Arean av ett parallellogram byggt på vektorer är lika med produkten av längderna på dessa vektorer och vinkeln på vinkeln som ligger mellan dem.
Det är bra när förhållandena ger längden på samma vektorer. Det händer dock också att formeln för arean av ett parallellogram byggt på vektorer endast kan tillämpas efter beräkningar med koordinater.
Om du har tur och förhållandena ger längderna på vektorerna, behöver du bara tillämpa formeln, som vi redan har diskuterat i detalj i artikeln. Arean kommer att vara lika med produkten av modulerna och sinus för vinkeln mellan dem:
Låt oss överväga ett exempel på att beräkna arean av ett parallellogram byggt på vektorer.
Uppgift: Parallellogrammet är byggt på vektorerna och . Hitta arean om , och vinkeln mellan dem är 30°.
Låt oss uttrycka vektorerna genom deras värden:
Du kanske har en fråga - var kommer nollorna ifrån? Det är värt att komma ihåg att vi arbetar med vektorer, och för dem 
. Observera också att om resultatet är , kommer det att konverteras till . Nu gör vi de slutliga beräkningarna:
Låt oss återgå till problemet när längderna på vektorerna inte anges i villkoren. Om ditt parallellogram ligger i det kartesiska koordinatsystemet, måste du göra följande.
Beräkning av längderna på sidorna av en figur som ges av koordinater
Till att börja med hittar vi vektorernas koordinater och subtraherar motsvarande koordinater för början från slutkoordinaterna. Låt oss säga att koordinaterna för vektor a är (x1;y1;z1), och vektor b är (x3;y3;z3).
Nu hittar vi längden på varje vektor. För att göra detta måste varje koordinat kvadreras, sedan måste de erhållna resultaten läggas till och roten extraheras från det slutliga numret. Baserat på våra vektorer kommer följande beräkningar att göras: 
Nu måste vi hitta den skalära produkten av våra vektorer. För att göra detta multipliceras och adderas deras motsvarande koordinater.
Med längden på vektorerna och deras skalära produkt kan vi hitta cosinus för vinkeln mellan dem 
.
Nu kan vi hitta sinus för samma vinkel: 
Nu har vi alla nödvändiga kvantiteter, och vi kan enkelt hitta arean av ett parallellogram byggt på vektorer med den redan kända formeln.
Låt oss först komma ihåg vad en vektorprodukt är.
Anteckning 1
Vektor konstverk för $\vec(a)$ och $\vec(b)$ är $\vec(c)$, vilket är någon tredje vektor $\vec(c)= ||$, och denna vektor har speciella egenskaper:
- Skalären för den resulterande vektorn är produkten av $|\vec(a)|$ och $|\vec(b)|$ med sinus för vinkeln $\vec(c)= ||= |\vec(a) )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
- Alla $\vec(a), \vec(b)$ och $\vec(c)$ bildar en högertrippel;
- Den resulterande vektorn är ortogonal mot $\vec(a)$ och $\vec(b)$.
Om vektorer har några koordinater ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ och $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), då deras vektorprodukt i kartesisk koordinat systemet kan bestämmas med formeln:
$ = \(y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\)$
Det enklaste sättet att komma ihåg denna formel är att skriva den i determinantform:
$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.
Denna formel är mycket bekväm att använda, men för att förstå hur man använder den bör du först bekanta dig med ämnet matriser och deras bestämningsfaktorer.
Arean av ett parallellogram, vars sidor bestäms av två vektorer $\vec(a)$ och $vec(b)$ är lika med skalär av vektorprodukten av de givna två vektorerna.
Detta förhållande är inte alls svårt att härleda.
Låt oss komma ihåg formeln för att hitta arean av ett vanligt parallellogram, som kan karakteriseras av segmenten $a$ och $b$ som bildar det:
$S = a \cdot b \cdot \sin α$
I det här fallet är längderna på sidorna lika med skalärvärdena för vektorerna $\vec(a)$ och $\vec(b)$, vilket är ganska lämpligt för oss, det vill säga skalären för vektorprodukten av dessa vektorer kommer att vara området för figuren som övervägs.
Exempel 1
Angivna är vektorer $\vec(c)$ med koordinater $\(5;3; 7\)$ och vektor $\vec(g)$ med koordinater $\(3; 7;10\)$ i det kartesiska koordinatsystemet . Hitta arean av parallellogrammet som bildas av $\vec(c)$ och $\vec(g)$.
Lösning:
Låt oss hitta vektorprodukten för dessa vektorer:
$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.
Låt oss nu hitta det modulära värdet för det resulterande riktade segmentet, det är värdet på området för det konstruerade parallellogrammet:
$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.
Detta resonemang är giltigt inte bara för att hitta area i 3-dimensionell rymd, utan också för tvådimensionell rymd. Kolla in följande pussel om detta ämne.
Exempel 2
Beräkna arean av ett parallellogram om dess genererande segment specificeras av vektorerna $\vec(m)$ med koordinaterna $\(2; 3\)$ och $\vec(d)$ med koordinaterna $\(-5 ; 6\)$.
Lösning:
Detta problem är ett speciellt exempel på problem 1, löst ovan, men båda vektorerna ligger i samma plan, vilket gör att den tredje koordinaten, $z$, kan tas som noll.
För att sammanfatta allt ovanstående kommer parallellogrammets yta att vara:
$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.
Exempel 3
Givna vektorer $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)= 5i$. Bestäm arean av parallellogrammet de bildar.
$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $
Låt oss förenkla enligt tabellen nedan för enhetsvektorer:
Figur 1. Nedbrytning av en vektor per bas. Author24 - utbyte av studentverk online
$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.
Beräkningstid:
$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.
De tidigare problemen handlade om vektorer vars koordinater är specificerade i det kartesiska koordinatsystemet, men överväg också fallet om vinkeln mellan basvektorerna skiljer sig från $90°$:
Exempel 4
Vektor $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, längderna $\vec(a)$ och $\vec(b)$ är lika med varandra och lika med ett , och vinkeln mellan $\vec(a)$ och $\vec(b)$ är 45°.
Lösning:
Låt oss beräkna vektorprodukten $\vec(d) \times \vec(f)$:
$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.
För vektorprodukter, enligt deras egenskaper, gäller följande: $$ och $$ är lika med noll, $ = - $.
Låt oss använda detta för att förenkla:
$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 =-11$.
Låt oss nu använda formeln $(1)$:
$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=$5,5.
I den här lektionen kommer vi att titta på ytterligare två operationer med vektorer: vektorprodukt av vektorer Och blandad produkt av vektorer (direktlänk för de som behöver det). Det är okej, ibland händer det att för fullständig lycka, Förutom skalär produkt av vektorer, mer och mer krävs. Detta är vektorberoende. Det kan tyckas att vi är på väg ut i vildmarken analytisk geometri. Detta är fel. I den här delen av högre matematik finns det i allmänhet lite trä, förutom kanske tillräckligt för Pinocchio. Faktum är att materialet är väldigt vanligt och enkelt - knappast mer komplicerat än detsamma skalär produkt, blir det till och med färre typiska uppgifter. Huvudsaken inom analytisk geometri, eftersom många kommer att vara övertygade eller redan har blivit övertygade, är ATT INTE GÖRA FEL I BERÄKNINGAR. Upprepa som en trollformel så blir du glad =)
Om vektorer gnistrar någonstans långt borta, som blixtar vid horisonten, spelar det ingen roll, börja med lektionen Vektorer för dummies att återställa eller återhämta grundläggande kunskaper om vektorer. Mer förberedda läsare kan bekanta sig med informationen selektivt Jag försökte samla den mest kompletta samlingen av exempel som ofta finns i; praktiskt arbete
Vad gör dig glad direkt? När jag var liten kunde jag jonglera med två eller till och med tre bollar. Det gick bra. Nu behöver du inte jonglera alls, eftersom vi kommer att överväga endast rumsliga vektorer, och platta vektorer med två koordinater kommer att utelämnas. Varför? Det är så dessa handlingar föddes - vektorn och den blandade produkten av vektorer definieras och fungerar i tredimensionellt rymd. Det är redan lättare!
Denna operation, precis som den skalära produkten, innebär två vektorer. Låt dessa vara oförgängliga bokstäver.
Själva handlingen betecknas med på följande sätt: . Det finns andra alternativ, men jag är van vid att beteckna vektorprodukten av vektorer på detta sätt, inom hakparenteser med ett kryss.
Och direkt fråga: om i skalär produkt av vektorer två vektorer är inblandade, och här multipliceras också två vektorer, alltså vad är skillnaden? Den uppenbara skillnaden ligger först och främst i RESULTATET:
Resultatet av den skalära produkten av vektorer är ANTAL:
Resultatet av korsprodukten av vektorer är VEKTOR: , det vill säga vi multiplicerar vektorerna och får en vektor igen. Stängd klubb. Egentligen är det här namnet på operationen kommer ifrån. I olika utbildningslitteratur kan även beteckningar variera. Jag kommer att använda bokstaven.
Definition av korsprodukt
Först blir det en definition med en bild, sedan kommentarer.
Definition: Vektorprodukt icke-kollinjär vektorer, tagna i denna ordning, kallad VECTOR, längd vilket är numeriskt lika med parallellogrammets area, byggd på dessa vektorer; vektor ortogonal mot vektorer, och är inriktad så att grunden har en rätt orientering: 
Låt oss bryta ner definitionen, det finns mycket intressant här!
Så följande viktiga punkter kan lyftas fram:
1) De ursprungliga vektorerna, indikerade med röda pilar, per definition inte kolinjär. Det kommer att vara lämpligt att överväga fallet med kolinjära vektorer lite senare.
2) Vektorer tas i en strikt definierad ordning: – "a" multipliceras med "vara", och inte "vara" med "a". Resultatet av vektormultiplikationär VECTOR, som indikeras i blått. Om vektorerna multipliceras i omvänd ordning får vi en vektor lika lång och motsatt i riktning (hallonfärg). Det vill säga att jämställdheten är sann 
.
3) Låt oss nu bekanta oss med den geometriska betydelsen av vektorprodukten. Detta är en mycket viktig punkt! LÄNGDEN för den blå vektorn (och därför den crimson vektorn) är numeriskt lika med AREAN för parallellogrammet byggt på vektorerna. I figuren är detta parallellogram skuggat svart.
Notera : ritningen är schematisk, och naturligtvis är den nominella längden på vektorprodukten inte lika med parallellogrammets yta.
Låt oss komma ihåg en av de geometriska formlerna: Arean av ett parallellogram är lika med produkten av intilliggande sidor och sinus för vinkeln mellan dem. Därför, baserat på ovanstående, är formeln för att beräkna LÄNGDEN för en vektorprodukt giltig:
Jag betonar att formeln handlar om vektorns LÄNGD, och inte om själva vektorn. Vad är den praktiska innebörden? Och meningen är att i problem med analytisk geometri hittas området för ett parallellogram ofta genom konceptet med en vektorprodukt:
Låt oss ta den andra viktiga formeln. Diagonalen på ett parallellogram (röd prickad linje) delar det i två lika trianglar. Därför kan arean av en triangel byggd på vektorer (röd skuggning) hittas med formeln:
4) Åtminstone viktigt faktumär att vektorn är ortogonal mot vektorerna, det vill säga 
. Naturligtvis är den motsatt riktade vektorn (hallonpilen) också ortogonal mot de ursprungliga vektorerna.
5) Vektorn är riktad så att grund Det har höger orientering. I lektionen om övergång till en ny grund Jag talade tillräckligt detaljerat om plan orientering, och nu kommer vi att ta reda på vad rymdorientering är. Jag ska förklara på dina fingrar höger hand . Kombinera mentalt pekfinger med vektor och långfinger med vektor. Ringfinger och lillfinger tryck in den i handflatan. Som ett resultat tumme– vektorprodukten kommer att slå upp. Detta är en högerorienterad grund (det är den här i figuren). Ändra nu vektorerna ( pek- och långfinger) på vissa ställen, som ett resultat kommer tummen att vända sig om, och vektorprodukten kommer redan att titta ner. Detta är också en högerorienterad grund. Du kanske har en fråga: vilken grund har lämnat orienteringen? "Tilldela" till samma fingrar vänster hand vektorer och få vänster bas och vänster orientering av rymden (i det här fallet kommer tummen att vara placerad i den nedre vektorns riktning). Bildligt talat "vrider" dessa baser eller orienterar rymden i olika riktningar. Och det här konceptet bör inte betraktas som något långsökt eller abstrakt - till exempel ändras rymdens orientering av den vanligaste spegeln, och om du "drar det reflekterade föremålet ur glaset", så är det i det allmänna fallet kommer inte att vara möjligt att kombinera det med "originalet". Håll förresten tre fingrar mot spegeln och analysera reflektionen ;-)
...hur bra det är att du nu vet om höger- och vänsterorienterad grunder, eftersom vissa föreläsares uttalanden om en förändring i inriktning är skrämmande =)
Korsprodukt av kolinjära vektorer
Definitionen har diskuterats i detalj, det återstår att ta reda på vad som händer när vektorerna är kolinjära. Om vektorerna är kolinjära kan de placeras på en rak linje och vårt parallellogram "viks" också till en rak linje. Området för sådana, som matematiker säger, degenererad parallellogram är lika med noll. Detsamma följer av formeln - sinuset noll eller 180 grader lika med noll, och därför är området noll
Alltså, om, då 
Och 
. Observera att själva vektorprodukten är lika med nollvektorn, men i praktiken försummas detta ofta och de skrivs att den också är lika med noll.
Specialfall– vektorprodukt av en vektor med sig själv:
Med hjälp av vektorprodukten kan du kontrollera kolineariteten hos tredimensionella vektorer, och vi kommer även att analysera bland annat detta problem.
För att lösa praktiska exempel kan du behöva trigonometrisk tabell för att hitta värdena för sinus från den.
Nåväl, låt oss tända elden:
Exempel 1
a) Hitta längden på vektorprodukten av vektorer if 
b) Hitta arean av ett parallellogram byggt på vektorer if 
Lösning: Nej, detta är inte ett stavfel, jag gjorde medvetet de ursprungliga uppgifterna i villkorets klausuler lika. För designen på lösningarna blir annorlunda!
a) Enligt tillståndet måste du hitta längd vektor (korsprodukt). Enligt motsvarande formel:
Svar:
Eftersom frågan handlade om längd anger vi dimensionen i svaret - enheter.
b) Enligt tillståndet måste du hitta fyrkant parallellogram byggt på vektorer. Arean av detta parallellogram är numeriskt lika med längden på vektorprodukten:
Svar:
Observera att svaret inte alls talar om vektorprodukten vi blev tillfrågade om arean av figuren, följaktligen är dimensionen kvadratiska enheter.
Vi tittar alltid på VAD vi behöver hitta utifrån tillståndet, och utifrån detta formulerar vi klar svar. Det kan tyckas vara bokstavstrogen, men det finns gott om bokstavstrogna bland lärarna, och uppdraget har goda chanser att returneras för omarbetning. Även om detta inte är en särskilt långsökt käbbla - om svaret är felaktigt får man intrycket att personen inte förstår Enkla saker och/eller inte förstod kärnan i uppgiften. Denna punkt bör alltid hållas under kontroll när du löser ett problem högre matematik, och även i andra ämnen.
Var tog den stora bokstaven "en" vägen? I princip kunde det ha varit extra kopplat till lösningen, men för att förkorta posten gjorde jag inte detta. Jag hoppas att alla förstår det och är en beteckning för samma sak.
Ett populärt exempel för oberoende beslut:
Exempel 2
Hitta arean av en triangel byggd på vektorer om 
Formeln för att hitta arean av en triangel genom vektorprodukten ges i kommentarerna till definitionen. Lösningen och svaret finns i slutet av lektionen.
I praktiken är uppgiften verkligen mycket vanlig; trianglar kan i allmänhet plåga dig.
För att lösa andra problem behöver vi:
Egenskaper för vektorprodukten av vektorer
Vi har redan övervägt några egenskaper hos vektorprodukten, men jag kommer att inkludera dem i den här listan.
För godtyckliga vektorer och ett godtyckligt tal är följande egenskaper sanna:
1) I andra informationskällor är denna post vanligtvis inte markerad i egenskaperna, men den är mycket viktig i praktiska termer. Så låt det vara.
2) 
– fastigheten diskuteras också ovan, ibland kallas det antikommutativitet. Med andra ord, ordningen på vektorerna har betydelse.
3) – associativ eller associativ vektor produktlagar. Konstanter kan enkelt flyttas utanför vektorprodukten. Egentligen, vad ska de göra där?
4) – distribution eller distributiv vektor produktlagar. Det är inga problem med att öppna fästena heller.
För att demonstrera, låt oss titta på ett kort exempel:
Exempel 3
Hitta om 
Lösning: Villkoret kräver återigen att man hittar längden på vektorprodukten. Låt oss måla vår miniatyr: 
(1) Enligt associativa lagar tar vi konstanterna utanför vektorproduktens ram.
(2) Vi flyttar konstanten utanför modulen, och modulen "äter" minustecknet. Längden kan inte vara negativ.
(3) Resten är klart.
Svar: 
Det är dags att lägga till mer ved till elden:
Exempel 4
Beräkna arean av en triangel byggd på vektorer om 
Lösning: Hitta arean av triangeln med hjälp av formeln 
. Haken är att vektorerna "tse" och "de" själva presenteras som summor av vektorer. Algoritmen här är standard och påminner en del om exempel nr 3 och 4 på lektionen Punktprodukt av vektorer. För tydlighetens skull kommer vi att dela upp lösningen i tre steg:
1) I det första steget uttrycker vi vektorprodukten genom vektorprodukten, faktiskt, låt oss uttrycka en vektor i termer av en vektor. Inga ord ännu om längder!
(1) Ersätt uttrycken för vektorerna.
(2) Med hjälp av distributiva lagar öppnar vi parenteserna enligt regeln för multiplikation av polynom.
(3) Med hjälp av associativa lagar flyttar vi alla konstanter bortom vektorprodukterna. Med lite erfarenhet kan steg 2 och 3 utföras samtidigt.
(4) De första och sista termerna är lika med noll (nollvektor) på grund av den fina egenskapen. I den andra termen använder vi egenskapen antikommutativitet för en vektorprodukt:
(5) Vi presenterar liknande termer.
Som ett resultat visade sig vektorn uttryckas genom en vektor, vilket är vad som krävdes för att uppnås: 
2) I det andra steget hittar vi längden på vektorprodukten vi behöver. Denna åtgärd liknar exempel 3: 
3) Hitta arean av den önskade triangeln: 
Steg 2-3 av lösningen kunde ha skrivits på en rad.
Svar:
Problemet som betraktas är ganska vanligt i tester, här är ett exempel på en oberoende lösning:
Exempel 5
Hitta om
En kort lösning och svar i slutet av lektionen. Låt oss se hur uppmärksam du var när du studerade de tidigare exemplen ;-)
Korsprodukt av vektorer i koordinater
, specificerad på ortonormal basis, uttrycks med formeln:
Formeln är verkligen enkel: i den översta raden av determinanten skriver vi koordinatvektorerna, på den andra och tredje raden "sätter" vi koordinaterna för vektorerna, och vi sätter i strikt ordning– först koordinaterna för vektorn "ve", sedan koordinaterna för vektorn "dubbel-ve". Om vektorerna behöver multipliceras i en annan ordning, bör raderna bytas: 
Exempel 10
Kontrollera om följande rymdvektorer är kolinjära:
A)
b) 
Lösning: Kontrollen baseras på ett av påståendena i den här lektionen: om vektorerna är kolinjära är deras vektorprodukt lika med noll (noll vektor): 
.
a) Hitta vektorprodukten: 
Således är vektorerna inte kolinjära.
b) Hitta vektorprodukten: 
Svar: a) inte kolinjär, b)
Här är kanske all grundläggande information om vektorprodukten av vektorer.
Detta avsnitt kommer inte att vara särskilt stort, eftersom det finns få problem där den blandade produkten av vektorer används. Faktum är att allt beror på definitionen, geometrisk betydelse och ett par arbetsformler.
En blandad produkt av vektorer är produkten av tre vektorer:
Så de ställde upp som ett tåg och kan inte vänta på att bli identifierade.
Först, återigen, en definition och en bild:
Definition: Blandat arbete icke-koplanär vektorer, tagna i denna ordning, ringde parallellepiped volym, byggd på dessa vektorer, utrustad med ett "+"-tecken om basen är höger, och ett "–"-tecken om basen är vänster.
Låt oss rita. Linjer som är osynliga för oss ritas med prickade linjer: 
Låt oss dyka in i definitionen:
2) Vektorer tas i en viss ordning, det vill säga omordningen av vektorer i produkten, som du kan gissa, sker inte utan konsekvenser.
3) Innan jag kommenterar den geometriska betydelsen kommer jag att notera ett uppenbart faktum: den blandade produkten av vektorer är ett TAL: . I utbildningslitteratur kan designen vara något annorlunda Jag är van vid att beteckna en blandad produkt med , och resultatet av beräkningar med bokstaven "pe".
A-priory den blandade produkten är volymen av parallellepipeden, byggd på vektorer (figuren är ritad med röda vektorer och svarta linjer). Det vill säga att antalet är lika med volymen av en given parallellepiped.
Notera : Ritningen är schematisk.
4) Låt oss inte oroa oss igen om konceptet med orientering av basen och utrymmet. Meningen med den sista delen är att ett minustecken kan läggas till volymen. Med enkla ord, kan den blandade produkten vara negativ: .
Direkt från definitionen följer formeln för att beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer.