\(\blacktriangleright\) Untuk mencari nilai terbesar/terkecil fungsi pada segmen \(\) , adalah perlu untuk menggambarkan secara skematik graf fungsi pada segmen ini.
Dalam masalah daripada subtopik ini, ini boleh dilakukan menggunakan derivatif: cari selang peningkatan (\(f">0\) ) dan menurun (\(f"<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktriangleright\) Jangan lupa bahawa fungsi boleh mengambil nilai terbesar/terkecil bukan sahaja pada titik dalaman segmen \(\), tetapi juga pada hujungnya.
\(\blacktriangleright\) Nilai terbesar/terkecil bagi fungsi ialah nilai koordinat \(y=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Terbitan bagi fungsi kompleks \(f(t(x))\) ditemui mengikut peraturan: \[(\Besar(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Fungsi ) f(x) & \text(Derivatif ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Fungsi ) f(x) & \text(Derivatif ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]
Tugasan 1 #2357
Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu
Cari nilai terkecil bagi fungsi \(y = e^(x^2 - 4)\) pada segmen \([-10; -2]\) .
ODZ: \(x\) – sewenang-wenangnya.
1) \
\ Oleh itu, \(y" = 0\) untuk \(x = 0\) .
3) Mari cari selang tanda malar \(y"\) pada segmen yang sedang dipertimbangkan \([-10; -2]\) :
4) Lakaran graf pada segmen \([-10; -2]\) :
Oleh itu, fungsi mencapai nilai terkecilnya pada \([-10; -2]\) pada \(x = -2\) .
\ Jumlah: \(1\) – nilai terkecil bagi fungsi \(y\) pada \([-10; -2]\) .
Jawapan: 1
Tugasan 2 #2355
Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) pada segmen \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) – sewenang-wenangnya.
1) \
Mari cari titik kritikal (iaitu, titik dalaman bagi domain definisi fungsi yang terbitannya sama dengan \(0\) atau tidak wujud): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Derivatif wujud untuk mana-mana \(x\) .
2) Mari cari selang tanda malar \(y"\):
3) Mari cari selang tanda malar \(y"\) pada segmen yang dipertimbangkan \([-1; 1]\) :
4) Lakaran graf pada segmen \([-1; 1]\):
Oleh itu, fungsi mencapai nilai terbesarnya pada \([-1; 1]\) pada \(x = -1\) atau pada \(x = 1\) . Mari bandingkan nilai fungsi pada titik ini.
\ Jumlah: \(2\) – nilai tertinggi berfungsi \(y\) pada \([-1; 1]\) .
Jawapan: 2
Tugasan 3 #2356
Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu
Cari nilai terkecil bagi fungsi \(y = \cos 2x\) pada segmen \(\) .
ODZ: \(x\) – sewenang-wenangnya.
1) \
Mari cari titik kritikal (iaitu, titik dalaman bagi domain definisi fungsi yang terbitannya sama dengan \(0\) atau tidak wujud): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Derivatif wujud untuk mana-mana \(x\) .
2) Mari cari selang tanda malar \(y"\):
(di sini terdapat bilangan selang yang tidak terhingga di mana tanda-tanda terbitan silih berganti).
3) Mari cari selang tanda malar \(y"\) pada segmen yang sedang dipertimbangkan \(\):
4) Lakaran graf pada segmen \(\) :
Oleh itu, fungsi mencapai nilai terkecilnya pada \(\) pada \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .
\ Jumlah: \(-1\) – nilai terkecil bagi fungsi \(y\) pada \(\) .
Jawapan: -1
Tugasan 4 #915
Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu
Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Mari kita putuskan tentang ODZ:
1) Mari kita nyatakan \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , kemudian \(y(t)=-\log_(17)t\) .
Mari cari titik kritikal (iaitu, titik dalaman bagi domain definisi fungsi yang terbitannya sama dengan \(0\) atau tidak wujud): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– pada ODZ, dari mana kita dapati punca \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . Terbitan bagi fungsi \(y\) tidak wujud untuk \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\), tetapi untuk persamaan ini diskriminasi negatif, oleh itu, ia tidak mempunyai penyelesaian. Untuk mencari nilai terbesar/terkecil fungsi, anda perlu memahami bagaimana grafnya kelihatan secara skematik.
2) Mari cari selang tanda malar \(y"\):
3) Lakaran graf:
Oleh itu, fungsi mencapai nilai terbesarnya pada \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\kanan) = -\log_(17)1 = 0\),
Jumlah: \(0\) – nilai terbesar bagi fungsi \(y\) .
Jawapan: 0
Tugasan 5 #2344
Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu
Cari nilai terkecil bagi fungsi tersebut
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Mari kita putuskan tentang ODZ:
1) Mari kita nyatakan \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , kemudian \(y(t)=\log_(3)t\) .
Mari cari titik kritikal (iaitu, titik dalaman bagi domain definisi fungsi yang terbitannya sama dengan \(0\) atau tidak wujud): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– pada ODZ, dari mana kita dapati punca \(x = -4\) . Terbitan bagi fungsi \(y\) tidak wujud apabila \(x^2 + 8x + 19 = 0\), tetapi persamaan ini mempunyai diskriminasi negatif, oleh itu, ia tidak mempunyai penyelesaian. Untuk mencari nilai terbesar/terkecil fungsi, anda perlu memahami bagaimana grafnya kelihatan secara skematik.
2) Mari cari selang tanda malar \(y"\):
3) Lakaran graf:
Oleh itu, \(x = -4\) ialah titik minimum bagi fungsi \(y\) dan nilai terkecil dicapai padanya:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Jumlah: \(1\) – nilai terkecil bagi fungsi \(y\) .
Jawapan: 1
Tugasan 6 #917
Tahap tugas: Lebih sukar daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu
Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Dari sudut pandangan praktikal, minat yang paling besar ialah menggunakan derivatif untuk mencari nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi. Apakah kaitan ini? Memaksimumkan keuntungan, meminimumkan kos, menentukan beban optimum peralatan... Dalam erti kata lain, dalam banyak bidang kehidupan kita perlu menyelesaikan masalah mengoptimumkan beberapa parameter. Dan ini adalah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi.
Perlu diingatkan bahawa nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi biasanya dicari pada selang X tertentu, iaitu sama ada keseluruhan domain fungsi atau sebahagian daripada domain definisi. Selang X itu sendiri boleh menjadi segmen, selang terbuka 
, selang tak terhingga.
Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mencari nilai terbesar dan terkecil secara eksplisit fungsi yang diberikan satu pembolehubah y=f(x) .
Navigasi halaman.
Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi - definisi, ilustrasi.
Mari kita lihat secara ringkas definisi utama.
Nilai terbesar bagi fungsi tersebut 
itu untuk sesiapa sahaja 
ketidaksamaan adalah benar.
Nilai terkecil bagi fungsi tersebut y=f(x) pada selang X dipanggil nilai sedemikian 
itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.
Takrifan ini adalah intuitif: nilai terbesar (paling kecil) bagi sesuatu fungsi ialah nilai terbesar (paling kecil) diterima pada selang yang dipertimbangkan di abscissa.
Titik pegun– ini adalah nilai hujah di mana terbitan fungsi menjadi sifar.
Mengapakah kita memerlukan titik pegun apabila mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem Fermat. Daripada teorem ini, ia mengikuti bahawa jika fungsi boleh dibezakan mempunyai ekstrem (minimum tempatan atau maksimum tempatan) pada satu titik, maka titik ini adalah pegun. Oleh itu, fungsi sering mengambil nilai terbesar (terkecil) pada selang X pada salah satu titik pegun dari selang ini.
Juga, fungsi selalunya boleh mengambil nilai terbesar dan terkecil pada titik di mana terbitan pertama fungsi ini tidak wujud, dan fungsi itu sendiri ditakrifkan.
Mari jawab dengan segera salah satu soalan yang paling biasa mengenai topik ini: "Adakah sentiasa mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) fungsi"? Tidak tidak selalu. Kadangkala sempadan selang X bertepatan dengan sempadan domain takrifan fungsi, atau selang X adalah tak terhingga. Dan beberapa fungsi pada infiniti dan di sempadan domain definisi boleh mengambil kedua-dua nilai infiniti besar dan infiniti kecil. Dalam kes ini, tiada apa yang boleh dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi.
Untuk kejelasan, kami akan memberikan ilustrasi grafik. Lihat gambar dan banyak lagi akan menjadi lebih jelas.
Pada segmen
Dalam rajah pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam segmen [-6;6].
Pertimbangkan kes yang digambarkan dalam rajah kedua. Jom tukar segmen kepada . Dalam contoh ini, nilai terkecil fungsi dicapai pada titik pegun, dan yang terbesar pada titik dengan absis sepadan dengan sempadan kanan selang.
Dalam Rajah 3, titik sempadan segmen [-3;2] ialah absis bagi titik yang sepadan dengan nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi.
Pada selang waktu terbuka
Dalam rajah keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam selang terbuka (-6;6).
Pada selang , tiada kesimpulan boleh dibuat tentang nilai terbesar.
Pada infiniti
Dalam contoh yang dibentangkan dalam rajah ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik pegun dengan abscissa x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada sempadan kanan selang. Pada infiniti tolak, nilai fungsi secara asimptotik menghampiri y=3.
Sepanjang selang itu, fungsi tidak mencapai nilai terkecil mahupun terbesar. Apabila x=2 menghampiri dari kanan, nilai fungsi cenderung kepada tolak infiniti (garis x=2 ialah asimtot menegak), dan apabila absis cenderung kepada tambah infiniti, nilai fungsi secara asimptotik menghampiri y=3. Ilustrasi grafik contoh ini ditunjukkan dalam Rajah 8.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan pada segmen.
Mari kita tulis algoritma yang membolehkan kita mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.
- Kami mencari domain takrifan fungsi dan menyemak sama ada ia mengandungi keseluruhan segmen.
- Kami mendapati semua titik di mana terbitan pertama tidak wujud dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik tersebut ditemui dalam fungsi dengan hujah di bawah tanda modulus dan dalam fungsi kuasa dengan eksponen pecahan-rasional). Jika tiada mata seperti itu, maka teruskan ke titik seterusnya.
- Kami menentukan semua titik pegun yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan sifar, menyelesaikan persamaan yang terhasil dan pilih punca yang sesuai. Jika tiada titik pegun atau tiada satu pun daripadanya jatuh ke dalam segmen, kemudian teruskan ke titik seterusnya.
- Kami mengira nilai fungsi pada titik pegun terpilih (jika ada), pada titik di mana terbitan pertama tidak wujud (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
- Daripada nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai terbesar dan terkecil fungsi yang diperlukan.
Mari analisa algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.
Contoh.
Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi
- pada segmen;
- pada segmen [-4;-1] .
Penyelesaian.
Domain definisi fungsi ialah keseluruhan set nombor nyata, kecuali sifar, iaitu. Kedua-dua segmen termasuk dalam domain definisi.
Cari terbitan bagi fungsi berkenaan dengan: 
Jelas sekali, terbitan fungsi wujud di semua titik segmen dan [-4;-1].
Kami menentukan titik pegun daripada persamaan. Satu-satunya punca sebenar ialah x=2. Titik pegun ini jatuh ke dalam segmen pertama.
Untuk kes pertama, kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun, iaitu, untuk x=1, x=2 dan x=4: 
Oleh itu, nilai terbesar fungsi 
dicapai pada x=1, dan nilai terkecil 
– pada x=2.
Untuk kes kedua, kami mengira nilai fungsi hanya pada hujung segmen [-4;-1] (kerana ia tidak mengandungi satu titik pegun): 
Penyelesaian.
Mari kita mulakan dengan domain fungsi. Trinomial segi empat sama dalam penyebut pecahan tidak boleh hilang: 
Adalah mudah untuk menyemak bahawa semua selang dari pernyataan masalah tergolong dalam domain definisi fungsi.
Mari bezakan fungsi: 
Jelas sekali, terbitan wujud di seluruh domain takrifan fungsi.
Mari cari titik pegun. Derivatif pergi ke sifar pada . Titik pegun ini berada dalam selang (-3;1] dan (-3;2).
Kini anda boleh membandingkan keputusan yang diperoleh pada setiap titik dengan graf fungsi. Garis putus-putus biru menunjukkan asimtot.
Pada ketika ini kita boleh selesaikan dengan mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tersebut. Algoritma yang dibincangkan dalam artikel ini membolehkan anda mendapatkan hasil dengan tindakan yang minimum. Walau bagaimanapun, adalah berguna untuk menentukan terlebih dahulu selang peningkatan dan penurunan fungsi dan hanya selepas itu membuat kesimpulan tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi pada sebarang selang. Ini memberikan gambaran yang lebih jelas dan justifikasi yang ketat untuk hasilnya.
Biarkan fungsi y =f(X) adalah berterusan pada selang [ a, b]. Seperti yang diketahui, fungsi sedemikian mencapai nilai maksimum dan minimum pada segmen ini. Fungsi ini boleh mengambil nilai ini sama ada pada titik dalaman segmen [ a, b], atau pada sempadan segmen.
Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen [ a, b] perlu:
1) cari titik genting bagi fungsi dalam selang ( a, b);
2) hitung nilai fungsi pada titik kritikal yang ditemui;
3) hitung nilai fungsi di hujung segmen, iaitu, apabila x=A dan x = b;
4) daripada semua nilai pengiraan fungsi, pilih yang terbesar dan terkecil.
Contoh. Cari yang terhebat dan nilai terkecil fungsi
pada segmen.
Mencari titik kritikal:
Titik ini terletak di dalam segmen; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
pada titik x= 3 dan pada titik x= 0.
Kajian fungsi untuk kecembungan dan titik infleksi.
Fungsi y = f (x) dipanggil cembung di antara (a, b) , jika grafnya terletak di bawah tangen yang dilukis pada mana-mana titik dalam selang ini, dan dipanggil cembung ke bawah (cekung), jika grafnya terletak di atas tangen.
Titik di mana kecembungan digantikan oleh kekosongan atau sebaliknya dipanggil titik infleksi.
Algoritma untuk memeriksa kecembungan dan titik infleksi:
1. Cari titik kritikal jenis kedua, iaitu titik di mana terbitan kedua adalah sama dengan sifar atau tidak wujud.
2. Plot titik kritikal pada garis nombor, bahagikannya kepada selang. Cari tanda terbitan kedua pada setiap selang; jika , maka fungsi itu cembung ke atas, jika, maka fungsi itu cembung ke bawah.
3. Jika, apabila melalui titik kritikal jenis kedua, tanda berubah dan pada ketika ini terbitan kedua adalah sama dengan sifar, maka titik ini adalah absis titik infleksi. Cari ordinatnya.
Asimtot graf fungsi. Kajian fungsi untuk asimtot.
Definisi. Asimtot bagi graf fungsi dipanggil lurus, yang mempunyai sifat bahawa jarak dari mana-mana titik pada graf ke garisan ini cenderung kepada sifar apabila titik pada graf bergerak tanpa had dari asal.
Terdapat tiga jenis asimtot: menegak, mendatar dan condong.
Definisi. Garis lurus dipanggil asimtot menegak grafik fungsi y = f(x), jika sekurang-kurangnya satu daripada had satu sisi bagi fungsi pada ketika ini adalah sama dengan infiniti, iaitu
di manakah titik ketakselanjaran fungsi, iaitu, ia tidak tergolong dalam domain definisi.
Contoh.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 – titik putus.
Definisi. Lurus y =A dipanggil asimtot mendatar grafik fungsi y = f(x) pada , jika
Contoh.
|
x | |||
|
y |
Definisi. Lurus y =kx +b (k≠ 0) dipanggil asimtot serong grafik fungsi y = f(x) di mana
Skema umum untuk mengkaji fungsi dan membina graf.
Algoritma Penyelidikan Fungsiy = f(x) :
1. Cari domain bagi fungsi tersebut D (y).
2. Cari (jika boleh) titik persilangan graf dengan paksi koordinat (jika x= 0 dan pada y = 0).
3. Periksa kesamaan dan keganjilan fungsi ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ganjil).
4. Cari asimtot bagi graf fungsi itu.
5. Cari selang kemonotonan fungsi.
6. Cari ekstrem bagi fungsi itu.
7. Cari selang cembung (concavity) dan titik infleksi graf fungsi.
8. Berdasarkan kajian yang dijalankan, bina graf bagi fungsi tersebut.
Contoh. Terokai fungsi dan bina grafnya.
1) D (y) =
x= 4 – titik putus.
2) Bila x = 0,
(0; ‒ 5) – titik persilangan dengan oh.
Pada y = 0,
3)
y(‒
x)=
fungsi Pandangan umum(tidak genap mahupun ganjil).
4) Kami memeriksa untuk asimtot.
a) menegak
b) mendatar
c) cari asimtot serong di mana
‒persamaan asimtot serong
5) B persamaan yang diberikan tidak perlu mencari selang kemonotonan fungsi.
6)
Titik kritikal ini membahagikan keseluruhan domain definisi fungsi kepada selang (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Adalah mudah untuk membentangkan hasil yang diperoleh dalam bentuk jadual berikut:
|
tiada tambahan |
Daripada jadual itu jelas bahawa perkara itu X= ‒2‒titik maksimum, pada titik X= 4‒tiada ekstrem, X= 10 – titik minimum.
Mari kita gantikan nilai (‒ 3) ke dalam persamaan:
9 + 24 ‒ 20 > 0
25 ‒ 40 ‒ 20 < 0
121 ‒ 88 ‒ 20 > 0
Maksimum fungsi ini ialah 
(‒ 2; ‒ 4) – ekstrem maksimum.
Minimum fungsi ini ialah 
(10; 20) – ekstrem minimum.
7) periksa kecembungan dan titik infleksi graf fungsi
Dalam artikel ini saya akan bercakap tentang algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi, mata minimum dan maksimum.
Dari teori ia pasti akan berguna kepada kita jadual terbitan Dan peraturan pembezaan. Semuanya ada di atas pinggan ini:
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil.
Lebih senang untuk saya jelaskan contoh khusus. Pertimbangkan:
Contoh: Cari nilai terbesar bagi fungsi y=x^5+20x^3–65x pada ruas [–4;0].
Langkah 1. Kami mengambil derivatif.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Langkah 2. Mencari titik melampau.
Titik melampau kita memanggil titik di mana fungsi mencapai nilai terbesar atau minimumnya.
Untuk mencari titik ekstrem, anda perlu menyamakan terbitan fungsi kepada sifar (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Sekarang kita selesaikan persamaan biquadratik ini dan punca yang ditemui ialah titik ekstrem kita.
Saya menyelesaikan persamaan tersebut dengan menggantikan t = x^2, kemudian 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Mari kita kurangkan persamaan dengan 5, kita dapat: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Kami membuat perubahan terbalik x^2 = t:
X_(1 dan 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dan 4) = ±sqrt(-13) (kami kecualikan, tidak boleh ada nombor negatif di bawah punca, melainkan sudah tentu kita bercakap tentang nombor kompleks)
Jumlah: x_(1) = 1 dan x_(2) = -1 - ini adalah titik ekstrem kami.
Langkah 3. Tentukan nilai terbesar dan terkecil.
Kaedah penggantian.
Dalam keadaan itu, kami diberi segmen [b][–4;0]. Titik x=1 tidak termasuk dalam segmen ini. Jadi kita tidak mempertimbangkannya. Tetapi sebagai tambahan kepada titik x=-1, kita juga perlu mempertimbangkan sempadan kiri dan kanan segmen kita, iaitu titik -4 dan 0. Untuk melakukan ini, kita menggantikan ketiga-tiga titik ini ke dalam fungsi asal. Perhatikan bahawa yang asal adalah yang diberikan dalam keadaan (y=x^5+20x^3–65x), sesetengah orang mula menggantikannya ke dalam derivatif...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Ini bermakna nilai terbesar bagi fungsi ialah [b]44 dan ia dicapai pada titik [b]-1, yang dipanggil titik maksimum fungsi pada segmen [-4; 0].
Kami memutuskan dan menerima jawapan, kami hebat, anda boleh berehat. Tetapi berhenti! Tidakkah anda fikir bahawa mengira y(-4) entah bagaimana terlalu sukar? Dalam keadaan masa yang terhad, lebih baik menggunakan kaedah lain, saya memanggilnya ini:
Melalui selang ketekalan tanda.
Selang ini ditemui untuk terbitan fungsi, iaitu, untuk persamaan biquadratik kami.
Saya buat macam ni. Saya melukis segmen terarah. Saya meletakkan mata: -4, -1, 0, 1. Walaupun fakta bahawa 1 tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, ia masih perlu diperhatikan untuk menentukan dengan betul selang ketekalan tanda. Mari kita ambil beberapa nombor berkali-kali lebih besar daripada 1, katakan 100, dan secara mental menggantikannya ke dalam persamaan dwikuadrat kita 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Walaupun tanpa mengira apa-apa, ia menjadi jelas bahawa pada titik 100 fungsi mempunyai tanda tambah. Ini bermakna untuk selang dari 1 hingga 100 ia mempunyai tanda tambah. Apabila melalui 1 (kita pergi dari kanan ke kiri), fungsi akan menukar tanda kepada tolak. Apabila melalui titik 0, fungsi akan mengekalkan tandanya, kerana ini hanya sempadan segmen, dan bukan punca persamaan. Apabila melalui -1, fungsi itu sekali lagi akan menukar tanda kepada tambah.
Dari teori kita tahu bahawa di mana terbitan fungsi itu (dan kami menarik ini dengan tepat untuknya) menukar tanda daripada tambah kepada tolak (titik -1 dalam kes kami) fungsi mencapai maksimum tempatannya (y(-1)=44, seperti yang dikira sebelum ini) pada segmen ini (ini secara logiknya sangat difahami, fungsi itu berhenti meningkat kerana ia mencapai maksimum dan mula berkurangan).
Sehubungan itu, di mana terbitan fungsi perubahan tanda dari tolak kepada tambah, tercapai minimum tempatan sesuatu fungsi. Ya, ya, kami juga mendapati titik minimum tempatan ialah 1, dan y(1) ialah nilai minimum fungsi pada segmen, katakan dari -1 hingga +∞. Sila ambil perhatian bahawa ini hanyalah MINIMUM TEMPATAN, iaitu, minimum pada segmen tertentu. Oleh kerana minimum sebenar (global) fungsi akan sampai ke suatu tempat di sana, pada -∞.
Pada pendapat saya, kaedah pertama adalah lebih mudah secara teori, dan yang kedua adalah lebih mudah dari sudut pandangan operasi aritmetik, tetapi jauh lebih kompleks dari sudut pandangan teori. Lagipun, kadang-kadang terdapat kes apabila fungsi tidak mengubah tanda apabila melalui punca persamaan, dan secara umum anda boleh keliru dengan maxima dan minima tempatan, global ini, walaupun anda perlu menguasai ini dengan baik jika anda merancang untuk memasuki universiti teknikal (dan untuk apa lagi mengambil profil Unified State Exam dan menyelesaikan tugas ini). Tetapi berlatih dan hanya berlatih akan mengajar anda untuk menyelesaikan masalah tersebut sekali dan untuk semua. Dan anda boleh berlatih di laman web kami. Di sini.
Jika anda mempunyai sebarang soalan atau sesuatu yang kurang jelas, pastikan anda bertanya. Saya dengan senang hati akan menjawab anda dan membuat perubahan dan penambahan pada artikel. Ingat kami membuat laman web ini bersama-sama!