Jämna eller udda funktioner är exempel. Jämna och udda funktioner

Funktionsstudie.

1) D(y) – Definitionsdomän: uppsättningen av alla dessa värden för variabeln x. för vilka de algebraiska uttrycken f(x) och g(x) är meningsfulla.

Om en funktion ges av en formel, så består definitionsdomänen av alla värden av den oberoende variabeln för vilken formeln är vettig.

2) Funktionens egenskaper: jämn/udda, periodicitet:

Udda Och även funktioner kallas vars grafer är symmetriska med avseende på förändringar i argumentets tecken.

Udda funktion- en funktion som ändrar värdet till det motsatta när tecknet för den oberoende variabeln ändras (symmetrisk i förhållande till koordinatcentrum).

Jämn funktion- en funktion som inte ändrar sitt värde när tecknet för den oberoende variabeln ändras (symmetrisk om ordinatan).

Varken jämn eller udda funktion (allmän funktion)- en funktion som inte har symmetri. Denna kategori innehåller funktioner som inte faller under de två föregående kategorierna.

Funktioner som inte tillhör någon av kategorierna ovan kallas varken jämnt eller udda(eller allmänna funktioner).

Udda funktioner

Udda potens där är ett godtyckligt heltal.

Även funktioner

Även makt där är ett godtyckligt heltal.

Periodisk funktion- en funktion som upprepar sina värden vid något regelbundet argumentintervall, det vill säga den ändrar inte sitt värde när man lägger till något fast icke-nolltal till argumentet ( period funktioner) över hela definitionsdomänen.

3) Nollor (rötter) för en funktion är punkterna där den blir noll.

Hitta skärningspunkten för grafen med axeln Oj. För att göra detta måste du beräkna värdet f(0). Hitta också skärningspunkterna för grafen med axeln Oxe, varför hitta rötterna till ekvationen f(x) = 0 (eller se till att det inte finns några rötter).

Punkterna där grafen skär axeln kallas funktion nollor. För att hitta nollorna för en funktion måste du lösa ekvationen, det vill säga hitta dessa betydelser av "x", där funktionen blir noll.

4) Intervaller för teckens konstanthet, tecken i dem.

Intervaller där funktionen f(x) bibehåller tecken.

Tecknets konstansintervall är intervallet vid varje punkt funktionen är positiv eller negativ.

Ovanför x-axeln.

UNDER axeln.

5) Kontinuitet (diskontinuitetspunkter, diskontinuitetens natur, asymptoter).

Kontinuerlig funktion- en funktion utan "hopp", det vill säga en där små förändringar i argumentet leder till små förändringar i funktionens värde.

Avtagbara brytpunkter

Om gränsen för funktionen finns, men funktionen är inte definierad vid denna tidpunkt, eller så sammanfaller gränsen inte med värdet på funktionen vid denna tidpunkt:

,

då kallas punkten avtagbar brytpunkt funktioner (i komplex analys, en borttagbar singular punkt).

Om vi ​​"korrigerar" funktionen vid punkten av löstagbar diskontinuitet och sätter , då får vi en funktion som är kontinuerlig vid en given punkt. En sådan operation på en funktion kallas utöka funktionen till kontinuerlig eller omdefiniering av funktionen genom kontinuitet, vilket motiverar namnet på punkten som en punkt avtagbar brista.

Diskontinuitetspunkter av första och andra slaget

Om en funktion har en diskontinuitet vid en given punkt (det vill säga gränsen för funktionen vid en given punkt saknas eller inte sammanfaller med värdet på funktionen vid en given punkt), så finns det två möjliga alternativ för numeriska funktioner associerade med förekomsten av numeriska funktioner ensidiga gränser:

om båda ensidiga gränserna existerar och är ändliga, så kallas en sådan punkt diskontinuitetspunkt av det första slaget.

Borttagbara diskontinuitetspunkter är diskontinuitetspunkter av det första slaget; om åtminstone en av de ensidiga gränserna inte existerar eller inte är ett ändligt värde, så kallas en sådan punkt.

punkt av diskontinuitet av det andra slaget - Asymptot rakt , som har egenskapen att avståndet från en punkt på kurvan till denna direkt

tenderar till noll när punkten rör sig bort längs grenen till oändlighet.

Vertikal .

Vertikal asymptot - gränslinje

Som regel, när de bestämmer den vertikala asymptoten, letar de inte efter en gräns, utan två ensidiga (vänster och höger). Detta görs för att bestämma hur funktionen beter sig när den närmar sig den vertikala asymptoten från olika håll. Till exempel:

Horisontell Asymptot Horisontell asymptot - art, med förbehåll för existensen

.

begränsa

Lutande Asymptot Horisontell asymptot - Sned asymptot -

gränser

Notera: en funktion kan inte ha mer än två sneda (horisontella) asymptoter.

Notera: om åtminstone en av de två gränserna som nämns ovan inte existerar (eller är lika med ), så existerar inte den sneda asymptoten vid (eller ). .

6) om i punkt 2.), då , och gränsen hittas med den horisontella asymptotformeln, Att hitta intervaller av monotoni. f(x Hitta intervall av monotoni för en funktion f(x)(det vill säga intervall av ökande och minskande). Detta görs genom att undersöka derivatans tecken f(x). För att göra detta, hitta derivatan f(x) och lösa ojämlikheten f(x) ökar. Där den omvända ojämlikheten gäller f(x)0, funktion f(x) minskar.

Fynd lokalt extremum. Efter att ha hittat intervallen för monotoni kan vi omedelbart bestämma de lokala extremumpunkterna där en ökning ersätts med en minskning, lokala maxima är belägna och där en minskning ersätts med en ökning är lokala minima belägna. Beräkna värdet på funktionen vid dessa punkter. Om en funktion har kritiska punkter som inte är lokala extrema punkter, är det användbart att även beräkna värdet på funktionen vid dessa punkter.

Hitta de största och minsta värdena för funktionen y = f(x) på ett segment(fortsättning)

1. Hitta derivatan av funktionen: f(x). 2. Hitta punkterna där derivatan är noll: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Bestäm kopplingen till poäng X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: låt x 1a;b, A x 2a;b .

Grafer över jämnt och inte jämn funktion har följande funktioner:

Om en funktion är jämn, är dess graf symmetrisk kring ordinatan. Om en funktion är udda, är dess graf symmetrisk om ursprunget.

Exempel. Konstruera en graf för funktionen \(y=\vänster|x \höger|\).

Lösning. Betrakta funktionen: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) och ersätt motsatsen \(-x \) istället för \(x \). Som ett resultat av enkla transformationer får vi: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ I andra ord, om argumentet ersätts med motsatt tecken kommer funktionen inte att ändras.

Detta betyder att denna funktion är jämn, och dess graf kommer att vara symmetrisk med avseende på ordinataaxeln ( vertikal axel). Grafen för denna funktion visas i figuren till vänster. Detta innebär att när du konstruerar en graf kan du bara rita hälften, och den andra delen (till vänster om den vertikala axeln, rita symmetriskt till den högra delen). Genom att bestämma symmetrin för en funktion innan du börjar rita dess graf, kan du avsevärt förenkla processen att konstruera eller studera funktionen. Om det är svårt att checka in allmän syn, du kan göra det enklare: ersätt samma värden av olika tecken i ekvationen. Till exempel -5 och 5. Om funktionsvärdena visar sig vara desamma kan vi hoppas att funktionen blir jämn. Ur en matematisk synvinkel är detta tillvägagångssätt inte helt korrekt, men från en praktisk synvinkel är det bekvämt. För att öka tillförlitligheten av resultatet kan du ersätta flera par av sådana motsatta värden.

Exempel. Konstruera en graf av funktionen \(y=x\vänster|x \höger|\).

Lösning. Låt oss kontrollera samma sak som i föregående exempel: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Detta betyder att den ursprungliga funktionen är udda (funktionens tecken har ändrats till det motsatta).

Slutsats: funktionen är symmetrisk om ursprunget. Du kan bara bygga en halva och rita den andra symmetriskt. Denna typ av symmetri är svårare att rita. Det betyder att du tittar på diagrammet från andra sidan av arket, och till och med upp och ner. Eller så kan du göra så här: ta den ritade delen och rotera den runt origo 180 grader moturs.

Exempel. Konstruera en graf av funktionen \(y=x^3+x^2\).

Lösning. Låt oss utföra samma kontroll för teckenändring som i de två föregående exemplen. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Som ett resultat får vi att: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Och detta betyder att funktionen varken är jämn eller udda.

Slutsats: funktionen är inte symmetrisk vare sig med avseende på origo eller centrum av koordinatsystemet. Detta hände eftersom det är summan av två funktioner: jämn och udda. Samma situation kommer att hända om du subtraherar två olika funktioner. Men multiplikation eller division kommer att leda till ett annat resultat. Till exempel ger produkten av en jämn och en udda funktion en udda. Eller så leder kvoten av två udda tal till en jämn funktion.

Bakåt Framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Mål:

• bildar begreppet paritet och udda för en funktion, lära ut förmågan att bestämma och använda dessa egenskaper när funktionsforskning, plottning;
• utveckla elevernas kreativa aktivitet, logiskt tänkande, förmåga att jämföra, generalisera;
• odla hårt arbete och matematisk kultur; utveckla kommunikationsförmåga .

Utrustning: multimediainstallation, interaktiv whiteboard, åhörarkopior.

Arbetsformer: frontal och grupp med inslag av sök- och forskningsverksamhet.

Informationskällor:

1. Algebra 9:e klass A.G. Mordkovich. Lärobok.
2. Algebra 9:e klass A.G. Mordkovich. Problembok.
3. Algebra 9:e klass. Uppgifter för elevens lärande och utveckling. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

LEKTIONENS FRAMSTEG

1. Organisatoriskt ögonblick

Att sätta upp mål och mål för lektionen.

2. Kollar läxor

Nr 10.17 (9:e årskursens problembok. A.G. Mordkovich).

A) på = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 kl X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktionen ökar med X € [– 2; + ∞)
6. Funktionen är begränsad underifrån.
7. på naim = – 3, på naib existerar inte
8. Funktionen är kontinuerlig.

(Har du använt en funktionsutforskningsalgoritm?) Glida.

2. Låt oss kolla tabellen du blev tillfrågad från bilden.

Fyll i tabellen
	Definitionsdomän	Funktion nollor	Intervaller för teckenkonstans		Koordinater för skärningspunkterna för grafen med Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Uppdaterar kunskap

– Funktioner är givna.
– Ange definitionsomfånget för varje funktion.
– Jämför värdet för varje funktion för varje par av argumentvärden: 1 och – 1; 2 och – 2.
– För vilka av dessa funktioner inom definitionsdomänen gäller jämlikheterna f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (ange de erhållna uppgifterna i tabellen) Glida

		f(1) och f(– 1)	f(2) och f(– 2)	grafik	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		och inte definierad

4. Nytt material

– När vi gjorde det här arbetet, killar, identifierade vi en annan egenskap hos funktionen, obekant för er, men inte mindre viktig än de andra - det här är funktionens jämnhet och udda. Skriv ner ämnet för lektionen: "Jämna och udda funktioner", vår uppgift är att lära sig att bestämma jämnheten och uddaheten för en funktion, för att ta reda på betydelsen av denna egenskap i studiet av funktioner och plottning av grafer.
Så, låt oss hitta definitionerna i läroboken och läsa (s. 110) . Glida

Def. 1 Fungera på = f (X), definierad på uppsättningen X kallas även, om för något värde XЄ X exekveras likhet f(–x)= f(x). Ge exempel.

Def. 2 Fungera y = f(x), definierad på uppsättningen X kallas udda, om för något värde XЄ X likheten f(–х)= –f(х) gäller. Ge exempel.

Var träffade vi termerna "jämnt" och "udda"?
Vilken av dessa funktioner kommer att vara jämn, tror du? Varför? Vilka är udda? Varför?
För alla funktioner i formuläret på= x n, Var n– ett heltal, det kan hävdas att funktionen är udda när n– udda och funktionen är jämn när n– till och med.
– Visa funktioner på= och på = 2X– 3 är varken jämna eller udda, eftersom jämställdhet är inte tillfredsställt f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiet av huruvida en funktion är jämn eller udda kallas studien av en funktion för paritet. Glida

I definitionerna 1 och 2 talade vi om funktionens värden vid x och – x, därvid antas att funktionen även definieras vid värdet X, och vid – X.

Def 3. Om nummeruppsättning tillsammans med vart och ett av dess element innehåller x också det motsatta elementet –x, sedan mängden X kallas en symmetrisk mängd.

Exempel:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) är symmetriska mängder och , [–5;4] är asymmetriska.

– Har jämna funktioner en definitionsdomän som är en symmetrisk mängd? De udda?
– Om D( f) är en asymmetrisk mängd, vad är då funktionen?
– Alltså om funktionen på = f(X) – jämnt eller udda, då är dess definitionsdomän D( f) är en symmetrisk uppsättning. Är det omvända påståendet sant: om definitionsdomänen för en funktion är en symmetrisk mängd, är den då jämn eller udda?
– Det betyder att närvaron av en symmetrisk uppsättning av definitionsdomänen är ett nödvändigt villkor, men inte tillräckligt.
– Så hur undersöker man en funktion för paritet? Låt oss försöka skapa en algoritm.

Glida

Algoritm för att studera en funktion för paritet

1. Bestäm om definitionsdomänen för funktionen är symmetrisk. Om inte är funktionen varken jämn eller udda. Om ja, gå till steg 2 i algoritmen.

2. Skriv ett uttryck för f(–X).

3. Jämför f(–X).Och f(X):

• Om f(–X).= f(X), då är funktionen jämn;
• Om f(–X).= – f(X), då är funktionen udda;
• Om f(–X) ≠ f(X) Och f(–X) ≠ –f(X), då är funktionen varken jämn eller udda.

Exempel:

Undersök funktion a) för paritet på= x 5 +; b) på= ; V) på= .

Lösning.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrisk mängd.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funktion h(x)= x 5 + udda.

b) y =,

på = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), en asymmetrisk mängd, vilket betyder att funktionen varken är jämn eller udda.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Alternativ 2

1. Är den givna mängden symmetrisk: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Undersök funktionen för paritet:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. I fig. en graf har byggts på = f(X), för alla X, som uppfyller villkoret X? 0.
Plotta funktionen på = f(X), Om på = f(X) är en jämn funktion.

3. I fig. en graf har byggts på = f(X), för alla x som uppfyller villkoret x? 0.
Plotta funktionen på = f(X), Om på = f(X) är en udda funktion.

Ömsesidig kontroll på glida.

6. Läxor: №11.11, 11.21,11.22;

Bevis på den geometriska betydelsen av paritetsegenskapen.

***(Tilldelning av alternativet Unified State Examination).

1. Den udda funktionen y = f(x) definieras på hela tallinjen. För alla icke-negativa värden på variabeln x, sammanfaller värdet av denna funktion med värdet på funktionen g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Hitta värdet på funktionen h( X) = kl X = 3.

7. Sammanfattning

Som var bekanta för dig i en eller annan grad. Där noterades också att beståndet av funktionsfastigheter successivt kommer att fyllas på. Två nya fastigheter kommer att diskuteras i detta avsnitt.

Definition 1.

Funktionen y = f(x), x є X, anropas även om för något värde x från mängden X gäller likheten f (-x) = f (x).

Definition 2.

Funktionen y = f(x), x є X, kallas udda om för något värde x från mängden X är likheten f (-x) = -f (x) gäller.

Bevisa att y = x 4 är en jämn funktion.

Lösning. Vi har: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Men (-x) 4 = x 4. Detta betyder att för varje x gäller likheten f(-x) = f(x), dvs. funktionen är jämn.

På liknande sätt kan det bevisas att funktionerna y - x 2, y = x 6, y - x 8 är jämna.

Bevisa att y = x 3 ~ en udda funktion.

Lösning. Vi har: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Men (-x) 3 = -x 3. Detta betyder att för varje x gäller likheten f (-x) = -f (x), d.v.s. funktionen är udda.

På liknande sätt kan det bevisas att funktionerna y = x, y = x 5, y = x 7 är udda.

Du och jag har redan mer än en gång varit övertygade om att nya termer inom matematiken oftast har ett ”jordiskt” ursprung, d.v.s. de kan förklaras på något sätt. Detta är fallet med både jämna och udda funktioner. Se: y - x 3, y = x 5, y = x 7 - udda funktioner, medan y = x 2, y = x 4, y = x 6 är jämna funktioner. Och i allmänhet, för alla funktioner av formen y = x" (nedan kommer vi specifikt att studera dessa funktioner), där n är ett naturligt tal, kan vi dra slutsatsen: om n är ett udda tal, då är funktionen y = x" udda; om n är ett jämnt tal, då är funktionen y = xn jämn.

Det finns också funktioner som varken är jämna eller udda. Sådan är till exempel funktionen y = 2x + 3. Faktum är att f(1) = 5, och f (-1) = 1. Som du kan se, här är därför inte heller identiteten f(-x) = f ( x), inte heller identiteten f(-x) = -f(x).

Så en funktion kan vara jämn, udda eller ingetdera.

Studerar frågan om huruvida given funktion jämn eller udda brukar kallas studien av en funktion för paritet.

Definitionerna 1 och 2 hänvisar till funktionens värden i punkterna x och -x. Detta förutsätter att funktionen är definierad i både punkt x och punkt -x. Detta betyder att punkt -x tillhör definitionsdomänen för funktionen samtidigt med punkt x. Om en numerisk mängd X, tillsammans med vart och ett av dess element x, också innehåller det motsatta elementet -x, så kallas X för en symmetrisk mängd. Låt oss säga att (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) är symmetriska mängder, medan )