Lösa exponentiella ekvationer och ojämlikheter. Att lösa exponentiella ojämlikheter: grundläggande metoder

Där rollen som $b$ kan vara ett vanligt nummer, eller kanske något tuffare. Exempel? Ja tack:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(align)\]

Jag tror att innebörden är tydlig: det finns en exponentiell funktion $((a)^(x))$, den jämförs med något och ombeds sedan hitta $x$. I särskilt kliniska fall kan de istället för variabeln $x$ sätta någon funktion $f\left(x \right)$ och därigenom komplicera ojämlikheten lite :)

Naturligtvis kan ojämlikheten i vissa fall framstå som mer allvarlig. Till exempel:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Eller till och med detta:

I allmänhet kan komplexiteten hos sådana ojämlikheter vara väldigt olika, men i slutändan reduceras de ändå till den enkla konstruktionen $((a)^(x)) \gt b$. Och vi kommer på något sätt att räkna ut en sådan konstruktion (i särskilt kliniska fall, när ingenting kommer att tänka på, kommer logaritmer att hjälpa oss). Därför ska vi nu lära dig hur du löser sådana enkla konstruktioner.

Lösning av enkla exponentiella ojämlikheter

Låt oss överväga något mycket enkelt. Till exempel detta:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Uppenbarligen kan siffran till höger skrivas om som en potens av två: $4=((2)^(2))$. Således kan den ursprungliga ojämlikheten skrivas om i en mycket bekväm form:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Och nu kliar mina händer efter att "strecka ut" tvåorna i krafternas baser för att få svaret $x \gt 2$. Men innan vi stryker över något, låt oss komma ihåg krafterna hos två:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Som vi ser, än större antalär i exponenten, desto större utdatanummer. "Tack, Cap!" – kommer en av eleverna att utbrista. Är det annorlunda? Tyvärr händer det. Till exempel:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ höger))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Även här är allt logiskt: ju större grad, desto fler gånger multipliceras talet 0,5 med sig självt (dvs delat på hälften). Således minskar den resulterande sekvensen av tal, och skillnaden mellan den första och andra sekvensen är bara i basen:

• Om basen för grad $a \gt 1$, då exponenten $n$ ökar, kommer talet $((a)^(n))$ också att öka;
• Och vice versa, om $0 \lt a \lt 1$, då exponenten $n$ ökar, kommer talet $((a)^(n))$ att minska.

När vi sammanfattar dessa fakta får vi det viktigaste uttalandet som hela beslutet bygger på exponentiella ojämlikheter:

Om $a \gt 1$ är olikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med olikheten $x \gt n$. Om $0 \lt a \lt 1$, så är olikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med olikheten $x \lt n$.

Med andra ord, om basen är större än en kan du helt enkelt ta bort den - olikhetstecknet kommer inte att ändras. Och om basen är mindre än en kan den också tas bort, men samtidigt måste du ändra ojämlikhetstecknet.

Observera att vi inte har övervägt alternativen $a=1$ och $a\le 0$. För i dessa fall uppstår osäkerhet. Låt oss säga hur man löser en olikhet av formen $((1)^(x)) \gt 3$? En till vilken makt som helst kommer igen att ge en - vi kommer aldrig att få tre eller fler. De där. det finns inga lösningar.

Med negativa skäl är allt ännu mer intressant. Tänk till exempel på denna ojämlikhet:

\[((\vänster(-2 \höger))^(x)) \gt 4\]

Vid första anblicken är allt enkelt:

Höger? Men nej! Det räcker med att ersätta ett par jämna och ett par udda tal istället för $x$ för att säkerställa att lösningen är felaktig. Ta en titt:

\[\begin(align) & x=4\Högerpil ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Högerpil ((\vänster(-2 \höger))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Högerpil ((\vänster(-2 \höger))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Högerpil ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Som du kan se växlar tecknen. Men det finns mer bråkdelar och annat tenn. Hur skulle du till exempel beställa att beräkna $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus två i sju potens)? Aldrig!

Därför antar vi för visshetens skull att i alla exponentiella ojämlikheter (och ekvationer förresten också) $1\ne a \gt 0$. Och då är allt löst väldigt enkelt:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Högerpil \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

I allmänhet, kom ihåg huvudregeln ännu en gång: om basen i en exponentiell ekvation är större än en kan du helt enkelt ta bort den; och om basen är mindre än en kan den också tas bort, men tecknet på ojämlikhet kommer att ändras.

Exempel på lösningar

Så låt oss titta på några enkla exponentiella ojämlikheter:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Den primära uppgiften i alla fall är densamma: att reducera ojämlikheterna till den enklaste formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Det är precis vad vi nu kommer att göra med varje olikhet, och samtidigt kommer vi att upprepa egenskaperna hos grader och exponentialfunktioner. Låt oss gå!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Vad kan du göra här? Jo, till vänster har vi redan ett vägledande uttryck - inget behöver ändras. Men till höger finns det något slags skit: en bråkdel, och till och med en rot i nämnaren!

Men låt oss komma ihåg reglerna för att arbeta med bråk och potenser:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Vad betyder det? För det första kan vi enkelt bli av med bråket genom att omvandla det till en potens med negativ exponent. Och för det andra, eftersom nämnaren har en rot, skulle det vara trevligt att förvandla den till en potens - den här gången med en bråkdelsexponent.

Låt oss tillämpa dessa åtgärder sekventiellt på den högra sidan av ojämlikheten och se vad som händer:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Glöm inte att när du höjer en grad till en potens, så summerar exponenterna för dessa grader. Och i allmänhet, när man arbetar med exponentiella ekvationer och ojämlikheter, är det absolut nödvändigt att känna till åtminstone de enklaste reglerna för att arbeta med potenser:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\vänster(((a)^(x)) \höger))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Egentligen tillämpade vi bara den sista regeln. Därför kommer vår ursprungliga ojämlikhet att skrivas om enligt följande:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Högerpil ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Nu blir vi av med de två vid basen. Eftersom 2 > 1 förblir olikhetstecknet detsamma:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Högerpil x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Det är lösningen! Den största svårigheten ligger inte alls i den exponentiella funktionen, utan i den kompetenta omvandlingen av det ursprungliga uttrycket: du måste noggrant och snabbt föra det till sin enklaste form.

Tänk på den andra ojämlikheten:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Så så. Decimalbråk väntar oss här. Som jag har sagt många gånger, i alla uttryck med potenser bör du bli av med decimaler - detta är ofta det enda sättet att se en snabb och enkel lösning. Här blir vi av med:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Högerpil ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Här har vi återigen den enklaste ojämlikheten, och även med en bas på 1/10, d.v.s. mindre än en. Tja, vi tar bort baserna och ändrar samtidigt tecknet från "mindre" till "mer", och vi får:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Vi fick det slutliga svaret: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Observera: svaret är exakt en mängd, och inte i något fall en konstruktion av formen $x \lt -1$. För formellt sett är en sådan konstruktion inte alls en mängd, utan en olikhet med avseende på variabeln $x$. Ja, det är väldigt enkelt, men det är inte svaret!

Viktig notering. Denna ojämlikhet skulle kunna lösas på ett annat sätt - genom att reducera båda sidor till en makt med en bas större än en. Ta en titt:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Högerpil ((\vänster(((10)^(-1)) \höger))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Högerpil ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Efter en sådan transformation kommer vi återigen att få en exponentiell olikhet, men med basen 10 > 1. Det betyder att vi helt enkelt kan stryka över tio - olikhetens tecken kommer inte att ändras. Vi får:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Som du kan se var svaret exakt detsamma. Samtidigt räddade vi oss från behovet av att byta skylt och i allmänhet komma ihåg alla regler :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Men låt inte detta skrämma dig. Oavsett vad som står i indikatorerna förblir tekniken för att lösa ojämlikhet i sig densamma. Låt oss därför först notera att 16 = 2 4. Låt oss skriva om den ursprungliga ojämlikheten med hänsyn till detta faktum:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hurra! Vi fick den vanliga kvadratiska ojämlikheten! Tecknet har inte ändrats någonstans, eftersom basen är två - ett tal större än ett.

Nollor för en funktion på tallinjen

Vi ordnar tecknen för funktionen $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - uppenbarligen kommer dess graf att vara en parabel med grenar uppåt, så det kommer att finnas "plus " på sidorna. Vi är intresserade av regionen där funktionen mindre än noll, dvs. $x\in \left(2;5 \right)$ är svaret på det ursprungliga problemet.

Tänk slutligen på en annan ojämlikhet:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Återigen ser vi en exponentialfunktion med ett decimaltal i basen. Låt oss konvertera denna bråkdel till en vanlig bråkdel:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Högerpil \\ & \Högerpil ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\vänster(((5)^(-1)) \höger))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

I det här fallet använde vi anmärkningen som gavs tidigare - vi reducerade basen till siffran 5 > 1 för att förenkla vår ytterligare lösning. Låt oss göra samma sak med höger sida:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ höger))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Låt oss skriva om den ursprungliga ojämlikheten med hänsyn till båda transformationerna:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Högerpil ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \höger)))\ge ((5)^(-2))\]

Baserna på båda sidor är desamma och överstiger en. Det finns inga andra termer till höger och vänster, så vi "kryssar" helt enkelt femmorna och får ett väldigt enkelt uttryck:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Det är här du måste vara mer försiktig. Många elever gillar att helt enkelt extrahera Roten ur av båda sidor av ojämlikheten och skriv ungefär $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. I inget fall bör du göra detta, eftersom roten av en exakt kvadrat är modul, och i inget fall den ursprungliga variabeln:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\vänster| x\höger|\]

Att arbeta med moduler är dock inte den roligaste upplevelsen, eller hur? Så vi kommer inte att jobba. Istället flyttar vi helt enkelt alla termer åt vänster och löser den vanliga ojämlikheten med intervallmetoden:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Vi markerar återigen de erhållna punkterna på tallinjen och tittar på tecknen:

Eftersom vi löste en icke strikt ojämlikhet är alla punkter på grafen skuggade. Därför blir svaret: $x\in \left[ -1;1 \right]$ är inte ett intervall, utan ett segment.

Generellt sett skulle jag vilja notera att det inte är något komplicerat med exponentiella ojämlikheter. Innebörden av alla transformationer som vi utförde idag kommer ner till en enkel algoritm:

• Hitta grunden till vilken vi ska minska alla grader;
• Utför noggrant omvandlingarna för att få en olikhet av formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Naturligtvis, istället för variablerna $x$ och $n$ kan det finnas mycket mer komplexa funktioner, men innebörden kommer inte att förändras;
• Stryk ut grunderna för grader. I det här fallet kan olikhetstecknet ändras om basen $a \lt 1$.

I själva verket är detta en universell algoritm för att lösa alla sådana ojämlikheter. Och allt annat de kommer att berätta om detta ämne är bara specifika tekniker och knep som kommer att förenkla och påskynda omvandlingen. Vi ska prata om en av dessa tekniker nu :)

Rationaliseringsmetod

Låt oss överväga en annan uppsättning ojämlikheter:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \höger))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Så vad är det som är så speciellt med dem? De är lätta. Fast sluta! Är talet π höjt till någon makt? Vilket nonsens?

Hur höjer man talet $2\sqrt(3)-3$ till en potens? Eller $3-2\sqrt(2)$? Problemskribenterna drack uppenbarligen för mycket Hagtorn innan de satte sig till jobbet :)

Det är faktiskt inget skrämmande med dessa uppgifter. Låt mig påminna dig: en exponentialfunktion är ett uttryck av formen $((a)^(x))$, där basen $a$ är vilket positivt tal som helst utom ett. Siffran π är positiv – det vet vi redan. Siffrorna $2\sqrt(3)-3$ och $3-2\sqrt(2)$ är också positiva - det är lätt att se om du jämför dem med noll.

Det visar sig att alla dessa "skrämmande" ojämlikheter inte löses annorlunda än de enkla som diskuterats ovan? Och är de lösta på samma sätt? Ja, det är helt rätt. Men med deras exempel skulle jag vilja överväga en teknik som avsevärt sparar tid på självständigt arbete och tentor. Vi kommer att prata om metoden för rationalisering. Så, uppmärksamhet:

Eventuell exponentiell olikhet av formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ är ekvivalent med olikheten $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ höger) \gt 0 $.

Det är hela metoden :) Trodde du att det skulle bli något annat spel? Inget sånt här! Men detta enkla faktum, bokstavligen skrivet på en rad, kommer att avsevärt förenkla vårt arbete. Ta en titt:

\[\begin(matris) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matris)\]

Så det finns inga fler exponentiella funktioner! Och du behöver inte komma ihåg om tecknet ändras eller inte. Men ett nytt problem uppstår: vad ska man göra med den jäkla multiplikatorn \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Vi vet inte vad det handlar om exakt värde siffror π. Men kaptenen verkar antyda det uppenbara:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ca 3.14... \gt 3\Högerpil \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

I allmänhet berör det exakta värdet av π oss inte riktigt - det är bara viktigt för oss att förstå att i alla fall $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. detta är en positiv konstant, och vi kan dela båda sidor av ojämlikheten med det:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \höger) \gt 0 \\ & x+7-\vänster(((x)^(2))-3x+2 \höger) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se var vi vid ett visst tillfälle tvungna att dividera med minus ett – och tecknet på ojämlikhet förändrades. I slutet utökade jag det kvadratiska trinomialet med hjälp av Vietas sats - det är uppenbart att rötterna är lika med $((x)_(1))=5$ och $((x)_(2))=-1$ . Sedan är allt avgjort klassisk metod intervaller:

Alla poäng tas bort eftersom den ursprungliga ojämlikheten är strikt. Vi är intresserade av regionen med negativa värden, så svaret är $x\in \left(-1;5 \right)$. Det är lösningen.

Låt oss gå vidare till nästa uppgift:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Allt här är i allmänhet enkelt, eftersom det finns en enhet till höger. Och vi kommer ihåg att ett är vilket tal som helst upphöjt till nollpotensen. Även om detta nummer är ett irrationellt uttryck vid basen till vänster:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \höger))^(0)); \\\end(align)\]

Nåväl, låt oss rationalisera:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Allt som återstår är att ta reda på tecknen. Faktorn $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ innehåller inte variabeln $x$ - det är bara en konstant, och vi måste ta reda på dess tecken. För att göra detta, notera följande:

\[\begin(matris) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2) -2 \right)=0 \\\end(matris)\]

Det visar sig att den andra faktorn inte bara är en konstant, utan en negativ konstant! Och när man dividerar med det ändras tecknet på den ursprungliga ojämlikheten till motsatsen:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Nu blir allt helt uppenbart. Rötterna till det kvadratiska trinomialet till höger är: $((x)_(1))=0$ och $((x)_(2))=2$. Vi markerar dem på talraden och tittar på tecknen för funktionen $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Vi är intresserade av intervallerna markerade med ett plustecken. Allt som återstår är att skriva ner svaret:

Låt oss gå vidare till nästa exempel:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ höger))^(16-x))\]

Tja, allt är helt uppenbart här: baserna innehåller potenser av samma nummer. Därför kommer jag att skriva allt kort:

\[\begin(matris) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Nedåt \\ ((\vänster(((3)^(-1)) \höger))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\vänster(((3)^(-2)) \höger))^(16-x)) \\\end(matris)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vänster(16-x \höger))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se var vi under omvandlingsprocessen tvungna att multiplicera med ett negativt tal, så olikhetstecknet ändrades. I slutet tillämpade jag återigen Vietas sats för att faktorisera det kvadratiska trinomialet. Som ett resultat blir svaret följande: $x\in \left(-8;4 \right)$ - vem som helst kan verifiera detta genom att rita en tallinje, markera punkterna och räkna tecknen. Under tiden kommer vi att gå vidare till den sista ojämlikheten från vår "uppsättning":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Som du kan se, vid basen finns det återigen ett irrationellt tal, och till höger finns det återigen en enhet. Därför skriver vi om vår exponentiella ojämlikhet enligt följande:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ höger))^(0))\]

Vi tillämpar rationalisering:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Det är dock ganska uppenbart att $1-\sqrt(2) \lt 0$, eftersom $\sqrt(2)\ca 1,4... \gt 1$. Därför är den andra faktorn återigen en negativ konstant, med vilken båda sidor av ojämlikheten kan delas:

\[\begin(matris) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matris)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Flytta till en annan bas

Ett separat problem när man löser exponentiella ojämlikheter är sökandet efter den "rätta" basen. Tyvärr är det inte alltid självklart vid första anblicken av en uppgift vad man ska ta som grund, och vad man ska göra enligt graden av denna grund.

Men oroa dig inte: det finns ingen magi eller "hemlig" teknik här. I matematik kan alla färdigheter som inte kan algoritmiseras lätt utvecklas genom övning. Men för detta måste du lösa problem med olika komplexitetsnivåer. Till exempel, så här:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Svår? Skrämmande? Det är lättare än att slå en kyckling på asfalten! Låt oss försöka. Första ojämlikheten:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Tja, jag tror att allt är klart här:

Vi skriver om den ursprungliga ojämlikheten och reducerar allt till bas två:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Högerpil \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Ja, ja, du hörde rätt: jag tillämpade precis den ovan beskrivna rationaliseringsmetoden. Nu måste vi arbeta försiktigt: vi har en bråk-rationell ojämlikhet (detta är en som har en variabel i nämnaren), så innan vi likställer något med noll, måste vi få allt till gemensam nämnare och bli av med den konstanta faktorn.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nu använder vi standardintervallmetoden. Täljaren nollor: $x=\pm 4$. Nämnaren går till noll endast när $x=0$. Det finns tre punkter totalt som måste markeras på talraden (alla punkter är fastade eftersom olikhetstecknet är strikt). Vi får:

Som du kanske gissar markerar skuggningen de intervall där uttrycket till vänster tar negativa värden. Därför kommer det slutliga svaret att innehålla två intervaller samtidigt:

Ändarna på intervallen ingår inte i svaret eftersom den ursprungliga ojämlikheten var strikt. Ingen ytterligare verifiering av detta svar krävs. I detta avseende är exponentiella ojämlikheter mycket enklare än logaritmiska: ingen ODZ, inga begränsningar, etc.

Låt oss gå vidare till nästa uppgift:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Det finns inga problem här heller, eftersom vi redan vet att $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, så hela ojämlikheten kan skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Högerpil ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Observera: på den tredje raden bestämde jag mig för att inte slösa tid på bagateller och omedelbart dividera allt med (−2). Minul gick in i den första parentesen (nu finns det plus överallt), och två reducerades med en konstant faktor. Detta är precis vad du bör göra när du förbereder riktiga skärmar på oberoende och tester— det finns inget behov av att beskriva varje handling och omvandling.

Därefter kommer den välbekanta metoden med intervaller in i bilden. Täljaren nollor: men det finns inga. Eftersom diskriminanten kommer att vara negativ. I sin tur återställs nämnaren endast till $x=0$ - precis som förra gången. Tja, det är tydligt att till höger om $x=0$ kommer bråket att ta positiva värden, och till vänster - negativt. Eftersom vi är intresserade av negativa värden är det slutliga svaret: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Vad ska du göra med decimalbråk i exponentiella olikheter? Det stämmer: bli av med dem, omvandla dem till vanliga. Här kommer vi att översätta:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Högerpil ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ vänster(\frac(4)(25) \höger))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Högerpil ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\höger))^(x)). \\\end(align)\]

Så vad fick vi i grunden för exponentialfunktioner? Och vi fick två ömsesidigt omvända tal:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Högerpil ((\left(\frac(25)(4) \ höger))^(x))=((\vänster(((\vänster(\frac(4)(25) \höger))^(-1)) \höger))^(x))=((\ vänster(\frac(4)(25) \höger))^(-x))\]

Således kan den ursprungliga ojämlikheten skrivas om på följande sätt:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \höger))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Naturligtvis, när man multiplicerar potenser med samma bas, summeras deras exponenter, vilket är vad som hände på den andra raden. Dessutom representerade vi enheten till höger, även som en kraft i bas 4/25. Allt som återstår är att rationalisera:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Observera att $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, dvs. den andra faktorn är en negativ konstant, och när man dividerar med den kommer olikhetstecknet att ändras:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Högerpil x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Slutligen, den sista ojämlikheten från den nuvarande "uppsättningen":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

I princip är idén med lösningen här också tydlig: alla exponentiella funktioner som ingår i ojämlikheten måste reduceras till bas "3". Men för detta måste du mixtra lite med rötter och krafter:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Med hänsyn till dessa fakta kan den ursprungliga ojämlikheten skrivas om på följande sätt:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\höger))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Var uppmärksam på den andra och tredje raden i beräkningarna: innan du gör något med ojämlikheten, var noga med att föra den till den form som vi pratade om från början av lektionen: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Så länge du har några vänsterhänta faktorer, ytterligare konstanter etc. till vänster eller höger, ingen rationalisering eller "överkorsning" av grunder kan utföras! Otaliga uppgifter har slutförts felaktigt på grund av att man inte förstår detta enkla faktum. Jag själv observerar hela tiden detta problem med mina elever när vi precis börjar analysera exponentiella och logaritmiska ojämlikheter.

Men låt oss återgå till vår uppgift. Låt oss försöka klara oss utan rationalisering den här gången. Låt oss komma ihåg: gradens bas är större än en, så trippeln kan helt enkelt strykas över - ojämlikhetstecknet kommer inte att ändras. Vi får:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Det är allt. Slutligt svar: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Isolera ett stabilt uttryck och ersätta en variabel

Avslutningsvis föreslår jag att lösa ytterligare fyra exponentiella ojämlikheter, som redan är ganska svåra för oförberedda elever. För att klara av dem måste du komma ihåg reglerna för att arbeta med examina. I synnerhet att sätta gemensamma faktorer utanför parantes.

Men det viktigaste är att lära sig förstå vad som exakt kan tas ur parentes. Ett sådant uttryck kallas stabilt - det kan betecknas med en ny variabel och därmed bli av med exponentialfunktionen. Så låt oss titta på uppgifterna:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Låt oss börja från första raden. Låt oss skriva denna ojämlikhet separat:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Observera att $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, alltså den högra handen sida kan skrivas om:

Observera att det inte finns några andra exponentialfunktioner förutom $((5)^(x+1))$ i olikheten. Och generellt sett visas inte variabeln $x$ någon annanstans, så låt oss introducera en ny variabel: $((5)^(x+1))=t$. Vi får följande konstruktion:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Vi återgår till den ursprungliga variabeln ($t=((5)^(x+1))$), och kommer samtidigt ihåg att 1=5 0 . Vi har:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Det är lösningen! Svar: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Låt oss gå vidare till den andra ojämlikheten:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Allting är likadant här. Observera att $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Sedan kan den vänstra sidan skrivas om:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \höger. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\högerpil ((3)^(x))\ge 9\högerpil ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Högerpil x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Ungefär så behöver du ta fram en lösning för riktiga tester och självständigt arbete.

Nåväl, låt oss prova något mer komplicerat. Här är till exempel ojämlikheten:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Vad är problemet här? Först och främst är baserna för exponentialfunktionerna till vänster olika: 5 och 25. Men 25 = 5 2, så den första termen kan transformeras:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Som du kan se tog vi först allt till samma bas, och sedan märkte vi att den första termen lätt kan reduceras till den andra - du behöver bara utöka exponenten. Nu kan du säkert införa en ny variabel: $((5)^(2x+2))=t$, och hela olikheten kommer att skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Och återigen, inga svårigheter! Slutligt svar: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Låt oss gå vidare till den slutliga ojämlikheten i dagens lektion:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Det första du bör vara uppmärksam på är naturligtvis decimal vid basen av den första graden. Det är nödvändigt att bli av med det och samtidigt föra alla exponentialfunktioner till samma bas - talet "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Högerpil ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\vänster(((2)^(-1)) \höger))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Högerpil ((16)^(x+1,5))=((\vänster(((2)^(4)) \höger))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Bra, vi har tagit det första steget – allt har lett till samma grund. Nu måste du välja stabilt uttryck. Observera att $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Om vi ​​introducerar en ny variabel $((2)^(4x+6))=t$, kan den ursprungliga olikheten skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturligtvis kan frågan uppstå: hur upptäckte vi att 256 = 2 8? Tyvärr behöver du här bara känna till tvåpotenserna (och samtidigt tre- och fempotenserna). Tja, eller dividera 256 med 2 (du kan dividera, eftersom 256 är ett jämnt tal) tills vi får resultatet. Det kommer att se ut ungefär så här:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(align )\]

Detsamma gäller med tre (siffrorna 9, 27, 81 och 243 är dess grader), och med sju (siffrorna 49 och 343 skulle också vara trevliga att komma ihåg). Tja, de fem har också "vackra" grader som du behöver veta:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Naturligtvis, om du vill, kan alla dessa siffror återställas i ditt sinne genom att helt enkelt multiplicera dem successivt med varandra. Men när du måste lösa flera exponentiella ojämlikheter, och varje nästa är svårare än den föregående, då är det sista du vill tänka på potenserna för vissa tal. Och i denna mening är dessa problem mer komplexa än "klassiska" ojämlikheter som löses med intervallmetoden.