\(\blacktriangleright\)
Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \(\)
, необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f">0\)
) и убывания (\(f"<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \(\) , а также на его концах.
\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции - это значение координаты \(y=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\)
Производная сложной функции \(f(t(x))\)
ищется по правилу: \[{\Large{f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f"(x)\\
\hline
\textbf{1} & c & 0\\&&\\
\textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\
\textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\
\textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\
\textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\
\textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\
\textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\
\textbf{8} & \cos x & -\sin x\\
\hline
\end{array} \quad \quad \quad \quad
\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f"(x)\\
\hline
\textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\
\textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\
\textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\
\textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\
\hline
\end{array}\]
Задание 1 #2357
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите наименьшее значение функции \(y = e^{x^2 - 4}\) на отрезке \([-10; -2]\) .
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \
\ Таким образом, \(y" = 0\) при \(x = 0\) .
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) на рассматриваемом отрезке \([-10; -2]\) :
4) Эскиз графика на отрезке \([-10; -2]\) :
Таким образом, наименьшего на \([-10; -2]\) значения функция достигает в \(x = -2\) .
\ Итого: \(1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([-10; -2]\) .
Ответ: 1
Задание 2 #2355
Уровень задания: Равен ЕГЭ
\(y = \sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2 + 1}\) на отрезке \([-1; 1]\) .
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\sqrt{2}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\) .
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) на рассматриваемом отрезке \([-1; 1]\) :
4) Эскиз графика на отрезке \([-1; 1]\) :
Таким образом, наибольшего на \([-1; 1]\) значения функция достигает в \(x = -1\) или в \(x = 1\) . Сравним значения функции в этих точках.
\ Итого: \(2\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([-1; 1]\) .
Ответ: 2
Задание 3 #2356
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите наименьшее значение функции \(y = \cos 2x\) на отрезке \(\) .
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb{Z}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac{\pi n}{2}, n\in\mathbb{Z}\,.\] Производная существует при любом \(x\) .
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :
(здесь бесконечное число промежутков, в которых чередуются знаки производной).
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) на рассматриваемом отрезке \(\) :
4) Эскиз графика на отрезке \(\) :
Таким образом, наименьшего на \(\) значения функция достигает в \(x = \dfrac{\pi}{2}\) .
\ Итого: \(-1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \(\) .
Ответ: -1
Задание 4 #915
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите наибольшее значение функции
\(y = -\log_{17}(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2)\) .
ОДЗ: \(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 > 0\) . Решим на ОДЗ:
1) Обозначим \(2x^2-2\sqrt{2}x+2=t(x)\) , тогда \(y(t)=-\log_{17}t\) .
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{4x-2\sqrt{2}}{2x^2-2\sqrt{2}x+2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt{2} = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) . Производная функции \(y\) не существует при \(2x^2-2\sqrt{2}x+2 = 0\) , но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :
3) Эскиз графика:
Таким образом, наибольшее значение функция достигает в \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :
\(y\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\log_{17}1 = 0\) ,
Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\) .
Ответ: 0
Задание 5 #2344
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите наименьшее значение функции
\(y = \log_{3}(x^2 + 8x + 19)\) .
ОДЗ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Решим на ОДЗ:
1) Обозначим \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , тогда \(y(t)=\log_{3}t\) .
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1}{\ln 3}\cdot\dfrac{2x+8}{x^2 + 8x + 19} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = -4\) . Производная функции \(y\) не существует при \(x^2 + 8x + 19 = 0\) , но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :
3) Эскиз графика:
Таким образом, \(x = -4\) – точка минимума функции \(y\) и наименьшее значение достигается в ней:
\(y(-4) = \log_{3}3 = 1\) .
Итого: \(1\) – наименьшее значение функции \(y\) .
Ответ: 1
Задание 6 #917
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Найдите наибольшее значение функции
\(y = -e^{(x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2)}\) .
С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .
В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .
Навигация по странице.
Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.
Кратко остановимся на основных определениях.
Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .
Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .
Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.
Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.
Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.
Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.
На отрезке
На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .
Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.
На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.
На открытом интервале
На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .
На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.
На бесконечности
В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .
На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .
Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
- Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
- Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
- Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
- Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.
Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
- на отрезке ;
- на отрезке [-4;-1] .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.
Находим производную функции по :
Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .
Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .
Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1
, x=2
и x=4
:
Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .
Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1]
(так как он не содержит ни одной стационарной точки):
Решение.
Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:
Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.
Продифференцируем функцию:
Очевидно, производная существует на всей области определения функции.
Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1] и (-3;2) .
А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты.
На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов.
Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b ], либо на границе отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b ] необходимо:
1)найти критические точки функции в интервале (a, b );
2)вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x = а и х = b ;
4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
Находим критические точки:
Эти точки лежат внутри отрезка ; y (1) = ‒ 3; y (2) = ‒ 4; y (0) = ‒ 8; y (3) = 1;
в точке x = 3 и в точкеx = 0.
Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
Функция y = f (x ) называется выпуклойвверх на промежутке (a , b ) , если ее график лежит под касательной, проведенной в любой точке этого промежутка, и называется выпуклой вниз (вогнутой) , если ее график лежит над касательной.
Точка, при переходе через которую выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называется точкой перегиба .
Алгоритм исследования на выпуклость и точку перегиба:
1. Найдеми критические точки второго рода, то есть точки в которых вторая производная равна нулю или не существует.
2. Нанести критические точки на числовую прямую, разбивая ее на промежутки. Найти знак второй производной на каждом промежутке; если , то функция выпуклая вверх, если, то функция выпуклая вниз.
3. Если при переходе через критическую точку второго рода поменяет знак и в этой точке вторая производная равна нулю, то эта точка ‒ абсцисса точки перегиба. Найти ее ординату.
Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от любой точки графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение. Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции у = f (х) , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть
где ‒ точка разрыва функции, то естьне принадлежит области определения.
Пример.
D (y ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x = 2 ‒ точка разрыва.
Определение. Прямая у = A называется горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) при , если
Пример.
x | |||
y |
Определение. Прямая у = k х + b (k ≠ 0) называется наклонной асимптотой графика функции у = f (х) при , где
Общая схема исследования функций и построения графиков.
Алгоритм исследования функции у = f (х) :
1. Найти область определения функцииD (y ).
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат (при x = 0 и при y = 0).
3. Исследовать на четность и нечетность функции(y (‒ x ) = y (x ) ‒ четность; y (‒ x ) = ‒ y (x ) ‒ нечетность).
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти интервалы монотонности функции.
6. Найти экстремумы функции.
7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.
8. На основании проведенных исследований построить график функции.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
1) D (y ) =
x = 4 ‒ точка разрыва.
2) При x = 0,
(0; ‒ 5) ‒ точка пересечения с oy .
При y = 0,
3) y (‒ x )= функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
4) Исследуем на асимптоты.
а) вертикальные
б) горизонтальные
в) найдем наклонные асимптоты где
‒уравнение наклонной асимптоты
5) В данном уравнении не требуется найти интервалы монотонности функции.
6)
Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервале (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)и (10; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:
нет экстр. |
Из таблицы видно, что точках = ‒2‒точка максимума, в точкех = 4‒нет экстремума, х = 10 ‒точка минимума.
Подставим значение (‒ 3) в уравнение:
9 + 24 ‒ 20 > 0
25 ‒ 40 ‒ 20 < 0
121 ‒ 88 ‒ 20 > 0
Максимум этой функции равен
(‒ 2; ‒ 4) ‒ экстремум максимальный.
Минимум этой функции равен
(10; 20) ‒ экстремум минимальный.
7) исследуем на выпуклость и точку перегиба графика функции
В этой статье я расскажу про алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции, точек минимума и максимума.
Из теории нам точно пригодится таблица производных и правила дифференцирования . Все это есть в этой табличке:
Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения.
Мне удобнее объяснять на конкретном примере. Рассмотрим:
Пример: Найдите наибольшее значение функции y=x^5+20x^3–65x на отрезке [–4;0].
Шаг 1. Берем производную.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Шаг 2. Находим точки экстремума.
Точкой экстремума мы называем такие точки, в которых функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения.
Чтобы найти точки экстремума, надо приравнять производную функции к нулю (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Теперь решаем это биквадратное уравнение и найденные корни есть наши точки экстремума.
Я решаю такие уравнения заменой t = x^2, тогда 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Сократим уравнение на 5, получим: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Делаем обратную замену x^2 = t:
X_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (исключаем, под корнем не может быть отрицательных чисел, если конечно речь не идет о комплексных числах)
Итого: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 - это и есть наши точки экстремума.
Шаг 3. Определяем наибольшее и наименьшее значение.
Метод подстановки.
В условии нам был дан отрезок [b][–4;0]. Точка x=1 в этот отрезок не входит. Значит ее мы не рассматриваем. Но помимо точки x=-1 нам также надо рассмотреть левую и правую границу нашего отрезка, то есть точки -4 и 0. Для этого подставляем все эти три точки в исходную функцию. Заметьте исходную - это ту, которая дана в условии (y=x^5+20x^3–65x), некоторые начинают подставлять в производную...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Значит наибольшее значение функции это [b]44 и достигается оно в точки [b]-1, которая называется точкой максимума функции на отрезке [-4; 0].
Мы решили и получили ответ, мы молодцы, можно расслабиться. Но стоп! Вам не кажется, что считать y(-4) как-то слишком сложно? В условиях ограниченного времени лучше воспользоваться другим способом, я называю его так:
Через промежутки знакопостоянства.
Находятся эти промежутки для производной функции, то есть для нашего биквадратного уравнения.
Я делаю это следующим образом. Рисую направленный отрезок. Расставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не смотря на то, что 1 не входит в заданный отрезок, ее все равно следует отметить для того, чтобы корректно определить промежутки знакопостоянства. Возьмем какое-нибудь число во много раз больше 1, допустим 100, мысленно подставим его в наше биквадратное уравнение 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Даже ничего не считая становится очевидно, что в точке 100 функция имеет знак плюс. А значит и на промежутки от 1 до 100 она имеет знак плюс. При переходе через 1 (мы идем справа налево)функция сменит знак на минус. При переходе через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это лишь граница отрезка, а не корень уравнения. При переходе через -1 функция опять сменит знак на плюс.
Из теории мы знаем, что там, где производная функции (а мы именно для нее это и чертили) меняет знак с плюса на минус (точка -1 в нашем случае) функция достигает своего локального максимума (y(-1)=44, как была посчитано ранее) на данном отрезке (это логически очень понятно, функция перестала возрастать, так как достигла своего максимума и начала убывать).
Соответственно, там где производная функции меняет знак с минуса на плюс , достигается локальный минимум функции . Да, да, мы также нашли точку локального минимума это 1, а y(1) - это минимальное значение функции на отрезке, допустим от -1 до +∞. Обратите огромное внимание, что это лишь ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ, то есть минимум на определенном отрезке. Так как действительный (глобальный) минимум функция достигнет где-то там, в -∞.
На мой взгляд первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но намного сложнее с точки зрения теории. Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе через корень уравнения, да и вообще можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя Вам так и так придется это хорошо освоить, если вы планируете поступать в технический ВУЗ (а для чего иначе сдавать профильное ЕГЭ и решать это задание). Но практика и только практика раз и навсегда научит Вас решать такие задачи. А тренироваться можете на нашем сайте. Вот .
Если появились какие-то вопросы, или что-то непонятно - обязательно спросите. Я с радостью Вам отвечу, и внесу изменения, дополнения в статью. Помните мы делаем этот сайт вместе!