I juli 2020 lanserar NASA en expedition till Mars. Rymdfarkosten kommer att leverera till Mars ett elektroniskt medium med namnen på alla registrerade expeditionsdeltagare.
Om det här inlägget löste ditt problem eller om du bara gillade det, dela länken till det med dina vänner på sociala nätverk.
Ett av dessa kodalternativ måste kopieras och klistras in i koden på din webbsida, helst mellan taggar och eller omedelbart efter taggen. Enligt det första alternativet laddas MathJax snabbare och saktar ner sidan mindre. Men det andra alternativet övervakar och laddar automatiskt de senaste versionerna av MathJax. Om du sätter in den första koden måste den uppdateras med jämna mellanrum. Om du sätter in den andra koden kommer sidorna att laddas långsammare, men du behöver inte ständigt övervaka MathJax-uppdateringar.
Det enklaste sättet att ansluta MathJax är i Blogger eller WordPress: i webbplatsens kontrollpanel, lägg till en widget som är utformad för att infoga JavaScript-kod från tredje part, kopiera den första eller andra versionen av nedladdningskoden som presenteras ovan i den och placera widgeten närmare. till början av mallen (förresten, detta är inte alls nödvändigt eftersom MathJax-skriptet laddas asynkront). Det är allt. Lär dig nu markeringssyntaxen för MathML, LaTeX och ASCIIMathML, och du är redo att infoga matematiska formler på din webbplats webbsidor.
Ännu en nyårsafton... frostväder och snöflingor på fönsterglaset... Allt detta fick mig att skriva igen om... fraktaler, och vad Wolfram Alpha vet om det. Det finns en intressant artikel om detta ämne, som innehåller exempel på tvådimensionella fraktala strukturer. Här ska vi titta på mer komplexa exempel tredimensionella fraktaler.
En fraktal kan visuellt representeras (beskrivs) som en geometrisk figur eller kropp (vilket betyder att båda är en uppsättning, i detta fall en uppsättning punkter), vars detaljer har samma form som själva originalfiguren. Det vill säga, det här är en självliknande struktur, som undersöker detaljerna som när vi förstoras kommer att se samma form som utan förstoring. Medan i fallet med ordinarie geometrisk figur(inte en fraktal), när vi zoomar in kommer vi att se detaljer som har mer enkel formän själva originalfiguren. Till exempel, vid tillräckligt hög förstoring ser en del av en ellips ut som ett rakt linjesegment. Detta händer inte med fraktaler: med någon ökning av dem kommer vi igen att se samma komplexa form, som kommer att upprepas om och om igen med varje ökning.
Benoit Mandelbrot, grundaren av vetenskapen om fraktaler, skrev i sin artikel Fractals and Art in the Name of Science: "Fractals är geometriska former som är lika komplexa i sina detaljer som de är i sina allmän form. Det vill säga, om en del av en fraktal förstoras till storleken på helheten, kommer den att visas som helhet, antingen exakt eller kanske med en liten deformation."
.- För att göra detta, använd diagrampapper eller en grafräknare. Välj valfritt antal numeriska värden för den oberoende variabeln x (\displaystyle x) och koppla in dem i funktionen för att beräkna värdena för den beroende variabeln y (\displaystyle y). Rita de hittade koordinaterna för punkterna på koordinatplanet och koppla sedan ihop dessa punkter för att bygga en graf över funktionen.
Ersätt positiva numeriska värden x (\displaystyle x) och motsvarande negativa numeriska värden i funktionen. Till exempel, givet en funktion f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) . Ersätt följande värden x (\displaystyle x) i det:
Kontrollera om grafen för funktionen är symmetrisk kring Y-axeln. Med symmetri menar vi spegelbilden av grafen kring y-axeln. Om delen av grafen till höger om Y-axeln (positiva värden för den oberoende variabeln) är densamma som delen av grafen till vänster om Y-axeln (negativa värden för den oberoende variabeln) ), är grafen symmetrisk kring Y-axeln Om funktionen är symmetrisk kring y-axeln, är funktionen jämn.
Kontrollera om grafen för funktionen är symmetrisk om ursprunget.
- Ersätt flera positiva och motsvarande negativa värden på x (\displaystyle x) i funktionen:
- Enligt de erhållna resultaten finns det ingen symmetri. Värdena på y (\displaystyle y) för motsatta värden på x (\displaystyle x) är inte desamma och är inte motsatta. Funktionen är alltså varken jämn eller udda.
- Observera att funktionen f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) kan skrivas på följande sätt: f (x) = (x + 1) ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . När den skrivs i denna form visas funktionen även för att det finns en jämn exponent. Men det här exemplet bevisar att typen av funktion inte kan bestämmas snabbt om den oberoende variabeln är omgiven av parentes. I det här fallet måste du öppna parenteserna och analysera de erhållna exponenterna.
Som var bekanta för dig i en eller annan grad. Där noterades också att beståndet av funktionsfastigheter successivt kommer att fyllas på. Två nya fastigheter kommer att diskuteras i detta avsnitt.
Definition 1.
Funktionen y = f(x), x є X, anropas även om för något värde x från mängden X gäller likheten f (-x) = f (x).
Definition 2.
Funktionen y = f(x), x є X, kallas udda om för något värde x från mängden X är likheten f (-x) = -f (x) gäller.
Bevisa att y = x 4 är en jämn funktion.
Lösning. Vi har: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Men (-x) 4 = x 4. Detta betyder att för varje x gäller likheten f(-x) = f(x), dvs. funktionen är jämn.
På liknande sätt kan det bevisas att funktionerna y - x 2, y = x 6, y - x 8 är jämna.
Bevisa att y = x 3 ~ en udda funktion.
Lösning. Vi har: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Men (-x) 3 = -x 3. Detta betyder att för varje x gäller likheten f (-x) = -f (x), d.v.s. funktionen är udda.
På liknande sätt kan det bevisas att funktionerna y = x, y = x 5, y = x 7 är udda.
Du och jag har redan mer än en gång varit övertygade om att nya termer inom matematiken oftast har ett ”jordiskt” ursprung, d.v.s. de kan förklaras på något sätt. Detta är fallet med både jämna och udda funktioner. Se: y - x 3, y = x 5, y = x 7 - udda funktioner, medan y = x 2, y = x 4, y = x 6 är jämna funktioner. Och i allmänhet, för alla funktioner av formen y = x" (nedan kommer vi specifikt att studera dessa funktioner), där n är ett naturligt tal, kan vi dra slutsatsen: om n är ett udda tal, då är funktionen y = x" udda; om n är ett jämnt tal, då är funktionen y = xn jämn.
Det finns också funktioner som varken är jämna eller udda. Sådan är till exempel funktionen y = 2x + 3. Faktum är att f(1) = 5, och f (-1) = 1. Som du kan se, här är därför inte heller identiteten f(-x) = f ( x), inte heller identiteten f(-x) = -f(x).
Så en funktion kan vara jämn, udda eller ingetdera.
Studerar frågan om huruvida given funktion jämn eller udda brukar kallas studien av en funktion för paritet.
Definitionerna 1 och 2 hänvisar till funktionens värden i punkterna x och -x. Detta förutsätter att funktionen är definierad i både punkt x och punkt -x. Detta betyder att punkt -x tillhör definitionsdomänen för funktionen samtidigt med punkt x. Om nummeruppsättning X innehåller tillsammans med vart och ett av dess element x också det motsatta elementet -x, då kallas X en symmetrisk mängd. Låt oss säga att (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) är symmetriska mängder, medan )