y - y 1 =k(x - x 1)
ekvation för en rät linje: y=khx+b
Om vi transformerar den ursprungliga ekvationen y - y 1 =k(x - x 1), får vi y=kx+(y 1 -kx 1) Den uppfyller villkoren för den räta linjeekvationen: y=kx+b, eftersom
1. dess grad är först, vilket betyder att den kan vara direkt,
2. den räta linjen går genom punkten (x 1; y 1), eftersom koordinaterna för denna punkt uppfyller ekvationen: 0=0
3. Koefficientens roll i spelas av uttrycket y 1 -kh 1
Den räta linjen med ekvationen y - y 1 =k(x - x 1) går genom 1 punkt. Vi kräver att den andra punkten också ligger på denna linje, dvs. så att likheten y 2 - y 1 =k(x 2 - x 1) håller. Härifrån hittar vi k= y 2 - y 1 ¸ x 2 - x 1 och ersätter det i ekvationen:
y - y 1 = y 2 - y 1 ¸ x 2 - x 1 ×(x - x 1) eller
x - x 1 ¸x 2 - x 1 = y - y 1 ¸y 2 - y 1
15. Vinkel mellan raka linjer på ett plan
Raka linjer: y=k 1 x +b 1, y=k 2 x +b 2
I ABC-vagnen, mängden intern vinklar a 1 + b är lika med yttre hörnet a 2 därför b=a 2 -a 1 Uppenbarligen är tga 1 = k 1 ; tga 2 = k 2. Genom att ändra formeln för tg skillnad på 2 vinklar får vi tgb=tg(a 2 -a 1)= tga 2 -tga 1 ¸1+ tga 2 ×tga 1
Slutligen har vi tgb= k 2 - k 1 ¸1+k 2 × ×k 1 Genom att beräkna tangenten kan du hitta själva vinkeln b.
16. Villkor || och ^ raka linjer i planet.
Ekvationerna för räta linjer med vinkelkoefficienter ges. y=k 1 x och y=k 2 x + b 2
Villkor || direkt- detta är likheten mellan vinkelkoefficienterna. till 1 = till 2 (1)
Villkor (1) är uppfyllt. och för sammanslagna linjer. Formel för vinkelkoefficient raka linjer (tga= k 2 - k 1 ¸1+k 2 × ×k 1) kan skrivas i formen: ctga= 1+k 2 × ×k 1 ¸k 2 - k 1 (detta är fallet om k 1 ¹k 2). Skick ^ direkt uttrycks av likheten k 2 × × k 1 = -1. Om k 1 =0 eller k 2 =0, då en av linjerna || axeln Ox, och den andra ^, har en ekvation av formen x=a.
Låt linjerna ges av en generell ekvation. A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, Om B1 = B2 = 0, då är båda räta linjerna parallella med Oy-axeln och med varandra (deras ekvationer har formen x = a ) Om B1=0 och B2¹0, då räta linjer^. I fallet när A2 = 0 (ekvationen reduceras till formen x = a, y = b) I fallet med B1¹0 och B2¹0 kan y uttryckas i varje ekvation. y= -A1x¸B1-C1¸B1;
Y= - A2x¸B2-C2¸B2, sedan k1= -A1¸B1, och k2= - A2¸B2 och villkoret || A1¸B1= A2¸B2 eller A1¸A2= B1¸B2.
Med hjälp av likheten 1+k1×k2=0, 1+ A1¸B1× A2¸B2=0. Vi kommer fram till tillståndet för räta linjer A1×A2+B1×B2=0.
Ellips
En ellips är det geometriska stället för punkter på ett plan, summan av avstånden till två givna punkter, kallade brännpunkter, är ett konstant värde (större än avståndet mellan brännpunkterna)
Ellipsekvationen kommer att ta den enklaste formen om brännpunkterna placeras på Ox-axeln till vänster om origo på lika avstånd från den. F 1 F 2 - fokus på ellipsen. Låt oss beteckna F 1 F 2 = 2c då har brännpunkterna koordinater (-c,0) och (c,0). Låt oss beteckna brännpunkternas avstånd till den aktuella punkten på ellipsen M som r 1 och r 2 . Dessa kallas fokalradier. Vi betecknar konstantvärdet r 1 + r 2 som 2a: r 1 + r 2 = 2a. placerar punkt M vid punkterna och A" är det lätt att inse att A"A = 2a. Segmenten AA" och BB" kallas ellipsens axlar, och segmenten OA och OB kallas ellipsens halvaxlar. Punkterna A, A, B, B" kallas ellipsens hörn. Låt M(x,y) vara i punkt B, då r 1 = r 2 =a. Från tr-ka BOF 2 VO=ÖBF 2 2 -OF 2 2 Låt oss beteckna VO=in, sedan in=Öa 2 - c 2. Genom halvellipsen kommer a och ekvationen att skrivas enligt följande:
Denna ekvation kallas ellipsens kanoniska ekvation. Omkrets - specialfall ellips, erhålls när a = b = R (R är cirkelns radix). Ju mer halvaxlarna a och b skiljer sig från varandra, desto mer tillplattad blir ellipsen. Graden av tillplattning av en ellips mäts vanligtvis med excentricitet
Uppenbarligen 0£ɛ£1. Vid ɛ=0 har vi en cirkel när ɛ ökar, blir ellipsen mer och mer olik cirkeln och blir mer konvex.
Hyperbel
En hyperbol kallas en geom. platsen för planpunkterna för vilka absolut värde skillnaden i avstånd till två givna punkter, kallade foci, är ett konstant värde, inte lika med 0 och mindre än avståndet mellan brännpunkterna. Vi placerar återigen fokus F 1 och F 2 på Ox-axeln vid punkter (-c, 0), (c, 0). Segmenten F 1 M = r 1 och F 2 M = r 2 kallas fokalradier. Per definition |r 1 - r 2 | det finns ett konstant värde. Låt oss beteckna det 2a: |r 1 - r 2 | =2a. Punkterna A och A" kallas hyperbelns hörn. Det är lätt att förstå att AA" = 2a. Faktum är att för punkten A r 1 =AF 1 och r 2 = AF 2. Uppenbarligen är AF 2 = A "F 1, därför r 1 - r 2 = AF 1 - AF 2 = AF 1 = A" F 1 = A " A. Å andra sidan, r 1 - r 2 = 2a. Segmentet AA" kallas hyperbelns verkliga axel. Låt b = Öc 2 -a 2 Punkterna B och B" ha koordinater (0, b) och (0, - b). Segmentet BB" kallas hyperbelns imaginära axel. Den kanoniska ekvationen för en hyperbel har formen:
En hyperbel har 2 grenar när a = b kallas hyperbeln liksidig. Ekvationerna y=in¸a och y=-in¸a. De kallas asymptoter. Om en punkt rör sig bort längs någon av hyperbelns grenar, tenderar dess avstånd till motsvarande asymptot till 0. För en hyperbel tar excentriciteten värden större än 1.
Parabel.
En parabel är platsen för punkter i ett plan på samma avstånd från en given linje, kallad riktlinje, och från en given punkt som inte tillhör riktningen, kallad fokus. Låt oss beteckna avståndet mellan fokus och riktlinje med sid. Den kanoniska ekvationen för en parabel har formen:
y 2 = 2рх och det visar sig om fokus F placeras vid punkten (р¸2, 0), och den räta linjen x = - р¸2 tas som riktlinje. Talet p kallas parametern för parabeln, punkten (0,0) är dess vertex.
20. Plan i rymden: allmän ekvation, geometrisk betydelse för koefficienterna, ekvation för planet som passerar igenom denna punkt utrymme.
Allmän ekvation för planet: Ax+By+Cz +D=0, där minst en av koefficienterna A, B, C skiljer sig från 0. Dessa koefficienter har en definition. Geom. menande
Låt oss ställa in planets position med hjälp av en viss punkt M 0 (x 0,y 0,z 0) och en vektor som inte är noll N(A,B,C) vinkelrät mot planet. Baserat på dessa data bestäms planet unikt. Låt M(x,y,z) vara den aktuella punkten i planet. Vektorerna N(A,B,C) och M 0 M(x-x 0,y-y 0,z-z 0) är ortogonala, därför är deras skalära produkt lika)
A(x-x 0)+B(y-y0)+C(z-z 0)=0 (1)
Efter transformationer får vi ekvationen:
Ax+By+Cz+D=0, där D = -Ax 0 -B 0-Cz 0
Följaktligen är A, B, C koordinaterna för vektorn vinkelräta mot det plan som specificeras av den allmänna ekvationen.
Den uppsättning plan som beskrivs av ekvation (1), med en fixpunkt (x 0 , y 0 , z 0) och variabla koefficienter A, B, C, kallas ett gäng plan. När bland villkoren som definierar det önskade planet finns dess punkt M 0 (x 0, y 0, z 0), kan du börja lösa problemet genom att tillämpa ekvation (1). Ett plan kallas också en första ordningens yta.
Sfär,
Sfär. Ekvationen för en sfär vars centrum är i origo: x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Låt nu mitten vara beläget vid punkt M 0 (x 0,y 0,z 0)
Den aktuella punkten M(x,y,z) i sfären ligger på ett avstånd R från punkt M.
Från likheten MM 0 2 =R 2 får vi: (x-x 0) 2 +(y-y 0) 2 +(z-z 0) 2 =R 2
Ellipsoid kanonisk ekvation:
A, b, c - ellipsoidens halvaxlar. När a = b erhålls en rotationsellipsoid. Detta är formen på vår planets yta. När a=b=c förvandlas ellipsoiden till en sfär med radien R=a
Revolutionens paraboloid
I yOz-planet, betrakta parabeln y 2 = 2рz. Ytan som bildas av denna parabels rotation runt Oz-axeln kallas en rotationsparaboloid.
Låt M(x,y,z) vara en godtycklig punkt på ytan, och M 0 vara en punkt med samma applikat z, som ligger på parabeln y 2 = 2рz. Därför att O"M=O" M 0, då kan y 2 för punkt M 0 ersättas i ekvationen med x 2 + y 2 för punkt M: x 2 + y 2 = 2рz - ekvation för en rotationsparaboloid
Låt två poäng ges M(X 1 ,U 1) och N(X 2,y 2). Låt oss hitta ekvationen för linjen som går genom dessa punkter.
Eftersom denna linje går genom punkten M, då enligt formel (1.13) har dess ekvation formen
U – Y 1 = K(X–x 1),
Där K– okänd sluttning.
Värdet på denna koefficient bestäms från villkoret att den önskade räta linjen passerar genom punkten N, vilket betyder att dess koordinater uppfyller ekvationen (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Härifrån kan du hitta lutningen på denna linje:
,
Eller efter konvertering
(1.14)
Formel (1.14) avgör Ekvation för en linje som går genom två punkter M(X 1, Y 1) och N(X 2, Y 2).
I det speciella fallet när poäng M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, ligg på koordinataxlarna, ekvation (1.14) kommer att ha en enklare form
Ekvation (1,15) kallad Ekvation för en rät linje i segment, Här A Och B beteckna segmenten avskurna med en rak linje på axlarna (Figur 1.6).
Figur 1.6
Exempel 1.10. Skriv en ekvation för en linje som går genom punkterna M(1, 2) och B(3, –1).
. Enligt (1.14) har ekvationen för den önskade linjen formen
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Genom att överföra alla termer till vänster sida får vi äntligen den önskade ekvationen
3X + 2Y – 7 = 0.
Exempel 1.11. Skriv en ekvation för en linje som går genom en punkt M(2, 1) och skärningspunkten för linjerna X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.
. Vi hittar koordinaterna för linjernas skärningspunkt genom att lösa dessa ekvationer tillsammans
Om vi adderar dessa ekvationer term för term får vi 2 X+ 1 = 0, varifrån . Genom att ersätta det hittade värdet i valfri ekvation hittar vi värdet på ordinatan U:
Låt oss nu skriva ekvationen för den räta linjen som går genom punkterna (2, 1) och:
eller .
Därav eller –5( Y – 1) = X – 2.
Vi får slutligen ekvationen för den önskade linjen i formuläret X + 5Y – 7 = 0.
Exempel 1.12. Hitta ekvationen för linjen som går genom punkterna M(2.1) och N(2,3).
Med formeln (1.14) får vi ekvationen
Det är inte vettigt eftersom den andra nämnaren är noll. Av villkoren för problemet är det tydligt att abskissorna för båda punkterna har samma värde. Det betyder att den önskade räta linjen är parallell med axeln OY och dess ekvation är: x = 2.
Kommentar . Om, när man skriver ekvationen för en rät linje med formeln (1.14), visar sig en av nämnarna vara lika med noll, då kan den erforderliga ekvationen erhållas genom att likställa motsvarande täljare med noll.
Låt oss överväga andra sätt att definiera en linje på ett plan.
1. Låt en vektor som inte är noll vara vinkelrät mot den givna linjen L, och peka M 0(X 0, Y 0) ligger på denna linje (Figur 1.7).
Figur 1.7
Låt oss beteckna M(X, Y) vilken punkt som helst på en linje L. Vektorer och 
Ortogonal. Genom att använda villkoren för ortogonalitet för dessa vektorer får vi eller A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Vi har fått ekvationen för en linje som går genom en punkt M 0 är vinkelrät mot vektorn. Denna vektor kallas Normal vektor till en rak linje L. Den resulterande ekvationen kan skrivas om i formen
Åh + Wu + MED= 0, där MED = –(AX 0 + Av 0), (1.16),
Där A Och I– koordinater för normalvektorn.
Vi får den allmänna ekvationen för linjen i parametrisk form.
2. En rät linje på ett plan kan definieras enligt följande: låt en vektor som inte är noll vara parallell med den givna räta linjen L och period M 0(X 0, Y 0) ligger på denna linje. Låt oss ta en godtycklig poäng igen M(X, y) på en rak linje (Figur 1.8).
Figur 1.8
Vektorer och 
kolinjär.
Låt oss skriva ner villkoret för dessa vektorers kollinearitet: , där T– ett godtyckligt tal som kallas en parameter. Låt oss skriva denna likhet i koordinater:
Dessa ekvationer kallas Parametriska ekvationer Direkt. Låt oss utesluta parametern från dessa ekvationer T:
Dessa ekvationer kan annars skrivas i formen
. (1.18)
Den resulterande ekvationen kallas Linjens kanoniska ekvation. Vektorn kallas Riktningsvektorn är rak .
Kommentar . Det är lätt att se att if är normalvektorn till linjen L, då kan dess riktningsvektor vara vektorn eftersom , dvs.
Exempel 1.13. Skriv ekvationen för en linje som går genom en punkt M 0(1, 1) parallellt med linje 3 X + 2U– 8 = 0.
Lösning . Vektorn är normalvektorn till de givna och önskade linjerna. Låt oss använda ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0 med en given normalvektor 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 eller 3 X + 2у– 5 = 0. Vi fick ekvationen för den önskade linjen.
Ekvation för en linje som går genom två punkter. I artikeln" " Jag lovade dig att titta på den andra metoden för att lösa de presenterade problemen med att hitta derivatan, givet en graf av en funktion och en tangent till denna graf. Vi kommer att diskutera denna metod i , missa inte det! Varför i nästa?
Faktum är att formeln för ekvationen för en rät linje kommer att användas där. Naturligtvis kan vi helt enkelt visa denna formel och råda dig att lära dig den. Men det är bättre att förklara var det kommer ifrån (hur det härrör). Detta är nödvändigt! Om du glömmer det kan du snabbt återställa detkommer inte att vara svårt. Allt beskrivs nedan i detalj. Så vi har två punkter A på koordinatplanet(x 1;y 1) och B(x 2;y 2), en rät linje dras genom de angivna punkterna: 
Här är själva den direkta formeln:
*Det vill säga, när vi ersätter specifika koordinater för punkter får vi en ekvation av formen y=kx+b.
**Om du bara "minner" den här formeln, är det stor sannolikhet att du blir förvirrad med indexen när X. Dessutom kan index betecknas på olika sätt, till exempel:
Det är därför det är viktigt att förstå innebörden.
Nu härledningen av denna formel. Det är väldigt enkelt!
Trianglarna ABE och ACF är lika i spetsig vinkel (det första tecknet på likhet mellan räta trianglar). Det följer av detta att förhållandena mellan de motsvarande elementen är lika, det vill säga:
Nu uttrycker vi helt enkelt dessa segment genom skillnaden i punkternas koordinater:
Naturligtvis blir det inget fel om du skriver relationerna mellan elementen i en annan ordning (det viktigaste är att upprätthålla konsistensen):
Resultatet blir samma ekvation av linjen. Detta är allt!
Det vill säga, oavsett hur punkterna själva (och deras koordinater) betecknas, genom att förstå denna formel kommer du alltid att hitta ekvationen för en rät linje.
Formeln kan härledas med hjälp av egenskaperna hos vektorer, men principen för härledning kommer att vara densamma, eftersom vi kommer att prata om proportionaliteten hos deras koordinater. I det här fallet fungerar samma likhet med räta trianglar. Enligt min åsikt är slutsatsen som beskrivs ovan mer tydlig)).
Visa utdata via vektorkoordinater >>>
Låt en rät linje konstrueras på koordinatplanet som går genom två givna punkter A(x 1;y 1) och B(x 2;y 2). Låt oss markera en godtycklig punkt C på linjen med koordinater ( x; y). Vi betecknar också två vektorer:
Det är känt att för vektorer som ligger på parallella linjer (eller på samma linje), är deras motsvarande koordinater proportionella, det vill säga:
— vi skriver ner likheten mellan förhållandena mellan motsvarande koordinater:
Låt oss titta på ett exempel:
Hitta ekvationen för en rät linje som går genom två punkter med koordinater (2;5) och (7:3).
Du behöver inte ens bygga den raka linjen själv. Vi tillämpar formeln:
Det är viktigt att du förstår korrespondensen när du tar upp förhållandet. Du kan inte gå fel om du skriver:
Svar: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8
För att säkerställa att den resulterande ekvationen hittas korrekt, var noga med att kontrollera - ersätt koordinaterna för data i punkternas tillstånd i den. Ekvationerna bör vara korrekta.
Det är allt. Jag hoppas att materialet var användbart för dig.
Med vänlig hälsning, Alexander.
P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om webbplatsen på sociala nätverk.
Låt linjen passera genom punkterna M 1 (x 1; y 1) och M 2 (x 2; y 2). Ekvationen för en rät linje som går genom punkt M 1 har formen y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Där k - fortfarande okänd koefficient.
Eftersom den räta linjen går genom punkten M 2 (x 2 y 2), måste koordinaterna för denna punkt uppfylla ekvation (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Härifrån hittar vi Substituting the found value k
i ekvation (10.6) får vi ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M 1 och M 2: 
Det antas att i denna ekvation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Om x 1 = x 2, så är den räta linjen som går genom punkterna M 1 (x 1, y I) och M 2 (x 2, y 2) parallell med ordinataaxeln. Dess ekvation är x = x 1 .
Om y 2 = y I, så kan linjens ekvation skrivas som y = y 1, den räta linjen M 1 M 2 är parallell med abskissaxeln.
Ekvation för en linje i segment
Låt den räta linjen skära Ox-axeln vid punkt M 1 (a;0), och Oy-axeln vid punkt M 2 (0;b). Ekvationen kommer att ha formen: 
dessa. 
. Denna ekvation kallas ekvation av en rät linje i segment, eftersom siffrorna a och b anger vilka segment linjen skär av på koordinataxlarna.
Ekvation för en linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor
Låt oss hitta ekvationen för en rät linje som går genom en given punkt Mo (x O; y o) vinkelrät mot en given icke-noll vektor n = (A; B).
Låt oss ta en godtycklig punkt M(x; y) på linjen och betrakta vektorn M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Eftersom vektorerna n och M o M är vinkelräta är deras skalära produkt lika med noll: det vill säga
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Ekvation (10.8) kallas ekvation för en rät linje som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor .
Vektor n= (A; B), vinkelrät mot linjen, kallas normal normal vektor för denna linje .
Ekvation (10.8) kan skrivas om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
där A och B är koordinaterna för normalvektorn, C = -Ax o - Vu o är den fria termen. Ekvation (10.9) är den allmänna ekvationen för linjen(se fig. 2).
Fig.1 Fig.2
Linjens kanoniska ekvationer
,
Där 
- koordinater för den punkt genom vilken linjen passerar, och 
- riktningsvektor.
Andra ordningens kurvor Cirkel
En cirkel är mängden av alla punkter i planet på samma avstånd från en given punkt, som kallas centrum.
Kanonisk ekvation av en cirkel med radie
R centrerad vid en punkt 
:
I synnerhet om insatsens centrum sammanfaller med koordinaternas ursprung, kommer ekvationen att se ut så här: 
Ellips
En ellips är en uppsättning punkter på ett plan, summan av avstånden från var och en till två givna punkter
Och 
, som kallas foci, är en konstant storhet 
, större än avståndet mellan brännpunkter 
.
Den kanoniska ekvationen för en ellips vars brännpunkter ligger på Ox-axeln, och ursprunget för koordinater i mitten mellan brännpunkterna har formen 
G 
de a halvstor axellängd; b – längden på halvmollaxeln (fig. 2).
Riktvektorn för den räta linjen l varje vektor som inte är noll ( m, n), parallellt med denna linje.
Låt den givna punkten M 1 (x 1 , y 1) och riktningsvektor ( m, n), sedan ekvationen för linjen som går genom punkten M 1 i vektorns riktning ser ut så här: 
. Denna ekvation kallas linjens kanoniska ekvation.
Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje med en riktningsvektor (1, -1) och som går genom punkt A(1, 2).
Vi kommer att leta efter ekvationen för den önskade linjen i formuläret: Axe+By+C= 0. Låt oss skriva ner den kanoniska ekvationen för den räta linjen och transformera den. Vi får x + y - 3 = 0
Ekvation för en linje som går genom två punkter
Låt två poäng ges på planet M 1 (x 1 , y 1) och M 2 (x 2, y 2), då har ekvationen för linjen som går genom dessa punkter formen: 
. Om någon av nämnarna är noll, ska motsvarande täljare sättas lika med noll.
Exempel. Hitta ekvationen för linjen som går genom punkterna A(1, 2) och B(3, 4).
Genom att tillämpa formeln skriven ovan får vi: ,
Ekvation för en rät linje från en punkt och lutning
Om linjens allmänna ekvation Ah + Wu + S= 0 ta till formen: och beteckna , då kallas den resulterande ekvationen ekvationen för en rät linje med en vinkelkoefficient k.
Ekvation för en linje i segment
Om i den allmänna ekvationen för den räta linjen Ah + Wu + S= 0 koefficient MED¹ 0, dividerat med C, får vi: 
eller var 
Geometrisk betydelse koefficienter är att koefficienten Aär koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och axeln Åh, A b– koordinat för skärningspunkten mellan den räta linjen och axeln Åh.
Exempel. Den allmänna ekvationen för en rät linje ges X – på+ 1 = 0. Hitta ekvationen för denna linje i segment. A = -1, B = 1, C = 1, då A = -1, b= 1. Ekvationen för en rät linje i segment kommer att ha formen .
Exempel. Angivna är hörnen för triangeln A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Hitta ekvationen för höjden från vertex C.
Vi hittar ekvationen för sidan AB: 
;
4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;
Den nödvändiga höjdekvationen har formen: Axe+By+C= 0 eller y = kx + b.
k= . Sedan y= . Därför att höjden passerar genom punkt C, då uppfyller dess koordinater denna ekvation: 
där b= 17. Totalt: .
Svar: 3 x + 2y – 34 = 0.
Namn på lektionen: Andra ordningens kurvor.
Syftet med lektionen: Lär dig att rita 2:a ordningens kurvor och konstruera dem.
Förberedelser inför lektionen: Granska teoretiskt material om ämnet "2nd order curves"
Litteratur:
- Dadayan A.A. "Matematik", 2004
Lektionsuppgift:
Tillvägagångssätt för att genomföra lektionen:
- Få tillstånd att arbeta
- Slutföra uppgifter
- Svara på säkerhetsfrågor.
- Namn, syfte med lektionen, uppgift;
- Avslutad uppgift;
- Svar på säkerhetsfrågor.
Testfrågor för att testa:
- Definiera andra ordningens kurvor (cirkel, ellips, hyperbel, parabel), skriv ner deras kanoniska ekvationer.
- Vad är excentriciteten hos en ellips eller hyperbel? Hur hittar man det?
- Skriv ekvationen för en liksidig hyperbel
ANSÖKAN
Omkretsär mängden av alla punkter i planet på samma avstånd från en punkt som kallas centrum.
Låt cirkelns mittpunkt vara en punkt OM(a; b), och avståndet till valfri punkt M(x;y) cirkeln är lika R. Sedan ( x–a) 2 + (y–b) 2 = R 2 – kanonisk ekvation av en cirkel med centrum OM(a; b) och radie R.
Exempel. Hitta koordinaterna för centrum och cirkelns radie om dess ekvation ges i formen: 2 x 2 + 2y 2 – 8x + 5 y – 4 = 0.
För att hitta koordinaterna för cirkelns centrum och radie måste denna ekvation reduceras till kanonisk form. För att göra detta, välj kompletta rutor:
x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0
x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16
Härifrån hittar vi centrumets koordinater OM(2; -5/4); radie R = 11/4.
Ellipsär en uppsättning punkter på ett plan, summan av avstånden från var och en till två givna punkter (kallade brännpunkter) är ett konstant värde större än avståndet mellan brännpunkterna.
Fokus indikeras med bokstäver F 1 , F Med, summan av avstånden från valfri punkt på ellipsen till brännpunkterna är 2 A (2A > 2c), a– halvstor axel; b– halvmollaxel.
Ellipsens kanoniska ekvation har formen: , där a, b Och cär relaterade av följande likheter: a 2 – b 2 = c 2 (eller b 2 – a 2 = c 2).
Ellipsens form bestäms av en egenskap som är förhållandet mellan brännvidden och längden på huvudaxeln och kallas excentricitet. eller .
Därför att per definition 2 A> 2c, då uttrycks excentriciteten alltid som en egen bråkdel, d.v.s. .
Exempel. Skriv en ekvation för en ellips om dess fokus är F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), huvudaxelär lika med 2.
Ellipsens ekvation har formen: .
Fokusavstånd: 2 c= 
, Alltså, a 2 – b 2 = c 2 = . Enligt villkor 2 A= 2, därför, A = 1, b= Den nödvändiga ekvationen för ellipsen kommer att ha formen: .
Överdriftär en uppsättning punkter på ett plan, varvid skillnaden i avstånd från var och en till två givna punkter, kallade brännpunkter, är ett konstant värde som är mindre än avståndet mellan brännpunkterna.
Den kanoniska ekvationen för en hyperbel har formen: eller , där a, b Och c förenad med jämlikhet a2 + b2 = c2. Hyperbeln är symmetrisk kring mitten av segmentet som förbinder brännpunkterna och kring koordinataxlarna. Fokus indikeras med bokstäver F 1 , F 2, avstånd mellan fokus – 2 Med, skillnaden i avstånd från vilken punkt som helst av hyperbeln till brännpunkterna är 2 A (2A < 2c). Axel 2 A kallas hyperbelns verkliga axel, axel 2 b– hyperbelns imaginära axel. En hyperbel har två asymptoter, vars ekvationer är
Excentriciteten för en hyperbel är förhållandet mellan avståndet mellan brännpunkterna och längden på den reella axeln: eller. Därför att per definition 2 A < 2c, då uttrycks hyperbelns excentricitet alltid som en oegentlig fraktion, d.v.s. .
Om längden på den reella axeln är lika med längden på den imaginära axeln, dvs. a = b, ε = , då kallas hyperbeln liksidig.
Exempel. Komponera den kanoniska ekvationen för en hyperbel om dess excentricitet är 2 och dess foci sammanfaller med ellipsens foci med ekvationen
Hitta brännvidden c 2 = 25 – 9 = 16.
För en hyperbel: c 2 = a 2 + b 2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.
Sedan är den ekvation som krävs för hyperbeln.
Parabelär uppsättningen punkter i planet på samma avstånd från en given punkt, som kallas fokus, och en given linje, som kallas riktlinjen.
Fokus för en parabel indikeras av bokstaven F, regissör - d, avstånd från fokus till riktlinje – r.
Den kanoniska ekvationen för en parabel, vars fokus ligger på x-axeln, har formen:
y 2 = 2px eller y 2 = -2px
x = -sid/2, x = sid/2
Den kanoniska ekvationen för en parabel, vars fokus ligger på ordinataxeln, har formen:
X 2 = 2ru eller X 2 = -2ru
Directricekvationer respektive på = -sid/2, på = sid/2
Exempel. På en parabel på 2 = 8X hitta punkter vars avstånd från riktningen är 4.
Från parabelekvationen får vi det r = 4. r = x + sid/2 = 4; därför:
x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Sökte punkter: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).
Praktisk lektion nr 8
Namn på lektionen: Åtgärder på komplexa tal i algebraisk form. Geometrisk tolkning av komplexa tal.
Syftet med lektionen: Lär dig att utföra operationer på komplexa tal.
Förberedelser inför lektionen: Gå igenom teoretiskt material om ämnet "Komplexa tal".
Litteratur:
- Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. "Element högre matematik", 2008
Lektionsuppgift:
- Kalkylera:
1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;
2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)·( i 72 – i 34);