamaan parametrik garis ini, dan pembolehubah dipanggil satu parameter.
Mari kita andaikan bahawa fungsi mempunyai fungsi songsang Menggantikan fungsi ini ke dalam kedua persamaan (73), kita memperoleh persamaan
menyatakan y sebagai fungsi
Marilah kita bersetuju untuk mengatakan bahawa fungsi ini diberikan secara parametrik oleh persamaan (73). Peralihan daripada persamaan ini kepada persamaan (74) dipanggil penyingkiran parameter. Apabila mempertimbangkan fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, mengecualikan parameter bukan sahaja tidak diperlukan, tetapi juga tidak selalu mungkin secara praktikal.
Dalam banyak kes, ia adalah lebih mudah, memandangkan nilai parameter yang berbeza, untuk kemudian mengira, menggunakan formula (73), nilai yang sepadan dengan hujah dan fungsi y.
Mari lihat contoh.
Contoh 1. Biarkan titik arbitrari pada bulatan dengan pusat pada asalan dan jejari R. Koordinat Cartesan x dan y titik ini dinyatakan melalui jejari kutub dan sudut kutubnya, yang kita nyatakan di sini dengan t, seperti berikut ( lihat Bab I, § 3, perenggan 3):
Persamaan (75) dipanggil persamaan parametrik bulatan. Parameter di dalamnya ialah sudut kutub, yang berbeza dari 0 hingga .
Jika persamaan (75) adalah sebutan kuasa dua dengan sebutan dan ditambah, maka berdasarkan identiti parameter itu dihapuskan dan persamaan bulatan dalam sistem koordinat Cartesan diperoleh, yang mentakrifkan dua fungsi asas:
Setiap fungsi ini dinyatakan secara parametrik oleh persamaan (75), tetapi julat parameter untuk fungsi ini adalah berbeza. Untuk yang pertama daripada mereka; Graf fungsi ini ialah separuh bulatan atas. Untuk fungsi kedua, grafnya ialah separuh bulatan bawah.
Contoh 2. Pertimbangkan serentak elips
dan bulatan dengan pusat pada asalan dan jejari a (Rajah 138).
Pada setiap titik M elips kita mengaitkan satu titik N bulatan, yang mempunyai absis yang sama dengan titik M dan terletak dengannya pada sisi yang sama paksi Lembu. Kedudukan titik N, dan oleh itu titik M, ditentukan sepenuhnya oleh sudut kutub t titik Dalam kes ini, untuk absis sepunya mereka kita memperoleh ungkapan berikut: x = a. Kami mencari ordinat pada titik M daripada persamaan elips:
Tanda tersebut dipilih kerana ordinat bagi titik M dan ordinat bagi titik N mestilah mempunyai tanda yang sama.
Oleh itu, persamaan parametrik berikut diperolehi untuk elips:
Di sini parameter t berbeza dari 0 hingga .
Contoh 3. Pertimbangkan bulatan dengan pusat di titik a) dan jejari a, yang jelas menyentuh paksi-x pada asalan (Rajah 139). Mari kita andaikan bahawa bulatan ini bergolek tanpa tergelincir sepanjang paksi-x. Kemudian titik M bulatan, yang pada saat awal bertepatan dengan asal koordinat, menerangkan garis yang dipanggil sikloid.
Marilah kita terbitkan persamaan parametrik bagi sikloid, dengan mengambil sebagai parameter t sudut MSV putaran bulatan apabila menggerakkan titik tetapnya dari kedudukan O ke kedudukan M. Kemudian untuk koordinat dan y titik M kita memperoleh ungkapan berikut:
Disebabkan fakta bahawa bulatan bergolek sepanjang paksi tanpa tergelincir, panjang segmen OB adalah sama dengan panjang lengkok BM. Oleh kerana panjang lengkok BM adalah sama dengan hasil darab jejari a dan sudut pusat t, maka . sebab tu . Tetapi Oleh itu,
Persamaan ini ialah persamaan parametrik bagi sikloid. Apabila parameter t berubah dari 0 kepada bulatan akan membuat satu revolusi penuh. Titik M akan menerangkan satu lengkok bagi sikloid.
Mengecualikan parameter t di sini membawa kepada ungkapan yang menyusahkan dan boleh dikatakan tidak praktikal.
Takrifan parametrik garisan sering digunakan dalam mekanik, dan peranan parameter dimainkan oleh masa.
Contoh 4. Mari kita tentukan trajektori peluru yang dilepaskan daripada pistol dengan kelajuan awal pada sudut a kepada mendatar. Kami mengabaikan rintangan udara dan dimensi peluru, menganggapnya sebagai titik material.
Mari kita pilih sistem koordinat. Mari kita ambil titik berlepas peluru dari muncung sebagai asal koordinat. Mari kita halakan paksi Lembu secara mendatar, dan paksi Oy secara menegak, meletakkannya dalam satah yang sama dengan muncung pistol. Jika tiada daya graviti, maka peluru akan bergerak dalam garis lurus, membuat sudut a dengan paksi Lembu, dan mengikut masa t ia akan menempuh jarak Koordinat peluru pada masa t masing-masing adalah sama kepada: . Disebabkan oleh graviti, peluru mesti pada saat ini menurun secara menegak dengan jumlah Oleh itu, pada hakikatnya, pada masa t, koordinat peluru ditentukan oleh formula:
Persamaan ini mengandungi kuantiti tetap. Apabila t berubah, koordinat pada titik trajektori peluru juga akan berubah. Persamaan adalah persamaan parametrik bagi trajektori peluru, di mana parameternya ialah masa
Menyatakan daripada persamaan pertama dan menggantikannya ke dalam
persamaan kedua, kita memperoleh persamaan trajektori peluru dalam bentuk Ini adalah persamaan parabola.