Hur man härleder formeln för derivatan av en funktion. Lösa derivator för dummies: definition, hur man hittar, exempel på lösningar. Derivat av högre ordning

Väldigt lätt att komma ihåg.

Tja, låt oss inte gå långt, låt oss omedelbart överväga den omvända funktionen. Vilken funktion är inversen av exponentialfunktionen? Logaritm:

I vårt fall är basen numret:

En sådan logaritm (det vill säga en logaritm med en bas) kallas "naturlig", och vi använder en speciell notation för den: vi skriver istället.

Vad är det lika med? Naturligtvis.

Derivatan av den naturliga logaritmen är också mycket enkel:

Exempel:

1. Hitta derivatan av funktionen.
2. Vad är derivatan av funktionen?

Svar: Den exponentiella och naturliga logaritmen är unikt enkla funktioner ur ett derivatperspektiv. Exponentiella och logaritmiska funktioner med någon annan bas kommer att ha en annan derivata, som vi kommer att analysera senare, efter att vi har gått igenom reglerna för differentiering.

Regler för differentiering

Regler för vad? Återigen en ny mandatperiod, igen?!...

Differentieringär processen att hitta derivatan.

Det var allt. Vad mer kan man kalla denna process med ett ord? Inte derivativ... Matematiker kallar differentialen för samma inkrement av en funktion vid. Denna term kommer från latinets differentia - skillnad. Här.

När vi härleder alla dessa regler kommer vi att använda två funktioner, till exempel och. Vi kommer också att behöva formler för deras inkrement:

Det finns 5 regler totalt.

Konstanten tas ur derivattecknet.

Om - något konstant tal (konstant), då.

Uppenbarligen fungerar denna regel också för skillnaden: .

Låt oss bevisa det. Låt det vara, eller enklare.

Exempel.

Hitta funktionernas derivator:

1. vid en punkt;
2. vid en punkt;
3. vid en punkt;
4. vid punkten.

Lösningar:

1. (derivatan är densamma på alla punkter, eftersom detta linjär funktion, minns du?);

Derivat av produkten

Allt är liknande här: låt oss introducera en ny funktion och hitta dess ökning:

Derivat:

Exempel:

1. Hitta derivatorna av funktionerna och;
2. Hitta derivatan av funktionen vid en punkt.

Lösningar:

Derivat av en exponentiell funktion

Nu räcker dina kunskaper för att lära dig hur man hittar derivatan av valfri exponentialfunktion, och inte bara exponenter (har du glömt vad det är ännu?).

Så, var är någon siffra.

Vi känner redan till derivatan av funktionen, så låt oss försöka ta vår funktion till en ny bas:

För detta kommer vi att använda enkel regel: . Sedan:

Tja, det fungerade. Försök nu att hitta derivatan, och glöm inte att denna funktion är komplex.

Fungerade det?

Här, kolla själv:

Formeln visade sig vara mycket lik derivatan av en exponent: som den var förblir den densamma, bara en faktor dök upp, som bara är ett tal, men inte en variabel.

Exempel:
Hitta funktionernas derivator:

Svar:

Det här är bara ett tal som inte kan beräknas utan en miniräknare, det vill säga det går inte att skriva ner längre i enkel form. Därför lämnar vi det i denna form i svaret.

Observera att här är kvoten av två funktioner, så vi tillämpar motsvarande differentieringsregel:

I det här exemplet är produkten av två funktioner:

Derivat av en logaritmisk funktion

Det är liknande här: du känner redan till derivatan av den naturliga logaritmen:

Därför, för att hitta en godtycklig logaritm med en annan bas, till exempel:

Vi måste reducera denna logaritm till basen. Hur ändrar man basen för en logaritm? Jag hoppas att du kommer ihåg denna formel:

Först nu skriver vi istället:

Nämnaren är helt enkelt en konstant (ett konstant tal, utan en variabel). Derivaten erhålls mycket enkelt:

Derivater av exponentiella och logaritmiska funktioner finns nästan aldrig i Unified State Exam, men det kommer inte att vara överflödigt att känna till dem.

Derivat av en komplex funktion.

Vad är en "komplex funktion"? Nej, detta är inte en logaritm och inte en arctangens. Dessa funktioner kan vara svåra att förstå (även om du tycker att logaritmen är svår, läs ämnet "Logaritmer" så kommer du att klara det), men ur en matematisk synvinkel betyder ordet "komplex" inte "svårt".

Föreställ dig ett litet löpande band: två personer sitter och gör några handlingar med några föremål. Till exempel lindar den första en chokladkaka i ett omslag, och den andra binder den med ett band. Resultatet är ett sammansatt föremål: en chokladkaka inlindad och bunden med ett band. För att äta en chokladkaka måste du göra de omvända stegen i omvänd ordning.

Låt oss skapa en liknande matematisk pipeline: först kommer vi att hitta cosinus för ett tal och sedan kvadrera det resulterande talet. Så vi får en siffra (choklad), jag hittar dess cosinus (omslag), och sedan kvadrerar du det jag fick (binder det med ett band). Vad hände? Fungera. Det här är ett exempel på en komplex funktion: när vi, för att hitta dess värde, utför den första åtgärden direkt med variabeln och sedan en andra åtgärd med det som resulterade från den första.

Med andra ord, en komplex funktion är en funktion vars argument är en annan funktion: .

För vårt exempel, .

Vi kan enkelt göra samma steg i omvänd ordning: först kvadrerar du det, och jag letar sedan efter cosinus för det resulterande talet: . Det är lätt att gissa att resultatet nästan alltid blir annorlunda. Viktig funktion komplexa funktioner: när ordningen på åtgärder ändras ändras funktionen.

Andra exemplet: (samma sak). .

Den åtgärd vi gör sist kommer att kallas "extern" funktion, och åtgärden som utfördes först - i enlighet därmed "intern" funktion(detta är informella namn, jag använder dem bara för att förklara materialet på ett enkelt språk).

Försök själv avgöra vilken funktion som är extern och vilken intern:

Svar: Att separera inre och yttre funktioner är mycket likt att ändra variabler: till exempel i en funktion

1. Vilken åtgärd kommer vi att utföra först? Låt oss först beräkna sinus, och först sedan kubera den. Det betyder att det är en intern funktion, men en extern.
   Och den ursprungliga funktionen är deras sammansättning: .
2. Internt: ; extern: .
   Examination:.
3. Internt: ; extern: .
   Examination:.
4. Internt: ; extern: .
   Examination:.
5. Internt: ; extern: .
   Examination:.

Vi ändrar variabler och får en funktion.

Nåväl, nu ska vi extrahera vår chokladkaka och leta efter derivatet. Proceduren är alltid omvänd: först letar vi efter derivatan extern funktion, multiplicera sedan resultatet med derivatan av den interna funktionen. I förhållande till originalexempel det ser ut så här:

Ett annat exempel:

Så låt oss äntligen formulera den officiella regeln:

Algoritm för att hitta derivatan av en komplex funktion:

Det verkar enkelt, eller hur?

Låt oss kolla med exempel:

Lösningar:

1) Internt: ;

Extern: ;

2) Internt: ;

(försök bara inte att klippa det nu! Inget kommer ut under kosinus, minns du?)

3) Internt: ;

Extern: ;

Det är omedelbart klart att detta är en komplex funktion på tre nivåer: trots allt är detta redan en komplex funktion i sig själv, och vi extraherar också roten från den, det vill säga vi utför den tredje åtgärden (lägg chokladen i ett omslag och med ett band i portföljen). Men det finns ingen anledning att vara rädd: vi kommer fortfarande att "packa upp" den här funktionen i samma ordning som vanligt: ​​från slutet.

Det vill säga, först differentierar vi roten, sedan cosinus och först sedan uttrycket inom parentes. Och sedan multiplicerar vi allt.

I sådana fall är det bekvämt att numrera åtgärderna. Det vill säga, låt oss föreställa oss vad vi vet. I vilken ordning kommer vi att utföra åtgärder för att beräkna värdet på detta uttryck? Låt oss titta på ett exempel:

Ju senare åtgärden utförs, desto mer "extern" blir motsvarande funktion. Sekvensen av åtgärder är densamma som tidigare:

Här är häckningen i allmänhet 4-nivå. Låt oss bestämma handlingsförloppet.

1. Radikalt uttryck. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Fyrkantig. .

5. Lägg ihop allt:

DERIVAT. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

Derivata av en funktion- förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet för en oändligt liten ökning av argumentet:

Grundläggande derivat:

Regler för differentiering:

Konstanten tas ur derivattecknet:

Derivat av summan:

Derivat av produkten:

Derivat av kvoten:

Derivat av en komplex funktion:

Algoritm för att hitta derivatan av en komplex funktion:

1. Vi definierar den "interna" funktionen och hittar dess derivata.
2. Vi definierar den "externa" funktionen och hittar dess derivata.
3. Vi multiplicerar resultaten av den första och andra punkten.

Bevisa formlerna 3 och 5 själv.

GRUNDLÄGGANDE REGLER FÖR DIFFERENTIERING

Genom att använda den allmänna metoden för att hitta derivatan med hjälp av gränsen kan man få de enklaste differentieringsformlerna. Låta u=u(x),v=v(x)– två differentierbara funktioner av en variabel x.

Bevisa formlerna 1 och 2 själv.

Bevis på formel 3.

Låta y = u(x) + v(x). För argumentvärde x+Δ x vi har y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

Därför,

Bevis på formel 4.

Låta y=u(x)·v(x). Sedan y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Det är därför

Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).

Observera att eftersom var och en av funktionerna u Och v differentierbar vid punkten x, då är de kontinuerliga vid denna punkt, vilket betyder u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), vid Δ x→0.

Därför kan vi skriva

Baserat på denna egenskap kan man få en regel för att differentiera produkten av valfritt antal funktioner.

Låt t.ex. y=u·v·w. Sedan,

y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v"·w+ v·w ") = u "· v·w + u· v"·w+ u·v·w".

Bevis på formel 5.

Låta . Sedan

I beviset använde vi det faktum att v(x+Δ x)→v(x) vid Δ x→0.

Exempel.

SAT OM DERIVATET AV KOMPLEX FUNKTION

Låta y = f(u), A u= u(x). Vi får funktionen y beroende på argumentet x: y = f(u(x)). Den sista funktionen kallas en funktion av en funktion eller komplex funktion.

Funktionsdefinitionsdomän y = f(u(x))är antingen hela definitionsdomänen för funktionen u=u(x) eller den del där värdena bestäms u, lämnar inte definitionsdomänen för funktionen y= f(u).

Operationen "funktion från funktion" kan utföras inte bara en gång utan hur många gånger som helst.

Låt oss fastställa en regel för att differentiera en komplex funktion.

Sats. Om funktionen u= u(x) har någon gång x 0 derivat och får värdet vid denna tidpunkt u 0 = u(x 0), och funktionen y=f(u) har vid punkt u 0 derivat y"u = f "(u 0), sedan en komplex funktion y = f(u(x)) vid den angivna punkten x 0 har också en derivata, som är lika med y" x = f "(u 0)· u "(x 0), var istället för u uttrycket måste ersättas u= u(x).

Således är derivatan av en komplex funktion lika med produkten av derivatan av en given funktion med avseende på mellanargumentet u till derivatan av mellanargumentet med avseende på x.

Bevis. För ett fast värde X 0 kommer vi att ha u 0 =u(x 0), på 0 =f(u 0 ). För ett nytt argumentvärde x 0+Δ x:

Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).

Därför att u– differentierbar vid en punkt x 0, Det u– är kontinuerlig vid denna tidpunkt. Därför, vid Δ x→0 Δ u→0. På samma sätt för Δ u→0 Δ y→0.

Efter tillstånd . Från denna relation, med hjälp av definitionen av gränsen, får vi (vid Δ u→0)

där α→0 vid Δ u→0, och följaktligen vid Δ x→0.

Låt oss skriva om denna jämställdhet som:

Δ y=y"uΔ u+α·Δ u.

Den resulterande likheten gäller även för Δ u=0 för godtycklig α, eftersom den blir till identiteten 0=0. Vid Δ u=0 vi antar α=0. Låt oss dividera alla termer av den resulterande likheten med Δ x

.

Efter tillstånd . Därför passerar till gränsen vid Δ x→0, vi får y" x = y"u·u" x. Teoremet har bevisats.

Alltså för att skilja komplex funktion y = f(u(x)), du måste ta derivatan av den "externa" funktionen f, behandlar dess argument helt enkelt som en variabel, och multiplicera med derivatan av den "interna" funktionen med avseende på den oberoende variabeln.

Om funktionen y=f(x) kan representeras i formen y=f(u), u=u(v), v=v(x), att sedan hitta derivatan y " x utförs genom sekventiell tillämpning av föregående sats.

Enligt den beprövade regeln har vi y" x = y"u u"x. Att tillämpa samma sats för u"x vi får, dvs.

y" x = y"x u"v v" x = f"u( u)· u" v ( v)· v" x ( x).

Exempel.

KONCEPTET EN INVERS FUNKTION

Låt oss börja med ett exempel. Tänk på funktionen y= x 3. Vi kommer att överväga jämställdheten y= x 3 som en ekvationsrelativ x. Detta är ekvationen för varje värde på definierar ett enda värde x: . Geometriskt betyder detta att varje rät linje är parallell med axeln Oxe skär grafen för en funktion y= x 3 bara vid ett tillfälle. Därför kan vi överväga x som en funktion av y. En funktion kallas inversen av en funktion y= x 3.

Innan vi går vidare till det allmänna fallet introducerar vi definitioner.

Fungera y = f(x) kallad ökande på ett visst segment, om det större värdet av argumentet x från detta segment motsvarar högre värde funktioner, dvs. Om x 2 >x 1, då f(x 2 ) > f(x 1 ).

Funktionen kallas på liknande sätt minskar, om ett mindre värde på argumentet motsvarar ett större värde på funktionen, dvs. Om X 2 < X 1, då f(x 2 ) > f(x 1 ).

Så låt oss ges en ökande eller minskande funktion y=f(x), definierad på något intervall [ a; b]. För visshetens skull kommer vi att överväga en ökande funktion (för en minskande är allt liknande).

Tänk på två olika värden X 1 och X 2. Låta y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Av definitionen av en ökande funktion följer att if x 1 <x 2, då på 1 <på 2. Därför två olika värden X 1 och X 2 motsvarar två olika funktionsvärden på 1 och på 2. Det motsatta är också sant, d.v.s. Om på 1 <på 2, så följer av definitionen av en ökande funktion att x 1 <x 2. Dessa. återigen två olika värden på 1 och på 2 motsvarar två olika värden x 1 och x 2. Alltså mellan värdena x och deras motsvarande värden y upprättas en en-till-en-korrespondens, d.v.s. ekvation y=f(x) för alla y(tagen från funktionens omfång y=f(x)) definierar ett enda värde x, och det kan vi säga x det finns någon argumentfunktion y: x= g(y).

Denna funktion kallas motsatt för funktion y=f(x). Uppenbarligen funktionen y=f(x)är inversen av funktionen x=g(y).

Observera att den omvända funktionen x=g(y) hittas genom att lösa ekvationen y=f(x) relativt X.

Exempel. Låt funktionen ges y= e x . Denna funktion ökar vid –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= logg y. Domän för invers funktion 0< y < + ∞.

Låt oss göra några kommentarer.

Anmärkning 1. Om en ökande (eller minskande) funktion y=f(x)är kontinuerlig på intervallet [ a; b], och f(a)=c, f(b)=d, då är den inversa funktionen definierad och kontinuerlig på intervallet [ c; d].

Anmärkning 2. Om funktionen y=f(x) varken ökar eller minskar på ett visst intervall, då kan det ha flera inversa funktioner.

Exempel. Fungera y=x2 definieras vid –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 funktion – minskar och dess invers.

Anmärkning 3. Om funktionerna y=f(x) Och x=g(y)är ömsesidigt inversa, då uttrycker de samma förhållande mellan variabler x Och y. Därför är grafen för båda samma kurva. Men om vi betecknar argumentet för den inversa funktionen igen med x, och funktionen genom y och plotta dem i samma koordinatsystem får vi två olika grafer. Det är lätt att märka att graferna kommer att vara symmetriska med avseende på halveringslinjen för den första koordinatvinkeln.

SAT OM DERIVATENS INVERSA FUNKTION

Låt oss bevisa ett teorem som gör att vi kan hitta derivatan av funktionen y=f(x), att känna till derivatan av den inversa funktionen.

Sats. Om för funktionen y=f(x) det finns en omvänd funktion x=g(y), som någon gång på 0 har en derivata g "(v 0), icke noll, sedan vid motsvarande punkt x 0=g(x 0) funktion y=f(x) har en derivata f "(x 0), lika med , dvs. formeln är korrekt.

Bevis. Därför att x=g(y) differentierbar vid punkten y 0, Det x=g(y)är kontinuerlig vid denna punkt, så funktionen y=f(x) kontinuerlig vid en punkt x 0=g(y 0). Därför, vid Δ x→0 Δ y→0.

Låt oss visa det .

Låt . Sedan, av gränsens egendom . Låt oss i denna likhet passera till gränsen vid Δ y→0. Sedan Δ x→0 och a(Ax)→0, dvs. .

Därför,

,

Q.E.D.

Denna formel kan skrivas i formen .

Låt oss titta på tillämpningen av denna sats med hjälp av exempel.

När vi härleder den allra första formeln i tabellen kommer vi att utgå från definitionen av derivatfunktionen vid en punkt. Låt oss ta vart x– vilket reellt tal som helst, det vill säga x– valfritt tal från definitionsdomänen för funktionen. Låt oss skriva ner gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet vid:

Det bör noteras att under gränstecknet erhålls uttrycket, vilket inte är osäkerheten noll dividerat med noll, eftersom täljaren inte innehåller ett oändligt litet värde, utan exakt noll. Med andra ord är ökningen av en konstant funktion alltid noll.

Således, derivata av en konstant funktionär lika med noll i hela definitionsdomänen.

Derivat av en potensfunktion.

Formeln för derivatan av en potensfunktion har formen , där exponenten sid– valfritt reellt tal.

Låt oss först bevisa formeln för den naturliga exponenten, det vill säga för p = 1, 2, 3, …

Vi kommer att använda definitionen av derivat. Låt oss skriva ner gränsen för förhållandet mellan ökningen av en potensfunktion och ökningen av argumentet:

För att förenkla uttrycket i täljaren vänder vi oss till Newtons binomialformel:

Därför,

Detta bevisar formeln för derivatan av en potensfunktion för en naturlig exponent.

Derivat av en exponentiell funktion.

Vi presenterar härledningen av derivatformeln baserat på definitionen:

Vi har kommit till osäkerhet. För att utöka den introducerar vi en ny variabel, och vid . Sedan . I den senaste övergången använde vi formeln för övergång till en ny logaritmisk bas.

Låt oss ersätta den ursprungliga gränsen:

Om vi ​​minns den andra anmärkningsvärda gränsen kommer vi fram till formeln för derivatan av exponentialfunktionen:

Derivata av en logaritmisk funktion.

Låt oss bevisa formeln för derivatan av en logaritmisk funktion för alla x från definitionsdomänen och alla giltiga värden för basen a logaritm Per definition av derivata har vi:

Som du märkte utfördes transformationerna under bevisningen med hjälp av logaritmens egenskaper. Jämställdhet är sant på grund av den andra anmärkningsvärda gränsen.

Derivater av trigonometriska funktioner.

För att härleda formler för derivator av trigonometriska funktioner måste vi komma ihåg några trigonometriformler, såväl som den första anmärkningsvärda gränsen.

Per definition av derivatan för sinusfunktionen har vi .

Låt oss använda formeln för skillnaden mellan sinus:

Det återstår att vända sig till den första anmärkningsvärda gränsen:

Alltså derivatan av funktionen synd x Det finns för x.

Formeln för derivatet av cosinus bevisas på exakt samma sätt.

Därför derivatan av funktionen för x Det finns –synd x.

Vi kommer att härleda formler för tabellen med derivator för tangent och cotangens med hjälp av beprövade regler för differentiering (derivata av en bråkdel).

Derivat av hyperboliska funktioner.

Differentieringsreglerna och formeln för derivatan av exponentialfunktionen från tabellen med derivator gör att vi kan härleda formler för derivatorna av hyperbolisk sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Derivat av den inversa funktionen.

För att undvika förvirring under presentationen, låt oss beteckna argumentet för funktionen som differentiering utförs med, det vill säga det är derivatan av funktionen f(x) Av x.

Låt oss nu formulera regel för att hitta derivatan av en invers funktion.

Låt funktionerna y = f(x) Och x = g(y)ömsesidigt invers, definierad på intervallen resp. Om det vid en punkt finns en finit icke-nollderivata av funktionen f(x), då finns det vid punkten en finit derivata av den inversa funktionen g(y), och . I ett annat inlägg .

Denna regel kan omformuleras för alla x från intervallet , då får vi .

Låt oss kontrollera giltigheten av dessa formler.

Låt oss hitta den inversa funktionen för den naturliga logaritmen (Här yär en funktion, och x- argument). Efter att ha löst denna ekvation för x, vi får (här xär en funktion, och y– hennes argument). Som är, och ömsesidigt omvända funktioner.

Från tabellen över derivat ser vi det Och .

Låt oss se till att formlerna för att hitta derivatorna av den inversa funktionen leder oss till samma resultat:

Som du kan se fick vi samma resultat som i derivattabellen.

Nu har vi kunskapen att bevisa formler för derivator av inversa trigonometriska funktioner.

Låt oss börja med derivatan av arcsine.

. Sedan, med hjälp av formeln för derivatan av den inversa funktionen, får vi

Allt som återstår är att genomföra omvandlingarna.

Eftersom bågområdet är intervallet , Det (se avsnittet om grundläggande elementära funktioner, deras egenskaper och grafer). Därför överväger vi det inte.

Därför, . Definitionsdomänen för arcsinderivatet är intervallet (-1; 1) .

För bågkosinus görs allt på exakt samma sätt:

Låt oss hitta derivatan av arctangensen.

För den omvända funktionen är .

Låt oss uttrycka arctangensen i termer av arccosine för att förenkla det resulterande uttrycket.

Låta arctgx = z, Då

Därför,

Derivatet av bågcotangensen finns på liknande sätt:

Beräkning av derivatan finns ofta i Unified State Examination-uppgifter. Den här sidan innehåller en lista med formler för att hitta derivator.

Regler för differentiering

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivat av en komplex funktion. Om y=F(u), och u=u(x), så kallas funktionen y=f(x)=F(u(x)) en komplex funktion av x. Lika med y′(x)=Fu⋅ ux′.
5. Derivat av en implicit funktion. Funktionen y=f(x) kallas en implicit funktion definierad av relationen F(x,y)=0 om F(x,f(x))≡0.
6. Derivat av den inversa funktionen. Om g(f(x))=x, så kallas funktionen g(x) den inversa funktionen av funktionen y=f(x).
7. Derivat av en parametriskt definierad funktion. Låt x och y anges som funktioner av variabeln t: x=x(t), y=y(t). De säger att y=y(x) är en parametriskt definierad funktion på intervallet x∈ (a;b), om på detta intervall kan ekvationen x=x(t) uttryckas som t=t(x) och funktionen y=y(t(x))=y(x).
8. Derivat av en potensexponentiell funktion. Hittas genom att ta logaritmer till basen av den naturliga logaritmen.

Vi rekommenderar dig att spara länken, eftersom den här tabellen kan behövas många gånger.

Vi presenterar en sammanfattningstabell för bekvämlighet och tydlighet när vi studerar ämnet.

Konstanty = C Effektfunktion y = x p (x p) " = p x p - 1	Exponentiell funktiony = ax (a x) " = a x ln a I synnerhet nära = evi har y = e x (e x) " = e x
Logaritmisk funktion (log a x) " = 1 x ln a I synnerhet nära = evi har y = logx (ln x) " = 1 x	Trigonometriska funktioner (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Omvända trigonometriska funktioner (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hyperboliska funktioner (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Låt oss analysera hur formlerna i den angivna tabellen erhölls eller, med andra ord, vi kommer att bevisa härledningen av derivatformler för varje typ av funktion.

Derivat av en konstant

Bevis 1

För att härleda denna formel tar vi som grund definitionen av derivatan av en funktion i en punkt. Vi använder x 0 = x, där x tar värdet av ett reellt tal, eller med andra ord, xär ett valfritt tal från domänen för funktionen f (x) = C. Låt oss skriva ner gränsen för förhållandet mellan ökningen av en funktion och ökningen av argumentet som ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Observera att uttrycket 0 ∆ x faller under gränstecknet. Det är inte osäkerheten "noll delat med noll", eftersom täljaren inte innehåller ett oändligt litet värde, utan exakt noll. Med andra ord är ökningen av en konstant funktion alltid noll.

Så derivatan av konstantfunktionen f (x) = C är lika med noll i hela definitionsdomänen.

Exempel 1

De konstanta funktionerna ges:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Lösning

Låt oss beskriva de givna förutsättningarna. I den första funktionen ser vi derivatan av det naturliga talet 3. I följande exempel måste du ta derivatan av A, Var A- vilket verkligt tal som helst. Det tredje exemplet ger oss derivatan av det irrationella talet 4. 13 7 22, den fjärde är derivatan av noll (noll är ett heltal). Slutligen, i det femte fallet har vi derivatan av den rationella fraktionen - 8 7.

Svar: derivat specificerade funktionerär noll för någon riktig x(över hela definitionsområdet)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivat av en potensfunktion

Låt oss gå vidare till potensfunktionen och formeln för dess derivata, som har formen: (x p) " = p x p - 1, där exponenten sidär vilket reellt tal som helst.

Bevis 2

Här är beviset för formeln när exponenten är ett naturligt tal: p = 1, 2, 3, …

Vi förlitar oss återigen på definitionen av ett derivat. Låt oss skriva ner gränsen för förhållandet mellan ökningen av en potensfunktion och ökningen av argumentet:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

För att förenkla uttrycket i täljaren använder vi Newtons binomialformel:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2+. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Således:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 + 0 = p (p - 1) !

Således har vi bevisat formeln för derivatan av en potensfunktion när exponenten är ett naturligt tal.

Bevis 3

Att tillhandahålla bevis för fallet när p- vilket reellt tal som helst än noll använder vi den logaritmiska derivatan (här bör vi förstå skillnaden från derivatan logaritmisk funktion). För att få en mer fullständig förståelse är det lämpligt att studera derivatan av en logaritmisk funktion och ytterligare förstå derivatan av en implicit funktion och derivatan av en komplex funktion.

Låt oss överväga två fall: när x positivt och när x negativ.

Alltså x > 0. Sedan: x p > 0 . Låt oss logaritma likheten y = x p till basen e och tillämpa egenskapen för logaritmen:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

I detta skede har vi erhållit en implicit specificerad funktion. Låt oss definiera dess derivata:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Nu överväger vi fallet när x – negativt tal.

Om indikatorn sidär ett jämnt tal, definieras potensfunktionen för x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Sedan x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Om sidär ett udda tal, då definieras potensfunktionen för x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Den sista övergången är möjlig på grund av att om sidär alltså ett udda tal p - 1 antingen ett jämnt tal eller noll (för p = 1), alltså för negativt x likheten (- x) p - 1 = x p - 1 är sann.

Så vi har bevisat formeln för derivatan av en potensfunktion för vilket verkligt p som helst.

Exempel 2

Angivna funktioner:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Bestäm deras derivat.

Lösning

Vi omvandlar några av de givna funktionerna till tabellform y = x p , baserat på gradens egenskaper, och använder sedan formeln:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - stock 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivat av en exponentiell funktion

Bevis 4

Låt oss härleda derivatformeln med definitionen som grund:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Vi fick osäkerhet. För att utöka den, låt oss skriva en ny variabel z = a ∆ x - 1 (z → 0 som ∆ x → 0). I detta fall är a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . För den senaste övergången användes formeln för övergång till en ny logaritmbas.

Låt oss ersätta den ursprungliga gränsen:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Låt oss komma ihåg den andra anmärkningsvärda gränsen och sedan får vi formeln för derivatan av exponentialfunktionen:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Exempel 3

Exponentialfunktionerna ges:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Det är nödvändigt att hitta deras derivat.

Lösning

Vi använder formeln för derivatan av exponentialfunktionen och egenskaperna hos logaritmen:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivat av en logaritmisk funktion

Bevis 5

Låt oss ge ett bevis på formeln för derivatan av en logaritmisk funktion för någon x i definitionsdomänen och eventuella tillåtna värden på basen a för logaritmen. Baserat på definitionen av derivata får vi:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Från den angivna kedjan av likheter är det tydligt att transformationerna var baserade på egenskapen hos logaritmen. Likhetsgränsen ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e är sann i enlighet med den andra anmärkningsvärda gränsen.

Exempel 4

Logaritmiska funktioner ges:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Det är nödvändigt att beräkna deras derivat.

Lösning

Låt oss tillämpa den härledda formeln:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Så derivatan av den naturliga logaritmen är en dividerad med x.

Derivater av trigonometriska funktioner

Bevis 6

Låt oss använda några trigonometriska formler och den första underbara gränsen för att härleda formeln för derivatan av en trigonometrisk funktion.

Enligt definitionen av derivatan av sinusfunktionen får vi:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formeln för skillnaden mellan sinus gör att vi kan utföra följande åtgärder:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Slutligen använder vi den första underbara gränsen:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Så, derivatan av funktionen synd x vilja för x.

Vi kommer också att bevisa formeln för derivatan av cosinus:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Dessa. derivat cos funktioner x kommer att vara – synd x.

Vi härleder formlerna för derivatorna av tangent och cotangens baserat på reglerna för differentiering:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivater av inversa trigonometriska funktioner

Avsnittet om derivatan av inversa funktioner ger omfattande information om beviset för formlerna för derivatorna av arcsine, arccosine, arctangens och arccotangent, så vi kommer inte att duplicera materialet här.

Derivat av hyperboliska funktioner

Bevis 7

Vi kan härleda formlerna för derivatorna av hyperbolisk sinus, cosinus, tangent och cotangens med hjälp av differentieringsregeln och formeln för derivatan av exponentialfunktionen:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter