Bevisa att sekvensen är avgränsad. Gränser för monotona funktioner

Eftersom de angivna områdena är lika

SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙synd α= 0,5 sinα, S sekt. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0,5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC= 0,5tgα.

Därför,

sin α< α < tg α.

Låt oss dividera alla termer av olikheten med sin α > 0: .

Men . Därför, baserat på sats 4 om gränser, drar vi slutsatsen att den härledda formeln kallas den första anmärkningsvärda gränsen.

Således tjänar den första anmärkningsvärda gränsen till att avslöja osäkerhet. Observera att den resulterande formeln inte ska förväxlas med gränserna Exempel.

11. Begränsning och dess tillhörande gränser.

DEN ANDRA ANMÄRKLIGA GRÄNSEN

Den andra anmärkningsvärda gränsen tjänar till att avslöja osäkerheten på 1 ∞ och ser ut så här:

Låt oss vara uppmärksamma på det faktum att i formeln för den andra anmärkningsvärda gränsen måste exponenten innehålla ett uttryck inverst till det som läggs till enheten vid basen (eftersom det i detta fall är möjligt att införa en förändring av variabler och minska den sökta gränsen till den andra anmärkningsvärda gränsen)

Exempel.

1. Funktion f(x)=(x-1) 2 är oändligt liten vid x→1, sedan (se figur).

2. Funktion f(x)= tg x– oändligt liten kl x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – oändligt vid x→0.

4. f(x) = 1/x– oändligt liten kl x→∞.

Låt oss upprätta följande viktiga relation:

Sats. Om funktionen y=f(x) representeras med x→a som summan av ett konstant tal b och oändligt liten storlek α(x): f (x)=b+ α(x) Det .

Omvänt, om , då f (x)=b+α(x), Var yxa)– oändligt liten kl x→a.

Bevis.

1. Låt oss bevisa den första delen av påståendet. Från jämlikhet f(x)=b+α(x) skall |f(x) – b|=| α|. Men sedan yxa)är oändligt liten, då finns det för godtycklig ε δ – en grannskap av punkten a, inför alla x från vilka, värden yxa) tillfredsställa relationen |α(x)|< ε. Sedan |f(x) – b|< ε. Och detta betyder att.

2. Om , då för alla ε >0 för alla X från någon δ – grannskap av en punkt a vilja |f(x) – b|< ε. Men om vi betecknar f(x) – b= α, Det |α(x)|< ε, vilket betyder att a– oändligt liten.

Låt oss överväga de grundläggande egenskaperna hos infinitesimala funktioner.

Sats 1. Den algebraiska summan av två, tre och i allmänhet vilket ändligt antal infinitesimals som helst är en infinitesimal funktion.

Bevis. Låt oss ge ett bevis för två termer. Låta f(x)=α(x)+β(x), var och . Vi måste bevisa det för alla godtyckliga små ε > 0 hittade δ> 0, sådan att för x, som tillfredsställer ojämlikheten |x – a|<δ , avrättas |f(x)|< ε.

Så låt oss fixa ett godtyckligt nummer ε > 0. Eftersom enligt satsens villkor α(x)är en infinitesimal funktion, så finns det en sådan δ 1 > 0, vilket är |x – a|< δ 1 vi har |α(x)|< ε / 2. Likaså sedan β(x)är oändligt liten, så finns det en sådan δ 2 > 0, vilket är |x – a|< δ 2 har vi | β(x)|< ε / 2.

Låt oss ta δ=min(δ 1 , 52 } .Då i närheten av punkten a radie δ var och en av ojämlikheterna kommer att tillfredsställas |α(x)|< ε / 2 och | β(x)|< ε / 2. Därför kommer det att finnas i det här området

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

dessa. |f(x)|< ε, vilket är det som behövde bevisas.

Sats 2. Produkt av en oändlig funktion yxa) för en begränsad funktion f(x) på x→a(eller när x→∞) är en infinitesimal funktion.

Bevis. Sedan funktionen f(x)är begränsad, så finns det ett antal M sådan för alla värden x från något område av en punkt a|f(x)|≤M. Dessutom sedan yxa)är en oändlig funktion vid x→a, sedan för en godtycklig ε > 0 finns det ett område till punkten a, där ojämlikheten kommer att hålla |α(x)|< ε /M. Sedan i det mindre av dessa kvarter vi har | αf|< ε /M= ε. Och detta betyder det af– oändligt liten. För tillfället x→∞ bevisningen utförs på liknande sätt.

Från den beprövade satsen följer:

Följd 1. Om och , då

Följd 2. Om och c= const, alltså.

Sats 3. Förhållandet mellan en infinitesimal funktion α(x) per funktion f(x), vars gräns skiljer sig från noll, är en infinitesimal funktion.

Bevis. Låt . Sedan 1 /f(x) det finns en begränsad funktion. Därför är en bråkdel produkten av en infinitesimal funktion och en begränsad funktion, d.v.s. funktionen är oändlig.

Exempel.

1. Det är klart att när x→+∞ fungera y=x 2+ 1 är oändligt stor. Men sedan, enligt satsen formulerad ovan, är funktionen oändligt liten vid x→+∞, dvs. .

Den omvända satsen kan också bevisas.

Sats 2. Om funktionen f(x)- oändligt liten kl x→a(eller x→∞) och försvinner alltså inte y= 1/f(x)är en oändligt stor funktion.

Gör beviset för satsen själv.

Exempel.

3. , eftersom funktionerna och är oändligt små vid x→+∞, då summan av infinitesimala funktioner är en infinitesimal funktion. En funktion är summan av ett konstant tal och en infinitesimal funktion. Följaktligen får vi genom sats 1 för infinitesimala funktioner den erforderliga likheten.

Således kan de enklaste egenskaperna hos infinitesimala och oändligt stora funktioner skrivas med hjälp av följande villkorliga relationer: A≠ 0

13. Infinitesimala funktioner av samma ordning, ekvivalenta infinitesimals.

Infinitesimal funktioner och kallas infinitesimal av samma storleksordning om , betecknar . Och slutligen, om det inte finns, så är infinitesimala funktioner ojämförliga.

EXEMPEL 2. Jämförelse av infinitesimala funktioner

Ekvivalenta infinitesimala funktioner.

Om , anropas infinitesimala funktioner ekvivalent, beteckna ~ .

Lokalt likvärdiga funktioner:

När om

Vissa motsvarigheter(vid ):

Ensidiga gränser.

Hittills har vi övervägt att bestämma gränsen för en funktion när x→a på ett godtyckligt sätt, dvs. gränsen för funktionen berodde inte på hur den var placerad x i förhållande till a, till vänster eller höger om a. Det är dock ganska vanligt att hitta funktioner som inte har någon gräns under detta villkor, men de har en gräns om x→a, kvar på ena sidan av A, vänster eller höger (se bild). Därför introduceras begreppen ensidiga gränser.

Om f(x) tenderar till gränsen b på x tenderar till ett visst antal a Så x accepterar endast värden mindre än a, så skriver de och ringer blimit för funktionen f(x) vid punkt a till vänster.

Alltså numret b kallas gränsen för funktionen y=f(x) på x→a till vänster, om vilket positivt tal ε än är, finns det ett sådant tal δ (mindre a

Likaså om x→a och antar stora värden a, så skriver de och ringer b gränsen för funktionen vid punkten A rätt. Dessa. antal b kallad gräns för funktionen y=f(x) som x→a till höger, om vilket positivt tal ε än är, finns det ett sådant tal δ (större A) att ojämlikhet gäller för alla.

Observera att om gränserna till vänster och höger vid punkten a för funktion f(x) inte sammanfaller, då har funktionen ingen gräns (dubbelsidig) vid punkten A.

Exempel.

1. Tänk på funktionen y=f(x), definierad på segmentet enligt följande

Låt oss hitta gränserna för funktionen f(x) på x→ 3. Uppenbarligen, och

Med andra ord, för varje godtyckligt litet antal epsilon, finns det ett deltatal beroende på epsilon så att av det faktum att för varje x som uppfyller olikheten följer att skillnaderna i funktionens värden vid dessa punkter blir godtyckligt liten.

Kriterium för kontinuitet för en funktion vid en punkt:

Fungera vilja kontinuerlig vid punkt A om och endast om den är kontinuerlig vid punkt A både till höger och till vänster, det vill säga så att det vid punkt A finns två ensidiga gränser, de är lika med varandra och lika med värdet av funktionen i punkt A.

Definition 2: Funktionen är kontinuerlig på en uppsättning om den är kontinuerlig på alla punkter i denna uppsättning.

Derivata av en funktion vid en punkt

Låt dana definieras i ett grannskap. Låt oss överväga

Om denna gräns finns, så kallas den derivata av funktionen f i punkten .

Derivata av en funktion– gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, när argumentet inkrementeras.

Operationen att beräkna eller hitta derivatan vid en punkt kallas differentiering .

Regler för differentiering.

Derivat funktioner f(x) vid punkten x=x 0 kallas förhållandet mellan ökningen av en funktion vid denna punkt och ökningen av argumentet, eftersom det senare tenderar att vara noll differentiering. Funktionens derivata beräknas med hjälp av allmän regel differentiering: Låt oss beteckna f(x) = u, g(x) = v- funktioner differentierbara vid en punkt X. Grundläggande regler för differentiering 1) (derivatan av en summa är lika med summan av dess derivator) 2) (särskilt härifrån följer att derivatan av produkten av en funktion och en konstant är lika med produkten av derivatan av denna funktion och konstanten) 3) Derivata av en kvot: , om g  0 4) Derivata av en komplex funktion: 5) Om funktionen specificeras parametriskt: , då

Exempel.

1. y = x a är en potensfunktion med en godtycklig exponent.

Implicit funktion

Om en funktion ges av ekvationen y=ƒ(x), löst med avseende på y, så ges funktionen i explicit form (explicit funktion).

Under implicit uppgift funktioner förstår definitionen av en funktion i form av en ekvation F(x;y)=0, inte löst med avseende på y.

Vilken som helst explicit given funktion y=ƒ (x) kan skrivas som implicit ges av ekvationenƒ(x)-y=0, men inte vice versa.

Det är inte alltid lätt, och ibland omöjligt, att lösa en ekvation för y (till exempel y+2x+mys-1=0 eller 2 y -x+y=0).

Om den implicita funktionen ges av ekvationen F(x; y) = 0, så för att hitta derivatan av y med avseende på x finns det inget behov av att lösa ekvationen med avseende på y: det räcker med att differentiera denna ekvation med avseende på x, samtidigt som y betraktas som en funktion av x, och lös sedan den resulterande ekvationen för y."

Derivatan av en implicit funktion uttrycks i termer av argumentet x och funktionen y.

Exempel:

Hitta derivatan av funktionen y, given av ekvationen x 3 + y 3 -3xy = 0.

Lösning: Funktionen y anges implicit. Vi differentierar med avseende på x likheten x 3 + y 3 -3xy = 0. Från den resulterande relationen

3x2 +3y2y"-3(1y+xy")=0

det följer att y2y"-xy"=y-x2, dvs. y"=(y-x2)/(y2-x).

Derivat av högre ordning

Det är tydligt att derivatan

funktioner y=f(x) det finns också en funktion från x:

y" =f " (x)

Om funktionen f" (x)är differentierbar, betecknas dess derivata med symbolen y"" =f "" (x) x dubbelt.
Derivatan av andraderivatan, dvs. funktioner y""=f""(x), ringde tredje derivatan av funktionen y=f(x) eller derivata av funktionen f(x) av tredje ordningen och indikeras av symbolerna

Alls n-i derivata eller derivata n ordningens funktion y=f(x) indikeras med symboler

Phil Leibniz:

Låt oss anta att funktionerna och är differentierbara tillsammans med deras derivator upp till n:e ordningen inklusive. Genom att tillämpa regeln för att differentiera produkten av två funktioner får vi

Låt oss jämföra dessa uttryck med potenserna i binomialet:

Korrespondensregeln är slående: för att få en formel för 1:a, 2:a eller 3:e ordningens derivatan av produkten av funktioner och , måste du ersätta potenserna och i uttrycket för (där n= 1,2,3) derivator av motsvarande order. Dessutom bör nollpotenser av kvantiteter och ersättas med derivator av nollordning, vilket med dem betyder funktionerna och:

Generalisera denna regel till fallet med derivat av godtycklig ordning n, vi får Leibniz formel,

var är de binomiala koefficienterna:

Rolles sats.

Denna sats gör att man kan hitta kritiska punkter och sedan, med tillräckliga förhållanden, undersöka funktionen för extrema.

Låt 1) f(x) vara definierad och kontinuerlig på något slutet intervall; 2) det finns en finit derivata, åtminstone i det öppna intervallet (a;b); 3) i ändarna intervall f-i tar lika värden f(a) = f(b). Sedan mellan punkterna a och b finns det en punkt c så att derivatan vid denna punkt blir = 0.

Enligt satsen om egenskapen hos funktioner som är kontinuerliga på ett intervall, tar funktionen f(x) sina max- och minvärden på detta intervall.

f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ; x 2 О

1) Låt M = m, dvs. m £ f(x) £ M

Þ f(x) kommer att ta konstanta värden på intervallet från a till b, och Þ dess derivata kommer att vara lika med noll. f’(x)=0

2) Låt M>m

Därför att enligt villkoren för satsen f(a) = f(b) Þ dess minsta eller största f-i betydelse kommer inte att ta i ändarna av segmentet, men Þ kommer att ta M eller m vid den inre punkten av detta segment. Sedan, enligt Fermats teorem, f’(c)=0.

Lagranges sats.

Finita inkrementformel eller Lagranges medelvärdessats anger att om en funktion fär kontinuerlig på intervallet [ a;b] och differentierbar i intervallet ( a;b), så finns det en punkt sådan att

Cauchys sats.

Om funktionerna f(x) och g(x) är kontinuerliga på intervallet och differentierbara på intervallet (a, b) och g¢(x) ¹ 0 på intervallet (a, b), så finns det minst en punkt e, a< e < b, такая, что

Dessa. förhållandet mellan inkrement av funktioner på ett givet segment är lika med förhållandet mellan derivator vid punkt e. Exempel på problemlösning föreläsningsförlopp Beräkna en kropps volym från kända områden av dess parallella sektioner Integralkalkyl

Exempel på utförande kursarbete Elektroteknik

För att bevisa detta teorem är det vid första anblicken mycket bekvämt att använda Lagranges teorem. Skriv ner en ändlig skillnadsformel för varje funktion och dividera dem sedan med varandra. Men denna idé är felaktig, eftersom punkt e för varje funktion är i allmänhet olika. Naturligtvis kan denna intervallpunkt i vissa speciella fall visa sig vara densamma för båda funktionerna, men detta är en mycket sällsynt tillfällighet, och inte en regel, och kan därför inte användas för att bevisa satsen.

Bevis. Tänk på hjälpfunktionen

Som x→x 0 tenderar värdet av c också till x 0; Låt oss gå till gränsen i den tidigare jämställdheten:

Därför att , Det .

Det är därför

(gränsen för förhållandet mellan två infinitesimaler är lika med gränsen för förhållandet mellan deras derivator, om det senare existerar)

L'Hopitals regel, vid ∞/∞.

Observera: alla definitioner involverar en numerisk mängd X, som är en del av domänen för funktionen: X med D(f). I praktiken finns det oftast fall då X är ett numeriskt intervall (segment, intervall, stråle, etc.).

Definition 1.

En funktion y = f(x) sägs öka på en mängd X med D(f) om för två punkter x 1 och x 2 av mängden X så att x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definition 2.

En funktion y = f(x) sägs vara minskande på en mängd X med D(f) om för två punkter x 1 och x 2 av mängden X så att x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x 2).

I praktiken är det bekvämare att använda följande formuleringar: en funktion ökar om högre värde argumentet motsvarar ett större funktionsvärde; en funktion minskar om ett större värde på argumentet motsvarar ett mindre värde på funktionen.

I årskurserna 7 och 8 använde vi följande geometriska tolkning av begreppen att öka eller minska en funktion: när vi rörde oss längs grafen för en ökande funktion från vänster till höger, verkar vi klättra på en kulle (Fig. 55); rör sig längs grafen för en minskande funktion från vänster till höger, är det som om vi går nerför en kulle (fig. 56).
Vanligtvis kombineras termerna "ökande funktion", "minskande funktion" under det allmänna namnet monoton funktion, och studiet av en funktion för att öka eller minska kallas studiet av en funktion för monotoni.

Låt oss notera ytterligare en omständighet: om en funktion ökar (eller minskar) i dess naturliga definitionsdomän, så brukar vi säga att funktionen ökar (eller minskar) - utan att specificera nummeruppsättning X.

Exempel 1.

Undersök monotoniteten hos funktionen:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5-2x.

Lösning:

a) Ta godtyckliga värden för argumentet x 1 och x 2 och låt x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Den sista olikheten betyder att f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Alltså från x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), vilket betyder att den givna funktionen minskar (på hela talraden).

Definition 3.

En funktion y - f(x) sägs vara avgränsad underifrån på en mängd X med D(f) om alla värden för funktionen på mängden X är större än ett visst tal (med andra ord, om det finns ett tal m så att för vilket värde x є X som helst olikheten f( x) >m).

Definition 4.

En funktion y = f(x) sägs vara avgränsad ovanifrån på en mängd X med D(f) om alla värden på funktionen är mindre än ett visst tal (med andra ord, om det finns ett tal M så att för vilket värde x є X som helst gäller olikheten f(x).< М).

Om mängden X inte är specificerad, är det underförstått att vi talar om att funktionen är avgränsad underifrån eller ovanifrån i hela definitionsdomänen.

Om en funktion är avgränsad både under och ovanför, så kallas den för begränsad.

En funktions begränsning avläsas lätt från dess graf: om en funktion är avgränsad underifrån, så är dess graf helt och hållet belägen ovanför en viss horisontell linje y = m (fig. 57); om en funktion är avgränsad ovanifrån, är dess graf helt och hållet belägen under någon horisontell linje y = M (fig. 58).

Exempel 2. Undersök för begränsning av en funktion
Lösning.Å ena sidan är ojämlikhet ganska uppenbar (per definition kvadratrot Det betyder att funktionen är avgränsad underifrån. Å andra sidan har vi och därför
Detta innebär att funktionen är övre gräns. Titta nu på grafen given funktion(Fig. 52 från föregående stycke). Begränsningen av funktionen både ovan och nedan kan avläsas ganska enkelt från grafen.

Definition 5.

Talet m kallas det minsta värdet av funktionen y = f(x) i mängden X C D(f) om:

1) i X finns en punkt x 0 så att f(x 0) = m;

2) för alla x från X gäller olikheten m>f(x 0).

Definition 6.

Talet M kallas det största värdet av funktionen y = f(x) i mängden X C D(f), om:
1) i X finns en punkt x 0 så att f(x 0) = M;
2) för alla x från X olikheten
Vi betecknade det minsta värdet av en funktion i både årskurs 7 och 8 med symbolen y och det största med symbolen y.

Om mängden X inte är specificerad, antas det att vi talar om att hitta den minsta eller högsta värde fungerar inom hela definitionsområdet.

Följande användbara uttalanden är ganska uppenbara:

1) Om en funktion har Y, så är den avgränsad nedan.
2) Om en funktion har Y, så är den avgränsad ovan.
3) Om funktionen inte är begränsad nedan så finns inte Y.
4) Om funktionen inte är begränsad ovan så finns inte Y.

Exempel 3.

Hitta de minsta och största värdena för en funktion
Lösning.

Det är ganska uppenbart, speciellt om du använder funktionsgrafen (fig. 52), att = 0 (funktionen når detta värde vid punkterna x = -3 och x = 3), a = 3 (funktionen når detta värde vid x = 0.
I årskurs 7 och 8 nämnde vi ytterligare två egenskaper hos funktioner. Den första kallades konvexitetsegenskapen för en funktion. En funktion anses vara konvex nedåt på ett intervall X om vi, genom att koppla samman två punkter i dess graf (med abskiss från X) med ett rakt linjesegment, finner att relevant del grafiken ligger under det ritade segmentet (fig. 59). kontinuitet En funktion är konvex uppåt på ett intervall X om vi, genom att koppla två punkter i dess graf (med abskiss från X) av funktionen med ett rät linjesegment, finner att motsvarande del av grafen ligger ovanför det ritade segmentet ( Fig. 60).

Den andra egenskapen - kontinuitet för en funktion på intervallet X - innebär att grafen för funktionen på intervallet X är kontinuerlig, d.v.s. har inga punkteringar eller hopp.

Kommentar.

Faktum är att i matematik är allt, som de säger, "exakt motsatsen": grafen för en funktion avbildas som en heldragen linje (utan punkteringar eller hopp) först när kontinuiteten i funktionen är bevisad. Men en formell definition av kontinuiteten hos en funktion, som är ganska komplex och subtil, ligger ännu inte inom vår förmåga. Detsamma kan sägas om en funktions konvexitet. När vi diskuterar dessa två egenskaper hos funktioner kommer vi att fortsätta att förlita oss på visuella och intuitiva koncept.

Låt oss nu granska vår kunskap. Genom att komma ihåg funktionerna som vi studerade i 7:e och 8:e klasserna, låt oss förtydliga hur deras grafer ser ut och lista funktionernas egenskaper, i enlighet med en viss ordning, till exempel detta: definitionsdomän; monoton; begränsning; , ; kontinuitet; räckvidd; konvex.

Därefter kommer nya egenskaper för funktioner att visas, och listan med egenskaper kommer att ändras i enlighet med detta.

1. Konstant funktion y = C

Grafen för funktionen y = C visas i fig. 61 - rät linje, parallell med x-axeln. Detta är en så ointressant funktion att det inte är någon idé att lista dess egenskaper.

Grafen för funktionen y = kx + m är en rät linje (Fig. 62, 63).

Egenskaper för funktionen y = kx + m:

1)
2) ökar om k > 0 (fig. 62), minskar om k< 0 (рис. 63);

4) det finns varken det största eller lägsta värden;
5) funktionen är kontinuerlig;
6)
7) det är ingen mening att prata om konvexitet.

Grafen för funktionen y = kx 2 är en parabel med ett vertex i origo och med grenar riktade uppåt om k > O (Fig. 64), och nedåt om k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Egenskaper för funktionen y - kx 2:

För fallet k> 0 (Fig. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = finns inte;
5) kontinuerlig;
6) E(f) = funktionen minskar, och på intervallet, minskar på strålen;
7) konvex uppåt.

Grafen för funktionen y = f(x) plottas punkt för punkt; Ju fler punkter i formen (x; f(x)) vi tar, desto mer exakt uppfattning om grafen får vi. Om du tar många av dessa punkter får du en mer komplett bild av grafen. Det är i det här fallet som intuitionen säger till oss att grafen ska avbildas som en heldragen linje (i det här fallet i form av en parabel). Och sedan, när vi läser grafen, drar vi slutsatser om funktionens kontinuitet, om dess konvexitet nedåt eller uppåt, om funktionens värdeintervall. Du måste förstå att av de uppräknade sju fastigheterna är endast fastigheterna 1), 2), 3), 4) "legitima" - "legitima" i den meningen att vi kan motivera dem genom att hänvisa till exakta definitioner. Vi har bara visuella och intuitiva idéer om de återstående egenskaperna. Det är förresten inget fel med detta. Från historien om matematikens utveckling är det känt att mänskligheten ofta och under lång tid använde olika egenskaper hos vissa föremål, utan att känna till de exakta definitionerna. Sedan, när sådana definitioner kunde formuleras, föll allt på plats.

Funktionens graf är en hyperbel, koordinataxlarna fungerar som asymptoter för hyperbeln (fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) om k > 0, så minskar funktionen på den öppna strålen (-oo, 0) och på den öppna strålen (0, +oo) (Fig. 66); om till< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) är inte begränsad vare sig underifrån eller ovanifrån;
4) det finns varken det minsta eller det största värdet;
5) funktionen är kontinuerlig på den öppna strålen (-oo, 0) och på den öppna strålen (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) om k > 0 är funktionen konvex uppåt vid x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, dvs. på den öppna balken (0, +oo) (bild 66). Om till< 0, то функция выпукла вверх при х >O och konvex nedåt vid x< О (рис. 67).
Funktionens graf är en gren av en parabel (bild 68). Funktionsegenskaper:
1) D(f) = , ökar på strålen. På det här segmentet $16-x^2≤16$ eller $\sqrt(16-x^2)≤4$, men detta betyder avgränsat från ovan.
Svar: vår funktion är begränsad till två raka linjer $y=0$ och $y=4$.

Högsta och lägsta värde

Det minsta värdet av funktionen y= f(x) i mängden X⊂D(f) är något tal m så att:

b) För alla хϵХ, gäller $f(x)≥f(x0)$.

Det största värdet av funktionen y=f(x) i mängden X⊂D(f) är något tal m så att:
a) Det finns någon x0 så att $f(x0)=m$.
b) För alla хϵХ, gäller $f(x)≤f(x0)$.

De största och minsta värdena betecknas vanligtvis med y max. och ditt namn .

Begreppen begränsning och den största med det minsta värdet av en funktion är nära besläktade. Följande påståenden är sanna:
a) Om det finns ett minimivärde för en funktion, så är det begränsat nedan.
b) Om en funktion har det största värdet så är den avgränsad ovan.
c) Om funktionen inte är begränsad ovan, så finns inte det största värdet.
d) Om funktionen inte är begränsad nedan, så finns inte det minsta värdet.

Hitta det största och minsta värdet för funktionen $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Lösning: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
För $х=4$ $f(4)=5$, för alla andra värden tar funktionen mindre värden eller existerar inte, det vill säga detta är funktionens största värde.
Per definition: $9-4x^2+16x≥0$. Låt oss hitta rötterna till det kvadratiska trinomiet $(2x+1)(2x-9)≥0$. Vid $x=-0,5$ och $x=4,5$ försvinner funktionen vid alla andra punkter. Då, per definition, är det minsta värdet på funktionen lika med noll.
Svar: y max. =5 och y namn. =0.

Killar, vi har också studerat begreppet konvexitet för en funktion. När vi löser vissa problem kan vi behöva den här egenskapen. Denna egenskap är också lätt att bestämma med hjälp av grafer.

En funktion är konvex nedåt om två punkter på grafen för den ursprungliga funktionen är sammankopplade och grafen för funktionen är under linjen för att förbinda punkterna.

En funktion är konvex uppåt om två punkter på grafen för den ursprungliga funktionen är sammankopplade och grafen för funktionen är ovanför linjen för att förbinda punkterna.

En funktion är kontinuerlig om grafen för vår funktion inte har några brott, till exempel som grafen för funktionen ovan.

Om du behöver hitta egenskaperna för en funktion, är sekvensen för att söka efter egenskaperna som följer:
a) Definitionsdomän.
b) Monotoni.
c) Begränsning.
d) Det största och minsta värdet.
d) Kontinuitet.
e) Värdeintervall.

Hitta egenskaperna för funktionen $y=-2x+5$.
Lösning.
a) Definitionsdomän D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotoni. Låt oss kolla efter eventuella värden x1 och x2 och låt x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Sedan x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Begränsning. Uppenbarligen är funktionen inte begränsad.
d) Det största och minsta värdet. Eftersom funktionen är obegränsad finns det inget max- eller minimumvärde.
d) Kontinuitet. Grafen för vår funktion har inga avbrott, då är funktionen kontinuerlig.
e) Värdeintervall. E(y)=(-∞;+∞).

Problem med egenskaperna hos en funktion för oberoende lösning

Vi kommer att kalla funktionen y=f(x) BUNDED UPPER (BOTTOM) på mängden A från definitionsdomänen D(f) om ett sådant nummer finns M , att för alla x från denna uppsättning är villkoret uppfyllt

Med hjälp av logiska symboler kan definitionen skrivas som:

f(x) – avgränsad ovan på uppsättningen

(f(x) – avgränsad underifrån på uppsättningen

Funktioner begränsade i modul eller helt enkelt begränsade tas också i beaktande.

Vi kommer att kalla en funktion BUNDAD på mängden A från definitionsdomänen om det finns ett positivt tal M så att

På logiska symbolers språk

f(x) – begränsad på uppsättningen

En funktion som inte är begränsad kallas obegränsad. Vi vet att definitioner som ges genom negation har lite innehåll. För att formulera detta påstående som en definition använder vi egenskaperna för kvantifieringsoperationer (3.6) och (3.7). Att sedan förneka begränsningen av en funktion i språket för logiska symboler kommer att ge:

f(x) – begränsad på uppsättningen

Det erhållna resultatet tillåter oss att formulera följande definition.

En funktion kallas UNLIMITED på en mängd A som hör till funktionens definitionsdomän om det på denna mängd för något positivt tal M finns ett sådant värde på argumentet x , att värdet fortfarande kommer att överstiga värdet på M, det vill säga.

Som ett exempel, betrakta funktionen

Den definieras på hela den reella axeln. Om vi ​​tar segmentet [–2;1] (uppsättning A), så kommer det att avgränsas både ovanför och under.

För att visa att det är avgränsat från ovan måste vi faktiskt överväga predikatet

och visa att det finns (finns) ett sådant M att för alla x taget på intervallet [–2;1] kommer det att vara sant

Att hitta ett sådant M är inte svårt. Vi kan anta M = 7, existenskvantifieraren innebär att man hittar minst ett värde på M. Närvaron av ett sådant M bekräftar det faktum att funktionen på intervallet [–2;1] är avgränsad från ovan.

För att bevisa att det är avgränsat underifrån måste vi överväga predikatet

Värdet på M som säkerställer sanningen i ett givet predikat är till exempel M = –100.

Det kan bevisas att funktionen också kommer att vara begränsad i modul: för alla x från segmentet [–2;1] sammanfaller funktionens värden med värdena på , så som M kan vi ta, för exempel, det föregående värdet M = 7.

Låt oss visa att samma funktion, men på intervallet, kommer att vara obegränsad, det vill säga

För att visa att sådana x finns, överväg påståendet

När vi letar efter de erforderliga värdena på x bland de positiva värdena i argumentet får vi

Det betyder att oavsett vilket positivt M vi tar, värdena på x som säkerställer uppfyllandet av ojämlikheten

erhålls från relationen.

Genom att betrakta funktionen på hela den reella axeln kan det visas att den är obegränsad i absolut värde.

Ja, från ojämlikheten

Det vill säga, oavsett hur stor den positiva M är, eller kommer att säkerställa uppfyllandet av ojämlikheten .

EXTREM FUNKTION.

Funktionen har vid punkten Med lokalt maximum (minimum), om det finns ett sådant område av denna punkt som för x¹ Med från detta grannskap råder ojämlikheten

speciellt att extrempunkten endast kan vara en intern punkt i intervallet och f(x) vid den måste nödvändigtvis definieras. Möjliga fall av frånvaro av ett extremum visas i fig. 8.8.

Om en funktion ökar (minskar) på ett visst intervall och minskar (ökar) på ett visst intervall, då Med är en lokal max (minimum) punkt.

Avsaknad av ett maximum av funktionen f(x) vid punkten Med kan formuleras så här:

_______________________

f(x) har ett maximum vid punkt c

Detta innebär att om punkten c inte är en lokal maximipunkt, så kommer det att finnas minst ett värde x som inte är lika med c för vilket område som inkluderar punkten c som intern. Således, om det inte finns något maximum vid punkt c, så kan det vid denna punkt inte finnas något extremum alls, eller så kan det vara en minimipunkt (fig. 8.9).

Begreppet extremum ger en jämförande bedömning av värdet av en funktion vid någon punkt i förhållande till närliggande. En liknande jämförelse av funktionsvärden kan utföras för alla punkter i ett visst intervall.

Det MAXIMUM (MINSTA) värdet för en funktion i en uppsättning är dess värde vid en punkt från denna uppsättning så att – vid . Det största värdet av funktionen uppnås vid segmentets inre punkt och det minsta – vid dess vänstra ände.

För att bestämma det största (minsta) värdet av en funktion specificerad på ett intervall, är det nödvändigt att välja det största (minsta) talet bland alla värden av dess maximivärden (minimum), såväl som de värden​​ i slutet av intervallet. Detta kommer att vara det största (minsta) värdet på funktionen. Denna regel kommer att förtydligas senare.

Problemet med att hitta de största och minsta värdena för en funktion på ett öppet intervall är inte alltid lätt att lösa. Till exempel funktionen

i intervallet (Fig. 8.11) inte har dem.

Låt oss till exempel se till att denna funktion inte har den största betydelsen. Faktum är att, med hänsyn till funktionens monotonitet, kan det hävdas att oavsett hur nära vi sätter värdena på x till vänster om enhet, kommer det att finnas andra x där funktionens värden kommer att vara större än dess värden vid de tagna fixpunkterna, men fortfarande mindre än ett.