I föregående avsnitt tillägnad analysen av den geometriska betydelsen av en bestämd integral, fick vi ett antal formler för att beräkna arean av en krökt trapets:
S (G) = ∫ a b f (x) d x för en kontinuerlig och icke-negativ funktion y = f (x) på intervallet [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x för en kontinuerlig och icke-positiv funktion y = f (x) på intervallet [ a ; b].
Dessa formler är tillämpliga att lösa för enkla uppgifter. I verkligheten kommer vi ofta att behöva arbeta med mer komplexa figurer. I detta avseende kommer vi att ägna detta avsnitt till en analys av algoritmer för att beräkna arean av figurer som är begränsade av funktioner i explicit form, dvs. som y = f(x) eller x = g(y).
SatsLåt funktionerna y = f 1 (x) och y = f 2 (x) vara definierade och kontinuerliga på intervallet [ a ; b ], och f 1 (x) ≤ f 2 (x) för något värde x från [a; b]. Sedan kommer formeln för att beräkna arean av figuren G, avgränsad av linjerna x = a, x = b, y = f 1 (x) och y = f 2 (x) att se ut som S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
En liknande formel kommer att gälla för arean av en figur som begränsas av linjerna y = c, y = d, x = g 1 (y) och x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Bevis
Låt oss titta på tre fall där formeln kommer att vara giltig.
I det första fallet, med hänsyn till egenskapen additivitet av arean, är summan av ytorna av den ursprungliga figuren G och den krökta trapetsen G1 lika med arean av figuren G2. Detta betyder det
Därför är S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Vi kan utföra den sista övergången med hjälp av den definitiva integralens tredje egenskap.
I det andra fallet är likheten sann: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Den grafiska illustrationen kommer att se ut så här:
Om båda funktionerna är icke-positiva får vi: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Den grafiska illustrationen kommer att se ut så här:
Låt oss gå vidare och betrakta det allmänna fallet när y = f 1 (x) och y = f 2 (x) skär O x-axeln.
Vi betecknar skärningspunkterna som x i, i = 1, 2, . . . n-1. Dessa punkter delar segmentet [a; b] i n delar x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, där α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Därför,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Vi kan göra den sista övergången genom att använda den femte egenskapen hos den bestämda integralen.
Låt oss illustrera det allmänna fallet i grafen.
Formeln S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x kan anses bevisad.
Låt oss nu gå vidare till att analysera exempel på att beräkna arean av figurer som begränsas av linjerna y = f (x) och x = g (y).
Vi kommer att börja vår övervägande av något av exemplen med att konstruera en graf. Bilden kommer att tillåta oss att representera komplexa figurer som fackföreningar av fler enkla figurer. Om konstruktion av grafer och figurer på dem orsakar dig svårigheter, kan du studera avsnittet om grundläggande elementära funktioner, geometrisk transformation av funktionsgrafer, samt konstruktion av grafer under studiet av en funktion.
Exempel 1
Det är nödvändigt att bestämma figurens yta, som begränsas av parabeln y = - x 2 + 6 x - 5 och raka linjer y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Lösning
Låt oss rita linjerna på grafen i det kartesiska koordinatsystemet.
På segmentet [ 1 ; 4 ] grafen för parabeln y = - x 2 + 6 x - 5 ligger ovanför den räta linjen y = - 1 3 x - 1 2. I detta avseende, för att få svaret använder vi formeln som erhållits tidigare, såväl som metoden för att beräkna den definitiva integralen med hjälp av Newton-Leibniz formel:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Svar: S(G) = 13
Låt oss titta på ett mer komplext exempel.
Exempel 2
Det är nödvändigt att beräkna arean av figuren, som är begränsad av linjerna y = x + 2, y = x, x = 7.
Lösning
I det här fallet har vi bara en rät linje parallell med x-axeln. Detta är x = 7. Detta kräver att vi själva hittar den andra gränsen för integration.
Låt oss bygga en graf och rita på den de linjer som anges i problemformuleringen.
Med grafen framför ögonen kan vi enkelt bestämma att den nedre integrationsgränsen kommer att vara abskissan för skärningspunkten för grafen för den räta linjen y = x och semiparabeln y = x + 2. För att hitta abskissan använder vi likheterna:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Det visar sig att skärningspunktens abskiss är x = 2.
Vi uppmärksammar dig på det faktum att i det allmänna exemplet på ritningen skär linjerna y = x + 2, y = x i punkten (2; 2), så sådana detaljerade beräkningar kan verka onödiga. Vi har tillhandahållit en så detaljerad lösning här bara för att lösningen i mer komplexa fall kanske inte är så självklar. Detta innebär att det alltid är bättre att beräkna koordinaterna för skärningspunkten mellan linjer analytiskt.
På intervallet [ 2 ; 7] grafen för funktionen y = x är placerad ovanför grafen för funktionen y = x + 2. Låt oss använda formeln för att beräkna arean:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Svar: S (G) = 59 6
Exempel 3
Det är nödvändigt att beräkna arean av figuren, som är begränsad av graferna för funktionerna y = 1 x och y = - x 2 + 4 x - 2.
Lösning
Låt oss rita upp linjerna på grafen.
Låt oss definiera gränserna för integration. För att göra detta bestämmer vi koordinaterna för linjernas skärningspunkter genom att likställa uttrycken 1 x och - x 2 + 4 x - 2. Förutsatt att x inte är noll, blir likheten 1 x = - x 2 + 4 x - 2 ekvivalent med tredjegradsekvationen - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 med heltalskoefficienter. För att fräscha upp ditt minne av algoritmen för att lösa sådana ekvationer kan vi hänvisa till avsnittet "Lösa kubiska ekvationer."
Roten till denna ekvation är x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Om uttrycket - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 divideras med binomialet x - 1, får vi: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Vi kan hitta de återstående rötterna från ekvationen x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Vi hittade intervallet x ∈ 1; 3 + 13 2, på vilka siffran G finns ovanför den blåa och under den röda linjen. Detta hjälper oss att bestämma området för figuren:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Svar: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exempel 4
Det är nödvändigt att beräkna arean av figuren, som begränsas av kurvorna y = x 3, y = - log 2 x + 1 och abskissaxeln.
Lösning
Låt oss rita upp alla linjerna på grafen. Vi kan få grafen för funktionen y = - log 2 x + 1 från grafen y = log 2 x om vi placerar den symmetriskt kring x-axeln och flyttar den upp en enhet. Ekvationen för x-axeln är y = 0.
Låt oss markera skärningspunkterna för linjerna.
Som framgår av figuren skär graferna för funktionerna y = x 3 och y = 0 varandra i punkten (0; 0). Detta händer eftersom x = 0 är den enda reella roten av ekvationen x 3 = 0.
x = 2 är den enda roten av ekvationen - log 2 x + 1 = 0, så graferna för funktionerna y = - log 2 x + 1 och y = 0 skär varandra i punkten (2; 0).
x = 1 är den enda roten av ekvationen x 3 = - log 2 x + 1 . I detta avseende skär graferna för funktionerna y = x 3 och y = - log 2 x + 1 i punkten (1; 1). Det sista påståendet kanske inte är uppenbart, men ekvationen x 3 = - log 2 x + 1 kan inte ha mer än en rot, eftersom funktionen y = x 3 är strikt ökande, och funktionen y = - log 2 x + 1 är strikt minskande.
Den ytterligare lösningen innebär flera alternativ.
Alternativ #1
Vi kan föreställa oss figur G som summan av två kurvlinjära trapetser belägna ovanför x-axeln, varav den första är belägen nedanför mittlinjen på segmentet x ∈ 0; 1, och den andra är under den röda linjen på segmentet x ∈ 1; 2. Det betyder att arean blir lika med S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Alternativ nr 2
Figur G kan representeras som skillnaden mellan två figurer, varav den första är placerad ovanför x-axeln och under den blå linjen på segmentet x ∈ 0; 2, och den andra mellan de röda och blå linjerna på segmentet x ∈ 1; 2. Detta gör att vi kan hitta området enligt följande:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
I det här fallet, för att hitta området måste du använda en formel av formen S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. I själva verket kan linjerna som binder figuren representeras som funktioner av argumentet y.
Låt oss lösa ekvationerna y = x 3 och - log 2 x + 1 med avseende på x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Vi får det område som krävs:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Svar: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exempel 5
Det är nödvändigt att beräkna arean av figuren, som är begränsad av linjerna y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Lösning
Vi kommer att rita en linje på grafen med en röd linje, ges av funktionen y = x. Vi ritar linjen y = - 1 2 x + 4 i blått, och linjen y = 2 3 x - 3 i svart.
Låt oss markera skärningspunkterna.
Låt oss hitta skärningspunkterna för graferna för funktionerna y = x och y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrollera: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 inte Är lösningen till ekvationen x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 är lösningen till ekvationen ⇒ (4; 2) skärningspunkten i y = x och y = - 1 2 x + 4
Låt oss hitta skärningspunkten för graferna för funktionerna y = x och y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrollera: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 är lösningen till ekvationen ⇒ (9 ; 3) punkt a s y = x och y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Det finns ingen lösning på ekvationen
Låt oss hitta skärningspunkten för linjerna y = - 1 2 x + 4 och y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6; 1 ) skärningspunkt y = - 1 2 x + 4 och y = 2 3 x - 3
Metod nr 1
Låt oss föreställa oss arean av den önskade figuren som summan av areorna för enskilda figurer.
Då är figurens yta:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metod nr 2
Arean av den ursprungliga figuren kan representeras som summan av två andra figurer.
Sedan löser vi linjens ekvation i förhållande till x, och först efter det tillämpar vi formeln för att beräkna arean av figuren.
y = x ⇒ x = y 2 röd linje y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 svart linje y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Så området är:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Som du kan se är värdena desamma.
Svar: S (G) = 11 3
Resultat
För att hitta arean av en figur som är begränsad av givna linjer måste vi konstruera linjer på ett plan, hitta deras skärningspunkter och tillämpa formeln för att hitta arean. I det här avsnittet undersökte vi de vanligaste varianterna av uppgifter.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Bakåt Framåt
Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.
Nyckelord: integrerad, krökt trapets, område av figurer avgränsat av liljor
Utrustning Hytt: markeringstavla, dator, multimediaprojektor
Lektionstyp: lektion-föreläsning
Lektionens mål:
- pedagogisk: att skapa en kultur av mentalt arbete, skapa en framgångssituation för varje elev och skapa positiv motivation för lärande; utveckla förmågan att tala och lyssna på andra.
- framkallning: bildning av självständigt tänkande hos studenten i att tillämpa kunskap i olika situationer, förmåga att analysera och dra slutsatser, utveckling av logik, utveckling av förmåga att korrekt ställa frågor och hitta svar på dem. Förbättra bildandet av beräkningsfärdigheter, utveckla elevernas tänkande under genomförandet av föreslagna uppgifter, utveckla en algoritmisk kultur.
- pedagogiska: att bilda begrepp om en kurvlinjär trapets, om en integral, att bemästra färdigheterna att beräkna arean av plana figurer
Undervisningsmetod: förklarande och illustrativt.
Lektionens framsteg
I tidigare klasser lärde vi oss att beräkna arean av figurer vars gränser är polygonala linjer. I matematik finns det metoder som gör att du kan beräkna arean av figurer som begränsas av kurvor. Sådana figurer kallas kurvlinjära trapezoider, och deras yta beräknas med hjälp av antiderivat.
Krökt trapets ( glida 1)
En krökt trapets är en figur som begränsas av grafen för en funktion, ( sh.m.), rakt x = a Och x = b och x-axeln
Olika typer av böjda trapetser ( bild 2)
Vi överväger olika typer krökta trapetser och observera: en av de räta linjerna är degenererad till en punkt, rollen som begränsande funktion spelas av den räta linjen
Area av en krökt trapets (bild 3)
Låt oss fixa den vänstra änden av intervallet A, och den rätta X vi kommer att förändras, d.v.s. vi flyttar den högra väggen på den krökta trapetsen och får en föränderlig figur. Arean av en variabel kurvlinjär trapets som begränsas av grafen för funktionen är en antiderivata F för funktion f
Och på segmentet [ a; b] område av en krökt trapets som bildas av funktionen f,är lika med ökningen av antiderivatan för denna funktion:
Uppgift 1:
Hitta arean av en krökt trapets som begränsas av grafen för funktionen: f(x) = x 2 och rak y = 0, x = 1, x = 2.
Lösning: ( enligt algoritmbild 3)
Låt oss rita en graf över funktionen och linjerna
Låt oss hitta en av funktionens antiderivator f(x) = x 2 :
Självtest på rutschkana
Väsentlig
Betrakta en kurvlinjär trapets som definieras av funktionen f på segmentet [ a; b]. Låt oss dela upp det här segmentet i flera delar. Arean av hela trapetsen kommer att delas upp i summan av områdena för mindre böjda trapetser. ( bild 5). Varje sådan trapets kan ungefär betraktas som en rektangel. Summan av områdena för dessa rektanglar ger en ungefärlig uppfattning om hela arean av den krökta trapetsen. Ju mindre vi delar segmentet [ a; b], desto mer exakt beräknar vi arean.
Låt oss skriva dessa argument i form av formler.
Dela segmentet [ a; b] i n delar med punkter x 0 =a, xl,...,xn = b. Längd k- th beteckna med xk = xk – xk-1. Låt oss göra en summa
Geometriskt representerar denna summa arean av figuren skuggad i figuren ( sh.m.)
Summor av formen kallas integralsummor för funktionen f. (sh.m.)
Integrala summor ger ett ungefärligt värde på området. Exakt värde erhålls genom att passera till gränsen. Låt oss föreställa oss att vi förfinar segmentets partition [ a; b] så att längderna på alla små segment tenderar till noll. Då kommer området för den sammansatta figuren att närma sig området för den krökta trapetsen. Vi kan säga att arean av en krökt trapets är lika med gränsen för integralsummor, Sc.t. (sh.m.) eller integral, dvs.
Definition:
Integral av en funktion f(x) från a till b kallas gränsen för integralsummor
= (sh.m.)
Newton-Leibniz formel.
Vi kommer ihåg att gränsen för integralsummor är lika med arean av en krökt trapets, vilket betyder att vi kan skriva:
Sc.t. = (sh.m.)
Å andra sidan beräknas arean av en krökt trapets med formeln
S k.t. (sh.m.)
När vi jämför dessa formler får vi:
= (sh.m.)Denna jämlikhet kallas Newton-Leibniz formel.
För att underlätta beräkningen är formeln skriven som:
= = (sh.m.)Arbetsuppgifter: (sh.m.)
1. Beräkna integralen med hjälp av Newton-Leibniz formel: ( kolla på bild 5)
2. Komponera integraler enligt ritningen ( kolla på bild 6)
3. Hitta arean av figuren som begränsas av linjerna: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Bild 7)
Hitta områdena för plana figurer ( glida 8)
Hur hittar man området för figurer som inte är böjda trapetser?
Låt två funktioner ges, vars grafer du ser på bilden . (sh.m.) Hitta området för den skuggade figuren . (sh.m.). Är figuren i fråga en böjd trapets? Hur kan du hitta dess area med hjälp av egenskapen additivitet av area? Betrakta två böjda trapetser och subtrahera arean av den andra från arean av en av dem ( sh.m.)
Låt oss skapa en algoritm för att hitta området med hjälp av animering på en bild:
- Graffunktioner
- Projicera skärningspunkterna för graferna på x-axeln
- Skugga figuren som erhålls när graferna skär varandra
- Hitta kurvlinjära trapetser vars skärningspunkt eller förening är den givna figuren.
- Beräkna arean för var och en av dem
- Hitta skillnaden eller summan av ytor
Muntlig uppgift: Hur man får området för en skuggad figur (berätta med hjälp av animation, bild 8 och 9)
Läxa: Arbeta igenom noterna, nr 353 (a), nr 364 (a).
Referenser
- Algebra och analysens början: en lärobok för årskurs 9-11 i kvällsskola / ed. G.D. Glaser. - M: Upplysningen, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra och början av analys: en lärobok för 10-11 årskurser i gymnasiet / Bashmakov M.I. - M: Upplysningen, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematik: lärobok för institutioner som börjar. och onsdag prof. utbildning / M.I. Bashmakov. - M: Akademin, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra och början av analys: lärobok för årskurs 10-11. utbildningsinstitutioner / A.N. - M: Utbildning, 2010.
- Ostrovsky S.L. Hur gör man en presentation för en lektion?/ S.L. Ostrovsky. – M.: Första september 2010.
A)
Lösning.
Först och det viktigaste ögonblicket lösningar - ritning ritning.
Låt oss göra ritningen:
Ekvation y=0 ställer in "x"-axeln;
- x=-2 Och x=1 - rakt, parallellt med axeln Åh;
- y=x 2 +2 - en parabel, vars grenar är riktade uppåt, med spetsen i punkten (0;2).
Kommentar. För att konstruera en parabel räcker det att hitta punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna, d.v.s. sätta x=0 hitta skärningspunkten med axeln Åh och beslutar därefter andragradsekvation, hitta skärningspunkten med axeln Åh .
Spetsen på en parabel kan hittas med formlerna:
Du kan också bygga linjer punkt för punkt.
På intervallet [-2;1] grafen för funktionen y=x2+2 belägen ovanför axeln Oxe , Det är därför:
Svar: S =9 kvm enheter
När uppgiften är klar är det alltid bra att titta på ritningen och ta reda på om svaret är sant. I det här fallet, "med ögat" räknar vi antalet celler i ritningen - ja, det kommer att finnas cirka 9, det verkar vara sant. Det är helt klart att om vi fick, säg, svaret: 20 kvadratiska enheter, då är det uppenbart att ett misstag gjordes någonstans - 20 celler passar helt klart inte in i figuren i fråga, högst ett dussin. Om svaret är negativt, så löstes uppgiften också felaktigt.
Vad ska man göra om den böjda trapetsen är placerad under axeln Åh?
b) Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer y=-e x , x=1 och koordinataxlar.
Lösning.
Låt oss göra en ritning.
Om en böjd trapets helt placerad under axeln Åh , då kan dess område hittas med formeln:
Svar: S=(e-1) kvm enheter" 1,72 kvm enheter
Uppmärksamhet! De två typerna av uppgifter ska inte blandas ihop:
1) Om du blir ombedd att lösa enkelt bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, då kan den vara negativ.
2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minuset visas i den nyss diskuterade formeln.
I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet.
Med) Hitta arean av en plan figur avgränsad av linjer y=2x-x 2, y=-x.
Lösning.
Först måste du slutföra ritningen. Generellt sett är vi mest intresserade av linjernas skärningspunkter när vi konstruerar en ritning i områdesproblem. Låt oss hitta skärningspunkterna för parabeln och linjen. Detta kan göras på två sätt. Den första metoden är analytisk.
Vi löser ekvationen:
Detta innebär att den nedre gränsen för integration a=0 , övre gräns för integration b=3 .
|
Vi bygger de givna linjerna: 1. Parabel - vertex vid punkt (1;1); axelskärning Åh - poäng (0;0) och (0;2). 2. Rak linje - bisektris av 2:a och 4:e koordinatvinklarna. Och nu OBS! Om på segmentet [ a;b] någon kontinuerlig funktion f(x) större än eller lika med någon kontinuerlig funktion g(x), då kan området för motsvarande figur hittas med formeln: . Och det spelar ingen roll var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, utan det som spelar roll är vilken graf som är HÖGRE (relativt en annan graf) och vilken som är UNDER. I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från |
Du kan konstruera linjer punkt för punkt, och gränserna för integration blir tydliga "av sig själva". Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränser ibland användas om till exempel grafen är tillräckligt stor, eller om den detaljerade konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella).
Den önskade figuren begränsas av en parabel ovanför och en rak linje under.
På segmentet, enligt motsvarande formel:
Svar: S =4,5 kvm enheter
Låt funktionen vara icke-negativ och kontinuerlig på intervallet. Då, enligt geometrisk känsla av en viss integral, arean av en krökt trapets som avgränsas ovanför av grafen för denna funktion, nedanför av axeln, till vänster och höger av raka linjer och (se fig. 2) beräknas med formeln
Exempel 9. Hitta arean av en figur som avgränsas av en linje 
och axel.
Lösning. Funktionsdiagram 
är en parabel vars grenar är riktade nedåt. Låt oss bygga den (fig. 3). För att bestämma integrationens gränser hittar vi skärningspunkterna för linjen (parabeln) med axeln (rät linje). För att göra detta löser vi ekvationssystemet
Vi får: 
, där , ; därför,,.
Ris. 3
Vi hittar arean av figuren med formeln (5):
Om funktionen är icke-positiv och kontinuerlig på segmentet beräknas arean av den kurvlinjära trapetsen som begränsas nedan av grafen för denna funktion, ovanför av axeln, till vänster och höger av raka linjer och , av formel
. (6)
Om funktionen är kontinuerlig på ett segment och ändrar tecken vid ett ändligt antal punkter, är arean av den skuggade figuren (fig. 4) lika med den algebraiska summan av motsvarande bestämda integraler:
Ris. 4
Exempel 10. Beräkna arean av figuren avgränsad av axeln och grafen för funktionen vid .
Ris. 5
Lösning. Låt oss göra en ritning (Fig. 5). Den nödvändiga arean är summan av areorna och . Låt oss hitta vart och ett av dessa områden. Först bestämmer vi gränserna för integration genom att lösa systemet 
Vi får,. Därför:
;
.
Således är området för den skuggade figuren
(kvm enheter).
Ris. 6
Slutligen, låt den kurvlinjära trapetsen begränsas ovanför och under av graferna för funktioner som är kontinuerliga på segmentet och ,
och till vänster och höger - raka linjer och (Fig. 6). Därefter beräknas dess area med formeln
. (8)
Exempel 11. Hitta arean av figuren som avgränsas av linjerna och.
Lösning. Denna figur visas i fig. 7. Låt oss beräkna dess area med formeln (8). Att lösa ekvationssystemet finner vi, ; alltså,,. På segmentet har vi: . Det betyder att vi i formel (8) tar som x, och i kvalitet – . Vi får:
(kvm enheter).
Mer komplexa problem med att beräkna arealer löses genom att dela upp figuren i icke-överlappande delar och beräkna arean av hela figuren som summan av areorna för dessa delar.
Ris. 7
Exempel 12. Hitta arean av figuren som avgränsas av linjerna , , .
Lösning. Låt oss göra en ritning (fig. 8). Denna figur kan betraktas som en krökt trapets, avgränsad underifrån av axeln, till vänster och höger - av raka linjer och, från ovan - av grafer över funktioner och. Eftersom figuren är begränsad från ovan av graferna för två funktioner, för att beräkna dess yta delar vi denna räta linjefigur i två delar (1 är abskissan för linjernas skärningspunkt och ). Arean för var och en av dessa delar hittas med formel (4):
(kvadratenheter); 
(kvm enheter). Därför:
(kvm enheter).
Ris. 8
|
Ris. 9
Sammanfattningsvis noterar vi att om en kurvlinjär trapets är begränsad av räta linjer och , axel och kontinuerlig på kurvan (fig. 9), så hittas dess area av formeln
Volymen av en revolutionskropp
Låt en krökt trapets, avgränsad av grafen för en funktion kontinuerlig på ett segment, axel , räta linjer och , rotera runt axeln (fig. 10). Sedan beräknas volymen av den resulterande rotationskroppen med formeln
. (9)
Exempel 13. Beräkna volymen av en kropp som erhålls genom att rotera runt axeln för en krökt trapets som avgränsas av en hyperbel, raka linjer och axel.
Lösning. Låt oss göra en ritning (Fig. 11).
Av villkoren för problemet följer att , . Från formel (9) får vi
.
Ris. 10
Ris. 11
Volym av en kropp erhållen genom rotation runt en axel Åh krökt trapets som begränsas av raka linjer y = c Och y = d, axel Åh och en graf över en funktion som är kontinuerlig på ett segment (fig. 12), bestämt av formeln
. (10)
|
Ris. 12
Exempel 14. Beräkna volymen av en kropp som erhålls genom att rotera runt en axel Åh krökt trapets som begränsas av linjer X 2 = 4på, y = 4, x = 0 (fig. 13).
Lösning. I enlighet med problemets villkor finner vi integrationens gränser: , . Med formel (10) får vi:
Ris. 13
Båglängden för en plan kurva
Låt kurvan ges av ekvationen, där , ligger i planet (fig. 14).
Ris. 14
Definition. Längden på en båge förstås som den gräns till vilken längden av en streckad linje inskriven i denna båge tenderar, när antalet länkar av den streckade linjen tenderar till oändligt, och längden på den största länken tenderar till noll.
Om en funktion och dess derivata är kontinuerliga på segmentet, beräknas kurvans båglängd med formeln
. (11)
Exempel 15. Beräkna båglängden för kurvan som är innesluten mellan punkterna för vilka 
.
Lösning. Från de problemförhållanden vi har 
. Med formel (11) får vi:
.
4. Felaktiga integraler
med oändliga gränser för integration
När begreppet en bestämd integral introducerades, antogs det att följande två villkor var uppfyllda:
a) gränser för integration A och är ändliga;
b) integranden är avgränsad på intervallet.
Om åtminstone ett av dessa villkor inte är uppfyllt, anropas integralen inte din egen.
Låt oss först överväga olämpliga integraler med oändliga gränser för integration.
Definition. Låt då funktionen vara definierad och kontinuerlig på intervallet och obegränsad till höger (Fig. 15).
Om den felaktiga integralen konvergerar är detta område ändligt; om den felaktiga integralen divergerar, är detta område oändligt.
Ris. 15
En felaktig integral med en oändlig nedre integrationsgräns definieras på liknande sätt:
. (13)
Denna integral konvergerar om gränsen på den högra sidan av jämlikheten (13) existerar och är ändlig; annars sägs integralen vara divergent.
En felaktig integral med två oändliga gränser för integration definieras enligt följande:
, (14)
där с är valfri punkt i intervallet. Integralen konvergerar endast om båda integralerna på den högra sidan av likheten (14) konvergerar.
;G) 
= [välj en hel kvadrat i nämnaren: ] = 
[ersättning:
] = 
Detta betyder att den felaktiga integralen konvergerar och dess värde är lika med .
Beräkna arean av en figur– Det här är kanske ett av de svåraste problemen inom områdesteorin. I skolans geometri lär de dig att hitta huvudområdena geometriska former som till exempel triangel, romb, rektangel, trapets, cirkel osv. Däremot har man ofta att göra med att beräkna arean för mer komplexa figurer. Det är när man löser sådana problem som det är mycket bekvämt att använda integralkalkyl.
Definition.
Krökt trapets kalla någon figur G avgränsad av linjerna y = f(x), y = 0, x = a och x = b, och funktionen f(x) är kontinuerlig på segmentet [a; b] och ändrar inte sitt tecken på den (Fig. 1). Arean av en krökt trapets kan betecknas med S(G).
Den bestämda integralen ʃ a b f(x)dx för funktionen f(x), som är kontinuerlig och icke-negativ på intervallet [a; b], och är arean för motsvarande krökta trapets.
Det vill säga, för att hitta arean av en figur G avgränsad av linjerna y = f(x), y = 0, x = a och x = b, är det nödvändigt att beräkna den bestämda integralen ʃ a b f(x)dx .
Således, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Om funktionen y = f(x) inte är positiv på [a; b], då kan området för en krökt trapets hittas med hjälp av formeln S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Exempel 1.
Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna y = x 3; y = 1; x = 2.
Lösning.
De givna linjerna bildar figuren ABC, som visas genom att kläckas in ris. 2.
Den erforderliga arean är lika med skillnaden mellan arean av den krökta trapetsformen DACE och kvadraten DABE.
Med formeln S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) hittar vi gränserna för integration. För att göra detta löser vi ett system med två ekvationer:
(y = x 3,
(y = 1.
Vi har alltså x 1 = 1 – den nedre gränsen och x = 2 – den övre gränsen.
Så, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (kvadratenheter).
Svar: 11/4 kvm. enheter
Exempel 2.
Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna y = √x; y = 2; x = 9.
Lösning.
De givna linjerna bildar ABC-figuren, som ovan begränsas av grafen för funktionen
y = √x, och nedan är en graf över funktionen y = 2. Den resulterande siffran visas genom att streckas in ris. 3.
Den nödvändiga arean är S = ʃ a b (√x – 2). Låt oss hitta gränserna för integration: b = 9, för att hitta a löser vi ett system med två ekvationer:
(y = √x,
(y = 2.
Således har vi att x = 4 = a - detta är den nedre gränsen.
Så, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (kvadratenheter).
Svar: S = 2 2/3 kvm. enheter
Exempel 3.
Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.
Lösning.
Låt oss plotta funktionen y = x 3 – 4x för x ≥ 0. För att göra detta, hitta derivatan y’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 vid x = ±2/√3 ≈ 1,1 – kritiska punkter.
Om vi plottar de kritiska punkterna på tallinjen och ordnar derivatans tecken, finner vi att funktionen minskar från noll till 2/√3 och ökar från 2/√3 till plus oändlighet. Då är x = 2/√3 minimipunkten, minimivärdet för funktionen y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Låt oss bestämma skärningspunkterna för grafen med koordinataxlarna:
om x = 0, då y = 0, vilket betyder att A(0; 0) är skärningspunkten med Oy-axeln;
om y = 0, då x 3 – 4x = 0 eller x(x 2 – 4) = 0, eller x(x – 2)(x + 2) = 0, varav x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (ej lämpligt eftersom x ≥ 0).
Punkterna A(0; 0) och B(2; 0) är skärningspunkterna för grafen med Ox-axeln.
De givna linjerna bildar OAB-figuren, som visas genom att streckas in ris. 4.
Eftersom funktionen y = x 3 – 4x tar ett negativt värde på (0; 2), då
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Vi har: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 02 = -4, varav S = 4 kvm. enheter
Svar: S = 4 kvm. enheter
Exempel 4.
Hitta arean av figuren som begränsas av parabeln y = 2x 2 – 2x + 1, linjerna x = 0, y = 0 och tangenten till denna parabel i punkten med abskissan x 0 = 2.
Lösning.
Låt oss först skapa en ekvation för tangenten till parabeln y = 2x 2 – 2x + 1 i punkten med abskissan x₀ = 2.
Eftersom derivatan y’ = 4x – 2, så får vi för x 0 = 2 k = y’(2) = 6.
Låt oss hitta ordinatan för tangentpunkten: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Därför har tangentekvationen formen: y – 5 = 6(x–2) eller y = 6x – 7.
Låt oss bygga en figur avgränsad av linjer:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabel. Skärningspunkter med koordinataxlarna: A(0; 1) – med Oy-axeln; med Ox-axeln - det finns inga skärningspunkter, eftersom ekvationen 2x 2 – 2x + 1 = 0 har inga lösningar (D< 0). Найдем вершину параболы:
xb = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, det vill säga att spetsen för parabelpunkten B har koordinaterna B(1/2; 1/2).
Så, figuren vars area behöver bestämmas visas genom att kläckas på ris. 5.
Vi har: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Låt oss hitta koordinaterna för punkt D från villkoret:
6x – 7 = 0, dvs. x = 7/6, vilket betyder DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Vi hittar arean av triangeln DBC med formeln S ADBC = 1/2 · DC · BC. Således,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 kvm. enheter
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (kvadratenheter).
Vi får slutligen: S O A B D = S OABC – S ADBC= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (kvadratenheter).
Svar: S = 1 1/4 kvm. enheter
Vi har tittat på exempel hitta arean av figurer avgränsade av givna linjer. För att framgångsrikt lösa sådana problem måste du kunna rita linjer och grafer för funktioner på ett plan, hitta linjers skärningspunkter, tillämpa en formel för att hitta arean, vilket innebär förmågan att beräkna vissa integraler.
webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.