Ia berguna untuk setiap pelajar yang sedang bersiap untuk peperiksaan dalam matematik untuk mengulang topik "Mencari sudut antara garisan". Seperti yang ditunjukkan oleh statistik, apabila lulus ujian pensijilan, tugasan dalam bahagian stereometri ini menyebabkan kesukaran untuk sebilangan besar pelajar. Pada masa yang sama, tugas yang memerlukan mencari sudut antara garis lurus ditemui dalam USE pada kedua-dua peringkat asas dan profil. Ini bermakna semua orang harus dapat menyelesaikannya.
Sorotan
Terdapat 4 jenis dalam ruang kedudukan relatif langsung. Mereka boleh bertepatan, bersilang, selari atau bersilang. Sudut di antara mereka boleh menjadi akut atau lurus.
Untuk mencari sudut antara garisan dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu atau, sebagai contoh, dalam penyelesaian, pelajar sekolah di Moscow dan bandar lain boleh menggunakan beberapa kaedah untuk menyelesaikan masalah dalam bahagian stereometri ini. Anda boleh menyelesaikan tugas dengan pembinaan klasik. Untuk melakukan ini, adalah bernilai mempelajari aksiom asas dan teorem stereometri. Pelajar perlu boleh membina penaakulan secara logik dan mencipta lukisan untuk membawa tugasan kepada masalah planimetrik.
Anda juga boleh menggunakan kaedah vektor-koordinat, menggunakan formula, peraturan dan algoritma mudah. Perkara utama dalam kes ini ialah melakukan semua pengiraan dengan betul. Projek pendidikan Shkolkovo akan membantu anda mengasah kemahiran anda dalam menyelesaikan masalah dalam stereometri dan bahagian lain kursus sekolah.
Tugasan 1
Cari kosinus sudut antara garis $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ dan $\left\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right.$.
Biarkan dua baris diberikan dalam ruang: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ dan $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Kami memilih titik sewenang-wenang dalam ruang dan melukis dua garis tambahan melaluinya, selari dengan data. Sudut antara garis yang diberikan adalah mana-mana daripada kedua-duanya sudut bersebelahan dibentuk oleh garis bantu. Kosinus salah satu sudut antara garis boleh didapati menggunakan formula yang terkenal $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Jika nilai $\cos \phi >0$, maka sudut akut antara garis diperoleh, jika $\cos \phi
Persamaan kanonik bagi baris pertama: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
Persamaan kanonik bagi garis lurus kedua boleh didapati daripada parametrik:
\ \ \
Oleh itu, persamaan kanonik bagi baris ini ialah: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Kami mengira:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ kiri(-3\kanan)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\kiri(-1\kanan)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \lebih kurang 0.9449.\]
Tugasan 2
Baris pertama melalui titik yang diberikan $A\left(2,-4,-1\right)$ dan $B\left(-3,5,6\right)$, baris kedua melalui titik yang diberikan $ C\kiri (1,-2,8\kanan)$ dan $D\kiri(6,7,-2\kanan)$. Cari jarak antara garisan ini.
Biarkan beberapa garis berserenjang dengan garis $AB$ dan $CD$ dan bersilang pada titik $M$ dan $N$, masing-masing. Di bawah keadaan ini, panjang segmen $MN$ adalah sama dengan jarak antara garisan $AB$ dan $CD$.
Kami membina vektor $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\kiri(-3-2\kanan)\cdot \bar(i)+\kiri(5-\kiri(-4\kanan)\kanan)\cdot \bar(j)+ \kiri(6-\kiri(-1\kanan)\kanan)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]
Biarkan segmen yang mewakili jarak antara garisan melalui titik $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ pada garisan $AB$.
Kami membina vektor $\overline(AM)$:
\[\overline(AM)=\kiri(x_(M) -2\kanan)\cdot \bar(i)+\kiri(y_(M) -\kiri(-4\kanan)\kanan)\cdot \ bar(j)+\kiri(z_(M) -\kiri(-1\kanan)\kanan)\cdot \bar(k)=\] \[=\kiri(x_(M) -2\kanan)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]
Vektor $\overline(AB)$ dan $\overline(AM)$ adalah sama, oleh itu ia adalah kolinear.
Adalah diketahui bahawa jika vektor $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ dan $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ ialah kolinear, maka koordinatnya adalah berkadar, maka ialah $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, di mana $m $ ialah hasil pembahagian.
Dari sini kita dapat: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Akhirnya, kami memperoleh ungkapan untuk koordinat titik $M$:
Kami membina vektor $\overline(CD)$:
\[\overline(CD)=\kiri(6-1\kanan)\cdot \bar(i)+\kiri(7-\kiri(-2\kanan)\kanan)\cdot \bar(j)+\ kiri(-2-8\kanan)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Biarkan segmen yang mewakili jarak antara garisan melalui titik $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ pada garisan $CD$.
Kami membina vektor $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\kiri(z_(N) -8\kanan)\cdot \bar(k)=\] \[=\kiri(x_(N) -1\kanan)\cdot \bar(i)+ \kiri(y_(N) +2\kanan)\cdot \bar(j)+\kiri(z_(N) -8\kanan)\cdot \bar(k).\]
Vektor $\overline(CD)$ dan $\overline(CN)$ adalah sama, oleh itu ia adalah kolinear. Kami menggunakan syarat vektor kolinear:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ di mana $n $ adalah hasil pembahagian.
Dari sini kita dapat: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Akhirnya, kami memperoleh ungkapan untuk koordinat titik $N$:
Kami membina vektor $\overline(MN)$:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\kiri(z_(N) -z_(M) \kanan)\cdot \bar(k).\]
Kami menggantikan ungkapan untuk koordinat titik $M$ dan $N$:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\kiri(-4+9\cdot m\kanan)\kanan)\cdot \bar(j)+\kiri(8-10\cdot n-\kiri(-1+7\cdot m\kanan)\kanan)\cdot \bar(k).\]
Selepas melengkapkan langkah, kami mendapat:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\kiri(9-10\cdot n-7\cdot m\kanan)\cdot \bar(k).\]
Oleh kerana garisan $AB$ dan $MN$ adalah berserenjang, hasil darab skalar bagi vektor yang sepadan adalah sama dengan sifar, iaitu $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \kiri(-1+5\cdot n+5\cdot m\kanan)+9\cdot \kiri(2+9\cdot n-9\cdot m\kanan)+7\cdot \ kiri(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
Selepas melengkapkan langkah, kita mendapat persamaan pertama untuk menentukan $m$ dan $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Oleh kerana garisan $CD$ dan $MN$ adalah berserenjang, hasil darab skalar bagi vektor yang sepadan adalah sama dengan sifar, iaitu $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]
Selepas melengkapkan langkah, kami memperoleh persamaan kedua untuk menentukan $m$ dan $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
Cari $m$ dan $n$ dengan menyelesaikan sistem persamaan $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ cdot n =77) \end(array)\kanan.$.
Kami menggunakan kaedah Cramer:
\[\Delta =\left|\begin(array)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(array)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\kiri|\mulakan(tatasusunan)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \hujung(tatasusunan)\kanan|=16638; \] \[\Delta _(n) =\kiri|\mulakan(tatasusunan)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \akhir(susun)\kanan|=10731;\ ]\
Cari koordinat titik $M$ dan $N$:
\ \
Akhirnya:
Akhirnya, kami menulis vektor $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\kiri(2.691-\kiri(-0.6215\kanan)\kanan)\cdot \bar(i)+\kiri(1.0438-0.7187\kanan)\cdot \bar (j)+\kiri (4,618-2,6701\kanan)\cdot \bar(k)$ atau $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1.9479\cdot \bar(k)$.
Jarak antara baris $AB$ dan $CD$ ialah panjang vektor $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ lebih kurang 3.8565$ lin. unit
SUDUT ANTARA PESAWAT
Mari kita pertimbangkan dua satah α 1 dan α 2 masing-masing diberikan oleh persamaan:
Di bawah sudut antara dua satah yang kita maksudkan adalah salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh satah ini. Jelas sekali bahawa sudut antara vektor normal dan satah α 1 dan α 2 adalah sama dengan salah satu sudut dihedral bersebelahan yang ditunjukkan atau 
. Oleh itu 
. Kerana 
dan 
, kemudian
.
Contoh. Tentukan sudut antara satah x+2y-3z+4=0 dan 2 x+3y+z+8=0.
Keadaan selari dua satah.
Dua satah α 1 dan α 2 adalah selari jika dan hanya jika vektor normalnya dan selari, dan oleh itu 
.
Jadi, dua satah selari antara satu sama lain jika dan hanya jika pekali pada koordinat yang sepadan adalah berkadar:
atau
Keadaan serenjang satah.
Adalah jelas bahawa dua satah berserenjang jika dan hanya jika vektor normalnya berserenjang, dan oleh itu, atau .
Dengan cara ini, .
Contoh.
TERUS DI ANGKASA.
PERSAMAAN VEKTOR LANGSUNG.
PERSAMAAN PARAMETRIK LANGSUNG
Kedudukan garis lurus dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menyatakan mana-mana titik tetapnya M 1 dan vektor selari dengan garis ini.
Vektor yang selari dengan garis lurus dipanggil membimbing vektor baris ini.
Jadi biarkan yang lurus l melalui satu titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1) berbaring pada garis lurus selari dengan vektor .
Pertimbangkan satu perkara yang sewenang-wenangnya M(x,y,z) pada garis lurus. Dapat dilihat daripada rajah itu 
.
Vektor dan adalah kolinear, jadi terdapat nombor sedemikian t, apa , di manakah pengganda t boleh mengambil sebarang nilai berangka bergantung pada kedudukan titik M pada garis lurus. Faktor t dipanggil parameter. Menandakan vektor jejari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , kita memperoleh . Persamaan ini dipanggil vektor persamaan garis lurus. Ia menunjukkan bahawa setiap nilai parameter t sepadan dengan vektor jejari sesuatu titik M berbaring di atas garis lurus.
Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan, bahawa, 
dan dari sini
Persamaan yang terhasil dipanggil parametrik persamaan garis lurus.
Apabila menukar parameter t perubahan koordinat x, y dan z dan titik M bergerak dalam garis lurus.
PERSAMAAN KANONIKAL TERUS
biarlah M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - titik terletak pada garis lurus l, dan 
ialah vektor arahnya. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenangnya pada garis lurus M(x,y,z) dan pertimbangkan vektor.
Adalah jelas bahawa vektor dan adalah kolinear, jadi koordinat masing-masing mestilah berkadar, oleh itu
– berkanun persamaan garis lurus.
Catatan 1. Ambil perhatian bahawa persamaan kanonik garis boleh didapati daripada persamaan parametrik dengan menghapuskan parameter t. Sesungguhnya, daripada persamaan parametrik yang kita perolehi 
atau .
Contoh. Tulis persamaan garis lurus 
secara parametrik.
Menandakan 
, oleh itu x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Catatan 2. Biarkan garis itu berserenjang dengan salah satu paksi koordinat, sebagai contoh, paksi lembu. Kemudian vektor arah garisan adalah serenjang lembu, Akibatnya, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik garis lurus mengambil bentuk
Menghapuskan parameter daripada persamaan t, kita memperoleh persamaan garis lurus dalam bentuk
Walau bagaimanapun, dalam kes ini juga, kami bersetuju untuk menulis secara rasmi persamaan kanonik garis lurus dalam bentuk 
. Oleh itu, jika penyebut salah satu pecahan ialah sifar, maka ini bermakna garis itu berserenjang dengan paksi koordinat yang sepadan.
Begitu juga, persamaan kanonik 
sepadan dengan garis lurus yang berserenjang dengan paksi lembu dan Oy atau paksi selari Oz.
Contoh.
PERSAMAAN AM GARIS LANGSUNG SEBAGAI GARISAN MINTASAN DUA SASAH
Melalui setiap garis lurus di angkasa melalui bilangan satah yang tidak terhingga. Mana-mana dua daripadanya, bersilang, mentakrifkannya dalam ruang. Oleh itu, persamaan mana-mana dua satah sedemikian, yang dipertimbangkan bersama, adalah persamaan garis ini.
Secara umum, mana-mana dua satah tidak selari yang diberikan oleh persamaan am
tentukan garis persimpangan mereka. Persamaan ini dipanggil persamaan am lurus.
Contoh.
Membina garis lurus yang diberi oleh persamaan 
Untuk membina garisan, cukup untuk mencari mana-mana dua titiknya. Cara paling mudah ialah memilih titik persilangan garis dengan satah koordinat. Contohnya, titik persilangan dengan satah xOy kita perolehi daripada persamaan garis lurus, dengan andaian z= 0:
Menyelesaikan sistem ini, kita dapati maksudnya M 1 (1;2;0).
Begitu juga dengan andaian y= 0, kita mendapat titik persilangan garis dengan satah xOz:
Daripada persamaan umum garis lurus, seseorang boleh meneruskan ke persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari beberapa titik M 1 pada garisan dan vektor arah garisan.
Koordinat titik M 1 kita peroleh daripada sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrari. Untuk mencari vektor arah, ambil perhatian bahawa vektor ini mestilah berserenjang dengan kedua-dua vektor normal 
dan 
. Oleh itu, untuk vektor arah garis lurus l awak boleh ambil produk vektor vektor biasa:
.
Contoh. memimpin persamaan am lurus 
kepada bentuk kanonik.
Cari titik pada garis lurus. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenangnya, sebagai contoh, y= 0 dan selesaikan sistem persamaan:
Vektor biasa satah yang menentukan garis mempunyai koordinat 
Oleh itu, vektor arah akan lurus
. Akibatnya, l: 
.
SUDUT ANTARA HAK
sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan memanggil mana-mana sudut bersebelahan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang dilukis melalui titik arbitrari selari dengan data.
Biarkan dua garis lurus diberikan dalam ruang:
Jelas sekali, sudut φ antara garis boleh diambil sebagai sudut antara vektor arah dan . Sejak , maka mengikut formula untuk kosinus sudut antara vektor yang kita dapat
a. Biarkan dua baris diberikan Garis ini, seperti yang ditunjukkan dalam Bab 1, membentuk pelbagai positif dan sudut negatif yang boleh sama ada tajam atau tumpul. Mengetahui salah satu sudut ini, kita boleh mencari sudut lain dengan mudah.
By the way, untuk semua sudut ini, nilai berangka tangen adalah sama, perbezaannya hanya boleh dalam tanda
Persamaan garis. Nombor-nombor tersebut ialah unjuran bagi vektor-vektor arah garisan pertama dan kedua. Sudut antara vektor-vektor ini adalah sama dengan salah satu sudut yang dibentuk oleh garis lurus. Oleh itu, masalah dikurangkan untuk menentukan sudut antara vektor, Kami dapat
Untuk kesederhanaan, kita boleh bersetuju pada sudut antara dua garis lurus untuk memahami sudut positif akut (seperti, sebagai contoh, dalam Rajah 53).
Maka tangen sudut ini akan sentiasa positif. Oleh itu, jika tanda tolak diperoleh di sebelah kanan formula (1), maka kita mesti membuangnya, iaitu, menyimpan hanya nilai mutlak.
Contoh. Tentukan sudut antara garis
Dengan formula (1) kita ada
Dengan. Jika ditunjukkan sisi sudut mana yang merupakan permulaan dan yang mana penghujungnya, maka, mengira sentiasa arah sudut lawan jam, kita boleh mengekstrak sesuatu yang lebih daripada formula (1). Seperti yang mudah dilihat dari Rajah. 53 tanda yang diperoleh di sebelah kanan formula (1) akan menunjukkan yang mana satu - akut atau tumpul - sudut membentuk garis kedua dengan yang pertama.
(Sememangnya, daripada Rajah 53 kita melihat bahawa sudut antara vektor arah pertama dan kedua sama ada sama dengan sudut yang dikehendaki antara garis, atau berbeza daripadanya sebanyak ±180°.)
d. Jika garisan selari, maka vektor arahnya juga selari.Menggunakan syarat keselarian dua vektor, kita dapat!
Ini adalah syarat yang perlu dan mencukupi untuk dua garisan selari.
Contoh. Langsung
adalah selari kerana
e. Jika garisan itu berserenjang, maka vektor arahnya juga berserenjang. Dengan menggunakan syarat keserenjangan dua vektor, kita memperoleh keadaan keserenjangan dua garis, iaitu
Contoh. Langsung
serenjang kerana
Sehubungan dengan keadaan selari dan serenjang, kami akan menyelesaikan dua masalah berikut.
f. Lukis garis selari dengan garis tertentu melalui satu titik
Keputusan dibuat seperti ini. Oleh kerana garis yang dikehendaki adalah selari dengan yang diberikan, maka untuk vektor pengarahnya kita boleh mengambil yang sama seperti garis yang diberikan, iaitu, vektor dengan unjuran A dan B. Dan kemudian persamaan garis yang dikehendaki akan ditulis dalam bentuk (§ 1)
Contoh. Persamaan garis lurus yang melalui titik (1; 3) selari dengan garis lurus
akan seterusnya!
g. Lukis garisan melalui titik yang berserenjang dengan garis yang diberi
Di sini, ia tidak lagi sesuai untuk mengambil vektor dengan unjuran A dan sebagai vektor pengarah, tetapi perlu untuk memenangi vektor yang berserenjang dengannya. Unjuran vektor ini mesti dipilih mengikut syarat bahawa kedua-dua vektor adalah berserenjang, iaitu, mengikut keadaan
Syarat ini boleh dipenuhi dalam bilangan cara yang tidak terhingga, kerana di sini terdapat satu persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Tetapi cara paling mudah adalah dengan mengambilnya. Kemudian persamaan garis yang dikehendaki akan ditulis dalam bentuk
Contoh. Persamaan garis yang melalui titik (-7; 2) dalam garis serenjang
akan menjadi berikut (mengikut formula kedua)!
h. Dalam kes apabila garis diberikan oleh persamaan bentuk
menulis semula persamaan ini secara berbeza, kita ada
Definisi. Jika dua garis diberi y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis ini akan ditakrifkan sebagai
Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2 . Dua garis berserenjang jika k 1 = -1/ k 2 .
Teorem. Garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 adalah selari apabila pekali A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB adalah berkadar. Jika juga С 1 = λС, maka garisan bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis ini.
Persamaan garis yang melalui titik tertentu
Serenjang dengan garis ini
Definisi. Garis yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis y \u003d kx + b diwakili oleh persamaan:
Jarak dari titik ke garisan
Teorem. Jika titik M(x 0, y 0) diberikan, maka jarak ke garis Ax + Vy + C \u003d 0 ditakrifkan sebagai
.
Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik M ke garis yang diberi. Kemudian jarak antara titik M dan M 1:
(1)
Koordinat x 1 dan y 1 boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan:
Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 berserenjang dengan garis lurus tertentu. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
kemudian, menyelesaikan, kita dapat:
Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:
Teorem telah terbukti.
Contoh. Tentukan sudut antara garisan: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Contoh. Tunjukkan bahawa garis 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 adalah berserenjang.
Keputusan. Kami dapati: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, oleh itu, garisan berserenjang.
Contoh. Bucu bagi segi tiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) diberi. Cari persamaan bagi ketinggian yang dilukis dari bucu C.
Keputusan. Kami mencari persamaan sisi AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Persamaan ketinggian yang dikehendaki ialah: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Kemudian y = . Kerana ketinggian melalui titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: 
dari mana b = 17. Jumlah: . 
Jawapan: 3x + 2y - 34 = 0.
Persamaan garis yang melalui titik tertentu dalam arah tertentu. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis. Keadaan selari dan serenjang dua garis. Menentukan titik persilangan dua garis
1. Persamaan garis yang melalui titik tertentu A(x 1 , y 1) dalam arah tertentu, ditentukan oleh cerun k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Persamaan ini mentakrifkan pensel garis yang melalui titik A(x 1 , y 1), yang dipanggil pusat rasuk.
2. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik: A(x 1 , y 1) dan B(x 2 , y 2) ditulis seperti ini:
Kecerunan garis lurus yang melalui dua titik tertentu ditentukan oleh formula
3. Sudut antara garis lurus A dan B ialah sudut di mana garis lurus pertama mesti diputar A mengelilingi titik persilangan garisan ini mengikut arah lawan jam sehingga ia bertepatan dengan garisan kedua B. Jika dua garis diberikan oleh persamaan cerun
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
maka sudut di antara mereka ditentukan oleh formula
Perlu diingatkan bahawa dalam pengangka pecahan, kecerunan garis lurus pertama dikurangkan daripada kecerunan garis lurus kedua.
Jika persamaan garis lurus diberikan dalam Pandangan umum
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
sudut di antara mereka ditentukan oleh formula
4. Syarat untuk keselarian dua garisan:
a) Jika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan cerun, maka syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselariannya ialah kesamaan cerunnya:
k 1 = k 2 . (8)
b) Bagi kes apabila garis diberikan oleh persamaan dalam bentuk am (6), syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselariannya ialah pekali pada koordinat semasa yang sepadan dalam persamaannya adalah berkadar, i.e.
5. Syarat untuk keserenjangan dua garis:
a) Dalam kes apabila garis diberikan oleh persamaan (4) dengan cerun, syarat yang perlu dan mencukupi untuk keserenjangannya ialah ia faktor cerun adalah timbal balik dalam magnitud dan bertentangan dalam tanda, i.e.
Syarat ini juga boleh ditulis dalam bentuk
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Jika persamaan garis lurus diberikan dalam bentuk umum (6), maka syarat untuk keserenjangannya (perlu dan mencukupi) adalah untuk memenuhi kesamaan
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Koordinat titik persilangan dua garis didapati dengan menyelesaikan sistem persamaan (6). Garisan (6) bersilang jika dan hanya jika
1. Tulis persamaan garis yang melalui titik M, satu daripadanya selari dan satu lagi berserenjang dengan garis l yang diberi.