Dalam bahagian sebelumnya, dikhaskan untuk analisis makna geometri kamiran pasti, kami memperoleh beberapa formula untuk mengira luas trapezoid curvilinear:
S (G) = ∫ a b f (x) d x untuk fungsi selanjar dan bukan negatif y = f (x) pada segmen [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x untuk fungsi selanjar dan bukan positif y = f (x) pada segmen [ a ; b] .
Formula ini boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah yang agak mudah. Malah, kita sering perlu bekerja dengan bentuk yang lebih kompleks. Dalam hal ini, kami akan menumpukan bahagian ini kepada analisis algoritma untuk mengira kawasan angka, yang dihadkan oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, i.e. seperti y = f(x) atau x = g(y) .
TeoremBiarkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) ditakrifkan dan berterusan pada segmen [ a ; b ] , dan f 1 (x) ≤ f 2 (x) untuk sebarang nilai x daripada [ a ; b] . Kemudian formula untuk mengira luas rajah G yang dibatasi oleh garis x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) dan y \u003d f 2 (x) akan kelihatan seperti S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Formula yang sama akan digunakan untuk luas rajah yang dibatasi oleh garis y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) dan x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Bukti
Kami akan menganalisis tiga kes yang formulanya akan sah.
Dalam kes pertama, dengan mengambil kira sifat ketambahan kawasan itu, jumlah kawasan bagi rajah asal G dan trapezoid lengkung G 1 adalah sama dengan luas rajah G 2 . Maksudnya begitu
Oleh itu, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Kita boleh melakukan peralihan terakhir menggunakan sifat ketiga kamiran pasti.
Dalam kes kedua, kesamaan adalah benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Ilustrasi grafik akan kelihatan seperti:
Jika kedua-dua fungsi bukan positif, kita dapat: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafik akan kelihatan seperti:
Mari kita beralih kepada pertimbangan kes am apabila y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) bersilang dengan paksi O x .
Kami akan menandakan titik persilangan sebagai x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Titik ini memecahkan segmen [ a ; b ] kepada n bahagian x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , dengan α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Akibatnya,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Kita boleh membuat peralihan terakhir menggunakan sifat kelima kamiran pasti.
Mari kita menggambarkan kes umum pada graf.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x boleh dianggap terbukti.
Dan sekarang mari kita beralih kepada analisis contoh pengiraan luas angka yang dihadkan oleh garis y \u003d f (x) dan x \u003d g (y) .
Mengambil kira mana-mana contoh, kita akan bermula dengan pembinaan graf. Imej akan membolehkan kita mewakili bentuk kompleks sebagai gabungan bentuk yang lebih mudah. Jika memplot graf dan bentuk padanya adalah sukar untuk anda, anda boleh mengkaji bahagian tentang fungsi asas asas, transformasi geometri graf fungsi, serta memplot semasa kajian sesuatu fungsi.
Contoh 1
Adalah perlu untuk menentukan luas rajah, yang dihadkan oleh parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Keputusan
Mari kita lukiskan garis pada graf dalam sistem koordinat Cartesan.
Pada selang [1; 4] graf parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2 . Dalam hal ini, untuk mendapatkan jawapan, kami menggunakan formula yang diperoleh sebelum ini, serta kaedah untuk mengira kamiran pasti menggunakan formula Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Jawapan: S (G) = 13
Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.
Contoh 2
Ia adalah perlu untuk mengira luas rajah, yang dihadkan oleh garis y = x + 2 , y = x , x = 7 .
Keputusan
Dalam kes ini, kita hanya mempunyai satu garis lurus yang selari dengan paksi-x. Ini ialah x = 7 . Ini memerlukan kita untuk mencari sendiri had integrasi kedua.
Mari bina graf dan letakkan padanya garisan yang diberikan dalam keadaan masalah.
Mempunyai graf di hadapan mata kita, kita boleh dengan mudah menentukan bahawa had bawah penyepaduan akan menjadi absis titik persilangan graf dengan garis lurus y \u003d x dan separa parabola y \u003d x + 2. Untuk mencari abscissa, kami menggunakan kesamaan:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Ternyata absis titik persilangan ialah x = 2.
Kami menarik perhatian anda kepada fakta bahawa dalam contoh umum dalam lukisan, garisan y = x + 2 , y = x bersilang pada titik (2 ; 2) , jadi pengiraan terperinci sedemikian mungkin kelihatan berlebihan. Kami telah menyediakan penyelesaian yang begitu terperinci di sini sahaja kerana dalam kes yang lebih kompleks penyelesaiannya mungkin tidak begitu jelas. Ini bermakna adalah lebih baik untuk sentiasa mengira koordinat persilangan garisan secara analitik.
Pada selang [2; 7 ] graf bagi fungsi y = x terletak di atas graf bagi fungsi y = x + 2 . Gunakan formula untuk mengira luas:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Jawapan: S (G) = 59 6
Contoh 3
Ia adalah perlu untuk mengira luas rajah, yang dihadkan oleh graf fungsi y \u003d 1 x dan y \u003d - x 2 + 4 x - 2.
Keputusan
Mari kita lukis garisan pada graf.
Mari kita tentukan had integrasi. Untuk melakukan ini, kita menentukan koordinat titik persilangan garis dengan menyamakan ungkapan 1 x dan - x 2 + 4 x - 2 . Dengan syarat x tidak sama dengan sifar, kesamaan 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 menjadi bersamaan dengan persamaan darjah ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 dengan pekali integer . Anda boleh menyegarkan semula ingatan algoritma untuk menyelesaikan persamaan tersebut dengan merujuk kepada bahagian "Penyelesaian persamaan padu".
Punca bagi persamaan ini ialah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Membahagikan ungkapan - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita dapat: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Kita boleh mencari punca yang tinggal daripada persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Kami telah menemui selang x ∈ 1; 3 + 13 2 , di mana G tertutup di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kami menentukan luas bentuk:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Jawapan: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Contoh 4
Ia adalah perlu untuk mengira luas rajah, yang dihadkan oleh lengkung y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 dan paksi-x.
Keputusan
Mari letakkan semua garis pada graf. Kita boleh mendapatkan graf fungsi y = - log 2 x + 1 daripada graf y = log 2 x jika kita meletakkannya secara simetri mengenai paksi-x dan menggerakkannya ke atas satu unit. Persamaan paksi-x y \u003d 0.
Mari kita nyatakan titik persilangan garis.
Seperti yang dapat dilihat dari rajah, graf fungsi y \u003d x 3 dan y \u003d 0 bersilang pada titik (0; 0) . Ini kerana x \u003d 0 ialah satu-satunya punca sebenar bagi persamaan x 3 \u003d 0.
x = 2 ialah satu-satunya punca persamaan - log 2 x + 1 = 0 , jadi graf bagi fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 bersilang pada titik (2 ; 0) .
x = 1 ialah satu-satunya punca persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Dalam hal ini, graf fungsi y \u003d x 3 dan y \u003d - log 2 x + 1 bersilang pada titik (1; 1) . Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 \u003d - log 2 x + 1 tidak boleh mempunyai lebih daripada satu punca, kerana fungsi y \u003d x 3 meningkat dengan ketat, dan fungsi y \u003d - log 2 x + 1 semakin berkurangan.
Langkah seterusnya melibatkan beberapa pilihan.
Pilihan nombor 1
Kita boleh mewakili angka G sebagai jumlah dua trapezium lengkung yang terletak di atas paksi absis, yang pertama terletak di bawah garis tengah pada segmen x ∈ 0; 1 , dan yang kedua berada di bawah garis merah pada ruas x ∈ 1 ; 2. Ini bermakna luasnya akan sama dengan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Pilihan nombor 2
Angka G boleh diwakili sebagai perbezaan dua angka, yang pertama terletak di atas paksi-x dan di bawah garis biru pada segmen x ∈ 0; 2 , dan yang kedua adalah di antara garis merah dan biru pada ruas x ∈ 1 ; 2. Ini membolehkan kami mencari kawasan seperti ini:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Dalam kes ini, untuk mencari kawasan, anda perlu menggunakan formula bentuk S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Malah, garisan yang mengikat bentuk boleh diwakili sebagai fungsi hujah y.
Mari selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 berkenaan dengan x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Kami mendapat kawasan yang diperlukan:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Jawapan: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Contoh 5
Ia adalah perlu untuk mengira luas rajah, yang dihadkan oleh garis y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Keputusan
Lukiskan garisan pada carta dengan garis merah, diberikan oleh fungsi y = x . Lukis garis y = - 1 2 x + 4 dalam warna biru, dan tandakan garis y = 2 3 x - 3 dalam warna hitam.
Perhatikan titik persimpangan.
Cari titik persilangan bagi graf fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i ialah penyelesaian kepada persamaan x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 ialah penyelesaian kepada persamaan ⇒ (4 ; 2) titik persilangan i y = x dan y = - 1 2 x + 4
Cari titik persilangan bagi graf fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Semak: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 ialah penyelesaian kepada persamaan ⇒ (9; 3) titik dan persilangan y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 bukan penyelesaian kepada persamaan
Cari titik persilangan garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) titik persilangan y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3
Kaedah nombor 1
Kami mewakili kawasan angka yang dikehendaki sebagai jumlah kawasan angka individu.
Maka luas rajah itu ialah:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Kaedah nombor 2
Luas angka asal boleh diwakili sebagai jumlah dua angka yang lain.
Kemudian kami menyelesaikan persamaan garis untuk x, dan hanya selepas itu kami menggunakan formula untuk mengira luas angka itu.
y = x ⇒ x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Jadi kawasannya ialah:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Seperti yang anda lihat, nilainya sepadan.
Jawapan: S (G) = 11 3
Keputusan
Untuk mencari luas rajah yang dibatasi oleh garisan yang diberikan, kita perlu melukis garisan pada satah, mencari titik persilangannya, dan menggunakan formula untuk mencari luas. Dalam bahagian ini, kami telah menyemak pilihan yang paling biasa untuk tugasan.
Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Mengira luas rajah Ini mungkin salah satu masalah yang paling sukar dalam teori kawasan. Dalam geometri sekolah, mereka diajar untuk mencari kawasan bentuk geometri asas seperti, contohnya, segitiga, rombus, segi empat tepat, trapezoid, bulatan, dll. Walau bagaimanapun, seseorang sering perlu berurusan dengan pengiraan kawasan angka yang lebih kompleks. Ia adalah dalam menyelesaikan masalah sedemikian bahawa ia adalah sangat mudah untuk menggunakan kalkulus kamiran.
Definisi.
Trapezoid lengkung beberapa rajah G dipanggil, dibatasi oleh garis y = f(x), y = 0, x = a dan x = b, dan fungsi f(x) adalah selanjar pada segmen [a; b] dan tidak mengubah tandanya padanya (Rajah 1). Luas trapezium melengkung boleh dilambangkan dengan S(G).
Kamiran pasti ʃ a b f(x)dx untuk fungsi f(x), yang selanjar dan bukan negatif pada ruas [a; b], dan ialah luas trapezoid lengkung yang sepadan.
Iaitu, untuk mencari luas rajah G, dibatasi oleh garis y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a dan x \u003d b, adalah perlu untuk mengira kamiran pasti ʃ a b f (x) dx.
Dengan cara ini, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Jika fungsi y = f(x) tidak positif pada [a; b], maka luas trapezoid lengkung boleh didapati dengan formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Contoh 1
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y \u003d x 3; y = 1; x = 2.
Keputusan.
Garisan yang diberi membentuk angka ABC, yang ditunjukkan dengan menetas nasi. 2.
Luas yang dikehendaki adalah sama dengan perbezaan antara luas DACE trapezoid lengkung dan DABE segi empat sama.
Dengan menggunakan formula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), kita dapati had pengamiran. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan sistem dua persamaan:
(y \u003d x 3,
(y = 1.
Oleh itu, kita mempunyai x 1 \u003d 1 - had bawah dan x \u003d 2 - had atas.
Jadi, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (unit persegi).
Jawapan: 11/4 persegi. unit
Contoh 2
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y \u003d √x; y = 2; x = 9.
Keputusan.
Garis yang diberi membentuk rajah ABC, yang disempadani dari atas oleh graf fungsi
y \u003d √x, dan dari bawah graf fungsi y \u003d 2. Angka yang terhasil ditunjukkan dengan menetas pada nasi. 3.
Kawasan yang dikehendaki adalah sama dengan S = ʃ a b (√x - 2). Mari cari had penyepaduan: b = 9, untuk mencari a, kita selesaikan sistem dua persamaan:
(y = √x,
(y = 2.
Oleh itu, kita mempunyai bahawa x = 4 = a ialah had bawah.
Jadi, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (unit persegi).
Jawapan: S = 2 2/3 persegi. unit
Contoh 3
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.
Keputusan.
Mari kita plot fungsi y \u003d x 3 - 4x untuk x ≥ 0. Untuk melakukan ini, kita mencari terbitan y ':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pada х = ±2/√3 ≈ 1.1 ialah titik kritikal.
Jika kita melukis titik genting pada paksi sebenar dan meletakkan tanda terbitan, kita mendapat bahawa fungsi berkurangan daripada sifar kepada 2/√3 dan meningkat daripada 2/√3 kepada tambah infiniti. Maka x = 2/√3 ialah titik minimum, nilai minimum bagi fungsi y ialah min = -16/(3√3) ≈ -3.
Mari kita tentukan titik persilangan graf dengan paksi koordinat:
jika x \u003d 0, maka y \u003d 0, yang bermaksud bahawa A (0; 0) ialah titik persilangan dengan paksi Oy;
jika y \u003d 0, maka x 3 - 4x \u003d 0 atau x (x 2 - 4) \u003d 0, atau x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, dari mana x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (tidak sesuai, kerana x ≥ 0).
Titik A(0; 0) dan B(2; 0) ialah titik persilangan graf dengan paksi Lembu.
Garisan yang diberikan membentuk angka OAB, yang ditunjukkan dengan menetas nasi. empat.
Oleh kerana fungsi y \u003d x 3 - 4x mengambil (0; 2) nilai negatif, maka
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Kami mempunyai: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4/4 - 4x 2/2)| 0 2 \u003d -4, dari mana S \u003d 4 meter persegi. unit
Jawapan: S = 4 persegi. unit
Contoh 4
Cari luas rajah yang dibatasi oleh parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, garis lurus x \u003d 0, y \u003d 0 dan tangen kepada parabola ini pada titik dengan abscissa x 0 \u003d 2.
Keputusan.
Pertama, kita menyusun persamaan tangen kepada parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 pada titik dengan abscissa x₀ \u003d 2.
Oleh kerana terbitan y' = 4x - 2, maka untuk x 0 = 2 kita dapat k = y'(2) = 6.
Cari ordinat bagi titik sentuh: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Oleh itu, persamaan tangen mempunyai bentuk: y - 5 \u003d 6 (x - 2) atau y \u003d 6x - 7.
Mari kita bina angka yang dibatasi oleh garisan:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.
Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Titik persilangan dengan paksi koordinat: A(0; 1) - dengan paksi Oy; dengan paksi Lembu - tiada titik persilangan, kerana persamaan 2x 2 - 2x + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, iaitu, puncak titik parabola B mempunyai koordinat B (1/2; 1/2).
Jadi, angka yang luasnya akan ditentukan ditunjukkan dengan menetas nasi. lima.
Kami mempunyai: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.
Cari koordinat titik D daripada keadaan:
6x - 7 = 0, i.e. x \u003d 7/6, kemudian DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.
Kami mencari luas segi tiga DBC menggunakan formula S ADBC = 1/2 · DC · BC. Dengan cara ini,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 persegi. unit
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (unit persegi).
Akhirnya kita dapat: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (unit persegi).
Jawapan: S = 1 1/4 persegi. unit
Kami telah menyemak contoh mencari luas rajah yang dibatasi oleh garisan yang diberi. Untuk berjaya menyelesaikan masalah sedemikian, anda perlu dapat membina garisan dan graf fungsi pada satah, mencari titik persilangan garis, menggunakan formula untuk mencari luas, yang membayangkan keupayaan dan kemahiran untuk mengira kamiran tertentu.
tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.
Dalam pelajaran ini kita akan belajar cara mengira kawasan angka rata, yang dipanggil trapezoid melengkung .
Contoh rajah tersebut adalah dalam rajah di bawah.
Di satu pihak, mencari luas angka rata menggunakan kamiran pasti adalah sangat mudah. Kita bercakap tentang kawasan angka itu, yang dihadkan dari atas oleh lengkung tertentu, dari bawah - oleh paksi absis ( lembu), dan di kiri dan kanan terdapat beberapa garis lurus. Kesederhanaan itu kamiran pasti bagi fungsi yang diberikan lengkung, dan terdapat luas rajah tersebut(trapezoid melengkung).
Untuk mengira luas rajah, kita perlukan:
- Kamiran pasti bagi fungsi yang mentakrifkan lengkung , yang mengehadkan trapezoid lengkung dari atas. Dan inilah nuansa penting pertama: trapezoid curvilinear boleh dihadkan oleh lengkung bukan sahaja dari atas, tetapi juga dari bawah . Bagaimana untuk bertindak dalam kes ini? Mudah tetapi penting untuk diingat: kamiran dalam kes ini diambil dengan tanda tolak .
- Had integrasi a dan b, yang kita dapati daripada persamaan garis yang mengikat rajah di sebelah kiri dan kanan: x = a , x = b, di mana a dan b- nombor.
Secara berasingan, beberapa nuansa lagi.
Lengkung yang mengehadkan trapezoid lengkung dari atas (atau bawah) mestilah graf bagi fungsi selanjar dan bukan negatif y = f(x) .
Nilai X mesti tergolong dalam segmen [a, b] . Iaitu, seperti, sebagai contoh, garis sebagai bahagian cendawan tidak diambil kira, di mana kaki sesuai dengan sempurna ke segmen ini, dan topinya lebih luas.
Segmen sisi boleh merosot menjadi titik . Jika anda melihat angka sedemikian dalam lukisan, ini tidak sepatutnya mengelirukan anda, kerana titik ini sentiasa mempunyai nilainya sendiri pada paksi-x. Jadi semuanya teratur dengan had integrasi.
Kini anda boleh beralih kepada formula dan pengiraan. Jadi kawasan s trapezoid curvilinear boleh dikira dengan formula
Jika f(x) ≤ 0 (graf fungsi terletak di bawah paksi lembu), kemudian luas trapezium melengkung boleh dikira dengan formula
Terdapat juga kes apabila kedua-dua sempadan atas dan bawah rajah adalah fungsi, masing-masing y = f(x) dan y = φ (x) , maka luas angka tersebut dikira dengan formula
. (3)
Kita selesaikan masalah bersama-sama
Mari kita mulakan dengan kes di mana luas angka boleh dikira menggunakan formula (1).
Contoh 1lembu) dan langsung x = 1 , x = 3 .
Keputusan. Sebagai y = 1/x> 0 pada segmen , maka luas trapezoid lengkung ditemui dengan formula (1):
.
Contoh 2 Cari luas rajah yang dibatasi oleh graf fungsi, garis lurus x= 1 dan paksi-x ( lembu ).
Keputusan. Hasil penggunaan formula (1):
Jika kemudian s= 1/2; jika kemudian s= 1/3, dsb.
Contoh 3 Cari luas rajah yang dibatasi oleh graf fungsi, paksi-x ( lembu) dan langsung x = 4 .
Keputusan. Angka yang sepadan dengan keadaan masalah adalah trapezoid melengkung, di mana segmen kiri telah merosot menjadi titik. Had penyepaduan ialah 0 dan 4. Oleh kerana, mengikut formula (1), kita dapati luas trapezoid lengkung:
.
Contoh 4 Cari luas rajah yang dibatasi oleh garis , , dan terletak pada suku pertama.
Keputusan. Untuk menggunakan formula (1), kami mewakili luas rajah yang diberikan oleh syarat contoh sebagai jumlah kawasan segitiga OAB dan trapezoid melengkung ABC. Apabila mengira luas segi tiga OAB had penyepaduan ialah absis mata O dan A, dan untuk angka itu ABC- absis mata A dan C (A ialah titik persilangan garis OA dan parabola, dan C- titik persilangan parabola dengan paksi lembu). Menyelesaikan bersama (sebagai sistem) persamaan garis lurus dan parabola, kita memperoleh (absis titik A) dan (abscissa satu lagi titik persilangan garis dan parabola, yang tidak diperlukan untuk penyelesaian). Begitu juga, kita memperoleh , (abscissas of points C dan D). Sekarang kita mempunyai segala-galanya untuk mencari kawasan angka itu. Kita dapati:
Contoh 5 Cari luas trapezium melengkung ACDB, jika persamaan lengkung CD dan absis A dan B masing-masing 1 dan 2.
Keputusan. Kami menyatakan persamaan lengkung ini melalui Y: Luas trapezoid lengkung didapati dengan formula (1):
.
Mari kita beralih kepada kes di mana luas rajah boleh dikira menggunakan formula (2).
Contoh 6 Cari luas rajah yang dibatasi oleh parabola dan paksi-x ( lembu ).
Keputusan. Angka ini terletak di bawah paksi-x. Oleh itu, untuk mengira luasnya, kita menggunakan formula (2). Had penyepaduan ialah absis dan titik persilangan parabola dengan paksi lembu. Akibatnya,
Contoh 7 Cari luas antara paksi-x ( lembu) dan dua gelombang sinus yang berdekatan.
Keputusan. Luas angka ini boleh didapati dengan formula (2):
.
Mari cari setiap istilah secara berasingan:
.
.
Akhirnya kita dapati kawasan:
.
Contoh 8 Cari luas rajah yang tertutup di antara parabola dan lengkung.
Keputusan. Mari kita nyatakan persamaan garis dalam sebutan Y:
Kawasan mengikut formula (2) akan diperolehi sebagai
,
di mana a dan b- absis mata A dan B. Kami mencari mereka dengan menyelesaikan persamaan bersama-sama:
Akhirnya kita dapati kawasan:
Dan, akhirnya, terdapat kes apabila luas angka boleh dikira menggunakan formula (3).
Contoh 9 Cari luas rajah yang tertutup di antara parabola 
dan .
Sebenarnya, untuk mencari luas angka, anda tidak memerlukan begitu banyak pengetahuan tentang kamiran tak tentu dan pasti. Tugas "mengira luas menggunakan kamiran pasti" sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, jadi pengetahuan dan kemahiran melukis anda akan menjadi isu yang lebih relevan. Dalam hal ini, adalah berguna untuk menyegarkan semula ingatan graf fungsi asas utama, dan, sekurang-kurangnya, dapat membina garis lurus, dan hiperbola.
Trapezoid lengkung ialah rajah rata yang dibatasi oleh paksi, garis lurus, dan graf bagi fungsi selanjar pada segmen yang tidak berubah tanda pada selang ini. Biarkan angka ini terletak tidak kurang absis:
Kemudian luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran tertentu. Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai makna geometri yang sangat baik.
Dari segi geometri, kamiran pasti ialah LUAS.
Itu dia, kamiran pasti (jika wujud) sepadan secara geometri dengan luas beberapa rajah. Sebagai contoh, pertimbangkan kamiran pasti . Kamiran dan mentakrifkan lengkung pada satah yang terletak di atas paksi (mereka yang ingin melengkapkan lukisan), dan kamiran pasti itu sendiri secara berangka sama dengan luas trapezoid lengkung yang sepadan.
Contoh 1
Ini adalah pernyataan tugas biasa. Momen pertama dan paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.
Apabila membina pelan tindakan, saya mengesyorkan susunan berikut: pertama adalah lebih baik untuk membina semua baris (jika ada) dan sahaja selepas- parabola, hiperbola, graf fungsi lain. Graf fungsi lebih menguntungkan untuk dibina mengikut arah mata.
Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.
Mari kita buat lukisan (perhatikan bahawa persamaan mentakrifkan paksi):
Pada segmen, graf fungsi terletak atas paksi, jadi:
Jawapan:
Selepas tugas selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, "dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - dengan baik, kira-kira 9 akan ditaip, nampaknya benar. Agak jelas bahawa jika kita mempunyai, katakan, jawapannya: 20 unit persegi, maka, jelas sekali, kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Jika jawapannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.
Contoh 3
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis dan paksi koordinat.
Keputusan: Mari buat lukisan:
Jika trapezoid melengkung terletak bawah gandar(atau sekurang-kurangnya tidak lebih tinggi paksi yang diberikan), maka luasnya boleh didapati dengan formula:
Dalam kes ini:
Perhatian! Jangan mengelirukan kedua-dua jenis tugas:
1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia boleh menjadi negatif.
2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dipertimbangkan.
Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah, kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis , .
Keputusan: Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola dan garis. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:
Oleh itu, had bawah penyepaduan, had atas penyepaduan.
Sebaiknya jangan gunakan kaedah ini jika boleh..
Ia adalah lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membina garisan titik demi titik, manakala had penyepaduan didapati seolah-olah "dengan sendirinya". Walau bagaimanapun, kaedah analisis untuk mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan berulir tidak mendedahkan had integrasi (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh sedemikian.
Kami kembali kepada tugas kami: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan kemudian parabola. Mari buat lukisan:
Dan kini formula kerja: Jika terdapat beberapa fungsi berterusan pada selang lebih besar daripada atau sama beberapa fungsi berterusan, maka luas rajah yang dibatasi oleh graf fungsi dan garis lurus ini, boleh didapati dengan formula:
Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, dan, secara kasarnya, penting carta mana yang DI ATAS(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.
Dalam contoh yang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada
Penyelesaian penyelesaian mungkin kelihatan seperti ini:
Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Pada segmen , mengikut formula yang sepadan:
Jawapan:
Contoh 4
Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis , , , .
Keputusan: Mari buat lukisan dahulu:
Rajah yang kawasannya perlu kita cari dilorekkan dengan warna biru.(berhati-hati melihat keadaan - betapa angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh kurangnya perhatian, "gangguan" sering berlaku, yang anda perlukan untuk mencari kawasan angka yang berlorek dengan warna hijau!
Contoh ini juga berguna kerana di dalamnya kawasan angka dikira menggunakan dua kamiran pasti.
sungguh:
1) Pada segmen di atas paksi terdapat graf garis lurus;
2) Pada segmen di atas paksi ialah graf hiperbola.
Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:
Bagaimana untuk mengira isipadu badan revolusimenggunakan kamiran pasti?
Bayangkan beberapa angka rata pada satah koordinat. Kami telah pun menemui kawasannya. Tetapi, sebagai tambahan, angka ini juga boleh diputar, dan diputar dalam dua cara:
Sekitar paksi-x;
Mengelilingi paksi-y .
Dalam artikel ini, kedua-dua kes akan dibincangkan. Kaedah putaran kedua amat menarik, ia menyebabkan kesukaran yang paling besar, tetapi sebenarnya penyelesaiannya hampir sama seperti dalam putaran yang lebih biasa di sekitar paksi-x.
Mari kita mulakan dengan jenis putaran yang paling popular.
Aplikasi kamiran untuk menyelesaikan masalah gunaan
Pengiraan kawasan
Kamiran pasti bagi fungsi bukan negatif selanjar f(x) adalah sama dengan luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh lengkung y \u003d f (x), paksi O x dan garis lurus x \u003d a dan x \u003d b. Sehubungan itu, formula luas ditulis seperti berikut:
Pertimbangkan beberapa contoh pengiraan luas angka satah.
Nombor tugas 1. Kira kawasan yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.
Keputusan. Mari kita bina angka, luas yang perlu kita kira.
y \u003d x 2 + 1 ialah parabola yang cawangannya diarahkan ke atas, dan parabola dianjak ke atas oleh satu unit berbanding dengan paksi O y (Rajah 1).
Rajah 1. Graf bagi fungsi y = x 2 + 1
Nombor tugas 2. Kira kawasan yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 dalam julat dari 0 hingga 1.
 |
Keputusan. Graf fungsi ini ialah parabola cawangan, yang diarahkan ke atas, dan parabola dianjak ke bawah oleh satu unit berbanding paksi O y (Rajah 2).
Rajah 2. Graf fungsi y \u003d x 2 - 1
Nombor tugas 3. Buat lukisan dan kirakan luas angka yang dibatasi oleh garisan
y = 8 + 2x - x 2 dan y = 2x - 4.
Keputusan. Yang pertama daripada kedua-dua garis ini ialah parabola dengan cawangan menghala ke bawah, kerana pekali pada x 2 adalah negatif, dan garis kedua ialah garis lurus yang melintasi kedua-dua paksi koordinat.
Untuk membina parabola, mari cari koordinat bucunya: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vertex abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ialah ordinatnya, N(1;9) ialah bucunya.
Sekarang kita mencari titik persilangan parabola dan garis dengan menyelesaikan sistem persamaan:
Menyamakan sisi kanan persamaan yang sisi kirinya sama.
Kami mendapat 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 atau x 2 - 12 \u003d 0, dari mana 
.
Jadi, titik ialah titik persilangan parabola dan garis lurus (Rajah 1).
Rajah 3 Graf fungsi y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4
Mari kita bina garis lurus y = 2x - 4. Ia melalui titik (0;-4), (2; 0) pada paksi koordinat.
Untuk membina parabola, anda juga boleh mempunyai titik persilangannya dengan paksi 0x, iaitu punca-punca persamaan 8 + 2x - x 2 = 0 atau x 2 - 2x - 8 = 0. Dengan teorem Vieta, ia adalah mudah untuk mencari puncanya: x 1 = 2, x 2 = empat.
Rajah 3 menunjukkan rajah (segmen parabola M 1 N M 2) yang dibatasi oleh garisan ini.
Bahagian kedua masalahnya ialah mencari luas angka ini. Luasnya boleh didapati menggunakan kamiran pasti menggunakan formula 
.
Berkenaan dengan keadaan ini, kami memperoleh integral: 
2 Pengiraan isipadu badan revolusi
Isipadu badan yang diperoleh daripada putaran lengkung y \u003d f (x) di sekeliling paksi O x dikira dengan formula:
Apabila berputar di sekitar paksi O y, formula kelihatan seperti:
Tugas nombor 4. Tentukan isipadu badan yang diperoleh daripada putaran trapezoid lengkung yang dibatasi oleh garis lurus x \u003d 0 x \u003d 3 dan lengkung y \u003d di sekeliling paksi O x.
Keputusan. Mari bina lukisan (Rajah 4).
Rajah 4. Graf bagi fungsi y =
Isipadu yang dikehendaki adalah sama dengan 
Tugas nombor 5. Hitung isipadu jasad yang diperoleh daripada putaran trapezium lengkung yang dibatasi oleh lengkung y = x 2 dan garis lurus y = 0 dan y = 4 mengelilingi paksi O y .
Keputusan. Kami ada:
Ulangkaji soalan