Bevis på formeln .

=

= =

eftersom sinus och cosinus inte är beroende av att addera en vinkel som är en multipel av

Och denna jämlikhet är redan uppenbar, eftersom detta är den trigonometriska formen komplext tal.

Således finns logaritmen för alla punkter i planet utom noll. För ett verkligt positivt tal är argumentet 0, så denna oändliga uppsättning punkter har formen , det vill säga ett av värdena, nämligen vid , kommer att falla på den verkliga axeln. Om vi ​​beräknar logaritmen för ett negativt tal får vi , det vill säga att uppsättningen av punkter förskjuts uppåt och ingen av dem faller på den reella axeln.

Det är tydligt från formeln att endast när argumentet för det ursprungliga talet är noll, faller ett av logaritmvärdena på den reella axeln. Och detta motsvarar den högra halvaxeln, och det är därför som i skolans matematikkurs endast logaritmer av positiva tal beaktades. Logaritmer av negativa och imaginära tal finns också, men de har inte ett enda värde på den reella axeln.

Följande ritning visar var alla värden för logaritmen för ett positivt tal finns i planet. En av dem är på den verkliga axeln, resten är över och under på , , och så vidare. För ett negativt eller komplext tal är argumentet icke-noll, så denna sekvens av punkter förskjuts vertikalt, vilket resulterar i inga punkter på den reella axeln.

Exempel. Kalkylera.

Lösning. Låt oss definiera modulen för talet (lika med 2) och argumentet 180 0, det vill säga. Sedan = .

Bilaga 1. Frågor för bevis (för biljetter).

Föreläsning nr 1

1. Bevisa formeln för integration med delar.

Föreläsning nr 2

1. Bevisa att ersättningen , där r = LCM (r 1 ,...,r k) reducerar integralen till integralen av en rationell bråkdel.

2. Bevisa att ersättningen minskar formens integral till integralen av en rationell bråkdel.

3. Härled formler för omvandling av sinus och cosinus

För universell trigonometrisk substitution.

4. Bevisa att i fallet när funktionen är udda med avseende på cosinus, reducerar ersättningen integralen till en rationell bråkdel.

5. Bevisa att i fallet när

substitution: reducerar integralen till en rationell bråkdel.

6. Bevisa det för en integral av formen

7. Bevisa formeln

8. Bevisa det för en integral av formen ersättningen producerar en integral till en rationell bråkdel.

9. Bevisa det för en integral av formen ersättningen reducerar integralen till en rationell bråkdel.

Föreläsning nr 3

1. Bevisa att funktionen är en antiderivata av funktionen .

2. Bevisa Newton-Leibniz formel: .

3. Bevisa formeln för längden på en explicit given kurva:

.

4. Bevisa formeln för längden på en kurva i polära koordinater

Föreläsning nr 4

Bevisa satsen: konvergerar, konvergerar.

Föreläsning nr 5

1. Härled (bevisa) formeln för arean av en explicit given yta .

2. Härledning av formler för övergången till polära koordinater.

3. Härledning av den jakobianska determinanten av polära koordinater.

4. Härledning av formler för övergången till cylindriska koordinater.

5. Härledning av den jakobianska determinanten av cylindriska koordinater.

6. Härledning av formler för övergången till sfäriska koordinater:

.

Föreläsning nr 6

1. Bevisa att substitutionen reducerar en homogen ekvation till en ekvation med separerbara variabler.

2. Dra tillbaka allmän syn linjär lösning homogen ekvation.

3. Härled den allmänna formen av lösningen till en linjär inhomogen ekvation med Lagrangemetoden.

4. Bevisa att substitutionen reducerar Bernoullis ekvation till en linjär ekvation.

Föreläsning nr 7.

1. Bevisa att ersättningen minskar ekvationens ordning med k.

2. Bevisa att ersättningen minskar ekvationens ordning med ett .

3. Bevisa satsen: Funktionen är en lösning på en linjär homogen differentialekvation och har en karakteristisk rot.

4. Bevisa satsen att en linjär kombination av lösningar till en linjär homogen diff. ekvationen är också dess lösning.

5. Bevisa satsen om påläggning av lösningar: Om är en lösning till en linjär inhomogen differentialekvation med höger sida, och är en lösning till samma differentialekvation, men med höger sida, så är summan en lösning på ekvationen med höger sida.

Föreläsning nr 8.

1. Bevisa satsen att funktionssystemet är linjärt beroende.

2. Bevisa satsen att det finns n linjärt oberoende lösningar till en linjär homogen differentialekvation av ordningen n.

3. Bevisa att om 0 är roten till multipliciteten , så har det system av lösningar som motsvarar denna rot formen .

Föreläsning nr 9.

1. Bevisa med exponentiell form att när du multiplicerar komplexa tal multipliceras modulerna och argumenten adderas.

2. Bevisa Moivres formel för grad n

3. Bevisa formeln för roten av ett komplext tal av ordningen n

4. Bevisa det Och

är generaliseringar av sinus och cosinus, dvs. för reella tal kommer dessa formler att ge sinus (cosinus).

5. Bevisa formeln för logaritmen för ett komplext tal:

Bilaga 2.

Mindre och muntliga frågor om teorikunskaper (för kollokvier).

Föreläsning nr 1

1. Vad är antiderivat och obestämda integraler, hur skiljer de sig åt?

2. Förklara varför det också är ett antiderivat.

3. Skriv formeln för integration efter delar.

4. Vilken ersättning krävs i formintegralen och hur eliminerar den rötter?

5. Skriv ner typen av nedbrytning av integranden av en rationell bråkdel till de enklaste i fallet när alla rötter är olika och verkliga.

6. Skriv ner typen av nedbrytning av integranden av en rationell bråkdel till de enklaste i fallet när alla rötter är reella och det finns en multipelrot av multiplicitet k.

Föreläsning nr 2.

1. Skriv vad som är sönderdelningen av ett rationellt bråk till de enklaste i fallet när nämnaren har en faktor på 2 grader med en negativ diskriminant.

2. Vilken substitution reducerar integralen till en rationell bråkdel?

3. Vad är universella trigonometriska substitutioner?

4. Vilka ersättningar görs i de fall funktionen under integraltecknet är udda med avseende på sinus (cosinus)?

5. Vilka ersättningar görs om integranden innehåller uttrycken , eller .

Föreläsning nr 3.

1. Definition av en bestämd integral.

2. Lista några av de grundläggande egenskaperna hos den bestämda integralen.

3. Skriv Newton-Leibniz formel.

4. Skriv formeln för volymen av en rotationskropp.

5. Skriv en formel för längden på en explicit given kurva.

6. Skriv formeln för längden på en parametriskt definierad kurva.

Föreläsning nr 4.

1. Definition av en felaktig integral (med en gräns).

2. Vad är skillnaden mellan felaktiga integraler av 1:a och 2:a slaget.

3. Bly enkla exempel konvergenta integraler av 1:a och 2:a slaget.

4. Vid vilka värden konvergerar integralerna (T1)?

5. Hur är konvergens relaterad till den ändliga gränsen för antiderivatan (T2)

6. Vad är nödvändigt tecken konvergens, dess formulering.

7. Jämförelsetest i slutlig form

8. Tecken på jämförelse i extrem form.

9. Definition av multipelintegral.

Föreläsning nr 5.

1. Ändra integrationsordningen, visa med ett enkelt exempel.

2. Skriv formeln för ytarea.

3. Vad är polära koordinater, skriv övergångsformlerna.

4. Vad är det polära koordinatsystemets Jacobian?

5. Vad är cylindriska och sfäriska koordinater, vad är deras skillnad.

6. Vad är Jacobian av cylindriska (sfäriska) koordinater?

Föreläsning nr 6.

1. Vad är en 1:a ordningens differentialekvation (allmän syn).

2. Vad är en 1:a ordningens differentialekvation löst med avseende på derivatan. Ge något exempel.

3. Vad är en ekvation med separerbara variabler.

4. Vad är en allmän, speciell lösning, Cauchy-förhållanden.

5. Vad är en homogen ekvation, vad är den allmänna metoden för att lösa den.

6. Vad är linjär ekvation, vad är algoritmen för att lösa det, vad är Lagrange-metoden.

7. Vad är Bernoullis ekvation, en algoritm för att lösa den.

Föreläsning nr 7.

1. Vilken ersättning som krävs för en ekvation av formen .

2. Vilken ersättning som behövs för en formekvation .

3. Visa med exempel hur det kan uttryckas i formen .

4. Vad är en linjär differentialekvation av ordning n.

5. Vad är ett karakteristiskt polynom, karakteristisk ekvation.

6. Formulera ett sats om vid vilken r funktionen är en lösning på en linjär homogen differentialekvation.

7. Formulera ett teorem att en linjär kombination av lösningar till en linjär homogen ekvation också är dess lösning.

8. Formulera satsen om påtvingande av lösningar och dess konsekvenser.

9. Vad är linjärt beroende och linjärt oberoende funktionssystem, ge några exempel.

10. Vad är Wronski-determinanten för ett system med n funktioner, ge ett exempel på Wronski-determinanten för LZS- och LNS-system.

Föreläsning nr 8.

1. Vilken egenskap har Wronski-determinanten om systemfunktionen är linjärt beroende.

2. Hur många linjärt oberoende lösningar finns det till en linjär homogen differentialekvation av ordningen n.

3. Bestämning av FSR (fundamental system of solutions) för en linjär homogen ekvation av ordning n.

4. Hur många funktioner innehåller FSR?

5. Skriv ner formen för ekvationssystemet för att hitta med Lagrangemetoden för n=2.

6. Skriv ner vilken typ av privat lösning i fallet när

7. Vad är linjärt system differentialekvationer, skriv något exempel.

8. Vad är autonoma systemet differentialekvationer.

9. Fysisk mening system av differentialekvationer.

10. Skriv ner vilka funktioner ekvationssystemets FSR består av, om egenvärdena och egenvektorerna för huvudmatrisen i detta system är kända.

Föreläsning nr 9.

1. Vad är en tänkt enhet.

2. Vad är ett konjugerat tal och vad händer när du multiplicerar det med det ursprungliga talet.

3. Vad är den trigonometriska, exponentiella formen av ett komplext tal.

4. Skriv Eulers formel.

5. Vad är modulen, argumentet för ett komplext tal.

6. vad händer med moduler och argument under multiplikation (division).

7. Skriv Moivres formel för grad n.

8. Skriv formeln för en ordningsrot n.

9. Skriv generaliserade sinus- och cosinusformler för ett komplext argument.

10. Skriv formeln för logaritmen för ett komplext tal.

Bilaga 3. Problem från föreläsningar.

Föreläsning nr 1

Exempel. . Exempel. .

Exempel. . Exempel. .

Exempel. Exempel. .

Exempel. . Exempel. .

Föreläsning nr 2

Exempel. . Exempel. .

Exempel. . Exempel. .

Exempel. . Exempel.. , var, nummer .

Exempel. Dela exponentiellt.

Exempel. Hitta med hjälp av Moivres formel.

Exempel. Hitta alla värden för roten.

De grundläggande egenskaperna för logaritmen, logaritmgraf, definitionsdomän, värdeuppsättning, grundläggande formler, ökande och minskande anges. Att hitta derivatan av en logaritm övervägs. Samt integral, potensserieexpansion och representation med hjälp av komplexa tal.

Innehåll

Domän, uppsättning värden, ökande, minskande

Logaritm är monoton funktion, därför har den inga extrema. De huvudsakliga egenskaperna för logaritmen presenteras i tabellen.

Definitionsdomän	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Värdeintervall	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	monotont ökar	monotont minskar
Nollor, y = 0	x = 1	x = 1
Skär punkter med ordinataaxeln, x = 0	Inga	Inga
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privata värderingar

Logaritmen till bas 10 kallas decimallogaritm och betecknas enligt följande:

Logaritm till bas e kallad naturlig logaritm:

Grundformler för logaritmer

Egenskaper för logaritmen som härrör från definitionen av den inversa funktionen:

Den huvudsakliga egenskapen hos logaritmer och dess konsekvenser

Formel för basersättning

Logaritm är den matematiska operationen att ta en logaritm. När man tar logaritmer omvandlas produkter av faktorer till summor av termer.
Potentiering är den matematiska operationen invers till logaritm. Under potentiering höjs en given bas till den uttrycksgrad över vilken potentiering utförs. I detta fall omvandlas termernas summor till produkter av faktorer.

Bevis på grundläggande formler för logaritmer

Formler relaterade till logaritmer följer av formler för exponentialfunktioner och från definitionen av en invers funktion.

Betrakta egenskapen för exponentialfunktionen
.
Sedan
.
Låt oss tillämpa egenskapen för exponentialfunktionen
:
.

Låt oss bevisa basersättningsformeln.
;
.
Om vi ​​antar att c = b har vi:

Omvänd funktion

Inversen av en logaritm till basen a är en exponentialfunktion med exponent a.

Om, då

Om, då

Derivat av logaritm

Derivata av logaritmen av modul x:
.
Derivata av n:e ordningen:
.
Härleda formler > > >

För att hitta derivatan av en logaritm måste den reduceras till basen e.
;
.

Väsentlig

Integralen av logaritmen beräknas genom att integrera med delar: .
Så,

Uttryck som använder komplexa tal

Tänk på den komplexa talfunktionen z:
.
Låt oss uttrycka ett komplext tal z via modul r och argument φ :
.
Sedan, med hjälp av egenskaperna hos logaritmen, har vi:
.
Eller

Men argumentet φ inte unikt definierad. Om du sätter
, där n är ett heltal,
då blir det samma nummer för olika n.

Därför är logaritmen, som en funktion av en komplex variabel, inte en funktion med ett värde.

Power serie expansion

När utbyggnaden sker:

Använd litteratur:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter, "Lan", 2009.

Se även:

Naturliga logaritmer

För derivatan av den naturliga logaritmen är en enkel formel giltig:

Av denna anledning används naturliga logaritmer främst inom matematisk forskning. De dyker ofta upp när man löser differentialekvationer ekvationer, studie av statistiska beroenden (till exempel distributioner av enkla siffror) osv.

När jämställdheten är sann

Denna serie konvergerar snabbare, och dessutom kan den vänstra sidan av formeln nu uttrycka logaritmen för ett positivt tal.

Samband med decimallogaritmen: .

Decimallogaritmer

Ris. 2. Logaritmisk skala

Logaritmer till bas 10 (symbol: lg a) före uppfinningen miniräknare används ofta för datoranvändning. Ojämn skala Decimallogaritmer ritas vanligtvis på glidregler. En liknande skala används ofta inom olika vetenskapsområden, till exempel:

Fysik- ljudintensitet ( decibel).

Astronomi- skala stjärnans ljusstyrka.

Kemi- aktivitet väte joner (pH).

Seismologi - Richterskalan.

Musikteori- tonskala, i förhållande till tonljuds frekvenser.

Berättelse - logaritmisk tidsskala.

Den logaritmiska skalan används också flitigt för att identifiera exponenten i maktrelationer och koefficienten i exponenten. I det här fallet tar en graf konstruerad på en logaritmisk skala längs en eller två axlar formen av en rät linje, vilket är lättare att studera.

Logaritmisk funktion

En logaritmisk funktion är en funktion av formen f(x) = log a x, definierad vid

Utforska den logaritmiska funktionen

Omfattning:

Omfattning:

Grafen för en logaritmisk funktion går genom punkten (1;0)

Derivatan av den logaritmiska funktionen är lika med:

Bevis [visa]

I. Låt oss bevisa det

Låt oss skriva ner identiteten e ln x = x och skilja på dess vänstra och högra sida

Det förstår vi , varav det följer att

II. Låt oss bevisa det

Funktionen ökar strikt kl a> 1 och strikt minskande vid 0 a

Rakt x= 0 är kvar vertikal asymptot, eftersom kl a> 1 och vid 0 a

Komplex logaritm

Flervärdig funktion

För komplexa tal Logaritmen definieras på samma sätt som en verklig. Låt oss börja med den naturliga logaritmen, som vi betecknar och definierar som mängden av alla komplexa tal z sådan att e z = w. Den komplexa logaritmen finns för alla , och dess reella del bestäms unikt, medan den imaginära delen har ett oändligt antal värden. Av denna anledning kallas det en funktion med flera värden. Om du föreställer dig w i demonstrationsform:

då hittas logaritmen av formeln:

Här är den verkliga logaritmen, r = | w | , k- godtycklig heltal. Värdet som erhålls när k= 0, anropad huvudvikt komplex naturlig logaritm; det är vanligt att ta värdet av argumentet i intervallet (− π,π]. Motsvarande (redan enkelvärdig) funktion kallas huvudgren logaritm och betecknas med . Ibland betecknar de också ett logaritmvärde som inte finns på huvudgrenen.

Från formeln följer:

Den reella delen av logaritmen bestäms av formeln:

Logaritmen för ett negativt tal hittas av formeln:

Exempel (huvudvärdet för logaritmen anges):

Komplexa logaritmer med en annan bas behandlas på liknande sätt. Man bör dock vara försiktig när man konverterar komplexa logaritmer, med hänsyn till att de har flera värden, och därför innebär inte likheten mellan logaritmerna för alla uttryck att dessa uttryck är lika. Exempel på felaktigt resonemang:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ är en uppenbar absurditet.

Observera att till vänster finns huvudvärdet för logaritmen, och till höger är värdet från den underliggande grenen ( k= − 1). Orsaken till felet är den vårdslösa användningen av egenskapen, vilket generellt sett innebär i det komplexa fallet hela den oändliga uppsättningen av logaritmvärden, och inte bara huvudvärdet.

Riemann yta

Komplex logaritmisk funktion - exempel Riemann yta; dess imaginära del (fig. 3) består av ett oändligt antal grenar, vridna som en spiral. Denna yta helt enkelt ansluten; dess enda noll (av första ordningen) erhålls vid z= 1, singular punkter: z= 0 och (grenpunkter av oändlig ordning).

Riemannytan av en logaritm är universell täckning för det komplexa planet utan punkt 0.

Historisk skiss

Verklig logaritm

Behovet av komplexa beräkningar i XVI-talet växte snabbt, och mycket av svårigheten var förknippad med att multiplicera och dividera flersiffriga tal. I slutet av århundradet kom flera matematiker, nästan samtidigt, på en idé: att ersätta arbetsintensiv multiplikation med enkel addition, jämföra med hjälp av speciella tabeller geometrisk Och aritmetisk progression, medan den geometriska kommer att vara den ursprungliga. Då ersätts division automatiskt av den omätligt enklare och mer pålitliga subtraktionen. Han var den första att publicera denna idé i sin bok " Arithmetica integra» Michael Stiefel, som dock inte gjorde seriösa ansträngningar för att genomföra sin idé.

I 1614 Skotsk amatörmatematiker John Napier publiceras den latin en uppsats med titeln " Beskrivning av den fantastiska tabellen med logaritmer" Det hade den kort beskrivning logaritmer och deras egenskaper, samt 8-siffriga tabeller med logaritmer bihålor, cosinus Och tangenter, i steg om 1". Term logaritm, föreslagit av Napier, har etablerat sig inom vetenskapen.

Konceptet med en funktion existerade ännu inte, och Napier definierade logaritmen kinematiskt, jämför enhetlig och logaritmiskt långsam rörelse. I modern notation kan Napiers modell representeras av differentialekvationen: dx/x = -dy/M, där M är en skalfaktor som introduceras för att göra värdet till ett heltal med rätt mängd tecken (decimalbråk användes ännu inte i stor utsträckning). Napier tog M = 10000000.

Strängt taget tabellerade Napier fel funktion, som nu kallas logaritmen. Om vi ​​betecknar dess funktion LogNap(x), så är den relaterad till den naturliga logaritmen enligt följande:

Uppenbarligen är LogNap(M) = 0, det vill säga logaritmen för "full sinus" är noll - detta är vad Napier uppnådde med sin definition. LogNap(0) = ∞.

Huvudegenskapen för Napier-logaritmen: om kvantiteterna bildas geometrisk progression, sedan bildar deras logaritmer en progression aritmetisk. Men logaritmreglerna för neper-funktionen skilde sig från reglerna för den moderna logaritmen.

Till exempel, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Tyvärr innehöll alla värden i Napiers tabell ett beräkningsfel efter den sjätte siffran. Detta hindrade dock inte den nya beräkningsmetoden från att vinna stor popularitet och många europeiska matematiker, bl.a. Kepler.

På 1620-talet Edmund Wingate och William Oughtred uppfann den första skjutregel, före tillkomsten av fickräknare, ett oumbärligt ingenjörsverktyg.

Nära den moderna förståelsen av logaritm - som en invers operation exponentiering- dök först upp i Wallis Och Johann Bernoulli, och blev slutligen legaliserad Euler V XVIII-talet. I boken "Introduction to the Analysis of Infinite" ( 1748 ) Euler gav moderna definitioner som indikativ, och logaritmiska funktioner, förde deras expansion till potensserier och noterade särskilt den naturliga logaritmens roll.

Euler är också krediterad för att utöka den logaritmiska funktionen till den komplexa domänen.

Komplex logaritm

De första försöken att utvidga logaritmer till komplexa tal gjordes vid sekelskiftet 1600- och 1700-talet Leibniz Och Johann Bernoulli, men de misslyckades med att skapa en fullständig teori - främst av den anledningen att själva begreppet logaritm ännu inte var klart definierat. Diskussionen om denna fråga ägde först rum mellan Leibniz och Bernoulli, och i mitten av 1700-talet - mellan kl. d'Alembert och Euler. Bernoulli och d'Alembert ansåg att det borde bestämmas log(-x) = log(x). Den fullständiga teorin om logaritmer för negativa och komplexa tal publicerades av Euler 1747-1751 och skiljer sig i huvudsak inte från den moderna.

Även om tvisten fortsatte (D'Alembert försvarade sin åsikt och argumenterade i detalj i en artikel i hans Encyclopedia och i andra verk), fick Eulers synvinkel snabbt allmänt erkännande.

Logaritmiska tabeller

Logaritmiska tabeller

Av logaritmens egenskaper följer att istället för arbetskrävande multiplikation av flersiffriga tal räcker det att hitta (från tabeller) och lägga till deras logaritmer och sedan använda samma tabeller för att utföra potentiering, det vill säga hitta värdet på resultatet genom dess logaritm. Att göra division skiljer sig bara genom att logaritmer subtraheras. Laplace sade att uppfinningen av logaritmer "förlängde livet för astronomer", vilket påskyndade beräkningsprocessen många gånger om.

När du flyttar decimaltecknet i ett tal till n siffror ändras värdet på decimallogaritmen för detta tal till n. Till exempel log8314.63 = log8.31463 + 3. Det följer att det räcker att skapa en tabell med decimallogaritmer för tal i intervallet 1 till 10.

De första logaritmtabellerna publicerades av John Napier ( 1614 ), och de innehöll endast logaritmer av trigonometriska funktioner och med fel. Oberoende av honom publicerade Joost Bürgi, en vän, sina tabeller Kepler (1620 ). I 1617 Oxford matematik professor Henry Briggs publicerade tabeller som redan inkluderade decimallogaritmer för själva talen, från 1 till 1000, med 8 (senare 14) siffror. Men det fanns också fel i Briggs tabeller. Första felfria utgåvan baserad på Vega-tabellerna ( 1783 ) dök endast upp i 1857 i Berlin (Bremiwer-bord).

I Ryssland publicerades de första logaritmtabellerna i 1703 med deltagandet L. F. Magnitsky. Flera samlingar av logaritmtabeller publicerades i Sovjetunionen.

Bradis V.M. Fyrsiffriga matematiska tabeller. 44:e upplagan, M., 1973.

Bradis bord ( 1921 ) användes i utbildningsinstitutioner och i tekniska beräkningar som inte kräver stor noggrannhet. De innehöll mantissa decimallogaritmer av tal och trigonometriska funktioner, naturliga logaritmer och några andra användbara beräkningsverktyg.

Litteratur

Uspensky Ya V. Uppsats om logaritmernas historia. Petrograd, 1923. −78 sid.

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. - M.: AST, 2003. -

ISBN 5-17-009554-6 History of Mathematics, redigerad av A. P. Jusjkevitj

i tre band, M.: Nauka. Volym 1 Från gamla tider till början av modern tid. (1970) psykologi som en oberoende vetenskap (2)

Sammanfattning >> Psykologi Huvudmål för ämnet historia psykologi 1. Analys Och uppkomst vidareutveckling ... förnimmelser är proportionella logaritm stimulansintensitet: för... att utföra en handling, betingad uppkomst

• Berättelse behovet av att lösa ett problem; -mål...

  psykologi som en oberoende vetenskap (2)

  psykologi (10) Blev ursprunget till psykofysiken. Tabell logaritmer visade sig vara applicerbar på mentala fenomen... som instinkternas rötter går tillbaka till historia arter, utan dem, vid liv... trasiga”, motsvarande vilket smärtsamt fenomen som helst. Uppkomst

• Berättelse nya riktningar inom psykologi, sociologi...

  psykologi som en oberoende vetenskap (1)

  Fuskblad >> Psykologi Huvudmål för ämnet Aktiviteter: Huvudmål med ämnet psykologi 1. Analys psykologi 1. Dialys ... förnimmelser är proportionella och vidareutveckling av vetenskaplig kunskap... är att sensationens intensitet är proportionell

• Berättelse stimulansintensitet: för att...

  psykologi som en oberoende vetenskap (1)

  socialpsykologi (2) ... förnimmelser är proportionella Att sensationens storlek är proportionell Huvudmål för ämnet intensiteten av den nuvarande stimulansen (... XX-talet för första gången i psykologi 1. Analys psykologer försökte experimentellt undersöka... identifiera orsaker och specifika tillstånd

neuroser, separation i en speciell...

Logaritmisk funktion

En logaritmisk funktion är en funktion av formen f(x) = logax, definierad vid< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Omfattning: . Värdeintervall: . Funktionen ökar strikt för a > 1 och strängt minskande för 0< a < 1.

Den räta linjen x = 0 är en vänster vertikal asymptot, eftersom för a > 1 och för 0

Derivatan av den logaritmiska funktionen är lika med:

Den logaritmiska funktionen utför en isomorfism mellan den multiplikativa gruppen av positiva reella tal och den additiva gruppen av alla reella tal.

Komplex logaritm

För komplexa tal definieras logaritmen på samma sätt som ett verkligt tal. I praktiken används den naturliga komplexa logaritmen nästan uteslutande, som vi betecknar och definierar som mängden av alla komplexa tal z så att ez = w. Den komplexa logaritmen finns för vem som helst, och dess verkliga del är unikt bestämd, medan den imaginära delen har ett oändligt antal värden. Av denna anledning kallas det en funktion med flera värden. Om vi ​​representerar w i exponentiell form:

då hittas logaritmen av formeln:

Här är en verklig logaritm, r = | w | , k är ett godtyckligt heltal. Värdet som erhålls vid k = 0 kallas huvudvärdet för den komplexa naturliga logaritmen; Det är vanligt att ta värdet på argumentet i intervallet (? р,р]. Motsvarande (redan enkelvärdig) funktion kallas logaritmens huvudgren och betecknas. Ibland värdet på logaritmen som inte gör det ligga på huvudgrenen betecknas också med.

Från formeln följer:

Den reella delen av logaritmen bestäms av formeln:

Logaritmen för ett negativt tal hittas med formeln.

Exponentialfunktionen för en reell variabel (med en positiv bas) bestäms i flera steg. Först, för naturvärden - som en produkt av lika faktorer. Definitionen sträcker sig sedan till negativa heltal och icke-nollvärden enligt reglerna. Därefter överväger vi bråktalsindikatorer, för vilken värdet på exponentialfunktionen bestäms med hjälp av rötterna: . För irrationella värden är definitionen redan kopplad till det grundläggande begreppet matematisk analys - med passagen till gränsen, av kontinuitetsskäl. Alla dessa överväganden är inte på något sätt tillämpliga på försök att utöka den exponentiella funktionen till komplexa värden för indikatorn, och vad det är, till exempel, är helt oklart.

För första gången introducerade Euler en potens med en komplex exponent med en naturlig bas baserat på en analys av ett antal konstruktioner av integralkalkyl. Ibland ger mycket liknande algebraiska uttryck helt olika svar när de integreras:

Samtidigt erhålls här den andra integralen formellt från den första när den ersätts av

Av detta kan vi dra slutsatsen att med den korrekta definitionen av en exponentialfunktion med en komplex exponent, är inversa trigonometriska funktioner relaterade till logaritmer och därmed är den exponentiala funktionen relaterad till trigonometriska.

Euler hade modet och fantasin att ge en rimlig definition av en exponentiell funktion med en bas, nämligen

Detta är en definition, och därför kan denna formel inte bevisas enbart efter argument till förmån för rimligheten och lämpligheten av en sådan definition. Matematisk analys ger många argument av detta slag. Vi kommer att begränsa oss till bara en.

Det är känt att det på riktigt finns ett begränsande förhållande: . På höger sida finns ett polynom som också är vettigt för komplexa värden för . Gränsen för en sekvens av komplexa tal bestäms naturligt. En sekvens anses konvergent om sekvenserna av verkliga och imaginära delar konvergerar och accepteras

Låt oss hitta det. För att göra detta, låt oss vända oss till den trigonometriska formen och för argumentet väljer vi värden från intervallet. Med detta val är det tydligt att för . Nästa,

För att gå till gränsen måste du verifiera att det finns gränser för och och hitta dessa gränser. Det är klart att

Alltså i uttrycket

den verkliga delen tenderar att , den imaginära delen tenderar till det

Detta enkla argument ger ett av argumenten till förmån för Eulers definition av exponentialfunktionen.

Låt oss nu fastställa att när man multiplicerar värdena för en exponentiell funktion, adderas exponenterna. Verkligen:

2. Eulers formler.

Låt oss lägga in definitionen av exponentialfunktionen. Vi får:

Om vi ​​ersätter b med -b får vi

Genom att addera och subtrahera dessa likheter term för term, hittar vi formlerna

kallas Eulers formler. De skapar en koppling mellan trigonometriska funktioner och exponentiell med imaginära exponenter.

3. Naturlig logaritm av ett komplext tal.

Ett komplext tal som ges i trigonometrisk form kan skrivas på formen. Denna form av att skriva ett komplext tal kallas exponentiellt. Hon räddar allt bra egenskaper trigonometrisk form, men ännu mer kortfattad. Vidare, Därför är det naturligt att anta att den reella delen av logaritmen för ett komplext tal är logaritmen för dess modul, och den imaginära delen är dess argument. Detta förklarar till viss del argumentets "logaritmiska" egenskap - produktens argument är lika med summan av faktorernas argument.