Lösa ekvationer med hjälp av Vietas sats. Vietas sats. Exempel på lösningar. Vietas sats för kubikekvation

Vietas sats (mer exakt, satsen omvänd till Vietas sats) låter dig minska tiden för att lösa andragradsekvationer. Du behöver bara veta hur du använder den. Hur lär man sig att lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas teorem? Det är inte svårt om man tänker efter lite.

Nu ska vi bara prata om lösningen av Vietas sats av den reducerade andragradsekvationen. andragradsekvationär en ekvation där a, det vill säga koefficienten för x², lika med ett. Det är också möjligt att lösa andragradsekvationer som inte är givna med hjälp av Vietas sats, men åtminstone en av rötterna är inte ett heltal. De är svårare att gissa.

Den inversa satsen till Vietas sats säger: om talen x1 och x2 är sådana att

då är x1 och x2 rötterna till andragradsekvationen

När man löser en andragradsekvation med hjälp av Vietas teorem är endast 4 alternativ möjliga. Om du kommer ihåg resonemanget kan du lära dig att hitta hela rötter väldigt snabbt.

I. Om q är ett positivt tal,

detta betyder att rötterna x1 och x2 är tal med samma tecken (eftersom endast när man multiplicerar tal med identiska tecken det visar sig vara ett positivt tal).

Bl.a. Om -p är ett positivt tal, (respektive sid<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Om -p är ett negativt tal, (respektive p>0), då är båda rötterna negativa tal (vi lade till tal med samma tecken och fick ett negativt tal).

II. Om q är ett negativt tal,

detta betyder att rötterna x1 och x2 har olika tecken (vid multiplicering av tal erhålls ett negativt tal endast när tecknen på faktorerna är olika). I det här fallet är x1+x2 inte längre en summa, utan en skillnad (trots allt när man lägger till tal med olika tecken vi subtraherar det mindre från det större). Därför visar x1+x2 hur mycket rötterna x1 och x2 skiljer sig åt, det vill säga hur mycket en rot är större än den andra (i absolut värde).

II.a. Om -p är ett positivt tal, (det vill säga sid<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Om -p är ett negativt tal, (p>0), då är den större (modulo) roten ett negativt tal.

Låt oss överväga att lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas teorem med hjälp av exempel.

Lös den givna andragradsekvationen med hjälp av Vietas sats:

Här är q=12>0, så rötterna x1 och x2 är tal med samma tecken. Deras summa är -p=7>0, så båda rötterna är positiva tal. Vi väljer heltal vars produkt är lika med 12. Dessa är 1 och 12, 2 och 6, 3 och 4. Summan är 7 för paret 3 och 4. Det betyder att 3 och 4 är rötterna till ekvationen.

I i detta exempel q=16>0, vilket betyder att rötterna x1 och x2 är tal med samma tecken. Deras summa är -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Här är q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, då är det större talet positivt. Så rötterna är 5 och -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

En av metoderna för att lösa en andragradsekvation är att använda VIET-formler, som fick sitt namn efter FRANCOIS VIETTE.

Han var en berömd advokat som tjänade den franske kungen på 1500-talet. På fritiden studerade han astronomi och matematik. Han etablerade ett samband mellan rötter och koefficienter för en andragradsekvation.

Fördelar med formeln:

1 . Genom att tillämpa formeln kan du snabbt hitta en lösning. Eftersom det inte finns något behov av att ange den andra koefficienten i kvadraten, subtrahera sedan 4ac från den, hitta diskriminanten och ersätt dess värde i formeln för att hitta rötterna.

2 . Utan en lösning kan du bestämma rötternas tecken och välja rötternas värden.

3 . Efter att ha löst ett system med två poster är det inte svårt att hitta själva rötterna. I ovanstående andragradsekvation är summan av rötterna lika med värdet av den andra koefficienten med ett minustecken. Produkten av rötterna i ovanstående andragradsekvation är lika med värdet av den tredje koefficienten.

4 . Använd dessa rötter och skriv ner en andragradsekvation, det vill säga lös det omvända problemet. Till exempel används denna metod när man löser problem inom teoretisk mekanik.

5 . Det är bekvämt att använda formeln när den inledande koefficienten är lika med en.

Brister:

1 . Formeln är inte universell.

Vietas sats 8:e klass

Formel
Om x 1 och x 2 är rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q = 0, då:

Exempel
xl = -1; x 2 = 3 - rötter till ekvationen x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Converse theorem

Formel
Om talen x 1, x 2, p, q är relaterade av villkoren:

Då är x 1 och x 2 rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

Exempel
Låt oss skapa en andragradsekvation med dess rötter:

X 1 = 2 - ? 3 och x 2 = 2 + ? 3.

P = xl + x2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 ) (2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Den nödvändiga ekvationen har formen: x 2 - 4x + 1 = 0.

Vietas sats används ofta för att kontrollera rötter som redan har hittats. Om du har hittat rötterna kan du använda formlerna \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) för att beräkna värdena för \(p) \) och \(q\ ). Och om de visar sig vara desamma som i den ursprungliga ekvationen, så hittas rötterna korrekt.

Låt oss till exempel, med hjälp av , lösa ekvationen \(x^2+x-56=0\) och få rötterna: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Låt oss kontrollera om vi gjorde ett misstag i lösningsprocessen. I vårt fall \(p=1\) och \(q=-56\). Enligt Vietas sats har vi:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Båda påståendena konvergerade, vilket betyder att vi löste ekvationen korrekt.

Denna kontroll kan göras muntligen. Det tar 5 sekunder och räddar dig från dumma misstag.

Vietas omvända sats

Om \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), då är \(x_1\) och \(x_2\) rötterna till andragradsekvationen \ (x^ 2+px+q=0\).

Eller på ett enkelt sätt: om du har en ekvation av formen \(x^2+px+q=0\), lös sedan systemet \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) hittar du dess rötter.

Tack vare detta teorem kan du snabbt hitta rötterna till en andragradsekvation, speciellt om dessa rötter är . Denna färdighet är viktig eftersom den sparar mycket tid.

Exempel . Lös ekvationen \(x^2-5x+6=0\).

Lösning : Med hjälp av Vietas inversa sats finner vi att rötterna uppfyller villkoren: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Titta på den andra ekvationen i systemet \(x_1 \cdot x_2=6\). Vilka två kan talet \(6\) delas upp i? På \(2\) och \(3\), \(6\) och \(1\) eller \(-2\) och \(-3\), och \(-6\) och \(- 1\). Den första ekvationen i systemet kommer att tala om för dig vilket par du ska välja: \(x_1+x_2=5\). \(2\) och \(3\) är lika, eftersom \(2+3=5\).
Svar : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exempel . Använd motsatsen till Vietas teorem och hitta rötterna till andragradsekvationen:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Lösning :
a) \(x^2-15x+14=0\) – vilka faktorer sönderfaller \(14\) till? \(2\) och \(7\), \(-2\) och \(-7\), \(-1\) och \(-14\), \(1\) och \(14\ ). Vilka par av tal summerar till \(15\)? Svar: \(1\) och \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – vilka faktorer sönderfaller \(-4\) till? \(-2\) och \(2\), \(4\) och \(-1\), \(1\) och \(-4\). Vilka par av tal summerar till \(-3\)? Svar: \(1\) och \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – vilka faktorer sönderfaller \(20\) till? \(4\) och \(5\), \(-4\) och \(-5\), \(2\) och \(10\), \(-2\) och \(-10\ ), \(-20\) och \(-1\), \(20\) och \(1\). Vilka par av tal summerar till \(-9\)? Svar: \(-4\) och \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – vilka faktorer bryts \(780\) upp i? \(390\) och \(2\). Kommer de att summera till \(88\)? Nej. Vilka andra multiplikatorer har \(780\)? \(78\) och \(10\). Kommer de att summera till \(88\)? Ja. Svar: \(78\) och \(10\).

Det är inte nödvändigt att utöka den sista termen till alla möjliga faktorer (som i det sista exemplet). Du kan direkt kontrollera om deras summa ger \(-p\).

Viktig! Vietas sats och omvända satsen fungerar bara med , det vill säga en för vilken koefficienten för \(x^2\) är lika med en. Om vi från början fick en icke-reducerad ekvation, så kan vi göra den reducerad genom att helt enkelt dividera med koefficienten framför \(x^2\).

Till exempel, låt ekvationen \(2x^2-4x-6=0\) ges och vi vill använda en av Vietas satser. Men vi kan inte, eftersom koefficienten för \(x^2\) är lika med \(2\). Låt oss bli av med det genom att dividera hela ekvationen med \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Redo. Nu kan du använda båda satserna.

Svar på ofta ställda frågor

Fråga: Med hjälp av Vietas teorem kan du lösa alla ?
Svar: Tyvärr inte. Om ekvationen inte innehåller heltal eller om ekvationen inte har några rötter alls, så hjälper inte Vietas sats. I det här fallet måste du använda diskriminerande . Som tur är har 80 % av ekvationerna i skolmatematiken heltalslösningar.

Mellan rötterna och koefficienterna för en andragradsekvation, förutom rotformlerna, finns det andra användbara samband som ges Vietas sats. I denna artikel kommer vi att ge en formulering och bevis på Vietas sats för en andragradsekvation. Därefter betraktar vi satsen motsatt Vietas sats. Efter detta kommer vi att analysera lösningarna på de mest typiska exemplen. Slutligen skriver vi ner Vieta-formlerna som definierar förhållandet mellan de verkliga rötterna algebraisk ekvation grad n och dess koefficienter.

Sidnavigering.

Vietas sats, formulering, bevis

Från formlerna för rötterna till andragradsekvationen a·x 2 +b·x+c=0 i formen, där D=b 2 −4·a·c, följer följande relationer: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 x 2 = c/a. Dessa resultat bekräftas Vietas sats:

Sats.

Om x 1 och x 2 är rötterna till andragradsekvationen a x 2 +b x+c=0, då är summan av rötterna lika med förhållandet mellan koefficienterna b och a, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med förhållandet mellan koefficienterna c och a, det vill säga .

Bevis.

Vi kommer att utföra beviset för Vietas sats enligt följande schema: vi sammanställer summan och produkten av rötterna till andragradsekvationen med hjälp av kända rotformler, sedan transformerar vi de resulterande uttrycken och ser till att de är lika med −b/ a respektive c/a.

Låt oss börja med summan av rötterna och göra upp det. Nu tar vi bråken till en gemensam nämnare, vi har . I täljaren för det resulterande bråket, varefter:. Slutligen, efter den 2, får vi . Detta bevisar den första relationen i Vietas sats för summan av rötterna i en andragradsekvation. Låt oss gå vidare till den andra.

Vi komponerar produkten av andragradsekvationens rötter: . Enligt regeln om att multiplicera bråk kan den sista produkten skrivas som . Nu multiplicerar vi en parentes med en parentes i täljaren, men det går snabbare att komprimera den här produkten med kvadratskillnadsformel, Så . Sedan, kom ihåg, utför vi nästa övergång. Och eftersom diskriminanten i andragradsekvationen motsvarar formeln D=b 2 −4·a·c, så kan vi istället för D i den sista bråkdelen ersätta b 2 −4·a·c, får vi. Efter att ha öppnat parenteserna och tagit med liknande termer kommer vi fram till bråket , och dess minskning med 4·a ger . Detta bevisar det andra förhållandet i Vietas sats för produkten av rötter.

Om vi utelämnar förklaringarna kommer beviset för Vietas sats att ta en lakonisk form:
,
.

Det återstår bara att notera att om diskriminanten är lika med noll, har andragradsekvationen en rot. Men om vi antar att ekvationen i detta fall har två identiska rötter, så gäller även likheterna från Vietas sats. Faktum är att när D=0 roten till andragradsekvationen är lika med , då och , och eftersom D=0, det vill säga b 2 −4·a·c=0, varav b 2 =4·a·c, då .

I praktiken används Vietas sats oftast i relation till den reducerade andragradsekvationen (med den ledande koefficienten a lika med 1) av formen x 2 +p·x+q=0. Ibland formuleras den för andragradsekvationer av just denna typ, vilket inte begränsar generaliteten, eftersom vilken andragradsekvation som helst kan ersättas med en ekvivalent ekvation genom att dividera båda sidorna med ett icke-nolltal a. Låt oss ge motsvarande formulering av Vietas teorem:

Sats.

Summan av rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 +p x+q=0 är lika med koefficienten för x taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen, det vill säga x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q.

Teorem vänder sig mot Vietas sats

Den andra formuleringen av Vietas teorem, som ges i föregående stycke, indikerar att om x 1 och x 2 är rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 +p x+q=0, så är relationerna x 1 +x 2 =−p x 1 x 2 =q. Å andra sidan, av de skrivna relationerna x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q följer att x 1 och x 2 är rötterna till andragradsekvationen x 2 +p x+q=0. Med andra ord, motsatsen till Vietas sats är sann. Låt oss formulera det i form av ett teorem och bevisa det.

Sats.

Om talen x 1 och x 2 är sådana att x 1 +x 2 =−p och x 1 · x 2 =q, då är x 1 och x 2 rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 +p · x+q =0.

Bevis.

Efter att ha ersatt koefficienterna p och q i ekvationen x 2 +p·x+q=0 med deras uttryck genom x 1 och x 2, omvandlas den till en ekvivalent ekvation.

Låt oss ersätta talet x 1 istället för x i den resulterande ekvationen, och vi har likheten x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, som för alla x 1 och x 2 representerar den korrekta numeriska likheten 0=0, eftersom x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Därför är x 1 roten till ekvationen x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, vilket betyder att x 1 är roten till ekvivalentekvationen x 2 +p·x+q=0.

Om i ekvationen x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 ersätt talet x 2 istället för x, får vi likheten x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Detta är en sann jämlikhet, eftersom x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Därför är x 2 också en rot av ekvationen x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, och därför ekvationerna x 2 +p·x+q=0.

Detta fullbordar beviset för satsen i motsats till Vietas sats.

Exempel på användning av Vietas sats

Det är dags att prata om den praktiska tillämpningen av Vietas teorem och dess omvända teorem. I det här avsnittet kommer vi att analysera lösningar på flera av de mest typiska exemplen.

Låt oss börja med att tillämpa satsen omvänt på Vietas sats. Det är bekvämt att använda för att kontrollera om givna två tal är rötter till en given andragradsekvation. I detta fall beräknas deras summa och skillnad, varefter giltigheten av relationerna kontrolleras. Om båda dessa relationer är uppfyllda, dras slutsatsen att dessa tal är rötterna till ekvationen, i kraft av satsen omvänd till Vietas sats. Om åtminstone en av relationerna inte är uppfylld, är dessa tal inte rötterna till andragradsekvationen. Detta tillvägagångssätt kan användas när man löser andragradsekvationer för att kontrollera de hittade rötter.

Exempel.

Vilket av talparen 1) x 1 =−5, x 2 =3, eller 2) eller 3) är ett rotpar i andragradsekvationen 4 x 2 −16 x+9=0?

Lösning.

Koefficienterna för den givna andragradsekvationen 4 x 2 −16 x+9=0 är a=4, b=−16, c=9. Enligt Vietas teorem ska summan av rötterna i en andragradsekvation vara lika med −b/a, det vill säga 16/4=4, och produkten av rötterna ska vara lika med c/a, det vill säga 9 /4.

Låt oss nu beräkna summan och produkten av siffrorna i vart och ett av de tre givna paren och jämföra dem med de värden vi just fick.

I det första fallet har vi x 1 +x 2 =−5+3=−2. Det resulterande värdet skiljer sig från 4, så ingen ytterligare kontroll kan utföras, men genom att använda satsen omvänd till Vietas sats kan man omedelbart dra slutsatsen att det första paret av tal inte är ett par rötter i den givna andragradsekvationen.

Låt oss gå vidare till det andra fallet. Här är det första villkoret uppfyllt. Vi kontrollerar det andra villkoret: det resulterande värdet skiljer sig från 9/4. Följaktligen är det andra talparet inte ett par rötter i andragradsekvationen.

Det finns ett sista fall kvar. Här och. Båda villkoren är uppfyllda, så dessa tal x 1 och x 2 är rötterna till den givna andragradsekvationen.

Svar:

Motsatsen till Vietas sats kan användas i praktiken för att hitta rötterna till en andragradsekvation. Vanligtvis väljs heltalsrötter av de givna andragradsekvationerna med heltalskoefficienter, eftersom detta i andra fall är ganska svårt att göra. I det här fallet använder de det faktum att om summan av två tal är lika med den andra koefficienten i en andragradsekvation, taget med ett minustecken, och produkten av dessa tal är lika med den fria termen, så är dessa tal rötter till denna andragradsekvation. Låt oss förstå detta med ett exempel.

Låt oss ta andragradsekvationen x 2 −5 x+6=0. För att talen x 1 och x 2 ska vara rötterna till denna ekvation måste två likheter vara uppfyllda: x 1 + x 2 =5 och x 1 ·x 2 =6. Allt som återstår är att välja sådana siffror. I det här fallet är detta ganska enkelt att göra: sådana siffror är 2 och 3, eftersom 2+3=5 och 2·3=6. Således är 2 och 3 rötterna till denna andragradsekvation.

Satsen omvänd till Vietas sats är särskilt bekväm att använda för att hitta den andra roten i en reducerad andragradsekvation när en av rötterna redan är känd eller uppenbar. I det här fallet kan den andra roten hittas från vilken som helst av relationerna.

Låt oss till exempel ta andragradsekvationen 512 x 2 −509 x −3=0. Här är det lätt att se att enhet är roten till ekvationen, eftersom summan av koefficienterna för denna andragradsekvation är lika med noll. Alltså x 1 = 1. Den andra roten x 2 kan hittas till exempel från relationen x 1 ·x 2 =c/a. Vi har 1 x 2 =−3/512, varav x 2 =−3/512. Så här bestämde vi båda rötterna till andragradsekvationen: 1 och −3/512.

Det är tydligt att valet av rötter endast är tillrådligt i de enklaste fallen. I andra fall, för att hitta rötter, kan du använda formler för rötterna till en andragradsekvation genom en diskriminant.

En annan praktisk tillämpning av motsatsen till Vietas teorem är att konstruera andragradsekvationer givet rötterna x 1 och x 2 . För att göra detta räcker det med att beräkna summan av rötterna, som ger koefficienten x med motsatt tecken på den givna andragradsekvationen, och produkten av rötterna, som ger den fria termen.

Exempel.

Skriv en andragradsekvation vars rötter är −11 och 23.

Lösning.

Låt oss beteckna x 1 =−11 och x 2 =23. Vi beräknar summan och produkten av dessa tal: x 1 +x 2 =12 och x 1 ·x 2 =−253. Därför är de angivna talen rötterna till den reducerade andragradsekvationen med en andra koefficient på -12 och en fri term på -253. Det vill säga, x 2 −12·x−253=0 är den nödvändiga ekvationen.

Svar:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietas sats används mycket ofta när man löser problem relaterade till tecken på rötterna i andragradsekvationer. Hur är Vietas sats relaterad till tecknen på rötterna i den reducerade andragradsekvationen x 2 +p·x+q=0? Här är två relevanta uttalanden:

Om den fria termen q är ett positivt tal och om andragradsekvationen har reella rötter, så är de båda positiva eller båda negativa.
Om den fria termen q är ett negativt tal och om andragradsekvationen har reella rötter, så är deras tecken olika, med andra ord, en rot är positiv och den andra är negativ.

Dessa påståenden följer av formeln x 1 · x 2 =q, samt reglerna för att multiplicera positiva, negativa tal och tal med olika tecken. Låt oss titta på exempel på deras tillämpning.

Exempel.

R det är positivt. Med hjälp av diskriminantformeln hittar vi D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, värdet av uttrycket r 2 +8 är positivt för varje reellt r, alltså D>0 för vilket reellt r som helst. Följaktligen har den ursprungliga andragradsekvationen två rötter för eventuella reella värden på parametern r.

Låt oss nu ta reda på när rötterna har olika tecken. Om tecknen på rötterna är olika, är deras produkt negativ, och enligt Vietas sats är produkten av rötterna i den reducerade andragradsekvationen lika med den fria termen. Därför är vi intresserade av de värden på r för vilka den fria termen r−1 är negativ. För att hitta värdena för r som vi är intresserade av behöver vi alltså lösa linjär ojämlikhet r−1<0 , откуда находим r<1 .

Svar:

vid r<1 .

Vieta formler

Ovan pratade vi om Vietas teorem för en andragradsekvation och analyserade sambanden den hävdar. Men det finns formler som förbinder de verkliga rötterna och koefficienterna för inte bara andragradsekvationer, utan också kubiska ekvationer, ekvationer av fjärde graden och i allmänhet, algebraiska ekvationer grad n. De kallas Vietas formler.

Låt oss skriva Vieta-formeln för en algebraisk ekvation av grad n av formen, och vi kommer att anta att den har n reella rötter x 1, x 2, ..., x n (bland dem kan det finnas sammanfallande sådana):

Vietas formler kan erhållas sats om sönderdelning av ett polynom i linjära faktorer, samt definitionen av lika polynom genom likheten av alla deras motsvarande koefficienter. Så polynomet och dess expansion till linjära faktorer av formen är lika. Genom att öppna parenteserna i den sista produkten och likställa motsvarande koefficienter får vi Vietas formler.

Speciellt för n=2 har vi de redan välkända Vieta-formlerna för en andragradsekvation.

För en kubikekvation har Vietas formler formen

Det återstår bara att notera att på vänster sida av Vietas formler finns de så kallade elementära symmetriska polynom.

Bibliografi.

Algebra: lärobok för 8:e klass. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna läroanstalter / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra och början av matematisk analys. 10:e klass: lärobok. för allmänbildning institutioner: grundläggande och profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; redigerad av A. B. Zhizhchenko. - 3:e uppl. - M.: Utbildning, 2010.- 368 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-022771-1.

I åttan får eleverna lära sig andragradsekvationer och hur man löser dem. Samtidigt, som erfarenheten visar, använder de flesta elever bara en metod när de löser fullständiga andragradsekvationer – formeln för rötterna till en andragradsekvation. För elever som har goda huvudräkningsfärdigheter är denna metod helt klart irrationell. Elever får ofta lösa andragradsekvationer även på gymnasiet och där är det helt enkelt synd att lägga tid på att räkna ut diskriminanten. Enligt min åsikt, när man studerar andragradsekvationer, bör mer tid och uppmärksamhet ägnas åt tillämpningen av Vietas sats (enligt A.G. Mordkovich Algebra-8-programmet är endast två timmar planerade för att studera ämnet "Vietas sats. Nedbrytning av en kvadratisk trinomial till linjära faktorer").

I de flesta algebraläroböcker är denna sats formulerad för den reducerade andragradsekvationen och säger att om ekvationen har rötter och , då är likheterna , , uppfyllda för dem. Sedan formuleras ett uttalande i motsats till Vietas teorem, och ett antal exempel ges för att öva på detta ämne.

Låt oss ta specifika exempel och spåra lösningens logik med hjälp av Vietas teorem.

Exempel 1. Lös ekvationen.

Låt oss säga att denna ekvation har rötter, nämligen och . Sedan, enligt Vietas teorem, måste jämlikheterna samtidigt hålla:

Observera att produkten av rötter är ett positivt tal. Det betyder att ekvationens rötter har samma tecken. Och eftersom summan av rötterna också är ett positivt tal, drar vi slutsatsen att båda rötterna i ekvationen är positiva. Låt oss återvända till produkten av rötter. Låt oss anta att rötterna till ekvationen är positiva heltal. Då kan den korrekta första likheten erhållas endast på två sätt (upp till faktorernas ordning): eller . Låt oss kontrollera för de föreslagna sifferparen genomförbarheten av det andra påståendet i Vietas teorem: . Således uppfyller talen 2 och 3 båda likheterna och är därför rötterna till den givna ekvationen.

Svar: 2; 3.

Låt oss lyfta fram huvudstadierna av resonemang när vi löser den ovanstående andragradsekvationen med hjälp av Vietas sats:

skriv ner uttalandet av Vietas sats

(*)

bestäm tecknen på rötterna i ekvationen (Om produkten och summan av rötterna är positiva, så är båda rötterna positiva tal. Om produkten av rötterna är ett positivt tal och summan av rötterna är negativ, då båda rötterna är negativa tal Om produkten av rötterna är ett negativt tal, så har rötterna olika tecken. Dessutom, om summan av rötterna är positiv, är roten med en större modul ett positivt tal. summan av rötterna är mindre än noll, då är roten med en större modul ett negativt tal);
välj par av heltal vars produkt ger den korrekta första likheten i notationen (*);
från de hittade nummerparen, välj det par som, när det ersätts med den andra likheten i notationen (*), ger den korrekta likheten;
ange i ditt svar de hittade rötterna till ekvationen.

Låt oss ge några fler exempel.

Exempel 2: Lös ekvationen .

Lösning.

Låt och vara rötterna till den givna ekvationen. Sedan, genom Vietas teorem, noterar vi att produkten är positiv och summan är ett negativt tal. Det betyder att båda rötterna är negativa tal. Vi väljer par av faktorer som ger produkten 10 (-1 och -10; -2 och -5). Det andra paret siffror summerar till -7. Det betyder att talen -2 och -5 är rötterna till denna ekvation.

Svar: -2; -5.

Exempel 3: Lös ekvationen .

Lösning.

Låt och vara rötterna till den givna ekvationen. Sedan, genom Vietas teorem, noterar vi att produkten är negativ. Det betyder att rötterna är av olika tecken. Summan av rötterna är också ett negativt tal. Det betyder att roten med störst modul är negativ. Vi väljer ut par av faktorer som ger produkten -10 (1 och -10; 2 och -5). Det andra paret siffror summerar till -3. Det betyder att talen 2 och -5 är rötterna till denna ekvation.

Svar: 2; -5.

Observera att Vietas sats i princip kan formuleras för en komplett andragradsekvation: om andragradsekvationen har rötter och , då jämlikheterna , , är tillfredsställda för dem. Tillämpningen av denna sats är dock ganska problematisk, eftersom i en komplett andragradsekvation är åtminstone en av rötterna (om någon, naturligtvis) ett bråktal. Och arbetet med att välja bråk är långt och svårt. Men det finns fortfarande en väg ut.

Betrakta den fullständiga andragradsekvationen . Multiplicera båda sidor av ekvationen med den första koefficienten A och skriv ekvationen i formuläret . Låt oss introducera en ny variabel och erhålla den reducerade andragradsekvationen, vars rötter och (om tillgänglig) kan hittas med hjälp av Vietas sats. Då blir rötterna till den ursprungliga ekvationen . Observera att det är mycket enkelt att skapa den reducerade hjälpekvationen: den andra koefficienten bevaras och den tredje koefficienten är lika med produkten ac. Med en viss färdighet skapar eleverna omedelbart en hjälpekvation, hittar dess rötter med hjälp av Vietas sats och anger rötterna till den givna kompletta ekvationen. Låt oss ge exempel.

Exempel 4: Lös ekvationen .

Låt oss skapa en hjälpekvation och med hjälp av Vietas teorem hittar vi dess rötter. Detta innebär att rötterna till den ursprungliga ekvationen .

Svar: .

Exempel 5: Lös ekvationen .

Hjälpekvationen har formen . Enligt Vietas teorem är dess rötter . Hitta rötterna till den ursprungliga ekvationen .

Svar: .

Och ett fall till när tillämpningen av Vietas teorem låter dig verbalt hitta rötterna till en komplett andragradsekvation. Det är inte svårt att bevisa det talet 1 är roten till ekvationen , om och endast om. Den andra roten av ekvationen hittas av Vietas sats och är lika med . Ett annat uttalande: så att talet –1 är roten till ekvationen nödvändigt och tillräckligt för att. Då är den andra roten av ekvationen enligt Vietas sats lika med . Liknande påståenden kan formuleras för den reducerade andragradsekvationen.

Exempel 6: Lös ekvationen.

Observera att summan av ekvationens koefficienter är noll. Alltså rötterna till ekvationen .