W poprzednia sekcja poświęcony analizie geometrycznego znaczenia całki oznaczonej otrzymaliśmy szereg wzorów do obliczania pola trapezu krzywoliniowego:
S (G) = ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i nieujemnej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i niedodatniej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] .
Wzory te mają zastosowanie do rozwiązywania proste zadania. W rzeczywistości często będziemy musieli pracować z bardziej złożonymi figurami. W związku z tym tę sekcję poświęcimy analizie algorytmów obliczania pola figur ograniczonych funkcjami w postaci jawnej, tj. jak y = f(x) lub x = g(y).
TwierdzenieNiech funkcje y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będą określone i ciągłe na przedziale [ a ; b] i f 1 (x) ≤ f 2 (x) dla dowolnej wartości x z [ a ; B ] . Następnie wzór na obliczenie pola figury G, ograniczonego liniami x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będzie wyglądać jak S (G) = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x .
Podobny wzór będzie miał zastosowanie do pola figury ograniczonego liniami y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( sol 2 (y) - sol 1 (y) re y .
Dowód
Przyjrzyjmy się trzem przypadkom, dla których formuła będzie obowiązywać.
W pierwszym przypadku, biorąc pod uwagę właściwość addytywności pola, suma obszarów pierwotnej figury G i krzywoliniowego trapezu G 1 jest równa powierzchni figury G 2. To oznacza, że
Dlatego S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) re x - ∫ a b f 1 (x) re x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Ostatnie przejście możemy wykonać korzystając z trzeciej własności całki oznaczonej.
W drugim przypadku równość jest prawdziwa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) re x
Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:
Jeśli obie funkcje nie są dodatnie, otrzymujemy: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) re x . Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:
Przejdźmy do rozważenia ogólnego przypadku, gdy y = f 1 (x) i y = f 2 (x) przecinają oś O x.
Punkty przecięcia oznaczamy jako x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Punkty te dzielą odcinek [a; b ] na n części x i - 1 ; x ja, ja = 1, 2, . . . , n, gdzie α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Stąd,
S (G) = ∑ ja = 1 n S (G i) = ∑ ja = 1 n ∫ x ja x ja fa 2 (x) - fa 1 (x)) re x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - fa ( x)) re x = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x
Ostatniego przejścia możemy dokonać korzystając z piątej własności całki oznaczonej.
Zilustrujmy przypadek ogólny na wykresie.
Wzór S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x można uznać za udowodniony.
Przejdźmy teraz do analizy przykładów obliczania pola figur ograniczonych liniami y = f (x) i x = g (y).
Rozważanie dowolnego z przykładów zaczniemy od skonstruowania wykresu. Obraz pozwoli nam przedstawić złożone figury jako związki większej liczby proste figury. Jeśli tworzenie na nich wykresów i rysunków sprawia ci trudności, możesz przestudiować część dotyczącą podstaw funkcje elementarne, transformacja geometryczna wykresów funkcji, a także konstrukcja wykresów podczas badania funkcji.
Przykład 1
Konieczne jest określenie obszaru figury, który jest ograniczony parabolą y = - x 2 + 6 x - 5 i liniami prostymi y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Rozwiązanie
Narysujmy linie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Na odcinku [ 1 ; 4 ] wykres paraboli y = - x 2 + 6 x - 5 znajduje się nad prostą y = - 1 3 x - 1 2. W związku z tym, aby uzyskać odpowiedź, korzystamy z otrzymanego wcześniej wzoru oraz metody obliczania całki oznaczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 re x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odpowiedź: S(G) = 13
Spójrzmy na bardziej złożony przykład.
Przykład 2
Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x + 2, y = x, x = 7.
Rozwiązanie
W tym przypadku mamy tylko jedną prostą umieszczoną równolegle do osi x. To jest x = 7. Wymaga to od nas samodzielnego znalezienia drugiej granicy całkowania.
Zbudujmy wykres i nanieś na niego linie podane w opisie problemu.
Mając przed oczami wykres, łatwo możemy określić, że dolną granicą całkowania będzie odcięta punktu przecięcia wykresu prostej y = x i półparaboli y = x + 2. Aby znaleźć odciętą, używamy równości:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Okazuje się, że odcięta punktu przecięcia wynosi x = 2.
Zwracamy uwagę, że w ogólnym przykładzie na rysunku proste y = x + 2, y = x przecinają się w punkcie (2; 2), więc tak szczegółowe obliczenia mogą wydawać się niepotrzebne. Tak szczegółowe rozwiązanie podaliśmy tutaj tylko dlatego, że w bardziej skomplikowanych przypadkach rozwiązanie może nie być tak oczywiste. Oznacza to, że zawsze lepiej jest obliczyć współrzędne przecięcia linii analitycznie.
Na przedziale [ 2 ; 7] wykres funkcji y = x znajduje się nad wykresem funkcji y = x + 2. Zastosujmy wzór do obliczenia pola:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) re x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odpowiedź: S (G) = 59 6
Przykład 3
Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony wykresami funkcji y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.
Rozwiązanie
Narysujmy linie na wykresie.
Zdefiniujmy granice całkowania. Aby to zrobić, określamy współrzędne punktów przecięcia linii, przyrównując wyrażenia 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod warunkiem, że x nie jest równe zero, równość 1 x = - x 2 + 4 x - 2 staje się równoważna równaniu trzeciego stopnia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ze współczynnikami całkowitymi. Aby odświeżyć pamięć o algorytmie rozwiązywania takich równań, możemy zapoznać się z sekcją „Rozwiązywanie równań sześciennych”.
Pierwiastkiem tego równania jest x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Dzieląc wyrażenie - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 przez dwumian x - 1, otrzymujemy: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Pozostałe pierwiastki możemy znaleźć z równania x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 re = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Znaleźliśmy przedział x ∈ 1; 3 + 13 2, w którym cyfra G zawarta jest nad linią niebieską i poniżej linii czerwonej. Pomaga nam to określić obszar figury:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x re x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odpowiedź: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Przykład 4
Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego krzywymi y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osią odciętych.
Rozwiązanie
Narysujmy wszystkie linie na wykresie. Wykres funkcji y = - log 2 x + 1 możemy otrzymać z wykresu y = log 2 x, jeśli umieścimy go symetrycznie względem osi x i przesuniemy go o jedną jednostkę w górę. Równanie osi x to y = 0.
Zaznaczmy punkty przecięcia prostych.
Jak widać z rysunku, wykresy funkcji y = x 3 i y = 0 przecinają się w punkcie (0; 0). Dzieje się tak, ponieważ x = 0 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania x 3 = 0.
x = 2 jest jedynym pierwiastkiem równania - log 2 x + 1 = 0, więc wykresy funkcji y = - log 2 x + 1 i y = 0 przecinają się w punkcie (2; 0).
x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania x 3 = - log 2 x + 1 . Pod tym względem wykresy funkcji y = x 3 i y = - log 2 x + 1 przecinają się w punkcie (1; 1). Ostatnie stwierdzenie może nie być oczywiste, ale równanie x 3 = - log 2 x + 1 nie może mieć więcej niż jednego pierwiastka, gdyż funkcja y = x 3 jest ściśle rosnąca, a funkcja y = - log 2 x + 1 to ściśle malejące.
Dalsze rozwiązanie obejmuje kilka opcji.
Opcja nr 1
Możemy sobie wyobrazić figurę G jako sumę dwóch trapezów krzywoliniowych znajdujących się powyżej osi x, z których pierwszy znajduje się poniżej linia środkowa na odcinku x ∈ 0; 1, a druga poniżej czerwonej linii na odcinku x ∈ 1; 2. Oznacza to, że pole będzie równe S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) re x .
Opcja nr 2
Figurę G można przedstawić jako różnicę dwóch figur, z których pierwsza znajduje się powyżej osi x i poniżej niebieskiej linii na odcinku x ∈ 0; 2, a druga pomiędzy czerwoną i niebieską linią na odcinku x ∈ 1; 2. Dzięki temu możemy znaleźć obszar w następujący sposób:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) re x
W tym przypadku, aby znaleźć pole, będziesz musiał użyć wzoru w postaci S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. W rzeczywistości linie ograniczające figurę można przedstawić jako funkcje argumentu y.
Rozwiążmy równania y = x 3 i - log 2 x + 1 względem x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Otrzymujemy wymagany obszar:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) re y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odpowiedź: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Przykład 5
Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Rozwiązanie
Na wykresie narysujemy linię czerwoną linią, podane przez funkcję y = x. Rysujemy linię y = - 1 2 x + 4 na niebiesko, a linię y = 2 3 x - 3 na czarno.
Zaznaczmy punkty przecięcia.
Znajdźmy punkty przecięcia wykresów funkcji y = x i y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Sprawdź: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Czy jest rozwiązaniem równania x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 jest rozwiązaniem równania ⇒ (4; 2) punkt przecięcia i y = x i y = - 1 2 x + 4
Znajdźmy punkt przecięcia wykresów funkcji y = x i y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 re = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Sprawdź: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 jest rozwiązaniem równania ⇒ (9 ; 3) punkt a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Równanie nie ma rozwiązania
Znajdźmy punkt przecięcia prostych y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punkt przecięcia y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3
Metoda nr 1
Wyobraźmy sobie pole pożądanej figury jako sumę pól poszczególnych figur.
Następnie obszar figury wynosi:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 re x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda nr 2
Obszar oryginalnej figury można przedstawić jako sumę dwóch innych figur.
Następnie rozwiązujemy równanie linii względem x i dopiero potem stosujemy wzór do obliczenia pola figury.
y = x ⇒ x = y 2 czerwona linia y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 czarna linia y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ja n i a l i n e
Zatem obszar wynosi:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Jak widać wartości są takie same.
Odpowiedź: S (G) = 11 3
Wyniki
Aby znaleźć pole figury ograniczone podanymi liniami, musimy skonstruować linie na płaszczyźnie, znaleźć ich punkty przecięcia i zastosować wzór na obliczenie pola. W tej sekcji sprawdziliśmy najczęstsze warianty zadań.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Wstecz Naprzód
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Słowa kluczowe: integralny, krzywoliniowy trapez, obszar figur ograniczony liliami
Sprzęt: tablica markerowa, komputer, projektor multimedialny
Typ lekcji: lekcja-wykład
Cele lekcji:
- edukacyjny: stworzyć kulturę pracy umysłowej, stworzyć każdemu uczniowi sytuację sukcesu i stworzyć pozytywną motywację do nauki; rozwijać umiejętność mówienia i słuchania innych.
- rozwijanie: kształtowanie samodzielnego myślenia ucznia w stosowaniu wiedzy w różnych sytuacjach, umiejętność analizowania i wyciągania wniosków, rozwój logiki, rozwój umiejętności prawidłowego stawiania pytań i znajdowania na nie odpowiedzi. Doskonalenie kształtowania umiejętności obliczeniowych i obliczeniowych, rozwijanie myślenia uczniów w trakcie wykonywania proponowanych zadań, rozwijanie kultury algorytmicznej.
- edukacyjny: formułować pojęcia o trapezie krzywoliniowym, o całce, opanować umiejętność obliczania pól figur płaskich
Metoda nauczania: wyjaśniające i ilustrujące.
Postęp lekcji
Na poprzednich zajęciach nauczyliśmy się obliczać pola figur, których brzegi stanowią linie wielokątne. W matematyce istnieją metody, które pozwalają obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi. Takie figury nazywane są trapezami krzywoliniowymi, a ich pole oblicza się za pomocą funkcji pierwotnych.
Trapez krzywoliniowy ( slajd 1)
Zakrzywiony trapez to figura ograniczona wykresem funkcji ( sh.m.), prosty x = a I x = b i oś x
Różne typy zakrzywionych trapezów ( slajd 2)
Rozważamy różne typy trapezy krzywoliniowe i uwaga: jedna z prostych jest zdegenerowana do punktu, rolę ograniczającą pełni prosta
Powierzchnia zakrzywionego trapezu (slajd 3)
Napraw lewy koniec interwału A, i ten właściwy X zmienimy, czyli przesuniemy prawą ścianę trapezu krzywoliniowego i otrzymamy zmieniającą się figurę. Pole zmiennego trapezu krzywoliniowego ograniczone wykresem funkcji jest funkcją pierwotną F dla funkcji F
A w segmencie [ A; B] obszar krzywoliniowego trapezu utworzonego przez funkcję F, jest równy przyrostowi funkcji pierwotnej tej funkcji:
Zadanie 1:
Znajdź obszar trapezu krzywoliniowego ograniczony wykresem funkcji: f(x) = x 2 i proste y = 0, x = 1, x = 2.
Rozwiązanie: ( zgodnie z algorytmem slajd 3)
Narysujmy wykres funkcji i linii
Znajdźmy jedną z funkcji pierwotnych f(x) = x 2 :
Autotest na slajdzie
Całka
Rozważmy trapez krzywoliniowy zdefiniowany przez funkcję F w segmencie [ A; B] Podzielmy ten segment na kilka części. Pole całego trapezu zostanie podzielone na sumę pól mniejszych zakrzywionych trapezów. ( slajd 5). Każdy taki trapez można w przybliżeniu uznać za prostokąt. Suma obszarów tych prostokątów daje przybliżone wyobrażenie o całym obszarze zakrzywionego trapezu. Im mniejszy dzielimy odcinek [ A; B], tym dokładniej obliczymy pole.
Zapiszmy te argumenty w formie wzorów.
Podziel odcinek [ A; B] na n części za pomocą kropek x 0 = a, x1,…, xn = b. Długość k- t oznaczać przez xk = xk – xk-1. Zróbmy sumę
Geometrycznie suma ta reprezentuje obszar figury zacienionej na rysunku ( sh.m.)
Sumy postaci nazywane są sumami całkowitymi funkcji F. (sh.m.)
Sumy całkowite dają przybliżoną wartość pola. Dokładna wartość uzyskuje się przechodząc do granicy. Wyobraźmy sobie, że udoskonalamy podział segmentu [ A; B] tak, że długości wszystkich małych segmentów dążą do zera. Wtedy obszar skomponowanej figury zbliży się do obszaru zakrzywionego trapezu. Można powiedzieć, że pole zakrzywionego trapezu jest równe granicy sum całkowitych, sc.t. (sh.m.) lub integralny, tj.
Definicja:
Całka funkcji k(x) z A Do B nazywaną granicą sum całkowitych
= (sh.m.)
Wzór Newtona-Leibniza.
Pamiętamy, że granica sum całkowitych jest równa polu trapezu krzywoliniowego, co oznacza, że możemy napisać:
sc.t. = (sh.m.)
Z drugiej strony obszar zakrzywionego trapezu oblicza się ze wzoru
S k.t. (sh.m.)
Porównując te wzory otrzymujemy:
= (sh.m.)Równość ta nazywa się wzorem Newtona-Leibniza.
Dla ułatwienia obliczeń wzór zapisuje się w postaci:
= = (sh.m.)Zadania: (sh.m.)
1. Oblicz całkę, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza: ( sprawdź na slajdzie 5)
2. Skomponuj całki zgodnie z rysunkiem ( sprawdź na slajdzie 6)
3. Znajdź obszar figury ograniczony liniami: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slajd 7)
Znajdowanie pól figur płaskich ( slajd 8)
Jak znaleźć obszar figur, które nie są zakrzywionymi trapezami?
Niech zostaną podane dwie funkcje, których wykresy widzisz na slajdzie . (sh.m.) Znajdź obszar zacienionej figury . (sh.m.). Czy figura, o której mowa, jest zakrzywionym trapezem? Jak obliczyć jego pole korzystając z własności addytywności pola? Rozważ dwa zakrzywione trapezy i odejmij obszar drugiego od obszaru jednego z nich ( sh.m.)
Stwórzmy algorytm wyszukiwania obszaru za pomocą animacji na slajdzie:
- Funkcje wykresu
- Rzuć punkty przecięcia wykresów na oś x
- Zacieniuj figurę uzyskaną w momencie przecięcia wykresów
- Znajdź trapezy krzywoliniowe, których przecięciem lub sumą jest podana figura.
- Oblicz pole każdego z nich
- Znajdź różnicę lub sumę obszarów
Zadanie ustne: Jak uzyskać pole zacienionej figury (opowiedz za pomocą animacji, slajd 8 i 9)
Praca domowa: Przejrzyj notatki nr 353 (a), nr 364 (a).
Referencje
- Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 9-11 szkoły wieczorowej (zmianowej) / wyd. G.D. Glasera. - M: Oświecenie, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra i początki analizy: podręcznik dla 10-11 klas szkoły średniej / Bashmakov M.I. - M: Oświecenie, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematyka: podręcznik dla szkół rozpoczynających naukę. i środa prof. edukacja / M.I. Baszmakow. - M: Akademia, 2010.
- Kołmogorow A.N. Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11. instytucje edukacyjne / A.N. Kołmogorow. - M: Edukacja, 2010.
- Ostrovsky S.L. Jak zrobić prezentację na lekcję?/S.L. Ostrowski. – M.: Pierwszy września 2010 r.
A)
Rozwiązanie.
Najpierw i najważniejszy moment rozwiązania - konstrukcja rysunkowa.
Zróbmy rysunek:
Równanie y=0 ustawia oś „x”;
- x=-2 I x=1 - proste, równoległe do osi Oh;
- y=x 2 +2 - parabola, której ramiona są skierowane w górę, z wierzchołkiem w punkcie (0;2).
Komentarz. Aby skonstruować parabolę, wystarczy znaleźć punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych, tj. kładzenie x=0 znajdź przecięcie z osią Oh i odpowiednio podjąć decyzję równanie kwadratowe, znajdź przecięcie z osią Oh .
Wierzchołek paraboli można znaleźć za pomocą wzorów:
Można także budować linie punkt po punkcie.
Na przedziale [-2;1] wykres funkcji y=x 2 +2 usytuowany nad osią Wół , Dlatego:
Odpowiedź: S =9 jednostek kwadratowych
Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostki kwadratowe, to widać, że gdzieś popełniono błąd – 20 komórek wyraźnie nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.
Co zrobić, jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią Oh?
B) Oblicz pole figury ograniczone liniami y=-e x , x=1 i osie współrzędnych.
Rozwiązanie.
Zróbmy rysunek.
Jeśli zakrzywiony trapez całkowicie umieszczony pod osią Oh , wówczas jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru:
Odpowiedź: S=(e-1) jednostki kwadratowe" 1,72 jednostki kwadratowe
Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch typów zadań:
1) Jeśli zostaniesz poproszony o proste rozwiązanie Całka oznaczona bez żadnego znaczenia geometrycznego, wtedy może być ujemny.
2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.
W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie.
Z) Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y=2x-x 2, y=-x.
Rozwiązanie.
Najpierw musisz ukończyć rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i linii. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny.
Rozwiązujemy równanie:
Oznacza to, że dolna granica całkowania a=0 , górna granica całkowania b=3 .
|
Budujemy podane proste: 1. Parabola - wierzchołek w punkcie (1;1); przecięcie osi Oh - punkty (0;0) i (0;2). 2. Prosta - dwusieczna drugiego i czwartego kąta współrzędnych. A teraz uwaga! Jeśli w segmencie [ a; b] jakaś funkcja ciągła k(x) większy lub równy jakiejś funkcji ciągłej g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć za pomocą wzoru: . I nie ma znaczenia, gdzie znajduje się figura - nad osią czy pod osią, ważne jest, który wykres jest WYŻSZY (w stosunku do innego wykresu), a który PONIŻEJ. W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej |
Można konstruować linie punkt po punkcie, a granice całkowania stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne).
Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.
Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:
Odpowiedź: S =4,5 jednostek kwadratowych
Niech funkcja będzie nieujemna i ciągła na przedziale. Następnie wg zmysł geometryczny pewnej całki obszar krzywoliniowego trapezu ograniczony powyżej wykresem tej funkcji, poniżej osią, po lewej i prawej stronie liniami prostymi i (patrz ryc. 2) jest obliczany według wzoru
Przykład 9. Znajdź obszar figury ograniczony linią 
i oś.
Rozwiązanie. Wykres funkcji 
jest parabolą, której ramiona są skierowane w dół. Zbudujmy to (ryc. 3). Aby wyznaczyć granice całkowania, znajdujemy punkty przecięcia prostej (paraboli) z osią (prostą). Aby to zrobić, rozwiązujemy układ równań
Otrzymujemy: 
, Gdzie , ; stąd, , .
Ryż. 3
Obszar figury znajdujemy za pomocą wzoru (5):
Jeśli funkcja jest dodatnia i ciągła na odcinku , wówczas obszar trapezu krzywoliniowego ograniczony od dołu wykresem tej funkcji, powyżej osią, po lewej i prawej stronie liniami prostymi i , oblicza się za pomocą formuła
. (6)
Jeżeli funkcja jest ciągła na odcinku i zmienia znak w skończonej liczbie punktów, to pole zacieniowanej figury (ryc. 4) jest równe sumie algebraicznej odpowiednich całek oznaczonych:
Ryż. 4
Przykład 10. Oblicz obszar figury ograniczony osią i wykresem funkcji w .
Ryż. 5
Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 5). Wymagana powierzchnia to suma obszarów i . Znajdźmy każdy z tych obszarów. Najpierw wyznaczamy granice całkowania rozwiązując układ 
Dostajemy, . Stąd:
;
.
Zatem obszar zacienionej figury wynosi
(jednostki kwadratowe).
Ryż. 6
Wreszcie, niech trapez krzywoliniowy będzie ograniczony od góry i od dołu przez wykresy funkcji ciągłych na odcinku i ,
a po lewej i prawej stronie - linie proste i (ryc. 6). Następnie jego powierzchnię oblicza się ze wzoru
. (8)
Przykład 11. Znajdź obszar figury ograniczony liniami i.
Rozwiązanie. Liczba ta jest pokazana na ryc. 7. Obliczmy jego pole korzystając ze wzoru (8). Rozwiązując układ równań, który znajdujemy, ; stąd, , . Na segmencie mamy: . Oznacza to, że we wzorze (8) bierzemy jako X, a jako jakość – . Otrzymujemy:
(jednostki kwadratowe).
Bardziej złożone problemy obliczania obszarów rozwiązuje się, dzieląc figurę na niezachodzące na siebie części i obliczając powierzchnię całej figury jako sumę obszarów tych części.
Ryż. 7
Przykład 12. Znajdź obszar figury ograniczony liniami , , .
Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 8). Figurę tę można uznać za trapez krzywoliniowy, ograniczony od dołu osią, po lewej i prawej stronie - liniami prostymi, a od góry - wykresami funkcji i. Ponieważ figura jest ograniczona od góry wykresami dwóch funkcji, aby obliczyć jej pole, dzielimy tę figurę prostą na dwie części (1 to odcięta punktu przecięcia prostych i ). Pole każdej z tych części oblicza się za pomocą wzoru (4):
(jednostki kwadratowe); 
(jednostki kwadratowe). Stąd:
(jednostki kwadratowe).
Ryż. 8
|
Ryż. 9
Podsumowując, zauważamy, że jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony liniami prostymi i , oś i ciągła na krzywej (ryc. 9), wówczas jego obszar określa się wzorem
Objętość ciała obrotowego
Niech trapez krzywoliniowy, ograniczony wykresem funkcji ciągłej na odcinku, oś, proste i , obraca się wokół osi (ryc. 10). Następnie objętość powstałego ciała obrotowego oblicza się ze wzoru
. (9)
Przykład 13. Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osi krzywoliniowego trapezu ograniczonego hiperbolą, liniami prostymi i osią.
Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 11).
Z warunków problemu wynika, że , . Ze wzoru (9) otrzymujemy
.
Ryż. 10
Ryż. 11
Objętość ciała uzyskana przez obrót wokół osi Oh trapez krzywoliniowy ograniczony liniami prostymi y = do I y = d, oś Oh oraz wykres funkcji ciągłej na odcinku (ryc. 12), określonej wzorem
. (10)
|
Ryż. 12
Przykład 14. Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osi Oh trapez krzywoliniowy ograniczony liniami X 2 = 4Na, y = 4, x = 0 (ryc. 13).
Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami zadania znajdujemy granice całkowania: , . Korzystając ze wzoru (10) otrzymujemy:
Ryż. 13
Długość łuku krzywej płaskiej
Niech krzywa dane równaniem, gdzie , leży w płaszczyźnie (ryc. 14).
Ryż. 14
Definicja. Przez długość łuku rozumie się granicę, do której dąży długość linii łamanej wpisanej w ten łuk, gdy liczba ogniw linii łamanej dąży do nieskończoności, a długość największego ogniwa dąży do zera.
Jeżeli funkcja i jej pochodna są ciągłe na odcinku, wówczas długość łuku krzywej oblicza się ze wzoru
. (11)
Przykład 15. Oblicz długość łuku krzywej zawartej pomiędzy punktami, dla których 
.
Rozwiązanie. Z warunków problemowych, które mamy 
. Korzystając ze wzoru (11) otrzymujemy:
.
4. Całki niewłaściwe
z nieskończonymi granicami całkowania
Wprowadzając pojęcie całki oznaczonej założono, że spełnione są dwa warunki:
a) granice całkowania A i są skończone;
b) całka jest ograniczona przedziałem.
Jeżeli choć jeden z tych warunków nie jest spełniony, wówczas wywoływana jest całka nie twoje.
Rozważmy najpierw całki niewłaściwe o nieskończonych granicach całkowania.
Definicja. Niech więc funkcja będzie określona i ciągła na przedziale i nieograniczone po prawej stronie (ryc. 15).
Jeśli całka niewłaściwa jest zbieżna, to obszar ten jest skończony; jeśli całka niewłaściwa jest rozbieżna, to obszar ten jest nieskończony.
Ryż. 15
Całkę niewłaściwą z nieskończoną dolną granicą całkowania definiuje się podobnie:
. (13)
Całka ta jest zbieżna, jeśli granica po prawej stronie równości (13) istnieje i jest skończona; w przeciwnym razie całkę nazywa się rozbieżną.
Całkę niewłaściwą z dwiema nieskończonymi granicami całkowania definiuje się następująco:
, (14)
gdzie с jest dowolnym punktem przedziału. Całka jest zbieżna tylko wtedy, gdy obie całki po prawej stronie równości (14) są zbieżne.
;G) 
= [wybierz cały kwadrat w mianowniku: ] = 
[wymiana:
] = 
Oznacza to, że całka niewłaściwa jest zbieżna i jej wartość jest równa .
Obliczanie pola figury- Jest to być może jeden z najtrudniejszych problemów teorii obszaru. W geometrii szkolnej uczą cię znajdować obszary główne kształty geometryczne takie jak na przykład trójkąt, romb, prostokąt, trapez, okrąg itp. Jednak często masz do czynienia z obliczaniem pól bardziej skomplikowanych figur. Przy rozwiązywaniu takich problemów bardzo wygodne jest stosowanie rachunku całkowego.
Definicja.
Trapez krzywoliniowy nazwijmy jakąś figurę G ograniczoną liniami y = f(x), y = 0, x = a i x = b, a funkcja f(x) jest ciągła na odcinku [a; b] i nie zmienia na nim swojego znaku (ryc. 1). Obszar zakrzywionego trapezu można oznaczyć jako S(G).
Całka oznaczona ʃ a b f(x)dx dla funkcji f(x), która jest ciągła i nieujemna na przedziale [a; b] i jest obszarem odpowiedniego zakrzywionego trapezu.
Oznacza to, że aby znaleźć pole figury G ograniczone liniami y = f(x), y = 0, x = a i x = b, należy obliczyć całkę oznaczoną ʃ a b f(x)dx .
Zatem, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Jeśli funkcja y = f(x) nie jest dodatnia na [a; b], wówczas obszar trapezu krzywoliniowego można znaleźć za pomocą wzoru S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Przykład 1.
Oblicz obszar figury ograniczony liniami y = x 3; y = 1; x = 2.
Rozwiązanie.
Podane linie tworzą figurę ABC, która jest zaznaczona poprzez kreskowanie ryż. 2.
Wymagana powierzchnia jest równa różnicy między polami krzywoliniowego trapezu DACE i kwadratu DABE.
Korzystając ze wzoru S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), znajdujemy granice całkowania. W tym celu rozwiązujemy układ dwóch równań:
(y = x 3,
(y = 1.
Mamy więc x 1 = 1 – dolną granicę i x = 2 – górną granicę.
Zatem S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (jednostki kwadratowe).
Odpowiedź: 11/4 mkw. jednostki
Przykład 2.
Oblicz obszar figury ograniczony liniami y = √x; y = 2; x = 9.
Rozwiązanie.
Podane proste tworzą figurę ABC, która jest ograniczona powyżej wykresem funkcji
y = √x, a poniżej znajduje się wykres funkcji y = 2. Wynikową liczbę pokazano kreskowaniem ryż. 3.
Wymagana powierzchnia to S = ʃ a b (√x – 2). Znajdźmy granice całkowania: b = 9, aby znaleźć a, rozwiązujemy układ dwóch równań:
(y = √x,
(y = 2.
Zatem mamy, że x = 4 = a - to jest dolna granica.
Zatem S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (jednostki kwadratowe).
Odpowiedź: S = 2 2/3 kwadratowe. jednostki
Przykład 3.
Oblicz pole figury ograniczone liniami y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.
Rozwiązanie.
Narysujmy funkcję y = x 3 – 4x dla x ≥ 0. W tym celu znajdź pochodną y’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 przy x = ±2/√3 ≈ 1,1 – punkty krytyczne.
Jeśli nakreślimy punkty krytyczne na osi liczbowej i uporządkujemy znaki pochodnej, okaże się, że funkcja maleje od zera do 2/√3 i rośnie od 2/√3 do plus nieskończoności. Wtedy x = 2/√3 jest punktem minimalnym, minimalną wartością funkcji y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Wyznaczmy punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych:
jeśli x = 0, to y = 0, co oznacza, że A(0; 0) jest punktem przecięcia z osią Oy;
jeśli y = 0, to x 3 – 4x = 0 lub x(x 2 – 4) = 0, lub x(x – 2)(x + 2) = 0, skąd x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nieodpowiednie, ponieważ x ≥ 0).
Punkty A(0; 0) i B(2; 0) to punkty przecięcia wykresu z osią Ox.
Podane linie tworzą figurę OAB, która jest pokazana poprzez kreskowanie ryż. 4.
Ponieważ funkcja y = x 3 – 4x przyjmuje wartość ujemną na (0; 2), to
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Mamy: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, skąd S = 4 mkw. jednostki
Odpowiedź: S = 4 kwadraty. jednostki
Przykład 4.
Znajdź pole figury ograniczone parabolą y = 2x 2 – 2x + 1, liniami x = 0, y = 0 i styczną do tej paraboli w punkcie z odciętą x 0 = 2.
Rozwiązanie.
Najpierw utwórzmy równanie na styczną do paraboli y = 2x 2 – 2x + 1 w punkcie z odciętą x₀ = 2.
Ponieważ pochodna y’ = 4x – 2, to dla x 0 = 2 otrzymujemy k = y’(2) = 6.
Znajdźmy rzędną punktu stycznego: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Dlatego równanie styczne ma postać: y – 5 = 6(x – 2) lub y = 6x – 7.
Zbudujmy figurę ograniczoną liniami:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabola. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: A(0; 1) – z osią Oy; z osią Wółu - nie ma punktów przecięcia, ponieważ równanie 2x 2 – 2x + 1 = 0 nie ma rozwiązań (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, czyli wierzchołek punktu paraboli B ma współrzędne B(1/2; 1/2).
Zatem figura, której pole należy określić, jest pokazywana poprzez kreskowanie ryż. 5.
Mamy: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Znajdźmy współrzędne punktu D z warunku:
6x – 7 = 0, tj. x = 7/6, co oznacza DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Pole trójkąta DBC obliczamy ze wzoru S ADBC = 1/2 · DC · BC. Zatem,
S ADBC \u003d 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 mkw. jednostki
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (jednostki kwadratowe).
Ostatecznie otrzymujemy: S O A B D = S OABC – S ADBC \u003d 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (jednostki kwadratowe).
Odpowiedź: S = 1 1/4 kwadratowy. jednostki
Przyjrzeliśmy się przykładom znajdowanie pól figur ograniczonych podanymi liniami. Aby skutecznie rozwiązać takie problemy, trzeba umieć rysować linie i wykresy funkcji na płaszczyźnie, znajdować punkty przecięcia prostych, zastosować wzór na obliczenie pola, co implikuje umiejętność obliczania pewnych całek.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.