Formel för derivatan av en funktion specificerad på ett parametriskt sätt. Bevis och exempel på tillämpning av denna formel. Exempel på beräkning av första, andra och tredje ordningens derivator.
Låt funktionen specificeras på ett parametriskt sätt:
(1)
var finns någon variabel som kallas en parameter. Och låt funktionerna ha derivator vid ett visst värde av variabeln.
(2)
Dessutom har funktionen också en omvänd funktion i ett visst område av punkten.
;
.
Då har funktion (1) en derivata i punkten, som i parametrisk form bestäms av formlerna:
Här och är derivatorna av funktionerna och med avseende på variabeln (parameter).
De skrivs ofta så här:
.
Då kan system (2) skrivas på följande sätt:
.
Bevis
.
Tillstånd har funktionen en omvänd funktion. Låt oss beteckna det som
Då kan den ursprungliga funktionen representeras som en komplex funktion:
Låt oss hitta dess derivata med hjälp av reglerna för att skilja komplexa och inversa funktioner:
.
Regeln är bevisad.
.
Bevis på det andra sättet
.
Låt oss hitta derivatan på det andra sättet, baserat på definitionen av derivatan av funktionen vid punkten:
Låt oss presentera notationen:
;
;
;
.
Sedan tar den föregående formeln formen:
.
Låt oss dra fördel av det faktum att funktionen har en invers funktion i närheten av punkten.
.
Tillstånd har funktionen en omvänd funktion. Låt oss beteckna det som
Låt oss presentera följande notation:
Dividera bråkets täljare och nämnare med:
(1)
Vid , . Sedan
(2)
Derivat av högre ordning
.
För att hitta derivator av högre ordning är det nödvändigt att utföra differentiering flera gånger. Låt oss säga att vi måste hitta andra ordningens derivata av en funktion definierad parametriskt, av följande form:
(3)
Med formeln (2) hittar vi den första derivatan, som också bestäms parametriskt:
Låt oss beteckna den första derivatan med variabeln:
.
Sedan, för att hitta andraderivatan av en funktion med avseende på variabeln, måste du hitta den första derivatan av funktionen med avseende på variabeln.
.
En variabels beroende av en variabel specificeras också på ett parametriskt sätt: 
När vi jämför (3) med formlerna (1) och (2), finner vi:
.
Om du fortsätter processen kan du få derivator av funktioner från en variabel av tredje och högre ordning.
Observera att vi inte behöver införa en notation för derivatan.
;
.
Du kan skriva det så här:
Exempel 1
Hitta derivatan av en funktion definierad parametriskt:
Lösning
Vi hittar derivator med avseende på .
;
.
Från tabellen med derivator finner vi:
.
Vi tillämpar:
.
Vi tillämpar:
Här .
.
Den obligatoriska derivatan:
Svar
Exempel 2
Hitta derivatan av en funktion definierad parametriskt:
Hitta derivatan av funktionen uttryckt genom parametern:
.
Låt oss öppna parenteserna med formler för potensfunktioner och rötter:
.
Hitta derivatan:
.
Att hitta derivatan.
.
Den obligatoriska derivatan:
För att göra detta introducerar vi en variabel och tillämpar formeln för derivatan av en komplex funktion.
Vi hittar den önskade derivatan:
Hitta derivatan av en funktion definierad parametriskt:
Exempel 3
Hitta andra och tredje ordningens derivator av funktionen definierad parametriskt i exempel 1:
I exempel 1 hittade vi första ordningens derivata:
Låt oss presentera beteckningen.
.
Då är funktionen derivativ med avseende på .
.
Det är specificerat parametriskt:
.
För att hitta den andra derivatan med avseende på måste vi hitta den första derivatan med avseende på .
Låt oss skilja på .
Vi hittade derivatan av i exempel 1:
.
Andra ordningens derivata med avseende på är lika med första ordningens derivata med avseende på:
.
Så vi hittade andra ordningens derivata med avseende på parametrisk form:
.
Nu hittar vi tredje ordningens derivata. Låt oss presentera beteckningen.
Sedan måste vi hitta första ordningens derivata av funktionen, som specificeras på ett parametriskt sätt:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Den obligatoriska derivatan:
Hitta derivatan med avseende på . För att göra detta skriver vi om det i motsvarande form::
Från
Den tredje ordningens derivatan med avseende på är lika med den första ordningens derivatan med avseende på:
Kommentar Du behöver inte ange variablerna och , som är derivator av respektive . Då kan du skriva det så här: I parametrisk representation har andra ordningens derivata nästa vy Tredje ordningens derivata: Överväg att definiera en linje på ett plan där variablerna x, y är funktioner av en tredje variabel t (kallad parameter): För varje värde t från ett visst intervall överensstämmer vissa värden x (Och y, a , därför en viss punkt M (x, y) i planet. När t går igenom alla värden från ett givet intervall, sedan punkten.
M x, y) beskriver någon linje nästa vy L x, y. Ekvationer (2.2) kallas parametriska linjeekvationer
L Om funktionen x = φ(t) har en invers t = Ф(x), då vi substituerar detta uttryck i ekvationen y = g(t), får vi y = g(Ф(x)), som specificerar y som en funktion av . I det här fallet säger vi att ekvationerna (2.2) definierar funktionen och centrerad vid ursprunget. Låta t– vinkel mellan axel Oxe och radie OM(se fig. 2.3). Sedan Och uttrycks genom t:
Ekvationer (2.3) är parametriska ekvationer för en cirkel. Låt oss exkludera parametern t från ekvationerna (2.3). För att göra detta, kvadrerar vi varje ekvation och adderar den, vi får: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) eller x 2 + y 2 = R 2 – ekvationen för en cirkel i den kartesiska koordinatsystem. Den definierar två funktioner: Var och en av dessa funktioner ges av parametriska ekvationer (2.3), men för den första funktionen och för den andra .
Exempel 2. Parametriska ekvationer
definiera en ellips med halvaxlar a, b(Fig. 2.4). Exklusive parametern från ekvationerna t, får vi den kanoniska ekvationen för ellipsen:
Exempel 3. En cykloid är en linje som beskrivs av en punkt som ligger på en cirkel om denna cirkel rullar utan att glida i en rät linje (Fig. 2.5). Låt oss introducera de parametriska ekvationerna för cykloiden. Låt den rullande cirkelns radie vara a, punkt M, som beskriver cykloiden, i början av rörelsen sammanföll med ursprunget för koordinater. 
Låt oss bestämma koordinaterna nästa vy, y poäng M efter att cirkeln har roterats genom en vinkel t
(Fig. 2.5), t = ÐMCB. Båglängd M.B. lika med längden på segmentet O.B. eftersom cirkeln rullar utan att glida, därför
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – kostnad).
Så de parametriska ekvationerna för cykloiden erhålls:
När du ändrar en parameter Du behöver inte ange variablerna och , som är derivator av respektive . Då kan du skriva det så här: från 0 till 2π cirkeln roterar ett varv och punkten M beskriver en båge av en cykloid. Ekvationer (2.5) ger x, y som en funktion av nästa vy. Även om funktionen x = a(t – sint) har en invers funktion, men den uttrycks inte i termer av elementära funktioner, alltså funktionen y = f(x) uttrycks inte genom elementära funktioner.
Låt oss betrakta differentieringen av en funktion definierad parametriskt av ekvationerna (2.2). Funktionen x = φ(t) på ett visst förändringsintervall t har en invers funktion t = Ф(x), Då y = g(Ф(x)). Låta x = φ(t), y = g(t) har derivat, och x"t≠0. Enligt differentieringsregeln komplex funktion y"x=y"t×t"x. Baserat på regeln för att differentiera den inversa funktionen, därför:
Den resulterande formeln (2.6) gör att man kan hitta derivatan för en funktion specificerad parametriskt.
Exempel 4. Låt funktionen x, y, beroende på x, specificeras parametriskt:
Lösning. 
.
Exempel 5. Hitta lutningen k tangent till cykloiden i punkten M 0 som motsvarar parameterns värde.
Lösning. Från cykloidekvationerna: y" t = asint, x" t = a(1 – kostnad), Det är därför 
Lutningsfaktor tangent i en punkt M0 lika med värdet på t 0 = π/4:
DIFFERENTIELL FUNKTION
Låt funktionen vid punkten x 0 har en derivata. Per definition: 
därför, enligt egenskaperna hos gränsen (avsnitt 1.8), var a– oändligt liten kl Δx → 0. Härifrån
Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)
Som Δx → 0 är den andra termen i likhet (2.7) oändlig högre ordning, jämfört med 
, därför är Δy och f " (x 0) × Δx ekvivalenta, infinitesimala (för f "(x 0) ≠ 0).
Således består ökningen av funktionen Δy av två termer, varav den första f "(x 0)×Δx är huvuddelen öka Δy, linjärt med avseende på Δx (för f "(x 0)≠ 0).
Differentiell funktionen f(x) vid punkt x 0 anropas huvuddelen steg av funktionen och betecknas med: dy eller df(x0). Därför,
df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)
L Hitta differentialen för en funktion dy och ökningen av funktionen Δy för funktionen y = x 2 vid:
1) godtycklig nästa vy och A nästa vy; 2) x 0 = 20, Ax = 0,1.
Lösning
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Om x 0 = 20, Δx = 0,1, då Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.
Låt oss skriva jämlikhet (2.7) i formen:
Δy = dy + a×Δx. (2,9)
Inkrement Δy skiljer sig från differential dy till en infinitesimal av högre ordning, jämfört med Δx, därför, i ungefärliga beräkningar, används den ungefärliga likheten Δy ≈ dy om Δx är tillräckligt liten.
Med tanke på att Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), får vi en ungefärlig formel:
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2,10)
Exempel 2. Räkna ungefär.
Lösning.Överväga:
Med formeln (2.10) får vi:
Alltså ≈ 2,025.
Låt oss överväga geometrisk betydelse differentiell df(x 0)(Fig. 2.6). 
Låt oss rita en tangent till grafen för funktionen y = f(x) i punkten M 0 (x0, f(x 0)), låt φ vara vinkeln mellan tangenten KM0 och Ox-axeln, sedan f"( x 0) = tanφ. Från ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Men PN är ökningen av tangentordinaten när x ändras från x 0 till x 0 + Δx.
Följaktligen är differentialen för funktionen f(x) i punkten x 0 lika med inkrementet av tangentens ordinata.
Låt oss hitta differentialen för funktionen
y = x. Eftersom (x)" = 1, då dx = 1×Δx = Δx. Vi kommer att anta att differentialen för den oberoende variabeln x är lika med dess inkrement, dvs dx = Δx.
Om x är ett godtyckligt tal, så får vi från likhet (2.8) df(x) = f "(x)dx, varifrån 
.
Således är derivatan för en funktion y = f(x) lika med förhållandet mellan dess differential och argumentets differential.
Låt oss överväga egenskaperna hos differentialen för en funktion.
Om u(x), v(x) är differentierbara funktioner, är följande formler giltiga:
För att bevisa dessa formler används derivatformler för summan, produkten och kvoten av en funktion. Låt oss till exempel bevisa formeln (2.12):
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Låt oss betrakta differentialen för en komplex funktion: y = f(x), x = φ(t), dvs. y = f(φ(t)).
Då dy = y" t dt, men y" t = y" x ×x" t, så dy = y" x x" t dt. Med tanke på,
att x" t = dx får vi dy = y" x dx =f "(x)dx.
Således har differentialen för en komplex funktion y = f(x), där x =φ(t), formen dy = f "(x)dx, samma som i fallet när x är en oberoende variabel. Denna egenskap kallas invarians av differentialens form A.
Låt oss inte stressa, allt i det här stycket är också ganska enkelt. Du kan skriva ner den allmänna formeln för en parametriskt definierad funktion, men för att göra det tydligt kommer jag omedelbart att skriva konkret exempel. I parametrisk form ges funktionen av två ekvationer: . Ofta skrivs ekvationer inte under parenteser, utan sekventiellt: , .
Variabeln kallas en parameter och kan ta värden från "minus oändlighet" till "plus oändlighet". Betrakta till exempel värdet och ersätt det i båda ekvationerna: 
. Eller i mänskliga termer: "om x är lika med fyra, då är y lika med ett." Du kan markera en punkt på koordinatplanet, och denna punkt kommer att motsvara parameterns värde. På samma sätt kan du hitta en punkt för valfritt värde på parametern "te". När det gäller en "vanlig" funktion, för indianerna av en parametriskt definierad funktion, respekteras också alla rättigheter: du kan bygga en graf, hitta derivator, etc. Förresten, om du behöver rita en graf över en parametriskt angiven funktion, ladda ner mitt geometriska program på sidan Matematiska formler och tabeller.
I de enklaste fallen är det möjligt att representera funktionen explicit. Låt oss uttrycka parametern från den första ekvationen: 
– och ersätt den med den andra ekvationen: 
. Resultatet är en vanlig kubisk funktion.
I mer "allvarliga" fall fungerar inte detta trick. Men det spelar ingen roll, eftersom det finns en formel för att hitta derivatan av en parametrisk funktion:
Vi hittar derivatan av "spelet med avseende på variabeln te":
Alla differentieringsregler och tabellen över derivat är naturligtvis giltiga för bokstaven, alltså, det finns ingen nyhet i processen att hitta derivat. Byt bara mentalt ut alla "X" i tabellen med bokstaven "Te".
Vi hittar derivatan av "x med avseende på variabeln te": 
Nu återstår bara att ersätta de hittade derivaten i vår formel: 
Redo. Derivatan, liksom själva funktionen, beror också på parametern.
När det gäller notationen, istället för att skriva den i formeln, skulle man helt enkelt kunna skriva den utan ett abonnemang, eftersom detta är en "vanlig" derivata "med avseende på X". Men i litteraturen finns det alltid ett alternativ, så jag kommer inte att avvika från standarden.
Exempel 6
Vi använder formeln
I det här fallet:
Således: 
En speciell egenskap för att hitta derivatan av en parametrisk funktion är det faktum att vid varje steg är det fördelaktigt att förenkla resultatet så mycket som möjligt. Så när jag hittade det i exemplet öppnade jag parentesen under roten (även om jag kanske inte gjorde det). Det finns en god chans att när du byter in i formeln kommer många saker att reduceras bra. Även om det förstås finns exempel med klumpiga svar.
Exempel 7
Hitta derivatan av en funktion specificerad parametriskt 
Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand.
I artikeln De enklaste typiska problemen med derivat vi tittade på exempel där vi behövde hitta andraderivatan av en funktion. För en parametriskt definierad funktion kan du också hitta den andra derivatan, och den hittas med följande formel: . Det är ganska uppenbart att för att hitta den andra derivatan måste du först hitta den första derivatan.
Exempel 8
Hitta första och andra derivatan av en funktion given parametriskt
Låt oss först hitta den första derivatan.
Vi använder formeln
I det här fallet: 
Ersätter de hittade derivaten i formeln. För förenklingsändamål använder vi den trigonometriska formeln: 
Jag märkte att i problemet med att hitta derivatan av en parametrisk funktion, ganska ofta, för att förenkla, är det nödvändigt att använda trigonometriska formler . Kom ihåg dem eller ha dem till hands och missa inte möjligheten att förenkla varje mellanresultat och svar. För vad? Nu måste vi ta derivatan av , och detta är helt klart bättre än att hitta derivatan av .
Låt oss hitta den andra derivatan.
Vi använder formeln: .
Låt oss titta på vår formel. Nämnaren har redan hittats i föregående steg. Det återstår att hitta täljaren - derivatan av den första derivatan med avseende på variabeln "te":
Det återstår att använda formeln: 
För att förstärka materialet erbjuder jag ytterligare ett par exempel som du kan lösa på egen hand.
Exempel 9
Exempel 10
Hitta och för en funktion specificerad parametriskt 
Jag önskar dig framgång!
Jag hoppas att den här lektionen var användbar, och du kan nu enkelt hitta derivator av funktioner som anges implicit och från parametriska funktioner
Lösningar och svar:
Exempel 3: Lösning:
Således:
Funktionen kan specificeras på flera sätt. Det beror på vilken regel som används för att specificera det. Den explicita formen för att specificera funktionen är y = f (x). Det finns tillfällen då dess beskrivning är omöjlig eller obekväm. Om det finns många par (x; y) som måste beräknas för parametern t över intervallet (a; b). För att lösa systemet x = 3 kostar t y = 3 sin t med 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Definition av en parametrisk funktion
Härifrån har vi att x = φ (t), y = ψ (t) definieras för ett värde t ∈ (a; b) och har en invers funktion t = Θ (x) för x = φ (t), då vi talar om att specificera en parametrisk ekvation av en funktion av formen y = ψ (Θ (x)) .
Det finns fall då det, för att studera en funktion, är nödvändigt att söka efter derivatan med avseende på x. Låt oss överväga formeln för derivatan av en parametriskt definierad funktion av formen y x " = ψ " (t) φ " (t), låt oss prata om derivatan av 2:a och n:e ordningen.
Härledning av formeln för derivatan av en parametriskt definierad funktion
Vi har att x = φ (t), y = ψ (t), definierade och differentierbara för t ∈ a; b, där x t " = φ " (t) ≠ 0 och x = φ (t), då finns det en invers funktion av formen t = Θ (x).
Till att börja med bör du gå från en parametrisk uppgift till en explicit. För att göra detta måste du få en komplex funktion av formen y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), där det finns ett argument x.
Baserat på regeln för att hitta derivatan av en komplex funktion får vi att y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
Detta visar att t = Θ (x) och x = φ (t) är inversa funktioner från den inversa funktionsformeln Θ " (x) = 1 φ " (t), sedan y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ "(t) φ" (t).
Låt oss gå vidare till att överväga att lösa flera exempel med hjälp av en tabell med derivator enligt differentieringsregeln.
Exempel 1
Hitta derivatan för funktionen x = t 2 + 1 y = t.
Lösning
Med villkor har vi att φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, härifrån får vi att φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Du måste använda den härledda formeln och skriva svaret i formuläret:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Svar: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
När man arbetar med derivatan av en funktion h, specificerar parametern t uttrycket för argumentet x genom samma parameter t, för att inte tappa kopplingen mellan värdena för derivatan och den parametriskt definierade funktionen med argumentet till som dessa värden motsvarar.
För att bestämma andra ordningens derivata av en parametriskt given funktion måste du använda formeln för första ordningens derivata på den resulterande funktionen, då får vi det
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Exempel 2
Hitta andra och andra ordningens derivator av den givna funktionen x = cos (2 t) y = t 2 .
Lösning
Genom villkor får vi att φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .
Sedan efter förvandlingen
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Det följer att y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Vi får att formen av 1:a ordningens derivata är x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
För att lösa måste du använda andra ordningens derivatformel. Vi får ett uttryck för formen
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Ange sedan 2:a ordningens derivata med hjälp av en parametrisk funktion
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
En liknande lösning kan lösas med en annan metod. Sedan
φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2
Härifrån får vi det
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Svar: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Högre ordningens derivator med parametriskt definierade funktioner finns på liknande sätt.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Fram till nu har vi betraktat linjeekvationer på ett plan som direkt kopplar samman de aktuella koordinaterna för punkterna på dessa linjer. En annan metod för att definiera en linje används dock ofta, där de nuvarande koordinaterna betraktas som funktioner av en tredje variabel.
Låt två funktioner av en variabel ges
övervägs för samma värden på t. Då motsvarar något av dessa värden på t ett visst värde och ett visst värde på y, och därför till en viss punkt. När variabeln t går igenom alla värden från funktionsdefinitionsdomänen (73), beskriver punkten en viss linje C i planet. Ekvationer (73) kallas parametriska ekvationer för denna linje, och variabeln kallas en parameter.
Låt oss anta att funktionen har en invers funktion Genom att ersätta denna funktion i den andra av ekvationerna (73), får vi ekvationen
uttrycker y som en funktion
Låt oss komma överens om att säga att denna funktion ges parametriskt av ekvationer (73). Övergången från dessa ekvationer till ekvation (74) kallas parametereliminering. När man överväger funktioner som definieras parametriskt, är det inte bara nödvändigt att utesluta parametern, utan inte heller alltid praktiskt möjligt.
I många fall är det mycket bekvämare, givet olika värden på parametern, att sedan beräkna, med formler (73), motsvarande värden för argumentet och funktionen y.
Låt oss titta på exempel.
Exempel 1. Låt vara en godtycklig punkt på en cirkel med ett centrum vid origo och radie R. De kartesiska koordinaterna x och y för denna punkt uttrycks genom dess polära radie och polära vinkel, som vi här betecknar med t, enligt följande ( se I kap. 3 § 3 st.):
Ekvationer (75) kallas parametriska ekvationer för en cirkel. Parametern i dem är den polära vinkeln, som varierar från 0 till .
Om ekvationerna (75) kvadreras term för term och adderas, så elimineras parametern på grund av identiteten och ekvationen för en cirkel i det kartesiska koordinatsystemet erhålls, vilket definierar två elementära funktioner:
Var och en av dessa funktioner specificeras parametriskt av ekvationerna (75), men parameterintervallen för dessa funktioner är olika. För den första av dem; Grafen för denna funktion är den övre halvcirkeln. För den andra funktionen är dess graf den nedre halvcirkeln.
Exempel 2. Betrakta samtidigt en ellips
och en cirkel med ett centrum vid origo och radie a (fig. 138).
Till varje punkt M av ellipsen associerar vi en punkt N i cirkeln, som har samma abskissa som punkten M och är placerad med den på samma sida av Ox-axeln. Positionen för punkten N, och därför punkten M, bestäms helt av punktens polära vinkel t. I detta fall får vi följande uttryck för deras gemensamma abskiss: x = a. Vi hittar ordinatan i punkt M från ellipsekvationen:
Tecknet valdes eftersom ordinatan för punkt M och ordinatan för punkt N måste ha samma tecken.
Således erhålls följande parametriska ekvationer för ellipsen:
Här varierar parametern t från 0 till .
Exempel 3. Betrakta en cirkel med centrum i punkt a) och radie a, som uppenbarligen rör vid x-axeln vid origo (bild 139). Låt oss anta att denna cirkel rullar utan att glida längs x-axeln. Därefter beskriver cirkelns punkt M, som i det första ögonblicket sammanföll med koordinaternas ursprung, en linje som kallas en cykloid.
Låt oss härleda de parametriska ekvationerna för cykloiden och ta som parametern t rotationsvinkeln MSV för cirkeln när man flyttar dess fixpunkt från position O till position M. Sedan får vi för koordinaterna och y för punkt M följande uttryck:
På grund av det faktum att cirkeln rullar längs axeln utan att glida, är längden på segmentet OB lika med längden på bågen BM. Eftersom längden på bågen BM är lika med produkten av radien a och den centrala vinkeln t, då . Det är därför. Men därför,
Dessa ekvationer är parametriska ekvationer för cykloiden. När parametern t ändras från 0 till cirkeln kommer den att göra ett helt varv. Punkt M kommer att beskriva en båge av cykloiden.
Att utesluta parametern t här leder till krångliga uttryck och är praktiskt taget opraktiskt.
Parametrisk definition av linjer används särskilt ofta inom mekanik, och parameterns roll spelas av tiden.
Exempel 4. Låt oss bestämma banan för en projektil som avfyras från en pistol med en initial hastighet i en vinkel a mot horisontalplanet. Vi försummar luftmotståndet och projektilens dimensioner, eftersom det är en materiell punkt.
Låt oss välja ett koordinatsystem. Låt oss ta utgångspunkten för projektilen från mynningen som ursprunget till koordinaterna. Låt oss rikta Ox-axeln horisontellt och Oy-axeln vertikalt och placera dem i samma plan med pistolmynningen. Om det inte fanns någon tyngdkraft skulle projektilen röra sig i en rät linje och skapa en vinkel a med Ox-axeln, och vid tidpunkten t skulle den ha färdats avståndet. Koordinaterna för projektilen vid tidpunkten t skulle vara lika till: . På grund av gravitationen måste projektilen vid detta ögonblick sjunka vertikalt med en mängd. Därför, vid tidpunkten t, bestäms projektilens koordinater av formlerna:
Dessa ekvationer innehåller konstanta kvantiteter. När t ändras kommer koordinaterna vid projektilbanan också att ändras. Ekvationerna är parametriska ekvationer för projektilbanan, där parametern är tid
Uttrycka från den första ekvationen och ersätta den i
den andra ekvationen, vi får ekvationen för projektilbanan i formen Detta är ekvationen för en parabel.