Att hitta rötterna till en ekvation genom en diskriminant. Lösa andragradsekvationer, rotformel, exempel

Till exempel, för trinomialet \(3x^2+2x-7\), kommer diskriminanten att vara lika med \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Och för trinomialet \(x^2-5x+11\), kommer det att vara lika med \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminanten betecknas med \(D\) och används ofta vid lösning. Genom värdet på diskriminanten kan du också förstå hur grafen ungefär ser ut (se nedan).

Diskriminant och ekvationens rötter

Diskriminantvärdet visar antalet andragradsekvationer:
- om \(D\) är positiv kommer ekvationen att ha två rötter;
- om \(D\) är lika med noll – det finns bara en rot;
- om \(D\) är negativ, finns det inga rötter.

Detta behöver inte läras ut, det är inte svårt att komma till en sådan slutsats, bara att veta att från diskriminanten (det vill säga \(\sqrt(D)\) ingår i formeln för att beräkna rötterna till ekvationen : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) och \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Låt oss titta på varje fall mer detaljerat.

Om diskriminanten är positiv

I det här fallet är roten till det ett positivt tal, vilket betyder att \(x_(1)\) och \(x_(2)\) kommer att ha olika betydelser, eftersom i den första formeln \(\sqrt(D)\ ) läggs till och i den andra subtraheras den. Och vi har två olika rötter.

Exempel : Hitta rötterna till ekvationen \(x^2+2x-3=0\)
Lösning :

Svar : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Om diskriminanten är noll

Och hur många rötter blir det om diskriminanten lika med noll? Låt oss resonera.

Rotformlerna ser ut så här: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) och \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Och om diskriminanten är noll, så är dess rot också noll. Sedan visar det sig:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Det vill säga värdena för ekvationens rötter kommer att vara desamma, eftersom att addera eller subtrahera noll inte förändrar någonting.

Exempel : Hitta rötterna till ekvationen \(x^2-4x+4=0\)
Lösning :

\(x^2-4x+4=0\)		Vi skriver ut koefficienterna:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Vi beräknar diskriminanten med formeln \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Att hitta rötterna till ekvationen
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Vi har två identiska rötter, så det är ingen idé att skriva dem separat - vi skriver dem som en.

Svar : \(x=2\)

Diskriminerande är en term med flera värden. I den här artikeln kommer vi att prata om diskriminanten för ett polynom, vilket låter dig avgöra om ett givet polynom har giltiga lösningar. Formeln för det kvadratiska polynomet finns i skolkursen om algebra och analys. Hur hittar man en diskriminant? Vad krävs för att lösa ekvationen?

Ett andragradspolynom eller ekvation av andra graden kallas i * w ^ 2 + j * w + k är lika med 0, där "i" och "j" är den första respektive andra koefficienten, "k" är en konstant, ibland kallad den "avvisande termen" och "w" är en variabel. Dess rötter kommer att vara alla värden för variabeln där den förvandlas till en identitet. En sådan likhet kan skrivas om som produkten av i, (w - w1) och (w - w2) lika med 0. I det här fallet är det uppenbart att om koefficienten "i" inte blir noll, då funktionen på den vänstra sidan blir noll endast om om x tar värdet w1 eller w2. Dessa värden är resultatet av att sätta polynomet lika med noll.

För att hitta värdet på en variabel vid vilken ett kvadratiskt polynom försvinner, används en hjälpkonstruktion som bygger på dess koefficienter och kallas en diskriminant. Denna design beräknas enligt formeln D är lika med j * j - 4 * i * k. Varför används den?

Den talar om om det finns giltiga resultat.
Hon hjälper till att räkna ut dem.

Hur visar detta värde närvaron av riktiga rötter:

Om det är positivt, kan två rötter hittas i området för reella tal.
Om diskriminanten är noll är båda lösningarna desamma. Vi kan säga att det bara finns en lösning, och det är från området för reella tal.
Om den diskriminerande mindre än noll, då har polynomet inga riktiga rötter.

Beräkningsmöjligheter för att säkra material

För summan (7 * w^2; 3 * w; 1) lika med 0 Vi beräknar D med formeln 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, vi får -19. Ett diskriminantvärde under noll indikerar att det inte finns några resultat på den faktiska linjen.

Om vi betraktar 2 * w^2 - 3 * w + 1 motsvarar 0, då beräknas D som (-3) i kvadrat minus produkten av talen (4; 2; 1) och är lika med 9 - 8, det vill säga 1. Ett positivt värde indikerar två resultat på den reella linjen.

Om vi tar summan (w ^ 2; 2 * w; 1) och likställer den med 0, D beräknas som två kvadrat minus produkten av talen (4; 1; 1). Detta uttryck förenklas till 4 - 4 och går till noll. Det visar sig att resultaten är desamma. Om du tittar noga på denna formel kommer det att bli tydligt att detta är en "fullständig kvadrat". Det betyder att likheten kan skrivas om i formen (w + 1) ^ 2 = 0. Det blev uppenbart att resultatet i denna uppgift är "-1". I en situation där D är lika med 0, kan den vänstra sidan av likheten alltid kollapsas med hjälp av formeln "kvadrat på summan".

Använder en diskriminant för att beräkna rötter

Denna hjälpkonstruktion visar inte bara antalet verkliga lösningar, utan hjälper också till att hitta dem. Den allmänna beräkningsformeln för en andragradsekvation är:

w = (-j +/- d) / (2 * i), där d är diskriminanten i potensen 1/2.

Låt oss säga att diskriminanten är under noll, då är d imaginärt och resultaten imaginära.

D är noll, då är d lika med D i potensen 1/2 också noll. Lösning: -j / (2 * i). Återigen med tanke på 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, hittar vi resultat som motsvarar -2 / (2 * 1) = -1.

Antag att D > 0, då är d ett reellt tal, och svaret här delas upp i två delar: w1 = (-j + d) / (2 * i) och w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Båda resultaten kommer att vara giltiga. Låt oss titta på 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Här är diskriminanten och d ettor. Det visar sig att w1 är lika med (3 + 1) dividerat med (2 * 2) eller 1, och w2 är lika med (3 - 1) dividerat med 2 * 2 eller 1/2.

Resultatet av att likställa ett kvadratiskt uttryck med noll beräknas enligt algoritmen:

Bestämma antalet giltiga lösningar.
Beräkning d = D^(1/2).
Hitta resultatet enligt formeln (-j +/- d) / (2 * i).
Ersätter det erhållna resultatet med den ursprungliga likheten för verifiering.

Några specialfall

Beroende på koefficienterna kan lösningen vara något förenklad. Uppenbarligen, om koefficienten för en variabel till den andra potensen är noll, erhålls en linjär likhet. När koefficienten för en variabel till den första potensen är noll, är två alternativ möjliga:

polynomet expanderas till en skillnad av kvadrater när den fria termen är negativ;
för en positiv konstant kan inga riktiga lösningar hittas.

Om den fria termen är noll, kommer rötterna att vara (0; -j)

Men det finns andra specialfall som förenklar att hitta en lösning.

Reducerad andragradsekvation

Det givna kallas en sådan kvadratisk trinomial, där koefficienten för den ledande termen är en. För denna situation är Vietas sats tillämplig, som säger att summan av rötterna är lika med koefficienten för variabeln till första potensen, multiplicerad med -1, och produkten motsvarar konstanten "k".

Därför är w1 + w2 lika med -j och w1 * w2 är lika med k om den första koefficienten är en. För att verifiera riktigheten av denna representation kan du uttrycka w2 = -j - w1 från den första formeln och ersätta den med den andra likheten w1 * (-j - w1) = k. Resultatet är den ursprungliga likheten w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Det är viktigt att notera, att i * w ^ 2 + j * w + k = 0 kan uppnås genom att dividera med "i". Resultatet blir: w^2 + j1 * w + k1 = 0, där j1 är lika med j/i och k1 är lika med k/i.

Låt oss titta på de redan lösta 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 med resultaten w1 = 1 och w2 = 1/2. Vi måste dela det på mitten, som ett resultat w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Låt oss kontrollera att villkoren för satsen är sanna för resultaten som hittades: 1 + 1/2 = 3/ 2 och 1*1/2 = 1/2.

Även andra faktorn

Om faktorn för en variabel till första potensen (j) är delbar med 2, då kommer det att vara möjligt att förenkla formeln och leta efter en lösning genom en fjärdedel av diskriminanten D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. det visar sig w = (-j +/- d/2) / i, där d/2 = D/4 i potensen 1/2.

Om i = 1, och koefficienten j är jämn, blir lösningen produkten av -1 och halva koefficienten för variabeln w, plus/minus roten till kvadraten av denna halva minus konstanten "k". Formel: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Högre diskriminerande ordning

Diskriminanten av andra gradens trinomial som diskuterats ovan är den mest använda specialfall. I det allmänna fallet är diskriminanten för ett polynom multiplicerade kvadrater av skillnaderna mellan rötterna i detta polynom. Därför indikerar en diskriminant lika med noll närvaron av åtminstone två multipla lösningar.

Betrakta i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Antag att diskriminanten överstiger noll. Det betyder att det finns tre rötter i området för reella tal. Vid noll finns det flera lösningar. Om D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Vår video kommer att berätta i detalj om hur man beräknar diskriminanten.

Fick du inget svar på din fråga? Föreslå ett ämne till författarna.

I moderna samhället förmågan att utföra operationer med ekvationer som innehåller en variabel i kvadrat kan vara användbar inom många verksamhetsområden och används ofta i praktiken inom vetenskapliga och teknisk utveckling. Bevis på detta kan hittas i designen av sjö- och flodfartyg, flygplan och missiler. Med hjälp av sådana beräkningar bestäms rörelsebanorna för en mängd olika kroppar, inklusive rymdobjekt. Exempel med lösning av kvadratiska ekvationer används inte bara i ekonomiska prognoser, vid design och konstruktion av byggnader, utan också under de vanligaste vardagliga omständigheterna. De kan behövas på vandringsresor, vid sportevenemang, i butiker vid köp och i andra mycket vanliga situationer.

Låt oss dela upp uttrycket i dess ingående faktorer

Graden av ekvationen bestäms maximalt värde graden av variabeln som detta uttryck innehåller. Om det är lika med 2, kallas en sådan ekvation kvadratisk.

Om vi talar på formlerspråk, så kan de angivna uttrycken, oavsett hur de ser ut, alltid föras till formen när den vänstra sidan av uttrycket består av tre termer. Bland dem: axe 2 (det vill säga en variabel kvadratisk med sin koefficient), bx (en okänd utan en kvadrat med sin koefficient) och c (en fri komponent, det vill säga ett vanligt tal). Allt detta på höger sida är lika med 0. I det fall när ett sådant polynom saknar en av sina beståndsdelar, med undantag för axel 2, kallas det en ofullständig andragradsekvation. Exempel på lösning av sådana problem, värdena för variablerna som är lätta att hitta, bör övervägas först.

Om uttrycket ser ut att ha två termer på höger sida, närmare bestämt axe 2 och bx, är det enklaste sättet att hitta x genom att sätta variabeln inom parentes. Nu kommer vår ekvation att se ut så här: x(ax+b). Därefter blir det uppenbart att antingen x=0, eller så handlar problemet om att hitta en variabel från följande uttryck: ax+b=0. Detta dikteras av en av egenskaperna för multiplikation. Regeln säger att produkten av två faktorer resulterar i 0 endast om en av dem är noll.

Exempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som ett resultat får vi två rötter av ekvationen: 0 och 0,375.

Ekvationer av detta slag kan beskriva kroppars rörelse under påverkan av gravitationen, som började röra sig från en viss punkt som tas som ursprunget till koordinaterna. Här har den matematiska notationen följande form: y = v 0 t + gt 2 /2. Genom att ersätta de nödvändiga värdena, likställa den högra sidan med 0 och hitta möjliga okända, kan du ta reda på tiden som går från det att kroppen stiger till det ögonblick den faller, liksom många andra storheter. Men vi ska prata om detta senare.

Faktorering av ett uttryck

Regeln som beskrivs ovan gör det möjligt att lösa dessa problem i mer komplexa fall. Låt oss titta på exempel på att lösa andragradsekvationer av denna typ.

X 2 - 33x + 200 = 0

Detta kvadratiska trinomium är komplett. Låt oss först omvandla uttrycket och faktorisera det. Det finns två av dem: (x-8) och (x-25) = 0. Som ett resultat har vi två rötter 8 och 25.

Exempel på att lösa andragradsekvationer i årskurs 9 tillåter denna metod att hitta en variabel i uttryck inte bara av andra, utan även av tredje och fjärde ordningen.

Till exempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. När man faktoriserar höger sida i faktorer med en variabel, finns det tre av dem, det vill säga (x+1), (x-3) och (x+ 3).

Som ett resultat blir det uppenbart att given ekvation har tre rötter: -3; -1; 3.

Roten ur

Ett annat fall av en ofullständig andra ordningens ekvation är ett uttryck representerat i bokstäverspråket på ett sådant sätt att den högra sidan är konstruerad av komponenterna ax 2 och c. Här, för att få värdet på variabeln, överförs den fria termen till höger sida, och efter det extraheras den från båda sidor av likheten Roten ur. Det bör noteras att i detta fall finns det vanligtvis två rötter till ekvationen. De enda undantagen kan vara likheter som inte alls innehåller en term med, där variabeln är lika med noll, samt varianter av uttryck när den högra sidan är negativ. I det senare fallet finns det inga lösningar alls, eftersom ovanstående åtgärder inte kan utföras med rötter. Exempel på lösningar till andragradsekvationer av denna typ bör övervägas.

I det här fallet kommer rötterna till ekvationen att vara talen -4 och 4.

Beräkning av landarea

Behovet av denna typ av beräkningar dök upp i antiken, eftersom utvecklingen av matematiken i dessa avlägsna tider till stor del bestämdes av behovet av att med största noggrannhet bestämma områdena och omkretsarna av tomter.

Vi bör också överväga exempel på att lösa andragradsekvationer baserade på problem av detta slag.

Så låt oss säga att det finns en rektangulär tomt, vars längd är 16 meter större än bredden. Du bör hitta webbplatsens längd, bredd och omkrets om du vet att dess yta är 612 m2.

För att komma igång, låt oss först skapa den nödvändiga ekvationen. Låt oss beteckna med x bredden på området, då blir dess längd (x+16). Av det som skrivits följer att arean bestäms av uttrycket x(x+16), som enligt förutsättningarna för vårt problem är 612. Det betyder att x(x+16) = 612.

Att lösa fullständiga andragradsekvationer, och detta uttryck är precis det, kan inte göras på samma sätt. Varför? Även om den vänstra sidan fortfarande innehåller två faktorer, är deras produkt inte alls lika med 0, så olika metoder används här.

Diskriminerande

Låt oss först och främst göra de nödvändiga omvandlingarna utseende av detta uttryck kommer att se ut så här: x 2 + 16x - 612 = 0. Det betyder att vi har fått ett uttryck i en form som motsvarar den tidigare angivna standarden, där a=1, b=16, c=-612.

Detta kan vara ett exempel på att lösa andragradsekvationer med en diskriminant. Här nödvändiga beräkningar produceras enligt schemat: D = b 2 - 4ac. Denna extra kvantitet gör det inte bara möjligt att hitta de nödvändiga kvantiteterna i en andra ordningens ekvation, den bestämmer kvantiteten möjliga alternativ. Om D>0 finns det två av dem; för D=0 finns en rot. I fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om rötter och deras formel

I vårt fall är diskriminanten lika med: 256 - 4(-612) = 2704. Detta tyder på att vårt problem har ett svar. Om du känner till k måste lösningen av andragradsekvationer fortsätta med formeln nedan. Det låter dig beräkna rötterna.

Detta betyder att i det presenterade fallet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andra alternativet i detta dilemma kan inte vara en lösning, eftersom dimensionerna på tomten inte kan mätas i negativa kvantiteter, vilket betyder att x (det vill säga bredden på tomten) är 18 m. Härifrån beräknar vi längden: 18 +16=34, och omkretsen 2(34+ 18)=104(m2).

Exempel och uppgifter

Vi fortsätter vår studie av andragradsekvationer. Exempel och detaljerade lösningar på flera av dem kommer att ges nedan.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Låt oss flytta allt till vänster sida av likheten, göra en transformation, det vill säga, vi får den typ av ekvation som vanligtvis kallas standard, och likställer den till noll.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Lägger vi till liknande, bestämmer vi diskriminanten: D = 49 - 48 = 1. Detta betyder att vår ekvation kommer att ha två rötter. Låt oss beräkna dem enligt ovanstående formel, vilket innebär att den första av dem kommer att vara lika med 4/3 och den andra till 1.

2) Låt oss nu lösa mysterier av ett annat slag.

Låt oss ta reda på om det finns några rötter här x 2 - 4x + 5 = 1? För att få ett heltäckande svar, låt oss reducera polynomet till motsvarande vanliga form och beräkna diskriminanten. I exemplet ovan är det inte nödvändigt att lösa andragradsekvationen, eftersom detta inte är kärnan i problemet alls. I det här fallet är D = 16 - 20 = -4, vilket betyder att det verkligen inte finns några rötter.

Vietas sats

Kvadratisk ekvation Det är bekvämt att lösa genom ovanstående formler och diskriminanten, när kvadratroten tas från värdet av den senare. Men detta händer inte alltid. Det finns dock många sätt att få värdena för variabler i detta fall. Exempel: lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas sats. Hon är uppkallad efter den som levde på 1500-talet i Frankrike och gjorde en lysande karriär tack vare sin matematiska talang och kopplingar vid hovet. Hans porträtt kan ses i artikeln.

Mönstret som den berömda fransmannen lade märke till var följande. Han bevisade att rötterna till ekvationen summeras numeriskt till -p=b/a, och deras produkt motsvarar q=c/a.

Låt oss nu titta på specifika uppgifter.

3x 2 + 21x - 54 = 0

För enkelhetens skull, låt oss omvandla uttrycket:

x 2 + 7x - 18 = 0

Låt oss använda Vietas sats, detta ger oss följande: summan av rötterna är -7, och deras produkt är -18. Härifrån får vi att rötterna till ekvationen är talen -9 och 2. Efter att ha kontrollerat kommer vi att se till att dessa variabelvärden verkligen passar in i uttrycket.

Parabolgraf och ekvation

Begreppen andragradsfunktion och andragradsekvationer är nära besläktade. Exempel på detta har redan givits tidigare. Låt oss nu titta på några matematiska gåtor lite mer detaljerat. Varje ekvation av den beskrivna typen kan representeras visuellt. Ett sådant förhållande, ritat som en graf, kallas en parabel. Dess olika typer presenteras i figuren nedan.

Varje parabel har en vertex, det vill säga en punkt från vilken dess grenar kommer ut. Om a>0 går de högt till oändligt, och när a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuella representationer av funktioner hjälper till att lösa alla ekvationer, inklusive kvadratiska. Denna metod kallas grafisk. Och värdet på x-variabeln är abskisskoordinaten vid de punkter där graflinjen skär 0x. Koordinaterna för vertexet kan hittas med formeln som just ges x 0 = -b/2a. Och genom att ersätta det resulterande värdet i funktionens ursprungliga ekvation kan du ta reda på y 0, det vill säga den andra koordinaten för parabelns vertex, som hör till ordinataaxeln.

Skärningen av en parabels grenar med abskissaxeln

Det finns många exempel på att lösa andragradsekvationer, men det finns också generella mönster. Låt oss titta på dem. Det är tydligt att skärningen av grafen med 0x-axeln för a>0 endast är möjlig om 0 tar negativa värden. Och för en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Annars D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Från parabelns graf kan du också bestämma rötterna. Det motsatta är också sant. Det vill säga, om det inte är lätt att få en visuell representation av en kvadratisk funktion, kan du likställa den högra sidan av uttrycket med 0 och lösa den resulterande ekvationen. Och genom att känna till skärningspunkterna med 0x-axeln är det lättare att konstruera en graf.

Från historien

Med hjälp av ekvationer som innehåller en kvadratisk variabel gjorde de förr i tiden inte bara matematiska beräkningar och bestämde geometriska figurers area. De gamla behövde sådana beräkningar för stora upptäckter inom fysik och astronomi, såväl som för att göra astrologiska prognoser.

Som moderna vetenskapsmän föreslår var invånarna i Babylon bland de första att lösa andragradsekvationer. Detta hände fyra århundraden före vår tideräkning. Naturligtvis var deras beräkningar radikalt annorlunda än de som för närvarande accepteras och visade sig vara mycket mer primitiva. Till exempel hade mesopotamiska matematiker ingen aning om förekomsten av negativa tal. De var också obekanta med andra subtiliteter som alla moderna skolbarn känner till.

Kanske till och med tidigare än Babylons vetenskapsmän började vismannen från Indien Baudhayama lösa andragradsekvationer. Detta hände ungefär åtta århundraden före Kristi tidevarv. Det är sant att andra ordningens ekvationer, de metoder för att lösa som han gav, var de enklaste. Förutom honom var kinesiska matematiker också intresserade av liknande frågor förr i tiden. I Europa började andragradsekvationer att lösas först i början av 1200-talet, men senare användes de i sina verk av så stora vetenskapsmän som Newton, Descartes och många andra.

KOMPLEXA NUMMER XI

§ 253. Extrahera kvadratrötter från negativa tal.
Lösa andragradsekvationer med negativa diskriminanter

Som vi vet,

i 2 = - 1.

På samma gång

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Således finns det minst två värden av kvadratroten av - 1, nämligen i Och - i . Men det kanske finns några andra komplexa tal vars kvadrater är lika med - 1?

För att klargöra denna fråga, anta att kvadraten på ett komplext tal a + bi är lika med - 1. Då

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2аbi - b 2 = - 1

Två komplexa tal är lika om och endast om deras reella delar och koefficienter för deras imaginära delar är lika. Det är därför

{	A 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Enligt den andra ekvationen av system (1), åtminstone ett av talen A Och b måste vara noll. Om b = 0, då får vi från den första ekvationen A 2 = - 1. Antal A verklig, och därför A 2 > 0. Icke-negativt tal A 2 kan inte vara lika med ett negativt tal - 1. Därför är likheten b = 0 är omöjligt i detta fall. Det återstår att erkänna det A = 0, men från den första ekvationen i systemet får vi: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Därför är de enda komplexa talen vars kvadrater är -1 i Och - i , Konventionellt skrivs detta i formen:

√-1 = ± i .

Med liknande resonemang kan eleverna övertygas om att det finns exakt två tal vars kvadrater är lika med ett negativt tal - A . Sådana siffror är √ a i och -√ a i . Konventionellt skrivs det så här:

√-A = ± √ a i .

Under √ a här menar vi en aritmetik, det vill säga positiv, rot. Till exempel, √4 = 2, √9 =.3; Det är därför

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Om vi tidigare, när vi betraktade andragradsekvationer med negativa diskriminanter, sa att sådana ekvationer inte har några rötter, nu kan vi inte längre säga det. Andragradsekvationer med negativa diskriminanter har komplexa rötter. Dessa rötter erhålls enligt de formler som vi känner till. Låt till exempel ges ekvationen x 2 + 2X + 5 = 0; Sedan

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Så den här ekvationen har två rötter: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Dessa rötter är ömsesidigt konjugerade. Det är intressant att notera att deras summa är -2, och deras produkt är 5, så Vietas sats gäller.

Övningar

2022. (Set nr.) Lös ekvationerna:

A) x 2 = -16; b) x 2 = -2; vid 3 x 2 = - 5.

2023. Hitta alla komplexa tal vars kvadrater är lika:

A) i ; b) 1/2 - √ 3/2 i ;

2024. Lös andragradsekvationer:

A) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

Lös ekvationssystem (nr 2025, 2026):

{	*x+y* = 6 xy = 45

{	2x- 3y = 1 xy = 1

2027. Bevisa att rötterna till en andragradsekvation med reella koefficienter och en negativ diskriminant är ömsesidigt konjugerade.

2028. Bevisa att Vietas sats är sann för alla andragradsekvationer, och inte bara för ekvationer med en icke-negativ diskriminant.

2029. Komponera en andragradsekvation med reella koefficienter, vars rötter är:

a) X 1 = 5 - i , X 2 = 5 + i ; b) X 1 = 3i , X 2 = - 3i .

2030. Komponera en andragradsekvation med reella koefficienter, vars ena rötter är lika med (3 - i ) (2i - 4).

2031. Komponera en andragradsekvation med reella koefficienter, vars ena rötter är lika med 32 - i
1- 3i .

Viktig! I rötter av jämn multiplicitet ändrar funktionen inte tecken.

Notera! Eventuell icke-linjär ojämlikhet i en skolalgebrakurs måste lösas med intervallmetoden.

Jag erbjuder dig en detaljerad algoritm för att lösa ojämlikheter med intervallmetoden, varefter du kan undvika misstag när lösa icke-linjära ojämlikheter.

Lösa andragradsekvationer med negativa diskriminanter

Som vi vet,

i 2 = - 1.

På samma gång

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Således finns det minst två värden av kvadratroten av - 1, nämligen i Och - i . Men det kanske finns några andra komplexa tal vars kvadrater är lika med - 1?

För att klargöra denna fråga, anta att kvadraten på ett komplext tal a + bi är lika med - 1. Då

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2аbi - b 2 = - 1

Två komplexa tal är lika om och endast om deras reella delar och koefficienter för deras imaginära delar är lika. Det är därför

{	och 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Därför är de enda komplexa talen vars kvadrater är -1 i Och - i , Konventionellt skrivs detta i formen:

√-1 = ± i .

Med liknande resonemang kan eleverna övertygas om att det finns exakt två tal vars kvadrater är lika med ett negativt tal - A . Sådana siffror är √ ai och -√ ai . Konventionellt skrivs det så här:

√-A = ± √ ai .

Under √ a här menar vi en aritmetik, det vill säga positiv, rot. Till exempel, √4 = 2, √9 =.3; Det är därför

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Begreppet ett komplext tal

Ett komplext tal är ett uttryck av formen a + ib, där a och b är valfria reella tal, i är ett speciellt tal som kallas den imaginära enheten. För sådana uttryck introduceras begreppen likhet och operationerna för addition och multiplikation enligt följande:

Två komplexa tal a + ib och c + id sägs vara lika om och endast om
a = b och c = d.
Summan av två komplexa tal a + ib och c + id kallas ett komplext tal
a + c + i (b + d).
Produkten av två komplexa tal a + ib och c + id är ett komplext tal
ac – bd + i (ad + bc).

Komplexa tal betecknas ofta med en enda bokstav, till exempel z = a + ib. Ett reellt tal a kallas den reella delen av ett komplext tal z, den reella delen betecknas a = Re z. Det reella talet b kallas den imaginära delen av det komplexa talet z, den imaginära delen betecknas b = Im z. Dessa namn valdes på grund av följande speciella egenskaper hos komplexa tal.

Observera att aritmetiska operationer på komplexa tal av formen z = a + i · 0 utförs på exakt samma sätt som på reella tal. Verkligen,

Följaktligen identifieras komplexa tal av formen a + i · 0 naturligt med reella tal. På grund av detta kallas komplexa tal av denna typ helt enkelt reella. Så uppsättningen av reella tal ingår i uppsättningen av komplexa tal. Mängden komplexa tal betecknas med . Det har vi konstaterat, nämligen

Till skillnad från reella tal kallas tal av formen 0 + ib rent imaginära. Ofta skriver de helt enkelt bi, till exempel, 0 + i 3 = 3 i. Det rent imaginära talet i1 = 1 i = i har en fantastisk egenskap:
Således,

№ 4 .1. I matematik är en talfunktion en funktion vars domäner och värden är delmängder nummeruppsättningar- som regel uppsättningar av reella tal eller uppsättningar av komplexa tal.

Graf över en funktion

Fragment av en funktionsgraf

Metoder för att specificera en funktion

[redigera] Analytisk metod

Vanligtvis specificeras en funktion med en formel som inkluderar variabler, operationer och elementära funktioner. Kanske en bitvis uppgift, det vill säga olika för olika värderingar av argumentet.

[redigera] Tabellform

En funktion kan specificeras genom att lista alla dess möjliga argument och deras värden. Efter detta kan funktionen vid behov definieras ytterligare för argument som inte finns i tabellen, genom interpolation eller extrapolering. Exempel inkluderar en programguide, ett tågschema eller en tabell med booleska funktionsvärden:

[redigera] Grafisk metod

Ett oscillogram ställer in värdet på en viss funktion grafiskt.

En funktion kan specificeras grafiskt genom att visa en uppsättning punkter på dess graf på ett plan. Detta kan vara en grov skiss på hur funktionen ska se ut, eller avläsningar tagna från en enhet som ett oscilloskop. Denna specifikationsmetod kan lida av bristande precision, men i vissa fall kan andra specifikationsmetoder inte tillämpas alls. Dessutom är denna metod för att specificera en av de mest representativa, lättförståeliga och högkvalitativa heuristiska analysen av funktionen.

[redigera] Rekursivt sätt

En funktion kan specificeras rekursivt, det vill säga genom sig själv. I det här fallet bestäms vissa funktionsvärden genom dess andra värden.

faktoriell;
Fibonacci-nummer;
Ackermann funktion.

[redigera] Verbal metod

En funktion kan beskrivas i naturliga språkord på något entydigt sätt, till exempel genom att beskriva dess ingångs- och utdatavärden, eller algoritmen med vilken funktionen definierar överensstämmelse mellan dessa värden. Tillsammans med en grafisk metod är detta ibland det enda sättet att beskriva en funktion, även om naturliga språk inte är lika deterministiska som formella språk.

en funktion som returnerar en siffra i pi med dess nummer;
en funktion som returnerar antalet atomer i universum vid en viss tidpunkt;
en funktion som tar en person som ett argument och returnerar antalet personer som kommer att födas efter att personen är född