Löser jämna och udda funktioner. Graf över jämna och udda funktioner

Bakåt Framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Mål:

bildar begreppet paritet och udda för en funktion, lära ut förmågan att bestämma och använda dessa egenskaper när funktionsforskning, plottning;
utveckla elevernas kreativa aktivitet, logiskt tänkande, förmåga att jämföra, generalisera;
odla hårt arbete och matematisk kultur; utveckla kommunikationsförmåga .

Utrustning: multimediainstallation, interaktiv skrivtavla, åhörarkopior.

Arbetsformer: frontal och gruppvis med inslag av sök- och forskningsverksamhet.

Informationskällor:

1. Algebra 9:e klass A.G. Mordkovich. Lärobok.
2. Algebra 9:e klass A.G. Mordkovich. Problembok.
3. Algebra 9:e klass. Uppgifter för elevens lärande och utveckling. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

LEKTIONENS FRAMSTEG

1. Organisatoriskt ögonblick

Att sätta upp mål och mål för lektionen.

2. Kontrollera läxor

Nr 10.17 (9:e årskursens problembok. A.G. Mordkovich).

A) på = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 kl X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktionen ökar med X € [– 2; + ∞)
6. Funktionen är begränsad underifrån.
7. på naim = – 3, på naib existerar inte
8. Funktionen är kontinuerlig.

(Har du använt en funktionsutforskningsalgoritm?) Glida.

2. Låt oss kolla tabellen du blev tillfrågad från bilden.

Fyll i tabellen
	Definitionsdomän	Funktion nollor	Intervaller för teckenkonstans		Koordinater för skärningspunkterna för grafen med Oy
	Definitionsdomän	Funktion nollor			Koordinater för skärningspunkterna för grafen med Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Uppdatering av kunskap

– Funktioner är givna.
– Ange definitionsomfånget för varje funktion.
– Jämför värdet för varje funktion för varje par av argumentvärden: 1 och – 1; 2 och – 2.
– För vilka av dessa funktioner inom definitionsdomänen gäller jämlikheterna f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (ange den erhållna informationen i tabellen) Skjut

		f(1) och f(– 1)	f(2) och f(– 2)	grafik	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		och inte definierad

4. Nytt material

– När vi gjorde det här arbetet, killar, identifierade vi en annan egenskap hos funktionen, obekant för er, men inte mindre viktig än de andra - det här är funktionens jämnhet och udda. Skriv ner ämnet för lektionen: "Jämna och udda funktioner", vår uppgift är att lära sig att bestämma jämnheten och uddaheten för en funktion, för att ta reda på betydelsen av denna egenskap i studiet av funktioner och plottning av grafer.
Så, låt oss hitta definitionerna i läroboken och läsa (s. 110) . Glida

Def. 1 Funktion på = f (X), definierad på uppsättningen X kallas även, om för något värde XЄ X exekveras likhet f(–x)= f(x). Ge exempel.

Def. 2 Funktion y = f(x), definierad på uppsättningen X kallas udda, om för något värde XЄ X likheten f(–х)= –f(х) gäller. Ge exempel.

Var träffade vi termerna "jämnt" och "udda"?
Vilken av dessa funktioner kommer att vara jämn, tror du? Varför? Vilka är udda? Varför?
För alla funktioner i formuläret på= x n, Var n– ett heltal, det kan hävdas att funktionen är udda när n– udda och funktionen är jämn när n– till och med.
– Visa funktioner på= och på = 2X– 3 är varken jämna eller udda, eftersom jämställdhet är inte tillfredsställt f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiet av huruvida en funktion är jämn eller udda kallas studien av en funktion för paritet. Glida

I definitionerna 1 och 2 talade vi om funktionens värden vid x och – x, därvid antas att funktionen även definieras vid värdet X, och vid – X.

Def 3. Om nummeruppsättning tillsammans med vart och ett av dess element innehåller x också det motsatta elementet –x, sedan mängden X kallas en symmetrisk mängd.

Exempel:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) är symmetriska mängder och , [–5;4] är asymmetriska.

– Har jämna funktioner en definitionsdomän som är en symmetrisk mängd? De udda?
– Om D( f) är en asymmetrisk mängd, vad är då funktionen?
– Alltså om funktionen på = f(X) – jämnt eller udda, då är dess definitionsdomän D( f) är en symmetrisk uppsättning. Är det omvända påståendet sant: om definitionsdomänen för en funktion är en symmetrisk mängd, är den då jämn eller udda?
– Det betyder att närvaron av en symmetrisk uppsättning av definitionsdomänen är ett nödvändigt villkor, men inte tillräckligt.
– Så hur undersöker man en funktion för paritet? Låt oss försöka skapa en algoritm.

Glida

Algoritm för att studera en funktion för paritet

1. Bestäm om definitionsdomänen för funktionen är symmetrisk. Om inte är funktionen varken jämn eller udda. Om ja, gå till steg 2 i algoritmen.

2. Skriv ett uttryck för f(–X).

3. Jämför f(–X).Och f(X):

Om f(–X).= f(X), då är funktionen jämn;
Om f(–X).= – f(X), då är funktionen udda;
Om f(–X) ≠ f(X) Och f(–X) ≠ –f(X), då är funktionen varken jämn eller udda.

Exempel:

Undersök funktion a) för paritet på= x 5 +; b) på= ; V) på= .

Lösning.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrisk mängd.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funktion h(x) = x 5 + udda.

b) y =,

på = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), en asymmetrisk mängd, vilket betyder att funktionen varken är jämn eller udda.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Alternativ 2

1. Är den givna mängden symmetrisk: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Undersök funktionen för paritet:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. I fig. en graf har byggts på = f(X), för alla X, som uppfyller villkoret X? 0.
Plotta funktionen på = f(X), Om på = f(X) är en jämn funktion.

3. I fig. en graf har byggts på = f(X), för alla x som uppfyller villkoret x? 0.
Plotta funktionen på = f(X), Om på = f(X) är en udda funktion.

Peer review på bilden.

6. Läxor: nr 11.11, 11.21, 11.22;

Bevis på den geometriska betydelsen av paritetsegenskapen.

***(Tilldelning av alternativet Unified State Examination).

1. Den udda funktionen y = f(x) definieras på hela tallinjen. För alla icke-negativa värden på variabeln x, sammanfaller värdet av denna funktion med värdet på funktionen g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Hitta värdet på funktionen h( X) = kl X = 3.

7. Sammanfattning

För att göra detta, använd diagrampapper eller en grafräknare. Välj valfritt antal numeriska värden för den oberoende variabeln x (\displaystyle x) och koppla in dem i funktionen för att beräkna värdena för den beroende variabeln y (\displaystyle y). Rita de hittade koordinaterna för punkterna på koordinatplanet och koppla sedan ihop dessa punkter för att bygga en graf över funktionen.

Ersätt positiva numeriska värden x (\displaystyle x) och motsvarande negativa numeriska värden i funktionen. Till exempel med tanke på funktionen . Ersätt följande värden x (\displaystyle x) i det:
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) (\ displaystil (1,3)) .
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Vi fick en punkt med koordinater (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Vi fick en punkt med koordinater (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Vi fick en punkt med koordinater (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .

Kontrollera om grafen för funktionen är symmetrisk kring Y-axeln. Med symmetri menar vi spegelbilden av grafen kring y-axeln. Om delen av grafen till höger om Y-axeln (positiva värden för den oberoende variabeln) är densamma som delen av grafen till vänster om Y-axeln (negativa värden för den oberoende variabeln) ), är grafen symmetrisk kring Y-axeln Om funktionen är symmetrisk kring y-axeln, är funktionen jämn.

Du kan kontrollera grafens symmetri med individuella punkter. Om värdet på y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) matchar värdet på y (\displaystyle y) som matchar värdet på − x (\displaystyle -x), är funktionen jämn. I vårt exempel med funktionen f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) fick vi följande koordinater för punkterna:
- (1,3) och (-1,3)
- (2,9) och (-2,9)
Observera att för x=1 och x=-1 är den beroende variabeln y=3, och för x=2 och x=-2 är den beroende variabeln y=9. Funktionen är alltså jämn. Faktum är att för att exakt bestämma funktionens form måste du överväga mer än två punkter, men den beskrivna metoden är en bra uppskattning.

Kontrollera om grafen för funktionen är symmetrisk om ursprunget.

Ursprunget är punkten med koordinater (0,0). Symmetri om origo betyder att ett positivt värde på y (\displaystyle y) (för ett positivt värde på x (\displaystyle x) ) motsvarar ett negativt värde på (\displaystyle y) (\displaystyle y) (för ett negativt värde av x (\displaystyle x) ), och vice versa. Udda funktioner har symmetri om ursprunget.
- Om du ersätter flera positiva och motsvarande negativa värden på x (\displaystyle x) i funktionen, kommer värdena på y (\displaystyle y) att skilja sig i tecken. Till exempel, givet en funktion f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Ersätt flera värden av x (\displaystyle x) i det:
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Vi fick en punkt med koordinater (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Vi fick en poäng med koordinater (-2,-10).

Kontrollera om grafen för funktionen har någon symmetri.

Den sista typen av funktion är en funktion vars graf inte har någon symmetri, det vill säga det finns ingen spegelbild både i förhållande till ordinataaxeln och i förhållande till origo. Till exempel med tanke på funktionen .
- Ersätt flera positiva och motsvarande negativa värden på x (\displaystyle x) i funktionen:
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ) . Vi fick en poäng med koordinater (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Vi fick en poäng med koordinater (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . Vi fick en poäng med koordinater (2,10).
f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Vi fick en poäng med koordinater (2,-2).
Enligt de erhållna resultaten finns det ingen symmetri. Värdena på y (\displaystyle y) för motsatta värden på x (\displaystyle x) är inte desamma och är inte motsatta. Funktionen är alltså varken jämn eller udda.

Observera att funktionen f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) kan skrivas på följande sätt: f (x) = (x + 1) ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . När den skrivs i denna form visas funktionen även för att det finns en jämn exponent. Men det här exemplet bevisar att typen av funktion inte kan bestämmas snabbt om den oberoende variabeln är omgiven av parentes. I det här fallet måste du öppna parenteserna och analysera de erhållna exponenterna.

Hur infogar man matematiska formler på en webbplats? Om du någonsin behöver lägga till en eller två matematiska formler till en webbsida, är det enklaste sättet att göra detta enligt beskrivningen i artikeln: matematiska formler infogas enkelt på webbplatsen i form av bilder som genereras automatiskt av Wolfram Alpha . Förutom enkelhet, detta universell metod

hjälper till att förbättra webbplatsens synlighet i sökmotorer. Det har fungerat länge (och tror jag kommer att fungera för alltid), men är redan moraliskt föråldrat.

Det finns två sätt att börja använda MathJax: (1) med en enkel kod kan du snabbt ansluta ett MathJax-skript till din webbplats, vilket kommer att rätt ögonblick laddas automatiskt från en fjärrserver (lista över servrar); (2) ladda ner MathJax-skriptet från en fjärrserver till din server och anslut det till alla sidor på din webbplats. Den andra metoden – mer komplex och tidskrävande – kommer att påskynda laddningen av din webbplatss sidor, och om den överordnade MathJax-servern tillfälligt blir otillgänglig av någon anledning kommer detta inte att påverka din egen webbplats på något sätt. Trots dessa fördelar valde jag den första metoden då den är enklare, snabbare och inte kräver tekniska färdigheter. Följ mitt exempel, och på bara 5 minuter kommer du att kunna använda alla funktioner i MathJax på din webbplats.

Du kan ansluta MathJax biblioteksskript från en fjärrserver med två kodalternativ hämtade från MathJax huvudwebbplats eller på dokumentationssidan:

Ett av dessa kodalternativ måste kopieras och klistras in i koden på din webbsida, helst mellan taggar och eller omedelbart efter taggen. Enligt det första alternativet laddas MathJax snabbare och saktar ner sidan mindre. Men det andra alternativet övervakar och laddar automatiskt de senaste versionerna av MathJax. Om du sätter in den första koden måste den uppdateras med jämna mellanrum. Om du sätter in den andra koden kommer sidorna att laddas långsammare, men du behöver inte ständigt övervaka MathJax-uppdateringar.

Det enklaste sättet att ansluta MathJax är i Blogger eller WordPress: i webbplatsens kontrollpanel, lägg till en widget som är utformad för att infoga JavaScript-kod från tredje part, kopiera den första eller andra versionen av nedladdningskoden som presenteras ovan i den och placera widgeten närmare. till början av mallen (förresten, detta är inte alls nödvändigt eftersom MathJax-skriptet laddas asynkront). Det är allt. Lär dig nu markeringssyntaxen för MathML, LaTeX och ASCIIMathML, och du är redo att infoga matematiska formler på din webbplats webbsidor.

Varje fraktal är konstruerad enligt en viss regel, som konsekvent tillämpas ett obegränsat antal gånger. Varje sådan tidpunkt kallas en iteration.

Den iterativa algoritmen för att konstruera en Menger-svamp är ganska enkel: den ursprungliga kuben med sida 1 delas av plan parallella med dess ytor i 27 lika kuber. En central kub och 6 kuber intill den längs ytorna tas bort från den. Resultatet är ett set bestående av de återstående 20 mindre kuberna. Om vi gör samma sak med var och en av dessa kuber får vi ett set bestående av 400 mindre kuber. Om vi fortsätter denna process i det oändliga får vi en Menger-svamp.

Beroendet av en variabel y av en variabel x, där varje värde på x motsvarar ett enda värde på y kallas en funktion. Använd notationen y=f(x) för beteckning. Varje funktion har ett antal grundläggande egenskaper, såsom monotoni, paritet, periodicitet och andra.

Ta en närmare titt på paritetsegenskapen.

En funktion y=f(x) anropas även om den uppfyller följande två villkor:

2. Värdet på funktionen i punkt x, som hör till funktionens definitionsdomän, måste vara lika med värdet på funktionen i punkt -x. Det vill säga, för varje punkt x måste följande likhet vara uppfylld från definitionsdomänen för funktionen: f(x) = f(-x).

Schema jämn funktion

Om du ritar en graf för en jämn funktion kommer den att vara symmetrisk kring Oy-axeln.

Till exempel är funktionen y=x^2 jämn. Låt oss kolla upp det. Definitionsdomänen är hela den numeriska axeln, vilket betyder att den är symmetrisk kring punkt O.

Låt oss ta ett godtyckligt x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Därför f(x) = f(-x). Därmed är båda villkoren uppfyllda, vilket innebär att funktionen är jämn. Nedan visas en graf över funktionen y=x^2.

Figuren visar att grafen är symmetrisk kring Oy-axeln.

Graf över en udda funktion

En funktion y=f(x) kallas udda om den uppfyller följande två villkor:

1. Definitionsdomänen för en given funktion måste vara symmetrisk med avseende på punkt O. Det vill säga, om någon punkt a tillhör funktionens definitionsdomän, så måste motsvarande punkt -a också tillhöra definitionsdomänen av den givna funktionen.

2. För varje punkt x måste följande likhet vara uppfylld från definitionsdomänen för funktionen: f(x) = -f(x).

Grafen för en udda funktion är symmetrisk med avseende på punkt O - koordinaternas ursprung. Till exempel är funktionen y=x^3 udda. Låt oss kolla upp det. Definitionsdomänen är hela den numeriska axeln, vilket betyder att den är symmetrisk kring punkt O.

Låt oss ta ett godtyckligt x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Därför f(x) = -f(x). Därmed är båda villkoren uppfyllda, vilket innebär att funktionen är udda. Nedan visas en graf över funktionen y=x^3.

Figuren visar tydligt att den udda funktionen y=x^3 är symmetrisk om origo.