Det kommer att vara användbart för varje student som förbereder sig för Unified State Exam i matematik att upprepa ämnet "Hitta en vinkel mellan räta linjer." Som statistik visar, när man klarar certifieringstestet, orsakar uppgifter i denna del av stereometri svårigheter för stor kvantitet studenter. Samtidigt finns uppgifter som kräver att hitta vinkeln mellan räta linjer i Unified State Exam på både grundnivå och specialiserad nivå. Det betyder att alla ska kunna lösa dem.
Grundläggande ögonblick
Det finns 4 typer i rymden relativ position hetero De kan sammanfalla, skära varandra, vara parallella eller skära varandra. Vinkeln mellan dem kan vara spetsig eller rak.
För att hitta vinkeln mellan raderna i Unified State Exam eller, till exempel i lösning, kan skolbarn i Moskva och andra städer använda flera sätt att lösa problem i den här delen av stereometri. Du kan slutföra uppgiften med klassiska konstruktioner. För att göra detta är det värt att lära sig de grundläggande axiomen och satserna för stereometri. Eleven behöver kunna resonera logiskt och skapa ritningar för att föra uppgiften till ett planimetriskt problem.
Du kan också använda koordinatvektormetoden med enkla formler, regler och algoritmer. Det viktigaste i det här fallet är att utföra alla beräkningar korrekt. Shkolkovo utbildningsprojekt hjälper dig att finslipa dina problemlösningsförmåga i stereometri och andra delar av skolkursen.
Problem 1
Hitta cosinus för vinkeln mellan linjerna $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ och $\left\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right $.
Låt två linjer ges i rymden: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ och $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Låt oss välja en godtycklig punkt i rymden och dra genom den två hjälplinjer parallella med data. Vinkeln mellan dessa linjer är någon av de två intilliggande hörn, bildad av hjälplinjer. Cosinus för en av vinklarna mellan räta linjer kan hittas med den välkända formeln $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Om värdet $\cos \phi >0$ erhålls en spetsig vinkel mellan linjerna, om $\cos \phi
Kanoniska ekvationer för den första raden: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
De kanoniska ekvationerna för den andra linjen kan erhållas från de parametriska:
\ \ \
Således är de kanoniska ekvationerna för denna linje: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Vi beräknar:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ vänster(-3\höger)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\vänster(-1\höger)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \ca 0,9449.\]
Problem 2
Den första raden går genom de givna punkterna $A\left(2,-4,-1\right)$ och $B\left(-3,5,6\right)$, den andra raden passerar genom de givna punkterna $ C\vänster (1,-2,8\höger)$ och $D\left(6,7,-2\höger)$. Hitta avståndet mellan dessa linjer.
Låt en viss linje vara vinkelrät mot linjerna $AB$ och $CD$ och skär dem i punkterna $M$ respektive $N$. Under dessa förhållanden är längden på segmentet $MN$ lika med avståndet mellan linjerna $AB$ och $CD$.
Vi konstruerar vektorn $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k) ).\]
Låt segmentet som visar avståndet mellan linjerna passera genom punkten $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ på linjen $AB$.
Vi konstruerar vektorn $\overline(AM)$:
\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]
Vektorerna $\overline(AB)$ och $\overline(AM)$ är samma, därför är de kolinjära.
Det är känt att om vektorerna $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ och $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ är kolinjära, sedan deras koordinater är proportionella, då finns det $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, där $m $ är resultatet av division.
Härifrån får vi: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Vi får slutligen uttryck för koordinaterna för punkt $M$:
Vi konstruerar vektorn $\overline(CD)$:
\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ vänster(-2-8\höger)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Låt segmentet som representerar avståndet mellan linjerna passera genom punkten $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ på linjen $CD$.
Vi konstruerar vektorn $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\vänster(z_(N) -8\höger)\cdot \bar(k)=\] \[=\vänster(x_(N) -1\höger)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\höger)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\höger)\cdot \bar(k).\]
Vektorerna $\overline(CD)$ och $\overline(CN)$ sammanfaller, därför är de kolinjära. Vi tillämpar villkoret för vektorers kollinearitet:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, där $n $ är resultatet av division.
Härifrån får vi: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Vi får slutligen uttryck för koordinaterna för punkt $N$:
Vi konstruerar vektorn $\overline(MN)$:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\vänster(z_(N) -z_(M) \höger)\cdot \bar(k).\]
Vi ersätter uttryck för koordinaterna för punkterna $M$ och $N$:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\höger)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot m\höger)\höger)\cdot \bar(k).\]
Efter att ha genomfört stegen får vi:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]
Eftersom linjerna $AB$ och $MN$ är vinkelräta, är skalärprodukten av motsvarande vektorer lika med noll, det vill säga $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ vänster(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
Efter att ha slutfört stegen får vi den första ekvationen för att bestämma $m$ och $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Eftersom linjerna $CD$ och $MN$ är vinkelräta, är skalärprodukten av motsvarande vektorer lika med noll, det vill säga $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]
Efter att ha slutfört stegen får vi den andra ekvationen för att bestämma $m$ och $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
Vi hittar $m$ och $n$ genom att lösa ekvationssystemet $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206) \cdot n =77)\end(array)\right$.
Vi tillämpar Cramer-metoden:
\[\Delta =\left|\begin(array)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(array)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(array)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(array)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ]\
Hitta koordinaterna för punkterna $M$ och $N$:
\ \
Till sist:
Slutligen skriver vi vektorn $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4.618-2.6701\right)\cdot \bar(k)$ eller $\overline(MN)=3.3125\cdot \bar(i)+0.3251\cdot \bar( j)+1.9479\cdot \bar(k)$ .
Avståndet mellan raderna $AB$ och $CD$ är längden på vektorn $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ ca 3,8565$ lin. enheter
VINKEL MELLAN PLAN
Betrakta två plan α 1 och α 2, definierade av respektive ekvationer:
Under vinkel mellan två plan kommer vi att förstå en av de dihedriska vinklarna som bildas av dessa plan. Det är uppenbart att vinkeln mellan normalvektorerna och planen α 1 och α 2 är lika med en av de angivna intilliggande dihedriska vinklarna eller 
. Det är därför 
. Därför att 
Och 
, Den där
.
Exempel. Bestäm vinkeln mellan planen x+2y-3z+4=0 och 2 x+3y+z+8=0.
Villkor för parallellitet mellan två plan.
Två plan α 1 och α 2 är parallella om och endast om deras normalvektorer är parallella, och därför 
.
Så två plan är parallella med varandra om och endast om koefficienterna för motsvarande koordinater är proportionella:
eller
Villkor för vinkelräta plan.
Det är tydligt att två plan är vinkelräta om och endast om deras normala vektorer är vinkelräta, och därför, eller .
Således, .
Exempel.
RAKT I RYMMEN.
VEKTOREKVATION FÖR EN LINJE.
PARAMETRISKA DIREKT EKVATIONER
Positionen för en linje i rymden bestäms helt genom att specificera någon av dess fixpunkter M 1 och en vektor parallell med denna linje.
En vektor parallell med en linje kallas guider vektor av denna linje.
Så låt den raka linjen l passerar genom en punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1), liggande på en linje parallell med vektorn.
Tänk på en godtycklig punkt M(x,y,z) på en rak linje. Av figuren framgår det tydligt 
.
Vektorer och är kolinjära, så det finns ett sådant nummer t, vad , var är multiplikatorn t kan ta vilket numeriskt värde som helst beroende på punktens position M på en rak linje. Faktor t kallas en parameter. Efter att ha utsett radievektorerna för punkter M 1 och M respektive genom och får vi . Denna ekvation kallas vektor ekvation för en rät linje. Det visar det för varje parametervärde t motsvarar radievektorn för någon punkt M, liggande på en rak linje.
Låt oss skriva denna ekvation i koordinatform. Lägg märke till att , 
och härifrån
De resulterande ekvationerna kallas parametrisk ekvationer för en rät linje.
När du ändrar en parameter t koordinater ändras x, y Och z och period M rör sig i en rak linje.
DIREKTENS KANONISKA EKVATIONER
Låta M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – en punkt som ligger på en rak linje l, Och 
är dess riktningsvektor. Låt oss återigen ta en godtycklig punkt på linjen M(x,y,z) och överväga vektorn.
Det är tydligt att vektorerna också är kolinjära, så deras motsvarande koordinater måste vara proportionella, därför,
– kanonisk ekvationer för en rät linje.
Anteckning 1. Observera att linjens kanoniska ekvationer kan erhållas från de parametriska genom att eliminera parametern t. Ja, från de parametriska ekvationerna vi får 
eller .
Exempel. Skriv ner linjens ekvation 
i parametrisk form.
Låt oss beteckna 
, härifrån x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Anteckning 2. Låt den räta linjen vara vinkelrät mot en av koordinataxlarna, till exempel axeln Oxe. Då är linjens riktningsvektor vinkelrät Oxe, därav, m=0. Följaktligen kommer linjens parametriska ekvationer att ta formen
Exklusive parametern från ekvationerna t, får vi linjens ekvationer i formen
Men även i detta fall är vi överens om att formellt skriva linjens kanoniska ekvationer i formuläret 
. Alltså, om nämnaren för ett av bråken är noll, betyder det att den räta linjen är vinkelrät mot motsvarande koordinataxel.
Liknar de kanoniska ekvationerna 
motsvarar en rät linje vinkelrät mot axlarna Oxe Och Oj eller parallellt med axeln Uns.
Exempel.
ALLMÄNNA EKVATIONER FÖR EN RAK LINJE SOM Skärningslinjer mellan två plan
Genom varje rak linje i rymden finns otaliga plan. Vilken som helst två av dem, som skär varandra, definierar den i rymden. Följaktligen representerar ekvationerna för två sådana plan, betraktade tillsammans, ekvationerna för denna linje.
I allmänhet är två icke-parallella plan definierade av de allmänna ekvationerna
bestämma den räta linjen för deras skärningspunkt. Dessa ekvationer kallas allmänna ekvationer hetero.
Exempel.
Konstruera en linje som ges av ekvationerna 
För att konstruera en rät linje räcker det att hitta två av dess punkter. Det enklaste sättet är att välja skärningspunkterna för en rät linje med koordinatplan. Till exempel skärningspunkten med planet xOy vi erhåller från ekvationerna för den räta linjen, om vi antar z= 0:
Efter att ha löst detta system hittar vi poängen M 1 (1;2;0).
På samma sätt, förutsatt y= 0, får vi skärningspunkten för linjen med planet xOz:
Från de allmänna ekvationerna för en rät linje kan man gå vidare till dess kanoniska eller parametriska ekvationer. För att göra detta måste du hitta någon punkt M 1 på en rät linje och riktningsvektorn för en rät linje.
Punktkoordinater M 1 får vi från detta ekvationssystem, vilket ger en av koordinaterna ett godtyckligt värde. För att hitta riktningsvektorn, notera att denna vektor måste vara vinkelrät mot båda normalvektorerna 
Och 
. Därför bortom riktningsvektorn för den räta linjen l du kan ta det vektor produkt normala vektorer:
.
Exempel. Leda allmänna ekvationer hetero 
till den kanoniska formen.
Låt oss hitta en punkt som ligger på en linje. För att göra detta väljer vi godtyckligt en av koordinaterna, t.ex. y= 0 och lös ekvationssystemet:
Normalvektorerna för de plan som definierar linjen har koordinater 
Därför kommer riktningsvektorn att vara rak
. Därav, l: 
.
VINKEL MELLAN RAKA
Vinkel mellan räta linjer i rymden kommer vi att kalla någon av de intilliggande vinklarna som bildas av två räta linjer som dras genom en godtycklig punkt parallell med data.
Låt två linjer ges i rymden:
Uppenbarligen kan vinkeln φ mellan räta linjer tas som vinkeln mellan deras riktningsvektorer och . Eftersom , sedan med hjälp av formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer får vi
A. Låt två räta linjer ges. Dessa räta linjer, som anges i kapitel 1, bildar olika positiva och negativa vinklar, som kan vara antingen spetsiga eller trubbiga. Genom att känna till en av dessa vinklar kan vi lätt hitta någon annan.
Förresten, för alla dessa vinklar är tangentens numeriska värde detsamma, skillnaden kan bara vara i tecknet
Ekvationer av linjer. Siffrorna är projektioner av riktningsvektorerna för de första och andra räta linjerna. Vinkeln mellan dessa vektorer är lika med en av vinklarna som bildas av räta linjer. Därför handlar problemet om att bestämma vinkeln mellan vektorerna
För enkelhetens skull kan vi komma överens om att vinkeln mellan två räta linjer är spetsig positiv vinkel(som t.ex. i fig. 53).
Då kommer tangenten för denna vinkel alltid att vara positiv. Således, om det finns ett minustecken på den högra sidan av formel (1), måste vi kassera det, d.v.s. spara bara det absoluta värdet.
Exempel. Bestäm vinkeln mellan raka linjer
Enligt formel (1) har vi
Med. Om det anges vilken av sidorna av vinkeln som är dess början och vilken som är dess slut, då vi alltid räknar vinkelns riktning moturs, kan vi extrahera något mer från formel (1). Som är lätt att se av fig. 53 kommer tecknet som erhålls på den högra sidan av formel (1) att indikera vilken typ av vinkel - spetsig eller trubbig - den andra räta linjen bildas med den första.
(Från Fig. 53 ser vi faktiskt att vinkeln mellan den första och andra riktningsvektorn antingen är lika med den önskade vinkeln mellan de räta linjerna eller skiljer sig från den med ±180°.)
d. Om linjerna är parallella, så är deras riktningsvektorer parallella.
Detta är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för parallelliteten mellan två linjer.
Exempel. Direkt
är parallella eftersom
e. Om linjerna är vinkelräta är deras riktningsvektorer också vinkelräta. Genom att tillämpa villkoret för vinkelräthet för två vektorer får vi villkoret för vinkelräthet för två räta linjer, nämligen
Exempel. Direkt
är vinkelräta på grund av att
I samband med villkoren för parallellitet och vinkelräthet kommer vi att lösa följande två problem.
f. Rita en linje genom en punkt parallell med den givna linjen
Lösningen utförs så här. Eftersom den önskade linjen är parallell med denna, kan vi för dess riktningsvektor ta samma som den för den givna linjen, det vill säga en vektor med projektionerna A och B. Och sedan kommer ekvationen för den önskade linjen att skrivas i blanketten (§ 1)
Exempel. Ekvation för en linje som går genom punkten (1; 3) parallell med linjen
det kommer nästa!
g. Rita en linje genom en punkt vinkelrät mot den givna linjen
Här är det inte längre lämpligt att ta vektorn med projektioner A och som styrvektor, utan det är nödvändigt att ta vektorn vinkelrätt mot den. Projektionerna för denna vektor måste därför väljas i enlighet med villkoret för vinkelräthet för båda vektorerna, d.v.s. enligt villkoret
Detta villkor kan uppfyllas på otaliga sätt, eftersom här är en ekvation med två okända men det enklaste sättet är att ta eller Sedan kommer ekvationen för den önskade linjen att skrivas i formen
Exempel. Ekvation för en linje som går genom punkten (-7; 2) i en vinkelrät linje
det kommer att finnas följande (enligt den andra formeln)!
h. I det fall då linjerna ges av formens ekvationer
att skriva om dessa ekvationer på ett annat sätt har vi
Definition. Om två linjer ges y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, kommer den spetsiga vinkeln mellan dessa linjer att definieras som
Två linjer är parallella om k 1 = k 2. Två linjer är vinkelräta om k 1 = -1/ k 2.
Sats. Linjerna Ax + Bу + C = 0 och A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 är parallella när koefficienterna A 1 = λA, B 1 = λB är proportionella. Om även C 1 = λC, så sammanfaller linjerna. Koordinaterna för skärningspunkten för två linjer finns som en lösning på ekvationssystemet för dessa linjer.
Ekvation för en linje som går genom en given punkt
Vinkelrät mot en given linje
Definition. En rät linje som går genom punkten M 1 (x 1, y 1) och vinkelrät mot den räta linjen y = kx + b representeras av ekvationen:
Avstånd från punkt till linje
Sats. Om en punkt M(x 0, y 0) ges, så bestäms avståndet till linjen Ax + Bу + C = 0 som
.
Bevis. Låt punkten M 1 (x 1, y 1) vara basen för den vinkelräta som faller från punkt M till en given rät linje. Då är avståndet mellan punkterna M och M 1:
(1)
Koordinaterna x 1 och y 1 kan hittas genom att lösa ekvationssystemet:
Systemets andra ekvation är ekvationen för en linje som går genom en given punkt M 0 vinkelrätt mot en given linje. Om vi transformerar den första ekvationen i systemet till formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sedan, när vi löser, får vi:
Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (1) finner vi:
Teoremet är bevisat.
Exempel. Bestäm vinkeln mellan linjerna: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k^ = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p/4.
Exempel. Visa att linjerna 3x – 5y + 7 = 0 och 10x + 6y – 3 = 0 är vinkelräta.
Lösning. Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, därför är linjerna vinkelräta.
Exempel. Angivna är hörnen på triangeln A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Hitta ekvationen för höjden från vertex C.
Lösning. Vi hittar ekvationen för sidan AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Den nödvändiga höjdekvationen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Då y = . Därför att höjden passerar genom punkt C, då uppfyller dess koordinater denna ekvation: 
där b = 17. Totalt: . 
Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.
Ekvationen för en linje som går genom en given punkt i en given riktning. Ekvation för en linje som går genom två givna punkter. Vinkeln mellan två raka linjer. Villkoret för parallellitet och vinkelräthet för två räta linjer. Bestämma skärningspunkten för två linjer
1. Ekvation för en linje som går genom en given punkt A(x 1 , y 1) i en given riktning, bestäms av lutningen k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Denna ekvation definierar en penna av linjer som passerar genom en punkt A(x 1 , y 1), som kallas strålens centrum.
2. Ekvation för en linje som går genom två punkter: A(x 1 , y 1) och B(x 2 , y 2), skrivet så här:
Vinkelkoefficienten för en rät linje som går genom två givna punkter bestäms av formeln
3. Vinkel mellan raka linjer A Och Bär vinkeln med vilken den första räta linjen måste roteras A runt skärningspunkten för dessa linjer moturs tills den sammanfaller med den andra linjen B. Om två räta linjer ges av ekvationer med en lutning
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
då bestäms vinkeln mellan dem av formeln
Det bör noteras att i täljaren för bråket subtraheras lutningen på den första linjen från lutningen på den andra linjen.
Om ekvationerna för en linje anges allmän syn
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
vinkeln mellan dem bestäms av formeln
4. Villkor för parallellitet mellan två linjer:
a) Om linjerna ges av ekvationer (4) med en vinkelkoefficient, är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för deras parallellitet likheten mellan deras vinkelkoefficienter:
k 1 = k 2 . (8)
b) För det fall då linjerna ges av ekvationer i allmän form (6) är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för deras parallellitet att koefficienterna för motsvarande aktuella koordinater i deras ekvationer är proportionella, d.v.s.
5. Villkor för vinkelräthet av två linjer:
a) I det fall då de räta linjerna ges av ekvationerna (4) med en vinkelkoefficient, är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för deras vinkelräthet att de backarär omvända i storlek och motsatta i tecken, dvs.
Detta villkor kan också skrivas i formuläret
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Om linjeekvationerna ges i allmän form (6), så är villkoret för deras vinkelräthet (nödvändigt och tillräckligt) att uppfylla likheten
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Koordinaterna för skärningspunkten för två linjer hittas genom att lösa ekvationssystemet (6). Linjer (6) korsar om och endast om
1. Skriv ekvationerna för linjer som går genom punkten M, varav en är parallell och den andra vinkelrät mot den givna linjen l.