Göm Visa
Metoder för att specificera en funktionLåt funktionen ges av formeln: y=2x^(2)-3. Genom att tilldela valfria värden till den oberoende variabeln x, kan du beräkna, med hjälp av denna formel, motsvarande värden för den beroende variabeln y. Till exempel, om x=-0,5, då, med hjälp av formeln, finner vi att motsvarande värde för y är y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Om du tar vilket värde som helst som tas av argumentet x i formeln y=2x^(2)-3, kan du bara beräkna ett värde av funktionen som motsvarar det. Funktionen kan representeras som en tabell:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Med den här tabellen kan du se att för argumentvärdet −1 kommer funktionsvärdet −3 att motsvara; och värdet x=2 kommer att motsvara y=0 osv. Det är också viktigt att veta att varje argumentvärde i tabellen endast motsvarar ett funktionsvärde.
Fler funktioner kan specificeras med hjälp av grafer. Med hjälp av en graf fastställs vilket värde på funktionen som korrelerar med ett visst värde x. Oftast kommer detta att vara ett ungefärligt värde på funktionen.
Till och med udda funktionEn funktion är en jämn funktion när f(-x)=f(x) för valfritt x i domänen. En sådan funktion kommer att vara symmetrisk kring Oy-axeln.
En funktion är en udda funktion när f(-x)=-f(x) för valfritt x i domänen. En sådan funktion kommer att vara symmetrisk kring origo O (0;0) .
Funktionen är varken jämn eller udda och kallas en funktion allmän syn, när den inte har symmetri kring axeln eller ursprunget.
Låt oss undersöka följande funktion för paritet:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) med en symmetrisk definitionsdomän i förhållande till ursprunget. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .
Det betyder att funktionen f(x)=3x^(3)-7x^(7) är udda.
Periodisk funktionFunktionen y=f(x) , i vars domän likheten f(x+T)=f(x-T)=f(x) gäller för valfritt x, kallas en periodisk funktion med period T \neq 0 .
Upprepa grafen för en funktion på valfritt segment av x-axeln som har längden T.
De intervall där funktionen är positiv, det vill säga f(x) > 0, är segment av abskissaxeln som motsvarar de punkter i funktionsgrafen som ligger ovanför abskissaxeln.
f(x) > 0 på (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Intervaller där funktionen är negativ, det vill säga f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
En funktion y=f(x), x \in X kallas vanligtvis avgränsad nedan när det finns ett tal A för vilket olikheten f(x) \geq A gäller för alla x \in X .
Ett exempel på en funktion som begränsas underifrån: y=\sqrt(1+x^(2)) eftersom y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 för valfritt x .
En funktion y=f(x), x \in X kallas bounded ovan om det finns ett tal B för vilket olikheten f(x) \neq B gäller för alla x \in X .
Ett exempel på en funktion avgränsad underifrån: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] eftersom y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 för valfritt x \ i [-1;1] .
En funktion y=f(x), x \in X kallas vanligtvis bounded när det finns ett tal K > 0 för vilket olikheten \left | f(x)\höger | \neq K för valfritt x \i X .
Exempel begränsad funktion: y=\sin x är begränsad på hela talaxeln, eftersom \left | \sin x \right | \neq 1 .
Ökande och minskande funktionDet är vanligt att tala om en funktion som ökar på det aktuella intervallet som en ökande funktion när högre värde x kommer att motsvara ett större värde av funktionen y=f(x) . Det följer att om man tar två godtyckliga värden av argumentet x_(1) och x_(2) från det aktuella intervallet, med x_(1) > x_(2) , blir resultatet y(x_(1)) > y(x_(2)).
En funktion som minskar på det aktuella intervallet kallas en minskande funktion när ett större värde på x motsvarar ett mindre värde på funktionen y(x). Det följer att, med utgångspunkt från det aktuella intervallet två godtyckliga värden av argumentet x_(1) och x_(2) och x_(1) > x_(2) , blir resultatet y(x_(1))< y(x_{2}) .
Rötterna till en funktion brukar kallas de punkter där funktionen F=y(x) skär abskissaxeln (de erhålls genom att lösa ekvationen y(x)=0).
a) Om för x > 0 en jämn funktion ökar, så minskar den för x< 0
b) När en jämn funktion minskar vid x > 0, så ökar den vid x< 0
.png)
c) När en udda funktion ökar vid x > 0, så ökar den också vid x< 0
d) När en udda funktion minskar för x > 0, kommer den också att minska för x< 0
.png)
Minimipunkten för funktionen y=f(x) brukar kallas en punkt x=x_(0) vars grannskap kommer att ha andra punkter (förutom punkten x=x_(0)), och för dem då olikheten f( x) > f(x_(0)) . y_(min) - beteckning för funktionen vid minpunkten.
Maxpunkten för funktionen y=f(x) brukar kallas en punkt x=x_(0) där dess grannskap kommer att ha andra punkter (förutom punkten x=x_(0)), och för dem då olikheten f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Nödvändig förutsättningEnligt Fermats teorem: f"(x)=0 när funktionen f(x) som är differentierbar i punkten x_(0) kommer att ha ett extremum vid denna punkt.
Tillräckligt skickBeräkningssteg:
Jämnhet och uddahet hos en funktion är en av dess huvudegenskaper, och paritet tar upp en imponerande del av matematikkursen i skolan. Det bestämmer till stor del funktionens beteende och underlättar i hög grad konstruktionen av motsvarande graf.
Låt oss bestämma funktionens paritet. Generellt sett anses funktionen som studeras även om för motsatta värden av den oberoende variabeln (x) som finns i dess definitionsdomän, motsvarande värden för y (funktion) visar sig vara lika.
Låt oss ge en mer strikt definition. Tänk på någon funktion f (x), som är definierad i domänen D. Det kommer att vara även om för någon punkt x finns i definitionsdomänen:
- -x (motsatt punkt) ligger också i denna omfattning,
- f(-x) = f(x).
Av definitionen ovan följer det villkor som är nödvändigt för definitionsdomänen för en sådan funktion, nämligen symmetri med avseende på punkten O, som är ursprunget till koordinater, eftersom om någon punkt b finns i definitionsdomänen jämn funktion, då ligger motsvarande punkt - b också i detta område. Av ovanstående följer därför slutsatsen: den jämna funktionen har en form som är symmetrisk med avseende på ordinataaxeln (Oy).
Hur bestämmer man en funktions paritet i praktiken?
Låt det specificeras med formeln h(x)=11^x+11^(-x). Efter algoritmen som följer direkt av definitionen undersöker vi först dess definitionsdomän. Uppenbarligen är det definierat för alla värden i argumentet, det vill säga det första villkoret är uppfyllt.
Nästa steg är att ersätta argumentet (x) med det motsatta värdet (-x).
Vi får:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Eftersom addition uppfyller den kommutativa (kommutativa) lagen är det uppenbart att h(-x) = h(x) och det givna funktionella beroendet är jämnt.
Låt oss kontrollera pariteten för funktionen h(x)=11^x-11^(-x). Efter samma algoritm får vi att h(-x) = 11^(-x) -11^x. Att ta ut minus, till slut har vi
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Därför är h(x) udda.
Förresten, det bör påminnas om att det finns funktioner som inte kan klassificeras enligt dessa kriterier, de kallas varken jämna eller udda.
Även funktioner har ett antal intressanta egenskaper:
- som ett resultat av att lägga till liknande funktioner får de en jämn;
- som ett resultat av att subtrahera sådana funktioner erhålls en jämn;
- jämn, även jämn;
- som ett resultat av att multiplicera två sådana funktioner erhålls en jämn;
- som ett resultat av att multiplicera udda och jämna funktioner erhålls en udda;
- som ett resultat av att dela udda och jämna funktioner erhålls en udda;
- derivatan av en sådan funktion är udda;
- Om du kvadrerar en udda funktion får du en jämn.
En funktions paritet kan användas för att lösa ekvationer.
För att lösa en ekvation som g(x) = 0, där den vänstra sidan av ekvationen är en jämn funktion, kommer det att räcka för att hitta sina lösningar för icke-negativa värden på variabeln. De resulterande rötterna i ekvationen måste kombineras med de motsatta talen. En av dem är föremål för verifiering.
Detta används också framgångsrikt för att lösa icke-standardiserade problem med en parameter.
Till exempel, finns det något värde på parametern a för vilket ekvationen 2x^6-x^4-ax^2=1 kommer att ha tre rötter?
Om vi tar med i beräkningen att variabeln kommer in i ekvationen i jämna potenser, så är det tydligt att ersätta x med - x given ekvation kommer inte att förändras. Det följer att om ett visst tal är dess rot, så är det motsatta talet också roten. Slutsatsen är uppenbar: rötterna till en ekvation som skiljer sig från noll ingår i uppsättningen av dess lösningar i "par".
Det är tydligt att talet i sig inte är 0, det vill säga antalet rötter i en sådan ekvation kan bara vara jämnt och naturligtvis kan det inte ha tre rötter för något värde på parametern.
Men antalet rötter i ekvationen 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 kan vara udda, och för valfritt värde på parametern. Det är faktiskt lätt att kontrollera att uppsättningen av rötter given ekvation innehåller lösningar i par. Låt oss kontrollera om 0 är en rot. När vi ersätter det i ekvationen får vi 2=2. Således, förutom "parade" är 0 också en rot, vilket bevisar deras udda tal.
Jämn funktion.
En funktion vars tecken inte ändras när tecknet ändras kallas jämnt. x.
x jämställdhet gäller f(–x) = f(x). Tecken x påverkar inte skylten y.
Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring koordinataxeln (fig. 1).
Exempel på en jämn funktion:
y=cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Förklaring:
Låt oss ta funktionen y = x 2 eller y = –x 2 .
För vilket värde som helst x funktionen är positiv. Tecken x påverkar inte skylten y. Grafen är symmetrisk kring koordinataxeln. Detta är en jämn funktion.
Udda funktion.
En funktion vars tecken ändras när tecknet ändras kallas udda. x.
Med andra ord, oavsett värde x jämställdhet gäller f(–x) = –f(x).
Grafen för en udda funktion är symmetrisk om origo (fig. 2).
Exempel på udda funktioner:
y= synd x
y = x 3
y = –x 3
Förklaring:
Låt oss ta funktionen y = – x 3 .
Alla betydelser på det kommer att ha ett minustecken. Det är ett tecken x påverkar tecknet y. Om den oberoende variabeln är ett positivt tal, då är funktionen positiv, om den oberoende variabeln är ett negativt tal, då är funktionen negativ: f(–x) = –f(x).
Grafen för funktionen är symmetrisk om ursprunget. Detta är en udda funktion.
Egenskaper för jämna och udda funktioner:
NOTERA:
Alla funktioner är inte jämna eller udda. Det finns funktioner som inte följer sådan gradering. Till exempel rotfunktionen på = √X gäller inte vare sig jämna eller udda funktioner (fig. 3). När du listar egenskaperna för sådana funktioner bör en lämplig beskrivning ges: varken jämn eller udda.
Periodiska funktioner.
Som ni vet är periodicitet upprepningen av vissa processer med ett visst intervall. Funktioner som beskriver dessa processer kallas periodiska funktioner. Det vill säga, det är funktioner i vars grafer det finns element som upprepas med vissa numeriska intervall.
Hur infogar man matematiska formler på en webbplats?
Om du någonsin behöver lägga till en eller två matematiska formler till en webbsida, är det enklaste sättet att göra detta enligt beskrivningen i artikeln: matematiska formler infogas enkelt på webbplatsen i form av bilder som genereras automatiskt av Wolfram Alpha . Förutom enkelhet, detta universell metod kommer att bidra till att förbättra webbplatsens synlighet i sökmotorer. Det har fungerat länge (och tror jag kommer att fungera för alltid), men är redan moraliskt föråldrat.
Om du regelbundet använder matematiska formler på din webbplats, rekommenderar jag att du använder MathJax - ett speciellt JavaScript-bibliotek som visar matematisk notation i webbläsare som använder MathML, LaTeX eller ASCIIMathML-markering.
Det finns två sätt att börja använda MathJax: (1) med en enkel kod kan du snabbt ansluta ett MathJax-skript till din webbplats, som kommer att finnas i rätt ögonblick laddas automatiskt från en fjärrserver (lista över servrar); (2) ladda ner MathJax-skriptet från en fjärrserver till din server och anslut det till alla sidor på din webbplats. Den andra metoden – mer komplex och tidskrävande – kommer att påskynda laddningen av din webbplatss sidor, och om den överordnade MathJax-servern tillfälligt blir otillgänglig av någon anledning kommer detta inte att påverka din egen webbplats på något sätt. Trots dessa fördelar valde jag den första metoden då den är enklare, snabbare och inte kräver tekniska färdigheter. Följ mitt exempel, och på bara 5 minuter kommer du att kunna använda alla funktioner i MathJax på din webbplats.
Du kan ansluta MathJax biblioteksskript från en fjärrserver med två kodalternativ hämtade från MathJax huvudwebbplats eller på dokumentationssidan:
Ett av dessa kodalternativ måste kopieras och klistras in i koden på din webbsida, helst mellan taggar och eller omedelbart efter taggen. Enligt det första alternativet laddas MathJax snabbare och saktar ner sidan mindre. Men det andra alternativet övervakar och laddar automatiskt de senaste versionerna av MathJax. Om du sätter in den första koden måste den uppdateras med jämna mellanrum. Om du sätter in den andra koden kommer sidorna att laddas långsammare, men du behöver inte ständigt övervaka MathJax-uppdateringar.
Det enklaste sättet att ansluta MathJax är i Blogger eller WordPress: i webbplatsens kontrollpanel, lägg till en widget som är utformad för att infoga JavaScript-kod från tredje part, kopiera den första eller andra versionen av nedladdningskoden som presenteras ovan i den och placera widgeten närmare. till början av mallen (förresten, detta är inte alls nödvändigt eftersom MathJax-skriptet laddas asynkront). Det är allt. Lär dig nu markeringssyntaxen för MathML, LaTeX och ASCIIMathML, och du är redo att infoga matematiska formler på din webbplats webbsidor.
Varje fraktal är konstruerad enligt en viss regel, som konsekvent tillämpas ett obegränsat antal gånger. Varje sådan tidpunkt kallas en iteration.
Den iterativa algoritmen för att konstruera en Menger-svamp är ganska enkel: den ursprungliga kuben med sida 1 delas av plan parallella med dess ytor i 27 lika kuber. En central kub och 6 kuber intill den längs ytorna tas bort från den. Resultatet är ett set bestående av de återstående 20 mindre kuberna. Om vi gör samma sak med var och en av dessa kuber får vi ett set bestående av 400 mindre kuber. Om vi fortsätter denna process i det oändliga får vi en Menger-svamp.
Beroendet av en variabel y av en variabel x, där varje värde på x motsvarar ett enda värde på y kallas en funktion. Använd notationen y=f(x) för beteckning. Varje funktion har ett antal grundläggande egenskaper, såsom monotoni, paritet, periodicitet och andra.
Ta en närmare titt på paritetsegenskapen.
En funktion y=f(x) anropas även om den uppfyller följande två villkor:
2. Värdet på funktionen i punkt x, som hör till funktionens definitionsdomän, måste vara lika med värdet på funktionen i punkt -x. Det vill säga, för varje punkt x måste följande likhet vara uppfylld från definitionsdomänen för funktionen: f(x) = f(-x).
Graf över en jämn funktionOm du ritar en graf för en jämn funktion kommer den att vara symmetrisk kring Oy-axeln.
Till exempel är funktionen y=x^2 jämn. Låt oss kolla upp det. Definitionsdomänen är hela den numeriska axeln, vilket betyder att den är symmetrisk kring punkt O.
Låt oss ta ett godtyckligt x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Därför f(x) = f(-x). Därmed är båda villkoren uppfyllda, vilket innebär att funktionen är jämn. Nedan visas en graf över funktionen y=x^2.
Figuren visar att grafen är symmetrisk kring Oy-axeln.
Graf över en udda funktionEn funktion y=f(x) kallas udda om den uppfyller följande två villkor:
1. Definitionsdomänen för en given funktion måste vara symmetrisk med avseende på punkt O. Det vill säga, om någon punkt a tillhör funktionens definitionsdomän, så måste motsvarande punkt -a också tillhöra definitionsdomänen av den givna funktionen.
2. För varje punkt x måste följande likhet vara uppfylld från definitionsdomänen för funktionen: f(x) = -f(x).
Grafen för en udda funktion är symmetrisk med avseende på punkt O - koordinaternas ursprung. Till exempel är funktionen y=x^3 udda. Låt oss kolla upp det. Definitionsdomänen är hela den numeriska axeln, vilket betyder att den är symmetrisk kring punkt O.
Låt oss ta ett godtyckligt x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Därför f(x) = -f(x). Därmed är båda villkoren uppfyllda, vilket innebär att funktionen är udda. Nedan visas en graf över funktionen y=x^3.
Figuren visar tydligt att den udda funktionen y=x^3 är symmetrisk om origo.