Linjära ekvationer. Lösning, exempel.
Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")
Linjära ekvationer.
Linjära ekvationer är inte de mest komplext ämne skolans matematik. Men det finns några knep där som kan förbrylla även en utbildad elev. Låt oss ta reda på det?)
Vanligtvis definieras en linjär ekvation som en ekvation av formen:
yxa + b = 0 Var a och b– alla siffror.
2x + 7 = 0. Här a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Här a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Här a=12, b=1/2
Inget komplicerat, eller hur? Speciellt om du inte lägger märke till orden: "där a och b är valfria tal"... Och om du märker och slarvigt tänker på det?) När allt kommer omkring, om a=0, b=0(alla siffror är möjliga?), då får vi ett roligt uttryck:
Men det är inte allt! Om, säg, a=0, A b=5, Det här visar sig vara något helt utöver det vanliga:
Vilket är irriterande och undergräver förtroendet för matematik, ja...) Speciellt under prov. Men av dessa konstiga uttryck måste du också hitta X! Vilket inte alls finns. Och överraskande nog är detta X väldigt lätt att hitta. Vi kommer att lära oss att göra detta. I den här lektionen.
Hur känner man igen en linjär ekvation på dess utseende? Det beror på vad utseende.) Tricket är att linjära ekvationer inte bara är formekvationer yxa + b = 0 , men också alla ekvationer som kan reduceras till denna form genom transformationer och förenklingar. Och vem vet om det kommer ner eller inte?)
En linjär ekvation kan tydligt kännas igen i vissa fall. Låt oss säga, om vi har en ekvation där det bara finns okända i första graden och siffror. Och i ekvationen finns det nej bråk dividerat med okänd , det är viktigt! Och division efter siffra, eller en numerisk bråkdel - det är välkommet! Till exempel:
Detta är en linjär ekvation. Det finns bråk här, men det finns inga x i kvadraten, kuben etc. och inga x i nämnarna, d.v.s. Nej division med x. Och här är ekvationen
kan inte kallas linjär. Här är alla X i första graden, men det finns division med uttryck med x. Efter förenklingar och transformationer kan du få en linjär ekvation, en andragradsekvation eller vad du vill.
Det visar sig att det är omöjligt att känna igen den linjära ekvationen i något komplicerat exempel förrän man nästan löser den. Det här är upprörande. Men i uppdrag frågar de som regel inte om ekvationens form, eller hur? Uppgifterna frågar efter ekvationer besluta. Detta gör mig lycklig.)
Lösa linjära ekvationer. Exempel.
Hela lösningen linjära ekvationer består av identiska transformationer av ekvationer. Förresten, dessa transformationer (två av dem!) är grunden för lösningarna alla matematikens ekvationer. Med andra ord, lösningen några ekvationen börjar med just dessa transformationer. När det gäller linjära ekvationer är den (lösningen) baserad på dessa transformationer och slutar med ett fullständigt svar. Det är vettigt att följa länken, eller hur?) Dessutom finns det också exempel på att lösa linjära ekvationer där.
Låt oss först titta på det enklaste exemplet. Utan några fallgropar. Anta att vi måste lösa denna ekvation.
x - 3 = 2 - 4x
Detta är en linjär ekvation. X:en är alla i första potensen, det finns ingen division med X. Men i själva verket spelar det ingen roll för oss vilken typ av ekvation det är. Vi måste lösa det. Schemat här är enkelt. Samla allt med X på vänster sida av ekvationen, allt utan X (nummer) till höger.
För att göra detta måste du överföra - 4x till vänster sida, med byte av tecken förstås, och - 3 - till höger. Det här är förresten den första identiska transformationen av ekvationer.Överraskad? Det betyder att du inte följde länken, men förgäves...) Vi får:
x + 4x = 2 + 3
Här är liknande, anser vi:
Vad behöver vi till fullständig lycka? Ja, så att det blir ett rent X till vänster! Fem är i vägen. Att bli av med de fem med hjälp den andra identiska transformationen av ekvationer. Vi dividerar nämligen båda sidor av ekvationen med 5. Vi får ett färdigt svar:
Ett elementärt exempel såklart. Det här är för att värma upp.) Det är inte så tydligt varför jag kom ihåg identiska transformationer här? OK. Låt oss ta tjuren vid hornen.) Låt oss bestämma något mer solidt.
Till exempel, här är ekvationen:
Var börjar vi? Med X - till vänster, utan X - till höger? Kan vara så. Små steg längs en lång väg. Eller så kan du göra det direkt, på ett universellt och kraftfullt sätt. Om du naturligtvis har identiska transformationer av ekvationer i din arsenal.
Jag ställer en nyckelfråga till dig: Vad ogillar du mest med den här ekvationen?
95 av 100 personer kommer att svara: fraktioner ! Svaret är korrekt. Så låt oss bli av med dem. Därför börjar vi direkt med andra identitetsförvandling. Vad behöver du multiplicera bråket till vänster med så att nämnaren reduceras helt? Just det, vid 3. Och till höger? Med 4. Men matematiken tillåter oss att multiplicera båda sidor med samma nummer. Hur kan vi komma ut? Låt oss multiplicera båda sidor med 12! De där. till en gemensam nämnare. Då kommer både de tre och de fyra att minska. Glöm inte att du måste multiplicera varje del helt. Så här ser det första steget ut:
Utöka parenteserna:
Notera! Täljare (x+2) Jag sätter den inom parentes! Detta beror på att när man multiplicerar bråk så multipliceras hela täljaren! Nu kan du minska fraktioner:
Expandera de återstående parenteserna:
Inte ett exempel, men rent nöje!) Låt oss nu komma ihåg besvärjelsen från juniorklasser: med ett X - till vänster, utan ett X - till höger! Och tillämpa denna transformation:
Här är några liknande:
Och dividera båda delarna med 25, d.v.s. tillämpa den andra omvandlingen igen:
Det är allt. Svar: X=0,16
Observera: för att få den ursprungliga förvirrande ekvationen till en fin form använde vi två (bara två!) identitetsförvandlingar– översättning vänster-höger med byte av tecken och multiplikation-division av en ekvation med samma tal. Detta universell metod! Vi kommer att arbeta på detta sätt med några ekvationer! Absolut vem som helst. Det är därför jag tröttsamt upprepar om dessa identiska transformationer hela tiden.)
Som du kan se är principen för att lösa linjära ekvationer enkel. Vi tar ekvationen och förenklar den med identiska transformationer tills vi får svaret. De största problemen här ligger i beräkningarna, inte i principen för lösningen.
Men... Det finns sådana överraskningar i processen att lösa de mest elementära linjära ekvationerna att de kan driva dig in i en stark dvala...) Lyckligtvis kan det bara finnas två sådana överraskningar. Låt oss kalla dem specialfall.
Specialfall vid lösning av linjära ekvationer.
Första överraskningen.
Låt oss säga att du har det den mest elementära ekvationen, något liknande:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Lite uttråkade flyttar vi den med ett X till vänster, utan ett X - till höger... Med ett teckenbyte är allt perfekt... Vi får:
2x-5x+3x=5-2-3
Vi räknar, och... oj!!! Vi får:
Denna jämlikhet i sig är inte förkastlig. Noll är verkligen noll. Men X saknas! Och vi måste skriva ner i svaret, vad är x lika med? Annars räknas inte lösningen, eller hur...) Dödläge?
Lugna! I sådana tveksamma fall kommer de mest allmänna reglerna att rädda dig. Hur löser man ekvationer? Vad innebär det att lösa en ekvation? Detta betyder, hitta alla värden på x som, när de sätts in i den ursprungliga ekvationen, ger oss den korrekta likheten.
Men vi har sann jämlikhet redan hände! 0=0, hur mycket mer exakt?! Det återstår att ta reda på vid vilka x's detta händer. Vilka värden på X kan ersättas med original ekvation om dessa x kommer de fortfarande att reduceras till noll? Kom igen?)
Ja!!! X kan ersättas några! Vilka vill du ha? Minst 5, minst 0,05, minst -220. De kommer fortfarande att krympa. Om du inte tror mig kan du kontrollera det.) Byt ut alla värden på X original ekvation och beräkna. Hela tiden kommer du att få den rena sanningen: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 och så vidare.
Här är ditt svar: x - vilket nummer som helst.
Svaret kan skrivas i olika matematiska symboler, essensen förändras inte. Detta är ett helt korrekt och fullständigt svar.
Andra överraskningen.
Låt oss ta samma elementära linjära ekvation och ändra bara ett tal i den. Detta är vad vi kommer att bestämma:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Efter samma identiska transformationer får vi något spännande:
Så här. Vi löste en linjär ekvation och fick en konstig likhet. I matematiska termer fick vi falsk jämlikhet. Och talar på ett enkelt språk, det är inte sant. Rave. Men ändå är detta nonsens en mycket bra anledning till rätt beslut ekvationer.)
Återigen tänker vi utifrån generella regler. Vad x, när de sätts in i den ursprungliga ekvationen, kommer att ge oss Sann jämlikhet? Ja, ingen! Det finns inga sådana X. Oavsett vad du stoppar i dig kommer allt att minska, bara nonsens kommer att finnas kvar.)
Här är ditt svar: det finns inga lösningar.
Detta är också ett helt komplett svar. Inom matematiken finns ofta sådana svar.
Så här. Nu hoppas jag att försvinnandet av X i processen att lösa alla (inte bara linjära) ekvationer inte kommer att förvirra dig alls. Detta är redan en bekant sak.)
Nu när vi har tagit itu med alla fallgropar i linjära ekvationer är det vettigt att lösa dem.
Om du gillar den här sidan...
Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)
Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)
Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.
I den här videon kommer vi att analysera en hel uppsättning linjära ekvationer som löses med samma algoritm - det är därför de kallas de enklaste.
Låt oss först definiera: vad är en linjär ekvation och vilken kallas den enklaste?
En linjär ekvation är en där det bara finns en variabel, och endast till den första graden.
Den enklaste ekvationen betyder konstruktionen:
Alla andra linjära ekvationer reduceras till det enklaste med hjälp av algoritmen:
- Expandera parenteser, om några;
- Flytta termer som innehåller en variabel till ena sidan av likhetstecknet och termer utan variabel till den andra;
- Ge liknande termer till vänster och höger om likhetstecknet;
- Dividera den resulterande ekvationen med koefficienten för variabeln $x$.
Naturligtvis hjälper denna algoritm inte alltid. Faktum är att ibland efter alla dessa bearbetningar visar sig koefficienten för variabeln $x$ vara lika med noll. I det här fallet är två alternativ möjliga:
- Ekvationen har inga lösningar alls. Till exempel, när något som $0\cdot x=8$ visar sig, dvs. till vänster är noll, och till höger är ett annat tal än noll. I videon nedan kommer vi att titta på flera anledningar till varför denna situation är möjlig.
- Lösningen är alla siffror. Det enda fallet då detta är möjligt är när ekvationen har reducerats till konstruktionen $0\cdot x=0$. Det är ganska logiskt att oavsett vilka $x$ vi ersätter så kommer det fortfarande att visa sig "noll är lika med noll", dvs. korrekt numerisk likhet.
Låt oss nu se hur allt detta fungerar med hjälp av verkliga exempel.
Exempel på att lösa ekvationer
Idag har vi att göra med linjära ekvationer, och bara de enklaste. I allmänhet betyder en linjär ekvation varje likhet som innehåller exakt en variabel, och den går bara till första graden.
Sådana konstruktioner löses på ungefär samma sätt:
- Först och främst måste du utöka parenteserna, om det finns några (som i vårt senaste exempel);
- Ta sedan med liknande
- Slutligen isolera variabeln, dvs. flytta allt som är kopplat till variabeln – de termer som den ingår i – till ena sidan och flytta allt som är kvar utan den till den andra sidan.
Då måste du som regel ta med liknande på varje sida av den resulterande likheten, och efter det återstår bara att dividera med koefficienten "x", så får vi det slutliga svaret.
I teorin ser detta snyggt och enkelt ut, men i praktiken kan även erfarna gymnasieelever göra kränkande misstag i ganska enkla linjära ekvationer. Vanligtvis görs fel antingen när man öppnar parenteser eller när man beräknar "plus" och "minus".
Dessutom händer det att en linjär ekvation inte har några lösningar alls, eller att lösningen är hela tallinjen, d.v.s. vilket nummer som helst. Vi kommer att titta på dessa finesser i dagens lektion. Men vi börjar, som ni redan förstått, med själva enkla uppgifter.
Schema för att lösa enkla linjära ekvationer
Låt mig först återigen skriva hela schemat för att lösa de enklaste linjära ekvationerna:
- Utöka eventuella parenteser.
- Vi isolerar variablerna, d.v.s. Vi flyttar allt som innehåller "X" till ena sidan och allt utan "X" till den andra.
- Vi presenterar liknande termer.
- Vi dividerar allt med koefficienten "x".
Naturligtvis fungerar det här schemat inte alltid det finns vissa finesser och tricks i det, och nu kommer vi att lära känna dem.
Lösa verkliga exempel på enkla linjära ekvationer
Uppgift nr 1
Det första steget kräver att vi öppnar fästena. Men de finns inte i det här exemplet, så vi hoppar över det här steget. I det andra steget måste vi isolera variablerna. Observera: vi talar bara om enskilda termer. Låt oss skriva ner det:
Vi presenterar liknande termer till vänster och höger, men det har redan gjorts här. Därför går vi vidare till det fjärde steget: dividera med koefficienten:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Så vi fick svaret.
Uppgift nr 2
Vi kan se parenteserna i det här problemet, så låt oss utöka dem:
Både till vänster och till höger ser vi ungefär samma design, men låt oss agera enligt algoritmen, d.v.s. separera variablerna:
Här är några liknande:
Vid vilka rötter fungerar detta? Svar: för alla. Därför kan vi skriva att $x$ är vilket tal som helst.
Uppgift nr 3
Den tredje linjära ekvationen är mer intressant:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Det finns flera parenteser, men de multipliceras inte med någonting, de föregås helt enkelt av olika tecken. Låt oss dela upp dem:
Vi utför det andra steget som vi redan känner till:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Låt oss räkna ut:
Vi utför det sista steget - dividera allt med koefficienten "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Saker att komma ihåg när du löser linjära ekvationer
Om vi ignorerar alltför enkla uppgifter, skulle jag vilja säga följande:
- Som jag sa ovan har inte alla linjära ekvationer en lösning - ibland finns det helt enkelt inga rötter;
- Även om det finns rötter kan det finnas noll bland dem – det är inget fel med det.
Noll är samma nummer som de andra, du bör inte diskriminera det på något sätt eller anta att om du får noll, så har du gjort något fel.
En annan funktion är relaterad till öppningen av konsoler. Observera: när det finns ett "minus" framför dem tar vi bort det, men inom parentes ändrar vi tecknen till motsatt. Och sedan kan vi öppna det med standardalgoritmer: vi får vad vi såg i beräkningarna ovan.
Genom att förstå detta enkla faktum kommer du att undvika att göra dumma och stötande misstag i gymnasiet när du gör det liknande handlingar tagen för givet.
Lösa komplexa linjära ekvationer
Låt oss gå vidare till mer komplexa ekvationer. Nu kommer konstruktionerna att bli mer komplexa och när man utför olika transformationer kommer en kvadratisk funktion att dyka upp. Vi bör dock inte vara rädda för detta, för om vi, enligt författarens plan, löser en linjär ekvation, kommer alla monomialer som innehåller en kvadratisk funktion säkert att avbrytas under transformationsprocessen.
Exempel nr 1
Självklart är det första steget att öppna fästena. Låt oss göra detta mycket noggrant:
Låt oss nu ta en titt på integritet:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Här är några liknande:
Det är självklart att given ekvation Det finns inga lösningar, så vi skriver detta i svaret:
\[\varnothing\]
eller så finns det inga rötter.
Exempel nr 2
Vi utför samma åtgärder. Första steget:
Låt oss flytta allt med en variabel till vänster och utan den - till höger:
Här är några liknande:
Uppenbarligen har denna linjära ekvation ingen lösning, så vi skriver det så här:
\[\varnothing\],
eller så finns det inga rötter.
Nyanser av lösningen
Båda ekvationerna är helt lösta. Med dessa två uttryck som exempel blev vi återigen övertygade om att även i de enklaste linjära ekvationerna kanske allt inte är så enkelt: det kan finnas antingen en, eller ingen, eller oändligt många rötter. I vårt fall övervägde vi två ekvationer, båda har helt enkelt inga rötter.
Men jag skulle vilja uppmärksamma dig på ett annat faktum: hur man arbetar med parenteser och hur man öppnar dem om det finns ett minustecken framför dem. Tänk på detta uttryck:
Innan du öppnar måste du multiplicera allt med "X". Observera: multiplicerar varje enskild termin. Inuti finns två termer - respektive två termer och multiplicerat.
Och först efter att dessa till synes elementära, men mycket viktiga och farliga transformationer har slutförts, kan du öppna fästet utifrån det faktum att det finns ett minustecken efter det. Ja, ja: först nu, när omvandlingarna är klara, kommer vi ihåg att det står ett minustecken framför parentesen, vilket betyder att allt nedanför helt enkelt byter tecken. Samtidigt försvinner själva fästena och, viktigast av allt, det främre "minuset" försvinner också.
Vi gör samma sak med den andra ekvationen:
Det är inte av en slump jag uppmärksammar dessa små, till synes obetydliga fakta. För att lösa ekvationer är alltid en sekvens av elementära transformationer, där oförmågan att tydligt och kompetent utföra enkla steg leder till att gymnasieelever kommer till mig och igen lär sig lösa så enkla ekvationer.
Naturligtvis kommer dagen då du kommer att finslipa dessa färdigheter till den grad av automatik. Du kommer inte längre att behöva utföra så många transformationer varje gång du kommer att skriva allt på en rad. Men medan du bara lär dig måste du skriva varje åtgärd separat.
Lösa ännu mer komplexa linjära ekvationer
Det vi ska lösa nu kan knappast kallas den enklaste uppgiften, men innebörden förblir densamma.
Uppgift nr 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Låt oss multiplicera alla element i den första delen:
Låt oss göra lite integritet:
Här är några liknande:
Låt oss slutföra det sista steget:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Här är vårt sista svar. Och trots att vi i processen att lösa hade koefficienter med en kvadratisk funktion, tog de bort varandra, vilket gör ekvationen linjär och inte kvadratisk.
Uppgift nr 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Låt oss noggrant utföra det första steget: multiplicera varje element från den första parentesen med varje element från den andra. Det bör finnas totalt fyra nya termer efter omvandlingarna:
Låt oss nu noggrant utföra multiplikationen i varje term:
Låt oss flytta termerna med "X" till vänster och de utan - till höger:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Här är liknande termer:
Återigen har vi fått det slutgiltiga svaret.
Nyanser av lösningen
Den viktigaste anmärkningen om dessa två ekvationer är följande: så snart vi börjar multiplicera parenteser som innehåller mer än en term, görs detta enligt följande regel: vi tar den första termen från den första och multiplicerar med varje element från den andra; sedan tar vi det andra elementet från det första och multiplicerar på liknande sätt med varje element från det andra. Som ett resultat kommer vi att ha fyra mandatperioder.
Om den algebraiska summan
Med detta sista exempel skulle jag vilja påminna eleverna om vad en algebraisk summa är. I klassisk matematik menar vi med $1-7$ enkel design: subtrahera sju från en. I algebra menar vi följande med detta: till siffran "ett" lägger vi till ytterligare ett tal, nämligen "minus sju". Det är så en algebraisk summa skiljer sig från en vanlig aritmetisk summa.
Så snart du, när du utför alla transformationer, varje addition och multiplikation, börjar se konstruktioner som liknar de som beskrivs ovan, kommer du helt enkelt inte att ha några problem i algebra när du arbetar med polynom och ekvationer.
Låt oss slutligen titta på ytterligare ett par exempel som kommer att vara ännu mer komplexa än de vi just tittade på, och för att lösa dem måste vi utöka vår standardalgoritm något.
Lösa ekvationer med bråk
För att lösa sådana uppgifter måste vi lägga till ytterligare ett steg till vår algoritm. Men först, låt mig påminna dig om vår algoritm:
- Öppna fästena.
- Separata variabler.
- Ta med liknande.
- Dividera med förhållandet.
Tyvärr, denna underbara algoritm, trots all sin effektivitet, visar sig inte vara helt lämplig när vi har bråkdelar framför oss. Och i det vi kommer att se nedan har vi en bråkdel till både vänster och höger i båda ekvationerna.
Hur arbetar man i det här fallet? Ja, det är väldigt enkelt! För att göra detta måste du lägga till ett steg till i algoritmen, vilket kan göras både före och efter den första åtgärden, nämligen att bli av med bråk. Så algoritmen blir som följer:
- Bli av med bråk.
- Öppna fästena.
- Separata variabler.
- Ta med liknande.
- Dividera med förhållandet.
Vad innebär det att "bli av med bråkdelar"? Och varför kan detta göras både efter och före det första standardsteget? Faktum är att i vårt fall är alla bråk numeriska i sin nämnare, d.v.s. Överallt är nämnaren bara en siffra. Därför, om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med detta tal, kommer vi att bli av med bråk.
Exempel nr 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Låt oss bli av med bråken i denna ekvation:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Observera: allt multipliceras med "fyra" en gång, dvs. bara för att du har två parenteser betyder det inte att du måste multiplicera var och en med "fyra". Låt oss skriva ner:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Låt oss nu utöka:
Vi utesluter variabeln:
Vi utför reduktion av liknande termer:
\[-4x=-1\vänster| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Vi har slutgiltigt beslut, låt oss gå vidare till den andra ekvationen.
Exempel nr 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Här utför vi alla samma åtgärder:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problemet är löst.
Det var faktiskt allt jag ville berätta för dig idag.
Nyckelord
Nyckelfynd är:
- Känna till algoritmen för att lösa linjära ekvationer.
- Möjlighet att öppna konsoler.
- Oroa dig inte om du ser kvadratiska funktioner, troligen, i processen med ytterligare omvandlingar kommer de att minska.
- Det finns tre typer av rötter i linjära ekvationer, även de enklaste: en enda rot, hela tallinjen är en rot och inga rötter alls.
Jag hoppas att den här lektionen kommer att hjälpa dig att bemästra ett enkelt, men mycket viktigt ämne för ytterligare förståelse av all matematik. Om något inte är klart, gå till webbplatsen och lös exemplen som presenteras där. Håll utkik, många fler intressanta saker väntar dig!
Generalministeriet och yrkesutbildning RF
Kommunal läroanstalt
Gymnastiksal nr 12
sammansättning
på ämnet: Ekvationer och metoder för att lösa dem
Slutförd av: elev i klass 10 "A"
Krutko Evgeniy
Kontrolleras av: matematiklärare Iskhakova Gulsum Akramovna
Tyumen 2001
Planen................................................. ................................................................ ...................................... 1
Introduktion................................................. ...................................................................... ............................................ 2
Huvudsak................................................ ................................................................ ............... 3
Slutsats................................................. ................................................................ ...................................... 25
Ansökan................................................. ................................................................ ...................... 26
Lista över begagnad litteratur................................................... ........................................... 29
Planen.
Introduktion.
Historisk referens.
Ekvationer. Algebraiska ekvationer.
a) Grundläggande definitioner.
b) Linjär ekvation och metod för att lösa den.
c) Andragradsekvationer och metoder för att lösa dem.
d) Binomialekvationer och hur man löser dem.
d) Kubikekvationer och sätt att lösa det.
e) Bi andragradsekvation och ett sätt att lösa det.
g) Ekvationer av fjärde graden och metoder för att lösa dem.
g) Ekvationer av höga grader och metoder för att lösa dem.
h) Rationell algebraisk ekvation och hur det är
i) Irrationella ekvationer och metoder för att lösa dem.
j) Ekvationer som innehåller en okänd under ett tecken.
absolut värde och metod för att lösa det.
Transcendentala ekvationer.
A) Exponentiella ekvationer och ett sätt att lösa dem.
b) Logaritmiska ekvationer och metoder för att lösa dem.
Introduktion
Matematikundervisning erhölls i gymnasieskola, är en väsentlig del av allmänbildning och allmän kultur modern man. Nästan allt som omger den moderna människan är på något sätt kopplat till matematik. Och de senaste framstegen inom fysik, ingenjörsteknik och informationsteknologi lämnar inga tvivel om att läget i framtiden kommer att förbli oförändrat. Därför beslutet av många praktiska problem kommer till ett beslut olika typer ekvationer som du behöver lära dig att lösa.
Detta arbete är ett försök att sammanfatta och systematisera det studerade materialet om ovanstående ämne. Jag har ordnat materialet i svårighetsordning, börjat med det enklaste. Den inkluderar både de typer av ekvationer som vi känner till från skolalgebrakursen, och ytterligare material. Samtidigt försökte jag visa vilka typer av ekvationer som inte studeras i skolkursen men som kan behövas kunskap om när man kommer in på högre utbildning läroanstalt. I mitt arbete, när jag löste ekvationer, begränsade jag mig inte bara till den verkliga lösningen, utan angav också den komplexa, eftersom jag tror att annars är ekvationen helt enkelt olöst. När allt kommer omkring, om en ekvation inte har några riktiga rötter, betyder det inte att den inte har några lösningar. Tyvärr har jag på grund av tidsbrist inte kunnat presentera allt material jag har, men även med det material som presenteras här kan många frågor dyka upp. Jag hoppas att min kunskap räcker för att svara på de flesta frågor. Så jag börjar presentera materialet.
Matematik... avslöjar ordning,
symmetri och säkerhet,
och det här är viktigaste arten skön.
Aristoteles.
Historisk referens
I de avlägsna tider, när de vise först började tänka på jämlikheter som innehöll okända mängder, fanns det förmodligen inga mynt eller plånböcker. Men det fanns högar, såväl som krukor och korgar, som var perfekta för rollen som förvaringscacher som kunde rymma ett okänt antal föremål. "Vi letar efter en hög som tillsammans med två tredjedelar, hälften och en sjundedel av den gör 37...", lärde vi ut under det 2:a årtusendet f.Kr. ny era egyptisk skriftlärare Ahmes. I de uråldriga matematiska problemen i Mesopotamien, Indien, Kina, Grekland uttryckte okända kvantiteter antalet påfåglar i trädgården, antalet tjurar i besättningen och helheten av saker som tas med i beräkningen när man delar egendom. Skriftskrivare, tjänstemän och präster invigda i hemlig kunskap, välutbildade i vetenskapen om konton, klarade sådana uppgifter ganska framgångsrikt.
Källor som har nått oss indikerar att forntida vetenskapsmän hade några generella tekniker för att lösa problem med okända kvantiteter. Men inte en enda papyrus- eller lertablett innehåller en beskrivning av dessa tekniker. Författarna försåg bara ibland sina numeriska beräkningar med snåla kommentarer som: "Titta!", "Gör så här!", "Du hittade rätt." I denna mening är undantaget "Aritmetiken" av den grekiske matematikern Diophantus från Alexandria (III-talet) - en samling problem för att komponera ekvationer med en systematisk presentation av deras lösningar.
Men den första manualen för att lösa problem som blev allmänt känd var arbetet av Bagdad-forskaren på 900-talet. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Ordet "al-jabr" från det arabiska namnet på denna avhandling - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Bok om restaurering och opposition") - förvandlades med tiden till det välkända ordet "algebra", och al- Khwarizmis verk tjänade själva utgångspunkten i utvecklingen av vetenskapen om att lösa ekvationer.
ekvationer Algebraiska ekvationer
Grundläggande definitioner
I algebra betraktas två typer av likheter - identiteter och ekvationer.
Identitetär en likhet som gäller för alla (tillåtna) värden av bokstäverna som ingår i den). Att spela in en identitet tillsammans med en skylt
skylten används också.Ekvationenär en likhet som bara gäller för vissa värden av bokstäverna som ingår i den. Bokstäverna som ingår i ekvationen, enligt villkoren för problemet, kan vara ojämlika: vissa kan ta alla sina tillåtna värden (de kallas parametrar eller koefficienter ekvationer och betecknas vanligtvis med de första bokstäverna latinska alfabetet:
, , ... - eller samma bokstäver försedda med index: , , ... eller , , ...); andra vars värderingar behöver hittas kallas okänd(de betecknas vanligtvis med de sista bokstäverna i det latinska alfabetet: , , , ... - eller samma bokstäver försedda med index: , , ... eller , , ...).I allmän syn ekvationen kan skrivas så här:
(, , ..., ).Beroende på antalet okända kallas ekvationen en ekvation med en, två, etc. okända.
En ekvation som representerar ett andragradstrinomial kallas vanligtvis en andragradsekvation. Ur en algebraisk synvinkel beskrivs den med formeln a*x^2+b*x+c=0. I denna formel är x det okända som behöver hittas (det kallas en fri variabel); a, b och c är numeriska koefficienter. Det finns ett antal begränsningar för de angivna komponenterna: till exempel bör koefficienten a inte vara lika med 0.
Att lösa en ekvation: begreppet diskriminant
Värdet på det okända x vid vilket andragradsekvationen förvandlas till en sann likhet kallas roten till en sådan ekvation. För att lösa en andragradsekvation måste du först hitta värdet på en speciell koefficient - diskriminanten, som kommer att visa antalet rötter till den aktuella likheten. Diskriminanten beräknas med formeln D=b^2-4ac. I det här fallet kan resultatet av beräkningen vara positivt, negativt eller lika med noll.Man bör komma ihåg att begreppet kräver att endast koefficienten a är strikt skild från 0. Följaktligen kan koefficienten b vara lika med 0, och själva ekvationen är i detta fall av formen a*x^2+c =0. I en sådan situation bör ett koefficientvärde på 0 användas i formlerna för beräkning av diskriminant och rötter. Så diskriminanten i detta fall kommer att beräknas som D=-4ac.
Lösa ekvationen med en positiv diskriminant
Om diskriminanten i andragradsekvationen visar sig vara positiv kan vi dra slutsatsen att denna likhet har två rötter. Dessa rötter kan beräknas med hjälp av följande formel: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. För att beräkna värdet på rötterna till en andragradsekvation med ett positivt diskriminantvärde, använd kända värden koefficienter tillgängliga i . Genom att använda summan och skillnaden i formeln för att beräkna rötterna blir resultatet av beräkningarna två värden som gör att jämlikheten i fråga är sann.Löser ekvationen med noll och negativ diskriminant
Om diskriminanten för en andragradsekvation är lika med 0, kan vi dra slutsatsen att den angivna ekvationen har en rot. Strängt taget har ekvationen i denna situation fortfarande två rötter, men på grund av nolldiskriminanten kommer de att vara lika med varandra. I detta fall x=-b/2a. Om, under beräkningsprocessen, värdet på diskriminanten visar sig vara negativt, bör man dra slutsatsen att den andragradsekvationen i fråga inte har rötter, det vill säga sådana värden på x vid vilka den blir till en sann likhet .52. Mer komplexa exempel ekvationer.
Exempel 1.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Den gemensamma nämnaren är x 2 – 1, eftersom x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Låt oss multiplicera båda sidor av denna ekvation med x 2 – 1. Vi får:
eller, efter minskning,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 och x = 3½
Låt oss överväga en annan ekvation:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Löser vi enligt ovan får vi:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 eller 2x = 2 och x = 1.
Låt oss se om våra likheter är motiverade om vi ersätter x i var och en av de betraktade ekvationerna med det hittade talet.
För det första exemplet får vi:
Vi ser att det inte finns utrymme för några tvivel: vi har hittat ett tal för x så att den erforderliga likheten är motiverad.
För det andra exemplet får vi:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) eller 5/0 – 3/2 = 15/0
Här uppstår tvivel: vi står inför division med noll, vilket är omöjligt. Om vi i framtiden lyckas ge en viss, om än indirekt, innebörd åt denna uppdelning, så kan vi komma överens om att den hittade lösningen x – 1 uppfyller vår ekvation. Tills dess måste vi erkänna att vår ekvation inte har en lösning som har en direkt betydelse.
Liknande fall kan inträffa när det okända på något sätt ingår i nämnarna för bråken som finns i ekvationen, och några av dessa nämnare, när lösningen hittas, blir noll.
Exempel 2.
Du kan omedelbart se att denna ekvation har formen av en proportion: förhållandet mellan talet x + 3 och talet x – 1 är lika med förhållandet mellan talet 2x + 3 och talet 2x – 2. Låt någon, i Med tanke på denna omständighet, bestäm dig för att tillämpa här för att befria ekvationen från bråk, proportionens huvudsakliga egenskap (produkten av de extrema termerna är lika med produkten av mellantermerna). Då får han:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Här kan rädslan för att vi inte kommer att klara av denna ekvation väckas av att ekvationen innehåller termer med x 2. Men vi kan subtrahera 2x 2 från båda sidor av ekvationen - detta kommer inte att bryta ekvationen; då förstörs termerna med x 2 och vi får:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Låt oss flytta de okända termerna till vänster och de kända till höger - vi får:
3x = 3 eller x = 1
Kom ihåg denna ekvation
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Vi kommer omedelbart att märka att det funna värdet för x (x = 1) gör att nämnarna för varje bråkdel försvinner; Vi måste överge en sådan lösning tills vi har övervägt frågan om division med noll.
Om vi också noterar att tillämpningen av proportionsegenskapen har komplicerat saken och att en enklare ekvation skulle kunna erhållas genom att multiplicera båda sidor av det givna med en gemensam nämnare, nämligen 2(x – 1) - trots allt 2x – 2 = 2 (x – 1), då får vi:
2(x + 3) = 2x – 3 eller 2x + 6 = 2x – 3 eller 6 = –3,
vilket är omöjligt.
Denna omständighet indikerar att denna ekvation inte har några lösningar som har en direkt betydelse som inte skulle nollställa nämnarna i denna ekvation.
Låt oss nu lösa ekvationen:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Låt oss multiplicera båda sidor av ekvationen 2(x – 1), dvs med den gemensamma nämnaren får vi:
6x + 10 = 2x + 18
Den hittade lösningen får inte nämnaren att försvinna och har en direkt betydelse:
eller 11 = 11
Om någon, istället för att multiplicera båda delarna med 2(x – 1), skulle använda egenskapen proportion, skulle de få:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) eller
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Här skulle termerna med x 2 inte förstöras. Att flytta alla okända termer till vänster sida, och de kända till höger, skulle vi få
4x 2 – 12x = –8
x 2 – 3x = –2
Nu kommer vi inte att kunna lösa denna ekvation. I framtiden kommer vi att lära oss hur man löser sådana ekvationer och hitta två lösningar för det: 1) du kan ta x = 2 och 2) du kan ta x = 1. Det är lätt att kontrollera båda lösningarna:
1) 2 2 – 3 2 = –2 och 2) 1 2 – 3 1 = –2
Om vi kommer ihåg den initiala ekvationen
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
då får vi se att nu får vi båda dess lösningar: 1) x = 2 är lösningen som har en direkt betydelse och inte vrider nämnaren till noll, 2) x = 1 är lösningen som vänder nämnaren till noll och har ingen direkt betydelse.
Exempel 3.
Vi hittar gemensam nämnare bråk som ingår i denna ekvation, för vilka vi faktoriserar var och en av nämnare:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Den gemensamma nämnaren är (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Låt oss multiplicera båda sidor av denna ekvation (och vi kan nu skriva om den som:
med en gemensam nämnare (x – 3) (x – 2) (x + 1). Sedan, efter att ha reducerat varje bråkdel får vi:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) eller
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Härifrån får vi:
–x = –13 och x = 13.
Denna lösning har en direkt innebörd: den får inte någon av nämnarna att försvinna.
Om vi tar ekvationen:
då, gör exakt samma som ovan, skulle vi få
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
var skulle du få det ifrån?
vilket är omöjligt. Denna omständighet visar att det är omöjligt att hitta en lösning för den sista ekvationen som har en direkt betydelse.