En linjär funktion är en funktion av formen y=kx+b, där x är den oberoende variabeln, k och b är valfria tal.
Grafen för en linjär funktion är en rät linje.
1. För att rita en funktionsgraf, vi behöver koordinaterna för två punkter som hör till funktionens graf. För att hitta dem måste du ta två x-värden, ersätta dem med funktionsekvationen och använda dem för att beräkna motsvarande y-värden.
Till exempel, för att plotta funktionen y= x+2, är det bekvämt att ta x=0 och x=3, då blir ordinaterna för dessa punkter lika med y=2 och y=3. Vi får punkterna A(0;2) och B(3;3). Låt oss koppla ihop dem och få en graf över funktionen y= x+2:
2.
I formeln y=kx+b kallas talet k för proportionalitetskoefficienten:
om k>0 ökar funktionen y=kx+b
om k
Koefficient b visar funktionsgrafens förskjutning längs OY-axeln:
om b>0, så erhålls grafen för funktionen y=kx+b från grafen för funktionen y=kx genom att flytta b enheter uppåt längs OY-axeln
om b
Figuren nedan visar grafer för funktionerna y=2x+3; y = ½ x+3; y=x+3
Observera att koefficienten k i alla dessa funktioner Över noll, och funktionerna är ökande. Dessutom än mer värde k, desto större är lutningsvinkeln för den räta linjen mot OX-axelns positiva riktning.
I alla funktioner b=3 - och vi ser att alla grafer skär OY-axeln i punkt (0;3)
Betrakta nu graferna för funktionerna y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
Denna gång i alla funktioner koefficienten k mindre än noll, och funktioner minskar. Koefficient b=3, och graferna, som i föregående fall, skär OY-axeln i punkt (0;3)
Låt oss titta på graferna för funktionerna y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Nu i alla funktionsekvationer är koefficienterna k lika med 2. Och vi fick tre parallella linjer.
Men koefficienterna b är olika, och dessa grafer skär OY-axeln vid olika punkter:
Grafen för funktionen y=2x+3 (b=3) skär OY-axeln i punkt (0;3)
Grafen för funktionen y=2x (b=0) skär OY-axeln i punkten (0;0) - origo.
Grafen för funktionen y=2x-3 (b=-3) skär OY-axeln i punkten (0;-3)
Så, om vi känner till tecknen för koefficienterna k och b, så kan vi omedelbart föreställa oss hur grafen för funktionen y=kx+b ser ut.
Om k 0
Om k>0 och b>0, då ser grafen för funktionen y=kx+b ut så här:
Om k>0 och b, då ser grafen för funktionen y=kx+b ut så här:
Om k, då ser grafen för funktionen y=kx+b ut så här:
Om k=0, då förvandlas funktionen y=kx+b till funktionen y=b och dess graf ser ut så här:
Ordinaterna för alla punkter på grafen för funktionen y=b är lika med b If b=0, då går grafen för funktionen y=kx (direkt proportionalitet) genom origo:
3. Låt oss separat notera grafen för ekvationen x=a. Grafen i denna ekvation är en rät linje parallell med OY-axeln, vars alla punkter har en abskissa x=a.
Till exempel ser grafen för ekvationen x=3 ut så här:
Uppmärksamhet! Ekvationen x=a är inte en funktion, så ett värde i argumentet motsvarar olika betydelser funktioner, vilket inte motsvarar definitionen av en funktion.
4. Villkor för parallellitet mellan två linjer:
Grafen för funktionen y=k 1 x+b 1 är parallell med grafen för funktionen y=k 2 x+b 2 om k 1 =k 2
5. Villkoret för att två raka linjer ska vara vinkelräta:
Grafen för funktionen y=k 1 x+b 1 är vinkelrät mot grafen för funktionen y=k 2 x+b 2 om k 1 *k 2 =-1 eller k 1 =-1/k 2
6. Skärningspunkter för grafen för funktionen y=kx+b med koordinataxlarna.
Med OY-axel. Abskissan för varje punkt som hör till OY-axeln är lika med noll. För att hitta skärningspunkten med OY-axeln måste du därför ersätta noll i funktionens ekvation istället för x. Vi får y=b. Det vill säga skärningspunkten med OY-axeln har koordinater (0; b).
Med OX-axeln: Ordinatan för en punkt som hör till OX-axeln är noll. För att hitta skärningspunkten med OX-axeln måste du därför ersätta noll i funktionens ekvation istället för y. Vi får 0=kx+b. Alltså x=-b/k. Det vill säga, skärningspunkten med OX-axeln har koordinater (-b/k;0):
Linjär funktion kallas en funktion av formen y = kx + b, definierad på mängden av alla reella tal. Här k – backe(riktigt nummer), b – fri sikt (reellt tal), x- oberoende variabel.
I det speciella fallet, om k = 0, får vi en konstant funktion y = b, vars graf är en rät linje parallell med Ox-axeln som går genom punkten med koordinater (0; b).
Om b = 0, då får vi funktionen y = kx, vilket är direkt proportionalitet.
b – segmentets längd, som är avskuren av en rät linje längs Oy-axeln, räknat från origo.
Koefficientens geometriska betydelse k – lutningsvinkel rakt till den positiva riktningen av Ox-axeln, betraktad moturs.
Egenskaper för en linjär funktion:
1) Definitionsdomänen för en linjär funktion är hela den reella axeln;
2) Om k ≠ 0, då är värdeintervallet för den linjära funktionen hela den reella axeln. Om k = 0, då består värdeintervallet för den linjära funktionen av talet b;
3) Jämnhet och uddahet för en linjär funktion beror på koefficienternas värden k Och b.
a) b ≠ 0, k = 0, därav, y = b – jämnt;
b) b = 0, k ≠ 0, därav y = kx – udda;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, därav y = kx + b – funktion av allmän form;
d) b = 0, k = 0, därav y = 0 – både jämna och udda funktioner.
4) En linjär funktion har inte egenskapen periodicitet;
5) Skärningspunkter med koordinataxlar:
Oxe: y = kx + b = 0, x = -b/k, därav (-b/k; 0)– skärningspunkt med abskissaxeln.
Oj: y = 0k + b = b, därav (0; b)– skärningspunkt med ordinataaxeln.
Obs: Om b = 0 Och k = 0, sedan funktionen y = 0 går till noll för valfritt värde på variabeln X. Om b ≠ 0 Och k = 0, sedan funktionen y = b försvinner inte för något värde av variabeln X.
6) Tecknets konstansintervall beror på koefficienten k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b– positivt när x från (-b/k; +∞),
y = kx + b– negativ kl x från (-∞; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b– positivt när x från (-∞; -b/k),
y = kx + b– negativ kl x från (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b positiv över hela definitionsintervallet,
k = 0, b< 0; y = kx + b negativ genom hela definitionsområdet.
7) Monotonicitetsintervallen för en linjär funktion beror på koefficienten k.
k > 0, därav y = kx + bökar över hela definitionsområdet,
k< 0 , därav y = kx + b minskar över hela definitionsområdet.
8) Grafen för en linjär funktion är en rät linje. För att konstruera en rak linje räcker det att känna till två punkter. Placeringen av den räta linjen på koordinatplanet beror på koefficienternas värden k Och b. Nedan finns en tabell som tydligt illustrerar detta.
"Teckningar för diabilder" - Valfri kurs "World of Multimedia Technologies". Ritningar på diabilder. C) du kan överföra ritningen genom att ta tag i mitten med musen. Infoga bilder på en bild. Sekundär kommunal läroanstalt grundskola Nr 5. 95% av informationen uppfattas av en person genom synens organ...
"Funktioner och deras grafer" - 3. Tangentfunktion. Trigonometrisk. Funktionen är definierad och kontinuerlig över hela uppsättningen av reella tal. Definition: Den numeriska funktionen som ges av formeln y = cos x kallas cosinus. 4.Cotangens funktion. Vid punkten x = a kan funktionen existera eller inte. Definition 1. Låt funktionen y = f(x) definieras på ett intervall.
"Funktioner av flera variabler" - Största och minsta värde funktioner. Weierstrass sats. Inre och gränspunkter. Gräns för en funktion av 2 variabler. Funktionsdiagram. Sats. Kontinuitet. Begränsat område. Öppna och stängda områden. Derivat av högre ordning. Partiella derivat. Partiella ökningar av en funktion av 2 variabler.
"3D-ritningar på asfalt" - Kurt började skapa sina första verk vid 16 års ålder i Santa Barbara, där han blev beroende av gatukonst. 3D-ritningar på asfalt. Kurt Wenner är en av de mest kända gatukonstnärerna som ritar 3D-ritningar på asfalt med vanliga kritor. USA. Som ung arbetade Kurt Wenner som illustratör för NASA, där han skapade första bilder av framtida rymdfarkoster.
"Ämnesfunktion" - Om eleverna arbetar annorlunda, bör läraren arbeta med dem annorlunda. Det är nödvändigt att ta reda på inte vad eleven inte vet, utan vad han vet. Generalisering. Syntes. Unified State Exam resultat matematik. Valfritt kursprogram. Förening. Utbildnings- och tematisk plan (24 timmar). Analogi. Om en elev överträffar en lärare är detta lärarens lycka.