Pochodną funkcji zespolonej oblicza się ze wzoru. Zasada różniczkowania funkcji zespolonej. Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania

Skoro tu trafiłeś, prawdopodobnie widziałeś już tę formułę w podręczniku

i zrób taką minę:

Przyjacielu, nie martw się! Właściwie wszystko jest po prostu oburzające. Na pewno wszystko zrozumiesz. Tylko jedna prośba – przeczytaj artykuł powoli, staraj się zrozumieć każdy krok. Napisałem tak prosto i przejrzyście, jak to możliwe, ale nadal musisz zrozumieć ideę. I pamiętaj o rozwiązaniu zadań z artykułu.

Co to jest funkcja złożona?

Wyobraź sobie, że przeprowadzasz się do innego mieszkania i dlatego pakujesz rzeczy do dużych pudeł. Załóżmy, że musisz zebrać kilka drobnych przedmiotów, na przykład szkolne przybory piśmiennicze. Jeśli po prostu wrzucisz je do ogromnego pudełka, zgubią się między innymi. Aby tego uniknąć, najpierw wkładasz je np. do torby, którą następnie wkładasz duże pudło, po czym go zapieczętujesz. Ten „złożony” proces przedstawiono na poniższym schemacie:

Wydawałoby się, co ma z tym wspólnego matematyka? Tak, pomimo tego, że funkcja złożona jest tworzona DOKŁADNIE W TAK SAMY SPOSÓB! Tylko my „pakujemy” nie notesy i długopisy, ale \(x\), natomiast „opakowania” i „pudełka” są różne.

Na przykład weźmy x i „spakujmy” go w funkcję:

W rezultacie otrzymujemy oczywiście \(\cos⁡x\). To jest nasza „torba rzeczy”. Teraz włóżmy to do „pudełka” – spakujmy na przykład funkcję sześcienną.

Co się stanie na końcu? Tak, zgadza się, w pudełku będzie „worek rzeczy”, czyli „cosinus X do sześcianu”.

Powstały projekt jest złożoną funkcją. Od prostego różni się tym KILKA „wpływów” (pakietów) jest stosowanych do jednego X z rzędu i okazuje się, że „funkcja z funkcji” - „opakowanie w opakowaniu”.

W kursie szkolnym rodzajów tych „pakietów” jest bardzo niewiele, tylko cztery:

„Spakujmy” teraz X najpierw do funkcji wykładniczej o podstawie 7, a następnie do funkcji trygonometrycznej. Otrzymujemy:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Teraz „spakujmy” X dwukrotnie funkcje trygonometryczne, najpierw w , a następnie w:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Proste, prawda?

Teraz sam napisz funkcje, gdzie x:
- najpierw jest „upakowany” w cosinus, a następnie w funkcję wykładniczą o podstawie \(3\);
- najpierw do potęgi piątej, a następnie do stycznej;
- pierwszy do logarytmu o podstawie \(4\) , a następnie do potęgi \(-2\).

Odpowiedzi na to zadanie znajdziesz na końcu artykułu.

Czy możemy „spakować” X nie dwa, ale trzy razy? Bez problemu! I cztery, i pięć, i dwadzieścia pięć razy. Oto na przykład funkcja, w której x jest „upakowane” \(4\) razy:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takich formuł nie znajdziemy w praktyce szkolnej (uczniowie mają więcej szczęścia – ich może być bardziej skomplikowana☺).

„Rozpakowywanie” złożonej funkcji

Spójrz jeszcze raz na poprzednią funkcję. Czy potrafisz ustalić sekwencję „pakowania”? W co X zostało wepchnięte najpierw, w co potem i tak dalej, aż do samego końca. To znaczy, która funkcja jest zagnieżdżona w której? Weź kartkę papieru i napisz, co myślisz. Można to zrobić za pomocą łańcuszka ze strzałkami tak jak pisaliśmy powyżej lub w inny sposób.

Teraz poprawna odpowiedź brzmi: najpierw x zostało „upakowane” do \(4\)-tej potęgi, następnie wynik został spakowany do sinusa, a to z kolei zostało umieszczone w logarytmie o podstawie \(2\) , a na koniec całą tę konstrukcję upchnięto w potęgę piątkową.

Oznacza to, że musisz rozwinąć sekwencję W ODWROTNEJ KOLEJNOŚCI. A tu podpowiedź jak to zrobić prościej: od razu spójrz na X – powinieneś z niego zatańczyć. Spójrzmy na kilka przykładów.

Oto na przykład następująca funkcja: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Patrzymy na X – co dzieje się z nim najpierw? Zabrane mu. I wtedy? Przyjmuje się tangens wyniku. Kolejność będzie taka sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Inny przykład: \(y=\cos⁡((x^3))\). Przeanalizujmy - najpierw podnieśliśmy X do sześcianu, a następnie obliczyliśmy cosinus wyniku. Oznacza to, że sekwencja będzie następująca: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Zwróć uwagę, funkcja wydaje się być podobna do pierwszej (gdzie zawiera obrazy). Ale to jest zupełnie inna funkcja: tutaj w sześcianie jest x (czyli \(\cos⁡((x·x·x)))\), a tam w sześcianie jest cosinus \(x\) ( to znaczy \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Różnica ta wynika z różnych sekwencji „pakowania”.

Ostatni przykład (z ważna informacja w nim): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Oczywiste jest, że tutaj najpierw wykonali operacje arytmetyczne na x, a następnie obliczyli sinus wyniku: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). I to ważny punkt: pomimo tego, że operacje arytmetyczne same w sobie nie są funkcjami, tutaj pełnią również funkcję „pakowania”. Zagłębmy się nieco w tę subtelność.

Jak powiedziałem powyżej, w prostych funkcjach x jest „pakowane” raz, a w funkcjach złożonych - dwa lub więcej. Co więcej, dowolna kombinacja prostych funkcji (czyli ich suma, różnica, mnożenie lub dzielenie) jest również funkcją prostą. Na przykład \(x^7\) jest prostą funkcją, podobnie jak \(ctg x\). Oznacza to, że wszystkie ich kombinacje są prostymi funkcjami:

\(x^7+ ctg x\) - proste,
\(x^7· łóżko x\) – proste,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – proste itp.

Jeśli jednak do takiej kombinacji zostanie zastosowana jeszcze jedna funkcja, stanie się ona funkcją złożoną, ponieważ będą dwa „pakiety”. Zobacz schemat:

OK, śmiało. Zapisz sekwencję funkcji „zawijania”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpowiedzi znajdują się ponownie na końcu artykułu.

Funkcje wewnętrzne i zewnętrzne

Dlaczego musimy zrozumieć zagnieżdżanie funkcji? Co nam to daje? Faktem jest, że bez takiej analizy nie będziemy w stanie wiarygodnie znaleźć pochodnych funkcji omówionych powyżej.

Aby przejść dalej, będziemy potrzebować jeszcze dwóch koncepcji: funkcji wewnętrznych i zewnętrznych. To jest bardzo prosta rzecz, zresztą, już je analizowaliśmy powyżej: jeśli przypomnimy sobie naszą analogię na samym początku, to funkcja wewnętrzna to „pakiet”, a funkcja zewnętrzna to „pudełko”. Te. to, w co X jest najpierw „owinięte”, jest funkcją wewnętrzną, a to, w co „owinięta” jest funkcja wewnętrzna, jest już funkcją zewnętrzną. Cóż, jasne jest dlaczego – jest na zewnątrz, to znaczy na zewnątrz.

W tym przykładzie: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcja \(\log_2⁡x\) jest funkcją wewnętrzną i
- zewnętrzny.

A w tym: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) jest wewnętrzne i
- zewnętrzny.

Wykonaj ostatnią praktykę analizy funkcji złożonych i przejdźmy wreszcie do tego, od czego wszyscy zaczęliśmy – znajdziemy pochodne funkcji złożonych:

Wypełnij puste miejsca w tabeli:

Pochodna funkcji zespolonej

Brawo dla nas, w końcu dotarliśmy do „szefa” tego tematu – a właściwie pochodnej złożona funkcja, a konkretnie do tej bardzo okropnej formuły z początku artykułu.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ta formuła brzmi następująco:

Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej po stałej funkcji wewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej.

I od razu spójrz na diagram analizy „słowo po słowie”, aby zrozumieć, co jest czym:

Mam nadzieję, że określenia „pochodna” i „produkt” nie sprawią żadnych trudności. „Funkcja złożona” - już to rozwiązaliśmy. Haczyk w „pochodnej” funkcja zewnętrzna według niezmienionego wewnętrznego.” Co to jest?

Odpowiedź: Jest to zwykła pochodna funkcji zewnętrznej, w której zmienia się tylko funkcja zewnętrzna, a funkcja wewnętrzna pozostaje taka sama. Nadal nie jest jasne? OK, użyjmy przykładu.

Miejmy funkcję \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasne jest, że funkcją wewnętrzną jest tutaj \(x^3\), a funkcją zewnętrzną
. Znajdźmy teraz pochodną zewnętrza względem stałego wnętrza.

Podano przykłady obliczania pochodnych za pomocą wzoru na pochodną funkcji zespolonej.

Treść

Zobacz też: Dowód wzoru na pochodną funkcji zespolonej

Podstawowe formuły

Tutaj podajemy przykłady obliczania pochodnych następujące funkcje:
; ; ; ; .

Jeśli funkcję można przedstawić jako funkcję złożoną w poniższy formularz:
,
wówczas jego pochodną wyznacza się ze wzoru:
.
W poniższych przykładach zapiszemy tę formułę w następujący sposób:
.
Gdzie .
Tutaj indeksy dolne lub , znajdujące się pod znakiem pochodnej, oznaczają zmienne, według których przeprowadzane jest różnicowanie.

Zwykle w tablicach pochodnych podaje się pochodne funkcji od zmiennej x. Jednak x jest parametrem formalnym. Zmienną x można zastąpić dowolną inną zmienną. Dlatego różniczkując funkcję od zmiennej, po prostu zamieniamy w tabeli pochodnych zmienną x na zmienną u.

Proste przykłady

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji zespolonej
.

Zapiszmy to dana funkcja w równoważnej formie:
.
W tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.

Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji zespolonej mamy:
.
Tutaj .

Przykład 2

Znajdź pochodną
.

Wyciągamy stałą 5 ze znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
.

.
Tutaj .

Przykład 3

Znajdź pochodną
.

Wyciągamy stałą -1 dla znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
;
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.

Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej:
.
Tutaj .

Bardziej złożone przykłady

W bardziej złożonych przykładach stosujemy zasadę kilkukrotnego różniczkowania funkcji zespolonej. W tym przypadku pochodną obliczamy od końca. Oznacza to, że dzielimy funkcję na części składowe i za pomocą znajdujemy pochodne najprostszych części tabela instrumentów pochodnych. Używamy również zasady różnicowania kwot, produkty i frakcje. Następnie dokonujemy podstawień i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.

Przykład 4

Znajdź pochodną
.

Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną. .

.
Tutaj zastosowaliśmy oznaczenie
.

Korzystając z otrzymanych wyników, znajdujemy pochodną kolejnej części pierwotnej funkcji. Stosujemy zasadę różniczkowania sumy:
.

Po raz kolejny stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.

.
Tutaj .

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji
.

Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną z tabeli pochodnych. .

Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.
.
Tutaj
.

Rozróżniajmy następna część, stosując uzyskane wyniki.
.
Tutaj
.

Rozróżnijmy następną część.

.
Tutaj
.

Teraz znajdujemy pochodną żądanej funkcji.

.
Tutaj
.

Zobacz też:

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w pewnym momencie;
2. w pewnym momencie;
3. w pewnym momencie;
4. w tym punkcie.

Rozwiązania:

1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ this funkcja liniowa, Pamiętać?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

Do tego użyjemy prosta zasada: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której bez kalkulatora nie da się obliczyć, czyli nie da się jej już zapisać w prostej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne wykładnicze i funkcje logarytmiczne prawie nigdy nie pojawiają się na jednolitym egzaminie państwowym, ale nie zaszkodzi ich poznać.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu .

Możemy łatwo wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś kwadrat, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna funkcja funkcje złożone: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

1. Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
   A oryginalną funkcją jest ich skład: .
2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. Zastosowano do oryginalny przykład To wygląda tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wydobywamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy działania, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów z matematyki jest całkowicie niemożliwe bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Ten temat zasadniczy postanowiliśmy poświęcić dzisiejszy artykuł. Co to jest pochodna, jaka jest jej fizyczna i znaczenie geometryczne jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja k(x) , określone w określonym przedziale (a, b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Kiedy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica w jego wartościach x-x0 . Różnicę tę zapisuje się jako delta x i nazywa się to przyrostem argumentu. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to zapisać w następujący sposób:

Jaki jest sens znajdowania takiej granicy? A oto co to jest:

pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta pomiędzy osią OX a styczną do wykresu funkcji w danym punkcie.

Znaczenie fizyczne pochodna: pochodna drogi po czasie jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to szczególna ścieżka x=f(t) i czas T . Średnia prędkość przez określony czas:

Aby poznać prędkość ruchu w danym momencie t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: ustaw stałą

Stałą można wyjąć ze znaku pochodnej. Co więcej, należy to zrobić. Rozwiązując przykłady z matematyki, przyjmuj to z reguły - Jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu go .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale raczej rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych obliczamy ze wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Rozwiązanie:

Ważne jest, aby porozmawiać tutaj o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie spotykamy się z wyrażeniem:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na wyznaczenie pochodnej ilorazu dwóch funkcji:

O instrumentach pochodnych próbowaliśmy od zera porozmawiać dla manekinów. Temat ten nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: przykłady często zawierają pułapki, dlatego należy zachować ostrożność przy obliczaniu pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań na ten i inne tematy, możesz skontaktować się z obsługą studencką. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejszy test i zrozumieć zadania, nawet jeśli nigdy wcześniej nie wykonywałeś obliczeń pochodnych.

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne rachunek różniczkowy To będzie wyglądało jak dziecięcy żart.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W przypadku wątpliwości przypominam przydatną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „x” i próbujemy (w myślach lub w wersji roboczej) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że ​​suma jest najgłębszym osadzeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie sześcian cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wydaje się bez błędów:

1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

2) Oblicz pochodną różnicy korzystając z reguły

3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).

4) Weź pochodną cosinusa.

6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.

Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów dwa razy

Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? - to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Możesz też się przekręcić i wstawić coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź dokładnie w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania niezależnego; w przykładzie jest ono rozwiązywane pierwszą metodą.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Można tu przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć?

Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólny mianownik i pozbyć się trzypiętrowej frakcji:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.

Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm